【高考突破方案】第六章 平面向量及其应用 识记手册- 高考一轮总复习数学

一、平面向量的线性运算
1．向量加法的运算律
交换律：a＋b＝b＋a.
结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
2．向量数乘的运算律
(1)λ(μa)＝(λμ)a.
(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa.
(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.
3．(1)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线有公共点，则这两条直线重合．例如，若向量＝λ，则，共线，又与有公共点A，从而A，B，C三点共线，这是证明三点共线的重要方法．
(2)已知O，A，B是不共线的三点，且＝m＋n(m，n∈R)，A，P，B三点共线 m＋n＝1.
二、平面向量的数量积
1．平面向量数量积的性质
设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ.
(1)a⊥b a·b＝0.
(2)当a∥b时，a·b＝
(3)a·a＝|a|2或|a|＝.
(4)cos θ＝.
(5)|a·b|≤|a||b|.
2．求投影向量有两种方法
设非零向量a与b的夹角为θ，与向量b方向相同的单位向量为e，则
(1)a在b方向上的投影向量为|a|cos θ e；
(2)a在b方向上的投影向量为e.
3．平面向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律)．
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
三、平面向量的坐标运算
1．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ是实数，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)．
2．若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.
3．平面向量共线的坐标表示：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，则a∥b(b≠0)的充要条件是x1y2－x2y1＝0.
4．数量积、长度、夹角和垂直的坐标表示
已知两个非零向量a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则
(1)a·b＝x1x2＋y1y2.
(2)|a|＝，|b|＝.
(3)cos θ＝.
(4)a⊥b x1x2＋y1y2＝0(a，b为非零向量)．
四、平面向量的应用
1．余弦定理
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B，c2＝a2＋b2－2abcos C.
推论：cos A＝，cos B＝，cos C＝.
2．判断三角形的形状时，经常用到以下结论：
①△ABC为直角三角形 a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋c2.
②△ABC为锐角三角形 a2＋b2>c2且b2＋c2>a2且c2＋a2>b2.
③△ABC为钝角三角形 a2＋b2④若sin 2A＝sin 2B，则A＝B或A＋B＝.
3．正弦定理
＝＝＝2R(R为△ABC外接圆的半径)．
变形：
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C(R为△ABC外接圆的半径)．
(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝(R是△ABC外接圆的半径)．
(3)三角形的边长之比等于对应角的正弦比，即a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.
(4)＝＝＝.
(5)asin B＝bsin A，asin C＝csin A，bsin C＝csin B.
4．三角形面积公式
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B.