【高考突破方案】第五章 三角函数 识记手册- 高考一轮总复习数学

一、任意角和弧度制
1．角度制与弧度制间的关系
360°＝2π rad；1°＝ rad；1 rad＝（）°≈57.30°.
2．弧度制下的弧长公式为l＝|α|R；扇形的面积公式为S＝lR＝αR2.
二、三角函数的概念
1．在平面直角坐标系中，设α的终边上任意（异于原点）点P的坐标为(x，y)，则点P到原点的距离r＝，所以sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0).
2．熟记下列特殊角的三角函数值．
角度α 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°
角α的 弧度数 0 π 2π
sin α 0 1 0 －1 0
cos α 1 0 － － － －1 0 1
tan α 0 1 — － －1 － 0 — 0
三、同角三角函数的基本关系式
1．平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
2．商的关系：若α≠＋kπ(k∈Z)，tanα＝.
3．sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α之间的关系：
(1)(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α；
(2)(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α；
(3)(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2.
四、三角函数的诱导公式
1．三角函数的诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六
角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α
正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α
余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α
正切 tan α tan α －tan α －tan α — —
口诀 函数名不变符号看象限 函数名改变符号看象限
2.利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的基本步骤
→→→
记忆口诀：负角化正角，大角化小角，小角化锐角，锐角再求值．
五、三角函数的图象与性质
函数名 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R {x|x≠kπ＋，k∈Z}
值域 [－1，1] [－1，1] R
最值 当x＝2kπ＋(k∈Z)时，ymax＝1；当x＝2kπ－(k∈Z)时，ymin＝－1 当x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；当x＝2kπ＋π时，ymin＝－1 无最值
周期性 2π 2π π
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
单调性 在[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)上是增函数，在[2kπ＋，2kπ＋](k∈Z)上是减函数 在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是增函数，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是减函数 在(kπ－，kπ＋)(k∈Z)上是增函数
对称性 对称中心(kπ，0)(k∈Z)，对称轴x＝kπ＋(k∈Z) 对称中心(kπ＋，0)(k∈Z)，对称轴x＝kπ(k∈Z) 对称中心(，0)(k∈Z)，无对称轴
六、三角恒等变换
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.(C（α－β)）
cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β.(C（α＋β)）
sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β.(S（α＋β)）
sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β.(S（α－β)）
tan (α＋β)＝(T（α＋β)），tan (α－β)＝(T（α－β)）.
2．辅助角公式
a sin x＋b cos x＝sin (x＋φ)（其中cos φ＝，sin φ＝）.
3．二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin 2α＝2sin αcos α.(S2α)
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.(C2α)
tan2α＝.(T2α)
4．半角公式（实质上是二倍角的余弦公式的变形）
sin＝±，cos ＝±，
tan ＝±＝＝.
七、函数y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质
函数名 y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)
定义域 R
值域 [－A，A]
周期性 T＝
对称性 对称中心（，0）(k∈Z)
对称轴 x＝＋(k∈Z)
奇偶性 当φ＝kπ(k∈Z)时是奇函数，当φ＝kπ＋(k∈Z)时是偶函数
单调性 由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋，k∈Z，解得单调递增区间，由2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋，k∈Z，解得单调递减区间
六、三角恒等变换
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.(C(α－β))
cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β.(C(α＋β))
sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β.(S(α＋β))
sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β.(S(α－β))
tan(α＋β)＝(T(α＋β))，tan(α－β)＝(T(α－β))．
2．辅助角公式
asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)(其中cos φ＝，sin φ＝)．
3．二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin 2α＝2sin αcos α.(S2α)
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.(C2α)
tan 2α＝.(T2α)
4．半角公式(实质上是二倍角的余弦公式的变形)
sin＝±，cos＝±，
tan＝±＝＝.
七、函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质
函数名 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)
定义域 R
值域 [－A，A]
周期性 T＝
对称性 对称中心(，0)(k∈Z)
对称轴 x＝＋(k∈Z)
奇偶性 当φ＝kπ(k∈Z)时是奇函数，当φ＝kπ＋(k∈Z)时是偶函数
单调性 由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋，k∈Z，解得单调递增区间， 由2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋，k∈Z，解得单调递减区间
八、三角函数的应用
由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．
(1)先平移后伸缩
y＝sin x的图象y＝sin(x＋φ)的图象y＝sin(ωx＋φ)的图象y＝Asin(ωx＋φ)的图象．
　　 (2)先伸缩后平移
y＝sin x的图象y＝sin ωx的图象y＝sin(ωx＋φ)的图象y＝Asin(ωx＋φ)的图象．