专题8 直线与圆、圆锥曲线（教师版）-高考一轮总复习数学
文档属性
| 名称 | 专题8 直线与圆、圆锥曲线（教师版）-高考一轮总复习数学 |
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| 格式 | DOCX | ||
| 文件大小 | 3.5MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-12-09 14:04:42 | ||
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文档简介
考点 考情考向 考频
直 线 与 圆 、 圆 锥 曲 线 直线的方程 2022年新课标Ⅰ卷T11、T21 2022年新课标Ⅱ卷T15、T16、T21 2023年新课标Ⅰ卷T6、T22 2023年新课标Ⅱ卷T5、T10、T21 2024年新课标Ⅰ卷T16 2024年新课标Ⅱ卷T19 3年12考
直线与圆的位置关系 2022年新课标Ⅰ卷T14 2022年新课标Ⅱ卷T15 2023年新课标Ⅰ卷T6 2023年新课标Ⅱ卷T15 2024年新课标Ⅱ卷T10 3年5考
圆与圆的位置关系 2022年新课标Ⅰ卷T14 3年1考
曲线与方程 2023年新课标Ⅰ卷T22 2024年新课标Ⅰ卷T11 2024年新课标Ⅱ卷T5 3年3考
椭圆 2022年新课标Ⅰ卷T16 2022年新课标Ⅱ卷T16 2023年新课标Ⅰ卷T5 2023年新课标Ⅱ卷T5 2024年新课标Ⅰ卷T16 2024年新课标Ⅱ卷T5 3年6考
双曲线 2022年新课标Ⅰ卷T21 2022年新课标Ⅱ卷T21 2023年新课标Ⅰ卷T16 2023年新课标Ⅱ卷T21 2024年新课标Ⅰ卷T12 2024年新课标Ⅱ卷T19 3年6考
抛物线 2022年新课标Ⅰ卷T11 2022年新课标Ⅱ卷T10 2023年新课标Ⅰ卷T22 2023年新课标Ⅱ卷T10 2024年新课标Ⅱ卷T10 3年5考
直线与圆锥曲线位置关系 2022年新课标Ⅰ卷T11、T16、T21 2022年新课标Ⅱ卷T10、T16、T21 2023年新课标Ⅰ卷T22 2023年新课标Ⅱ卷T5、T10、T21 2024年新课标Ⅰ卷T16 2024年新课标Ⅱ卷T10、T19 3年13考
专题8 直线与圆、圆锥曲线
近三年的高考命题，本专题重点考查两点间的距离、点到直线的距离、直线的方程、直线与圆的位置关系；圆锥曲线的标准方程与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系．注重考查数学运算、直观想象和逻辑推理等数学素养．
解析几何是高考重点考查内容之一，2022年、2023年高考是以“三小一大”的形式进行考查，2024年高考是以“二小一大”的形式进行考查．
客观题主要考查圆的标准方程及直线与圆的位置关系，圆锥曲线的定义、性质、标准方程及直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，其中考查频率较高的是椭圆、双曲线的离心率．试题难度以中等难度题为主．
解答题一般设置两问，第1问主要涉及利用定义法或待定系数法求圆、椭圆、双曲线、抛物线的标准方程等问题，第2问主要涉及直线与圆锥曲线的位置关系、定点与定值问题、最值与范围问题、证明问题等，难度较大．
复习本部分内容时应注意以下几个问题：
1．在高考中直接考查直线这一内容的试题不是很多，由于直线是研究解析几何的基础，复习时仍要高度重视，要求系统掌握有关概念，熟记相关公式，加强运算求解能力的培养．还要注意以下问题：
(1)在确定直线的斜率、倾斜角时，首先要注意斜率存在的条件，其次是倾斜角的范围；
(2)在利用直线的截距式解题时，要注意防止由于“零截距”而造成漏解的情况；
(3)在利用直线的点斜式、斜截式解题时，要注意检验斜率不存在的情况，防止漏解；
(4)由两直线的位置关系确定有关参数的值或其范围时，要充分利用分类讨论、数形结合、特殊值检验等基本的数学思想和方法．
2．对于圆的复习，要求掌握圆的标准方程和一般方程，能熟练地判断直线与圆的位置关系，会根据已知条件求圆的切线方程、直线截圆所得的弦长等问题，会利用圆心距与半径之间的关系判断两圆的位置关系．另外，要认真领会数形结合的思想，能充分利用圆的几何性质简化有关运算．
3．首先要掌握三种圆锥曲线各自的定义、几何性质，理解曲线本身所固有的性质及a，b，c，e，p等量的本质含义及相互关系．其次要注意在不同的坐标系中方程的表现形式不同，从而合理进行“定位”和分类讨论等．
4．掌握直线与圆锥曲线的位置关系的研究方法，即转化为相应直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组的解的问题．这里消元整理成一元二次方程的过程及中点、弦长等的处理运算量较大，要特别重视运算能力的培养，一方面要合理地运用韦达定理或“点差法”，设而不求，简化运算；另一方面要有意识地训练自己扎实的运算能力．
5．增强综合应用的意识．解析几何常常是在“知识的交汇点处”设计试题，要解决它，需要结合其他章节知识，如平面几何、平面向量、函数、三角函数、不等式等，强调综合、分析、判断、运用知识的能力．处理与解决解析几何综合问题，一方面强调从宏观上处理运用信息，恰当运用数学思想；另一方面，从问题细节入手，分步计算与推理，扎实地运用函数、方程、三角函数、向量等知识化解难点，突破重点，达到解决问题的最终目的．
6．复习时要适当投入时间和精力，对于常规题型，在理解的基础上做到步骤规范，运算快速准确，定能取得良好的复习效果．
第50讲 直线的方程
[课标要求] 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.2.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式，了解斜截式与一次函数的关系．
1．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴作为基准，x轴__正向__与直线l __向上的方向__之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为__0°__．
(2)倾斜角的取值范围是__[0°，180°)__．
2．直线的斜率
(1)定义：一条直线的倾斜角α的__正切值__叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k表示，即k＝__tan_α__，倾斜角是90°的直线，它的斜率__不存在__．
(2)经过两点的直线的斜率公式
经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝____．
3．直线的截距
直线与x轴交点的__横坐标__叫做直线在x轴上的截距；直线与y轴交点的__纵坐标__叫做直线在y轴上的截距．
4．直线方程的五种形式
名称 方程形式 适用范围
点斜式 __y－y1＝k(x－x1)__ 不垂直于__x__轴
斜截式 __y＝kx＋b__ 不垂直于__x__轴
两点式 ＝ 不垂直于__坐标轴__
截距式 ＋＝1 不垂直于__坐标轴__，且不过__原点__
一般式 Ax＋By＋C＝0 A2＋B2≠0
5.特殊位置的直线方程
(1)与x轴重合的直线方程为__y＝0__；
(2)与y轴重合的直线方程为__x＝0__；
(3)经过点(a，b)且平行于x轴的直线方程为__y＝b__；
(4)经过点(a，b)且平行于y轴的直线方程为__x＝a__；
(5)过原点且斜率为k的直线方程为__y＝kx__．
6．中点坐标公式、重心坐标公式
(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，两点的中点为M(x，y)，则
(2)设△ABC的三个顶点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，△ABC的重心为G(x，y)，则
1．(教材母题选必修2.2.1练习T2改编)直线x＋y＋1＝0的倾斜角是( )
A． B．
C． D．
解析：D 由直线的方程得直线的斜率为k＝－，设直线的倾斜角为α，则tan α＝－.又α∈[0，π)，所以α＝.故选D.
2．方程y＝k(x－2)表示( )
A．通过点(2，0)的所有直线
B．通过点(2，0)且不垂直于y轴的所有直线
C．通过点(2，0)且不垂直于x轴的所有直线
D．通过点(2，0)且除去x轴的所有直线
解析：C y＝k(x－2)为直线的点斜式方程，只能表示斜率存在的直线，且直线过点(2，0).故选C.
3．(教材母题选必修习题2.2T2)已知A(0，2)，B(3，0)，C(m，1－m)三点共线，则m＝________．
解析：－3 直线AB的方程为＋＝1，代入(m，1－m)得＋＝1，解得m＝－3.
4．下列结论正确的是( )
A．经过定点P(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示
B．不经过原点的直线都可以用方程＋＝1表示
C．经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示
D．经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)·(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示
解析：D 对于A，当直线垂直于x轴时，不正确；
对于B，当直线垂直于x轴或平行于x轴时，不正确；
对于C，当直线垂直于x轴(与y轴重合)时，不正确．故选D.
5．(2022·新课标Ⅱ卷)图1是中国古代建筑中的举架结构，AA′，BB′，CC′，DD′是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中DD1，CC1，BB1，AA1是举，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为＝0.5，＝k1，＝k2，＝k3.已知k1，k2，k3成公差为0.1的等差数列，且直线OA的斜率为0.725，则k3＝( )
A．0.75 B．0.8
C．0.85 D．0.9
解析：D 设OD1＝DC1＝CB1＝BA1＝1，
则CC1＝k1，BB1＝k2，AA1＝k3，
依题意，有k3－0.2＝k1，k3－0.1＝k2，
且＝0.725，
所以＝0.725，故k3＝0.9，故选D.
探究点1 直线的倾斜角与斜率
【例1】 (1)(多选)下列说法中正确的是( )
A．直线的倾斜角越大，直线的斜率就越大
B．若A(1，－3)，B(1，3)，则直线AB的倾斜角为90°
C．若直线过点(1，2)，且它的倾斜角为45°，则这条直线必过点(3，4)
D．若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan α
(2)已知两点A(－1，5)，B(0，0)，若直线l：(k＋1)x－(2k－2)y＋2k－6＝0与线段AB有公共点，则直线l倾斜角的取值范围为____________________．
解析：(1)BC 对于A，若直线的倾斜角大于90°，则直线的斜率存在负值，A错误；
由A(1，－3)，B(1，3)，可知直线AB与x轴垂直，则其倾斜角为90°，B正确；
对于C，直线的倾斜角为45°，则斜率k＝1，又过(1，2)，且＝1，C正确；
直线斜率的定义为倾斜角的正切值，但不能是tan 90°，D错误．故选BC.
(2)[0，]∪[，π)
由直线l：(k＋1)x－(2k－2)y＋2k－6＝0，
变形可得(x－2y＋2)k＋x＋2y－6＝0，
由解得
可得直线l恒过定点P(2，2)，则kPA＝＝－1，kPB＝＝1.
结合图象可得，若直线l与线段AB有公共点，则直线l斜率的取值范围为[－1，1]，
由斜率定义k＝tan α，可得直线l倾斜角的取值范围为[0，]∪[，π).
(1)直线的倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此，根据倾斜角求斜率的范围及根据斜率求倾斜角的范围时，要分[0，)与(，π)两种情况讨论．
(2)由正切函数的图象可以得到，当α∈[0，)时，斜率k∈[0，＋∞)；当α＝
时，斜率不存在；当α∈(，π)时，斜率k∈(－∞，0).
变式探究
1．如图，图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则( )
A．k1＜k2＜k3 B．k3＜k1＜k2
C．k3＜k2＜k1 D．k1＜k3＜k2
解析：D 由题图可知，直线l1的倾斜角α1是钝角，故k1＜0，直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角且α2＞α3，所以0＜k3＜k2，因此k1＜k3＜k2，故选D.
2．折纸艺术是我国民间的传统文化，将一矩形OABC纸片放在平面直角坐标系中，O(0，0)，A(2，0)，C(0，1)，将矩形折叠，使O点落在线段BC上，设折痕所在直线的斜率为k，则实数k的取值范围是( )
A．[0，1] B．[0，2]
C．[－1，0] D．[－2，0]
解析：D 如图，要想使折叠后O点落在线段BC上，可取BC上任意一点D，作线段OD的垂直平分线l，以l为折痕可使O与D重合．因为kOD≥kOB＝，所以k＝－≥－2，且k<0.又当折叠后O与C重合时，k＝0，所以－2≤k≤0，所以实数k的取值范围是[－2，0].故选D.
探究点2 直线的方程及求法
【例2】 (1)(多选)过点(－3，1)且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程可能是( )
A．x＋3y＝0 B．x＋y＋2＝0
C．x－y＋2＝0 D．x－3y＝0
(2)在等腰三角形MON中，MO＝MN，点O(0，0)，M(－1，3)，点N在x轴的负半轴上，则直线MN的方程为( )
A．3x－y－6＝0 B．3x＋y＋6＝0
C．3x－y＋6＝0 D．3x＋y－6＝0
(3)数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点分别为A(0，2)，B(－1，0)，C(4，0)，则△ABC的欧拉线方程为( )
A．4x－3y－6＝0 B．3x＋4y＋3＝0
C．4x＋3y－6＝0 D．3x＋4y－3＝0
解析：(1)AB 当截距均为0时，设直线的方程为y＝kx，将点(－3，1)的坐标代入得k＝－，此时直线的方程为x＋3y＝0；当截距均不为0时，设直线的方程为＋＝1，将点(－3，1)的坐标代入得a＝－2，此时直线的方程为x＋y＋2＝0.故选AB.
(2)C 因为MO＝MN，所以直线MN的斜率与直线MO的斜率互为相反数，所以kMN＝－kMO＝3，所以直线MN的方程为y－3＝3(x＋1)，即3x－y＋6＝0，故选C.
(3)C 因为△ABC的顶点分别为A(0，2)，B(－1，0)，C(4，0)，所以△ABC的重心为G(1，).
因为kAB＝2，kAC＝－，所以kAB·kAC＝－1，所以AB⊥AC，
所以△ABC的外心为边BC的中点D(，0).
因为三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，
所以△ABC的欧拉线为直线GD，
所以△ABC的欧拉线方程为
＝，
即4x＋3y－6＝0，故选C.
(1)确定一条直线需要两个条件，只要找到直线上两点的坐标或直线上一点的坐标与直线的斜率即可．
(2)确定直线的方程的常用方法有两种
①直接法：根据已知条件确定适当的直线方程形式，直接写出直线的方程．
②待定系数法：先设出直线方程，再根据已知条件求出待定的系数，最后代入求出方程．
(3)选择直线方程时，应有分类讨论意识．选用点斜式或斜截式，先要讨论斜率是否存在；选用截距式前，先要讨论在两坐标轴上的截距是否存在或是不是0.
变式探究
3．已知△ABC中，B(2，1)，C(－2，3)，则BC边所在直线的方程为______________．
解析：x＋2y－4＝0 因为△ABC中，B(2，1)，C(－2，3)，可得直线BC的斜率为k＝＝－，
所以BC边所在直线的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0.
4．直线l过点(5，10)，且到原点的距离为5，则直线l的方程是___________________．
解析：x－5＝0或3x－4y＋25＝0
当斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0，满足题意；
当斜率存在时，设斜率为k，则所求直线方程为y－10＝k(x－5)，即kx－y＋10－5k＝0.
由点到直线的距离公式，得＝5，解得k＝.
故所求直线方程为3x－4y＋25＝0.
综上，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.
5．已知直线l过A(－2，1)，并在两坐标轴上的截距的绝对值相等，那么这样的直线l共有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
解析：C 由题意，该直线斜率存在且不为0，设所求直线的方程为y－1＝k(x＋2).
令x＝0，则y＝2k＋1；令y＝0，则x＝－－2.
因为直线l在两坐标轴上截距的绝对值相等，
所以|2k＋1|＝|－－2|，
化简得2k2＋3k＋1＝0或2k2－k－1＝0，
解得k＝－或k＝－1或k＝1，
所以过A(－2，1)并在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有3条．
故选C.
探究点3 直线方程的综合应用
【例3】 过点P(2，1)作直线l分别交x轴、y轴的正半轴于A，B两点．
(1)求|OA|·|OB|的最小值，及此时直线l的截距式方程；
(2)求|PA|·|PB|的最小值，及此时直线l的截距式方程．
解析：(1)根据题意可设直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)，则A(a，0)，B(0，b).
因为直线l过点P(2，1)，所以＋＝1(a>0，b>0).
又＋≥2(当且仅当＝，即a＝4，b＝2时取等号)，
所以2≤1，即ab≥8，
所以|OA|·|OB|＝ab的最小值为8，此时直线l的截距式方程为＋＝1.
(2)由(1)可知＋＝1，所以b＝>0，则a>2，
所以|PA|·|PB|
＝·
＝·
＝·
＝2
≥2＝4，
当且仅当(a－2)2＝，即a＝3时取等号．
所以|PA|·|PB|的最小值为4，
此时a＝3，b＝3，直线l的截距式方程为＋＝1.
1．与直线方程有关的最值或范围问题．先设出直线方程，建立目标函数，再利用函数的单调性或基本不等式求解．
2．看到直线与两坐标轴相交且同时出现与坐标原点O有关的三角形面积或周长等问题时，要想到利用直线的截距式方程求解．
变式探究
6．设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0相交于点P(P与A，B不重合)，则△PAB面积的最大值是( )
A． B．5
C．2 D．
解析：D 由题意知直线x＋my＝0过定点A(0，0)，直线mx－y－m＋3＝0可变为m(x－1)－y＋3＝0，所以该直线过定点B(1，3)，所以|AB|2＝12＋32＝10.
又1×m＋m×(－1)＝0，所以直线x＋my＝0与直线mx－y－m＋3＝0互相垂直，
所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10，
所以10＝|PA|2＋|PB|2≥2|PA|·|PB|，即|PA|·|PB|≤5，当且仅当|PA|＝|PB|＝时取等号，
所以S△PAB＝|PA|·|PB|≤，
即△PAB面积的最大值是.故选D.
7．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R).
(1)证明：直线l过定点．
(2)若直线l不经过第四象限，求实数k的取值范围．
(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程．
解析：(1)证明：直线l的方程可化为k(x＋2)＋(1－y)＝0，
令解得
所以无论k取何值，直线过定点(－2，1).
(2)由方程知，当k≠0时，直线在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则解得k＞0.
当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，
故实数k的取值范围是[0，＋∞).
(3)由题意可知k＞0，由直线l的方程，得A(－，0)，B(0，1＋2k).
因为S＝·|OA|·|OB|
＝·||·|1＋2k|
＝·＝(4k＋＋4)
≥×(2×2＋4)
＝4，
当且仅当k＞0且4k＝，即k＝时等号成立，
所以Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.
1．已知直线l的方程为x－3y＋4＝0，则直线l的倾斜角为（ ）
A． B．
C． D．
解析：A 由题意可得，直线l的斜率k＝＝tan ，即直线l的倾斜角为.故选A.
2．已知直线l与直线x－y＝0平行，且在y轴上的截距是－2，则直线l的方程是（ ）
A．x－y＋2＝0 B．x－2y＋4＝0
C．x－y－2＝0 D．x＋2y－4＝0
解析：C 因为直线l平行于直线x－y＝0，所以设直线l的方程为x－y＋m＝0，
因为在y轴上的截距是－2，则过点(0，－2)，代入直线方程得0－(－2)＋m＝0，
解得m＝－2，所以直线l的方程是x－y－2＝0.故选C.
3．(多选)（2024·吉林期末)直线l经过点(2，－4)，且两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程可能是（ ）
A．2x＋y＝0 B．2x＋y－8＝0
C．x－y－6＝0 D．x＋y＋2＝0
解析：AD 当直线l的截距为0时，直线l的方程为y＝－2x，即2x＋y＝0，A正确；
当直线l的截距不为0时，设直线l的方程为＋＝1，
将(2，－4)代入直线l的方程，得＋＝1，解得a＝－2，
则直线l的方程为＋＝1，即x＋y＋2＝0，D正确．故选AD.
4．直线y＝kx＋b经过第二、三、四象限，则斜率k和在y轴上的截距b满足的条件为（ ）
A．k>0，b>0 B．k<0，b<0
C．k>0，b<0 D．k<0，b>0
解析：B 在平面直角坐标系中作出y＝kx＋b图象，如图所示．
由图可知，k<0，b<0.故选B.
5．已知点M是直线l：2x－y－4＝0与x轴的交点，将直线l绕点M按逆时针方向旋转45°后，得到的直线方程是（ ）
A．x＋y－3＝0 B．x－3y－2＝0
C．3x－y＋6＝0 D．3x＋y－6＝0
解析：D 设直线l的倾斜角为α，则tan α＝k＝2，直线l绕点M按逆时针方向旋转45°，所得直线的斜率k′＝tan (α＋)＝＝－3.又点M(2，0)在旋转后的直线上，所以y＝－3(x－2)，即3x＋y－6＝0.故选D.
6．不论m为何实数，直线x－2my－1＋3m＝0恒过一个定点，则这个定点的坐标为（ ）
A．(1，0) B．(2，3)
C．(3，2) D．(1，)
解析：D 直线x－2my－1＋3m＝0，可化为x－1＋m(3－2y)＝0.令得即直线恒过定点(1，).故选D.
7．(2025·上海黄浦期中)若过P(－2，m)，Q(m，4)两点的直线的倾斜角为45°，则m＝________．
解析：1 依题意，直线PQ的斜率kPQ＝tan 45°＝1，又kPQ＝，则＝1，解得m＝1.
8．若三点A(2，2)，B(a，0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则＋＝________.
解析： 依题意＝，所以a－2＝，所以a＝，所以＋＝＋＝＝.
9．已知点A(1，3)，B(－2，－1).若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，则k的取值范围是（ ）
A．k≥ B．k≤－2
C．k≥或k≤－2 D．－2≤k≤
解析：D 由已知直线l恒过定点P(2，1)，如图所示，若l与线段AB相交，则kPA≤k≤kPB，因为kPA＝＝－2，kPB＝＝，所以－2≤k≤.故选D.
10．△ABC的三个顶点是A(0，3)，B(3，3)，C(2，0)，直线l：x＝a将△ABC分割成面积相等的两部分，则实数a的值是（ ）
A． B．1＋
C．1＋ D．
解析：A 如图所示．
因为A(0，3)，B(3，3)，C(2，0)，
所以lAC：y＝－x＋3，lAB：y＝3.
由图易知，当直线l：x＝a将△ABC分割成面积相等的两部分时，D(a，3)，E(a，－a＋3)(0因为S△ADE＝S△ABC，
所以AD·DE＝××3×3，
即a·a＝××3×3，解得a＝，故选A.
11．已知两直线l1：a1x＋b1y＋1＝0和l2：a2x＋b2y＋1＝0的交点为P(2，3)，则过两点Q1(a1，b1)，Q2(a2，b2)(a1≠a2)的直线方程为____________________.
解析：2x＋3y＋1＝0
由P(2，3)在已知两条直线上，
得
联立解得2(a1－a2)＋3(b1－b2)＝0，
即＝－，
所以所求直线为y－b1＝－(x－a1)，
即2x＋3y－(2a1＋3b1)＝0，即2x＋3y＋1＝0.
12．已知△ABC的三个顶点分别为A(－3，0)，B(2，1)，C(－2，3)，试求：
(1)边AC所在直线的方程；
(2)边BC上的中线AD所在直线的方程；
(3)边BC上的高AE所在直线的方程．
解析：(1)因为A(－3，0)，C(－2，3)，
所以边AC所在直线的方程为＝，
即3x－y＋9＝0.
(2)因为边BC上的中点D(0，2)，
所以边BC上的中线AD所在直线的方程为＋＝1，即2x－3y＋6＝0.
(3)因为边BC的斜率k＝＝－，
所以边BC上的高AE的斜率k＝2，
所以边BC上的高AE所在直线的方程为y＝2(x＋3)，即2x－y＋6＝0.
13．(多选)已知直线l的一个方向向量为u＝(－，)，且l经过点(1，－2)，则下列结论中正确的是（ ）
A．直线l的倾斜角为120°
B．直线l在x轴上的截距为
C．直线l与直线x－3y＋2＝0垂直
D．原点(0，0)到直线l的距离大于
解析：ACD 由已知得直线l的斜率k＝＝－，
设其倾斜角为θ，则tan θ＝－，所以θ＝120°，A正确；
直线l的方程为y＋2＝－(x－1)，即x＋y＋2－＝0，所以它在x轴上的截距为1－，B错误；
直线x－3y＋2＝0的斜率为，
又×(－)＝－1，所以两直线垂直，C正确；
原点到直线l的距离d＝1－＞，D正确．故选ACD.
14．已知△ABC的顶点A(2，3)，边AC，边AB的中线方程分别为x－3y＝0，5x＋6y－14＝0，则直线BC的方程为____________.
解析：x＋4y＝0 由题意可知，点B在直线x－3y＝0上，设点B(3b，b)，
则线段AB的中点为M(，)，易知点M在直线5x＋6y－14＝0上，
则－14＝0，解得b＝0，所以点B的坐标为(0，0).
点C在直线5x＋6y－14＝0上，
可设点C(c，)，
则线段AC的中点为N(，)，易知点N在直线x－3y＝0上，
则－＝0，解得c＝4，
所以点C的坐标为(4，－1).
直线BC的斜率为k＝＝－，
因此，直线BC的方程为y＝－x，即x＋4y＝0.
第51讲 两直线的位置关系、对称问题
[课标要求] 1.能判定两条直线平行或垂直的关系.2.能用解方程组的方法判定并求两条直线相交的交点坐标.3.探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.4.掌握中心对称、轴对称等问题的几何特征和求解的基本方法，并能利用图形的对称性解决有关问题．
1．两条直线的平行与垂直
已知直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则：
(1)l1∥l2 __k1＝k2且b1≠b2__；
(2)l1与l2相交 __k1≠k2__；
(3)l1⊥l2 __k1k2＝－1__．
对于斜率不存在的情况，可以根据图形进行判断，若两条不重合直线的斜率都不存在，则这两条直线__平行__ ；若一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，则这两条直线__垂直__.
2．两直线的交点
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组的解一一对应．
相交 方程组有__唯一解__，交点的坐标就是方程组的解；
平行 方程组__无解__；
重合 方程组有__无穷多组解__．
3．距离公式
(1)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝____；
(2)点到直线的距离公式：设点P(x0，y0)，直线l：Ax＋By＋C＝0，P到l的距离为d，则有d＝____；
(3)两条平行直线间的距离公式：设两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0和l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)，它们之间的距离为d，则有d＝____．
4．中心对称
(1)设平面上的点M(a，b)，P(x，y)，P′(x′，y′)，若满足：＝a，＝b，那么，我们称P，P′两点关于点M对称，点M叫做对称中心．
(2)点与点对称的坐标关系：设点P(x，y)关于M(x0，y0)的对称点P′的坐标是(x′，y′)，则
5．轴对称
(1)设平面上有直线l：Ax＋By＋C＝0和两点P(x，y)，P′(x′，y′)，若满足下列两个条件：①__PP′⊥直线l__；②__PP′的中点在直线l上__，则点P，P′关于直线l对称．
(2)对称轴是特殊直线的对称问题
对称轴是特殊直线时可直接通过代换法得解：
①关于x轴对称(以__－y__代__y__)；
②关于y轴对称(以__－x__代__x__)；
③关于y＝x对称(__x，y__互换)；
④关于x＋y＝0对称(以__－x__代__y__，以__－y__代__x__)；
⑤关于x＝a对称(以__2a－x__代__x__)；
⑥关于y＝b对称(以__2b－y__代__y__).
(3)对称轴为一般直线的对称问题
可根据对称的意义，由垂直平分列方程，从而找到坐标之间的关系：
设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0(AB≠0)对称，则
1．(教材母题选必修习题2.2T8)已知直线l经过点P(2，－1)，且与直线2x＋3y＋1＝0垂直，则直线l的方程是( )
A．2x＋3y－7＝0 B．3x＋2y－8＝0
C．2x－3y－1＝0 D．3x－2y－8＝0
解析：D 因为直线l与直线2x＋3y＋1＝0垂直，故可设直线l的方程是3x－2y＋C＝0.
将P(2，－1)代入直线l中，6＋2＋C＝0，解得C＝－8，故直线l的方程为3x－2y－8＝0.故选D.
2．(教材母题选必修习题2.3T7改编)已知l1∥l2，l1：2x＋y＋4＝0，l2：6x＋ay＋2＝0，则它们间的距离为( )
A． B．
C． D．
解析：D 因为l1∥l2，所以2a＝6，故a＝3，故l2：2x＋y＋＝0.故l1，l2之间的距离为＝＝，故选D.
3．(2024·浙江绍兴期末)原点到直线l：λx＋y－λ＋1＝0(λ∈R)的距离的最大值为( )
A． B．
C． D．
解析：D (方法1)设原点到直线l的距离为d，由点到直线的距离公式得
d＝＝＝，
显然当λ<0时，有最大值，
此时－＝.
因为(－λ)＋(－)≥2＝2，当且仅当λ＝－1时等号成立，
所以≤＝1，所以dmax＝.
(方法2)由直线l：λx＋y－λ＋1＝0(λ∈R)过定点P(1，－1).当OP⊥l时，原点到直线l的距离最大，最大值为＝，故选D.
4．(教材母题选必修习题2.2T3)若点A(a－1，a＋1)，B(a，a)关于直线l对称，那么直线l的方程为____________.
解析：x－y＋1＝0 由题意可得kAB＝＝－1.
因为点A(a－1，a＋1)，B(a，a)关于直线l对称，所以直线l的斜率为1，
直线l过AB的中点(，)，所以直线l的方程为y－＝x－，即x－y＋1＝0.
5．(2025·山东聊城期中)经过两条直线l1：x＋y＝2，l2：2x－y＝1的交点，且直线的一个方向向量v＝(－6，4)的直线方程为________________．
解析：2x＋3y－5＝0
联立方程解得
即直线l1：x＋y＝2，l2：2x－y＝1的交点为(1，1).
又直线的一个方向向量v＝(－6，4)，所以直线的斜率为－，
故该直线方程为y－1＝－(x－1)，即2x＋3y－5＝0.
探究点1 两直线位置关系的判定
【例1】 (1)(2025·重庆渝中期中)已知直线2x＋y＋5＝0与直线kx＋2y＝0互相垂直，则它们的交点坐标为( )
A．(－1，－3) B．(－2，－1)
C．(－，－1) D．(－1，－2)
(2)(2024·安徽马鞍山期中)已知直线l1：2ax－4y－3＝0，l2：x－ay＋1＝0，则“a＝”是“l1∥l2”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(3)(2024·四川遂宁期中)已知直线ax＋y＋1＝0，x＋ay＋1＝0和x＋y＋a＝0能构成三角形，则实数a的取值范围是( )
A．a≠－2
B．a≠±1
C．a≠－2且a≠±1
D．a≠－2且a≠1
解析：(1)B 因为2x＋y＋5＝0与kx＋2y＝0互相垂直，所以2k＋2＝0，所以k＝－1，
所以解得
所以交点坐标为(－2，－1)，故选B.
(2)A 当l1∥l2时，2a·(－a)－(－4)×1＝0，解得a＝±.
验证：当a＝时，l1：2x－4y－3＝0，l2：x－y＋1＝0，两直线平行，
当a＝－时，l1：－2x－4y－3＝0，l2：x＋y＋1＝0，两直线平行，
所以“a＝”是“l1∥l2”的充分不必要条件．故选A.
(3)C 若三条直线能构成三角形，则两直线不平行，且三条直线不经过同一点．
若a＝0，则三条直线围成三角形．
若a≠0，则≠，≠，解得a≠±1.
当a≠±1时，
由得
代入x＋ay＋1＝0得1－a(a＋1)＋1＝0，解得a＝1或a＝－2，因此a≠－2.
综上，a≠±1且a≠－2.故选C.
(1)判断两直线的位置关系，当直线方程中含有参数时，常常要以斜率是否存在为依据进行讨论，不仅要考虑斜率存在的情况，还要考虑斜率不存在的情况．
(2)在讨论两直线平行时，要注意验证两直线是否重合．对于斜率不存在是否符合要求，对斜率不存在的情况一般可结合图形进行判断．对含参数的问题还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．
变式探究
1．设a，b，c分别为△ABC中角A，B，C所对边的边长，则x sin A＋ay＋c＝0与bx－y sin B＋sin C＝0的位置关系是( )
A．相交但不垂直 B．垂直
C．平行 D．重合
解析：B 由题可知，直线sin A·x＋ay＋c＝0与bx－sin B·y＋sin C＝0的斜率分别为－，.又在△ABC中＝，所以－·＝－1，所以两条直线垂直，故选B.
2．经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程为__________________．
解析：5x＋3y－1＝0 将直线l1，l2的方程联立，得解得即直线l1，l2的交点为(－1，2).
由题意得直线l3的斜率为.又直线l⊥l3，所以直线l的斜率为－，
则直线l的方程是y－2＝－(x＋1)，即5x＋3y－1＝0.
3．(2024·华师大二附中校考三模)已知三条直线l1：x－2y＋2＝0，l2：x－2＝0，l3：x＋ky＝0将平面分为六个部分，则满足条件的实数k的值共有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．无数个
解析：C 当三条直线交于一点时，可将平面分为六个部分，
联立方程解得
则将代入l3：x＋ky＝0中，得2k＋2＝0，解得k＝－1；
当l3：x＋ky＝0与l1：x－2y＋2＝0平行时，满足要求，此时k＝－2；
当l3：x＋ky＝0与l2：x－2＝0平行时，满足要求，此时k＝0.
综上，满足条件的实数k的值共有3个．故选C.
探究点2 距离公式的应用
【例2】 (1)若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为( )
A．3 B．2
C．3 D．4
(2)过直线l1：x－2y＋3＝0与直线l2：2x＋3y－8＝0的交点，且到点P(0，4)的距离为1的直线l的方程为______________．
解析：(1)A 依题意知AB的中点M的集合为到直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0距离都相等的直线，则M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离．设点M所在直线的方程为l：x＋y＋m＝0，根据平行线间的距离公式得＝?|m＋7|＝|m＋5|?m＝－6，即l：x＋y－6＝0.根据点到直线的距离公式，得点M到原点的距离的最小值＝3.故选A.
(2)3x＋4y－11＝0或x＝1
由解得
所以l1，l2的交点为(1，2).
显然，直线x＝1满足条件；
当直线斜率存在时，设直线方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y＋2－k＝0.
依题意有＝1，解得k＝－.
所以所求直线方程为3x＋4y－11＝0或x＝1.
(1)运用距离公式时，要注意公式的运用条件．如运用点到直线的距离公式时，需把直线方程化为一般形式；运用两平行线间的距离公式时，首先要将x，y的系数变为对应相等．
(2)求与距离有关的最值时，一般思路是转化为函数的最值．要注意挖掘问题的几何特点，进行合理联想和转化，利用几何直观常可简捷地解答．
变式探究
4．在平面直角坐标系中，A(－4，0)，B(－1，0)，点P(a，b)(ab≠0)满足|AP|＝2|BP|，则＋的最小值为________.
解析： 由|AP|＝2|BP|，
得＝2，化简得a2＋b2＝4.
则＋＝(＋)··(a2＋b2)
＝(4＋1＋＋)
≥(5＋2)
＝，
当且仅当a2＝2b2时取等号，所以＋的最小值为.
5．已知两条平行直线分别过点P(－2，－2)，Q(1，3)，它们之间的距离为d，这两条直线各自绕点P，Q旋转并保持互相平行，则实数d的取值范围为____________．
解析：(0，] 当两平行直线的斜率存在时，设平行直线的斜率为k，则直线l1：y＋2＝k(x＋2)，直线l2：y－3＝k(x－1).
由平行直线间的距离公式得d＝，
则d2＝.
将问题转化为方程(d2－9)k2＋30k＋d2－25＝0.
由或d2－9＝0，
解得0当两平行直线的斜率不存在时，两直线方程分别为x＝－2，x＝1，这时，d＝3.故0探究点3 对称问题
【例3】 (1)已知直线l与直线l1：y＝1及直线l2：x＋y－7＝0分别交于点P，Q.若PQ的中点为点M(1，－1)，则直线l的斜率为______________．
(2)直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点M，则直线2x＋3y－6＝0关于M点对称的直线方程为____________________.
(3)如图，一次函数y＝x＋4的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，点C(－2，0)是x轴上一点，点E，F分别为直线y＝x＋4和y轴上的两个动点，当△CEF周长最小时，点E，F的坐标分别为( )
A．E(－，)，F(0，2)
B．E(－2，2)，F(0，2)
C．E(－，)，F(0，)
D．E(－2，2)，F(0，)
解析：(1)－ 设P(a，1)，
则Q(2－a，－3).
由点Q在直线l2上，
得2－a－3－7＝0，a＝－8，
故P(－8，1)，
所以直线l的斜率为k＝＝－.
(2)2x＋3y＋12＝0 由ax＋y＋3a－1＝0得(x＋3)a＋(y－1)＝0，由得M(－3，1).
设直线2x＋3y－6＝0关于M点对称的直线方程为2x＋3y＋C＝0，
所以＝，解得C＝12或C＝－6(舍)，
所以直线2x＋3y－6＝0关于M点对称的直线方程为2x＋3y＋12＝0.
(3)C 如图，作C(－2，0)关于y轴的对称点G(2，0)，作 C(－2，0)关于y＝x＋4的对称点D(a，b).
连接DG交y轴于F，交AB于E，所以FG＝FC，EC＝ED.
此时△CEF周长最小，即EC＋FC＋EF＝ED＋FG＋EF＝DG.
由C(－2，0)，直线AB的方程为y＝x＋4，
所以解得
所以D(－4，2)，
可得直线DG的方程为＝，即y＝－x＋.
由解得
所以E(－，).
令x＝0可得y＝，所以F(0，).故选C.
(1)常见对称问题包括：中心对称与轴对称．
中心对称——关键是点与点的对称，利用中点公式．
轴对称——关键是点关于直线的对称，充分利用对称的特点(抓住垂直、平分两个条件).
(2)对称问题应用很广泛，角平分线问题、光线的反射问题等都可考虑利用对称进行转化．
变式探究
6．一条光线从点A(－1，1)出发射向x轴，经过x轴上的点P反射后经过点B(2，5)，则点P的坐标为____________．
解析：(－，0) 由题意可得A(－1，1)关于x轴的对称点为(－1，－1).
而反射光线直线又过B(2，5)，
所以其直线为y＝(x－2)＋5，即y＝2x＋1.
当y＝0时，x＝－，
即点P的坐标为(－，0).
7．已知△ABC的顶点A(1，2)，边AB上的中线CM所在的直线方程为x＋2y－1＝0，∠ABC的平分线BH所在直线方程为y＝x，则直线BC的方程为________________．
解析：2x－3y－1＝0 由题意可知，点B在角平分线y＝x上，可设点B的坐标是(m，m)，
则AB的中点(，)在直线CM上，
所以＋2·－1＝0，
解得m＝－1，故点B(－1，－1).
设A关于y＝x的对称点为A′(x0，y0)，
则有 解得
即A′(2，1)，又由A′在直线BC上，
可得直线BC的方程为＝，
即3(y＋1)＝2(x＋1)，即2x－3y－1＝0.
8．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，边AB，AD分别在x轴、y轴的正半轴上，点A与坐标原点重合．现将矩形ABCD沿某一条直线折叠，使点A落在线段CD上，设此点为A1.
(1)若折痕所在的直线的斜率为k(k为常数)，则用k表示点A1的坐标为___________．
(2)折痕所在的直线方程为______________________．
解析：(1)(－，) (2)y＝kx＋＋
当k＝0时，A1(0，1)，折痕所在直线方程为y＝.
当k≠0时，直线AA1的斜率为－，所以直线AA1的方程为y＝－x，
由解得x＝－k，所以A1(－k，1)，
所以AA1的中点坐标为(－，)，
所以折痕所在的直线方程为y－＝k(x＋)，y＝kx＋＋.
当k＝0时，折痕y＝也符合上式，
综上所述，折痕所在的直线方程为y＝kx＋＋.
1．“a＝－1”是“直线ax＋3y＋3＝0和直线x＋(a－2)y＋1＝0平行”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：C 由题意得，直线ax＋3y＋3＝0和直线x＋(a－2)y＋1＝0平行的充要条件是解得a＝－1，故选C.
2．若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0，x＋ky＝0交于一点，则k＝（ ）
A．－2 B．2
C．－ D．
解析：C 由得即三条直线的交点坐标为(－1，－2)，代入x＋ky＝0，得－1－2k＝0，解得k＝－.故选C.
3．若直线2x－y－3＝0与4x－2y＋a＝0之间的距离为，则实数a的值为（ ）
A．4 B．－6
C．4或－16 D．8或－16
解析：C 将直线2x－y－3＝0化为4x－2y－6＝0，
则直线2x－y－3＝0与直线4x－2y＋a＝0之间的距离
d＝＝，根据题意可得＝，
即|a＋6|＝10，解得a＝4或a＝－16，
所以实数a的值为4或－16.故选C.
4．已知过点A(－2，m)和点B(m，4)的直线为l1，直线l2：y＝－2x＋1，l3：y＝－x－.若l1∥l2，l2⊥l3，则m＋n＝（ ）
A．－10 B．－2
C．0 D．8
解析：A 因为l1∥l2，
所以kAB＝＝－2，解得m＝－8.
又l2⊥l3，所以(－)×(－2)＝－1，
解得n＝－2.所以m＋n＝－10.故选A.
5．已知点A与点B(2，1)关于直线x＋y＋2＝0对称，则点A的坐标为（ ）
A．(－1，4) B．(4，5)
C．(－3，－4) D．(－4，－3)
解析：C 设A(x，y)，因为点A与点B关于直线对称，所以AB的中点在直线x＋y＋2＝0上，且直线AB与直线x＋y＋2＝0垂直，
则?即点A坐标为(－3，－4).故选C.
6．已知△ABC的顶点B(2，1)，C(－6，3)，其垂心为H(－3，2)，则其顶点A的坐标为（ ）
A．(－19，－62) B．(19，－62)
C．(－19，62) D．(19，62)
解析：A 因为H为△ABC的垂心，
所以AH⊥BC，BH⊥AC.
又kBC＝＝－，kBH＝＝－，
所以直线AH，AC斜率存在且kAH＝4，kAC＝5.
设A(x，y)，
则解得
所以A(－19，－62)，故选A.
7．已知点A(1，4)，B(3，－2)，则经过线段AB的中点，且与直线x－2y＋9＝0平行的直线的方程为______________．
解析：x－2y＝0 由点A(1，4)，B(3，－2)，得线段AB中点的坐标为(2，1).
故过点(2，1)且与直线x－2y＋9＝0平行的直线的方程可设为x－2y＋b＝0，
将点(2，1)代入，可得b＝0，故所求直线方程为x－2y＝0.
8．(2025·江苏南通期中)已知点A在x轴上，点B在y轴上，线段AB的中点M的坐标为(2，－1)，则线段AB的长度为________．
解析：2 在平面直角坐标系中，AO⊥BO，
则△ABO为直角三角形，且AB为斜边，
故|AB|＝2|OM|＝2＝2.
9．已知直线x＋2y－3＝0与直线ax＋4y＋b＝0关于点A(1，0)对称，则实数b＝（ ）
A．2 B．6
C．－2 D．－6
解析：A 由于直线x＋2y－3＝0与直线ax＋4y＋b＝0关于点A(1，0)对称，
所以两直线平行，故2a＝4，则a＝2.
由于点(3，0)在直线x＋2y－3＝0上，点(3，0)关于点A(1，0)的对称点为(－1，0)，
故(－1，0)在ax＋4y＋b＝0上，代入可得－a＋b＝0，故b＝a＝2，故选A.
10．如果直线y＝ax＋2与直线y＝3x－b关于直线y＝x对称，那么（ ）
A．a＝，b＝6 B．a＝，b＝－6
C．a＝3，b＝－2 D．a＝3，b＝6
解析：A 在y＝ax＋2上取一点(0，2)，则由题意可得其关于直线y＝x的对称点(2，0)在y＝3x－b上，
所以0＝6－b，得b＝6.
在y＝3x－6上取一点(0，－6)，
则其关于直线y＝x的对称点(－6，0)在y＝ax＋2上，所以0＝－6a＋2，得a＝.
综上，a＝，b＝6，故选A.
11．在平面直角坐标系中，已知点A(0，－2)，B(1，0)，P为直线2x－4y＋3＝0上一动点，则|PA|＋|PB|的最小值是（ ）
A． B．4
C．5 D．6
解析：B 设点A(0，－2)关于直线2x－4y＋3＝0的对称点为A′(x，y)，
则解得
所以A′(－，)，
所以|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|＝＝4，如图，
当且仅当点P为线段A′B与直线2x－4y＋3＝0的交点时等号成立，所以|PA|＋|PB|的最小值是4，故选B.
12．已知直线l1：x－my＋1＝0过定点A，直线l2：mx＋y－m＋3＝0过定点B，l1与l2相交于点P，则|PA|2＋|PB|2＝（ ）
A．10 B．13
C．16 D．20
解析：B 因为1×m＋(－m)×1＝0，所以直线l1与直线l2互相垂直且垂足为P，又因为直线l1：x－my＋1＝0，过定点A(－1，0)，直线l2：mx＋y－m＋3＝0，即m(x－1)＋y＋3＝0，过定点B(1，－3)，所以在Rt△APB中，|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝[1－(－1)]2＋(－3－0)2＝13，故选B.
13．（2024·四川成都月考)设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|＋|PB|的取值范围是________________．
解析：[，2] 由题意可知，动直线x＋my＝0经过定点A(0，0).
动直线mx－y－m＋3＝0，即m(x－1)－y＋3＝0，经过定点B(1，3).
因为动直线x＋my＝0和动直线mx－y－m＋3＝0的斜率之积为－1，始终垂直，
又点P是两条直线的交点，所以PA⊥PB，
所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10.
设∠ABP＝θ，则|PA|＝sin θ，|PB|＝cos θ，
由|PA|≥0且|PB|≥0，可得θ∈[0，]，
所以|PA|＋|PB|＝(sin θ＋cos θ)＝2sin (θ＋).
因为θ∈[0，]，所以θ＋∈[，]，
所以sin (θ＋)∈[，1]，
所以2sin (θ＋)∈[，2].
14．定义：在平面直角坐标系中，设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则d(P，Q)＝|x1－x2|＋|y1－y2|叫做P，Q两点的“垂直距离”，已知点M(x0，y0)是直线ax＋by＋c＝0外一定点，点N是直线ax＋by＋c＝0上一动点，则M，N两点的“垂直距离”的最小值为（ ）
A． B．
C． D．|ax0＋by0＋c|
解析：A 因为点M(x0，y0)是直线ax＋by＋c＝0外一定点，点N是直线ax＋by＋c＝0上一动点，
所以设N(－，－)，
故M，N两点的“垂直距离”d(P，Q)＝|－－x0|＋|－－y0|＝＋≥.
所以M，N两点的“垂直距离”的最小值为.故选A.
第52讲 圆的方程
[课标要求] 1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程和一般方程.2.能根据给定条件求圆的标准方程及与圆有关的轨迹方程．
1．圆的定义
在平面内，到__定点__的距离等于__定长__的点的集合叫做圆．
确定一个圆最基本的要素是__圆心__和半径．
2．圆的方程
(1)圆的标准方程：__(x－a)2＋(y－b)2＝r2__，其中(a，b)为圆心，r为半径．
特别地，当a＝b＝0时，表示圆心在原点的圆的方程：x2＋y2＝r2.
(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，圆心为__(－，－)__，半径r＝____．
3．求圆的方程的方法和步骤
由于圆的方程形式已知，所以求圆的方程常采用__待定系数法__，大致步骤为：
(1)根据题意，选择__标准或一般__方程；
(2)根据条件列出关于__a，b，r或D，E，F__的方程组；
(3)解出__a，b，r或D，E，F__代入标准方程或一般方程．
1．点与圆的位置关系
圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)，
(1)点在圆上 __(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2__；
(2)点在圆外 __(x0－a)2＋(y0－b)2>r2__；
(3)点在圆内 __(x0－a)2＋(y0－b)22．平面上定点A与圆P上动点B之间的距离的最值
(1)最大值为|PA|＋r；
(2)最小值为.(其中r为圆P的半径)
3．已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
1．“a<1”是“方程2x2＋2y2＋2ax＋6y＋5a＝0表示圆”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：A 因为方程2x2＋2y2＋2ax＋6y＋5a＝0，即x2＋y2＋ax＋3y＋＝0表示圆，
等价于a2＋9－10a>0，解得a>9或a<1，
故“a<1”是“方程2x2＋2y2＋2ax＋6y＋5a＝0表示圆”的充分不必要条件．故选A.
2．(2022·北京卷)若直线2x＋y－1＝0是圆(x－a)2＋y2＝1的一条对称轴，则a＝( )
A． B．－
C．1 D．－1
解析：A 由题可知圆心为(a，0)，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即2a＋0－1＝0，解得a＝.故选A.
3．(教材母题选必修习题2.4T8)已知长为2a(a>0)的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段AB的中点的轨迹方程为____________.
解析：x2＋y2＝a2 如图，不论直线怎么移动，线段AB的中点P与原点O的连线始终为Rt△OAB斜边上的中线，即|OP|＝a，即x2＋y2＝a2.故所求的轨迹方程为x2＋y2＝a2.
4．已知圆的圆心为(－2，1)，其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程是____________________．
解析：x2＋y2＋4x－2y＝0
设直径的两个端点分别A(a，0)，B(0，b)，圆心C为点(－2，1)，由中点坐标公式，得＝－2，＝1，解得a＝－4，b＝2.所以半径r＝＝，
所以圆的方程是(x＋2)2＋(y－1)2＝5，即x2＋y2＋4x－2y＝0.
5．设点P是函数y＝－的图象上的任意一点，点Q(2a，a－3)(a∈R)，则|PQ|的最小值为__________．
解析：－2 如图所示，点P在半圆C(实线部分)上，且由题意知，C(1，0)，点Q在直线l：x－2y－6＝0上．过圆心C作直线l的垂线，垂足为点A，则|CA|＝，故|PQ|min＝|CA|－2＝－2.
探究点1 圆的方程及求法
【例1】 (1)过两点A(0，4)，B(4，6)，且圆心在直线x－2y－2＝0上的圆的标准方程是( )
A．(x＋4)2＋(y＋1)2＝25
B．(x＋4)2＋(y－1)2＝25
C．(x－4)2＋(y＋1)2＝25
D．(x－4)2＋(y－1)2＝25
(2)若圆C与y轴相切，与直线l：y＝x也相切，且圆C经过点P(2，)，则圆C的半径为__________.
(3)(2024·湖北高三校联考期末)广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互纠在一起，因而被习称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，整个图形是一个圆形区域x2＋y2≤4.其中黑色阴影区域在y轴左侧部分的边界为一个半圆．已知符号函数sgn (x)＝则当x2＋y2≤4时，下列不等式能表示图中阴影部分的是( )
A．x(x2＋(y－sgn (x))2－1)≤0
B．y((x－sgn (y))2＋y2－1)≤0
C．x(x2＋(y－sgn (x))2－1)≥0
D．y((x－sgn (y))2＋y2－1)≥0
解析：(1)D 设圆心坐标为C(2b＋2，b)，由圆过两点A(0，4)，B(4，6)，可得|AC|＝|BC|，即[(2b＋2)－0]2＋(b－4)2＝[(2b＋2)－4]2＋(b－6)2，解得b＝1，可得圆心为(4，1)，半径为5，则所求圆的方程为(x－4)2＋(y－1)2＝25.故选D.
(2)1或 由题意，在直线l：y＝x中，倾斜角为30°，
所以圆C的圆心在两切线所成角的平分线y＝x上．
设圆心C(a，a)，
则圆C的方程为(x－a)2＋(y－a)2＝a2，
将点P(2，)的坐标代入，
得(2－a)2＋(－a)2＝a2，
解得a＝1或a＝，
所以圆C的半径为1或.
(3)C 对于A，当x>0时，x2＋(y－sgn (x))2－1＝x2＋(y－1)2－1≤0，即表示圆x2＋(y－1)2＝1内部及边界，显然不满足，A错误；
对于B，当y>0时，(x－sgn (y))2＋y2－1＝(x－1)2＋y2－1≤0，即表示圆(x－1)2＋y2＝1内部及边界，显然不满足，B错误；
对于C，当x>0时，x2＋(y－sgn (x))2－1＝x2＋(y－1)2－1≥0，即表示圆x2＋(y－1)2＝1外部及边界，满足；
当x<0时，x2＋(y－sgn (x))2－1＝x2＋(y＋1)2－1≤0，即表示圆x2＋(y＋1)2＝1的内部及边界，满足，C正确；
对于D，当y>0时，(x－sgn (y))2＋y2－1＝(x－1)2＋y2－1≥0，即表示圆(x－1)2＋y2＝1外部及边界，显然不满足，D错误．故选C.
(1)直接法．根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而得到所求方程．
(2)待定系数法．其一般步骤为：
①根据题意选用圆的方程两种形式中的一种；
②根据所给条件，列出关于a，b，r或D，E，F的方程组；
③解方程组，求出a，b，r或D，E，F的值，并把它们代入所设的方程中，得到所求的圆的方程．
变式探究
1．已知直线(3＋2λ)x＋(3λ－2)y＋5－λ＝0恒过定点P，则与圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝16有公共的圆心且过点P的圆的标准方程为( )
A．(x－2)2＋(y＋3)2＝36
B．(x－2)2＋(y＋3)2＝25
C．(x－2)2＋(y＋3)2＝18
D．(x－2)2＋(y＋3)2＝9
解析：B 直线(3＋2λ)x＋(3λ－2)y＋5－λ＝0，即(2x＋3y－1)λ＋(3x－2y＋5)＝0，
由
解得
即P(－1，1)，圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝16的圆心C(2，－3)，|PC|＝5，
所以所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25.故选B.
2．过直线2x＋y＋4＝0和圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4的交点，并且面积最小的圆的方程为____________________.
解析：(x＋)2＋(y－)2＝(或x2＋y2＋x－y＋＝0)
联立方程
解得交点坐标为(－3，2)，(－，).
过两交点的圆中，以交点为端点的线段为直径的圆面积最小，故所求圆的圆心坐标为(－，)，
半径为＝，
故所求圆的方程为(x＋)2＋(y－)2＝.
3．设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若∠FAC＝120°，则圆的方程为____________________．
解析：(x＋1)2＋(y－)2＝1 由题知，抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线l：x＝－1，因为点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.
因为∠FAC＝120°，所以∠FAO＝30°.
所以OA＝＝＝，所以OA＝，所以A(0，)，如图所示．
所以C(－1，)，圆的半径为CA＝1，故所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－)2＝1.
探究点2 与圆有关的最值问题
【例2】 (1)(2025·福建宁德校考)已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m，0)，B(m，0)(m>0).若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则实数m的取值范围是_________________．
(2)(2024·广东佛山模拟)已知圆C：(x－1)2＋y2＝4，过点A(0，1)的两条直线l1，l2互相垂直，圆心C到直线l1，l2的距离分别为d1，d2，则d1d2的最大值为( )
A． B．1
C． D．4
(3)(2025·黑龙江哈尔滨模拟)已知实数x1，x2，y1，y2，满足x＋y＝4，x＋y＝9，x1x2＋y1y2＝0，则|x1＋y1－9|＋|x2＋y2－9|的最小值是__________．
解析：(1)[4，6] 因为∠APB＝90°，所以点P的轨迹是以AB为直径的圆O，半径为m，
故点P是圆O与圆C的交点，如图所示．
又C：(x－3)2＋(y－4)2＝1的圆心和半径分别为(3，4)，r＝1，|OC|＝＝5，因此两圆相切或相交，即|m－1|≤≤m＋1，解得4≤m≤6.
(2)B 如图，过圆心C分别作直线l1，l2的垂线，垂足分别为E，F.
因为l1，l2互相垂直，所以四边形AECF为矩形．
由圆C：(x－1)2＋y2＝4，可得C(1，0)，
又A(0，1)，
所以d＋d＝|CE|2＋|CF|2＝|AC|2＝2≥2d1d2，
所以d1d2≤1，当且仅当d1＝d2＝1时取等号，即d1d2的最大值为1，故选B.
(3)18－ 依题意，方程x＋y＝4，x＋y＝9分别表示以原点O为圆心，2，3为半径的圆．
令B(x1，y1)，A(x2，y2)，即点B，A分别在x2＋y2＝4，x2＋y2＝9上，如图．
显然＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，·＝x1x2＋y1y2＝0，
即有⊥，
|AB|＝＝.
取线段AB的中点P，连接OP，则|OP|＝|AB|＝，
因此点P在以原点为圆心，为半径的圆上．
而|x1＋y1－9|＋|x2＋y2－9|＝(＋)，
即|x1＋y1－9|＋|x2＋y2－9|表示点A，B到直线l：x＋y－9＝0的距离和的倍，
过A，B分别作直线l的垂线，垂足分别为M，N，过P作PD垂直于直线l于点D，
于是AM∥PD∥BN，|AM|＋|BN|＝2|PD|，
|x1＋y1－9|＋|x2＋y2－9|＝(|AM|＋|BN|)＝2|PD|，
原点O到直线l的距离d＝，
显然|PD|≥d－|OP|＝－，当且仅当点O，P，D共线，且点P在线段OD上时取等号，
所以(|x1＋y1－9|＋|x2＋y2－9|)min＝2|PD|min＝2(－)＝18－.
(1)处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，常根据代数式的几何意义，借助数形结合的方法求解．
(2)与圆有关的最值问题，常见类型有：
①形如μ＝的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；
②形如t＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；
③形如m＝(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为动点与定点的距离的平方的最值问题；
④圆上的点到直线的距离的最大、最小值问题．
变式探究
4．已知实数x，y满足x2＋y2－4x－2y－4＝0，则x－y的最大值是( )
A．1＋ B．4
C．1＋3 D．7
解析：C (方法1)令x－y＝k，则x＝k＋y，代入原式化简得2y2＋(2k－6)y＋k2－4k－4＝0.
因为存在实数y，则Δ≥0，即(2k－6)2－4×2(k2－4k－4)≥0，
化简得k2－2k－17≤0，解得1－3≤k≤1＋3，故x－y的最大值是3＋1.故选C.
(方法2)x2＋y2－4x－2y－4＝0，整理得(x－2)2＋(y－1)2＝9，
令x＝3cos θ＋2，y＝3sin θ＋1，其中θ∈[0，2π)，
则x－y＝3cos θ－3sin θ＋1＝3cos (θ＋)＋1，
因为θ∈[0，2π)，所以θ＋∈[，)，则当θ＋＝2π，即θ＝时，x－y取得最大值3＋1.故选C.
(方法3)由x2＋y2－4x－2y－4＝0可得(x－2)2＋(y－1)2＝9.
设x－y＝k，则圆心到直线x－y＝k的距离d＝≤3，
解得1－3≤k≤1＋3，故选C.
5．在平面直角坐标系中，直线y＝kx＋m(k≠0)与x轴和y轴分别交于A，B两点，|AB|＝2，若CA⊥CB，则当k，m变化时，点C到点(1，1)的距离的最大值为( )
A．4 B．3
C．2 D．
解析：B 由y＝kx＋m(k≠0)得A(－，0)，B(0，m)，故由|AB|＝2得(－)2＋m2＝8，且AB的中点到原点的距离为.
由CA⊥CB得·＝0.
设C(x，y)，则(x＋，y)·(x，y－m)＝0，即(x＋)2＋(y－)2＝＋，即点C的轨迹为一动圆．
设该动圆圆心为(x′，y′)，则x′＝－，y′＝，
整理得k＝－，m＝2y′，代入(－)2＋m2＝8中，
得x′2＋y′2＝2，即点C的轨迹的动圆的圆心在圆x′2＋y′2＝2上，
故点(1，1)与该圆上的点(－1，－1)的连线的距离加上圆的半径即为点C到点(1，1)的距离的最大值，最大值为＋＝3，故选B.
6．已知点P(1，0)及圆C：x2＋y2＝2，点M，N在圆C上，若PM⊥PN，则|MN|的取值范围为( )
A．[－1，＋1]
B．[2－，2＋]
C．[2－－1，2＋]
D．[2－－1，2＋]
解析：A 由题意，设点M，N的中点为D(x，y)，如图所示．
因为PM⊥PN，所以Rt△PMN斜边的中线等于斜边的一半，
即|PD|＝.
又由垂径定理有
＝，
所以|PD|＝，
即|PD|2＝|OM|2－|OD|2，
则有(x－1)2＋y2＝2－(x2＋y2)，
化简得x2－x＋y2＝，即(x－)2＋y2＝()2，
所以点D的轨迹是以(，0)为圆心，为半径的圆．
由圆的性质有
|DP|min＝－，|DP|max＝＋.
又|MN|＝2|PD|，
所以|MN|min＝－1，|MN|max＝＋1，
所以|MN|的取值范围为[－1，＋1]，故选A.
探究点3 与圆有关的轨迹问题
【例3】 (1)(2024·新课标Ⅱ卷)已知曲线C：x2＋y2＝16(y>0)，从C上任意一点P向x轴作垂线段PP′，P′为垂足，则线段PP′的中点M的轨迹方程为( )
A．＋＝1(y>0)
B．＋＝1(y>0)
C．＋＝1(y>0)
D．＋＝1(y>0)
(2)已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)，求：
(ⅰ)直角顶点C的轨迹方程；
(ⅱ)直角边BC的中点M的轨迹方程．
解析：(1)设点M(x，y)，
则P(x，y0)，P′(x，0).
因为M为PP′的中点，
所以y0＝2y，即P(x，2y).
又P在圆x2＋y2＝16(y>0)上，
所以x2＋4y2＝16(y>0)，即＋＝1(y>0)，
即点M的轨迹方程为＋＝1(y>0).故选A.
(2)(ⅰ)(直接法)设C(x，y).因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.因为AC⊥BC，所以kAC·kBC＝－1.
又kAC＝，kBC＝，
所以·＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0.
所以直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0).
(ⅱ)(代入法)设M(x，y)，C(x0，y0).
因为B(3，0)，M是线段BC的中点，
所以x＝，y＝，所以x0＝2x－3，y0＝2y.
又C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，
将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1(y≠0).
所以动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0).
(1)求与圆有关的轨迹方程时，要注意充分利用圆的几何性质．
(2)求与圆有关的轨迹方程常用的方法有：
①直接法：直接根据题目条件列出方程．
②定义法：判断几何条件符合圆的定义，再用待定系数法求．
③代入法：找到所求的点与已知点的关系，再代入已知点所满足的关系式等．
变式探究
7．已知抛物线y＝x2＋mx－2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(3，1)，圆Q过A，B，C三点，当实数m变化时，存在一条定直线l被圆Q截得的弦长为定值，则此定直线l的方程为( )
A．x－3y＝0 B．3x－y＋1＝0
C．x－y－1＝0 D．x－y＝0
解析：A 设过A，B，C三点的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，
由题意可得y＝0时，x2＋Dx＋F＝0与x2＋mx－2＝0等价，可得D＝m，F＝－2，
圆的方程即为x2＋y2＋mx＋Ey－2＝0.
由圆过C(3，1)可得9＋1＋3m＋E－2＝0，
可得E＝－8－3m，即圆的方程为x2＋y2＋mx＋(－8－3m)y－2＝0，整理得(x2＋y2－8y－2)＋m(x－3y)＝0.
因为m为任意实数方程都成立，
所以
解得或
所以圆过定点(3，1)和(－，－)，
此时过两点的弦长为定值
＝，
过两点的直线的斜率为＝，
所以过两点的直线的方程为y－1＝(x－3)，即为x－3y＝0.故选A.
8．(多选)在平面直角坐标系中，A(1，0)，B(－2，0)，点P满足＝，设点P的轨迹为C，则( )
A．C的周长为4π
B．OP平分∠APB
C．△ABP面积的最大值为6
D．当AP⊥AB时，直线BP与圆C相切
解析：ABD 设P(x，y).因为A(1，0)，B(－2，0)，点P满足＝，所以＝，
整理化简得(x－2)2＋y2＝4，
即曲线C的方程为(x－2)2＋y2＝4，如图所示．
对于A，曲线C为半径为2 的圆，故周长为2π·2＝4π，A正确．
对于B，因为A(1，0)，B(－2，0)，所以＝，所以＝，延长BP到Q，使|AP|＝|PQ|，连接AQ，如图所示．
因为|AP|＝|PQ|，所以＝＝，
所以OP∥AQ，所以∠OPB＝∠Q，∠OPA＝∠QAP.
因为|AP|＝|PQ|，所以∠OPA＝∠Q.
所以∠OPB＝∠OPA，即OP平分∠APB，B正确．
对于C，△ABP的面积S＝|AB|·|yP|＝|yP|.要使△ABP的面积最大，只需|yP|最大，由点P的轨迹为C：(x－2)2＋y2＝4可得|yP|max＝2，所以△ABP面积的最大值为3，C错误．
对于D，当AP⊥AB时，P(1，)或(1，－)，如图所示．不妨取P(1，)，则直线BP：y＝(x＋2)，即y＝(x＋2).
因为圆心C(2，0)到直线BP的距离为d＝＝2，所以d＝r，即直线BP与圆C相切，D正确．故选ABD.
1．方程x2＋y2＋2y＋m＝0表示一个圆，则实数m的取值范围是（ ）
A．(1，＋∞) B．(－∞，1)
C．[1，＋∞) D．(－∞，1]
解析：B 由x2＋y2＋2y＋m＝0，得x2＋(y＋1)2＝1－m>0，解得m<1.故选B.
2．与圆x2＋y2－2x＋4y＋3＝0圆心相同，且过点(1，－1)的圆的方程是（ ）
A．x2＋y2－2x＋4y－4＝0
B．x2＋y2－2x＋4y＋4＝0
C．x2＋y2＋2x－4y－4＝0
D．x2＋y2＋2x－4y＋4＝0
解析：B 设所求圆的方程为x2＋y2－2x＋4y＋m＝0，由该圆过点(1，－1)，得m＝4，所以所求圆的方程为x2＋y2－2x＋4y＋4＝0.故选B.
3．圆(x－1)2＋y2＝2关于直线x－y＋1＝0对称的圆的方程是（ ）
A．(x＋1)2＋(y－2)2＝
B．(x－1)2＋(y＋2)2＝
C．(x＋1)2＋(y－2)2＝2
D．(x－1)2＋(y＋2)2＝2
解析：C 因为圆心(1，0)关于直线x－y＋1＝0的对称点是(－1，2)，所以所求圆的方程是(x＋1)2＋(y－2)2＝2.故选C.
4．过坐标原点，且在x轴和y轴上的截距分别为2和3的圆的方程为（ ）
A．x2＋y2－2x－3y＝0
B．x2＋y2＋2x－3y＝0
C．x2＋y2－2x＋3y＝0
D．x2＋y2＋2x＋3y＝0
解析：A 设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，
由题意知，圆过点(0，0)，(2，0)和(0，3)，
所以解得
所以所求圆的方程为x2＋y2－2x－3y＝0.故选A.
5．当方程x2＋y2＋ax＋2y＋a2＝0所表示的圆的面积最大时，直线y＝(a－1)x＋2的倾斜角为（ ）
A． B．
C． D．
解析：B 方程x2＋y2＋ax＋2y＋a2＝0可化为(x＋)2＋(y＋1)2＝－a2＋1.
设圆的半径为r(r>0)，则r2＝1－a2，
所以当a＝0时，r2取得最大值，从而圆的面积最大．
此时，直线方程为y＝－x＋2，斜率k＝－1，倾斜角为，故选B.
6．若两定点A(1，0)，B(4，0)，动点M满足2|MA|＝|MB|，则动点M的轨迹围成区域的面积为（ ）
A．2π B．5π
C．3π D．4π
解析：D 设M(x，y)，依题意，2＝，化简整理得x2＋y2＝4，
因此，动点M的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆，
所以动点M的轨迹围成区域的面积为4π.故选D.
7．若直线ax＋2by－2＝0(a>0，b>0)始终平分圆： x2＋y2－4x－2y－8＝0的周长，则＋的最小值为____________.
解析：3＋2 由条件知直线过圆心(2，1)，
所以2a＋2b－2＝0，即a＋b＝1.
所以＋＝(＋)(a＋b)＝3＋＋≥3＋2.
当且仅当＝，即a＝－1，b＝2－时，等号成立．
所以＋的最小值为3＋2.
8．已知点A(2，0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1，1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点．若∠PBQ＝90°，则线段PQ中点N的轨迹方程为____________________．
解析：x2＋y2－x－y－1＝0
如图，设PQ的中点为N(x，y)，连接BN，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.连接ON，则ON⊥PQ，
所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，
所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4，
故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.
9．已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1经过点A(3，4)，则其圆心到原点的距离的最大值为（ ）
A．4 B．5
C．6 D．7
解析：C 由圆C：(x－a)2＋(x－b)2＝1经过点A(3，4)，可得(3－a)2＋(4－b)2＝1，
即(a－3)2＋(b－4)2＝1，故圆心(a，b)的轨迹是以A(3，4)为圆心，1为半径的圆，
又|AO|＝＝5，所以圆心到原点的距离的最大值为5＋1＝6.故选C.
10．已知点P为直线y＝x＋1上的一点，M，N分别为圆C1：(x－4)2＋(y－1)2＝4与圆C2：x2＋(y－3)2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为（ ）
A．4 B．5
C．6 D．7
解析：B 设C2(0，3)关于直线y＝x＋1的对称点为C(m，n)，
由解得即C(2，1).
由对称性可得|PC|＝|PC2|，
则|PC1|－|PC2|＝|PC1|－|PC|≤|C1C|＝2.
又|PM|≤|PC1|＋2，|PN|≥|PC2|－1，
所以|PM|－|PN|≤|PC1|－|PC2|＋3≤5，
故|PM|－|PN|的最大值为5.故选B.
11．已知P(4，0)是圆x2＋y2＝36内的一点，A，B是圆上两动点，且满足∠APB＝90°，则矩形APBQ顶点Q的轨迹方程为______________________．
解析：x2＋y2＝56 连接AB，PQ，设AB与PQ交于点M，如图所示．
因为四边形APBQ为矩形，所以M为AB，PQ的中点，连接OM.由垂径定理可知OM⊥AB.
设M(xM，yM)，由此可得|AM|2＝|OA|2－|OM|2＝36－(x＋y).①
又在Rt△APB中，有|AM|＝|PM|＝.②
由①②得x＋y－4xM－10＝0，故点M的轨迹是圆．
因为点M是PQ的中点，设Q(x，y)，
则xM＝，yM＝，代入点M的轨迹方程中得()2＋()2－4×－10＝0，
整理得x2＋y2＝56，为所求点Q的轨迹方程．
12．已知M为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2，3)，则|MQ|的最大值为__________，最小值为__________；若M(m，n)，则的最大值为________.
解析：6 2 2＋ 由圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，
所以圆心C的坐标为(2，7)，半径r＝2.
又|QC|＝＝4>2，即点Q在圆C外，
所以|MQ|max＝4＋2＝6，
|MQ|min＝4－2＝2.
可知表示直线MQ的斜率，
设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k＋3＝0，则＝k.
由直线MQ与圆C有交点，
所以≤2，可得2－≤k≤2＋，
所以的最大值为2＋.
13．(多选)（2024·辽宁丹东模拟预测)已知曲线E：x2＋y2－2|x|－2|y|＝0，则（ ）
A．曲线E围成的图形面积为8＋4π
B．曲线E的长度为4π
C．曲线E上任意一点到原点的最小距离为2
D．曲线E上任意两点间的最大距离为4
解析：ABD 当x>0，y>0时，曲线E：(x－1)2＋(y－1)2＝2；
当x>0，y<0时，曲线E：(x－1)2＋(y＋1)2＝2；
当x<0，y>0时，曲线E：(x＋1)2＋(y－1)2＝2；
当x<0，y<0时，曲线E：(x＋1)2＋(y＋1)2＝2；
当x＝0，y＝0时，曲线E为原点．
画出曲线E的图形，如图所示．
对于A，曲线E围成的面积可分割为一个边长为2的正方形和四个半径为的半圆，故面积为2×2＋2π×()2＝8＋4π，A正确；
对于B，曲线E由四个半径为的半圆组成，故周长为2×2π×＝4π，B正确；
对于C，因为原点在曲线E上，所以最小值为0，C错误；
对于D，如图所示，曲线E上任意两点的连线过圆心及原点时，距离最大，最大为4，D正确．故选ABD.
14．（2024·山东东营高三校考)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，分别过A，B两点作准线的垂线，垂足分别为A1，B1两点，以线段A1B1为直径的圆C过点(－2，3)，则圆C的方程为（ ）
A．(x＋1)2＋(y－2)2＝2
B．(x＋1)2＋(y－1)2＝5
C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝17
D．(x＋1)2＋(y＋2)2＝26
解析：B 抛物线y2＝4x的焦点F(1，0)，准线A1B1：x＝－1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，令弦AB的中点为E，如图所示．
又圆心C是线段A1B1的中点，AA1⊥A1B1，BB1⊥A1B1，所以EC∥AA1∥BB1，EC⊥A1B1，
显然直线AB不垂直于y轴．
设直线AB：x＝ty＋1，联立方程消去x得y2－4ty－4＝0，
则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4，
|y1－y2|＝＝4，
点E的纵坐标为＝2t，
故圆C的半径r＝|A1B1|＝|y1－y2|＝2，圆心C(－1，2t).
又圆C过点M(－2，3)，则有|MC|＝r，即＝2，解得t＝.
因此圆C的圆心C(－1，1)，半径r＝，即圆C的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝5.故选B.
第53讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
[课标要求] 1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系.2.能根据给定两个圆的方程，判断两圆的位置关系.3.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．
1．直线与圆的位置关系
直线l：Ax＋By＋C＝0，圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0).
(1)几何方法
圆心(a，b)到直线Ax＋By＋C＝0的距离d＝____和圆的半径r的大小关系：
d__<__r 直线与圆相交；
d__＝__r 直线与圆相切；
d__>__r 直线与圆相离．
(2)代数方法
由消元，得到的一元二次方程的判别式为Δ，则
Δ__>__0 直线与圆相交；
Δ__＝__0 直线与圆相切；
Δ__<__0 直线与圆相离．
2．圆与圆的位置关系
(1)几何方法
两圆(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)与(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0)的圆心距为d，则
d>r1＋r2 两圆__相离__；
d＝r1＋r2 两圆__外切__；
|r1－r2|d＝|r1－r2|(r1≠r2) 两圆__内切__；
0≤d<|r1－r2|(r1≠r2) 两圆__内含__(d＝0时为同心圆).
(2)代数方法
方程组
有两组不同的实数解 两圆__相交__；
有两组相同的实数解 两圆__相切__；
无实数解 两圆__相离__或__内含__．
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
(4)过圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)外一点P(x0，y0)引圆的两条切线，切点为T，则切线长为|PT|＝.
(5)直线与圆相交所得弦长的计算
直线与圆相交时，若l为弦长，d为弦心距，r为半径，则有l＝2.
(6)两圆相交的公共弦方程
将两圆方程(x2，y2的系数相同)相减，所得到的方程就是两圆公共弦所在的直线方程．
1．(教材母题选必修2.5例2)过点(2，2)作圆(x－1)2＋y2＝5的切线，则切线方程为( )
A．x－2y＋2＝0
B．3x＋2y－10＝0
C．x＋2y－6＝0
D．x＝2或x＋2y－6＝0
解析：C 显然点(2，2)在圆上，由常用结论(2)可得(2－1)(x－1)＋(2－0)y＝5，即x＋2y－6＝0，故选C.
2．(教材母题选必修习题2.5T1)直线l：x＋my＋1－m＝0与圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝9的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．无法确定
解析：A 已知直线l：x＋my＋1－m＝0过定点(－1，1)，将点(－1，1)代入圆的方程可得(－1－1)2＋(1－2)2<9，可知点(－1，1)在圆内，
所以直线l：x＋my＋1－m＝0与圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝9相交．故选A.
3．(教材母题选必修2.5.2例5)两圆x2＋y2－2y＝0与x2＋y2－4＝0的位置关系是( )
A．相交 B．内切
C．外切 D．内含
解析：B 两圆方程可化为x2＋(y－1)2＝1，x2＋y2＝4.两圆圆心分别为O1(0，1)，O2(0，0)，半径分别为r1＝1，r2＝2.因为|O1O2|＝1＝r2－r1，所以两圆内切．故选B.
4．若圆C：x2＋y2－2x＋4y＋1＝0的弦MN的中点为A(2，－3)，则直线MN的方程是( )
A．2x－y－7＝0 B．x－y－5＝0
C．x＋y＋1＝0 D．x－2y－8＝0
解析：B 由圆的方程可知圆心C(1，－2)，则kCA＝－1，由题可知CA⊥MN，所以kMN＝1.
又MN过点A(2，－3)，根据点斜式公式可知直线MN的方程是x－y－5＝0.故选B.
5．(教材母题选必修习题2.5T9)圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦长为________．
解析：2
联立方程由常用结论(6)得两圆公共弦所在直线方程为x－y＋2＝0.又圆x2＋y2＝4的圆心到直线x－y＋2＝0的距离为＝.由勾股定理得弦长的一半为＝，则所求弦长为2.
探究点1 直线与圆的位置关系及应用
【例1】 (1)(2025·天津期末)过点(1，0)且与圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切的直线方程为( )
A．2x－y－2＝0
B．3x－4y－3＝0
C．2x－y－2＝0或x＝1
D．3x－4y－3＝0或x＝1
(2)(2024·全国甲卷)已知b是a，c的等差中项，直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＋4y－1＝0交于A，B两点，则|AB|的最小值为( )
A．2 B．3
C．4 D．2
(3)(2024·河南洛阳高三校联考)已知圆M：(x－5)2＋(y－5)2＝16，点N在直线l：3x＋4y－5＝0上，过点N作直线NP与圆M相切于点P，则△MNP的周长的最小值为____________．
解析：(1)D 圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0，即圆(x－2)2＋(y－2)2＝1的圆心坐标为(2，2)、半径为1，显然过点(1，0)且斜率不存在的直线为x＝1，与圆(x－2)2＋(y－2)2＝1相切，满足题意．
设圆过点(1，0)且斜率存在的直线为y＝k(x－1)，与圆(x－2)2＋(y－2)2＝1相切，
所以d＝＝r＝1，解得k＝，
所以满足题意的直线方程为3x－4y－3＝0或x＝1.故选D.
(2)C 因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，c＝2b－a，
代入直线方程ax＋by＋c＝0得ax＋by＋2b－a＝0，即a(x－1)＋b(y＋2)＝0.
令得
故直线恒过(1，－2).
设P(1，－2)，圆化为标准方程得C：x2＋(y＋2)2＝5.
设圆心为C，画出直线与圆的图形，由图可知，当PC⊥AB时，|AB|最小，|PC|＝1，|AC|＝|r|＝，此时|AB|＝2|AP|＝2＝2＝4.故选C.
(3)10＋2 由圆M：(x－5)2＋(y－5)2＝16知圆心M(5，5)，半径r＝4.
因为NP与圆M相切于点P，所以MP⊥NP，
所以|PN|＝
＝，
所以|MN|越小，|PN|越小．
当MN⊥l时，|MN|最小，因为圆心M到直线l的距离为＝6，所以|MN|的最小值为6，此时，|PN|＝2，|MP|＋|MN|＋|PN|＝10＋2，
故△MNP的周长的最小值为10＋2.
(1)判断直线与圆的位置关系的常见方法：
①几何法：利用d与r的关系判断．
②代数法：联立方程求解，然后利用Δ判断．
注意：若直线恒过定点，且定点在圆内，可判断直线与圆相交．
(2)过某一点求圆的切线方程，一般要判断此点是否在圆上．若在圆上，该点为切点，切线只有一条；若在圆外，切线应该有两条．
(3)求圆的切线方程或割线方程，常采用待定系数法，再转化到圆心与所求直线的距离确定其中的参数值．
注意：设点斜式方程时，要特别注意斜率不存在的情况是否符合要求．
变式探究
1．(2024·江西南昌校考)圆心在直线y＝2x上，与x轴相切，且被直线x－y＝0截得的弦长为的圆的方程为_______________．
解析：(x－1)2＋(y－2)2＝4或(x＋1)2＋(y＋2)2＝4
设所求圆的圆心为(a，2a)，半径为r.
因为圆与x轴相切，所以r＝|2a|.
又圆心到直线x－y＝0的距离d＝＝|a|，
所以2＝2＝，解得a＝1或a＝－1，
所以所求圆的圆心为(1，2)或(－1，－2)，半径r＝2，
所以圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝4或(x＋1)2＋(y＋2)2＝4.
2．(2025·贵州贵阳校考)若圆C：x2＋y2－12x＋10y＋25＝0上有四个不同的点到直线l：3x＋4y＋c＝0的距离为3，则实数c的取值范围是( )
A．(－∞，17) B．(－17，13)
C．(－13，17) D．(－12，18)
解析：C 将圆C的方程化为标准方程为(x－6)2＋(y＋5)2＝36，圆心为C(6，－5)，半径为6.
设与直线l平行且到直线l的距离为3的直线的方程为3x＋4y＋m＝0，
则＝3，解得m＝c＋15或m＝c－15.
所以直线3x＋4y＋c－15＝0，3x＋4y＋c＋15＝0均与圆C相交，
所以
解得－13因此，实数c的取值范围是(－13，17).故选C.
3．(2023·新课标Ⅰ卷)过点(0，－2)与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sin α＝( )
A．1 B．
C． D．
解析：B 因为x2＋y2－4x－1＝0，
即(x－2)2＋y2＝5，可得圆心C(2，0)，半径r＝.
过点P(0，－2)作圆C的切线，切点分别为A，B.
因为|PC|＝＝2，
则|PA|＝＝，
可得sin ∠APC＝＝，cos ∠APC＝＝，
则sin ∠APB＝sin 2∠APC
＝2sin ∠APC cos ∠APC
＝2××＝，
cos ∠APB＝cos 2∠APC
＝cos2∠APC－sin2∠APC
＝()2－()2＝－<0，
即∠APB为钝角，
所以sinα＝sin (π－∠APB)＝sin ∠APB＝.故选B.
探究点2 圆与圆的位置关系及应用
【例2】 (1)已知圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0与圆C2：x2＋y2－2x＋10y－24＝0相交于A，B两点，则公共弦AB的长为________，经过A，B两点且面积最小的圆的方程为____________________．
(2)设直线3x＋4y－5＝0与圆C1：x2＋y2＝9交于A，B两点，若圆C2的圆心在线段AB上，且圆C2与圆C1相切，切点在圆C1的劣弧AB上，则圆C2的半径的最大值是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：(1)2 (x＋2)2＋(y－1)2＝5
两圆的方程作差可得x－2y＋4＝0.
所以圆C1与圆C2的公共弦AB所在的直线方程为x－2y＋4＝0，
联立方程
解得或
不妨设A(－4，0)，B(0，2)，
所以|AB|＝＝2.
以AB为直径的圆即为面积最小的圆，方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝5.
(2)B 圆C1：x2＋y2＝9的圆心为原点O(0，0)，半径r1＝3.
依题意，圆C2的圆心C2在圆C1内，设半径为r2，如图所示．
因为圆C2与圆C1内切，则|OC2|＝r1－r2，
即r2＝r1－|OC2|，
又点C2在线段AB上，
过O作OP⊥AB于P，
则|OP|＝＝1，
显然|OC2|≥|OP|，当且仅当点C2与点P重合时取“＝”，
所以(r2)max＝r1－|OP|＝3－1＝2，
所以圆C2的半径的最大值是2.故选B.
1．判断圆与圆的位置关系时，一般用几何法，其步骤是：
(1)确定两圆的圆心坐标和半径长；
(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d，求r1＋r2，|r1－r2|；
(3)比较d，r1＋r2，|r1－r2|的大小，写出结论．
2．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，
y2项得到．
3.弦长问题
(1)利用垂径定理：半径r，圆心到直线的距离d，弦长l具有关系r2＝d2＋()2，
这也是求弦长最常用的方法．
(2)利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用
两点间的距离公式计算弦长．
(3)利用弦长公式：设直线l：y＝kx＋b与圆的两交点为(x1，y1)，(x2，y2)，将直线方程代入圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，消元后，得到关于x的一元二次方程，再利用根与系数关系得弦长l＝|x1－x2|＝＝.
变式探究
4．已知圆C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一条公切线，若a，b∈R且ab≠0，则＋的最小值为( )
A．3 B．8
C．4 D．9
解析：D 因为圆C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一条公切线，
所以两圆相内切，其中C1(－2a，0)，r1＝2，C2(0，b)，r2＝1，
故|C1C2|＝，
由题设可知＝2－1，
即4a2＋b2＝1，
＋＝(4a2＋b2)(＋)
＝＋＋5
≥2＋5＝9，
当且仅当2a2＝b2时等号成立．故选D.
5．(多选)已知圆O1：x2＋y2－2x－3＝0和圆O2：x2＋y2－2y－1＝0的交点为A，B，则( )
A．两圆的圆心距|O1O2|＝2
B．直线AB的方程为x－y＋1＝0
C．圆O2上存在两点P和Q使得|PQ|＞|AB|
D．圆O1上的点到直线AB的最大距离为2＋
解析：BD 由圆O1：x2＋y2－2x－3＝0和圆O2：x2＋y2－2y－1＝0，
化简得圆O1：(x－1)2＋y2＝4和圆O2：x2＋(y－1)2＝2，
则圆O1的圆心坐标为(1，0)，半径为2，圆O2的圆心坐标为(0，1)，半径为.
对于A，两圆的圆心距|O1O2|＝＝，A错误；
对于B，将两圆方程作差可得－2x＋2y－2＝0，即得公共弦AB的方程为x－y＋1＝0，B正确；
对于C，直线AB经过圆O2的圆心(0，1)，所以线段AB是圆O2的直径，故圆O2中不存在比AB长的弦，C错误；
对于D，圆O1的圆心坐标为(1，0)，半径为2，圆心到直线AB：x－y＋1＝0的距离为＝，所以圆O1上的点到直线AB的最大距离为2＋，D正确．故选BD.
探究点3 直线与圆、圆与圆的综合及应用
【例3】 如图，圆C：x2－(1＋a)x＋y2－ay＋a＝0.
(1)若圆C与x轴相切，求圆C的方程．
(2)已知a>1，圆C与x轴相交于M，N两点(点M在点N的左侧).过点M任作一条直线与圆O：x2＋y2＝4相交于A，B两点．问：是否存在实数a，使得∠ANM＝∠BNM？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．
解析：(1)由题意可联立方程
得x2－(1＋a)x＋a＝0，
由题意知Δ＝(1＋a)2－4a＝(a－1)2＝0，所以a＝1，
故所求圆C的方程为x2－2x＋y2－y＋1＝0.
(2)令y＝0，得x2－(1＋a)x＋a＝0，
即(x－1)(x－a)＝0，解得x＝1或x＝a，
所以M(1，0)，N(a，0).
假设存在实数a，使得∠ANM＝∠BNM.
当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，代入x2＋y2＝4，得(1＋k2)x2－2k2x＋k2－4＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
从而x1＋x2＝，x1x2＝.
因为NA，NB的斜率之和为
＋
＝，
又因为(x1－1)(x2－a)＋(x2－1)(x1－a)＝2x1x2－(a＋1)(x1＋x2)＋2a＝－(a＋1)＋2a＝，
因为∠ANM＝∠BNM，
所以NA，NB的斜率互为相反数，
所以＋＝0，即＝0，得a＝4.
当直线AB与x轴垂直时，仍然满足∠ANM＝∠BNM，即NA，NB的斜率互为相反数．
综上，存在a＝4，使得∠ANM＝∠BNM.
1．处理直线与圆、圆与圆的位置关系，要全面地考虑各种位置关系，防止漏解，如设切线为点斜式，要考虑斜率不存在的情况是否符合要求，两圆相切应考虑外切和内切两种情况．
2．研究圆的有关问题要注意数形结合，充分利用圆的性质，如“垂直于弦的直径必平分弦”“圆的切线垂直于经过切点的半径”“两圆相切时，切点与两圆圆心三点共线”等，寻找解题途径，简化运算．
变式探究
6．在平面直角坐标系中，已知半径为2的圆C，圆心在x轴正半轴上，且与直线x－y＋2＝0相切．
(1)求圆C的方程．
(2)在圆C上，是否存在点P，满足|PQ|＝|PO|，其中，点Q的坐标是(－1，0)？若存在，指出有几个这样的点；若不存在，请说明理由．
(3)若在圆C上存在点M(m，n)，使得直线l：mx＋ny＝1与圆O：x2＋y2＝1相交于不同的两点A，B，求实数m的取值范围，并求出使得△OAB的面积最大的点M的坐标及对应的△OAB的面积．
解析：(1)设圆心是(a，0)(a＞0)，它到直线x－y＋2＝0的距离是d＝＝2，解得a＝2或a＝－6(舍去)，
所以所求圆C的方程是(x－2)2＋y2＝4.
(2)假设存在这样的点P(x，y)，
则由|PQ|＝|PO|，得x2＋y2＋4x＋2＝0，即点P在圆D：(x＋2)2＋y2＝2上，点P也在圆C：(x－2)2＋y2＝4上．
因为|CD|＝4＞rc＋rd＝2＋，
所以圆C与圆D外离，圆C与圆D没有公共点．
所以不存在点P满足条件．
(3)因为点M(m，n)在圆C上，
所以(m－2)2＋n2＝4，
即n2＝4－(m－2)2＝4m－m2且0≤m≤4.
因为原点到直线l：mx＋ny＝1的距离h＝＝＜1，解得＜m≤4.
又|AB|＝2，
所以S△OAB＝|AB|h＝
＝＝，
因为≤＜1，所以当＝，即m＝时，S△OAB取得最大值，此时点M的坐标是(，)或(，－)，对应的△OAB的面积的最大值是.
1．直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－1＝0有两个不同交点的一个充分不必要条件是（ ）
A．－3＜m＜1 B．－4＜m＜2
C．0＜m＜1 D．m＜1
解析：C 根据直线与圆有两个不同的交点，可知圆心到直线的距离d小于半径．因为圆x2＋y2－2x－1＝0可化为(x－1)2＋y2＝2，即圆心是(1，0)，半径是，所以d＝<，所以|m＋1|＜2，所以－3＜m＜1.由题意知实数m的取值范围应是(－3，1)的一个真子集，故选C.
2．若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，则点P(a，b)（ ）
A．在圆上 B．在圆外
C．在圆内 D．以上都有可能
解析：B 因为直线与圆有两个不同的交点，则圆心到直线的距离小于半径，
即<1，即a2＋b2>1，
据此可得，点P(a，b)与圆C的位置关系是点在圆外．故选B.
3．与圆C1：x2＋y2－6x＋4y＋12＝0，C2：x2＋y2－14x－2y＋14＝0都相切的直线有（ ）
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
解析：A 两圆分别化为标准形式为C1：(x－3)2＋(y＋2)2＝1，C2：(x－7)2＋(y－1)2＝36，则两圆圆心距|C1C2|＝＝5，等于两圆半径差，故两圆内切．所以它们只有一条公切线．故选A.
4．过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（ ）
A．2x＋y－3＝0 B．2x－y－3＝0
C．4x－y－3＝0 D．4x＋y－3＝0
解析：A 由题意可得直线AB与点(3，1)，(1，0)的连线垂直，又这两点连线的斜率为，故直线AB的斜率为－2，只有选项A中直线的斜率为－2.故选A.
5．(多选)已知M为圆C：(x＋1)2＋y2＝2上的动点，P为直线l：x－y＋4＝0上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．直线l与圆C相切
B．直线l与圆C相离
C．|PM|的最大值为
D．|PM|的最小值为
解析：BD 圆C：(x＋1)2＋y2＝2的圆心C(－1，0)，半径r＝.
因为圆心C(－1，0)到直线l：x－y＋4＝0的距离d＝＝>r，
所以直线l与圆C相离，A错误，B正确；
|PM|≥|PC|－r≥d－r＝，C错误，D正确．故选BD.
6．P是直线3x－4y＋5＝0上的一动点，过P作圆C：x2＋y2－4x＋2y＋4＝0的切线，切点为A，则△PAC面积的最小值为（ ）
A． B．2
C．3 D．4
解析：A 圆C：(x－2)2＋(y＋1)2＝1的圆心C(2，－1)，半径r＝1，
点C到直线3x－4y＋5＝0的距离
d＝＝3，
显然|PC|≥d＝3.
由于PA与圆C相切于点A，
则|PA|＝＝，
所以S△PAC＝×|PA|×|AC|
＝≥＝，
当且仅当直线PC垂直于直线3x－4y＋5＝0时取等号，
所以△PAC面积的最小值为.故选A.
7．已知直线l：mx＋y＋＝0与圆(x＋1)2＋y2＝2相交，弦长为2，则m＝________.
解析： 由已知可得圆心为(－1，0)，半径为，圆心到直线的距离d＝，所以()2＋1＝2，解得m＝.
8．（2024·河南开封三模）已知点A(1，0)，B(2，0)，经过B作圆(x－3)2＋(y－2)2＝5的切线与y轴交于点P，则tan ∠APB＝________．
解析： 如图所示，设圆心为C点，则C(3，2)，
因为(2－3)2＋(0－2)2＝5，
所以点B在圆上，且kBC＝＝2.
由PB与圆相切可得kPB·kBC＝－1，
则kPB＝－，则tan ∠OPB＝2.
因为OB＝2，则OP＝1，故P(0，1)，
则tan ∠APO＝1，
从而可得tan ∠APB＝tan (∠OPB－∠OPA)＝＝＝.
9．已知直线l：x cos α＋y sin α＝1(0≤α<2π)与圆C：(x－2)2＋(y－)2＝4相切，则满足条件的直线l的条数为（ ）
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：B 由已知直线l：x cos α＋y sin α＝1(0≤α<2π)，则原点到直线l的距离为＝1，由直线l与圆C：(x－2)2＋(y－)2＝4相切，
则满足条件的直线l即为圆x2＋y2＝1和圆(x－2)2＋(y－)2＝4的公切线．
因为＝3＝r1＋r2，
所以圆x2＋y2＝1和圆(x－2)2＋(y－)2＝4外切，
所以这两个圆有两条外公切线和一条内公切线，所以满足条件的直线l有3条．故选B.
10．(多选)已知圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0和直线l：kx－y＋3－4k＝0，则（ ）
A．直线l与圆C的位置关系无法判定
B．当k＝1时，圆C上的点到直线l的最远距离为＋2
C．当圆C上有且仅有3个点到直线l的距离等于1时，k＝0
D．若直线l与圆C相交于M，N两点，则MN的中点的轨迹是一个圆
解析：BCD 由x2＋y2－6x－8y＋21＝0，得(x－3)2＋(y－4)2＝4，所以圆心C(3，4)，半径为2.
对于A，由直线l的方程可得，y－3＝k(x－4)，则直线l恒过定点A(4，3)，此点在圆C内，故直线l与圆C相交，A错误．
对于B，k＝1时，直线l的方程为x－y－1＝0，设圆心C(3，4)到直线l的距离为d，则d＝＝，所以圆C上的点到直线l的最远距离为＋2，B正确．
对于C，当圆C上有且仅有3个点到直线l的距离等于1时，圆心C(3，4)到直线l的距离为1，由d＝＝1，得k＝0，C正确．
对于D，直线l恒过定点A(4，3)，设MN的中点为P，由垂径定理知PC⊥PA，故点P的轨迹是以AC为直径的圆，D正确．故选BCD.
11．（2024·重庆统考模拟预测)若圆C：x2＋(y－2)2＝16关于直线ax＋by－12＝0对称，动点P在直线y＋b＝0上，过点P引圆C的两条切线PM，PN，切点分别为M，N，则直线MN恒过定点Q，点Q的坐标为（ ）
A．(1，1) B．(－1，1)
C．(0，0) D．(0，12)
解析：C 由题意可知，圆C：x2＋(y－2)2＝16的圆心在直线ax＋by－12＝0上，
即有2b－12＝0，b＝6.
设点P(t，－6)，
则|PC|2＝t2＋(－6－2)2＝t2＋64，
故以PC为直径的圆的方程为(x－)2＋(y＋2)2＝(t2＋64)，
将(x－)2＋(y＋2)2＝(t2＋64)和C：x2＋(y－2)2＝
直 线 与 圆 、 圆 锥 曲 线 直线的方程 2022年新课标Ⅰ卷T11、T21 2022年新课标Ⅱ卷T15、T16、T21 2023年新课标Ⅰ卷T6、T22 2023年新课标Ⅱ卷T5、T10、T21 2024年新课标Ⅰ卷T16 2024年新课标Ⅱ卷T19 3年12考
直线与圆的位置关系 2022年新课标Ⅰ卷T14 2022年新课标Ⅱ卷T15 2023年新课标Ⅰ卷T6 2023年新课标Ⅱ卷T15 2024年新课标Ⅱ卷T10 3年5考
圆与圆的位置关系 2022年新课标Ⅰ卷T14 3年1考
曲线与方程 2023年新课标Ⅰ卷T22 2024年新课标Ⅰ卷T11 2024年新课标Ⅱ卷T5 3年3考
椭圆 2022年新课标Ⅰ卷T16 2022年新课标Ⅱ卷T16 2023年新课标Ⅰ卷T5 2023年新课标Ⅱ卷T5 2024年新课标Ⅰ卷T16 2024年新课标Ⅱ卷T5 3年6考
双曲线 2022年新课标Ⅰ卷T21 2022年新课标Ⅱ卷T21 2023年新课标Ⅰ卷T16 2023年新课标Ⅱ卷T21 2024年新课标Ⅰ卷T12 2024年新课标Ⅱ卷T19 3年6考
抛物线 2022年新课标Ⅰ卷T11 2022年新课标Ⅱ卷T10 2023年新课标Ⅰ卷T22 2023年新课标Ⅱ卷T10 2024年新课标Ⅱ卷T10 3年5考
直线与圆锥曲线位置关系 2022年新课标Ⅰ卷T11、T16、T21 2022年新课标Ⅱ卷T10、T16、T21 2023年新课标Ⅰ卷T22 2023年新课标Ⅱ卷T5、T10、T21 2024年新课标Ⅰ卷T16 2024年新课标Ⅱ卷T10、T19 3年13考
专题8 直线与圆、圆锥曲线
近三年的高考命题，本专题重点考查两点间的距离、点到直线的距离、直线的方程、直线与圆的位置关系；圆锥曲线的标准方程与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系．注重考查数学运算、直观想象和逻辑推理等数学素养．
解析几何是高考重点考查内容之一，2022年、2023年高考是以“三小一大”的形式进行考查，2024年高考是以“二小一大”的形式进行考查．
客观题主要考查圆的标准方程及直线与圆的位置关系，圆锥曲线的定义、性质、标准方程及直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，其中考查频率较高的是椭圆、双曲线的离心率．试题难度以中等难度题为主．
解答题一般设置两问，第1问主要涉及利用定义法或待定系数法求圆、椭圆、双曲线、抛物线的标准方程等问题，第2问主要涉及直线与圆锥曲线的位置关系、定点与定值问题、最值与范围问题、证明问题等，难度较大．
复习本部分内容时应注意以下几个问题：
1．在高考中直接考查直线这一内容的试题不是很多，由于直线是研究解析几何的基础，复习时仍要高度重视，要求系统掌握有关概念，熟记相关公式，加强运算求解能力的培养．还要注意以下问题：
(1)在确定直线的斜率、倾斜角时，首先要注意斜率存在的条件，其次是倾斜角的范围；
(2)在利用直线的截距式解题时，要注意防止由于“零截距”而造成漏解的情况；
(3)在利用直线的点斜式、斜截式解题时，要注意检验斜率不存在的情况，防止漏解；
(4)由两直线的位置关系确定有关参数的值或其范围时，要充分利用分类讨论、数形结合、特殊值检验等基本的数学思想和方法．
2．对于圆的复习，要求掌握圆的标准方程和一般方程，能熟练地判断直线与圆的位置关系，会根据已知条件求圆的切线方程、直线截圆所得的弦长等问题，会利用圆心距与半径之间的关系判断两圆的位置关系．另外，要认真领会数形结合的思想，能充分利用圆的几何性质简化有关运算．
3．首先要掌握三种圆锥曲线各自的定义、几何性质，理解曲线本身所固有的性质及a，b，c，e，p等量的本质含义及相互关系．其次要注意在不同的坐标系中方程的表现形式不同，从而合理进行“定位”和分类讨论等．
4．掌握直线与圆锥曲线的位置关系的研究方法，即转化为相应直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组的解的问题．这里消元整理成一元二次方程的过程及中点、弦长等的处理运算量较大，要特别重视运算能力的培养，一方面要合理地运用韦达定理或“点差法”，设而不求，简化运算；另一方面要有意识地训练自己扎实的运算能力．
5．增强综合应用的意识．解析几何常常是在“知识的交汇点处”设计试题，要解决它，需要结合其他章节知识，如平面几何、平面向量、函数、三角函数、不等式等，强调综合、分析、判断、运用知识的能力．处理与解决解析几何综合问题，一方面强调从宏观上处理运用信息，恰当运用数学思想；另一方面，从问题细节入手，分步计算与推理，扎实地运用函数、方程、三角函数、向量等知识化解难点，突破重点，达到解决问题的最终目的．
6．复习时要适当投入时间和精力，对于常规题型，在理解的基础上做到步骤规范，运算快速准确，定能取得良好的复习效果．
第50讲 直线的方程
[课标要求] 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.2.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式，了解斜截式与一次函数的关系．
1．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴作为基准，x轴__正向__与直线l __向上的方向__之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为__0°__．
(2)倾斜角的取值范围是__[0°，180°)__．
2．直线的斜率
(1)定义：一条直线的倾斜角α的__正切值__叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k表示，即k＝__tan_α__，倾斜角是90°的直线，它的斜率__不存在__．
(2)经过两点的直线的斜率公式
经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝____．
3．直线的截距
直线与x轴交点的__横坐标__叫做直线在x轴上的截距；直线与y轴交点的__纵坐标__叫做直线在y轴上的截距．
4．直线方程的五种形式
名称 方程形式 适用范围
点斜式 __y－y1＝k(x－x1)__ 不垂直于__x__轴
斜截式 __y＝kx＋b__ 不垂直于__x__轴
两点式 ＝ 不垂直于__坐标轴__
截距式 ＋＝1 不垂直于__坐标轴__，且不过__原点__
一般式 Ax＋By＋C＝0 A2＋B2≠0
5.特殊位置的直线方程
(1)与x轴重合的直线方程为__y＝0__；
(2)与y轴重合的直线方程为__x＝0__；
(3)经过点(a，b)且平行于x轴的直线方程为__y＝b__；
(4)经过点(a，b)且平行于y轴的直线方程为__x＝a__；
(5)过原点且斜率为k的直线方程为__y＝kx__．
6．中点坐标公式、重心坐标公式
(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，两点的中点为M(x，y)，则
(2)设△ABC的三个顶点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，△ABC的重心为G(x，y)，则
1．(教材母题选必修2.2.1练习T2改编)直线x＋y＋1＝0的倾斜角是( )
A． B．
C． D．
解析：D 由直线的方程得直线的斜率为k＝－，设直线的倾斜角为α，则tan α＝－.又α∈[0，π)，所以α＝.故选D.
2．方程y＝k(x－2)表示( )
A．通过点(2，0)的所有直线
B．通过点(2，0)且不垂直于y轴的所有直线
C．通过点(2，0)且不垂直于x轴的所有直线
D．通过点(2，0)且除去x轴的所有直线
解析：C y＝k(x－2)为直线的点斜式方程，只能表示斜率存在的直线，且直线过点(2，0).故选C.
3．(教材母题选必修习题2.2T2)已知A(0，2)，B(3，0)，C(m，1－m)三点共线，则m＝________．
解析：－3 直线AB的方程为＋＝1，代入(m，1－m)得＋＝1，解得m＝－3.
4．下列结论正确的是( )
A．经过定点P(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示
B．不经过原点的直线都可以用方程＋＝1表示
C．经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示
D．经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)·(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示
解析：D 对于A，当直线垂直于x轴时，不正确；
对于B，当直线垂直于x轴或平行于x轴时，不正确；
对于C，当直线垂直于x轴(与y轴重合)时，不正确．故选D.
5．(2022·新课标Ⅱ卷)图1是中国古代建筑中的举架结构，AA′，BB′，CC′，DD′是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中DD1，CC1，BB1，AA1是举，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为＝0.5，＝k1，＝k2，＝k3.已知k1，k2，k3成公差为0.1的等差数列，且直线OA的斜率为0.725，则k3＝( )
A．0.75 B．0.8
C．0.85 D．0.9
解析：D 设OD1＝DC1＝CB1＝BA1＝1，
则CC1＝k1，BB1＝k2，AA1＝k3，
依题意，有k3－0.2＝k1，k3－0.1＝k2，
且＝0.725，
所以＝0.725，故k3＝0.9，故选D.
探究点1 直线的倾斜角与斜率
【例1】 (1)(多选)下列说法中正确的是( )
A．直线的倾斜角越大，直线的斜率就越大
B．若A(1，－3)，B(1，3)，则直线AB的倾斜角为90°
C．若直线过点(1，2)，且它的倾斜角为45°，则这条直线必过点(3，4)
D．若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan α
(2)已知两点A(－1，5)，B(0，0)，若直线l：(k＋1)x－(2k－2)y＋2k－6＝0与线段AB有公共点，则直线l倾斜角的取值范围为____________________．
解析：(1)BC 对于A，若直线的倾斜角大于90°，则直线的斜率存在负值，A错误；
由A(1，－3)，B(1，3)，可知直线AB与x轴垂直，则其倾斜角为90°，B正确；
对于C，直线的倾斜角为45°，则斜率k＝1，又过(1，2)，且＝1，C正确；
直线斜率的定义为倾斜角的正切值，但不能是tan 90°，D错误．故选BC.
(2)[0，]∪[，π)
由直线l：(k＋1)x－(2k－2)y＋2k－6＝0，
变形可得(x－2y＋2)k＋x＋2y－6＝0，
由解得
可得直线l恒过定点P(2，2)，则kPA＝＝－1，kPB＝＝1.
结合图象可得，若直线l与线段AB有公共点，则直线l斜率的取值范围为[－1，1]，
由斜率定义k＝tan α，可得直线l倾斜角的取值范围为[0，]∪[，π).
(1)直线的倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此，根据倾斜角求斜率的范围及根据斜率求倾斜角的范围时，要分[0，)与(，π)两种情况讨论．
(2)由正切函数的图象可以得到，当α∈[0，)时，斜率k∈[0，＋∞)；当α＝
时，斜率不存在；当α∈(，π)时，斜率k∈(－∞，0).
变式探究
1．如图，图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则( )
A．k1＜k2＜k3 B．k3＜k1＜k2
C．k3＜k2＜k1 D．k1＜k3＜k2
解析：D 由题图可知，直线l1的倾斜角α1是钝角，故k1＜0，直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角且α2＞α3，所以0＜k3＜k2，因此k1＜k3＜k2，故选D.
2．折纸艺术是我国民间的传统文化，将一矩形OABC纸片放在平面直角坐标系中，O(0，0)，A(2，0)，C(0，1)，将矩形折叠，使O点落在线段BC上，设折痕所在直线的斜率为k，则实数k的取值范围是( )
A．[0，1] B．[0，2]
C．[－1，0] D．[－2，0]
解析：D 如图，要想使折叠后O点落在线段BC上，可取BC上任意一点D，作线段OD的垂直平分线l，以l为折痕可使O与D重合．因为kOD≥kOB＝，所以k＝－≥－2，且k<0.又当折叠后O与C重合时，k＝0，所以－2≤k≤0，所以实数k的取值范围是[－2，0].故选D.
探究点2 直线的方程及求法
【例2】 (1)(多选)过点(－3，1)且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程可能是( )
A．x＋3y＝0 B．x＋y＋2＝0
C．x－y＋2＝0 D．x－3y＝0
(2)在等腰三角形MON中，MO＝MN，点O(0，0)，M(－1，3)，点N在x轴的负半轴上，则直线MN的方程为( )
A．3x－y－6＝0 B．3x＋y＋6＝0
C．3x－y＋6＝0 D．3x＋y－6＝0
(3)数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点分别为A(0，2)，B(－1，0)，C(4，0)，则△ABC的欧拉线方程为( )
A．4x－3y－6＝0 B．3x＋4y＋3＝0
C．4x＋3y－6＝0 D．3x＋4y－3＝0
解析：(1)AB 当截距均为0时，设直线的方程为y＝kx，将点(－3，1)的坐标代入得k＝－，此时直线的方程为x＋3y＝0；当截距均不为0时，设直线的方程为＋＝1，将点(－3，1)的坐标代入得a＝－2，此时直线的方程为x＋y＋2＝0.故选AB.
(2)C 因为MO＝MN，所以直线MN的斜率与直线MO的斜率互为相反数，所以kMN＝－kMO＝3，所以直线MN的方程为y－3＝3(x＋1)，即3x－y＋6＝0，故选C.
(3)C 因为△ABC的顶点分别为A(0，2)，B(－1，0)，C(4，0)，所以△ABC的重心为G(1，).
因为kAB＝2，kAC＝－，所以kAB·kAC＝－1，所以AB⊥AC，
所以△ABC的外心为边BC的中点D(，0).
因为三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，
所以△ABC的欧拉线为直线GD，
所以△ABC的欧拉线方程为
＝，
即4x＋3y－6＝0，故选C.
(1)确定一条直线需要两个条件，只要找到直线上两点的坐标或直线上一点的坐标与直线的斜率即可．
(2)确定直线的方程的常用方法有两种
①直接法：根据已知条件确定适当的直线方程形式，直接写出直线的方程．
②待定系数法：先设出直线方程，再根据已知条件求出待定的系数，最后代入求出方程．
(3)选择直线方程时，应有分类讨论意识．选用点斜式或斜截式，先要讨论斜率是否存在；选用截距式前，先要讨论在两坐标轴上的截距是否存在或是不是0.
变式探究
3．已知△ABC中，B(2，1)，C(－2，3)，则BC边所在直线的方程为______________．
解析：x＋2y－4＝0 因为△ABC中，B(2，1)，C(－2，3)，可得直线BC的斜率为k＝＝－，
所以BC边所在直线的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0.
4．直线l过点(5，10)，且到原点的距离为5，则直线l的方程是___________________．
解析：x－5＝0或3x－4y＋25＝0
当斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0，满足题意；
当斜率存在时，设斜率为k，则所求直线方程为y－10＝k(x－5)，即kx－y＋10－5k＝0.
由点到直线的距离公式，得＝5，解得k＝.
故所求直线方程为3x－4y＋25＝0.
综上，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.
5．已知直线l过A(－2，1)，并在两坐标轴上的截距的绝对值相等，那么这样的直线l共有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
解析：C 由题意，该直线斜率存在且不为0，设所求直线的方程为y－1＝k(x＋2).
令x＝0，则y＝2k＋1；令y＝0，则x＝－－2.
因为直线l在两坐标轴上截距的绝对值相等，
所以|2k＋1|＝|－－2|，
化简得2k2＋3k＋1＝0或2k2－k－1＝0，
解得k＝－或k＝－1或k＝1，
所以过A(－2，1)并在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有3条．
故选C.
探究点3 直线方程的综合应用
【例3】 过点P(2，1)作直线l分别交x轴、y轴的正半轴于A，B两点．
(1)求|OA|·|OB|的最小值，及此时直线l的截距式方程；
(2)求|PA|·|PB|的最小值，及此时直线l的截距式方程．
解析：(1)根据题意可设直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)，则A(a，0)，B(0，b).
因为直线l过点P(2，1)，所以＋＝1(a>0，b>0).
又＋≥2(当且仅当＝，即a＝4，b＝2时取等号)，
所以2≤1，即ab≥8，
所以|OA|·|OB|＝ab的最小值为8，此时直线l的截距式方程为＋＝1.
(2)由(1)可知＋＝1，所以b＝>0，则a>2，
所以|PA|·|PB|
＝·
＝·
＝·
＝2
≥2＝4，
当且仅当(a－2)2＝，即a＝3时取等号．
所以|PA|·|PB|的最小值为4，
此时a＝3，b＝3，直线l的截距式方程为＋＝1.
1．与直线方程有关的最值或范围问题．先设出直线方程，建立目标函数，再利用函数的单调性或基本不等式求解．
2．看到直线与两坐标轴相交且同时出现与坐标原点O有关的三角形面积或周长等问题时，要想到利用直线的截距式方程求解．
变式探究
6．设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0相交于点P(P与A，B不重合)，则△PAB面积的最大值是( )
A． B．5
C．2 D．
解析：D 由题意知直线x＋my＝0过定点A(0，0)，直线mx－y－m＋3＝0可变为m(x－1)－y＋3＝0，所以该直线过定点B(1，3)，所以|AB|2＝12＋32＝10.
又1×m＋m×(－1)＝0，所以直线x＋my＝0与直线mx－y－m＋3＝0互相垂直，
所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10，
所以10＝|PA|2＋|PB|2≥2|PA|·|PB|，即|PA|·|PB|≤5，当且仅当|PA|＝|PB|＝时取等号，
所以S△PAB＝|PA|·|PB|≤，
即△PAB面积的最大值是.故选D.
7．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R).
(1)证明：直线l过定点．
(2)若直线l不经过第四象限，求实数k的取值范围．
(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程．
解析：(1)证明：直线l的方程可化为k(x＋2)＋(1－y)＝0，
令解得
所以无论k取何值，直线过定点(－2，1).
(2)由方程知，当k≠0时，直线在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则解得k＞0.
当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，
故实数k的取值范围是[0，＋∞).
(3)由题意可知k＞0，由直线l的方程，得A(－，0)，B(0，1＋2k).
因为S＝·|OA|·|OB|
＝·||·|1＋2k|
＝·＝(4k＋＋4)
≥×(2×2＋4)
＝4，
当且仅当k＞0且4k＝，即k＝时等号成立，
所以Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.
1．已知直线l的方程为x－3y＋4＝0，则直线l的倾斜角为（ ）
A． B．
C． D．
解析：A 由题意可得，直线l的斜率k＝＝tan ，即直线l的倾斜角为.故选A.
2．已知直线l与直线x－y＝0平行，且在y轴上的截距是－2，则直线l的方程是（ ）
A．x－y＋2＝0 B．x－2y＋4＝0
C．x－y－2＝0 D．x＋2y－4＝0
解析：C 因为直线l平行于直线x－y＝0，所以设直线l的方程为x－y＋m＝0，
因为在y轴上的截距是－2，则过点(0，－2)，代入直线方程得0－(－2)＋m＝0，
解得m＝－2，所以直线l的方程是x－y－2＝0.故选C.
3．(多选)（2024·吉林期末)直线l经过点(2，－4)，且两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程可能是（ ）
A．2x＋y＝0 B．2x＋y－8＝0
C．x－y－6＝0 D．x＋y＋2＝0
解析：AD 当直线l的截距为0时，直线l的方程为y＝－2x，即2x＋y＝0，A正确；
当直线l的截距不为0时，设直线l的方程为＋＝1，
将(2，－4)代入直线l的方程，得＋＝1，解得a＝－2，
则直线l的方程为＋＝1，即x＋y＋2＝0，D正确．故选AD.
4．直线y＝kx＋b经过第二、三、四象限，则斜率k和在y轴上的截距b满足的条件为（ ）
A．k>0，b>0 B．k<0，b<0
C．k>0，b<0 D．k<0，b>0
解析：B 在平面直角坐标系中作出y＝kx＋b图象，如图所示．
由图可知，k<0，b<0.故选B.
5．已知点M是直线l：2x－y－4＝0与x轴的交点，将直线l绕点M按逆时针方向旋转45°后，得到的直线方程是（ ）
A．x＋y－3＝0 B．x－3y－2＝0
C．3x－y＋6＝0 D．3x＋y－6＝0
解析：D 设直线l的倾斜角为α，则tan α＝k＝2，直线l绕点M按逆时针方向旋转45°，所得直线的斜率k′＝tan (α＋)＝＝－3.又点M(2，0)在旋转后的直线上，所以y＝－3(x－2)，即3x＋y－6＝0.故选D.
6．不论m为何实数，直线x－2my－1＋3m＝0恒过一个定点，则这个定点的坐标为（ ）
A．(1，0) B．(2，3)
C．(3，2) D．(1，)
解析：D 直线x－2my－1＋3m＝0，可化为x－1＋m(3－2y)＝0.令得即直线恒过定点(1，).故选D.
7．(2025·上海黄浦期中)若过P(－2，m)，Q(m，4)两点的直线的倾斜角为45°，则m＝________．
解析：1 依题意，直线PQ的斜率kPQ＝tan 45°＝1，又kPQ＝，则＝1，解得m＝1.
8．若三点A(2，2)，B(a，0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则＋＝________.
解析： 依题意＝，所以a－2＝，所以a＝，所以＋＝＋＝＝.
9．已知点A(1，3)，B(－2，－1).若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，则k的取值范围是（ ）
A．k≥ B．k≤－2
C．k≥或k≤－2 D．－2≤k≤
解析：D 由已知直线l恒过定点P(2，1)，如图所示，若l与线段AB相交，则kPA≤k≤kPB，因为kPA＝＝－2，kPB＝＝，所以－2≤k≤.故选D.
10．△ABC的三个顶点是A(0，3)，B(3，3)，C(2，0)，直线l：x＝a将△ABC分割成面积相等的两部分，则实数a的值是（ ）
A． B．1＋
C．1＋ D．
解析：A 如图所示．
因为A(0，3)，B(3，3)，C(2，0)，
所以lAC：y＝－x＋3，lAB：y＝3.
由图易知，当直线l：x＝a将△ABC分割成面积相等的两部分时，D(a，3)，E(a，－a＋3)(0
所以AD·DE＝××3×3，
即a·a＝××3×3，解得a＝，故选A.
11．已知两直线l1：a1x＋b1y＋1＝0和l2：a2x＋b2y＋1＝0的交点为P(2，3)，则过两点Q1(a1，b1)，Q2(a2，b2)(a1≠a2)的直线方程为____________________.
解析：2x＋3y＋1＝0
由P(2，3)在已知两条直线上，
得
联立解得2(a1－a2)＋3(b1－b2)＝0，
即＝－，
所以所求直线为y－b1＝－(x－a1)，
即2x＋3y－(2a1＋3b1)＝0，即2x＋3y＋1＝0.
12．已知△ABC的三个顶点分别为A(－3，0)，B(2，1)，C(－2，3)，试求：
(1)边AC所在直线的方程；
(2)边BC上的中线AD所在直线的方程；
(3)边BC上的高AE所在直线的方程．
解析：(1)因为A(－3，0)，C(－2，3)，
所以边AC所在直线的方程为＝，
即3x－y＋9＝0.
(2)因为边BC上的中点D(0，2)，
所以边BC上的中线AD所在直线的方程为＋＝1，即2x－3y＋6＝0.
(3)因为边BC的斜率k＝＝－，
所以边BC上的高AE的斜率k＝2，
所以边BC上的高AE所在直线的方程为y＝2(x＋3)，即2x－y＋6＝0.
13．(多选)已知直线l的一个方向向量为u＝(－，)，且l经过点(1，－2)，则下列结论中正确的是（ ）
A．直线l的倾斜角为120°
B．直线l在x轴上的截距为
C．直线l与直线x－3y＋2＝0垂直
D．原点(0，0)到直线l的距离大于
解析：ACD 由已知得直线l的斜率k＝＝－，
设其倾斜角为θ，则tan θ＝－，所以θ＝120°，A正确；
直线l的方程为y＋2＝－(x－1)，即x＋y＋2－＝0，所以它在x轴上的截距为1－，B错误；
直线x－3y＋2＝0的斜率为，
又×(－)＝－1，所以两直线垂直，C正确；
原点到直线l的距离d＝1－＞，D正确．故选ACD.
14．已知△ABC的顶点A(2，3)，边AC，边AB的中线方程分别为x－3y＝0，5x＋6y－14＝0，则直线BC的方程为____________.
解析：x＋4y＝0 由题意可知，点B在直线x－3y＝0上，设点B(3b，b)，
则线段AB的中点为M(，)，易知点M在直线5x＋6y－14＝0上，
则－14＝0，解得b＝0，所以点B的坐标为(0，0).
点C在直线5x＋6y－14＝0上，
可设点C(c，)，
则线段AC的中点为N(，)，易知点N在直线x－3y＝0上，
则－＝0，解得c＝4，
所以点C的坐标为(4，－1).
直线BC的斜率为k＝＝－，
因此，直线BC的方程为y＝－x，即x＋4y＝0.
第51讲 两直线的位置关系、对称问题
[课标要求] 1.能判定两条直线平行或垂直的关系.2.能用解方程组的方法判定并求两条直线相交的交点坐标.3.探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.4.掌握中心对称、轴对称等问题的几何特征和求解的基本方法，并能利用图形的对称性解决有关问题．
1．两条直线的平行与垂直
已知直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则：
(1)l1∥l2 __k1＝k2且b1≠b2__；
(2)l1与l2相交 __k1≠k2__；
(3)l1⊥l2 __k1k2＝－1__．
对于斜率不存在的情况，可以根据图形进行判断，若两条不重合直线的斜率都不存在，则这两条直线__平行__ ；若一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，则这两条直线__垂直__.
2．两直线的交点
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组的解一一对应．
相交 方程组有__唯一解__，交点的坐标就是方程组的解；
平行 方程组__无解__；
重合 方程组有__无穷多组解__．
3．距离公式
(1)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝____；
(2)点到直线的距离公式：设点P(x0，y0)，直线l：Ax＋By＋C＝0，P到l的距离为d，则有d＝____；
(3)两条平行直线间的距离公式：设两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0和l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)，它们之间的距离为d，则有d＝____．
4．中心对称
(1)设平面上的点M(a，b)，P(x，y)，P′(x′，y′)，若满足：＝a，＝b，那么，我们称P，P′两点关于点M对称，点M叫做对称中心．
(2)点与点对称的坐标关系：设点P(x，y)关于M(x0，y0)的对称点P′的坐标是(x′，y′)，则
5．轴对称
(1)设平面上有直线l：Ax＋By＋C＝0和两点P(x，y)，P′(x′，y′)，若满足下列两个条件：①__PP′⊥直线l__；②__PP′的中点在直线l上__，则点P，P′关于直线l对称．
(2)对称轴是特殊直线的对称问题
对称轴是特殊直线时可直接通过代换法得解：
①关于x轴对称(以__－y__代__y__)；
②关于y轴对称(以__－x__代__x__)；
③关于y＝x对称(__x，y__互换)；
④关于x＋y＝0对称(以__－x__代__y__，以__－y__代__x__)；
⑤关于x＝a对称(以__2a－x__代__x__)；
⑥关于y＝b对称(以__2b－y__代__y__).
(3)对称轴为一般直线的对称问题
可根据对称的意义，由垂直平分列方程，从而找到坐标之间的关系：
设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0(AB≠0)对称，则
1．(教材母题选必修习题2.2T8)已知直线l经过点P(2，－1)，且与直线2x＋3y＋1＝0垂直，则直线l的方程是( )
A．2x＋3y－7＝0 B．3x＋2y－8＝0
C．2x－3y－1＝0 D．3x－2y－8＝0
解析：D 因为直线l与直线2x＋3y＋1＝0垂直，故可设直线l的方程是3x－2y＋C＝0.
将P(2，－1)代入直线l中，6＋2＋C＝0，解得C＝－8，故直线l的方程为3x－2y－8＝0.故选D.
2．(教材母题选必修习题2.3T7改编)已知l1∥l2，l1：2x＋y＋4＝0，l2：6x＋ay＋2＝0，则它们间的距离为( )
A． B．
C． D．
解析：D 因为l1∥l2，所以2a＝6，故a＝3，故l2：2x＋y＋＝0.故l1，l2之间的距离为＝＝，故选D.
3．(2024·浙江绍兴期末)原点到直线l：λx＋y－λ＋1＝0(λ∈R)的距离的最大值为( )
A． B．
C． D．
解析：D (方法1)设原点到直线l的距离为d，由点到直线的距离公式得
d＝＝＝，
显然当λ<0时，有最大值，
此时－＝.
因为(－λ)＋(－)≥2＝2，当且仅当λ＝－1时等号成立，
所以≤＝1，所以dmax＝.
(方法2)由直线l：λx＋y－λ＋1＝0(λ∈R)过定点P(1，－1).当OP⊥l时，原点到直线l的距离最大，最大值为＝，故选D.
4．(教材母题选必修习题2.2T3)若点A(a－1，a＋1)，B(a，a)关于直线l对称，那么直线l的方程为____________.
解析：x－y＋1＝0 由题意可得kAB＝＝－1.
因为点A(a－1，a＋1)，B(a，a)关于直线l对称，所以直线l的斜率为1，
直线l过AB的中点(，)，所以直线l的方程为y－＝x－，即x－y＋1＝0.
5．(2025·山东聊城期中)经过两条直线l1：x＋y＝2，l2：2x－y＝1的交点，且直线的一个方向向量v＝(－6，4)的直线方程为________________．
解析：2x＋3y－5＝0
联立方程解得
即直线l1：x＋y＝2，l2：2x－y＝1的交点为(1，1).
又直线的一个方向向量v＝(－6，4)，所以直线的斜率为－，
故该直线方程为y－1＝－(x－1)，即2x＋3y－5＝0.
探究点1 两直线位置关系的判定
【例1】 (1)(2025·重庆渝中期中)已知直线2x＋y＋5＝0与直线kx＋2y＝0互相垂直，则它们的交点坐标为( )
A．(－1，－3) B．(－2，－1)
C．(－，－1) D．(－1，－2)
(2)(2024·安徽马鞍山期中)已知直线l1：2ax－4y－3＝0，l2：x－ay＋1＝0，则“a＝”是“l1∥l2”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(3)(2024·四川遂宁期中)已知直线ax＋y＋1＝0，x＋ay＋1＝0和x＋y＋a＝0能构成三角形，则实数a的取值范围是( )
A．a≠－2
B．a≠±1
C．a≠－2且a≠±1
D．a≠－2且a≠1
解析：(1)B 因为2x＋y＋5＝0与kx＋2y＝0互相垂直，所以2k＋2＝0，所以k＝－1，
所以解得
所以交点坐标为(－2，－1)，故选B.
(2)A 当l1∥l2时，2a·(－a)－(－4)×1＝0，解得a＝±.
验证：当a＝时，l1：2x－4y－3＝0，l2：x－y＋1＝0，两直线平行，
当a＝－时，l1：－2x－4y－3＝0，l2：x＋y＋1＝0，两直线平行，
所以“a＝”是“l1∥l2”的充分不必要条件．故选A.
(3)C 若三条直线能构成三角形，则两直线不平行，且三条直线不经过同一点．
若a＝0，则三条直线围成三角形．
若a≠0，则≠，≠，解得a≠±1.
当a≠±1时，
由得
代入x＋ay＋1＝0得1－a(a＋1)＋1＝0，解得a＝1或a＝－2，因此a≠－2.
综上，a≠±1且a≠－2.故选C.
(1)判断两直线的位置关系，当直线方程中含有参数时，常常要以斜率是否存在为依据进行讨论，不仅要考虑斜率存在的情况，还要考虑斜率不存在的情况．
(2)在讨论两直线平行时，要注意验证两直线是否重合．对于斜率不存在是否符合要求，对斜率不存在的情况一般可结合图形进行判断．对含参数的问题还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．
变式探究
1．设a，b，c分别为△ABC中角A，B，C所对边的边长，则x sin A＋ay＋c＝0与bx－y sin B＋sin C＝0的位置关系是( )
A．相交但不垂直 B．垂直
C．平行 D．重合
解析：B 由题可知，直线sin A·x＋ay＋c＝0与bx－sin B·y＋sin C＝0的斜率分别为－，.又在△ABC中＝，所以－·＝－1，所以两条直线垂直，故选B.
2．经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程为__________________．
解析：5x＋3y－1＝0 将直线l1，l2的方程联立，得解得即直线l1，l2的交点为(－1，2).
由题意得直线l3的斜率为.又直线l⊥l3，所以直线l的斜率为－，
则直线l的方程是y－2＝－(x＋1)，即5x＋3y－1＝0.
3．(2024·华师大二附中校考三模)已知三条直线l1：x－2y＋2＝0，l2：x－2＝0，l3：x＋ky＝0将平面分为六个部分，则满足条件的实数k的值共有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．无数个
解析：C 当三条直线交于一点时，可将平面分为六个部分，
联立方程解得
则将代入l3：x＋ky＝0中，得2k＋2＝0，解得k＝－1；
当l3：x＋ky＝0与l1：x－2y＋2＝0平行时，满足要求，此时k＝－2；
当l3：x＋ky＝0与l2：x－2＝0平行时，满足要求，此时k＝0.
综上，满足条件的实数k的值共有3个．故选C.
探究点2 距离公式的应用
【例2】 (1)若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为( )
A．3 B．2
C．3 D．4
(2)过直线l1：x－2y＋3＝0与直线l2：2x＋3y－8＝0的交点，且到点P(0，4)的距离为1的直线l的方程为______________．
解析：(1)A 依题意知AB的中点M的集合为到直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0距离都相等的直线，则M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离．设点M所在直线的方程为l：x＋y＋m＝0，根据平行线间的距离公式得＝?|m＋7|＝|m＋5|?m＝－6，即l：x＋y－6＝0.根据点到直线的距离公式，得点M到原点的距离的最小值＝3.故选A.
(2)3x＋4y－11＝0或x＝1
由解得
所以l1，l2的交点为(1，2).
显然，直线x＝1满足条件；
当直线斜率存在时，设直线方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y＋2－k＝0.
依题意有＝1，解得k＝－.
所以所求直线方程为3x＋4y－11＝0或x＝1.
(1)运用距离公式时，要注意公式的运用条件．如运用点到直线的距离公式时，需把直线方程化为一般形式；运用两平行线间的距离公式时，首先要将x，y的系数变为对应相等．
(2)求与距离有关的最值时，一般思路是转化为函数的最值．要注意挖掘问题的几何特点，进行合理联想和转化，利用几何直观常可简捷地解答．
变式探究
4．在平面直角坐标系中，A(－4，0)，B(－1，0)，点P(a，b)(ab≠0)满足|AP|＝2|BP|，则＋的最小值为________.
解析： 由|AP|＝2|BP|，
得＝2，化简得a2＋b2＝4.
则＋＝(＋)··(a2＋b2)
＝(4＋1＋＋)
≥(5＋2)
＝，
当且仅当a2＝2b2时取等号，所以＋的最小值为.
5．已知两条平行直线分别过点P(－2，－2)，Q(1，3)，它们之间的距离为d，这两条直线各自绕点P，Q旋转并保持互相平行，则实数d的取值范围为____________．
解析：(0，] 当两平行直线的斜率存在时，设平行直线的斜率为k，则直线l1：y＋2＝k(x＋2)，直线l2：y－3＝k(x－1).
由平行直线间的距离公式得d＝，
则d2＝.
将问题转化为方程(d2－9)k2＋30k＋d2－25＝0.
由或d2－9＝0，
解得0
【例3】 (1)已知直线l与直线l1：y＝1及直线l2：x＋y－7＝0分别交于点P，Q.若PQ的中点为点M(1，－1)，则直线l的斜率为______________．
(2)直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点M，则直线2x＋3y－6＝0关于M点对称的直线方程为____________________.
(3)如图，一次函数y＝x＋4的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，点C(－2，0)是x轴上一点，点E，F分别为直线y＝x＋4和y轴上的两个动点，当△CEF周长最小时，点E，F的坐标分别为( )
A．E(－，)，F(0，2)
B．E(－2，2)，F(0，2)
C．E(－，)，F(0，)
D．E(－2，2)，F(0，)
解析：(1)－ 设P(a，1)，
则Q(2－a，－3).
由点Q在直线l2上，
得2－a－3－7＝0，a＝－8，
故P(－8，1)，
所以直线l的斜率为k＝＝－.
(2)2x＋3y＋12＝0 由ax＋y＋3a－1＝0得(x＋3)a＋(y－1)＝0，由得M(－3，1).
设直线2x＋3y－6＝0关于M点对称的直线方程为2x＋3y＋C＝0，
所以＝，解得C＝12或C＝－6(舍)，
所以直线2x＋3y－6＝0关于M点对称的直线方程为2x＋3y＋12＝0.
(3)C 如图，作C(－2，0)关于y轴的对称点G(2，0)，作 C(－2，0)关于y＝x＋4的对称点D(a，b).
连接DG交y轴于F，交AB于E，所以FG＝FC，EC＝ED.
此时△CEF周长最小，即EC＋FC＋EF＝ED＋FG＋EF＝DG.
由C(－2，0)，直线AB的方程为y＝x＋4，
所以解得
所以D(－4，2)，
可得直线DG的方程为＝，即y＝－x＋.
由解得
所以E(－，).
令x＝0可得y＝，所以F(0，).故选C.
(1)常见对称问题包括：中心对称与轴对称．
中心对称——关键是点与点的对称，利用中点公式．
轴对称——关键是点关于直线的对称，充分利用对称的特点(抓住垂直、平分两个条件).
(2)对称问题应用很广泛，角平分线问题、光线的反射问题等都可考虑利用对称进行转化．
变式探究
6．一条光线从点A(－1，1)出发射向x轴，经过x轴上的点P反射后经过点B(2，5)，则点P的坐标为____________．
解析：(－，0) 由题意可得A(－1，1)关于x轴的对称点为(－1，－1).
而反射光线直线又过B(2，5)，
所以其直线为y＝(x－2)＋5，即y＝2x＋1.
当y＝0时，x＝－，
即点P的坐标为(－，0).
7．已知△ABC的顶点A(1，2)，边AB上的中线CM所在的直线方程为x＋2y－1＝0，∠ABC的平分线BH所在直线方程为y＝x，则直线BC的方程为________________．
解析：2x－3y－1＝0 由题意可知，点B在角平分线y＝x上，可设点B的坐标是(m，m)，
则AB的中点(，)在直线CM上，
所以＋2·－1＝0，
解得m＝－1，故点B(－1，－1).
设A关于y＝x的对称点为A′(x0，y0)，
则有 解得
即A′(2，1)，又由A′在直线BC上，
可得直线BC的方程为＝，
即3(y＋1)＝2(x＋1)，即2x－3y－1＝0.
8．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，边AB，AD分别在x轴、y轴的正半轴上，点A与坐标原点重合．现将矩形ABCD沿某一条直线折叠，使点A落在线段CD上，设此点为A1.
(1)若折痕所在的直线的斜率为k(k为常数)，则用k表示点A1的坐标为___________．
(2)折痕所在的直线方程为______________________．
解析：(1)(－，) (2)y＝kx＋＋
当k＝0时，A1(0，1)，折痕所在直线方程为y＝.
当k≠0时，直线AA1的斜率为－，所以直线AA1的方程为y＝－x，
由解得x＝－k，所以A1(－k，1)，
所以AA1的中点坐标为(－，)，
所以折痕所在的直线方程为y－＝k(x＋)，y＝kx＋＋.
当k＝0时，折痕y＝也符合上式，
综上所述，折痕所在的直线方程为y＝kx＋＋.
1．“a＝－1”是“直线ax＋3y＋3＝0和直线x＋(a－2)y＋1＝0平行”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：C 由题意得，直线ax＋3y＋3＝0和直线x＋(a－2)y＋1＝0平行的充要条件是解得a＝－1，故选C.
2．若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0，x＋ky＝0交于一点，则k＝（ ）
A．－2 B．2
C．－ D．
解析：C 由得即三条直线的交点坐标为(－1，－2)，代入x＋ky＝0，得－1－2k＝0，解得k＝－.故选C.
3．若直线2x－y－3＝0与4x－2y＋a＝0之间的距离为，则实数a的值为（ ）
A．4 B．－6
C．4或－16 D．8或－16
解析：C 将直线2x－y－3＝0化为4x－2y－6＝0，
则直线2x－y－3＝0与直线4x－2y＋a＝0之间的距离
d＝＝，根据题意可得＝，
即|a＋6|＝10，解得a＝4或a＝－16，
所以实数a的值为4或－16.故选C.
4．已知过点A(－2，m)和点B(m，4)的直线为l1，直线l2：y＝－2x＋1，l3：y＝－x－.若l1∥l2，l2⊥l3，则m＋n＝（ ）
A．－10 B．－2
C．0 D．8
解析：A 因为l1∥l2，
所以kAB＝＝－2，解得m＝－8.
又l2⊥l3，所以(－)×(－2)＝－1，
解得n＝－2.所以m＋n＝－10.故选A.
5．已知点A与点B(2，1)关于直线x＋y＋2＝0对称，则点A的坐标为（ ）
A．(－1，4) B．(4，5)
C．(－3，－4) D．(－4，－3)
解析：C 设A(x，y)，因为点A与点B关于直线对称，所以AB的中点在直线x＋y＋2＝0上，且直线AB与直线x＋y＋2＝0垂直，
则?即点A坐标为(－3，－4).故选C.
6．已知△ABC的顶点B(2，1)，C(－6，3)，其垂心为H(－3，2)，则其顶点A的坐标为（ ）
A．(－19，－62) B．(19，－62)
C．(－19，62) D．(19，62)
解析：A 因为H为△ABC的垂心，
所以AH⊥BC，BH⊥AC.
又kBC＝＝－，kBH＝＝－，
所以直线AH，AC斜率存在且kAH＝4，kAC＝5.
设A(x，y)，
则解得
所以A(－19，－62)，故选A.
7．已知点A(1，4)，B(3，－2)，则经过线段AB的中点，且与直线x－2y＋9＝0平行的直线的方程为______________．
解析：x－2y＝0 由点A(1，4)，B(3，－2)，得线段AB中点的坐标为(2，1).
故过点(2，1)且与直线x－2y＋9＝0平行的直线的方程可设为x－2y＋b＝0，
将点(2，1)代入，可得b＝0，故所求直线方程为x－2y＝0.
8．(2025·江苏南通期中)已知点A在x轴上，点B在y轴上，线段AB的中点M的坐标为(2，－1)，则线段AB的长度为________．
解析：2 在平面直角坐标系中，AO⊥BO，
则△ABO为直角三角形，且AB为斜边，
故|AB|＝2|OM|＝2＝2.
9．已知直线x＋2y－3＝0与直线ax＋4y＋b＝0关于点A(1，0)对称，则实数b＝（ ）
A．2 B．6
C．－2 D．－6
解析：A 由于直线x＋2y－3＝0与直线ax＋4y＋b＝0关于点A(1，0)对称，
所以两直线平行，故2a＝4，则a＝2.
由于点(3，0)在直线x＋2y－3＝0上，点(3，0)关于点A(1，0)的对称点为(－1，0)，
故(－1，0)在ax＋4y＋b＝0上，代入可得－a＋b＝0，故b＝a＝2，故选A.
10．如果直线y＝ax＋2与直线y＝3x－b关于直线y＝x对称，那么（ ）
A．a＝，b＝6 B．a＝，b＝－6
C．a＝3，b＝－2 D．a＝3，b＝6
解析：A 在y＝ax＋2上取一点(0，2)，则由题意可得其关于直线y＝x的对称点(2，0)在y＝3x－b上，
所以0＝6－b，得b＝6.
在y＝3x－6上取一点(0，－6)，
则其关于直线y＝x的对称点(－6，0)在y＝ax＋2上，所以0＝－6a＋2，得a＝.
综上，a＝，b＝6，故选A.
11．在平面直角坐标系中，已知点A(0，－2)，B(1，0)，P为直线2x－4y＋3＝0上一动点，则|PA|＋|PB|的最小值是（ ）
A． B．4
C．5 D．6
解析：B 设点A(0，－2)关于直线2x－4y＋3＝0的对称点为A′(x，y)，
则解得
所以A′(－，)，
所以|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|＝＝4，如图，
当且仅当点P为线段A′B与直线2x－4y＋3＝0的交点时等号成立，所以|PA|＋|PB|的最小值是4，故选B.
12．已知直线l1：x－my＋1＝0过定点A，直线l2：mx＋y－m＋3＝0过定点B，l1与l2相交于点P，则|PA|2＋|PB|2＝（ ）
A．10 B．13
C．16 D．20
解析：B 因为1×m＋(－m)×1＝0，所以直线l1与直线l2互相垂直且垂足为P，又因为直线l1：x－my＋1＝0，过定点A(－1，0)，直线l2：mx＋y－m＋3＝0，即m(x－1)＋y＋3＝0，过定点B(1，－3)，所以在Rt△APB中，|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝[1－(－1)]2＋(－3－0)2＝13，故选B.
13．（2024·四川成都月考)设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|＋|PB|的取值范围是________________．
解析：[，2] 由题意可知，动直线x＋my＝0经过定点A(0，0).
动直线mx－y－m＋3＝0，即m(x－1)－y＋3＝0，经过定点B(1，3).
因为动直线x＋my＝0和动直线mx－y－m＋3＝0的斜率之积为－1，始终垂直，
又点P是两条直线的交点，所以PA⊥PB，
所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10.
设∠ABP＝θ，则|PA|＝sin θ，|PB|＝cos θ，
由|PA|≥0且|PB|≥0，可得θ∈[0，]，
所以|PA|＋|PB|＝(sin θ＋cos θ)＝2sin (θ＋).
因为θ∈[0，]，所以θ＋∈[，]，
所以sin (θ＋)∈[，1]，
所以2sin (θ＋)∈[，2].
14．定义：在平面直角坐标系中，设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则d(P，Q)＝|x1－x2|＋|y1－y2|叫做P，Q两点的“垂直距离”，已知点M(x0，y0)是直线ax＋by＋c＝0外一定点，点N是直线ax＋by＋c＝0上一动点，则M，N两点的“垂直距离”的最小值为（ ）
A． B．
C． D．|ax0＋by0＋c|
解析：A 因为点M(x0，y0)是直线ax＋by＋c＝0外一定点，点N是直线ax＋by＋c＝0上一动点，
所以设N(－，－)，
故M，N两点的“垂直距离”d(P，Q)＝|－－x0|＋|－－y0|＝＋≥.
所以M，N两点的“垂直距离”的最小值为.故选A.
第52讲 圆的方程
[课标要求] 1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程和一般方程.2.能根据给定条件求圆的标准方程及与圆有关的轨迹方程．
1．圆的定义
在平面内，到__定点__的距离等于__定长__的点的集合叫做圆．
确定一个圆最基本的要素是__圆心__和半径．
2．圆的方程
(1)圆的标准方程：__(x－a)2＋(y－b)2＝r2__，其中(a，b)为圆心，r为半径．
特别地，当a＝b＝0时，表示圆心在原点的圆的方程：x2＋y2＝r2.
(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，圆心为__(－，－)__，半径r＝____．
3．求圆的方程的方法和步骤
由于圆的方程形式已知，所以求圆的方程常采用__待定系数法__，大致步骤为：
(1)根据题意，选择__标准或一般__方程；
(2)根据条件列出关于__a，b，r或D，E，F__的方程组；
(3)解出__a，b，r或D，E，F__代入标准方程或一般方程．
1．点与圆的位置关系
圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)，
(1)点在圆上 __(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2__；
(2)点在圆外 __(x0－a)2＋(y0－b)2>r2__；
(3)点在圆内 __(x0－a)2＋(y0－b)2
(1)最大值为|PA|＋r；
(2)最小值为.(其中r为圆P的半径)
3．已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
1．“a<1”是“方程2x2＋2y2＋2ax＋6y＋5a＝0表示圆”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：A 因为方程2x2＋2y2＋2ax＋6y＋5a＝0，即x2＋y2＋ax＋3y＋＝0表示圆，
等价于a2＋9－10a>0，解得a>9或a<1，
故“a<1”是“方程2x2＋2y2＋2ax＋6y＋5a＝0表示圆”的充分不必要条件．故选A.
2．(2022·北京卷)若直线2x＋y－1＝0是圆(x－a)2＋y2＝1的一条对称轴，则a＝( )
A． B．－
C．1 D．－1
解析：A 由题可知圆心为(a，0)，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即2a＋0－1＝0，解得a＝.故选A.
3．(教材母题选必修习题2.4T8)已知长为2a(a>0)的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段AB的中点的轨迹方程为____________.
解析：x2＋y2＝a2 如图，不论直线怎么移动，线段AB的中点P与原点O的连线始终为Rt△OAB斜边上的中线，即|OP|＝a，即x2＋y2＝a2.故所求的轨迹方程为x2＋y2＝a2.
4．已知圆的圆心为(－2，1)，其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程是____________________．
解析：x2＋y2＋4x－2y＝0
设直径的两个端点分别A(a，0)，B(0，b)，圆心C为点(－2，1)，由中点坐标公式，得＝－2，＝1，解得a＝－4，b＝2.所以半径r＝＝，
所以圆的方程是(x＋2)2＋(y－1)2＝5，即x2＋y2＋4x－2y＝0.
5．设点P是函数y＝－的图象上的任意一点，点Q(2a，a－3)(a∈R)，则|PQ|的最小值为__________．
解析：－2 如图所示，点P在半圆C(实线部分)上，且由题意知，C(1，0)，点Q在直线l：x－2y－6＝0上．过圆心C作直线l的垂线，垂足为点A，则|CA|＝，故|PQ|min＝|CA|－2＝－2.
探究点1 圆的方程及求法
【例1】 (1)过两点A(0，4)，B(4，6)，且圆心在直线x－2y－2＝0上的圆的标准方程是( )
A．(x＋4)2＋(y＋1)2＝25
B．(x＋4)2＋(y－1)2＝25
C．(x－4)2＋(y＋1)2＝25
D．(x－4)2＋(y－1)2＝25
(2)若圆C与y轴相切，与直线l：y＝x也相切，且圆C经过点P(2，)，则圆C的半径为__________.
(3)(2024·湖北高三校联考期末)广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互纠在一起，因而被习称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，整个图形是一个圆形区域x2＋y2≤4.其中黑色阴影区域在y轴左侧部分的边界为一个半圆．已知符号函数sgn (x)＝则当x2＋y2≤4时，下列不等式能表示图中阴影部分的是( )
A．x(x2＋(y－sgn (x))2－1)≤0
B．y((x－sgn (y))2＋y2－1)≤0
C．x(x2＋(y－sgn (x))2－1)≥0
D．y((x－sgn (y))2＋y2－1)≥0
解析：(1)D 设圆心坐标为C(2b＋2，b)，由圆过两点A(0，4)，B(4，6)，可得|AC|＝|BC|，即[(2b＋2)－0]2＋(b－4)2＝[(2b＋2)－4]2＋(b－6)2，解得b＝1，可得圆心为(4，1)，半径为5，则所求圆的方程为(x－4)2＋(y－1)2＝25.故选D.
(2)1或 由题意，在直线l：y＝x中，倾斜角为30°，
所以圆C的圆心在两切线所成角的平分线y＝x上．
设圆心C(a，a)，
则圆C的方程为(x－a)2＋(y－a)2＝a2，
将点P(2，)的坐标代入，
得(2－a)2＋(－a)2＝a2，
解得a＝1或a＝，
所以圆C的半径为1或.
(3)C 对于A，当x>0时，x2＋(y－sgn (x))2－1＝x2＋(y－1)2－1≤0，即表示圆x2＋(y－1)2＝1内部及边界，显然不满足，A错误；
对于B，当y>0时，(x－sgn (y))2＋y2－1＝(x－1)2＋y2－1≤0，即表示圆(x－1)2＋y2＝1内部及边界，显然不满足，B错误；
对于C，当x>0时，x2＋(y－sgn (x))2－1＝x2＋(y－1)2－1≥0，即表示圆x2＋(y－1)2＝1外部及边界，满足；
当x<0时，x2＋(y－sgn (x))2－1＝x2＋(y＋1)2－1≤0，即表示圆x2＋(y＋1)2＝1的内部及边界，满足，C正确；
对于D，当y>0时，(x－sgn (y))2＋y2－1＝(x－1)2＋y2－1≥0，即表示圆(x－1)2＋y2＝1外部及边界，显然不满足，D错误．故选C.
(1)直接法．根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而得到所求方程．
(2)待定系数法．其一般步骤为：
①根据题意选用圆的方程两种形式中的一种；
②根据所给条件，列出关于a，b，r或D，E，F的方程组；
③解方程组，求出a，b，r或D，E，F的值，并把它们代入所设的方程中，得到所求的圆的方程．
变式探究
1．已知直线(3＋2λ)x＋(3λ－2)y＋5－λ＝0恒过定点P，则与圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝16有公共的圆心且过点P的圆的标准方程为( )
A．(x－2)2＋(y＋3)2＝36
B．(x－2)2＋(y＋3)2＝25
C．(x－2)2＋(y＋3)2＝18
D．(x－2)2＋(y＋3)2＝9
解析：B 直线(3＋2λ)x＋(3λ－2)y＋5－λ＝0，即(2x＋3y－1)λ＋(3x－2y＋5)＝0，
由
解得
即P(－1，1)，圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝16的圆心C(2，－3)，|PC|＝5，
所以所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25.故选B.
2．过直线2x＋y＋4＝0和圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4的交点，并且面积最小的圆的方程为____________________.
解析：(x＋)2＋(y－)2＝(或x2＋y2＋x－y＋＝0)
联立方程
解得交点坐标为(－3，2)，(－，).
过两交点的圆中，以交点为端点的线段为直径的圆面积最小，故所求圆的圆心坐标为(－，)，
半径为＝，
故所求圆的方程为(x＋)2＋(y－)2＝.
3．设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若∠FAC＝120°，则圆的方程为____________________．
解析：(x＋1)2＋(y－)2＝1 由题知，抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线l：x＝－1，因为点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.
因为∠FAC＝120°，所以∠FAO＝30°.
所以OA＝＝＝，所以OA＝，所以A(0，)，如图所示．
所以C(－1，)，圆的半径为CA＝1，故所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－)2＝1.
探究点2 与圆有关的最值问题
【例2】 (1)(2025·福建宁德校考)已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m，0)，B(m，0)(m>0).若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则实数m的取值范围是_________________．
(2)(2024·广东佛山模拟)已知圆C：(x－1)2＋y2＝4，过点A(0，1)的两条直线l1，l2互相垂直，圆心C到直线l1，l2的距离分别为d1，d2，则d1d2的最大值为( )
A． B．1
C． D．4
(3)(2025·黑龙江哈尔滨模拟)已知实数x1，x2，y1，y2，满足x＋y＝4，x＋y＝9，x1x2＋y1y2＝0，则|x1＋y1－9|＋|x2＋y2－9|的最小值是__________．
解析：(1)[4，6] 因为∠APB＝90°，所以点P的轨迹是以AB为直径的圆O，半径为m，
故点P是圆O与圆C的交点，如图所示．
又C：(x－3)2＋(y－4)2＝1的圆心和半径分别为(3，4)，r＝1，|OC|＝＝5，因此两圆相切或相交，即|m－1|≤≤m＋1，解得4≤m≤6.
(2)B 如图，过圆心C分别作直线l1，l2的垂线，垂足分别为E，F.
因为l1，l2互相垂直，所以四边形AECF为矩形．
由圆C：(x－1)2＋y2＝4，可得C(1，0)，
又A(0，1)，
所以d＋d＝|CE|2＋|CF|2＝|AC|2＝2≥2d1d2，
所以d1d2≤1，当且仅当d1＝d2＝1时取等号，即d1d2的最大值为1，故选B.
(3)18－ 依题意，方程x＋y＝4，x＋y＝9分别表示以原点O为圆心，2，3为半径的圆．
令B(x1，y1)，A(x2，y2)，即点B，A分别在x2＋y2＝4，x2＋y2＝9上，如图．
显然＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，·＝x1x2＋y1y2＝0，
即有⊥，
|AB|＝＝.
取线段AB的中点P，连接OP，则|OP|＝|AB|＝，
因此点P在以原点为圆心，为半径的圆上．
而|x1＋y1－9|＋|x2＋y2－9|＝(＋)，
即|x1＋y1－9|＋|x2＋y2－9|表示点A，B到直线l：x＋y－9＝0的距离和的倍，
过A，B分别作直线l的垂线，垂足分别为M，N，过P作PD垂直于直线l于点D，
于是AM∥PD∥BN，|AM|＋|BN|＝2|PD|，
|x1＋y1－9|＋|x2＋y2－9|＝(|AM|＋|BN|)＝2|PD|，
原点O到直线l的距离d＝，
显然|PD|≥d－|OP|＝－，当且仅当点O，P，D共线，且点P在线段OD上时取等号，
所以(|x1＋y1－9|＋|x2＋y2－9|)min＝2|PD|min＝2(－)＝18－.
(1)处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，常根据代数式的几何意义，借助数形结合的方法求解．
(2)与圆有关的最值问题，常见类型有：
①形如μ＝的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；
②形如t＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；
③形如m＝(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为动点与定点的距离的平方的最值问题；
④圆上的点到直线的距离的最大、最小值问题．
变式探究
4．已知实数x，y满足x2＋y2－4x－2y－4＝0，则x－y的最大值是( )
A．1＋ B．4
C．1＋3 D．7
解析：C (方法1)令x－y＝k，则x＝k＋y，代入原式化简得2y2＋(2k－6)y＋k2－4k－4＝0.
因为存在实数y，则Δ≥0，即(2k－6)2－4×2(k2－4k－4)≥0，
化简得k2－2k－17≤0，解得1－3≤k≤1＋3，故x－y的最大值是3＋1.故选C.
(方法2)x2＋y2－4x－2y－4＝0，整理得(x－2)2＋(y－1)2＝9，
令x＝3cos θ＋2，y＝3sin θ＋1，其中θ∈[0，2π)，
则x－y＝3cos θ－3sin θ＋1＝3cos (θ＋)＋1，
因为θ∈[0，2π)，所以θ＋∈[，)，则当θ＋＝2π，即θ＝时，x－y取得最大值3＋1.故选C.
(方法3)由x2＋y2－4x－2y－4＝0可得(x－2)2＋(y－1)2＝9.
设x－y＝k，则圆心到直线x－y＝k的距离d＝≤3，
解得1－3≤k≤1＋3，故选C.
5．在平面直角坐标系中，直线y＝kx＋m(k≠0)与x轴和y轴分别交于A，B两点，|AB|＝2，若CA⊥CB，则当k，m变化时，点C到点(1，1)的距离的最大值为( )
A．4 B．3
C．2 D．
解析：B 由y＝kx＋m(k≠0)得A(－，0)，B(0，m)，故由|AB|＝2得(－)2＋m2＝8，且AB的中点到原点的距离为.
由CA⊥CB得·＝0.
设C(x，y)，则(x＋，y)·(x，y－m)＝0，即(x＋)2＋(y－)2＝＋，即点C的轨迹为一动圆．
设该动圆圆心为(x′，y′)，则x′＝－，y′＝，
整理得k＝－，m＝2y′，代入(－)2＋m2＝8中，
得x′2＋y′2＝2，即点C的轨迹的动圆的圆心在圆x′2＋y′2＝2上，
故点(1，1)与该圆上的点(－1，－1)的连线的距离加上圆的半径即为点C到点(1，1)的距离的最大值，最大值为＋＝3，故选B.
6．已知点P(1，0)及圆C：x2＋y2＝2，点M，N在圆C上，若PM⊥PN，则|MN|的取值范围为( )
A．[－1，＋1]
B．[2－，2＋]
C．[2－－1，2＋]
D．[2－－1，2＋]
解析：A 由题意，设点M，N的中点为D(x，y)，如图所示．
因为PM⊥PN，所以Rt△PMN斜边的中线等于斜边的一半，
即|PD|＝.
又由垂径定理有
＝，
所以|PD|＝，
即|PD|2＝|OM|2－|OD|2，
则有(x－1)2＋y2＝2－(x2＋y2)，
化简得x2－x＋y2＝，即(x－)2＋y2＝()2，
所以点D的轨迹是以(，0)为圆心，为半径的圆．
由圆的性质有
|DP|min＝－，|DP|max＝＋.
又|MN|＝2|PD|，
所以|MN|min＝－1，|MN|max＝＋1，
所以|MN|的取值范围为[－1，＋1]，故选A.
探究点3 与圆有关的轨迹问题
【例3】 (1)(2024·新课标Ⅱ卷)已知曲线C：x2＋y2＝16(y>0)，从C上任意一点P向x轴作垂线段PP′，P′为垂足，则线段PP′的中点M的轨迹方程为( )
A．＋＝1(y>0)
B．＋＝1(y>0)
C．＋＝1(y>0)
D．＋＝1(y>0)
(2)已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)，求：
(ⅰ)直角顶点C的轨迹方程；
(ⅱ)直角边BC的中点M的轨迹方程．
解析：(1)设点M(x，y)，
则P(x，y0)，P′(x，0).
因为M为PP′的中点，
所以y0＝2y，即P(x，2y).
又P在圆x2＋y2＝16(y>0)上，
所以x2＋4y2＝16(y>0)，即＋＝1(y>0)，
即点M的轨迹方程为＋＝1(y>0).故选A.
(2)(ⅰ)(直接法)设C(x，y).因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.因为AC⊥BC，所以kAC·kBC＝－1.
又kAC＝，kBC＝，
所以·＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0.
所以直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0).
(ⅱ)(代入法)设M(x，y)，C(x0，y0).
因为B(3，0)，M是线段BC的中点，
所以x＝，y＝，所以x0＝2x－3，y0＝2y.
又C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，
将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1(y≠0).
所以动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0).
(1)求与圆有关的轨迹方程时，要注意充分利用圆的几何性质．
(2)求与圆有关的轨迹方程常用的方法有：
①直接法：直接根据题目条件列出方程．
②定义法：判断几何条件符合圆的定义，再用待定系数法求．
③代入法：找到所求的点与已知点的关系，再代入已知点所满足的关系式等．
变式探究
7．已知抛物线y＝x2＋mx－2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(3，1)，圆Q过A，B，C三点，当实数m变化时，存在一条定直线l被圆Q截得的弦长为定值，则此定直线l的方程为( )
A．x－3y＝0 B．3x－y＋1＝0
C．x－y－1＝0 D．x－y＝0
解析：A 设过A，B，C三点的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，
由题意可得y＝0时，x2＋Dx＋F＝0与x2＋mx－2＝0等价，可得D＝m，F＝－2，
圆的方程即为x2＋y2＋mx＋Ey－2＝0.
由圆过C(3，1)可得9＋1＋3m＋E－2＝0，
可得E＝－8－3m，即圆的方程为x2＋y2＋mx＋(－8－3m)y－2＝0，整理得(x2＋y2－8y－2)＋m(x－3y)＝0.
因为m为任意实数方程都成立，
所以
解得或
所以圆过定点(3，1)和(－，－)，
此时过两点的弦长为定值
＝，
过两点的直线的斜率为＝，
所以过两点的直线的方程为y－1＝(x－3)，即为x－3y＝0.故选A.
8．(多选)在平面直角坐标系中，A(1，0)，B(－2，0)，点P满足＝，设点P的轨迹为C，则( )
A．C的周长为4π
B．OP平分∠APB
C．△ABP面积的最大值为6
D．当AP⊥AB时，直线BP与圆C相切
解析：ABD 设P(x，y).因为A(1，0)，B(－2，0)，点P满足＝，所以＝，
整理化简得(x－2)2＋y2＝4，
即曲线C的方程为(x－2)2＋y2＝4，如图所示．
对于A，曲线C为半径为2 的圆，故周长为2π·2＝4π，A正确．
对于B，因为A(1，0)，B(－2，0)，所以＝，所以＝，延长BP到Q，使|AP|＝|PQ|，连接AQ，如图所示．
因为|AP|＝|PQ|，所以＝＝，
所以OP∥AQ，所以∠OPB＝∠Q，∠OPA＝∠QAP.
因为|AP|＝|PQ|，所以∠OPA＝∠Q.
所以∠OPB＝∠OPA，即OP平分∠APB，B正确．
对于C，△ABP的面积S＝|AB|·|yP|＝|yP|.要使△ABP的面积最大，只需|yP|最大，由点P的轨迹为C：(x－2)2＋y2＝4可得|yP|max＝2，所以△ABP面积的最大值为3，C错误．
对于D，当AP⊥AB时，P(1，)或(1，－)，如图所示．不妨取P(1，)，则直线BP：y＝(x＋2)，即y＝(x＋2).
因为圆心C(2，0)到直线BP的距离为d＝＝2，所以d＝r，即直线BP与圆C相切，D正确．故选ABD.
1．方程x2＋y2＋2y＋m＝0表示一个圆，则实数m的取值范围是（ ）
A．(1，＋∞) B．(－∞，1)
C．[1，＋∞) D．(－∞，1]
解析：B 由x2＋y2＋2y＋m＝0，得x2＋(y＋1)2＝1－m>0，解得m<1.故选B.
2．与圆x2＋y2－2x＋4y＋3＝0圆心相同，且过点(1，－1)的圆的方程是（ ）
A．x2＋y2－2x＋4y－4＝0
B．x2＋y2－2x＋4y＋4＝0
C．x2＋y2＋2x－4y－4＝0
D．x2＋y2＋2x－4y＋4＝0
解析：B 设所求圆的方程为x2＋y2－2x＋4y＋m＝0，由该圆过点(1，－1)，得m＝4，所以所求圆的方程为x2＋y2－2x＋4y＋4＝0.故选B.
3．圆(x－1)2＋y2＝2关于直线x－y＋1＝0对称的圆的方程是（ ）
A．(x＋1)2＋(y－2)2＝
B．(x－1)2＋(y＋2)2＝
C．(x＋1)2＋(y－2)2＝2
D．(x－1)2＋(y＋2)2＝2
解析：C 因为圆心(1，0)关于直线x－y＋1＝0的对称点是(－1，2)，所以所求圆的方程是(x＋1)2＋(y－2)2＝2.故选C.
4．过坐标原点，且在x轴和y轴上的截距分别为2和3的圆的方程为（ ）
A．x2＋y2－2x－3y＝0
B．x2＋y2＋2x－3y＝0
C．x2＋y2－2x＋3y＝0
D．x2＋y2＋2x＋3y＝0
解析：A 设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，
由题意知，圆过点(0，0)，(2，0)和(0，3)，
所以解得
所以所求圆的方程为x2＋y2－2x－3y＝0.故选A.
5．当方程x2＋y2＋ax＋2y＋a2＝0所表示的圆的面积最大时，直线y＝(a－1)x＋2的倾斜角为（ ）
A． B．
C． D．
解析：B 方程x2＋y2＋ax＋2y＋a2＝0可化为(x＋)2＋(y＋1)2＝－a2＋1.
设圆的半径为r(r>0)，则r2＝1－a2，
所以当a＝0时，r2取得最大值，从而圆的面积最大．
此时，直线方程为y＝－x＋2，斜率k＝－1，倾斜角为，故选B.
6．若两定点A(1，0)，B(4，0)，动点M满足2|MA|＝|MB|，则动点M的轨迹围成区域的面积为（ ）
A．2π B．5π
C．3π D．4π
解析：D 设M(x，y)，依题意，2＝，化简整理得x2＋y2＝4，
因此，动点M的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆，
所以动点M的轨迹围成区域的面积为4π.故选D.
7．若直线ax＋2by－2＝0(a>0，b>0)始终平分圆： x2＋y2－4x－2y－8＝0的周长，则＋的最小值为____________.
解析：3＋2 由条件知直线过圆心(2，1)，
所以2a＋2b－2＝0，即a＋b＝1.
所以＋＝(＋)(a＋b)＝3＋＋≥3＋2.
当且仅当＝，即a＝－1，b＝2－时，等号成立．
所以＋的最小值为3＋2.
8．已知点A(2，0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1，1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点．若∠PBQ＝90°，则线段PQ中点N的轨迹方程为____________________．
解析：x2＋y2－x－y－1＝0
如图，设PQ的中点为N(x，y)，连接BN，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.连接ON，则ON⊥PQ，
所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，
所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4，
故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.
9．已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1经过点A(3，4)，则其圆心到原点的距离的最大值为（ ）
A．4 B．5
C．6 D．7
解析：C 由圆C：(x－a)2＋(x－b)2＝1经过点A(3，4)，可得(3－a)2＋(4－b)2＝1，
即(a－3)2＋(b－4)2＝1，故圆心(a，b)的轨迹是以A(3，4)为圆心，1为半径的圆，
又|AO|＝＝5，所以圆心到原点的距离的最大值为5＋1＝6.故选C.
10．已知点P为直线y＝x＋1上的一点，M，N分别为圆C1：(x－4)2＋(y－1)2＝4与圆C2：x2＋(y－3)2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为（ ）
A．4 B．5
C．6 D．7
解析：B 设C2(0，3)关于直线y＝x＋1的对称点为C(m，n)，
由解得即C(2，1).
由对称性可得|PC|＝|PC2|，
则|PC1|－|PC2|＝|PC1|－|PC|≤|C1C|＝2.
又|PM|≤|PC1|＋2，|PN|≥|PC2|－1，
所以|PM|－|PN|≤|PC1|－|PC2|＋3≤5，
故|PM|－|PN|的最大值为5.故选B.
11．已知P(4，0)是圆x2＋y2＝36内的一点，A，B是圆上两动点，且满足∠APB＝90°，则矩形APBQ顶点Q的轨迹方程为______________________．
解析：x2＋y2＝56 连接AB，PQ，设AB与PQ交于点M，如图所示．
因为四边形APBQ为矩形，所以M为AB，PQ的中点，连接OM.由垂径定理可知OM⊥AB.
设M(xM，yM)，由此可得|AM|2＝|OA|2－|OM|2＝36－(x＋y).①
又在Rt△APB中，有|AM|＝|PM|＝.②
由①②得x＋y－4xM－10＝0，故点M的轨迹是圆．
因为点M是PQ的中点，设Q(x，y)，
则xM＝，yM＝，代入点M的轨迹方程中得()2＋()2－4×－10＝0，
整理得x2＋y2＝56，为所求点Q的轨迹方程．
12．已知M为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2，3)，则|MQ|的最大值为__________，最小值为__________；若M(m，n)，则的最大值为________.
解析：6 2 2＋ 由圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，
所以圆心C的坐标为(2，7)，半径r＝2.
又|QC|＝＝4>2，即点Q在圆C外，
所以|MQ|max＝4＋2＝6，
|MQ|min＝4－2＝2.
可知表示直线MQ的斜率，
设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k＋3＝0，则＝k.
由直线MQ与圆C有交点，
所以≤2，可得2－≤k≤2＋，
所以的最大值为2＋.
13．(多选)（2024·辽宁丹东模拟预测)已知曲线E：x2＋y2－2|x|－2|y|＝0，则（ ）
A．曲线E围成的图形面积为8＋4π
B．曲线E的长度为4π
C．曲线E上任意一点到原点的最小距离为2
D．曲线E上任意两点间的最大距离为4
解析：ABD 当x>0，y>0时，曲线E：(x－1)2＋(y－1)2＝2；
当x>0，y<0时，曲线E：(x－1)2＋(y＋1)2＝2；
当x<0，y>0时，曲线E：(x＋1)2＋(y－1)2＝2；
当x<0，y<0时，曲线E：(x＋1)2＋(y＋1)2＝2；
当x＝0，y＝0时，曲线E为原点．
画出曲线E的图形，如图所示．
对于A，曲线E围成的面积可分割为一个边长为2的正方形和四个半径为的半圆，故面积为2×2＋2π×()2＝8＋4π，A正确；
对于B，曲线E由四个半径为的半圆组成，故周长为2×2π×＝4π，B正确；
对于C，因为原点在曲线E上，所以最小值为0，C错误；
对于D，如图所示，曲线E上任意两点的连线过圆心及原点时，距离最大，最大为4，D正确．故选ABD.
14．（2024·山东东营高三校考)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，分别过A，B两点作准线的垂线，垂足分别为A1，B1两点，以线段A1B1为直径的圆C过点(－2，3)，则圆C的方程为（ ）
A．(x＋1)2＋(y－2)2＝2
B．(x＋1)2＋(y－1)2＝5
C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝17
D．(x＋1)2＋(y＋2)2＝26
解析：B 抛物线y2＝4x的焦点F(1，0)，准线A1B1：x＝－1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，令弦AB的中点为E，如图所示．
又圆心C是线段A1B1的中点，AA1⊥A1B1，BB1⊥A1B1，所以EC∥AA1∥BB1，EC⊥A1B1，
显然直线AB不垂直于y轴．
设直线AB：x＝ty＋1，联立方程消去x得y2－4ty－4＝0，
则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4，
|y1－y2|＝＝4，
点E的纵坐标为＝2t，
故圆C的半径r＝|A1B1|＝|y1－y2|＝2，圆心C(－1，2t).
又圆C过点M(－2，3)，则有|MC|＝r，即＝2，解得t＝.
因此圆C的圆心C(－1，1)，半径r＝，即圆C的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝5.故选B.
第53讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
[课标要求] 1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系.2.能根据给定两个圆的方程，判断两圆的位置关系.3.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．
1．直线与圆的位置关系
直线l：Ax＋By＋C＝0，圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0).
(1)几何方法
圆心(a，b)到直线Ax＋By＋C＝0的距离d＝____和圆的半径r的大小关系：
d__<__r 直线与圆相交；
d__＝__r 直线与圆相切；
d__>__r 直线与圆相离．
(2)代数方法
由消元，得到的一元二次方程的判别式为Δ，则
Δ__>__0 直线与圆相交；
Δ__＝__0 直线与圆相切；
Δ__<__0 直线与圆相离．
2．圆与圆的位置关系
(1)几何方法
两圆(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)与(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0)的圆心距为d，则
d>r1＋r2 两圆__相离__；
d＝r1＋r2 两圆__外切__；
|r1－r2|
0≤d<|r1－r2|(r1≠r2) 两圆__内含__(d＝0时为同心圆).
(2)代数方法
方程组
有两组不同的实数解 两圆__相交__；
有两组相同的实数解 两圆__相切__；
无实数解 两圆__相离__或__内含__．
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
(4)过圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)外一点P(x0，y0)引圆的两条切线，切点为T，则切线长为|PT|＝.
(5)直线与圆相交所得弦长的计算
直线与圆相交时，若l为弦长，d为弦心距，r为半径，则有l＝2.
(6)两圆相交的公共弦方程
将两圆方程(x2，y2的系数相同)相减，所得到的方程就是两圆公共弦所在的直线方程．
1．(教材母题选必修2.5例2)过点(2，2)作圆(x－1)2＋y2＝5的切线，则切线方程为( )
A．x－2y＋2＝0
B．3x＋2y－10＝0
C．x＋2y－6＝0
D．x＝2或x＋2y－6＝0
解析：C 显然点(2，2)在圆上，由常用结论(2)可得(2－1)(x－1)＋(2－0)y＝5，即x＋2y－6＝0，故选C.
2．(教材母题选必修习题2.5T1)直线l：x＋my＋1－m＝0与圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝9的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．无法确定
解析：A 已知直线l：x＋my＋1－m＝0过定点(－1，1)，将点(－1，1)代入圆的方程可得(－1－1)2＋(1－2)2<9，可知点(－1，1)在圆内，
所以直线l：x＋my＋1－m＝0与圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝9相交．故选A.
3．(教材母题选必修2.5.2例5)两圆x2＋y2－2y＝0与x2＋y2－4＝0的位置关系是( )
A．相交 B．内切
C．外切 D．内含
解析：B 两圆方程可化为x2＋(y－1)2＝1，x2＋y2＝4.两圆圆心分别为O1(0，1)，O2(0，0)，半径分别为r1＝1，r2＝2.因为|O1O2|＝1＝r2－r1，所以两圆内切．故选B.
4．若圆C：x2＋y2－2x＋4y＋1＝0的弦MN的中点为A(2，－3)，则直线MN的方程是( )
A．2x－y－7＝0 B．x－y－5＝0
C．x＋y＋1＝0 D．x－2y－8＝0
解析：B 由圆的方程可知圆心C(1，－2)，则kCA＝－1，由题可知CA⊥MN，所以kMN＝1.
又MN过点A(2，－3)，根据点斜式公式可知直线MN的方程是x－y－5＝0.故选B.
5．(教材母题选必修习题2.5T9)圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦长为________．
解析：2
联立方程由常用结论(6)得两圆公共弦所在直线方程为x－y＋2＝0.又圆x2＋y2＝4的圆心到直线x－y＋2＝0的距离为＝.由勾股定理得弦长的一半为＝，则所求弦长为2.
探究点1 直线与圆的位置关系及应用
【例1】 (1)(2025·天津期末)过点(1，0)且与圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切的直线方程为( )
A．2x－y－2＝0
B．3x－4y－3＝0
C．2x－y－2＝0或x＝1
D．3x－4y－3＝0或x＝1
(2)(2024·全国甲卷)已知b是a，c的等差中项，直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＋4y－1＝0交于A，B两点，则|AB|的最小值为( )
A．2 B．3
C．4 D．2
(3)(2024·河南洛阳高三校联考)已知圆M：(x－5)2＋(y－5)2＝16，点N在直线l：3x＋4y－5＝0上，过点N作直线NP与圆M相切于点P，则△MNP的周长的最小值为____________．
解析：(1)D 圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0，即圆(x－2)2＋(y－2)2＝1的圆心坐标为(2，2)、半径为1，显然过点(1，0)且斜率不存在的直线为x＝1，与圆(x－2)2＋(y－2)2＝1相切，满足题意．
设圆过点(1，0)且斜率存在的直线为y＝k(x－1)，与圆(x－2)2＋(y－2)2＝1相切，
所以d＝＝r＝1，解得k＝，
所以满足题意的直线方程为3x－4y－3＝0或x＝1.故选D.
(2)C 因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，c＝2b－a，
代入直线方程ax＋by＋c＝0得ax＋by＋2b－a＝0，即a(x－1)＋b(y＋2)＝0.
令得
故直线恒过(1，－2).
设P(1，－2)，圆化为标准方程得C：x2＋(y＋2)2＝5.
设圆心为C，画出直线与圆的图形，由图可知，当PC⊥AB时，|AB|最小，|PC|＝1，|AC|＝|r|＝，此时|AB|＝2|AP|＝2＝2＝4.故选C.
(3)10＋2 由圆M：(x－5)2＋(y－5)2＝16知圆心M(5，5)，半径r＝4.
因为NP与圆M相切于点P，所以MP⊥NP，
所以|PN|＝
＝，
所以|MN|越小，|PN|越小．
当MN⊥l时，|MN|最小，因为圆心M到直线l的距离为＝6，所以|MN|的最小值为6，此时，|PN|＝2，|MP|＋|MN|＋|PN|＝10＋2，
故△MNP的周长的最小值为10＋2.
(1)判断直线与圆的位置关系的常见方法：
①几何法：利用d与r的关系判断．
②代数法：联立方程求解，然后利用Δ判断．
注意：若直线恒过定点，且定点在圆内，可判断直线与圆相交．
(2)过某一点求圆的切线方程，一般要判断此点是否在圆上．若在圆上，该点为切点，切线只有一条；若在圆外，切线应该有两条．
(3)求圆的切线方程或割线方程，常采用待定系数法，再转化到圆心与所求直线的距离确定其中的参数值．
注意：设点斜式方程时，要特别注意斜率不存在的情况是否符合要求．
变式探究
1．(2024·江西南昌校考)圆心在直线y＝2x上，与x轴相切，且被直线x－y＝0截得的弦长为的圆的方程为_______________．
解析：(x－1)2＋(y－2)2＝4或(x＋1)2＋(y＋2)2＝4
设所求圆的圆心为(a，2a)，半径为r.
因为圆与x轴相切，所以r＝|2a|.
又圆心到直线x－y＝0的距离d＝＝|a|，
所以2＝2＝，解得a＝1或a＝－1，
所以所求圆的圆心为(1，2)或(－1，－2)，半径r＝2，
所以圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝4或(x＋1)2＋(y＋2)2＝4.
2．(2025·贵州贵阳校考)若圆C：x2＋y2－12x＋10y＋25＝0上有四个不同的点到直线l：3x＋4y＋c＝0的距离为3，则实数c的取值范围是( )
A．(－∞，17) B．(－17，13)
C．(－13，17) D．(－12，18)
解析：C 将圆C的方程化为标准方程为(x－6)2＋(y＋5)2＝36，圆心为C(6，－5)，半径为6.
设与直线l平行且到直线l的距离为3的直线的方程为3x＋4y＋m＝0，
则＝3，解得m＝c＋15或m＝c－15.
所以直线3x＋4y＋c－15＝0，3x＋4y＋c＋15＝0均与圆C相交，
所以
解得－13
3．(2023·新课标Ⅰ卷)过点(0，－2)与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sin α＝( )
A．1 B．
C． D．
解析：B 因为x2＋y2－4x－1＝0，
即(x－2)2＋y2＝5，可得圆心C(2，0)，半径r＝.
过点P(0，－2)作圆C的切线，切点分别为A，B.
因为|PC|＝＝2，
则|PA|＝＝，
可得sin ∠APC＝＝，cos ∠APC＝＝，
则sin ∠APB＝sin 2∠APC
＝2sin ∠APC cos ∠APC
＝2××＝，
cos ∠APB＝cos 2∠APC
＝cos2∠APC－sin2∠APC
＝()2－()2＝－<0，
即∠APB为钝角，
所以sinα＝sin (π－∠APB)＝sin ∠APB＝.故选B.
探究点2 圆与圆的位置关系及应用
【例2】 (1)已知圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0与圆C2：x2＋y2－2x＋10y－24＝0相交于A，B两点，则公共弦AB的长为________，经过A，B两点且面积最小的圆的方程为____________________．
(2)设直线3x＋4y－5＝0与圆C1：x2＋y2＝9交于A，B两点，若圆C2的圆心在线段AB上，且圆C2与圆C1相切，切点在圆C1的劣弧AB上，则圆C2的半径的最大值是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：(1)2 (x＋2)2＋(y－1)2＝5
两圆的方程作差可得x－2y＋4＝0.
所以圆C1与圆C2的公共弦AB所在的直线方程为x－2y＋4＝0，
联立方程
解得或
不妨设A(－4，0)，B(0，2)，
所以|AB|＝＝2.
以AB为直径的圆即为面积最小的圆，方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝5.
(2)B 圆C1：x2＋y2＝9的圆心为原点O(0，0)，半径r1＝3.
依题意，圆C2的圆心C2在圆C1内，设半径为r2，如图所示．
因为圆C2与圆C1内切，则|OC2|＝r1－r2，
即r2＝r1－|OC2|，
又点C2在线段AB上，
过O作OP⊥AB于P，
则|OP|＝＝1，
显然|OC2|≥|OP|，当且仅当点C2与点P重合时取“＝”，
所以(r2)max＝r1－|OP|＝3－1＝2，
所以圆C2的半径的最大值是2.故选B.
1．判断圆与圆的位置关系时，一般用几何法，其步骤是：
(1)确定两圆的圆心坐标和半径长；
(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d，求r1＋r2，|r1－r2|；
(3)比较d，r1＋r2，|r1－r2|的大小，写出结论．
2．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，
y2项得到．
3.弦长问题
(1)利用垂径定理：半径r，圆心到直线的距离d，弦长l具有关系r2＝d2＋()2，
这也是求弦长最常用的方法．
(2)利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用
两点间的距离公式计算弦长．
(3)利用弦长公式：设直线l：y＝kx＋b与圆的两交点为(x1，y1)，(x2，y2)，将直线方程代入圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，消元后，得到关于x的一元二次方程，再利用根与系数关系得弦长l＝|x1－x2|＝＝.
变式探究
4．已知圆C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一条公切线，若a，b∈R且ab≠0，则＋的最小值为( )
A．3 B．8
C．4 D．9
解析：D 因为圆C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一条公切线，
所以两圆相内切，其中C1(－2a，0)，r1＝2，C2(0，b)，r2＝1，
故|C1C2|＝，
由题设可知＝2－1，
即4a2＋b2＝1，
＋＝(4a2＋b2)(＋)
＝＋＋5
≥2＋5＝9，
当且仅当2a2＝b2时等号成立．故选D.
5．(多选)已知圆O1：x2＋y2－2x－3＝0和圆O2：x2＋y2－2y－1＝0的交点为A，B，则( )
A．两圆的圆心距|O1O2|＝2
B．直线AB的方程为x－y＋1＝0
C．圆O2上存在两点P和Q使得|PQ|＞|AB|
D．圆O1上的点到直线AB的最大距离为2＋
解析：BD 由圆O1：x2＋y2－2x－3＝0和圆O2：x2＋y2－2y－1＝0，
化简得圆O1：(x－1)2＋y2＝4和圆O2：x2＋(y－1)2＝2，
则圆O1的圆心坐标为(1，0)，半径为2，圆O2的圆心坐标为(0，1)，半径为.
对于A，两圆的圆心距|O1O2|＝＝，A错误；
对于B，将两圆方程作差可得－2x＋2y－2＝0，即得公共弦AB的方程为x－y＋1＝0，B正确；
对于C，直线AB经过圆O2的圆心(0，1)，所以线段AB是圆O2的直径，故圆O2中不存在比AB长的弦，C错误；
对于D，圆O1的圆心坐标为(1，0)，半径为2，圆心到直线AB：x－y＋1＝0的距离为＝，所以圆O1上的点到直线AB的最大距离为2＋，D正确．故选BD.
探究点3 直线与圆、圆与圆的综合及应用
【例3】 如图，圆C：x2－(1＋a)x＋y2－ay＋a＝0.
(1)若圆C与x轴相切，求圆C的方程．
(2)已知a>1，圆C与x轴相交于M，N两点(点M在点N的左侧).过点M任作一条直线与圆O：x2＋y2＝4相交于A，B两点．问：是否存在实数a，使得∠ANM＝∠BNM？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．
解析：(1)由题意可联立方程
得x2－(1＋a)x＋a＝0，
由题意知Δ＝(1＋a)2－4a＝(a－1)2＝0，所以a＝1，
故所求圆C的方程为x2－2x＋y2－y＋1＝0.
(2)令y＝0，得x2－(1＋a)x＋a＝0，
即(x－1)(x－a)＝0，解得x＝1或x＝a，
所以M(1，0)，N(a，0).
假设存在实数a，使得∠ANM＝∠BNM.
当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，代入x2＋y2＝4，得(1＋k2)x2－2k2x＋k2－4＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
从而x1＋x2＝，x1x2＝.
因为NA，NB的斜率之和为
＋
＝，
又因为(x1－1)(x2－a)＋(x2－1)(x1－a)＝2x1x2－(a＋1)(x1＋x2)＋2a＝－(a＋1)＋2a＝，
因为∠ANM＝∠BNM，
所以NA，NB的斜率互为相反数，
所以＋＝0，即＝0，得a＝4.
当直线AB与x轴垂直时，仍然满足∠ANM＝∠BNM，即NA，NB的斜率互为相反数．
综上，存在a＝4，使得∠ANM＝∠BNM.
1．处理直线与圆、圆与圆的位置关系，要全面地考虑各种位置关系，防止漏解，如设切线为点斜式，要考虑斜率不存在的情况是否符合要求，两圆相切应考虑外切和内切两种情况．
2．研究圆的有关问题要注意数形结合，充分利用圆的性质，如“垂直于弦的直径必平分弦”“圆的切线垂直于经过切点的半径”“两圆相切时，切点与两圆圆心三点共线”等，寻找解题途径，简化运算．
变式探究
6．在平面直角坐标系中，已知半径为2的圆C，圆心在x轴正半轴上，且与直线x－y＋2＝0相切．
(1)求圆C的方程．
(2)在圆C上，是否存在点P，满足|PQ|＝|PO|，其中，点Q的坐标是(－1，0)？若存在，指出有几个这样的点；若不存在，请说明理由．
(3)若在圆C上存在点M(m，n)，使得直线l：mx＋ny＝1与圆O：x2＋y2＝1相交于不同的两点A，B，求实数m的取值范围，并求出使得△OAB的面积最大的点M的坐标及对应的△OAB的面积．
解析：(1)设圆心是(a，0)(a＞0)，它到直线x－y＋2＝0的距离是d＝＝2，解得a＝2或a＝－6(舍去)，
所以所求圆C的方程是(x－2)2＋y2＝4.
(2)假设存在这样的点P(x，y)，
则由|PQ|＝|PO|，得x2＋y2＋4x＋2＝0，即点P在圆D：(x＋2)2＋y2＝2上，点P也在圆C：(x－2)2＋y2＝4上．
因为|CD|＝4＞rc＋rd＝2＋，
所以圆C与圆D外离，圆C与圆D没有公共点．
所以不存在点P满足条件．
(3)因为点M(m，n)在圆C上，
所以(m－2)2＋n2＝4，
即n2＝4－(m－2)2＝4m－m2且0≤m≤4.
因为原点到直线l：mx＋ny＝1的距离h＝＝＜1，解得＜m≤4.
又|AB|＝2，
所以S△OAB＝|AB|h＝
＝＝，
因为≤＜1，所以当＝，即m＝时，S△OAB取得最大值，此时点M的坐标是(，)或(，－)，对应的△OAB的面积的最大值是.
1．直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－1＝0有两个不同交点的一个充分不必要条件是（ ）
A．－3＜m＜1 B．－4＜m＜2
C．0＜m＜1 D．m＜1
解析：C 根据直线与圆有两个不同的交点，可知圆心到直线的距离d小于半径．因为圆x2＋y2－2x－1＝0可化为(x－1)2＋y2＝2，即圆心是(1，0)，半径是，所以d＝<，所以|m＋1|＜2，所以－3＜m＜1.由题意知实数m的取值范围应是(－3，1)的一个真子集，故选C.
2．若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，则点P(a，b)（ ）
A．在圆上 B．在圆外
C．在圆内 D．以上都有可能
解析：B 因为直线与圆有两个不同的交点，则圆心到直线的距离小于半径，
即<1，即a2＋b2>1，
据此可得，点P(a，b)与圆C的位置关系是点在圆外．故选B.
3．与圆C1：x2＋y2－6x＋4y＋12＝0，C2：x2＋y2－14x－2y＋14＝0都相切的直线有（ ）
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
解析：A 两圆分别化为标准形式为C1：(x－3)2＋(y＋2)2＝1，C2：(x－7)2＋(y－1)2＝36，则两圆圆心距|C1C2|＝＝5，等于两圆半径差，故两圆内切．所以它们只有一条公切线．故选A.
4．过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（ ）
A．2x＋y－3＝0 B．2x－y－3＝0
C．4x－y－3＝0 D．4x＋y－3＝0
解析：A 由题意可得直线AB与点(3，1)，(1，0)的连线垂直，又这两点连线的斜率为，故直线AB的斜率为－2，只有选项A中直线的斜率为－2.故选A.
5．(多选)已知M为圆C：(x＋1)2＋y2＝2上的动点，P为直线l：x－y＋4＝0上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．直线l与圆C相切
B．直线l与圆C相离
C．|PM|的最大值为
D．|PM|的最小值为
解析：BD 圆C：(x＋1)2＋y2＝2的圆心C(－1，0)，半径r＝.
因为圆心C(－1，0)到直线l：x－y＋4＝0的距离d＝＝>r，
所以直线l与圆C相离，A错误，B正确；
|PM|≥|PC|－r≥d－r＝，C错误，D正确．故选BD.
6．P是直线3x－4y＋5＝0上的一动点，过P作圆C：x2＋y2－4x＋2y＋4＝0的切线，切点为A，则△PAC面积的最小值为（ ）
A． B．2
C．3 D．4
解析：A 圆C：(x－2)2＋(y＋1)2＝1的圆心C(2，－1)，半径r＝1，
点C到直线3x－4y＋5＝0的距离
d＝＝3，
显然|PC|≥d＝3.
由于PA与圆C相切于点A，
则|PA|＝＝，
所以S△PAC＝×|PA|×|AC|
＝≥＝，
当且仅当直线PC垂直于直线3x－4y＋5＝0时取等号，
所以△PAC面积的最小值为.故选A.
7．已知直线l：mx＋y＋＝0与圆(x＋1)2＋y2＝2相交，弦长为2，则m＝________.
解析： 由已知可得圆心为(－1，0)，半径为，圆心到直线的距离d＝，所以()2＋1＝2，解得m＝.
8．（2024·河南开封三模）已知点A(1，0)，B(2，0)，经过B作圆(x－3)2＋(y－2)2＝5的切线与y轴交于点P，则tan ∠APB＝________．
解析： 如图所示，设圆心为C点，则C(3，2)，
因为(2－3)2＋(0－2)2＝5，
所以点B在圆上，且kBC＝＝2.
由PB与圆相切可得kPB·kBC＝－1，
则kPB＝－，则tan ∠OPB＝2.
因为OB＝2，则OP＝1，故P(0，1)，
则tan ∠APO＝1，
从而可得tan ∠APB＝tan (∠OPB－∠OPA)＝＝＝.
9．已知直线l：x cos α＋y sin α＝1(0≤α<2π)与圆C：(x－2)2＋(y－)2＝4相切，则满足条件的直线l的条数为（ ）
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：B 由已知直线l：x cos α＋y sin α＝1(0≤α<2π)，则原点到直线l的距离为＝1，由直线l与圆C：(x－2)2＋(y－)2＝4相切，
则满足条件的直线l即为圆x2＋y2＝1和圆(x－2)2＋(y－)2＝4的公切线．
因为＝3＝r1＋r2，
所以圆x2＋y2＝1和圆(x－2)2＋(y－)2＝4外切，
所以这两个圆有两条外公切线和一条内公切线，所以满足条件的直线l有3条．故选B.
10．(多选)已知圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0和直线l：kx－y＋3－4k＝0，则（ ）
A．直线l与圆C的位置关系无法判定
B．当k＝1时，圆C上的点到直线l的最远距离为＋2
C．当圆C上有且仅有3个点到直线l的距离等于1时，k＝0
D．若直线l与圆C相交于M，N两点，则MN的中点的轨迹是一个圆
解析：BCD 由x2＋y2－6x－8y＋21＝0，得(x－3)2＋(y－4)2＝4，所以圆心C(3，4)，半径为2.
对于A，由直线l的方程可得，y－3＝k(x－4)，则直线l恒过定点A(4，3)，此点在圆C内，故直线l与圆C相交，A错误．
对于B，k＝1时，直线l的方程为x－y－1＝0，设圆心C(3，4)到直线l的距离为d，则d＝＝，所以圆C上的点到直线l的最远距离为＋2，B正确．
对于C，当圆C上有且仅有3个点到直线l的距离等于1时，圆心C(3，4)到直线l的距离为1，由d＝＝1，得k＝0，C正确．
对于D，直线l恒过定点A(4，3)，设MN的中点为P，由垂径定理知PC⊥PA，故点P的轨迹是以AC为直径的圆，D正确．故选BCD.
11．（2024·重庆统考模拟预测)若圆C：x2＋(y－2)2＝16关于直线ax＋by－12＝0对称，动点P在直线y＋b＝0上，过点P引圆C的两条切线PM，PN，切点分别为M，N，则直线MN恒过定点Q，点Q的坐标为（ ）
A．(1，1) B．(－1，1)
C．(0，0) D．(0，12)
解析：C 由题意可知，圆C：x2＋(y－2)2＝16的圆心在直线ax＋by－12＝0上，
即有2b－12＝0，b＝6.
设点P(t，－6)，
则|PC|2＝t2＋(－6－2)2＝t2＋64，
故以PC为直径的圆的方程为(x－)2＋(y＋2)2＝(t2＋64)，
将(x－)2＋(y＋2)2＝(t2＋64)和C：x2＋(y－2)2＝
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