专题3 三角函数（教师版）-高考一轮总复习数学

专题3　三角函数
考点 考情考向 考频
三 角 函 数 三角函数的图象与性质 2022年新课标Ⅰ卷T6 2022年新课标Ⅱ卷T9 2023年新课标Ⅰ卷T15 2023年新课标Ⅱ卷T16 2024年新课标Ⅰ卷T7 2024年新课标Ⅱ卷T6、T9 3年7考
三角恒等变换 2022年新课标Ⅰ卷T18 2022年新课标Ⅱ卷T6、T18 2023年新课标Ⅰ卷T6、T8、T17 2023年新课标Ⅱ卷T7、T17 2024年新课标Ⅰ卷T4、T15 2024年新课标Ⅱ卷T13、T15 3年12考
三角函数的应用 3年0考
近三年的高考命题，本专题重点考查三角函数的基础公式及应用、三角函数的图象与性质及应用、三角恒等变换(求值)等，以容易题、中档题形式进行考查，主要考查简单的三角恒等变换能力，三角函数的解析式、图象、性质的相互转化能力，同时也渗透到解三角形、函数、导数等其他知识中考查．
从近几年高考试题来看，本章的考点为高考的考查热点，考题难度以中档题为主，常以客观题形式出现，分值为5～10分．
三角函数的客观题主要考查三角函数的求值(求角)、三角函数的图象变换、三角函数的图象与性质及应用等．运用三角函数公式进行恒等变换的技能常常渗透到解三角形模块的解答题中进行考查，近年来备受命题者的青睐．
三角函数是刻画周期现象的数学模型，是中学数学中一类重要的函数，在数学、其他学科和生产实践中有着广泛的应用，是培养学生推理能力的良好素材．在复习时应注意以下几点：
1．培养基本的三角变换技能．
三角变换是三角函数的基础，没有三角恒等变换就谈不上三角函数的图象和性质的应用，所以要立足于课本，掌握三角变换的基本公式(同角三角函数的基本关系、诱导公式、两角和与差的三角函数公式、倍角公式等基本三角函数公式)，同时要掌握变换的基本思想(统一角、统一函数、统一结构)，做到变换时方向清楚、目标明确．
2．培养三角函数的概念、图象和性质的应用技能．
三角函数的性质是学习高等数学和应用技术的基础，是解决生产实际问题的工具，因此三角函数的性质是复习的一个重点．在复习时应考虑数形结合，利用图象直观展现函数的性质，这样既有利于掌握函数的图象和性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法．
3．培养三角函数的应用意识．
三角函数是以角为自变量，又以实数为自变量的函数，它产生于实践，是客观实际的抽象，同时，又广泛地应用于客观实际，因此应树立三角函数的应用意识．
第16讲　任意角的三角函数
[课标要求]　1.了解任意角的概念．了解弧度制的概念，能进行弧度制与角度制的互化．2.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义，掌握三角函数的象限符号规律及三角函数的定义域.3.掌握扇形的弧长公式及面积公式．
　　　　　　　　　　
1．角的概念
(1)任意角：角可以看成一条射线绕它的端点旋转所成的图形．旋转开始时的射线OA叫做角的__始边__，射线的端点O叫做角的__顶点__．一条射线绕其端点按__逆__时针方向旋转形成的角叫做正角，按__顺__时针方向旋转形成的角叫做负角．如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个__零__角．
(2)象限角：把角置于直角坐标系中，使角的顶点与__原点__重合，角的始边与__x轴的非负半轴__重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．
(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合__S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}__或__S＝{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}__，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
2．弧度制
(1)定义：把长度等于__半径__长的圆弧所对的__圆心角__叫1弧度的角．以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做__弧度制__．
正角的弧度数是一个__正数__，负角的弧度数是一个__负数__，零角的弧度数是__0__．
(2)角度与弧度的换算：180°＝__π__rad，
1°＝____rad，1 rad＝__()°__．
(3)扇形的弧长和面积公式
设扇形的半径为R，弧长为l，面积为S，圆心角为α(0<α<2π)，则l＝__αR__，S＝__lR__．
3．任意角的三角函数
设α是任意一个角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)，那么，sin α＝__y__；cos α＝__x__；tan α＝____(x≠0).
　　
1．任意角的三角函数(推广)
设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么，sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0).
2．三角函数值的符号规律
三角函数 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限
sin α ＋ ＋ － －
cos α ＋ － － ＋
tan α ＋ － ＋ －
　　可概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
1．将－885°化为α＋k·360°(k∈Z，α∈[0°，360°))的形式是(　　)
A．－165°＋(－2)×360°
B．195°＋(－3)×360°
C．195°＋(－2)×360°
D．165°＋(－3)×360°
解析：B　由α∈[0°，360°]知－885°＝195°－1080°＝195°＋(－3)×360°.故选B.
2．已知角α的顶点在坐标原点，始边在x轴的正半轴上，终边与单位圆交于第二象限的点P，且点P的纵坐标为，则cos α＝(　　)
A． B．－
C． D．－
解析：D　依题意，得P(－，)，根据三角函数的定义，得cos α＝－.故选D.
3．(教材母题必修5.2.1练习T4)已知点P(tan α，cos α)在第四象限，则角α的终边在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：C　因为点P在第四象限，所以有由此可判断角α的终边在第三象限．故选C.
4．已知角α的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角α的集合是________．
解析：{α|k·360°＋45°<α观察图形可知，角α的集合是{α|k·360°＋45°<α5．(教材母题必修习题5.1T9)已知扇形的圆心角为，圆心角所对的弧长为，则该扇形的面积为________．
解析：　设扇形的弧长为l，圆心角为α，半径为r，面积为S.
由弧长公式l＝αr，可知＝r，解得r＝4，
所以扇形的面积S＝××4＝.
探究点1　任意角及其表示
【例1】 (1)(多选)下列条件中，能使α和β的终边关于y轴对称的是(　　)
A．α＋β＝180°
B．α＋β＝k·360°＋90°(k∈Z)
C．α＋β＝k·360°(k∈Z)
D．α＋β＝(2k＋1)180°(k∈Z)
(2)设角α是第三象限角，且|sin |＝－sin ，则角是第________象限角．
解析：(1)AD　假设α，β为0°～180°内的角，如图所示．
因为α，β的终边关于y轴对称，所以α＋β＝180°，所以A满足条件；
结合终边相同的角的概念，可得α＋β＝k·360°＋180°＝(2k＋1)180°(k∈Z)，所以D满足条件，B、C都不满足条件．故选AD.
(2)四　由α是第三象限角，知2kπ＋π<α<2kπ＋(k∈Z)，则kπ＋<所以是第二或第四象限角．
再由|sin |＝－sin 知sin <0，
所以只能是第四象限角．
(1)正确理解任意角的概念，既要考虑大小，还要考虑方向．
(2)正确理解象限角的概念，特别注意当终边落在坐标轴上时，这样的角是非象限角．
(3)α所在象限与所在象限的关系：
当α属于第一、第二象限时，属于第一或第三象限；
当α属于第三、第四象限时，属于第二或第四象限．
变式探究
1．已知角α的终边在图中阴影部分内，试指出角α的取值范围．
解析：{α|30°＋k·180°≤α<105°＋k·180°，k∈Z}
30°角的终边所在直线上的角的集合为
S1＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}，
180°－75°＝105°角的终边所在直线上的角的集合为
S2＝{α|α＝105°＋k·180°，k∈Z}，
因此，终边在图中阴影部分内的角α的取值范围为
{α|30°＋k·180°≤α<105°＋k·180°，k∈Z}．
2．(2024·广东佛山一模)若点A(cos θ，sin θ)关于原点对称的点为B(cos (－θ)，sin (－θ))，则θ的一个取值为__________．
解析：(答案不唯一，θ＝＋kπ，k∈Z均可)
因为A(cos θ，sin θ)和B(cos (－θ)，sin (－θ))关于原点对称．
所以θ与－θ的终边在一条直线上．
即θ＝－θ＋(2k＋1)π，k∈Z，所以θ＝＋kπ，k∈Z.
令k＝0得θ＝.
探究点2　弧度制的应用
【例2】 (1)(2024·湖南一模)出土于鲁国故城遗址的“战国出廓双龙勾云纹玉璜”(图1)的璜身雕刻勾云纹，体扁平，呈扇面状．出廓透身外耧雕“S”型双龙，造型精美．现要计算璜身面积(厚度忽略不计)，测得各项数据(图2)：AB≈8 cm，AD≈2 cm，AO≈5 cm.若sin 37°≈，π≈3.14，则璜身(即曲边四边形ABCD)面积近似为(　　)
A．6.8 cm2 B．9.8 cm2
C．14.8 cm2 D．22.4 cm2
(2)(2024·上海宝山模拟)如图所示，圆心为原点O的单位圆的上半圆周上，有一动点P(x，y)(y>0).设A(1，0)，点B是P关于原点O的对称点，分别连接PA，PB，AB，如此形成了三个区域，标记如图所示．使区域Ⅰ的面积等于区域Ⅱ、Ⅲ面积之和的点P的个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：(1)C　显然△AOB为等腰三角形，OA＝OB＝5 cm，AB＝8 cm，
则cos ∠OAB＝＝，
sin ∠OAB＝，又sin 37°≈，
所以∠OAB≈37°，
于是∠AOB＝180°－2×37°＝106°＝，
所以璜身的面积近似为∠AOB·(OA2－OD2)＝××(52－32)≈14.8(cm2).故选C.
(2)C　设射线OP对应的角为θ且θ∈(0，π)，
故区域Ⅰ的面积为2××1×1×sin θ＝sin θ，
区域Ⅱ的面积为×θ×12－×1×1×sin θ＝－sin θ，
区域Ⅲ的面积为×(π－θ)×12－×1×1×sin (π－θ)＝－sin θ.
由题设有sin θ＝－sin θ＋－sin θ，
整理得sin θ＝，因为θ∈(0，π)，
故此时θ仅有两解，故选C.
在解决扇形问题时要注意：
(1)扇形的圆心角α、弧长l、半径r之间的关系：|α|＝.
(2)扇形的面积S与圆心角α、弧长l、半径r之间的关系：S＝πr2＝lr.
(3)扇形的周长为C＝2r＋l.
变式探究
3．已知扇形的圆心角是α(α>0)，半径为R.若α＝60°，R＝10 cm，则扇形的弧长l为________cm.若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α为________弧度时，这个扇形的面积最大，最大面积是________cm2.
解析：　2　25
因为α＝60°＝rad，
所以l＝αR＝×10＝(cm).
由已知得，l＋2R＝20(cm)，
所以S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，
所以当R＝5 cm时，S取得最大值25 cm2，此时l＝10 cm，α＝2.
4．设圆O的半径为2，点P为圆周上给定一点，如图，放置边长为2的正方形ABCD(实线所示，正方形的顶点A与点P重合，点B在圆周上).现将正方形ABCD沿圆周按顺时针方向连续滚动，当点A首次回到点P的位置时，点A所走过的路径的长度为(　　)　　
A．(1－2)π B．(2＋)π
C．4π D．(3＋)π
解析：B　由图可知，圆O的半径为r＝2，正方形ABCD的边长为a＝2，
以正方形的边为弦所对的圆心角为，正方形在圆上滚动时点的顺序如图所示，
当点A首次回到点P的位置时，正方形滚动了3圈，共12次．
设第i次滚动时，点A的路程为mi，
则m1＝×|AB|＝，m2＝×|AC|＝π，
m3＝×|AD|＝，m4＝0，
因此，点A所走过的路程为3(m1＋m2＋m3＋m4)＝(2＋)π.故选B.
探究点3　任意角的三角函数
【例3】 (1)已知角α终边经过点P(x，－)(x≠0)，且cos α＝x，则tan α＝_____________.
(2)(2024·河南一模)以坐标原点为顶点，x轴非负半轴为始边的角α，其终边落在直线y＝x上，则有(　　)
A．sin α＝－
B．cos α＝
C．sin α＋cos α＝±
D．tan α＝±1
解析：(1)±　因为P(x，－)(x≠0)，
所以点P到原点的距离r＝.
又cos α＝x，所以cos α＝＝x.
因为x≠0，所以x＝±，
所以r＝2.
当x＝时，P点坐标为(，－)，由三角函数的定义，有sin α＝－，tan α＝＝－；
当x＝－时，同理可求得tan α＝.
(2)C　因为角α的终边落在直线y＝x上，故α＝＋2kπ或α＝＋2kπ，k∈Z.
对于A，当α＝＋2kπ，k∈Z时，sin α＝，A错误；
对于B，当α＝＋2kπ，k∈Z时，cos α＝－，B错误；
对于C，当α＝＋2kπ，k∈Z时，sin α＝，cos α＝，则sin α＋cos α＝，当α＝＋2kπ，k∈Z时，sin α＝－，cos α＝－，则sin α＋cos α＝－，C正确；
对于D，当α＝＋2kπ，k∈Z时，tan α＝1；当α＝＋2kπ，k∈Z时，tan α＝1.D错误．故选C.
(1)三角函数的定义有两种等价形式，其一是利用单位圆进行定义，其二是利用角的终边上一点的坐标进行定义．
(2)一个角的三角函数只与这个角的终边位置有关，利用定义求三角函数值时，要注意角的终边所在象限，当终边所在象限不定时，要注意根据终边位置分类讨论．
(3)利用单位圆的三角函数定义时，要理解角α的意义，注意角的始边及旋转方向．
变式探究
5．已知角α的终边上一点P的坐标为(sin ，cos )，则角α的最小正值为(　　)
A． B．
C． D．
解析：D　因为sin >0，cos <0，
所以角α的终边在第四象限，
根据三角函数的定义，可知sin α＝cos ＝－，
故角α的最小正值为α＝2π－＝.故选D.
6．已知角θ的终边经过点P(sin 84°，cos 84°)，则cos (θ＋24°)＝(　　)
A． B．
C．－ D．－
解析：B　r＝＝1，sinθ＝cos 84°，cos θ＝sin 84°，cos (θ＋24°)＝sin 84°cos 24°－cos 84°sin 24°＝sin 60°＝.故选B.
7．在平面直角坐标系中，点P在射线y＝x(x>0)上，点Q在过原点且倾斜角为θ(θ为锐角)的直线上．若∠POQ＝，则tan θ＝________.
解析：　设射线y＝x(x>0)的倾斜角为θ1，且<θ1<，tan θ1＝，
由题意可得θ＝θ1－，
所以tan θ＝tan (θ1－)＝＝.
1．集合A＝{α|α＝－2025°＋k·180°，k∈Z}中的最大负角α为(　　)
A．－2025° B．－225°
C．－45° D．－25°
解析：C　因为－2025°＝－45°－11×180°，所以集合A＝{α|α＝－2025°＋k·180°，k∈Z}中的最大负角α为－45°.故选C.
2．给出下列命题：
①－是第二象限角；
②是第三象限角；
③－400°是第四象限角；
④－315°是第一象限角．
其中正确命题的个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：C　因为－＝－2π＋，而是第三象限角，所以①不正确；
因为＝π＋是第三象限角，所以②正确；
因为－400°＝－360°－40°是第四象限角，所以③正确；
因为－315°＝－360°＋45°是第一象限角，所以④正确．
故②③④正确，选C.
3．若角α的终边过点P(8m，－3)，且tan α＝，则m＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
解析：A　因为tan α＝＝，所以m＝－，故选A.
4．（2024·安徽模拟预测）已知角α终边上有一点P（sin ，cos ），则π－α为(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
解析：C　已知角α终边上有一点P（sin ，cos ），即点P（，－），所以α＝－＋2kπ(k∈Z)，所以π－α＝－2kπ(k∈Z)为第三象限角．故选C.
5．（2024·贵州贵阳期末）已知集合A＝{α|2kπ＋≤α≤2kπ＋，k∈Z}，B＝{α|kπ＋≤α≤kπ＋，k∈Z}，则(　　)
A．AB B．BA
C．A＝B D．A∩B＝
解析：A　当k＝2n，n∈Z时，B＝{α|2nπ＋≤α≤2nπ＋，k∈Z}＝A，
当k＝2n＋1，n∈Z时，B＝{α|2nπ＋π＋≤α≤2nπ＋π＋，k∈Z}，所以A?B.故选A.
6．（2025·四川月考）已知扇形的圆心角为3 rad，面积为24，则该扇形的弧长为(　　)
A．4 B．4π
C．12 D．12π
解析：C　设该扇形的弧长为l，圆心角为α，半径为r，面积为S，由S＝αr2得24＝×3r2，解得r＝4，所以l＝αr＝12，故选C.
7．（多选）在平面直角坐标系中，角α的顶点在坐标原点O，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(1，m)(m<0)，则下列各式的值恒大于0的是(　　)
A． B．cos α－sin α
C．sin αcos α D．sin α＋cos α
解析：AB　由题意知，sin α<0，cos α>0，tan α<0.对于A，>0；对于B，cos α－sin α>0；对于C，sin αcos α<0；对于D，sin α＋cos α的符号不确定．故选AB.
8．（2024·全国专题练习）已知角α的终边经过点P(－x，－6)，且cos α＝－，则＋＝　　　　　Ｗ．
解析：－　因为角α的终边经过点P(－x，－6)，且cos α＝－，
所以cos α＝＝－，
解得x＝或x＝－.
因为点P的纵坐标为－6，且cos α＝－<0，所以角α的终边落在第三象限，
所以x＝，即P（－，－6），
所以sin α＝－，tan α＝＝，
所以＋＝－＋＝－.
9．（2025·重庆渝中阶段练习）已知角α的终边经过点P(1，2sin α)，则sin α的值不可能是(　　)
A． B．0
C．－ D．
解析：D　由定义，sin α＝，当sinα＝0时，符合题意；当sin α≠0时，化简得sin2α＝，由于横坐标1>0，角的终边在一、四象限，所以sinα＝±.故选D.
10．（2025·湖南九校联盟一）某机器上有相互啮合的大小两个齿轮（如图所示），大轮有50个齿，小轮有15个齿，小轮每分钟转10圈，若大轮的半径为2 cm，则大轮每秒转过的弧长是(　　)
A．12π cm B．6π cm
C． cm D． cm
解析：D　由大轮有50个齿，小轮有15个齿，小轮每分钟转10圈，得大轮每分钟转的圈数为＝3，因此大轮每秒钟转的弧度为＝，所以大轮每秒转过的弧长是×2＝ cm.故选D.
11．（多选）如图，A，B是在单位圆上运动的两个质点．初始时刻，质点A在(1，0)处，质点B在第一象限，且∠AOB＝.质点A以 rad/s的角速度按顺时针方向运动，质点B同时以 rad/s的角速度按逆时针方向运动，则(　　)
A．经过1 s后，扇形AOB的面积为
B．经过2 s后，劣弧的长为
C．经过6 s后，质点B的坐标为（－，）
D．经过 s后，质点A，B在单位圆上第一次相遇
解析：BD　对于A，由题意可知，经过1 s后，∠AOB＝－（－）＋＝，
所以此时扇形AOB的面积为α·r2＝××12＝，A错误；
对于B，经过2 s后，∠AOB＝－2×（－）＋2×＝，
所以此时劣弧的长为αr＝，B正确；
对于C，经过6 s后，质点B转过的角度为6×＝，结合题意，此时质点B为角＋＝的终边与单位圆的交点，所以质点B的坐标为（－，），C错误；
对于D，经过 s后，质点B转过的角度为×＝，质点A转过的角度为×（－）＝－，因为－（－）＋＝2π，所以经过 s后，质点A，B在单位圆上第一次相遇，D正确．故选BD.
12．以Ox为始边作锐角α，角α的终边与单位圆交于点P(x1，y1).将角α的终边逆时针旋转得到角β，角β的终边与单位圆相交于点Q(x2，y2)，则y1＋y2的取值范围为　　　　　　　.
解析：（，]　根据三角函数的定义得y1＝sin α，α∈（0，），
由于角α的终边逆时针旋转得到角β，
故β＝α＋，所以y2＝sin β＝sin （α＋），
所以y2＋y1＝sin （α＋）＋sin α＝sin α＋cos α＝sin （α＋），
因为α∈（0，），所以α＋∈（，），
所以sin （α＋）∈（，1]，即y1＋y2∈（，].
13．如图，设单位圆与x轴的正半轴相交于点A(1，0)，以x轴的非负半轴为始边作锐角α，β，α－β，它们的终边分别与单位圆相交于点P1，A1，P.若α＝，β＝，则扇形OA1P1的面积为　　　　；若α＝，β＝，则四边形OAPA1的面积为　　　　.
解析：　
由题意，得圆的半径r＝1，∠AOP1＝α，∠AOA1＝β，∠AOP＝α－β.
因为α＝，β＝，
所以∠P1OA1＝α－β＝－＝，
所以扇形OA1P1的面积S＝××12＝.
因为α＝，β＝，
∠AOP＝α－β＝，∠A1OP＝－＝，
S四边形OAPA1＝S△OAP＋S△OA1P＝×1×1×sin (α－β)＋×1×1×sin ＝sin （－）＋＝.
14．（2024·江西阶段练习）如图，已知两质点A，B同时从点P出发，绕单位圆逆时针做匀速圆周运动，质点A，B运动的角速度分别为3 rad/s和5 rad/s，设两质点运动x s时这两质点间的距离为f(x).
则f(x)的解析式为________________________________________________________________________；
这两质点从点P出发后第n次相遇的时间xn（单位：s）为　　　　　　　　　　Ｗ．
解析：f(x)＝2|sin x|(x≥0)　xn＝nπ(n∈N*)
由质点A，B运动的角速度分别为3 rad/s和5 rad/s，
得x s时质点A，B的坐标分别为(cos 3x，sin 3x)，(cos 5x，sin 5x)，
则f(x)＝
＝
＝＝2|sin x|，
所以f(x)的解析式为f(x)＝2|sin x|(x≥0).
因为两质点从点P出发后每相遇一次即对应函数f(x)的一个零点，
因此xn为f(x)在区间(0，＋∞)上第n个零点，
由f(xn)＝2|sin xn|＝0，得sin xn＝0，
解得xn＝nπ(n∈N*)，
所以两质点从点P出发后第n次相遇的时间xn＝nπ(n∈N*)(s).
第17讲　同角三角函数的基本关系与诱导公式
[课标要求]　1.理解并掌握正弦、余弦及正切的诱导公式和同角三角函数的基本关系式．2.借助单位圆的对称性，利用定义推导诱导公式.3.能运用诱导公式及同角三角函数关系进行有关化简和求值．
　　　　　　　　　　
1．同角三角函数的基本关系式
平方关系：__sin2α＋cos2α＝1__．
商数关系：__tan α＝__．
2．诱导公式
公式一：(其中k∈Z)
sin (2kπ＋α)＝__sin_α__，cos (2kπ＋α)＝__cos_α__，tan (2kπ＋α)＝__tan_α__．
公式二：
sin (π＋α)＝__－sin_α__，cos (π＋α)＝__－cos_α__，tan (π＋α)＝__tan_α__．
公式三：
sin (－α)＝__－sin_α__，cos (－α)＝__cos_α__，tan (－α)＝__－tan_α__．
公式四：
sin (π－α)＝__sin_α__，cos (π－α)＝__－cos_α__，tan (π－α)＝__－tan_α__．
公式五：
sin (－α)＝__cos_α__，cos (－α)＝__sin_α__．
公式六：
sin (＋α)＝__cos_α__，cos (＋α)＝__－sin_α__．
　　
1．同角三角函数关系的常用变形
(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α＝1±sin 2α.
(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2.
(sin α＋cos α)2－(sin α－cos α)2＝4sin αcos α＝2sin 2α.
2．诱导公式的记忆
(1)2kπ＋α(k∈Z)，－α，π±α，2π－α的三角函数等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．
(2)±α，±α的正弦(余弦)函数值等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．
可利用口诀“奇变偶不变，符号看象限”进行记忆．
1．(教材母题必修习题5.2T6)已知角α∈(－，0)，cos α＝，则tan α＝(　　)
A．－ B．－
C． D．－
解析：B　因为α∈(－，0)，所以sin α<0，
所以sin α＝－＝－，tan α＝＝－.故选B.
2．若cos (＋x)＝，则sin (－x)＝(　　)
A． B．－
C． D．－
解析：C　因为－x＝－(＋x)，
所以sin (－x)＝sin [－(＋x)]＝cos (＋x)＝.故选C.
3．sin 300°cos 600°＝(　　)
A． B．
C．－ D．－
解析：B　sin 300°cos 600°＝sin (360°－60°)cos (720°－120°)＝sin (－60°)cos (－120°)＝(－)×(－)＝，故选B.
4．(2024·辽宁三模)已知tan α＝，则＝________．
解析：3　
＝＝＝＝3.
5．(教材母题必修习题5.2T17)若＝，则＝________．
解析：　由＝知1－cos x≠0，
所以＝
＝
＝
＝＝.
　　　　　　　　　　
探究点1　同角三角关系的应用
【例1】 (1)(教材母题必修习题5.2T15改编)已知tan α＝2，则＝________；＋＝________.
(2)已知A为三角形的内角，且sin A＋cos A＝，则tan A＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
解析：(1)　10
因为tan α＝2，
所以＝＝＝.
因为tan α＝2，
所以＋
＝
＝＝＝
＝2tan2α＋2＝10.
(2)A　因为sinA＋cos A＝，
所以(sin A＋cos A)2＝()2，
计算得2sin A cos A＝－<0，
又A为三角形的内角，
所以sin A>0，cos A<0，
从而(sin A－cos A)2＝1－2sin A cos A＝，
所以sin A－cos A＝，
所以sin A＝，cos A＝－，
所以tan A＝＝－，故选A.
利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以实现角α的弦切互化，如果没有给出角的范围，则要分类讨论．应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．所求式是关于sin α，cos α的齐次式时，分子分母同除以cos α，可化成tan α的函数式求值．
变式探究
1．已知cos α＝－，则13sin α＋5tan α＝________．
解析：0　因为cos α＝－<0且cos α≠－1，所以α是第二或第三象限角．
①若α是第二象限角，
则sin α＝＝＝，
所以tan α＝＝＝－.
此时13sin α＋5tan α＝13×＋5×(－)＝0.
②若α是第三象限角，
则sin α＝－＝－＝－，
所以tan α＝＝＝，
此时，13sin α＋5tan α＝13×(－)＋5×＝0.
综上，13sin α＋5tan α＝0.
2．若＝，则sin2α－sin αcos α－3cos2α＝(　　)
A． B．
C． D．
解析：C　由＝可知cos α≠0，
所以＝＝，
所以tan α＝－3，
所以sin2α－sin αcos α－3cos2α
＝
＝＝＝.
故选C.
探究点2　诱导公式的应用
【例2】(1)计算：sin (－1395°)cos 1110°＋cos (－1020°)sin 750°.
(2)已知f(α)＝(sin α≠0且1＋2sin α≠0)，则f(－)＝________.
解析：(1)原式＝sin (－4×360°＋45°)·cos (3×360°＋30°)＋cos (－3×360°＋60°)·sin (2×360°＋30°)
＝sin 45°cos 30°＋cos 60°sin 30°
＝×＋×
＝＋＝.
(2)　因为
f(α)＝
＝
＝
＝
＝，
所以f(－)＝
＝＝＝.
(1)应用诱导公式时，需要准确记忆和运用诱导公式，理解“奇变偶不变，符号看象限”是关键．
(2)求任意角的三角函数时，一般用诱导公式将其变换为锐角的三角函数进行求解．其一般步骤是“去负—脱周—化锐”．
变式探究
3．(多选)已知sin (＋α)＝，则下列结论正确的是(　　)
A．cos (＋α)＝ B．cos (－α)＝
C．sin (＋α)＝ D．cos (－α)＝－
解析：BD　由sin (＋α)＝，
可得cos (＋α)＝±，
cos (－α)＝cos [－(＋α)]＝sin (＋α)＝，
sin (＋α)＝sin (π＋＋α)＝－sin (＋α)＝－，
cos (－α)＝cos (π＋－α)＝－cos (－α)＝－.故选BD.
4．已知角x的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，角x的终边经过点P(3，4).则tan (－6π＋α)＝__________；·sin (α－2π)·cos (2π＋α)＝__________．
解析：　
由已知得tan α＝，所以tan (－6π＋α)＝tan α＝.
因为r＝＝5，则sin α＝，cos α＝，
故·sin (α－2π)·cos (2π＋α)＝·sin α·cos α＝sin2α＝()2＝.
探究点3　诱导公式与同角关系的综合应用
【例3】(1)已知cos (＋α)＝，则cos (－α)＝________.
(2)若sin 10°＝a sin 100°，则sin 20°＝(　　)
A． B．－
C． D．－
(3)(多选)已知锐角三角形ABC，则下列说法正确的是(　　)
A．sin A＋sin B＋sin CB．tan A＋tan B＋tan C>0
C．sin A＝，tan B＝3，则AD．cos A＋cos B<
解析：(1)－　因为cos (＋α)＝，
所以cos (－α)＝cos [π－(＋α)]＝－cos (＋α)＝－.
(2)C　由题意可知a>0，sin 10°＝a sin 100°＝a sin (90°＋10°)＝a cos 10°，
sin210°＋cos210°＝1，
解得sin10°＝，cos 10°＝.
sin 20°＝2sin 10°cos 10°
＝2××＝.故选C.
(3)BCD　对于A，取A＝B＝C＝，则sin A＋sin B＋sin C>cos A＋cos B＋cos C，A错误；
对于B，由于△ABC是锐角三角形，故tan A>0，tan B>0，tan C>0，故tan A＋tan B＋tan C>0，B正确；
对于C，锐角三角形ABC中，由sin A＝知cos A＝，故tan A＝，则tan A对于D，△ABC是锐角三角形，故A＋B>，所以B>－A，故cos A＋cos B1．利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形．
2．注意角的范围对三角函数值符号的影响．
变式探究
5．已知α为锐角，且2tan (π－α)－3cos (＋β)＋5＝0，tan (π＋α)＋6sin (π＋β)－1＝0，则sin α＝(　　)
A． B．
C． D．
解析：C　由已知得
消去sin β，得tan α＝3，
所以sin α＝3cos α，代入sin2α＋cos2α＝1，
化简得sin2α＝，又α为锐角，则sin α＝.故选C.
6．(2025·江苏南通期末)已知x∈[0，]，sin x＋cos x＝，则tan (x－)＝(　　)
A．3 B．－3
C．－ D．2
解析：A　因为sin x＋cos x＝，
所以sin (x＋)＝，所以sin (x＋)＝，
又x∈[0，]，所以x＋∈[，]，
所以cos (x＋)＝＝，
所以tan(x＋)＝3，
故tan (x－)＝tan [(x＋)－π]＝tan (x＋)＝3.故选A.
　
1．若α∈（，π），sin (π－α)＝，则tan α＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
解析：C　因为sin (π－α)＝sin α＝，α∈（，π），所以cos α＝－＝－，所以tanα＝－.
2．tan 300°＋＝(　　)
A．1＋ B．1－
C．－1－ D．－1＋
解析：B
原式＝tan (360°－60°)＋
＝－tan 60°＋＝1－.
3．已知tan α＝2，则＝(　　)
A． B．
C． D．2
解析：B　因为tan α＝2，
所以＝＝＝.故选B.
4．（多选）若sin α＝，且α为锐角，则下列说法正确的是(　　)
A．tan α＝
B．cos α＝
C．sin α＋cos α＝
D．sin α－cos α＝－
解析：AB　因为sin α＝，且α为锐角，
所以cos α＝＝＝，B正确；
所以tanα＝＝＝，A正确；
sin α＋cos α＝＋＝≠，C错误；
sin α－cos α＝－＝≠－，D错误．
5．（2024·江苏无锡模拟）已知sin α＋cos α＝－，则＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
解析：B　因为sin α＋cos α＝－，
所以(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝，
所以sin αcos α＝－，
所以＝＝＝＝＝，故选B.
6．sin 613°＋cos 1063°＋tan (－30°)的值为　　　　　Ｗ．
解析：－　由三角函数的诱导公式，可得
sin 613°＋cos 1063°＋tan (－30°)
＝sin (540°＋73°)＋cos (1080°－17°)－tan 30°
＝－sin 73°＋cos (－17°)－tan 30°
＝－cos 17°＋cos 17°－＝－.
7．已知cos α＝，－<α<0，则的值为________________________________________________________________________．
解析：　＝＝－.
因为cos α＝，－<α<0，
所以sin α＝－.
所以原式＝－＝－＝.
8．化简：＝　　　　　.
解析：－1　
＝
＝
＝＝－1.
9．若A，B是锐角△ABC的两个内角，则点P(cos B－sin A，sin B－cos A)在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：B　因为△ABC是锐角三角形，
所以A＋B>，
所以>A>－B>0，>B>－A>0，
所以sin A>sin （－B）＝cos B，sin B>sin （－A）＝cos A，
所以cos B－sin A<0，sin B－cos A>0，
所以点P在第二象限．故选B.
10．（多选）（2024·辽宁模拟预测）设α为第一象限角，cos （α－）＝，则(　　)
A．sin （－α）＝－
B．cos （α＋）＝－
C．sin （－α）＝－
D．tan （－α）＝－2
解析：BD　由题意得2kπ<α<＋2kπ，k∈Z，
则2kπ－<α－<＋2kπ，k∈Z.
若α－在第四象限，
则cos （α－）>cos ＝>，与题设条件矛盾，
所以α－也是第一象限角，
所以sin （α－）＝.
sin （－α）＝sin （＋－α）＝cos （－α）＝cos （α－）＝，A错误；
cos （α＋）＝cos （α－＋π）＝－cos （α－）＝－，B正确；
sin （－α）＝sin （＋－α）＝－cos （－α）＝－cos （α－）＝－，C错误；
tan （－α）＝－tan （α－）＝－＝－2，D正确．故选BD.
11．若sin θ，cos θ是方程4x2＋2mx＋m＝0的两根，则m的值为　　　　　　Ｗ．
解析：1－
由题意得且Δ＝4m2－16m≥0.
又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，
所以＝1＋，所以m＝1±.
由Δ＝4m2－16m≥0，得m≤0或m≥4，
所以m＝1－.
12．已知sin （α＋）＝，则sin （－α）＋sin2（－α）＝　　　　Ｗ．
解析：　因为（α＋）＋（－α）＝π，（α＋）＋（－α）＝，
所以sin（－α）＝sin [π－（α＋）]＝sin （α＋）＝，cos （－α）＝cos [－（α＋）]＝sin （α＋）＝，
所以sin （－α）＋sin2（－α）＝＋1－cos2（－α）＝－（）2＝.
13．（2024·山西模拟预测）已知α，β，γ均是锐角，设sinαcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α的最大值为tan θ，则sin θ(sin θ＋cos θ)＝(　　)
A． B．
C．1 D．
解析：B　由基本不等式可得
sin αcos β≤，
sinβcos γ≤，
sinγcos α≤，
三式相加，可得
sinαcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α≤，
当且仅当α，β，γ均为时等号成立，所以tan θ＝，
则sin θ(sin θ＋cos θ)＝＝＝.故选B.
14．已知函数f(x)＝－，其中α为第三象限角且f(α)＝－，则＝________________________________________________________________________；
＝　　　　　Ｗ．
解析：－　
由题意可得
f(x)＝－
＝－
＝－＝，
因为α为第三象限角，则f(α)＝＝－2tan α＝－，即tan α＝.
所以
＝＝＝
＝－.
＝
＝
＝＝.
第18讲　两角和与差的正弦、余弦和正切公式，二倍角公式
[课标要求]　1.经历推导两角差的余弦公式，知道两角差的余弦公式的意义.2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.3.能运用三角函数公式进行简单的恒等变换．
　　　　　　　　　　
1．两角和与差的余弦C(α±β)
cos (α＋β)＝__cos_αcos_β－sin_αsin_β__．
cos (α－β)＝__cos_αcos_β＋sin_αsin_β__．
2．两角和与差的正弦S(α±β)
sin (α＋β)＝__sin_αcos_β＋cos_αsin_β__．
sin (α－β)＝__sin_αcos_β－cos_αsin_β__．
3．两角和与差的正切T(α±β)
tan (α＋β)＝____．
tan (α－β)＝____．
4．二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin 2α＝__2sin_αcos_α__；
cos 2α＝__cos2α－sin2α__
＝1－__2sin2α__
＝__2cos2α__－1；
tan2α＝____．
1．辅助角公式
a sin α＋b cos α＝sin (α＋φ)，
其中cos φ＝，sin φ＝.
2．T(α±β)的常用变形
tan α＋tan β＝tan (α＋β)(1－tan αtan β).
tan α－tan β＝tan (α－β)(1＋tan αtan β).
1．(教材母题必修5.5.1练习T3改编)已知sin (α－)＝2sin α，则tan 2α＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
解析：A　由sin (α－)＝－cos α＝2sin α，
可得tan α＝－，故tan 2α＝＝－.故选A.
2．(2025·广东肇庆阶段练习)cos50°cos 70°＋sin 50°cos 160°＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
解析：C　原式
＝cos 50°cos 70°＋sin 50°cos (90°＋70°)
＝cos 50°cos 70°－sin 50°sin 70°
＝cos (50°＋70°)＝cos 120°＝－.故选C.
3．(教材母题必修5.5.1练习T2改编)若sin (＋θ)＝－，则sin 2θ＝(　　)
A． B．
C．－ D．－
解析：D　由sin (＋θ)＝－，可得sin (＋θ)＝，
所以sin 2θ＝－cos (2θ＋)＝2sin2(θ＋)－1＝－1＝－.故选D.
4．(2024·新课标Ⅰ卷)已知cos(α＋β)＝m，tan αtan β＝2，则cos (α－β)＝(　　)
A．－3m B．－
C． D．3m
解析：A　因为cos (α＋β)＝m，
所以cos αcos β－sin αsin β＝m，
而tan αtan β＝2，
所以sin αsin β＝2cos αcos β，
故cos αcos β－2cos αcos β＝m，即cos αcos β＝－m，
从而sin αsin β＝－2m，故cos (α－β)＝－3m，故选A.
5．(教材母题必修复习参考题5T12)tan 10°＋tan 50°＋tan 10°tan 50°＝________.
解析：　因为tan 60°＝tan (10°＋50°)＝，
所以tan 10°＋tan 50°
＝tan 60°(1－tan 10°tan 50°)
＝－tan 10°tan 50°，
所以原式＝－tan 10°tan 50°＋tan 10°tan 50°＝.
　　　　　　　　　　
探究点1　两角和与差公式及应用
【例1】 (1)＝(　　)
A． B．
C．－ D．－
(2)已知α，β均为锐角，cos (α＋β)＝－，sin (β＋)＝，则cos (α－)＝(　　)
A． B．－
C． D．或
(3)(2024·河南三模)若sin (α－β)＝，且tan α＝2tan β，则sin (α＋β)＝(　　)
A． B．
C． D．
解析：(1)B　原式＝＝＝tan (45°＋15°)＝，故选B.
(2)C　因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)，β＋∈(，)，
所以sin (α＋β)>0，cos (β＋)∈(－，)，
因为cos (α＋β)＝－，
所以sin (α＋β)＝，
又因为sin (β＋)＝，
所以cos (β＋)＝－(舍去)，
所以cos (α－)＝cos [(α＋β)－(β＋)]
＝cos (α＋β)cos (β＋)＋sin (α＋β)sin (β＋)
＝－×(－)＋×＝.故选C.
(3)D　因为sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝，
又tan α＝2tan β，即＝，
则sin αcos β＝2cos αsin β，
所以sin αcos β＝，cos αsin β＝，
故sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝＋＝.故选D.
在三角函数的求值、化简时，注意观察函数名、所求角与已知角之间的差异，再选择适当的三角公式恒等变换．求角问题的关键在于选择恰当的三角函数，选择的标准是在角的范围内根据函数值，确定角的值，避免增解．在进行简单的三角恒等变换时，既要注意公式“正用”，又要注意公式“逆用”．
变式探究
1．(教材母题必修复习参考题5T15)已知cos α－cos β＝，sin α－sin β＝，则cos (α－β)＝________.
解析：　由cos α－cos β＝，sin α－sin β＝，
得(cos α－cos β)2＝，(sin α－sin β)2＝，
所以cos2α＋cos2β＋sin2α＋sin2β－2(cosαcos β＋sin α·sin β)＝，
即2－2cos (α－β)＝ cos (α－β)＝.
2．(2024·江西九江三模)若2sin (α＋)＝cos (α－)，则tan (α－)＝(　　)
A．－4－ B．－4＋
C．4－ D．4＋
解析：C　令β＝α－，则α＝β＋，
所以由2sin (α＋)＝cos (α－)，
得2sin (β＋)＝cos (β－)，
即2cos β＝cos β＋sin β，
即sin β＝(4－)cos β，得tan β＝4－，
所以tan (α－)＝tan β＝4－，故选C.
3．若0<α<，0<β<，sin (－)＝，cos (－)＝，则cos ＝(　　)
A． B．
C． D．
解析：B　因为0<α<，0<β<，
所以<－<，－<－<－.
因为sin (－)＝，
所以cos (－)＝.
因为cos (－)＝，
所以sin (－)＝－.
所以cos ＝cos [(－)＋(－)]
＝cos (－)cos (－)－sin (－)·sin (－)
＝×－(－)×＝.故选B.
探究点2　二倍角公式及应用
【例2】 (1)已知α∈(－，)，cos (α＋)＝，则sin (2α＋)＝(　　)
A． B．
C． D．－
(2)(2024·辽宁一模)若tan 2α＝，则＝(　　)
A．－或2 B．－2或
C．2 D．－
(3)已知α，β均为锐角，cos α＝，sin β＝，则cos 2α＝________，2α－β＝________．
解析：(1)C　由α∈(－，)，
可得α＋∈(－，)，
又cos (α＋)＝<＝cos ，
所以α＋∈(，)，
所以sin (α＋)＝＝，
所以sin (2α＋)＝2sin (α＋)cos (α＋)＝.故选C.
(2)C　tan 2α＝ ＝ tan α＝或－2，
＝
＝＝，
代入tan α求得值均为2.故选C.
(3)　
因为cos α＝，
所以cos 2α＝2cos2α－1＝.
又因为α，β均为锐角，sin β＝，
所以sin α＝，cos β＝，
因此sin 2α＝2sin αcos α＝，
所以sin (2α－β)＝sin 2αcos β－cos 2αsin β＝×－×＝.
因为α为锐角，所以0<2α<π.
又cos 2α>0，所以0<2α<，
又β为锐角，所以－<2α－β<，
又sin (2α－β)＝，所以2α－β＝.
三角函数式的恒等变换要注意以下三点：①看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；②看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；③看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”“遇到根式一般要升幂”．
变式探究
4．已知α∈(，)，且sin (α＋)＝，则cos (2α－)＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
解析：B　因为α∈(，)，
所以α＋∈(，π)，
则cos (α＋)＝－＝，
因为2(α＋)－(2α－)＝，
所以cos(2α－)＝cos [2(α＋)－]
＝sin [2(α＋)]＝2sin (α＋)cos (α＋)
＝2××(－)＝－，故选B.
5．已知tan α＝－3，则sin 2α－2cos 2α＝(　　)
A．－ B．－1
C．1 D．2
解析：C　因为tan α＝－3，
所以sin 2α－2cos 2α＝2sin αcos α－2cos2α＋2sin2α
＝
＝
＝＝1.故选C.
6．已知α，β为锐角，tan(α＋)＝，tan (－β)＝，则tan (α＋2β)＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
解析：A　因为tan (－2β)＝tan [2(－β)]＝＝＝，
所以tan(α＋2β)＝tan [(α＋)－(－2β)]＝＝＝－.故选A.
探究点3　三角公式的综合运用
【例3】 (1)(2023·新课标Ⅰ卷)已知sin (α－β)＝，cos αsin β＝，则cos (2α＋2β)＝(　　)
A． B．
C．－ D．－
(2)(2024·辽宁丹东二模)已知sin α＋sin (α＋)＝，则cos (2α＋)＝(　　)
A． B．－
C． D．－
(3)已知3cos 2α－4sin2β＝1，3sin2α－2sin 2β＝0，且α为锐角，则sin α＝(　　)
A． B．
C． D．
解析：(1)B　因为sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝，而cos αsin β＝，因此sin αcos β＝，
则sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝，
所以cos (2α＋2β)＝cos [2(α＋β)]＝1－2sin2(α＋β)＝1－2×()2＝.故选B.
(2)A　(方法1)由sin α＋sin (α＋)＝，
得sin [(α＋)－]＋sin [(α＋)＋]＝，
得sin (α＋)cos －cos (α＋)sin ＋sin (α＋)·cos ＋cos (α＋)sin ＝，
得sin (α＋)＝，所以sin (α＋)＝，
所以cos (2α＋)＝1－2sin2(α＋)＝.故选A.
(方法2)将sin α＋sin (α＋)＝展开得
sin α＋sin αcos ＋cos αsin ＝，
整理得sin α＋cos α＝，
即sin (α＋)＝，
所以cos (2α＋)＝1－2sin2(α＋)＝.故选A.
(3)A　由3cos2α－4sin2β＝1，及sin2β＝得
3cos 2α＋2cos 2β＝3，①
由3sin 2α－2sin 2β＝0，
得(3sin 2α－2sin 2β)(3sin 2α＋2sin 2β)＝0，
则9sin22α－4sin22β＝0，
从而有9cos22α－4cos22β＝5，
得(3cos2α－2cos 2β)(3cos 2α＋2cos 2β)＝5，
得3cos 2α－2cos 2β＝.②
由①②解得cos 2α＝，则1－2sin2α＝，
因为α为锐角，所以sin α＝.故选A.
(1)三角函数式的变形要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征．
(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点．
变式探究
7．(2025·四川绵阳阶段练习)已知x∈[0，]，sin x＋cos x＝，则tan (x－)＝________．
解析：3　sin x＋cos x＝sin (x＋)＝，
故sin (x＋)＝，
由x∈[0，]，则x＋∈[，]，
故cos (x＋)＝＝，
tan (x－)＝tan (x－＋π)＝tan (x＋)＝＝＝3.
8．(2024·新课标Ⅱ卷)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan α＋tan β＝4，tan αtan β＝＋1，则sin (α＋β)＝________．
解析：－　(方法1)由题意得tan (α＋β)＝＝＝－2，
因为α∈(2kπ，2kπ＋)，β∈(2mπ＋π，2mπ＋)，k，m∈Z，
则α＋β∈((2m＋2k)π＋π，(2m＋2k)π＋2π)，k，m∈Z，
又因为tan (α＋β)＝－2<0，
则α＋β∈((2m＋2k)π＋，(2m＋2k)π＋2π)，k，m∈Z，则sin (α＋β)<0，
则＝－2，
联立sin2(α＋β)＋cos2(α＋β)＝1，
解得sin(α＋β)＝－.
(方法2)因为α为第一象限角，β为第三象限角，则cos α>0，cos β<0，
cos α＝＝，
cos β＝＝，
则sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β
＝cos αcos β(tan α＋tan β)
＝4cos αcos β＝
＝
＝＝－.
　　　
1．sin20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
解析：D　原式＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝.
2．已知sin α＝，且α∈（，π），那么sin 2α＝(　　)
A． B．－
C． D．－
解析：D　因为sin α＝，α∈（，π），
所以cos α＝－＝－，
所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××（－）＝－.故选D.
3．若tan α＝，则cos 2α＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
解析：D　因为tan α＝，
所以cos 2α＝＝＝＝.故选D.
4．＝(　　)
A． B．
C．1 D．
解析：A　＝＝tan (45°＋15°)＝tan 60°＝.
5．已知<β<α<π，cos (α－β)＝，sin (α＋β)＝－，则sin 2α＝(　　)
A． B．－
C． D．－
解析：B　因为<β<α<π，
所以0<α－β<，π<α＋β<，
又cos (α－β)＝，sin (α＋β)＝－，
所以sin (α－β)＝，cos (α＋β)＝－，
sin 2α＝sin (α－β＋α＋β)
＝sin (α－β)cos (α＋β)＋cos (α－β)sin (α＋β)
＝×（－）＋×（－）＝－，故选B.
6．（2024·安徽合肥三模）已知2sin α＝1＋2cos α，则sin （2α－）＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
解析：D　由2sin α＝1＋2cos α，
得4（sin α－cos α）＝1，
即sin（α－）＝，
所以sin （2α－）＝sin [＋2（α－）]＝cos 2（α－）＝1－2sin2（α－）＝，故选D.
7．已知sinα＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin (α＋β)＝　　　　　.
解析：－　因为sin α＋cos β＝1，①
cos α＋sin β＝0，②
所以①2＋②2得
1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＋1＝1，
所以sin αcos β＋cos αsin β＝－，
所以sin (α＋β)＝－.
8．已知α为锐角，β为钝角，且cos α＝，tan β＝－3，则α＋β的值为　　　　　Ｗ．
解析：π　由α为锐角且cos α＝，
得sin α＝＝，
则tanα＝＝，
则tan (α＋β)＝
＝＝－1，
又α∈（0，），β∈（，π），则α＋β∈（，），得α＋β＝.
9．（2024·四川巴中模拟预测）已知＝2，则tan θ＝(　　)
A．1 B．2
C．3 D．
解析：B　因为＝2，
所以＝2，
所以＝2，
所以tan θ＝2.故选B.
10．（多选）下列三角式中，值为1的是(　　)
A．4sin 15°cos 15° B．2（cos2－sin2）
C． D．
解析：ABC　对于A，4sin 15°cos 15°＝2sin 30°＝2×＝1，A正确．
对于B，2（cos2－sin2）＝2cos＝2×＝1，B正确．
对于C，＝tan45°＝1，C正确．
对于D，＝＝≠1，D错误．故选ABC.
11．（2024·山东菏泽模拟预测）已知α，β∈（0，），sin (2α＋β)＝2sin β，tan α＝，则tan (α＋β)＝　　　　Ｗ．
解析：2　由sin (2α＋β)＝2sin β，
得sin [(α＋β)＋α]＝2sin [(α＋β)－α]，
即sin (α＋β)cos α＋cos (α＋β)sin α＝2sin (α＋β)cos α－2cos (α＋β)sin α，
整理得sin (α＋β)cos α＝3cos (α＋β)sin α.
由α，β∈（0，），得α＋β∈(0，π)，
则cos α>0，sin (α＋β)>0，cos (α＋β)≠0，
于是＝，又tan α＝，
所以tan (α＋β)＝3tan α＝2.
12．已知α，β为锐角，tan α＝，cos (α＋β)＝－，则cos 2α＝　　　　　，tan (α－β)＝　　　　　Ｗ．
解析：－　－
①因为tan α＝，tan α＝，
所以sin α＝cos α.
因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝，
因此cos2α＝2cos2α－1＝－.
②因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π).
又因为cos(α＋β)＝－，
所以sin (α＋β)＝＝，
因此tan(α＋β)＝－2.
因为tan α＝，所以tan 2α＝＝－，
因此tan(α－β)＝tan [2α－(α＋β)]＝＝－.
13．设α，β∈[0，π]，且满足sin αcos β－cos α·sin β＝1，则sin (2α－β)＋sin (α－2β)的取值范围为　　　　　Ｗ．
解析：[－1，1]　由sin αcos β－cos αsin β＝1，得sin (α－β)＝1，
又α，β∈[0，π]，所以－π≤α－β≤π，所以α－β＝，
所以即≤α≤π，
所以sin (2α－β)＋sin (α－2β)
＝sin （2α－α＋）＋sin (α－2α＋π)
＝cos α＋sin α
＝sin （α＋）.
因为≤α≤π，所以≤α＋≤，
所以－1≤sin （α＋）≤1，即sin (2α－β)＋sin (α－2β)的取值范围为[－1，1].
14．若θ＝θ0时，f(θ)＝sin 2θ－cos2θ取得最大值，则sin（2θ0＋）＝　　　　.
解析：
f(θ)＝sin 2θ－cos2θ
＝sin2θ－(1＋cos 2θ)
＝sin 2θ－cos 2θ－
＝（sin 2θ－cos 2θ）－
＝sin (2θ－φ)－，
其中cos φ＝，sin φ＝，
当f(θ)取最大值时，2θ0－φ＝＋2kπ，k∈Z，
所以2θ0＝φ＋＋2kπ，k∈Z，
sin 2θ0＝sin （φ＋＋2kπ）＝cos φ＝，
cos 2θ0＝cos （φ＋＋2kπ）＝－sin φ＝－，
所以sin （2θ0＋）＝×＋（－）×＝.
第19讲　简单的三角恒等变换
[课标要求]　1.能运用两角和与差的三角公式及二倍角公式进行简单的三角恒等变换．2.能根据三角函数式的结构特点选择公式变形，培养灵活选择和运用公式的能力．
　　　　　　　　　　
1．三角函数求值
(1)给角求值是将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值．
(2)给值求值的关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系．
2．三角函数化简
(1)角的变换：观察各角之间的和、差、倍、半关系，减少角的种类，化异角为同角．
(2)函数名称的变换：观察、比较名称上的差异，采用切化弦或弦化切等手段，实现异名化同名．
(3)常数的变换：如1＝sin2α＋cos2α＝tan，＝sin 等．
(4)次数变换：常用方式是升次或降次，主要公式是二倍角余弦公式及其逆向使用．如sin2α＝，cos2α＝等．
(5)结构变换：通过重组、移项、变除为乘或求差等实现结构的变换．
3．三角恒等式的证明
证明三角恒等式的基本思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变形，然后化繁为简、左右归一，或用变更命题的方法，使两端化异为同．
1．降幂公式：cos2α＝，sin2α＝.
2．升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α.
3．半角公式：sin2＝；
cos2＝；
tan2＝；
tan ＝＝.
1．(教材母题必修5.5.1练习T4改编)已知tan (α＋)＝2，则tan α＝(　　)
A． B．－
C． D．－
解析：A　由tan (α＋)＝＝2，解得tan α＝.故选A.
2．(2025·吉林松原期末)若cos (＋θ)＝，则sin 2θ＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
解析：C　由题得cos θ－sin θ＝，所以cos θ－sin θ＝，
两边平方得1－sin 2θ＝，所以sin 2θ＝.故选C.
3．化简＋的结果是(　　)
A．cos 10° B．sin 10°
C．2sin 10°＋cos 10° D．2cos 10°－sin 10°
解析：D　原式＝＋
＝＋
＝cos 10°＋cos 10°－sin 10°
＝2cos 10°－sin 10°.故选D.
4．(2024·河北石家庄期末)已知＝，则tan ＝________．
解析：　因为＝＝＝，且＝，所以tan ＝.
5．在平面直角坐标系Oxy中，角θ的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点(，)，则cos (2θ＋)＝________．
解析：－1　由题知cos θ＝，sin θ＝，
则cos 2θ＝2cos2θ－1＝－，sin2θ＝2sin θcos θ＝，
所以cos (2θ＋)＝cos 2θ×－sin 2θ×＝－1.
　　　　　　　　　　
探究点1　三角函数的化简与证明
【例1】 (1)化简：
(0＜θ＜π).
(2)证明：＋＝tan 3x－tan x.
解析：(1)由θ∈(0，π)，得0＜＜，
所以cos ＞0，
所以＝＝2cos.
又(1＋sin θ＋cos θ)(sin －cos )
＝(2sin cos ＋2cos2)(sin－cos )
＝2cos (sin2－cos2)
＝－2coscos θ，
故原式＝＝－cos θ.
(2)证明：因为＝
＝
＝tan 3x－tan 2x，
又＝
＝
＝tan 2x－tan x，
所以＋＝tan 3x－tan x.
化简时要有整体意识，合理变形，为公式应用创造条件，使结果中三角函数名称、角的个数、次数尽可能少，尽可能不含无理式．
变式探究
1．(2024·四川绵阳模拟预测)已知θ∈(，π)，tan 2θ＝－4tan (θ＋)，化简：.
解析：因为tan 2θ＝－4tan (θ＋)，
则＝
＝，
显然1－tan θ≠0，
可得＝－2(tan θ＋1)，
整理得2tan2θ＋5tanθ＋2＝0，
解得tan θ＝－2或tan θ＝－，
又因为θ∈(，π)，则tan θ∈(－1，0)，可得tan θ＝－，
所以
＝
＝＝(tan θ＋1)＝.
2．(教材母题必修复习参考题5T16)证明：＋2cos (α＋β)＝.
证明：左边
＝
＝
＝
＝
＝＝右边．
探究点2　三角函数的求值
【例2】 (1)(教材母题必修复习参考题5T14)已知cos (＋θ)cos (－θ)＝，则sin4θ＋cos4θ＝________.
(2)(2024·重庆模拟预测)求值：＝________．
解析：(1)　因为cos (＋θ)cos (－θ)
＝(cos θ－sin θ)(cos θ＋sin θ)
＝(cos2θ－sin2θ)＝cos2θ＝.
所以cos 2θ＝.
故sin4θ＋cos4θ＝()2＋()2＝＋＝.
(2)1　原式
＝
＝
＝＝＝1.
(1)“角”是三角函数的“灵魂”，三角变换中首先要考虑角的变换与统一，通过角的变换进行函数名称及函数式的结构变换．
(2)给角求值问题一般思路是通过变换凑出特殊角并设法创造将非特殊角消去(抵消或约分)的机会．
(3)给值求值问题的求解，其关键是明确变换的目标，根据目标灵活选择凑角和运用公式．如果角的关系不明显，换元可以避免凑角的变形技巧，可以较快找到所求角与已知角之间的联系．
变式探究
3．(2024·江苏扬州模拟预测)若－<α<β<，且cos αsin β＝，＝，则cos (α－β)＝(　　)
A． B．－
C． D．－
解析：C　因为＝，则＝，则sin αcos β＝cos αsin β＝，
所以sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝－＝－，
而－<α<β<，则－<α－β<0，
所以cos (α－β)＝＝.故选C.
4．(教材母题必修复习参考题5T13)求值：cos40°(1＋tan 10°)＝________.
解析：1　cos 40°(1＋tan 10°)
＝cos 40°×
＝cos 40°×，
＝cos 40°×
＝cos 40°×
＝＝＝1.
探究点3　三角恒等变换的综合运用
【例3】 (1)(教材母题必修习题5.5T8改编)(多选)设α∈(0，)，β∈(，π)，若＝tan ，则有(　　)
A．sin α＝sin β B．cos α＝－cos β
C．sin α＝cos β D．sin2＋sin2＝1
(2)(2024·海南海口模拟预测)已知cos(α＋2β)＝，tan (α＋β)tan β＝－4，符合条件的一个角α的值为________．
解析：(1)ABD　＝tan
＝tan
＝.
因为α∈(0，)，所以∈(0，)，
因此有＝，
又因为β∈(，π)，所以∈(，),
所以cos cos －sin sin ＝0，
即cos ＝0，
因为∈(0，)，∈(，)，
所以∈(，)，即＝，因此α＋β＝π，
所以有sin α＝sin (π－β)＝sin β，
cos α＝cos (π－β)＝－cos β，
sin2＋sin2＝sin2＋sin2＝sin2＋cos2＝1.
故选ABD.
(2)(答案不唯一)
因为cos(α＋2β)＝cos [(α＋β)＋β]＝cos (α＋β)cos β－sin (α＋β)sin β，
故cos (α＋β)cos β－sin (α＋β)sin β＝，
因为tan (α＋β)tan β＝－4，
即＝－4，
故sin (α＋β)sin β＝－4cos (α＋β)cos β，
故5cos (α＋β)cos β＝，
即cos (α＋β)cos β＝，
则sin (α＋β)sin β＝－4cos (α＋β)cos β＝－，
则cos α＝cos [(α＋β)－β]＝cos (α＋β)·cos β＋sin (α＋β)sin β＝－＝－，
可取α＝.
(1)证明角的恒等式(或已知值求角)这类问题的求解，其基本步骤为：①根据题设条件求角的某一三角函数值；②讨论角的范围；③根据角的范围和函数值确定角的大小．
(2)讨论角的范围时，必要时需要根据已知三角函数值缩小角的范围．确定角的范围要结合已知条件中的角的范围，以及三角函数值的符号，特别要注意一些隐含条件，尽量使角的范围最小，避免出现增根．
变式探究
5．(2022·新课标Ⅱ卷)若sin (α＋β)＋cos (α＋β)＝2cos (α＋)sin β，则(　　)
A．tan(α－β)＝1 B．tan(α＋β)＝1
C．tan(α－β)＝－1 D．tan(α＋β)＝－1
解析：C　由已知得sin αcos β＋cos αsin β＋cos αcos β－sin αsin β＝2(cos α－sin α)sin β，
即sin αcos β－cos αsin β＋cos αcos β＋sin αsin β＝0，即sin (α－β)＋cos (α－β)＝0，
所以tan (α－β)＝－1，故选C.
6．(2024·贵州六盘水模拟预测)设α∈[，]，β∈[，]，且sin α＋cos α＝cos β，则α－β＝________．
解析：　因为sin α＋cos α＝(sin α＋cos α)＝(sin sin α＋cos cos α)＝cos (α－)，
所以cos (α－)＝cos β，即cos (α－)＝cos β，
又α∈[，]，β∈[，]，
所以α－∈[0，]，
则可得α－＝β＝，则α＝，β＝，故α－β＝.
　　　　　　　　　　
1．已知sin α＝，则cos (－2α)＝(　　)
A． B．－
C． D．－
解析：A　cos (－2α)＝cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×（）2＝.故选A.
2．（2024·陕西铜川三模）已知cos（α－）－cos α＝，则sin （2α＋）＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
解析：A　因为cos （α－）－cos α＝sin α－cos α＝sin （α－）＝，
所以sin （2α＋）＝sin [2（α－）＋]＝cos [2（α－）]＝1－2sin2（α－）＝－.故选A.
3．（2024·江西九江二模）已知α，β∈（0，），cos(α－β)＝，tan αtan β＝，则α＋β＝(　　)
A． B．
C． D．
解析：A　因为cos (α－β)＝，tan αtan β＝，
所以
解得
所以cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝，
又α，β∈（0，），所以α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝.故选A.
4．已知α∈（0，），2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝(　　)
A． B．
C． D．
解析：B　由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin αcos α＝2cos2α.
又因为α∈（0，），所以tanα＝，所以sin α＝.故选B.
5．＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
解析：C　
原式＝
＝
＝＝sin 30°＝.故选C.
6．若sin α＝－，α是第三象限角，则＝(　　)
A．－2 B．2
C．－ D．
解析：A　因为sin α＝－，α是第三象限角，
所以cos α＝－＝－，
因此，＝＝
＝
＝＝＝＝－2，故选A.
7．已知tan θ＋＝4，则cos2（θ＋）＝(　　)
A． B．
C． D．
解析：C　由tan θ＋＝4，
得＋＝4，
即＝4，所以sin θcos θ＝.
所以cos2（θ＋）＝
＝＝＝
＝.
8．（2024·重庆模拟预测）的值为　　　　　.
解析：　
＝
＝＝1＋＝.
9．（多选）下列式子正确的是(　　)
A．sin 15°＋cos 15°＝
B．cos 75°＝
C．2tan 15°＋tan215°＝1
D．tan12°＋tan 33°＋tan 12°tan 33°＝1
解析：ACD　对于A，因为sin 15°＝sin (45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝，
cos 15°＝cos (45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝，
所以sin 15°＋cos 15°＝，所以A正确；
对于B，因为cos 75°＝cos (45°＋30°)＝cos 45°cos 30°－sin 45°sin 30°＝，所以B错误；
对于C，因为tan 15°＝tan (45°－30°)＝＝＝2－，
所以2tan 15°＋tan215°＝2×（2－）＋（2－）2＝1，所以C正确；
对于D，因为tan45°＝tan (33°＋12°)＝＝1，
所以tan 33°＋tan 12°＝1－tan 33°tan 12°，
所以tan 12°＋tan 33°＋tan 12°tan 33°＝1，所以D正确．故选ACD.
10．（多选）已知α，β，γ∈（0，），sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，则下列说法正确的是(　　)
A．cos (β－α)＝ B．cos (β－α)＝
C．β－α＝－ D．β－α＝
解析：AD　由题意知，sin γ＝sin β－sin α，cos γ＝cos α－cos β，
将两式分别平方后相加，得
1＝(sin β－sin α)2＋(cos α－cos β)2
＝2－2(sin βsin α＋cos βcos α)，
所以cos (β－α)＝，即A正确，B错误；
因为γ∈（0，），所以sin γ＝sin β－sin α>0，所以β>α，而α，β∈（0，），
所以0<β－α<，所以β－α＝，即D正确，C错误．故选AD.
11．设α∈（0，），β∈（0，），且tan α＝，则(　　)
A．3α－β＝ B．2α－β＝
C．3α＋β＝ D．2α＋β＝
解析：B　（方法1）
由tan α＝得＝，
即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β，
所以sin (α－β)＝cos α＝sin （－α）.
因为α∈（0，），β∈（0，），
所以α－β∈（－，），－α∈（0，），
所以α－β＝－α，所以2α－β＝.
（方法2）tan α＝＝
＝＝＝tan （＋），
因为β∈（0，），所以＋∈（，），
又因为α∈（0，），且tan α＝tan （＋），
所以α＝＋，即2α－β＝.
12．已知α，β∈(0，π)，且tan (α－β)＝，tan β＝－，则2α－β＝　　　　　.
解析：－　因为tan α＝tan [(α－β)＋β]＝＝＝>0，
所以0<α<.
又因为tan 2α＝＝＝>0，
所以0<2α<，
所以tan(2α－β)＝＝＝1.
因为tan β＝－<0，所以<β<π，－π<2α－β<0，所以2α－β＝－.
13．已知方程＝k在(0，＋∞)上有两个不同的解α，β(α<β)，则下列四个命题正确的是(　　)
A．sin 2α＝2αcos2α
B．cos2α＝2αsin2α
C．sin2β＝－2βsin2β
D．cos2β＝－2βsin2β
解析：C　由题意得直线y1＝kx与y2＝－cosx（x∈（，π））的图象相切，且切点为(β，－cos β).
因为y2′＝sin x，所以k＝＝sin β，所以tan β＝－，
则sin β＝，cos β＝，
那么sin 2β＝2sin βcos β＝＝－2βsin2β.故选C.
14．已知sinα＋sin β＝a，cos α＋cos β＝b(ab≠0)，则cos (α－β)＝　　　　　　，sin (α＋β)＝　　　　　　Ｗ．
解析：　
由sin α＋sin β＝a可得(sin α＋sin β)2＝a2，
即sin 2α＋sin 2β＋2sin αsin β＝a2，
由cos α＋cos β＝b可得(cos α＋cos β)2＝b2，即cos 2α＋cos 2β＋2cos αcos β＝b2，
两式相加可得2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝a2＋b2，
即2＋2cos (α－β)＝a2＋b2，
解得cos (α－β)＝.
因为sin α＋sin β＝sin （＋）＋sin （－）＝2sin cos ＝a，
cos α＋cos β＝cos （＋）＋cos （－）＝2cos cos ＝b，
所以tan ＝＝，
所以sin (α＋β)＝＝＝＝.
第20讲　三角函数的图象与性质
[课标要求]　1.能画出基本三角函数的图象，了解三角函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性及最值.2.会求与三角函数有关的简单函数的定义域、值域或最值．
　　　　　　　　　　
1．用五点法作正弦、余弦函数的简图
(1)y＝sin x的图象在[0，2π]上的五个关键点的坐标为(0，0)，__(，1)__，(π，0)，__(，－1)__，(2π，0).
(2)y＝cos x的图象在[0，2π]上的五个关键点的坐标为(0，1)，(，0)，__(π，－1)__，(，0)，__(2π，1)__．
2．三角函数的图象与性质 (其中k∈Z)
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
周期性 2π 2π π
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
对称轴 x＝kπ＋ x＝kπ —
对称 中心 (kπ，0) (kπ＋，0) (，0)
递增 区间 [2kπ－， 2kπ＋] [2kπ－π，2kπ] (kπ－， kπ＋)
递减 区间 [2kπ＋， 2kπ＋] [2kπ，2kπ＋π] —
1．对称与周期
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期；相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期．
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．
2．奇偶性
若f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)，则
(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)；
(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z).
1．(教材母题必修习题5.4T10)函数y＝cos (2x＋)，x∈[0，]的值域为(　　)
A．[0，1] B．[－1，]
C．[－，] D．[－，]
解析：B　因为x∈[0，]，2x＋∈[，]，所以y＝cos (2x＋)∈[－1，].故选B.
2．下列函数中周期为π且为偶函数的是(　　)
A．y＝sin (2x－) B．y＝cos (2x－)
C．y＝sin (x＋) D．y＝cos (x＋)
解析：A　对于A，y＝sin (2x－)＝－cos 2x，周期为π且是偶函数，A正确；
对于B，y＝cos (2x－)＝sin 2x，周期为π且是奇函数，B错误；
对于C，y＝sin (x＋)＝cos x，周期为2π，C错误；
对于D，y＝cos (x＋)＝－sin x，周期为2π，D错误．故选A.
3．函数f(x)＝2tan (3x＋)＋1的图象的一个对称中心可以是(　　)
A．(－，0) B．(－，0)
C．(－，1) D．(－，1)
解析：D　令3x＋＝(k∈Z)，解得x＝－(k∈Z)，当k＝0时，x＝－.
因为f(x)＝2tan (3x＋)＋1的图象是由f(x)＝2tan (3x＋)的图象向上平移1个单位长度得到的，所以函数f(x)＝2tan (3x＋)＋1图象的一个对称中心可以是(－，1).故选D.
4．(教材母题必修5.4.2练习T5改编)函数y＝cos (2x－)的单调递增区间是________________________________．
解析：[kπ＋π，kπ＋π](k∈Z)
由2kπ＋π≤2x－≤2kπ＋2π(k∈Z)，
解得kπ＋π≤x≤kπ＋π(k∈Z)，
所以y＝cos (2x－)的单调递增区间是[kπ＋π，kπ＋π](k∈Z).
5．函数y＝的定义域为________________________________．
解析：[2kπ＋，2kπ＋](k∈Z)
要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0.利用图象，在同一坐标系中画出y＝sin x和y＝cos x在[0，2π]上的图象，如图所示．
在[0，2π]内，满足sin x＝cos x的x为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为{x|2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z}．
　　　　　　　　
探究点1　三角函数的定义域和值域(最值)
【例1】 (1)函数y＝＋的定义域为_____________________．
(2)函数y＝－tan2x＋4tanx＋1，x∈[－，]的值域为______________．
(3)函数f(x)＝cos (2x＋)的定义域为[0，m]，值域为[－1，]，则实数m的取值范围是____________.
解析：(1){x|2kπ≤x≤2kπ＋，k∈Z}

解得2kπ≤x≤2kπ＋，k∈Z.
(2)[－4，4]　因为－≤x≤，所以－1≤tan x≤1.
令tan x＝t，则t∈[－1，1]，
所以y＝－t2＋4t＋1＝－(t－2)2＋5.
所以当t＝－1，即x＝－时，ymin＝－4，
当t＝1，即x＝时，ymax＝4.
故所求函数的值域为[－4，4].
(3)[，]　因为x∈[0，m]，则≤2x＋≤2m＋，且－1≤cos (2x＋)≤，
则π≤2m＋≤，解得≤m≤.
1．解简单三角不等式的步骤：如sin x>a.
第一步，作出y＝sin x的图象．
第二步，作直线y＝a，在三角函数的图象上找出一个周期内(不一定是[0，2π])在直线y＝a上方的图象．
第三步，确定sin x＝a的x值，写出解集．
2．三角函数最值或值域的3种求法
(1)直接法：直接利用sin x和cos x的值域求解．
(2)化一法：把所给三角函数化为y＝A sin (ωx＋φ)＋k的形式，由正弦函数的单调性写出函数的值域．
(3)换元法：把sin x，cos x，sin x cos x或sin x±cos x换成t，转化为二次函数．
变式探究
1．函数f(x)＝的定义域为(　　)
A．(2kπ－，2kπ＋)(k∈Z)
B．(2kπ－，2kπ)∪(2kπ，2kπ＋](k∈Z)
C．(kπ－，kπ＋)(k∈Z)
D．(kπ－，kπ)∪(kπ，kπ＋)(k∈Z)
解析：B　由函数式知
所以
即x∈(2kπ－，2kπ)∪(2kπ，2kπ＋](k∈Z).故选B.
2．函数y＝sin x－cos x＋sin x cos x的值域为__________.
解析：[－－，1]　设t＝sin x－cos x，
则t2＝sin2x＋cos2x－2sinx cos x，
sin x cos x＝，且－≤t≤，
所以y＝－＋t＋＝－(t－1)2＋1，t∈[－，].
当t＝1时，ymax＝1；当t＝－时，ymin＝－－.
所以函数的值域为[－－，1].
探究点2　三角函数的奇偶性、周期性和对称性
【例2】 (1)若函数f(x)＝4sin (ωx－)(ω>0)的最小正周期为π，则f(x)图象的对称轴可以是(　　)
A．x＝－ B．x＝0
C．x＝ D．x＝
(2)已知函数f(x)＝sin (2x＋φ)＋cos(2x＋φ)为奇函数，且存在x0∈(0，)，使得f(x0)＝2，则φ的一个可能值为(　　)
A． B．
C．－ D．－
(3)(2022·新课标Ⅰ卷)记函数f(x)＝sin (ωx＋)＋b(ω>0)的最小正周期为T.若A．1 B．
C． D．3
解析：(1)A　由题意得ω＝＝＝2，所以f(x)＝4sin (2x－)，令2x－＝＋kπ(k∈Z)，得x＝＋kπ(k∈Z)，所以f(x)图象的对称轴为x＝＋kπ(k∈Z)，当k＝－1时，x＝－，所以函数f(x)图象的对称轴可以是x＝－.故选A.
(2)C　因为f(x)＝sin (2x＋φ)＋cos (2x＋φ)＝2sin (2x＋φ＋)为奇函数，
所以φ＋＝kπ(k∈Z)，可得φ＝kπ－(k∈Z)，所以排除B、D；
对于A，当φ＝时，f(x)＝2sin (2x＋π)＝－2sin 2x，当x∈(0，)时，2x∈(0，)，f(x)<0，不符合题意；
对于C，当φ＝－时，f(x)＝2sin 2x，f()＝2sin ＝2，符合题意．故选C.
(3)A　由函数f(x)的最小正周期T满足又因为函数f(x)的图象关于点(，2)对称，所以ω＋＝kπ，k∈Z，且b＝2，
所以ω＝－＋k，k∈Z，所以ω＝，f(x)＝sin (x＋)＋2，
所以f()＝sin (π＋)＋2＝1.故选A.
函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)的奇偶性、
周期性和对称性
(1)若f(x)＝A sin (ωx＋φ)为偶函数，则当x＝0时，f(x)取得最大或最小值；若f(x)＝A sin (ωx＋φ)为奇函数，则当x＝0时，f(x)＝0.
(2)对于函数y＝A sin (ωx＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x＝x0或点(x0，0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值进行判断．
(3)掌握一些简单函数的周期：如①y＝A sin (ωx＋φ)的最小正周期为；②y＝A tan (ωx＋φ)的最小正周期为；③y＝|sin x|的最小正周期为π；④y＝|tan x|的最小正周期为π.
变式探究
3．(多选)(2024·新课标Ⅱ卷)对于函数f(x)＝sin 2x和g(x)＝sin (2x－)，下列说法正确的有(　　)
A．f(x)与g(x)有相同的零点
B．f(x)与g(x)有相同的最大值
C．f(x)与g(x)有相同的最小正周期
D．f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴
解析：BC　对于A，令f(x)＝sin 2x＝0，解得x＝，k∈Z，即为f(x)零点，令g(x)＝sin (2x－)＝0，解得x＝＋，k∈Z，即为g(x)零点，显然f(x)，g(x)零点不同，A错误；
对于B，显然f(x)max＝g(x)max＝1，B正确；
对于C，根据周期公式，f(x)，g(x)的周期均为＝π，C正确；
对于D，根据正弦函数的性质，f(x)图象的对称轴满足2x＝kπ＋?x＝＋，k∈Z，g(x)图象的对称轴满足2x－＝kπ＋?x＝＋，k∈Z，显然f(x)，g(x)图象的对称轴不同，D错误．故选BC.
4．关于函数f(x)＝4sin (2x＋)(x∈R)，有下列命题：
①由f(x1)＝f(x2)＝0可得x1－x2必是π的整数倍；
②y＝f(x)的表达式可改写为y＝4cos (2x－)；
③y＝f(x)的图象关于点(－，0)对称；
④y＝f(x)的图象关于直线x＝－对称．
其中正确命题的序号是__________(把你认为正确的命题序号都填上).
解析：②③　因为函数f(x)＝4sin (2x＋)的最小正周期T＝π，所以相邻两个零点的横坐标间的距离是＝，故①错误．
利用诱导公式得f(x)＝4cos [－(2x＋)]＝4cos (－2x)＝4cos (2x－)，故②正确．
由于函数f(x)的图象与x轴的每个交点都是它的对称中心，将x＝－代入函数f(x)得f(－)＝4sin [2×(－)＋]＝4sin 0＝0，因此点(－，0)是f(x)图象的一个对称中心，故③正确．
函数f(x)图象的对称轴必经过图象的最高点或最低点，且与y轴平行，而当x＝－时，y＝0，点(－，0)不是最高点也不是最低点，故直线x＝－不是图象的对称轴，故命题④错误．
探究点3　三角函数的单调性及综合应用
【例3】 (1)下列各式中正确的是(　　)
A．tan >tan
B．tan 2>tan 3
C．cos (－)>cos (－)
D．sin (－)(2)(2024·河北高三统考)设函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)－1(ω>0)，若对于任意实数φ，f(x)在区间[，]上至少有2个零点，至多有3个零点，则ω的取值范围是(　　)
A．[，) B．[4，)
C．[4，) D．[，)
(3)设函数f(x)＝4sin (ωx＋φ)，其中0<ω<1，|φ|<π，若f()＝4，f()＝0，则f(x)在[0，2π]上的单调减区间是(　　)
A．[0，π] B．[π，2π]
C．[π，π] D．[0，π]
解析：(1)C　对于A，tan ＝tan (－π)＝tan (－)，
因为正切函数y＝tan x在(－，)上为增函数，且－<－<<，
所以tan (－)对于B，由于正切函数y＝tan x在(，)上为增函数，且<2<3<，
所以tan 2对于C，cos (－)＝cos ＝cos ，cos (－)＝cos ＝cos ，
因为余弦函数y＝cos x在(0，π)为减函数，且0<<<π，
所以cos >cos ，即cos (－)>cos (－)，C正确；
对于D，由于正弦函数y＝sin x在(－，)上为增函数，且－<－<－<，
所以sin (－)>sin (－)，D错误．故选C.
(2)B　令f(x)＝0，则sin (ωx＋φ)＝.令t＝ωx＋φ，则sin t＝，则问题转化为y＝sin t在区间[ω＋φ，ω＋φ]上至少有2个t，至多有3个t，使得sin t＝，求ω的取值范围．
作出y＝sin t和y＝的图象，观察交点个数，
可知使得sin t＝的最短区间长度为2π，最长长度为2π＋π，由题意列不等式2π≤(ω＋φ)－(ω＋φ)<2π＋π，解得4≤ω<.故选B.
(3)C　根据题意可以得出直线x＝π和点(π，0)分别是f(x)的图象的一条对称轴和一个对称中心，所以－＝＝T＝·＝(k∈Z)，即ω＝(k∈Z)，又0<ω<1，所以ω＝.
又由f()＝4得sin (×π＋φ)＝1，即＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，|φ|<π，所以φ＝，所以f(x)＝4sin (x＋).
由2kπ＋≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)得f(x)的单调减区间为[3kπ＋π，3kπ＋π](k∈Z)，所以f(x)在[0，2π]上的单调减区间是[π，π].故选C.
(1)求形如y＝A sin (ωx＋φ)或y＝A cos (ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但若ω＜0，则应利用诱导公式将x的系数化为正数再处理．
(2)求函数的单调区间应遵循先化简的原则，并注意复合函数单调性“同增异减”的规律及导数方法的应用．
变式探究
5．(2023·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)＝cos ωx－1(ω>0)在区间[0，2π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是____________.
解析：[2，3)　因为0≤x≤2π，所以0≤ωx≤2ωπ，令f(x)＝cos ωx－1＝0，则cos ωx＝1有3个根．
令t＝ωx，则cos t＝1有3个根，其中t∈[0，2ωπ]，
结合余弦函数y＝cos t的图象及性质可得4π≤2ωπ<6π，故2≤ω<3.
6．(多选)已知函数f(x)＝sin (2x＋φ)(－<φ<)的图象关于直线x＝对称，则(　　)
A．由f(x1)＝f(x2)＝可得x1－x2是π的整数倍
B．函数f(x＋)为偶函数
C．函数f(x)在[，]上为减函数
D．函数f(x)在区间(0，10π)上有20个零点
解析：BCD　由已知得2×＋φ＝kπ＋，k∈Z，
所以φ＝kπ－，k∈Z，
又－<φ<，所以φ＝－，f(x)＝sin (2x－).
对于A，当x1＝，x2＝时，f(x1)＝f(x2)＝，但x1－x2＝－不是π的整数倍，A错误；
对于B，f(x＋)＝sin [2(x＋)－]＝sin (2x＋)＝cos 2x是偶函数，B正确；
对于C，x∈[，]时，2x－∈[，]，由正弦函数性质知f(x)在[，]上是减函数，C正确；
对于D，T＝＝π，在(0，π)上，2x－∈(－，)，2x－＝0或π时，f(2x－)＝0，因此有两个零点，而(0，10π)含有10个周期，因此有20个零点，D正确．故选BCD.
7．已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)在区间(，)上单调，其中ω为正整数，|φ|≤，若x＝为y＝f(x)图象的一条对称轴，且f()＝f(π)＝，则φ的值为________．
解析：　因为函数f(x)＝sin (ωx＋φ)在区间(，)上单调，所以函数f(x)的最小正周期T≥2×(－)＝，可得ω＝≤3，因为ω∈N*，
所以ω＝1或ω＝2或ω＝3.
又因为x＝为y＝f(x)图象的一条对称轴，可得×ω＋φ＝＋k1π，k1∈Z，
因为f()＝，可得×ω＋φ＝＋2k2π，k2∈Z或×ω＋φ＝＋2k3π，k3∈Z.
若×ω＋φ＝＋2k2π，k2∈Z，
则ω＝＋(k1－2k2)π，k1∈Z，k2∈Z，
即ω＝＋(k1－2k2)，k1∈Z，k2∈Z，
此时不存在整数k1，k2，使得ω＝1或ω＝2或ω＝3；
若×ω＋φ＝＋2k3π，k3∈Z，则ω＝－＋(k1－2k3)π，k1∈Z，k3∈Z，
即ω＝－＋(k1－2k3)，k1∈Z，k3∈Z，
此时不存在整数k1，k3，使得ω＝1或ω＝3，
当k1＝2k3＋1时，可得ω＝2，此时φ＝＋2k3π，k3∈Z，
因为|φ|≤，所以φ＝.
　　　　　　　　　　
1．若函数f(x)＝sin(2x＋φ)是偶函数，则φ的一个值为(　　)
A．π B．－
C．－ D．－
解析：B　因为f(x)＝sin (2x＋φ)是偶函数，
所以f(x)＝sin (2x＋φ)＝±cos 2x，
所以φ＝kπ＋，k∈Z.当k＝－1时，φ＝－.故选B.
2．函数y＝1＋2sin x，x∈[－，]的值域是(　　)
A．[－1，1] B．[0，1]
C．[，] D．[0，2]
解析：D　因为－≤x≤，
所以－≤sin x≤，
所以0≤1＋2sin x≤2，
所以函数的值域为[0，2].故选D.
3．在函数①y＝cos |2x|，②y＝|cos x|，③y＝cos （2x＋），④y＝tan （2x－）中，最小正周期为π的所有函数为(　　)
A．①②③ B．①③④
C．②③ D．①③
解析：A　①y＝cos |2x|＝cos 2x，最小正周期为π；
②由图象知y＝|cos x|的最小正周期为π；
③y＝cos （2x＋）的最小正周期T＝＝π；
④y＝tan （2x－）的最小正周期T＝.
因此最小正周期为π的函数为①②③.
4．下列函数中，以为周期且在区间（，）上单调递增的是(　　)
A．f(x)＝|cos 2x| B．f(x)＝|sin 2x|
C．f(x)＝cos |x| D．f(x)＝sin |x|
解析：A　作出函数f(x)＝|cos 2x|的图象，如图．
由图象可知f(x)＝|cos 2x|的周期为，在区间（，）上单调递增．
同理可得f(x)＝|sin 2x|的周期为，在区间（，）上单调递减，f(x)＝cos |x|的周期为2π.f(x)＝sin |x|不是周期函数，排除B、C、D.故选A.
5．已知f(x)＝2cos2x－6sinx cos x，则函数f(x)的最大值是(　　)
A．3 B．
C．＋1 D．－1
解析：C　f(x)＝1＋cos 2x－3sin 2x
＝（cos 2x－sin 2x）＋1
＝cos (2x＋α)＋1，
所以f(x)的最大值为＋1.故选C.
6．函数y＝的定义域为　　　　　　　　　　　Ｗ．
解析：{x|＋kπ≤x<＋kπ，k∈Z}
要使函数y＝有意义，则tan x－≥0，即tan x≥，
所以＋kπ≤x<＋kπ，k∈Z，即原函数的定义域为{x|＋kπ≤x<＋kπ，k∈Z}．
7．（2025·北京西城校考）函数f(x)＝sin x cos x－sin2x的单调递增区间为　　　　　　　　　　　　　　Ｗ．
解析：[kπ－，kπ＋]，k∈Z
f(x)＝sin2x－＝sin （2x＋）－，
令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
故kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
故f(x)的单调递增区间为[kπ－，kπ＋]，k∈Z.
8．（2024·河南二模）已知偶函数f(x)＝2sin （ωx－＋φ）（ω>0，|φ|<）的图象的相邻两条对称轴间的距离为，则函数f(x)在区间[－，]上的值域为　　　　　Ｗ．
解析：[－2，1]　因为函数f(x)＝2sin （ωx－＋φ）的图象的相邻两条对称轴间的距离为，
所以函数f(x)的最小正周期为2×＝π，
则＝π，解得ω＝2，
所以f(x)＝2sin （2x－＋φ）.
又f(x)为偶函数，所以－＋φ＝＋kπ，k∈Z，
解得φ＝＋kπ，k∈Z，因为|φ|<，所以φ＝－，
故f(x)＝2sin （2x－－）＝2sin （2x－）＝－2cos 2x.
因为x∈[－，]，所以2x∈[－，]，
所以cos 2x∈[－，1]，
所以－2cos 2x∈[－2，1]，
故f(x)∈[－2，1].
9．（2024·重庆二模）若函数f(x)＝sin (2x－φ)(0≤φ<π)在（0，）上单调递增，则φ的最小值为(　　)
A． B．
C． D．
解析：B　令2kπ－≤2x－φ≤2kπ＋(k∈Z)，解得kπ－＋≤x≤kπ＋＋(k∈Z)，
由于f(x)在（0，）上单调递增，所以kπ－＋≤0即－kπ＋≤≤－kπ＋(k∈Z)，因为0≤φ<π，所以当k＝0时，φ的最小值为.故选B.
10．（多选）（2024·长沙二模）关于函数f(x)＝sin 2x＋2sin （x＋），下列结论正确的是(　　)
A．f(x)的图象关于点（－，0）对称
B．f(x)的图象关于直线x＝对称
C．f(x)的最大值是3
D．π是函数f(x)的周期
解析：BC　对于A，f（－＋x）＝sin （－＋2x）＋2sin x＝－cos 2x＋2sin x，
f（－－x）＝sin （－－2x）＋2sin (－x)＝－cos 2x－2sin x，则f（－＋x）＋f（－－x）＝－2cos 2x≠0，所以f(x)的图象不关于点（－，0）对称，A错误；
对于B，f（－x）＝sin (π－2x)＋2sin （－x＋）＝sin 2x＋2sin （x＋）＝f(x)，
所以f(x)的图象关于直线x＝对称，B正确；
对于C，f(x)＝sin 2x＋2sin （x＋）＝2sin x cos x＋(sin x＋cos x)，
令t＝sin x＋cos x＝sin （x＋），t∈[－，]，
则2sin x cos x＝(sin x＋cos x)2－1＝t2－1，
则f(t)＝t2＋t－1，当t＝时，f(t)max＝3，
所以f(x)的最大值是3，C正确；
对于D，f(x＋π)＝sin (2x＋2π)＋2sin （π＋x＋）＝sin 2x－2sin （x＋）≠f(x)，
所以π不是函数f(x)的周期，D错误．故选BC.
11．（多选）（2025·湖南高三九校联盟联考）已知函数f(x)＝A cos (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的图象如图所示，则下列结论正确的是(　　)
A．ω＝2
B．φ＝－
C．函数f(x)在区间[－，－]上单调递增
D．当x∈[0，2π]时，函数F(x)＝f(x)＋2f（2x＋）有8个零点
解析：ACD　对于A，由图知A＝2，T＝－（－）＝，得到T＝＝π，则ω＝2，A正确；
对于B，f（）＝2cos （＋φ）＝－2，φ＝＋2kπ，k∈Z，又因为|φ|<π，所以φ＝，B错误；
对于C，当x∈[－，－]时，2x＋∈[－，0]，f(x)单调递增，C正确；
对于D，F(x)＝f(x)＋2f（2x＋）＝2cos （2x＋）＋4cos [2（2x＋）＋]＝2cos （2x＋）－4sin 4x，作y＝2cos （2x＋）和y＝4sin 4x在x∈[0，2π]的图象如图，共8个交点，D正确（也可以作x∈[0，π]的图象，再用周期性得交点个数）.
12．（2024·湖北鄂州一模）已知函数y＝sin (ωx＋φ)(ω>0，φ∈（0，2π)）的一条对称轴为x＝－，且f(x)在（π，）上单调，则ω的最大值为　　　　　Ｗ．
解析：　函数y＝sin (ωx＋φ)(ω>0，φ∈（0，2π)）的一条对称轴为x＝－，
所以－＋φ＝k1π＋(k1∈Z)，所以φ＝k1π＋＋，
y＝sin (ωx＋φ)的对称轴可以表示为ωx＋k1π＋＋＝k2π＋(k2∈Z)，
令k＝k2－k1，则x＝－(k∈Z)，
f(x)在（π，）上单调，则k∈Z，使得解得k≤ω≤(k＋1)，
由k≤(k＋1)，k∈Z，得k≤3，
当k＝3时，ω取得最大值.
13．已知函数f(x)＝A cos （ωx＋）(A>0，ω>0)，若f(x)在区间[0，2π]上有且仅有4个零点和1个最大值点，则ω的取值范围是(　　)
A．[，） B．[，）
C．[，） D．[，）
解析：A　由x∈[0，2π]，得ωx＋∈[，2πω＋].
由A>0，ω>0，f(x)在区间[0，2π]上有且仅有4个零点得≤2πω＋<，①
又f(x)在区间[0，2π]上有且仅有1个最大值点，2π≤2πω＋<4π，②
依题意，需同时满足①②，
于是得≤2πω＋<4π，
即≤2πω<，解得≤ω<，
故ω的取值范围是[，）.故选A.
14．（2024·河北二模）已知函数f(x)＝sin （2x＋），g(x)＝cos （x＋），若对任意的a，b∈[π－m，m]，当a>b时，f(a)－f(b)A．（，） B．（，]
C．（，） D．（，]
解析：D　当a>b时，由f(a)－f(b)所以h(x)＝f(x)－g(2x)在x∈[π－m，m]上单调递减，
即h(x)＝sin （2x＋）－cos （2x＋）＝sin （2x－）在x∈[π－m，m]上单调递减，
不妨设2x－＝t，则问题转化成h(t)＝sin t在t∈[－2m，2m－]上单调递减，
所以其中k∈Z，解得第21讲　函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象与性质
[课标要求]　1.结合具体实例，了解函数y＝A sin (ωx＋φ)的实际意义，了解A，ω，φ的物理意义.2.会用“五点法”画函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象，了解A，ω，φ的变化对函数图象的影响．3.掌握函数y＝A sin (ωx＋φ)与y＝sin x图象间的变换关系.4.会由函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象或图象性质特征求函数的解析式．
　　　　　　　　　　
1．y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈[0，＋∞))的物理意义
y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈[0，＋∞))表示一个振动量时，A叫做__振幅__，T＝叫做__周期__，f＝叫做__频率__，ωx＋φ叫做__相位__，φ叫做__初相__．
2．用“五点法”作y＝A sin (ωx＋φ)的图象
(1)列表．
x －
ωx＋φ 0 π 2π
y 0 A 0 －A 0
(2)描点作图．
3．用“变换法”作y＝A sin (ωx＋φ)的图象
用“变换法”作y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象，有如下两种方案：
　　
1．由y＝sin ωx的图象到y＝sin (ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的图象变换：向左平移个单位长度(而非φ个单位长度).
2．函数y＝A sin (ωx＋φ)图象的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z确定；对称中心由ωx＋φ＝kπ，k∈Z确定其横坐标．
1．(教材母题必修复习参考题5T10改编)函数y＝2sin (2x－)的振幅、频率和初相分别为(　　)
A．2，，－ B．2，，－
C．2，，－ D．2，，－
解析：A　因为函数解析式y＝2sin (2x－)中，A＝2，ω＝2，φ＝－，
所以函数y＝2sin (2x－)的振幅为2，周期为T＝＝π，所以频率为，初相为－.故选A.
2．(教材母题必修5.6练习T2改编)将函数y＝sin x的图象上各点的纵坐标缩短到原来的，横坐标不变，则所得图象对应的函数为(　　)
A．y＝3