专题1 集合、常用逻辑用语、不等式（教师版）-高考一轮总复习数学
文档属性
| 名称 | 专题1 集合、常用逻辑用语、不等式（教师版）-高考一轮总复习数学 |
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| 格式 | DOCX | ||
| 文件大小 | 886.5KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-12-09 14:04:42 | ||
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文档简介
专题1 集合、常用逻辑用语、不等式
考点 考情考向 考频
集合 集合间的关系 2022年新课标Ⅱ卷T17(2) 2023年新课标Ⅱ卷T2 3年2考
集合的运算 2022年新课标Ⅰ卷T1 2022年新课标Ⅱ卷T1 2023年新课标Ⅰ卷T1 2024年新课标Ⅰ卷T1 3年4考
常用逻辑用语 2023年新课标Ⅰ卷T7 2024年新课标Ⅱ卷T2 3年2考
不 等式 不等式的性质 2022年新课标Ⅰ卷T22 2023年新课标Ⅰ卷T22 2023年新课标Ⅱ卷T18(2) 2024年新课标Ⅰ卷T8 2024年新课标Ⅱ卷T18 3年5考
基本不等式 2022年新课标Ⅰ卷T8、T18、T22 2022年新课标Ⅱ卷T12 3年4考
一元二次方程、不等式 2022年新课标Ⅰ卷T10、T11、T21 2022年新课标Ⅱ卷T10、T15 2023年新课标Ⅰ卷T1 2023年新课标Ⅱ卷T4、T5、T11 2024年新课标Ⅰ卷T10、T11 2024年新课标Ⅱ卷T11 3年12考
近三年的高考命题，本专题重点考查集合、常用逻辑用语、不等式的性质、基本不等式和不等式的解法与性质．集合主要考查集合间的基本关系和集合的运算，考查难度为容易题；不等式常作为工具渗透到数学运算和逻辑推理中进行考查；常用逻辑用语是非主干点知识，考查形式分为直接和间接两种形式，间接考查往往为构建试题的题设情境，规范数学语言的表述．
从近三年高考情况来看，集合是必考主干知识，以选择题或填空题形式出现，试题难度为容易题，主要涉及的知识是集合语言的理解，两个集合的相互关系与运算，属于高考中的“送分题”．
常用逻辑用语是选考的非主干知识，以选择题形式或“渗透式”考查，逻辑推理过程中“渗透”充要条件和含有量词的否定，命题情境构建“渗透”量词的含义．
不等式的性质、一元二次不等式的解法和基本不等式是数学运算和逻辑推理的工具，一般渗透到其他模块的主干知识中考查，充分体现其工具性功能．
本专题蕴含了丰富的数学思想方法，如数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想和函数与方程的思想等，在复习中应注意总结领会．
第1讲 集合的概念与运算
[课标要求] 1.了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系及空集、全集的意义.2.理解集合之间的包含与相等关系，能识别给定集合的子集.3.理解交集、并集、补集的含义，能求两个简单集合的交集与并集，能求给定子集的补集．
1．集合的含义与表示
(1)一般地，我们把研究对象统称为 元素 ，把一些元素组成的总体叫做 集合 (简称为 集 ).集合中的元素具有 确定性 、 互异性 和 无序性 三个特征．
(2)如果a是集合A的元素，就说a 属于 集合A，记作 a∈A ，如果a不是集合A的元素，就说a 不属于 集合A，记作 a A ．
(3)常见数集的记法
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N*或N＋ Z Q R
(4)常用的集合表示法有：列举法、 描述法 和 图示法 ．
2．集合间的基本关系
(1)如果集合A中 任意 一个元素 都是 集合B中的元素，就称集合A是集合B的子集，记作 A B(或B A) ．
(2)如果集合A B，但存在元素x ∈ B，且x A，就称集合A是集合B的真子集，记作 A B(或BA) ．
(3)如果 A B且B A ，即集合A与集合B中的元素是一样的，就称集合A与集合B相等．
3．集合的基本运算
(1)交集：由 所有 属于集合A 且 属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作A∩B，即A∩B＝ {x|x∈A，且x∈B} ．
(2)并集：由 所有 属于集合A 或 属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B，即A∪B＝ {x|x∈A，或x∈B} ．
(3)补集：对于一个集合A，由全集U中 不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作 UA，即 UA＝ {x|x∈U，且x A} ．
1．空集是任何集合的 子集 ，空集是任何非空集合的 真子集 ．
2．若有限集合A中有n个元素，则A的子集有 2n 个，非空子集有 2n－1 个，真子集有 2n－1 个．
3．A B A∩B＝ A A∪B＝ B ．
1．下列命题中正确的是( )
A． 与{0}表示同一个集合
B．由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}
C．方程(x－1)2(x－2)＝0的所有解的集合可表示为{1，1，2}
D．集合{x|4解析：B 对于A，由于“0”是元素，而“{0}”表示含0元素的集合，而 不含任何元素，A错误；
对于B，根据集合中元素的无序性，B正确；
对于C，根据集合元素的互异性，C错误；
对于D，由于该集合为无限集且无明显的规律性，所以不能用列举法表示，D错误．故选B.
2．(教材母题必修习题1.1T1)已知集合A＝{x|x2－x＝0}，则－1与集合A的关系为( )
A．－1∈A B．－1 A
C．－1 A D．－1A
解析：B 因为A＝{x|x2－x＝0}＝，所以－1 A，故选B.
3．(2024·新课标Ⅰ卷)已知集合A＝{x|－5A．{－1，0} B．{2，3}
C．{－3，－1，0} D．{－1，0，2}
解析：A 因为A＝，B＝{－3，－1，0，2，3}，且注意到1<<2，从而A∩B＝{－1，0}.故选A.
4．(教材母题必修习题2.3T5)若集合M＝{x|x2＋3x－4≤0}，N＝{x|x＞－3}，则M∪N＝( )
A．(－3，1] B．(－3，4]
C．[－4，＋∞) D．[－1，＋∞)
解析：C 集合M＝{x|x2＋3x－4≤0}＝{x|－4≤x≤1}，N＝{x|x＞－3}，则M∪N＝{x|x≥－4}．故选C.
5．(2025·浙江月考)已知集合M＝{1，2，3}，N＝{0，1，2，3，4，7}，若M A N，则满足集合A的个数为 ．
解析：8 因为M A N，所以A可以是{1，2，3}，{1，2，3，4}，{1，2，3，0}，{1，2，3，7}，{1，2，3，0，4}，{1，2，3，0，7}，{1，2，3，4，7}，{1，2，3，0，4，7}，共8个．
探究点1 集合的基本概念
【例1】 (1)下列说法正确的是( )
A．由0，2，4组成的集合可表示为{0，2，4}或{4，2，0}
B． 与{ }是同一个集合
C．集合{x|y＝x2－1}与集合{y|y＝x2－1}是同一个集合
D．集合{x|x2＋5x＋6＝0}与集合{x2＋5x＋6＝0}是同一个集合
(2)(2024·江苏模拟预测)若集合A＝{x|2mx－3>0，m∈R}，其中2∈A且1 A，则实数m的取值范围是( )
A．(，] B．[，)
C．(，) D．[，]
解析：(1)A 集合中的元素具有无序性，A正确；
是不含任何元素的集合，{ }是含有一个元素 的集合，B错误；
集合{x|y＝x2－1}＝R，集合{y|y＝x2－1}＝{y|y≥－1}，C错误；
集合{x|x2＋5x＋6＝0}＝{x|(x＋2)(x＋3)＝0}中有两个元素－2，－3，集合{x2＋5x＋6＝0}中只有一个元素，为方程x2＋5x＋6＝0，D错误．故选A.
(2)A 由题意可得
解得(1)用描述法表示集合，首先要明确集合中元素的属性，即元素的满足限制条件，同时分清是数集、点集还是其他类型的集合．
(2)研究集合的有关问题，首先要理解集合的属性，其次要注意集合中元素的三个特征——确定性、无序性和互异性，尤其要注意集合中元素的互异性，当集合中的元素含有参数时，要根据互异性进行检验，同时解决集合问题常常应用分类讨论的思想方法．
变式探究
1．若集合A＝{x∈Z|mA．[－1，0) B．(－1，0]
C．(－1，0) D．[－1，0]
解析：A 因为集合A有15个真子集，所以集合A中有4个元素，所以－1≤m<0.故选A.
2．已知集合{x|(x－a2)(x－1)＝0}的元素之和为1，则实数a所有取值的集合为( )
A．{0} B．{1}
C．{－1，1} D．{0，－1，1}
解析：D 因为集合{x|(x－a2)(x－1)＝0}的元素之和为1，所以一元二次方程(x－a2)(x－1)＝0有等根时，可得x＝a2＝1，即a＝±1.当方程有两不相等实根时，x＝a2＝0，即a＝0.综上，实数a所有取值的集合为{0，1，－1}．故选D.
探究点2 集合间的基本关系
【例2】 (1)(教材母题必修习题1.2T5)已知集合A＝{x|1A．(2024，＋∞) B．[2024，＋∞)
C．(－∞，2024] D．(－∞，2024)
(2)已知集合A＝{x|2A．(1，3) B．(2，3)
C．[1，3] D．[2，3]
解析：(1)B 集合A＝{x|1(2)B 解不等式|2x－2a－1|≤1，得a≤x≤a＋1，
所以B＝{x|a≤x≤a＋1}．
由A∩B＝B，得B A，所以解得2(1)判定两集合的关系一般有两种方法：一是化简集合，利用定义从中直接找到两集合的关系；二是采用具体化的策略，通过列举等途径，直观找到两集合之间的关系．
(2)已知两集合间的关系求参数的取值范围时，要注意：①所给集合若能化简，则先化简；②若集合中的元素是离散的，则用Venn图表示，根据Venn图得到关于参数的一个或多个方程，求出参数后要验证是否与集合元素的互异性矛盾；③若集合中的元素是连续的，则用数轴表示，根据数轴得到关于参数的不等式，解之得到参数的取值范围，此时要注意端点值的取舍；④注意空集的特殊性，一般地，若B A，则应分B＝ 与B≠ 两种情况进行讨论．
(3)注意集合的包含关系与运算关系的转化，一般地，有A B A∩B＝A A∪B＝B.
变式探究
3．已知集合A＝{0，1，a2}，B＝{1，0，3a－2}，若A＝B，则a等于( )
A．1或2 B．－1或－2
C．2 D．1
解析：C 因为A＝B，所以3a－2＝a2，解得a＝1或2.
当a＝1时，集合A＝{0，1，1}，不满足集合中元素的互异性，故舍去．
当a＝2时，集合A＝{0，1，4}，集合B＝{1，0，4}，符合题意，
所以a＝2.故选C.
4．已知集合A＝{x|log2x2≤2}，B＝{m}．若A∪B＝A，则m的取值范围是( )
A．(－∞，2]
B．[－2，2]
C．(－∞，2)∪(2，＋∞)
D．[－2，0)∪(0，2]
解析：D 由题意可得A＝{x|0探究点3 集合的基本运算
【例3】 (1)(2023·全国甲卷)设全集U＝Z，集合M＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，N＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，则 U(M∪N)＝( )
A．{x|x＝3k，k∈Z}
B．{x|x＝3k－1，k∈Z}
C．{x|x＝3k－2，k∈Z}
D．
(2)已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，2，3，4}，B＝{2，4，6}，则图中阴影部分表示的集合为( )
A．{2，4} B．{1，3}
C．{1，3，4} D．{2，3，4}
(3)设集合A＝{x|1A．1 B．2
C．3 D．4
解析：(1)A 因为整数集，k∈＋1，k∈＋2，k∈Z}，U＝Z，所以 U(M∪N)＝{x|x＝3k，k∈Z}．故选A.
(2)B 由题意，图中阴影部分表示的集合为A∩( UB).因为U＝{1，2，3，4，5，6}，B＝{2，4，6}，所以 UB＝{1，3，5}，又A＝{1，2，3，4}，所以题图中阴影部分表示的集合为A∩( UB)＝{1，3}．故选B.
(3)D 因为集合A＝{x|1(1)进行集合的运算时，要注意：①明确集合的意义，辨清是数集、点集还是图形集等；②将所给集合进行化简，使之明确化；③数形结合，利用韦恩图、数轴等辅助解题．
(2)处理集合的交、并、补的运算问题，首先要将集合进行化简，使之明确化，然后借助数轴、韦恩图等工具，应用集合运算的含义进行推导判定，同时将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，这实质上是数形结合思想在集合中的具体应用．
变式探究
5．已知集合A＝{x|x2－5≤0}，B＝{x|x2＋4x＋3>0}，则A∩B＝ ．
解析：{x|－10}＝{x|x<－3或x>－1}，所以A∩B＝{x|－16．(2025·湖南九校联盟一)已知集合A＝{x||x|<2}，B＝{x|x2－2x－3≤0}，则( RA)∩B＝( )
A．{x|－1C．{x|2解析：D 因为A＝{x|－27．设集合A＝{x||x|≤3}，B＝{x|log2(x＋a)≥1}，若A∩B＝{x|－1≤x≤3}，则实数a的值为 ．
解析：3 由不等式|x|≤3，解得－3≤x≤3，所以A＝{x|－3≤x≤3}，
又由log2(x＋a)≥1，可得x＋a≥2，所以x≥2－a，所以B＝{x|x≥2－a}，
因为A∩B＝{x|－1≤x≤3}，所以2－a＝－1，解得a＝3.
1．设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M满足 UM＝{1，3}，则（ ）
A．2∈M B．3∈M
C．4M D．5M
解析：A 由题知M＝{2，4，5}，对比选项知，A正确，B、C、D错误．故选A.
2．已知集合M＝{x|≤2}，N＝{x|－3A．{x|0≤x≤2} B．{x|－3C．{x|1≤x≤4} D．{x|0≤x<1}
解析：D M＝{x|≤2}＝{x|0≤x≤4}，N＝{x|－33．设集合A＝{x|1A．1 B．2
C．3 D．4
解析：D 因为集合A＝{x|14．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0A．1 B．2
C．3 D．4
解析：D 因为A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}＝{x|(x－1)(x－2)＝0，x∈R}＝{1，2}，易知B＝{x|05．已知集合M＝{y|y＝2x，x>1}，N＝{x|y＝}，则M∪N＝（ ）
A． ? B．{2}
C．[1，＋∞） D．[0，＋∞）
解析：D 因为x>1，所以y＝2x>21＝2，所以M＝{y|y>2}．因为2x－x2≥0，所以0≤x≤2，所以N＝{x|0≤x≤2}．
因此M∪N＝[0，＋∞）.故选D.
6．已知集合A＝{x|x＝2n＋1，n∈Z}，B＝{y|0A．32 B．31
C．16 D．15
解析：B 由题可知A∩B＝{1，3，5，7，9}，则集合A∩B的子集个数为25－1＝31.
7．已知集合A＝{x|y＝lg x}，B＝{y|y＝x2}，则（ ）
A．A∪B＝R B． RAB
C．A∩B＝B D．AB
解析：D 因为A＝{x|y＝lg x}＝{x|x＞0}，B＝{y|y＝x2}＝{y|y≥0}，所以AB，所以A∪B＝B，A∩B＝A，又A＝{x|x＞0}，所以 RA＝{x|x≤0}，不满足 RAB，故A、B、C错误，D正确．故选D.
8．已知集合A＝{x|(x－a)(x－b)＝0}，B＝{x|x2－6x＋8＝0}，若A∪B＝{2，4，8}，则集合{(x，y)|x＝a，y＝b}的子集个数为 ．
解析：32 由题意得B＝{2，4}，又A∪B＝{2，4，8}，所以8∈A，
所以a＝b＝8或a＝8，b＝2或a＝2，b＝8或a＝8，b＝4或a＝4，b＝8，
所以集合{(x，y)|x＝a，y＝b}＝{(8，8)，(2，8)，(8，2)，(4，8)，(8，4)}，所以其子集个数为25＝32.
9．已知A，B均为R的子集，且 RAB，则A∩( RB)＝（ ）
A．A B．B
C． RA D． RB
解析：D 如图，阴影部分为集合B，且 RAB，则A∩( RB)＝ RB.故选D.
10．已知集合M＝{x|x＝m＋，m∈N}，N＝{x|x＝－，n∈N}，则M，N的关系为（ ）
A．M＝N B．N M
C．M N D．NM
解析：C 因为M＝{x|x＝，m∈N}，N＝{x|x＝＝，n∈N}，所以M N.故选C.
11．已知集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，若A∪B＝B，则实数a的取值范围是（ ）
A．a<－2 B．a≤－2
C．a>－4 D．a≤－4
解析：D 依题意，集合A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|x≤－}．由A∪B＝B可得AB，作出数轴如图．可知－≥2，即a≤－4.故选D.
12．设a，b是实数，集合A＝{x||x－a|<1，x∈R}，B＝{x||x－b|>3，x∈R}，且AB，则|a－b|的取值范围为（ ）
A．[0，2] B．[0，4]
C．[2，＋∞） D．[4，＋∞）
解析：D 集合A＝{x||x－a|<1，x∈R}＝{x|a－13，x∈R}＝{x|xb＋3}．
又AB，所以a＋1≤b－3或a－1≥b＋3，即a－b≤－4或a－b≥4，即|a－b|≥4，
所以|a－b|的取值范围为[4，＋∞）.故选D.
13．（2019·全国卷Ⅲ改）《西游记》 《三国演义》 《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》但未阅读过《红楼梦》的学生人数为 .
解析：10 用Venn图表示调查的100位学生中阅读过《西游记》和《红楼梦》的人数之间的关系如图：
易知调查的100位学生中阅读过《西游记》的学生人数为70，
所以该校阅读过《西游记》但未阅读过《红楼梦》的学生人数为10.
14．（2025·北京顺义区期末）已知A是非空数集，如果对任意x，y∈A，都有x＋y∈A，xy∈A，则称A是封闭集．
(1)判断集合B＝{0}，C＝{－1，0，1}是否为封闭集，并说明理由．
(2)判断以下两个命题的真假，并说明理由．
命题p：若非空集合A1，A2是封闭集，则A1∪A2也是封闭集．
命题q：若非空集合A1，A2是封闭集，且A1∩A2≠ ，则A1∩A2也是封闭集．
解析：(1)对于集合B＝{0}，因为0＋0＝0∈B，0×0＝0∈B，所以B＝{0}是封闭集；
对于集合C＝{－1，0，1}，因为－1＋0＝－1∈C，－1×0＝0∈C，－1＋1＝0∈C，－1×1＝－1∈C，0＋1＝1∈C，0×1＝0∈C，所以集合C＝{－1，0，1}是封闭集．
(2)对命题p：令A1＝{x|x＝2k，k∈Z}，A2＝{x|x＝3k，k∈Z}，
则集合A1，A2是封闭集，如A1＝{0，－2}，A2＝{0，3}，但A1∪A2＝{0，－2，3}不是封闭集，故p是假命题．
对于命题q：设a，b∈(A1∩A2)，则有a，b∈A1，
又因为集合A1是封闭集，所以a＋b∈A1，ab∈A1，
同理可得a＋b∈A2，ab∈A2.
所以a＋b∈(A1∩A2)，ab∈(A1∩A2)，所以A1∩A2是封闭集，故q是真命题．
第2讲 充分条件与必要条件、全称量词与存在量词
[课标要求] 1.理解充分条件、必要条件与充要条件的意义，能初步判断给定的两个条件的关系.2.理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．
1．充分条件与必要条件
(1)充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件 p q且q p
p是q的必要不充分条件 p q且q p
p是q的充要条件 p q
p是q的既不充分也不必要条件 p q且q p
(2)从集合的角度
若p，q以集合的形式出现，记条件p，q对应的集合分别为P，Q，一般有：
若P Q，则p是q的 充分 条件；
若Q P，则p是q的 必要 条件；
若PQ，则p是q的 充分不必要 条件；
若PQ，则p是q的 必要不充分 条件；
若P＝Q，则p是q的 充要 条件．
2．全称量词与全称量词命题
(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词．
(2)全称量词命题：含有全称量词的命题．
(3)全称量词命题的符号表示：“对M中的任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为 x∈M，p(x).
3．存在量词与存在量词命题
(1)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词．
(2)存在量词命题：含有存在量词的命题．
(3)存在量词命题的符号表示：“存在M中的元素x，p(x)成立”可用符号简记为 x∈M，p(x).
1．若p是q的充分不必要条件，则 p是 q的必要不充分条件．
2．含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”．
1．(2024·黑龙江哈尔滨三模)命题“ x>0，都有x2－x＋3≤0”的否定( )
A． x>0，使得x2－x＋3≤0
B． x>0，使得x2－x＋3>0
C． x>0，都有x2－x＋3>0
D． x≤0，都有x2－x＋3>0
解析：B 命题“ x>0，都有x2－x＋3≤0”的否定是： x>0，使得x2－x＋3>0.故选B.
2．(2024·新课标Ⅱ卷)已知命题p： x∈R，|x＋1|>1；命题q： x>0，x3＝x，则( )
A．p和q都是真命题
B． p和q都是真命题
C．p和 q都是真命题
D． p和 q都是真命题
解析：B 对于p，取x＝－1，则有|x＋1|＝0<1，故p是假命题， p是真命题，
对于q，取x＝1，则有x3＝13＝1＝x，故q是真命题， q是假命题，
综上， p和q都是真命题．故选B.
3．(2025·山东潍坊期中)若“ x∈R，sin xA．a≥1 B．a>1
C．a≥－1 D．a>－1
解析：D x∈R，sin x－1.故选D.
4．(教材母题必修复习参考题1T5改编)已知a，b都是实数，则“a>b>0”是“|a|>|b|”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：A a>b>0时，一定有|a|>|b|，充分性成立，
当a＝－2，b＝－1时，满足|a|>|b|，但a>b>0不成立，则必要性不成立，
所以“a>b>0”是“|a|>|b|”的充分不必要条件．故选A.
5．设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是( )
A．a＝3b B．a∥b
C．a＝－b D．a∥b且|a|＝|b|
解析：A 由＝可得a，b同向．故只有A中，a＝3b时a，b同向，而B、C、D只能确定a，b共线，故选A.
探究点1 充分、必要条件的判断
【例1】 (1)(2025·浙江调研)已知复数z1，z2，则“z＝z”是“|z1|＝|z2|”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)“函数y＝tan x的图象关于(x0，0)中心对称”是“sin 2x0＝0”的
条件．
(3)已知Sn是数列{an}的前n项和，则“Sn＋1＋2Sn－1＝3Sn对n≥2恒成立”是“{an}是公比为2的等比数列”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：(1)A z＝z z－z＝0 (z1－z2)(z1＋z2)＝0 z1＝z2或z1＝－z2 |z1|＝|z2|.
因为|z1|＝|z2|z1＝z2或z1＝－z2，例如取z1＝＋i，z2＝i，此时|z1|＝|z2|，但z1＝z2或z1＝－z2不成立，故选A.
充要 函数y＝tan x图象的对称中心为(，0)，k∈Z，
所以函数y＝tan x的图象关于(x0，0)中心对称等价于x0＝，k∈Z.
因为sin 2x0＝0等价于2x0＝kπ，k∈Z，即x0＝，k∈Z.
所以“函数y＝tan x的图象关于(x0，0)中心对称”是“sin 2x0＝0”的充要条件．
(3)B 若Sn＋1＋2Sn－1＝3Sn(n≥2)，则Sn＋1－Sn＝2(Sn－Sn－1)，即an＋1＝2an(n≥2)，
根据等比数列的定义，{an}是公比为2的等比数列不一定成立；
若{an}是公比为2的等比数列，则an＋1＝2an(n≥2)，即Sn＋1－Sn＝2(Sn－Sn－1)，
所以Sn＋1＋2Sn－1＝3Sn(n≥2)成立．
所以“Sn＋1＋2Sn－1＝3Sn对n≥2恒成立”是“{an}是公比为2的等比数列”的必要不充分条件，故选B.
充分条件、必要条件的两种判定方法
(1)定义法：根据p q，q p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．
(2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及参数范围的推断问题．
变式探究
1．(2024·高三全国专题练习)对于非零向量a，b，“a＋2b＝0”是“a∥b”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：A 若a＋2b＝0，则a＝－2b，所以a∥b.若a∥b，则a＋2b＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件．故选A.
2．(2024·江苏调研)“a>1”是“<1”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：A 由<1，得a>1或a<0.所以“a>1”是“<1”的充分不必要条件，故选A.
3．(2024·江苏南通模拟预测)在△ABC中，已知B＝30°，c＝2，则“b＝”是“C＝45°”成立的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：B 若b＝，由正弦定理得＝，
即＝，所以sin C＝.
又因为c>b，所以C＝45°或C＝135°，
则“b＝”是“C＝45°”成立的必要不充分条件．故选B.
探究点2 充分、必要条件的应用
【例2】 (1)函数f(x)＝kx－2ln x在[1，＋∞)上单调递增的一个充要条件是( )
A．k>1 B．k>2
C．k≥2 D．k>3
(2)已知命题“ x∈R，x2＋2mx－2m＋3>0”为真命题，记实数m的取值为集合A.设集合B＝{x|a－2解析：(1)C 由题得f′(x)＝k－，因为函数f(x)＝kx－2ln x在区间[1，＋∞)上单调递增，所以f′(x)≥0在区间[1，＋∞)上恒成立，
所以k≥，而y＝在区间[1，＋∞)上单调递减，所以k≥2.
所以选项A是必要不充分条件，选项B、D是充分不必要条件，故选C.
[－1，0] 依题意，关于x的不等式x2＋2mx－2m＋3>0恒成立，
于是得Δ＝4m2－4(－2m＋3)<0，解得－3所以实数m的取值集合A＝{m|－3因为x∈A是x∈B的必要不充分条件，所以B A.
所以或
得－1≤a≤0，
所以实数a的取值范围为[－1，0].
充分条件、必要条件或充要条件的应用，一般表现为：(1)寻找充分(或必要)条件，关键是依据充分、必要条件的含义推理判定．(2)求参变量的取值范围．求解的一般步骤为：(ⅰ)将p，q等价化简；(ⅱ)将充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的包含关系．(3)列出关于参数的等式或不等式组，求出参数的值或取值范围．
变式探究
4．设α，β为两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是( )
A．α内有无数条直线与β平行
B．α，β垂直于同一个平面
C．α，β平行于同一条直线
D．α，β垂直于同一条直线
解析：D 对于A，α内有无数条直线与β平行推不出α∥β，只有α内所有直线与β平行才能得出α∥β，A错误；
对于B，α，β垂直于同一平面，得到α∥β或α与β相交，B错误；
对于C，α，β平行于同一条直线，得到α∥β或α与β相交，C错误；
对于D，因为垂直于同一条直线的两平面平行，故α，β垂直于同一条直线 α∥β，D正确．故选D.
5．已知集合A＝{y|y＝x2－x＋1，x∈[，2]}，B＝{x|x＋m2≥1}．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则实数m的取值范围为____________________.
解析：(－∞，－]∪[，＋∞) 函数y＝x2－x＋1图象的对称轴为x＝，开口向上，
所以函数y＝x2－x＋1在[，2]上单调递增，
当x＝时，ymin＝；
当x＝2时，ymax＝2.
所以A＝[，2].
B＝{x|x＋m2≥1}＝{x|x≥1－m2}，
由于“x∈A”是“x∈B”的充分条件，
所以1－m2≤，m2≥，
解得m≤－或m≥.
所以实数m的取值范围是(－∞，－]∪[，＋∞).
探究点3 含有量词的命题的否定及应用
【例3】 (1)命题“ x>0，|x|＋x≥0”的否定是( )
A． x<0，|x|＋x<0
B． x>0，|x|＋x<0
C． x>0，|x|＋x≤0
D． x<0，|x|＋x≤0
(2)已知集合A＝{x|0≤x≤a}，集合B＝{x|m2＋2≤x≤m2＋4}，如果命题“ m∈R，A∩B≠ ”为假命题，那么实数a的取值范围为 ．
(3)已知函数f(x)＝x2－2x＋3，g(x)＝log2x＋m，若对 x1∈[2，4]， x2∈[8，16]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围为 .
解析：(1)B 命题“ x>0，|x|＋x≥0”为存在量词命题，
该命题的否定为“ x>0，|x|＋x<0”．故选B.
(2)(－∞，2) 因为命题“ m∈R，A∩B≠ ”为假命题，
所以命题“ m∈R，A∩B＝ ”为真命题．
因为集合A＝{x|0≤x≤a}，当a<0时，集合A＝ ，符合A∩B＝ ；
当a≥0时，因为m2＋2≥2，所以由对 m∈R，A∩B＝ ，可得m2＋2>a对任意的m∈R恒成立，所以0≤a<2.
综上所述，实数a的取值范围为(－∞，2).
(3)(－∞，0] 因为若对 x1∈[2，4]， x2∈[8，16]，使得f(x1)≥g(x2)，
所以f(x1)min≥g(x2)min.
因为f(x)＝x2－2x＋3的对称轴为x＝1，x∈[2，4]，所以f(x)min＝f(2)，
因为g(x)＝log2x＋m，x∈[8，16]，
所以g(x)min＝g(8)，所以f(2)≥g(8)，
即3≥3＋m，所以m≤0，即m∈(－∞，0].
(1)全称(存在)量词命题的否定，是将其全称量词改为存在量词(存在量词改为全称量词)，并把结论否定．从命题的形式看，全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题．
(2)判定全称量词命题“ x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判定存在量词命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x，使p(x)成立即可．
(3)应用含有量词的命题求参数的策略：①对于全称量词命题 x∈M，a>f(x)(或af(x)max(或af(x)(或af(x)min(或a变式探究
6．(多选)下列命题是真命题的是( )
A． a∈R，使函数y＝2x＋a·2－x在R上为偶函数
B． x∈R，函数y＝sin x＋cos x＋的值恒为正数
C． x∈R，2xD． x∈(0，＋∞)，()x>log x
解析：AC 当a＝1时，y＝2x＋a·2－x＝2x＋2－x，易知定义域为R，且f(－x)＝2－x＋2x＝f(x)，所以y＝2x＋2－x为偶函数，A为真命题；
y＝sin x＋cos x＋＝sin (x＋)＋，
当sin (x＋)＝－1时，y＝0，B为假命题；
当x＝3时，23＝8<9＝32，C为真命题；
当x＝时，由y＝()x的图象与性质知，()∈(0，1)，
又log ＝1，所以()故选AC.
7．若命题“ x>1，x2－ax＋a＋3<0”是假命题，则实数a的取值范围是 .
解析：(－∞，6] 因为命题“ x>1，x2－ax＋a＋3<0”是假命题，
所以命题“ x>1，x2－ax＋a＋3≥0”是真命题，
即 x>1，x2＋3≥a(x－1)，
所以a≤＝
＝x－1＋＋2.
因为(x－1)＋≥2＝4，
当且仅当x－1＝，即x＝3时取等号，
所以a≤6，即a∈(－∞，6].
8．(2024·四川模拟预测)已知命题“ x∈[1，4]，ex－－m≥0”为真命题，则实数m的取值范围为( )
A．(－∞，e－2]
B．(－∞，e4－]
C．[e－2，＋∞)
D．[e4－，＋∞)
解析：A 因为命题“ x∈[1，4]，ex－－m≥0”为真命题，
所以 x∈[1，4]，m≤ex－.
令f(x)＝ex－，x∈[1，4]，y＝ex与y＝－在[1，4]上均为增函数，
故f(x)为增函数．
当x＝1时，f(x)有最小值e－2，即m≤e－2，故选A.
1．设a∈R，则“a>1”是“a2>a”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：A 由a2>a可得a>1或a<0，据此可知“a>1”是“a2>a”的充分不必要条件．故选A.
2．“m<2”是“方程＋＝1表示椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：B 方程＋＝1表示椭圆 ?
所以“m<2”是“方程＋＝1表示椭圆”的必要不充分条件，故选B.
3．（2025·安徽芜湖月考）已知直线l1：mx－y－3＝0，l2：(m－2)x－y＋1＝0，则“m＝1”是“l1⊥l2”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
解析：C 当m＝1时，l1：x－y－3＝0，l2：－x－y＋1＝0，
即l1：y＝x－3，l2：y＝－x＋1，则k1k2＝－1，即l1⊥l2；
当l1⊥l2时，m(m－2)＋(－1)×(－1)＝0，解得m＝1.
所以“m＝1”是“l1⊥l2”的充要条件．故选C.
4．（2024·四川成都模拟预测）命题 x∈[－1，1]，x＋|x|<0的否定是（ ）
A． x∈[－1，1]，x＋|x|≥0
B． x∈[－1，1]，x＋|x|≥0
C． x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，x＋|x|≥0
D． x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，x＋|x|<0
解析：B 因为命题为 x∈[－1，1]，x＋|x|<0，则其否定为 x∈[－1，1]，x＋|x|≥0.故选B.
5．已知命题p： x∈R，(x－1)2>0；命题q： x∈R，tan x＝2，则（ ）
A．p和q都是真命题
B． p和q都是真命题
C．p和 q都是真命题
D． p和 q都是真命题
解析：B 对于p，取x＝1，则有(x－1)2＝0，故p是假命题， p是真命题，
对于q，y＝tan x的值域为R，故q是真命题， q是假命题．
综上， p和q都是真命题．故选B.
6．（多选）下列命题是真命题的是（ ）
A． x∈R，2x-1>0
B． x∈R，xC． x∈R，lg x<0
D． x∈R，sin x＝1
解析：ACD 对于A，根据y＝2x-1的图象可知A正确；
对于B，取x＝1，x＝x2，B错误；
对于C，取x＝，则lg x＝－1<0，C正确；
对于D，y＝sin x的值域为[－1，1]，D正确．
故选ACD.
7．“a<－1”是“ x∈R，a sin x＋1<0”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：A 设f(x)＝a sin x＋1，
当a>0时，f(x)∈[1－a，1＋a]，所以1－a<0，即a>1；
当a<0时，f(x)∈[1＋a，1－a]，所以1＋a<0，即a<－1.
故a>1或a<－1.
所以“a<－1”是“ x∈R，a sin x＋1<0”的充分不必要条件．
故选A.
8．已知命题p： x∈[1，3]，（）x-1＋m－1<0，命题q： x∈R，mx2＋x－4＝0.若命题p和q都是真命题，则实数m的取值范围为 .
解析：[－，0） 因为p： x∈[1，3]，（）x-1＋m－1<0，
所以m<1－（）x-1在x∈[1，3]恒成立，
因为y＝1－（）x-1是增函数，
所以当x＝1时有ymin＝0，所以m<0.
因为q： x∈R，mx2＋x－4＝0，所以mx2＋x－4＝0有解，
即m＝0或所以m≥－.
若命题p和q都正确，则－≤m<0.
故实数m的取值范围为[－，0）.
9．已知f(x)是定义在[0，1]上的函数，那么“函数f(x)在[0，1]上单调递增”是“函数f(x)在[0，1]上的最大值为f(1)”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：A 若函数f(x)在[0，1]上单调递增，则f(x)在[0，1]上的最大值为f(1).
若f(x)在[0，1]上的最大值为f(1)，比如f(x)＝（x－）2，
但f(x)＝（x－）2在[0，]上为减函数，在[，1]上为增函数，
故f(x)在[0，1]上的最大值为f(1)推不出f(x)在[0，1]上单调递增．
故“函数f(x)在[0，1]上单调递增”是“f(x)在[0，1]上的最大值为f(1)”的充分不必要条件，故选A.
10．（多选）若“ x∈M，x<0或x>1”为真命题，“ x∈M，x>3”为假命题，则集合M可以是（ ）
A．(－∞，－5) B．(－3，－1]
C．（3，＋∞) D．[2，3]
解析：ABD 命题“ x∈M，x>3”为假命题，则命题“ x∈M，x≤3”为真命题，可得M{x|x≤3}，
命题“ x∈M，x<0或x>1”为真命题，则M{x|x<0或x>1}，
{x|x<0或x>1}∩{x|x≤3}＝{x|x<0或1显然，A、B、D选项中的区间为(－∞，0)∪（1，3]的子集．故选ABD.
11．（2023·全国甲卷）设甲：sin2α＋sin2β＝1，乙：sinα＋cos β＝0，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
解析：B 当sin2α＋sin2β＝1时，例如α＝，β＝0但sinα＋cos β≠0，即sin2α＋sin2β＝1推不出sinα＋cos β＝0.
当sin α＋cos β＝0时，sin2α＋sin2β＝(－cosβ)2＋sin2β＝1，
即sinα＋cos β＝0能推出sin2α＋sin2β＝1.
综上可知，甲是乙的必要不充分条件．故选B.
12．已知f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a>0)，若?x1∈[－1，2]，?x0∈[－1，2]，使g(x1)＝f(x0)，则实数a的取值范围为 .
解析：（0，] 由于函数g(x)在定义域[－1，2]内是任意取值的，且必存在x0∈[－1，2]，使得g(x1)＝f(x0)，因此问题等价于函数g(x)的值域是函数f(x)值域的子集．
因为f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[－1，2]，所以f(x)∈[－1，3]，即函数f(x)的值域是[－1，3].
因为a>0，所以函数g(x)的值域是[2－a，2＋2a]，则有2－a≥－1且2＋2a≤3，即a≤.
故实数a的取值范围是（0，].
13．（多选）设a>0，b>0，且a≠b，则“a＋b>2”的一个必要条件可以是（ ）
A．a3＋b3>2 B．a2＋b2>2
C．ab>1 D．＋>2
解析：AB 对于A，若a＋b>2，则a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＝(a＋b)[(a＋b)2－3ab]>(a＋b)[(a＋b)2－]>2成立；
对于B，若a＋b>2，则a2＋b2>>2，成立；
对于C，ab<（）2，无法判断出ab>1；
对于D，>，且（＋）(a＋b)>4，因为a＋b>2，所以不能得出＋与2的大小关系．故选AB.
14．（多选）在下列所示电路图中，下列说法正确的是（ ）
A．如图1所示，开关L1闭合是灯泡M亮的充分不必要条件
B．如图2所示，开关L1闭合是灯泡M亮的必要不充分条件
C．如图3所示，开关L1闭合是灯泡M亮的充要条件
D．如图4所示，开关L1闭合是灯泡M亮的必要不充分条件
解析：ABC 对于A，由图1可得，开关L1闭合，灯泡M亮；而灯泡M亮时，开关L1不一定闭合，所以开关L1闭合是灯泡M亮的充分不必要条件，故A正确．
对于B，由图2可得，开关L1闭合，灯泡M不一定亮；而灯泡M亮时，开关L1必须闭合，所以开关L1闭合是灯泡M亮的必要不充分条件，故B正确．
对于C，由图3可得，开关L1闭合，灯泡M亮；而灯泡M亮时，开关L1必须闭合，所以开关L1闭合是灯泡M亮的充要条件，故C正确．
对于D，由图4可得，开关L1闭合，灯泡M不一定亮；而灯泡M亮时，开关L1不一定闭合，所以开关L1闭合是灯泡M亮的既不充分也不必要条件，故D错误．故选ABC.
第3讲 等式性质与不等式性质
[课标要求] 1.了解不等式的概念，掌握等式性质，理解不等式性质.2.会比较两个代数式的大小.3.能应用不等式的性质解决有关问题．
1．不等式的定义
用不等号“>”“≥”“<”“≤”“≠”将两个数学表达式连接起来，所得的式子叫不等式．
2．两个实数的大小比较
(1)作差法
设a，b∈R，则a－b>0 a>b ；a－b<0 a(2)作商法
设a>0，b>0，则>1 a>b ；＝1 a＝b ；<1 a3．等式的基本性质
(1)对称性：a＝b b＝a ．
(2)传递性：a＝b，b＝c a＝c ．
(3)可加性：a＝b a±c＝b±c ．
(4)可乘性：a＝b ac＝bc ．
(5)可除性：a＝b，c≠0 ＝ ．
4．不等式的基本性质
(1)对称性：a>b b(2)传递性：a>b，b>c a>c ．
(3)可加性：a>b a＋c>b＋c ．
(4)不等式加法：a>b，c>d a＋c>b＋d ．
(5)可乘性：a>b，c>0 ac>bc ；a>b，c<0 ac(6)不等式乘法：a>b>0，c>d>0 ac>bd ．
(7)不等式乘方：a>b>0 an>bn (n∈N，n≥2).
(8)不等式开方：a>b>0 > (n∈N，n≥2).
1．倒数性质
(1)a>b，ab>0 <；(2)a<02．分数性质
若a>b>0，m>0，则
(1)真分数性质：<；>(b－m>0).
(2)假分数性质：>；<(b－m>0).
1．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是( )
A．M>N B．M＝N
C．M解析：A 因为M－N＝x2＋x＋1＝(x＋)2＋>0，所以M>N.故选A.
2．若<<0，有下面四个不等式：①|a|>|b|，②ab3.则不正确的不等式的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：C 由<<0可得b0，则a＋bb3，④正确．故不正确的不等式的个数为2.故选C.
3．(教材母题必修习题2.1T8改编)若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式成立的是( )
A．< B．a2>b2
C．> D．a|c|>b|c|
解析：C 对于A，若a>0>b，则>0，<0，此时>，所以A不成立；
对于B，若a＝1，b＝－2，则a2对于C，因为c2＋1≥1，且a>b，所以>恒成立，所以C成立；
对于D，当c＝0时，a|c|＝b|c|，所以D不成立．故选C.
4．下列不等式正确的是( )
A．若ac2≥bc2，则a≥b
B．若>，则aC．若a＋b>0，c－b>0，则a>c
D．若a>0，b>0，m>0，且a
解析：D 对于A，当c＝0，a＝－1，b＝2时满足ac2≥bc2，但a对于B，当c＝－1，a＝－2，b＝－3时，满足>，但a>b，B错误；
对于C，当a＝－1，b＝，c＝2时满足a＋b>0，c－b>0，但a对于D，－＝＝>0，所以>，D正确．故选D.
5．一个盒子中红、白、黑三种球分别为x个、y个、z个，黑球个数至少是白球个数的一半，至多是红球个数的，白球与黑球的个数之和至少为55，则用不等式(组)将题中的不等关系表示为____________________．
解析：(x，y，z∈N*)
由题意可得(x，y，z∈N*)
探究点1 不等式的基本性质
【例1】 (1)(多选)若a，b，c∈R，则下列命题正确的是( )
A．若a>b，则>
B．若a>b，则ac2>bc2
C．若a
D．若ac2(2)(多选)若实数a，b，c，d满足a>b>0>c>d，则下列不等式正确的是( )
A．c2C．ad
解析：(1)ACD 对于A，若a>b，则a－b＝()3－()3＝(－)[()2－＋()2]>0，
而()2－＋()2＝(－)2＋()2>0，
因此－>0，即>，A正确；
对于B，若a>b，当c＝0时，ac2＝bc2，B错误；
对于C，若a0，两边同时除以ab，则有<，C正确；
对于D，若ac20，于是a(2)ACD 因为a>b>0>c>d，所以c2令a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，满足a>b>0>c>d，此时a－c＝b－d，B错误；
因为a>b>0>c>d，所以ad因为a>b>0>c>d，则－＝，因为cb－ad>0，ab>0，所以－＝>0，即>，D正确．
故选ACD.
(1)要判定一个不等式不成立，只需举出一个反例即可．而要判定一个不等式成立，一般需要证明．
(2)判定大小关系，常用的方法有：①利用不等式的性质；②利用比较法(如作差法或作商法)；③利用函数的单调性或借助函数的图象．
变式探究
1．已知a＜b＜0，则下列不等式成立的是( )
A．＜ B．ab＜b2
C．－ab＜－a2 D．－＜－
解析：D 由于a＜b＜0，不妨令a＝－2，b＝－1，可得＝－，＝－1，所以＞，A错误；
可得ab＝2，b2＝1，所以ab＞b2，B错误；
可得－ab＝－2，－a2＝－4，所以－ab＞－a2，C错误；
－＝，因为ab>0，a－b<0，所以－<0，即－<－，D正确．故选D.
2．(多选)设aA．abC．< D．<1
解析：BC 因为a因为a0，所以ac因为a<0因为a－b，所以c－a>c－b>0，所以>1，D错误．故选BC.
探究点2 数(式)的大小比较
【例2】 (1)(2025·河南开学考试)已知a>b>c>0，A＝ab＋bc，B＝ac＋b2，C＝a2＋b2，则A，B，C的大小关系是 ．
(2)如果x＋y<0，且y>0，那么下列不等式成立的是( )
A．y2>x2>－xy B．x2>y2>－xy
C．x2<－xy－xy>y2
(3)已知a>0，试比较与的大小．
解析：(1)C>A>B 由a>b>c>0，得a2>ab，b2>bc，因此C＝a2＋b2>ab＋bc＝A，
显然A－B＝(ab＋bc)－(ac＋b2)＝(a－b)(b－c)>0，则A>B，
所以A，B，C的大小关系是C>A>B.
(2)D x2－y2＝(x－y)(x＋y)，因为x＋y<0，且y>0，所以x<0，所以x－y<0，
所以x2－y2>0，所以x2>y2，
又xy＋y2＝y(x＋y)，
因为x＋y<0，y>0，所以y(x＋y)<0，所以y2<－xy.
又x2＋xy＝x(x＋y)>0，所以x2>－xy.
综上，x2>－xy>y2.
故选D.
(3)因为－＝＝，可得a≠1，
(ⅰ)当a>1时，－2a<0，a2－1>0，
则<0，即<；
(ⅱ)当0则>0，即>.
综上，当a>1时，<；当0.
比较大小的常用方法
(1)作差法：作差→变形→判断符号→结论．其关键是变形，变形的方法有分解因式、配方、通分等．当两个式子都是正数时，有时也可先平方再比较．
(2)作商法：作商→变形→判断与1的大小关系→结论(作商前一般需判断符号).
(3)单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，然后研究函数的单调性，根据单调性得出大小关系．
变式探究
3．已知a>0，b>0，M＝，N＝＋，则M与N的大小关系为 ．
解析：M4．已知非零实数a，b满足a>b，则下列结论正确的是 .(填序号)
①<；②a3>b3；③2a>2b；④ln a2>ln b2.
解析：②③ 当a>0，b<0时，>0>，故①不正确；
由函数y＝x3，y＝2x的单调性可知，②③正确；
当a＝1，b＝－1时，ln a2＝ln b2＝ln 1＝0，故④不正确．
5．设p＝(a2＋a＋1)-1，q＝a2－a＋1，则( )
A．p>q B．pC．p≥q D．p≤q
解析：D 因为p＝(a2＋a＋1)-1＝＝>0，q＝a2－a＋1＝(a－)2＋>0，
则＝＝(a2－a＋1)(a2＋a＋1)＝(a2＋1)2－a2＝(a2)2＋a2＋1≥1.
故p≤q，当且仅当a＝0时，取等号，故选D.
探究点3 不等式性质的综合应用
【例3】 (1)已知下列三个不等式：①ab>0；②>；③bc>ad.以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可组成 个正确命题．
(2)设x，y为实数，满足3≤xy2≤8，4≤≤9，则的最小值是 .
解析：(1)3 对②变形：> >0.
(ⅰ)由ab>0，bc>ad得②成立，所以①③ ②.
(ⅱ)若ab>0，>0，则bc>ad，所以①② ③.
(ⅲ)若bc>ad，>0，则ab>0，所以②③ ①.
综上所述，可组成3个正确命题．
(2) 设＝(xy2)m·()n，即xy-3＝xm+2n·y2m－n，
所以解得所以＝(xy2)-1·.
因为3≤xy2≤8，4≤≤9，所以≤(xy2)-1≤.
由不等式性质可知≤(xy2)-1·≤3，即≤≤3.
综上可知，的最小值为.
求代数式的取值范围的方法
(1)待定系数法：先建立待求整体与已知范围的整体的关系，最后通过“一次性”使用不等式的运算，求得整体的范围．
(2)换元法：设已知范围的式子分别为a，b，将所求式子用a，b表示，再通过a，b的范围“一次性”得到所求式子的范围．
变式探究
6．已知a，b∈R且满足则4a＋2b的取值范围是( )
A．[0，12] B．[4，10]
C．[2，10] D．[2，8]
解析：C 设4a＋2b＝A(a＋b)＋B(a－b)，
可得解得
则4a＋2b＝3(a＋b)＋a－b，
因为可得
所以2≤4a＋2b≤10，故选C.
7．已知正数a，b满足5－3a≤b≤4－a，ln b≥a，则的取值范围是 .
解析：[e，7] 因为正数a，b满足5－3a≤b≤4－a，
所以5－3a≤4－a，所以a≥.
因为5－3a≤b≤4－a，
所以－3≤≤－1，从而≤7.
因为ln b≥a，所以≥(b≥e)，
设f(x)＝(x≥e)，
则f ′(x)＝，
当e≤x＜e时，f′(x)＜0，当x＞e时，f′(x)＞0，当x＝e时，f′(x)＝0，
所以当x＝e时，f(x)取到极小值，也是最小值．
所以f(x)min＝f(e)＝e，所以≥e，
所以的取值范围是[e，7].
1．若a，b，c∈R且a>b，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．ac>bc B．(a－b)c2>0
C．< D．c－2a解析：D 当c＝0时，ac＝bc，A错误；
当c＝0时，(a－b)c2＝0，B错误；
当a＝1，b＝－1时，a>b，且>，C错误；
由不等式的性质可知－2a<－2b，c－2a2．已知0A．ab<1C．ab解析：C 因为a为正数，b为负数，所以ab<0，a2b<0，1－a>0，ab－a2b＝ab(1－a)<0，ab3．已知x>y，则下列不等式正确的是（ ）
A．1－x<1－y B．x2>y2
C．||>1 D．xz>yz
解析：A 因为x>y，所以－x<－y，所以－x＋1<－y＋1，即1－x<1－y，A正确；
当x＝－1，y＝－2时，满足x>y，但x2＝1，y2＝4，此时x2当z<0时，由x>y可得xz4．在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5厘米，人跑开的速度为每秒4米，距离爆破点100米以外（含100米）为安全区．为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度x（单位：厘米）应满足的不等式为（ ）
A．4×<100 B．4×≥100
C．4×≤100 D．4×>100
解析：B 由题意知导火索的长度x（单位：厘米），故导火索燃烧的时间为秒，
人在此时间内跑的路程为（4×）米，由题意可得4×≥100.故选B.
5．（多选）已知a，b，c满足cA．ac(a－c)>0 B．c(b－a)<0
C．cb2ac
解析：BCD 因为a，b，c满足c所以c<0，a>0，b>0，a－c>0，b－a>0，
所以ac(a－c)<0，c(b－a)<0，cb2ac，故选BCD.
6．已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（ ）
A．－＞0 B．sin x－sin y＞0
C．（）x－（）y＜0 D．ln x＋ln y＞0
解析：C 对于A，因为f(x)＝在(0，＋∞)上单调递减，又x＞y＞0，所以－<0，A错误；
对于B，因为f(x)＝sin x在(0，＋∞)上不是单调的，所以不一定有sin x>sin y，B错误；
对于C，因为f(x)＝（）x在(0，＋∞)上单调递减，又x＞y＞0，所以（）x<（）y，即（）x－（）y<0，C正确；
对于D，设f(x)＝ln x，因为ln x＋ln y＝ln xy，当x>y>0时，xy>0，不一定有ln xy>0，D错误．故选C.
7．已知0解析：M>N 因为00，1＋b>0，1－ab>0.
所以M－N＝＋＝>0，所以M>N.
8．已知a，b为实数，则2a2＋b2＋1 ab＋2a（填“>”“<”“≥”或“≤”）.
解析：≥ 由题知，（2a2＋b2＋1）－(ab＋2a)＝a2－ab＋b2＋a2－2a＋1＝（a－b）2＋(a－1)2≥0，
当且仅当a＝1，b＝2时，取等号．
9．若a，b为实数，则“0＜ab＜1”是“a＜或b＞”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：A 因为a，b为实数，0＜ab＜1，当a>0时，b>0，且a<；当a<0时，b<0，且b>.所以“0＜ab＜1”“a＜或b＞”．
反之，当a<时，若a<0，b>0，则ab<0，所以“a＜或b＞”不能推出“0＜ab＜1”，
所以“0＜ab＜1”是“a＜或b＞”的充分不必要条件．故选A.
10．（多选）若a，b为非零实数，则以下不等式中恒成立的是（ ）
A．≥ab B．≤
C．≥ D．＋≥2
解析：AB 对于A，由－ab＝＝≥0，可得≥ab，A正确；
对于B，由－＝＝≤0，可得≤，B正确；
对于C，当a＝－1，b＝－2时，＝－，＝－，－<－，C错误；
对于D，当a＝1，b＝－2时，＋＝＋＝－<2，D错误．故选AB.
11．已知实数x，y满足－2≤x＋2y≤3，－2≤2x－y≤0，则3x－4y的取值范围为 ．
解析：[－7，2] 设3x－4y＝m(x＋2y)＋n(2x－y)，则解得
所以3x－4y＝－(x＋2y)＋2(2x－y)，
因为－2≤x＋2y≤3，－2≤2x－y≤0，
所以－3≤－(x＋2y)≤2，－4≤2(2x－y)≤0，所以－7≤3x－4y≤2.
12．已知a，b，c均为正实数，且≥，≥，≥，则＋＋的最大值为 .
解析：4 因为a，b，c均为正实数，所以由题可得0<≤3，0<≤4，0<≤5，即0<＋≤3，0<＋≤4，0<＋≤5，三式相加得0<3（＋＋）≤12，所以0<＋＋≤4，所以＋＋的最大值为4.
13．有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：m2）分别为x，y，z，且x＜y＜z，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/m2）分别为a，b，c，且a＜b＜c.在下列不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是（ ）
A．ax＋by＋cz B．az＋by＋cx
C．ay＋bz＋cx D．ay＋bx＋cz
解析：B 因为x＜y＜z且a＜b＜c，
所以ax＋by＋cz－(az＋by＋cx)＝a(x－z)＋c(z－x)＝(x－z)(a－c)＞0，
所以ax＋by＋cz＞az＋by＋cx；
同理ay＋bz＋cx－(ay＋bx＋cz)＝b(z－x)＋c(x－z)＝(z－x)(b－c)＜0，
所以ay＋bz＋cx＜ay＋bx＋cz；
同理az＋by＋cx－(ay＋bz＋cx)＝a(z－y)＋b(y－z)＝(z－y)(a－b)＜0，
所以az＋by＋cx＜ay＋bz＋cx.
所以最低费用为az＋by＋cx.故选B.
14．（多选）已知实数m，n满足0A．< B．m＋>n＋
C．mn>nm D．logmn解析：AC 由0由00，1－<0，所以m＋－（n＋）＝(m－n)（1－）<0，即m＋因为指数函数y＝mx为减函数，故mn>mm，
由幂函数y＝xm 为增函数知mm>nm，故mn>nm，C正确；
根据 0故logmn>logmm＝1＝lognn>lognm，D错误．故选AC.
第4讲 基本不等式
[课标要求] 1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最值问题.3.掌握基本不等式在实际问题中的应用．
1．基本不等式≥
(1)基本不等式成立的条件： a>0，b>0 ．
(2)等号成立的条件：当且仅当 a＝b 时不等式取等号．
(3)其中叫做正数a，b的算术平均数；叫做正数a，b的几何平均数．
2．几个重要不等式
(1)a2＋b2≥ 2ab (a，b∈R)；
(2)＋≥ 2 (a，b同号)；
(3)ab≤()2(a，b∈R)；
(4) ≥ ()2.
3．基本不等式求最值
(1)两个 正数 的和为 定值 ，当且仅当它们 相等 时，其积最大．
(2)两个 正数 的积为 定值 ，当且仅当它们 相等 时，其和最小．
利用这两个结论可以求某些函数的最值，求最值时，要注意“一正、二定、三相等”的条件．
1．(教材母题必修习题2.2T2改编)若x>0，y>0，且x＋y＝18，则的最大值为( )
A．9 B．18
C．36 D．81
解析：A 因为x＋y＝18，所以≤＝9，当且仅当x＝y＝9时，等号成立．故选A.
2．下列等式中最小值为4的是( )
A．y＝x＋ B．y＝2t＋
C．y＝4t＋(t>0) D．y＝t＋
解析：C 对于A，x＝－1时，y＝－5<4；对于B，t＝－1时，y＝－3<4；对于C，y＝4t＋≥2＝4，当且仅当t＝时等号成立；对于D，t＝－1时，y＝－2<4.故选C.
3．(2025·广东深圳期末)下列不等式恒成立的是( )
A．＋≥2 B．ab≥()2
C．a＋b≥2 D．a2＋b2≥－2ab
解析：D 对于A，若a＝1，b＝－1时，＋＝－2，A错误；
对于B，因为(a－b)2≥0，所以a2＋b2≥2ab，所以≥ab，即()2≥ab，当且仅当a＝b时取等号，B错误；
对于C，若a＝－1，b＝－1时，a＋b＝－2<2＝2，C错误；
对于D，因为(a＋b)2≥0，所以a2＋b2＋2ab≥0，即a2＋b2≥－2ab，当且仅当a＝b时取等号，D正确．故选D.
4．小李从甲地到乙地的平均速度为a，从乙地到甲地的平均速度为b(a>b>0)，他往返甲、乙两地的平均速度为v，则( )
A．v＝ B．v＝
C．解析：D 设从甲地到乙地的路程为s，从甲地到乙地的时间为t1，从乙地到甲地的时间为t2，
则t1＝，t2＝，v＝＝＝，
所以v＝>＝b，
v＝＝<＝.故选D.
5．已知a>0，b>0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是 ．
解析： 因为a＋b＝2，所以＝1.
所以＋＝(＋)()＝＋(＋)≥＋2＝(当且仅当＝，即b＝2a＝时，“＝”成立)，故y＝＋的最小值为.
探究点1 利用基本不等式求最值
【例1】 (1)若a＞0，b＞0，lg a＋lg b＝lg (a＋b)，则a＋b的最小值为( )
A．8 B．6
C．4 D．2
(2)y＝(x>1)的最小值为__________________．
(3)已知a>0，b>0且a＋b＝1，求＋的最小值．
解析：(1)C 依题意ab＝a＋b，所以a＋b＝ab≤()2，即a＋b≤，
所以a＋b≥4，当且仅当a＝b＝2时取等号，
所以a＋b的最小值为4.故选C.
(2)8 由题意，y＝＝(x－1)＋＋2，
因为x>1，所以x－1>0，
所以y≥2＋2＝6＋2＝8，
当且仅当x－1＝，即x＝4时等号成立，
故y的最小值为8.
(3)因为a>0，b>0且a＋b＝1，所以a＋1＋b＝2，
则＋＝(＋)[(a＋1)＋b]
＝(4＋＋)
≥(4＋2)＝2＋，
当且仅当＝，a＋b＝1，即a＝2－，b＝－1时取等号，
故其最小值为2＋.
(1)利用基本不等式求最值时，要注意“一正、二定、三相等”三个条件．所谓“一正”指正数，“二定”指应用不等式时，和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件．
(2)利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，采用“乘1”“加0”等策略，配凑出积、和为常数的形式，再利用基本不等式．
变式探究
1．若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为( )
A． B．2
C．2 D．4
解析：C 因为＋＝，所以a＞0，b＞0，所以＝＋≥2＝2，所以ab≥2(当且仅当b＝2a时取等号)，所以ab的最小值为2，故选C.
2．已知x>0，y>0，x＋2y＝6，则＋的最小值为 .
解析： 由x＋2y＝6，得＋＝1，
所以＋＝(＋)(＋)＝＋＋＋≥＋2＝，
当且仅当＝，即x＝3，y＝时取等号，
所以＋的最小值为.
3．(2025·江苏南通期中)已知正实数x，y满足x＋y＝m，函数f(x，y)＝(x＋)(y＋)的最小值为，则实数m的取值集合为 ．
解析：{} 因为m＝x＋y≥2，
所以xy≤，f(x，y)＝xy＋1＋1＋＝xy＋＋2，
令xy＝t，t∈(0，]，g(t)＝t＋＋2.
当≥1时，g(t)min＝4，与已知矛盾；
当<1时，g(t)在(0，]上单调递减，
所以g(t)min＝g()＝＋＋2＝，
解得m＝或－(舍去)，
所以m的取值集合为{}．
探究点2 基本不等式的综合应用
【例2】 (1)已知b>0，直线b2x＋y＋1＝0与ax－(b2＋2)y＋3＝0互相垂直，则ab的最小值为 ．
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＋b＋c＝2，则＋的最小值为 ．
《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形来证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为( )
A．≥(a>0，b>0)
B．a2＋b2≥2(a>0，b>0)
C．≤(a>0，b>0)
D．≤(a>0，b>0)
解析：(1)2 因为b>0，直线b2x＋y＋1＝0与直线ax－(b2＋2)y＋3＝0互相垂直，所以b2×a＋1×[－(b2＋2)]＝0，所以a＝，所以ab＝·b＝b＋≥2＝2，当且仅当b＝时取等号．
则ab的最小值为2.
(2) 因为a＋b＋c＝2，
所以＋＝(＋)[(a＋b)＋c]
＝(5＋＋)
≥(5＋2)＝，
当且仅当＝，即a＋b＝2c时等号成立，故＋的最小值为.
D 由题可得圆O的半径为r＝OF＝AB＝，
OC＝OB－BC＝－b＝.
在Rt△OCF中，可得FC2＝OC2＋OF2＝()2＋()2＝，
因为FO≤FC，所以≤，当且仅当a＝b时取等号．故选D.
(1)应用基本不等式求解时，要注意合理地进行变形、转化，提供应用基本不等式的条件与情境．
(2)求解参变量范围或最值时，要注意结合问题的特征进行变形，利用基本不等式求得参变量范围或最值．同时注意等号成立的条件而得到参变量的值．变式探究
4．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝，b sin B＋c sin C＝a sin A＋c sin B，则△ABC的周长的最大值是( )
A．3 B．3＋
C．2＋ D．4＋
解析：A 因为b sin B＋c sin C＝a sin A＋c sin B，所以由正弦定理得b2＋c2＝a2＋bc，
所以a2＝(b＋c)2－3bc≥(b＋c)2－3()2＝，
又a＝，得b＋c≤2，当且仅当b＝c＝时等号成立，
所以△ABC的周长的最大值是3.故选A.
5．(2025·山西太原阶段练习)中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式S＝求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．现有一个三角形的边长满足a＝6，b＋c＝8，则此三角形面积的最大值为( )
A．3 B．8
C．4 D．9
解析：A 因为a＝6，b＋c＝8，p＝＝＝7，
所以S2＝7×(7－6)×(7－b)(7－c)
＝7[bc－7(b＋c)＋49]＝7(bc－7)
≤7×[()2－7]＝7×9，
当且仅当b＝c＝4时取等号．
所以S≤3，即三角形面积的最大值为3.故选A.
6．(2024·北京顺义模拟)若数列{an}为等比数列，则“a3≥1”是“a1＋a5≥2”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：A 因为数列{an}为等比数列，不妨设公比为q，则q≠0，
由a3≥1可得a1q2≥1，故a1>0，而a1＋a5＝a1(1＋q4)，
由1＋q4≥2q2知a1＋a5≥2a1q2，当且仅当q2＝1时取等号，
而a1q2≥1，故a1＋a5≥2，
此时q＝±1，a1＝1，
故“a3≥1”是“a1＋a5≥2”的充分条件．
由a1＋a5＝a1(1＋q4)≥2可得a1≥，
则a3＝a1q2≥，而＝≤1，
故不一定能得到a3≥1.
如q＝，a1＝2时，满足a1＋a5≥2，
但是a3＝a1q2＝2×()2＝<1，
故“a3≥1”不是“a1＋a5≥2”的必要条件．
即“a3≥1”是“a1＋a5≥2”的充分不必要条件．故选A.
探究点3 基本不等式在实际问题中的应用
【例3】 (2024·安徽池州模拟预测)1471年，米勒向诺德尔教授提出一个有趣的问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆看上去最长(即可见角最大)？后人将其称为“米勒问题”，这是载入数学史的第一个极值问题．我们把地球表面抽象为平面α，悬杆抽象为线段AB(或直线l上两点A，B)，则上述问题可以转化为如下的数学模型：如图1，一条直线l垂直于一个平面α，直线l有两点A，B位于平面α的同侧，求平面上一点C，使得∠ACB最大．建立如图2所示的平面直角坐标系．设A，B两点的坐标分别为(0，a)，(0，b)(0A．2ab B．ab
C．2 D．
解析：D 由题意可知∠ACB是锐角，且∠ACB＝∠OCA－∠OCB，
而tan ∠OCA＝，tan ∠OCB＝，
所以tan ∠ACB＝tan (∠OCA－∠OCB)＝＝，
而c＋≥2，当且仅当c＝，即c＝时取等号．
因为∠ACB是锐角，所以当c＝时，tan ∠ACB＝≤最大，此时∠ACB最大．故选D.
应用基本不等式解决实际问题的一般步骤：
(1)理解题意，把实际问题抽象为最值问题；
(2)建立目标函数(可以是一元，也可以是二元)关系式，设变量时一般把要求最大(小)值的变量定为函数；
(3)利用基本不等式求最大(小)值问题，注意是否符合“一正、二定、三相等”的条件；
(4)回到实际问题中，写出正确答案．
变式探究
7．某热力公司每年燃料费约24万元，为了“环评”达标，需要安装一块面积为x(x≥0)(单位：平方米)可用15年的太阳能板，其工本费为(单位：万元)，并与燃料供热互补工作，从此，公司每年的燃料费为(k为常数)万元，记y为该公司安装太阳能板的费用与15年的燃料费之和，则y关于x的函数关系式为 ．当y取最小值时，所安装太阳能板的面积为 ．
解析：y＝＋，x≥0 55平方米
因为公司每年的燃料费为(k为常数)万元，
取x＝0，得＝24，则k＝2400.
所以，该公司安装太阳能板的费用与15年的燃料费之和为
y＝15×＋＝＋，x≥0.
因为y＝＋＝＋－
≥2－
＝57.5，
当且仅当＝，即x＝55时取等号．
所以安装太阳能板的面积为55平方米时，y的最小值为57.5万元．
1．设x>0，y>0，且2x＋y＝4，则xy的最大值为（ ）
A． B．4
C． D．2
解析：D 因为x>0，y>0，且2x＋y＝4，
所以2x＋y≥2，即4≥2，所以xy≤2，
当且仅当2x＝y＝2时，取等号．所以xy的最大值为2.故选D.
2．设函数f(x)＝2x＋－1(x<0)，则f(x)（ ）
A．有最大值 B．有最小值
C．是增函数 D．是减函数
解析：A f(x)＝－[(－2x)＋（－）]－1≤－2－1，当且仅当x＝－时，等号成立，所以函数f(x)有最大值，故选A.
3．若直线＋＝1(a＞0，b＞0)过点(1，1)，则a＋b的最小值等于（ ）
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：C 将(1，1)代入直线方程＋＝1，得＋＝1，又a＞0，b＞0，故a＋b＝(a＋b)（＋）＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝2时取到等号．故选C.
4．（多选）已知a，b为实数，且ab≠0，则下列命题正确的是（ ）
A．若a>0，b>0，则≥
B．若≥，则a>0，b>0
C．若a≠b，则>
D．若>，则a≠b
解析：ABD 对于A，由基本不等式可知当a>0，b>0时，≥，当且仅当a＝b时取等号，A正确；
对于B，因为≥，ab≠0，所以且（－）2≥0，所以a>0，b>0，当且仅当a＝b时取等号，B正确；
对于C，若a＝－1，b＝－4，则＝<＝＝2，C错误；
对于D，因为>，ab≠0，所以且a＋b－2>0，所以a>0，b>0，（－）2>0，所以a>0，b>0且a≠b，D正确．故选ABD.
5．若对任意m，n∈(0，＋∞)，都有m2－amn＋2n2≥0，则实数a的最大值为（ ）
A． B．2
C．4 D．
解析：B 因为对任意m，n∈(0，＋∞)，都有m2－amn＋2n2≥0，所以m2＋2n2≥amn，即a≤＝＋恒成立．
因为＋≥2＝2，
当且仅当＝，即m＝n时取等号，
所以a≤2，故实数a的最大值为2.故选B.
6．设x>0，y>0，x＋2y＝5，则的最小值为 .
解析：4 因为x>0，y>0，所以>0.
因为x＋2y＝5，所以＝＝＝2＋≥2＝4，
当且仅当2＝时取等号．
所以的最小值为4.
7．已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为 .
解析：6 （换元消元法）由已知得x＋3y＝9－xy，
因为x>0，y>0，所以x＋3y≥2，
所以3xy≤（）2，当且仅当x＝3y时取等号，即(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0.
令x＋3y＝t，则t>0且t2＋12t－108≥0，
得t≥6，即x＋3y的最小值为6，且此时x＝3，y＝1.
8．若a克不饱和糖水中含有b克糖，则糖的质量分数为，这个质量分数决定了糖水的甜度．如果在此糖水中再添加m克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽象出不等式>(a>b>0，m>0)，数学中常称其为糖水不等式．依据糖水不等式可得出log32 log1510（填“<”或“>”），请写出上述结论所对应的一个糖水不等式________________．
解析：< >
因为0所以log32＝< <＝log1510.
由前一空可得log32即>.
9．（2024·黑龙江哈尔滨二模）已知正实数x，y满足＋＝1，则2xy－3x的最小值为（ ）
A．8 B．9
C．10 D．11
解析：B 易知＋＝1?2x＋y＝xy，则2xy－3x＝2(2x＋y)－3x＝(x＋2y)·（＋）＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即x＝y＝3时取得等号．故选B.
10．若函数f(x)＝a ln x－在点(1，f（1)）处的切线的斜率为2，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．1
解析：D 由已知得f′(x)＝＋，所以f′(1)＝a＋b＝2，
而a，b∈R，a2＋b2≥2ab，所以2(a2＋b2)≥(a＋b)2，当且仅当a＝b时取等号，
故＝≥×(a＋b)2＝1，
当且仅当a＝b时，结合a＋b＝2，即a＝b＝1时等号成立，
即的最小值为1，故选D.
11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，
∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝1，则4a＋c的最小值为 .
解析：9 由题意可知，S△ABC＝S△ABD＋S△BCD，由角平分线性质和三角形面积公式得ac sin 120°＝a×1×sin 60°＋c×1×sin 60°，化简得ac＝a＋c，即＋＝1.因此4a＋c＝(4a＋c)（＋）＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当c＝2a＝3时取等号，则4a＋c的最小值为9.
12．（2024·广东湛江一模）已知ab>0，a2＋ab＋2b2＝1，则a2＋2b2的最小值为_______________．
解析： 因为ab>0，
所以a2＋2b2≥2＝2ab（当且仅当a＝b时等号成立），
即得ab≤＝(a2＋2b2)，
则1＝a2＋ab＋2b2≤a2＋2b2＋(a2＋2b2)＝(a2＋2b2)，
得a2＋2b2≥＝，
所以a2＋2b2的最小值为.
13．（2024·河北沧州模拟预测）已知抛物线T：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线l交抛物线T于A，B两点，M为线段AB的中点，过点M作抛物线T的准线的垂线，垂足为N，若|MF|＝|AM|，则的最大值为（ ）
A．1 B．
C． D．
解析：B 设|AF|＝m，|BF|＝n，
因为|MF|＝|AM|＝|MB|，
所以AF⊥BF，
所以|AB|＝.
过点A，B分别作AG，BW垂直准线于点G，W，如图所示．
由抛物线的定义可知|AF|＝|AG|，|BF|＝|BW|，
由梯形的中位线可知
|MN|＝＝＝.
因为m2＋n2≥2mn，
所以2(m2＋n2)≥2mn＋m2＋n2＝(m＋n)2，
当且仅当m＝n时，等号成立，
所以|AB|＝≥＝|MN|，
所以≤，故的最大值为.故选B.
14．（2022·全国乙卷）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）
A． B．
C． D．
解析：C 设该四棱锥底面为四边形ABCD，四边形ABCD所在小圆半径为r，设四边形ABCD对角线的夹角为α，
则S四边形ABCD＝·AC·BD·sin α
≤·AC·BD
≤·2r·2r
＝2r2，
当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立，
即当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆的距离h(0则V四棱锥O－ABCD＝·2r2·h
＝
≤
＝，
当且仅当r2＝2h2，即h＝时等号成立．故选C.
第5讲 不等式的解法
[课标要求] 1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式，了解一元二次不等式的现实意义．2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.3.掌握一元二次不等式的解法，会求解简单的分式不等式．
1．一元二次不等式的定义
只含 1 个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的不等式叫做一元二次不等式．
2．二次函数与一元二次方程、不等式的相应关系
判别式 图象 f(x)＝0 的根 f(x)>0 的解集 f(x)<0 的解集
Δ>0 有两个不相等的实根x1，x2 {x|x>x2 或xΔ＝0 有两个相等的实根x＝－ {x∈R|x≠－}
Δ<0 无实根 R
3.分式不等式与一元二次不等式的关系
(1)>0 (x－a)(x－b)>0 ；
(2)<0 (x－a)(x－b)<0 ；
(3)≥0 ；
(4)≤0 ．
1．(教材母题必修2.3练习T1改编)不等式x2－4x＋3<0的解集是( )
A．{x|1B．{x|x<3}
C．{x|x<1或x>3}
D．{x|x>1}
解析：A 由题意知，x2－4x＋3<0 (x－1)·(x－3)<0，所以原不等式的解集为{x|12．不等式<0的解集为( )
A．{x|－2B．{x|x<－2}
C．{x|x<－2或x>3}
D．{x|x>3}
解析：A 由<0得(x＋2)(x－3)<0，解得－23．已知关于x的一元二次不等式x2－3x＋2<0的解集为{x|mA．3 B．4
C．5 D．6
解析：A 依题意可得，m，n分别是关于x的一元二次方程x2－3x＋2＝0的两根，根据韦达定理可得m＋n＝3.故选A.
4．不等式(a－2)x2＋4(a－2)x－12<0的解集为R，则实数a的取值范围是( )
A．[－1，2) B．(－1，2]
C．(－2，1) D．[－1，2]
解析：B 关于x的不等式(a－2)x2＋4(a－2)x－12<0的解集为R.
①当a－2＝0时，即当a＝2时，则有－12<0恒成立，符合题意；
②当a－2≠0时，
则有
解得－1综上所述，实数a的取值范围是(－1，2].故选B.
5．不等式≥0的解集是_______________．
解析：{x|x≥2或x<－1} 因为≥0，所以
解得x≥2或x<－1，
所以不等式≥0的解集是{x|x≥2或x<－1}．
探究点1 一元二次不等式、分式不等式的解法
【例1】 (教材母题必修习题2.3T1)解下列不等式：
(1)－3x2＋5x－4≥0；
(2)(x＋1)(x＋2)<(x＋1)(2－x)＋1；
(3)≥2.
解析：(1)不等式－3x2＋5x－4≥0可化为3x2－5x＋4≤0，
由Δ＝(－5)2－4×3×4＝－23<0可知，一元二次方程3x2－5x＋4＝0无实根，
则不等式3x2－5x＋4≤0的解集为 ，
故不等式－3x2＋5x－4≥0的解集为 .
(2)不等式(x＋1)(x＋2)<(x＋1)(2－x)＋1可化为2x2＋2x－1<0，
一元二次方程2x2＋2x－1＝0有两根，
x1＝，x2＝，
则不等式2x2＋2x－1<0的解集为
{x|故不等式(x＋1)(x＋2)<(x＋1)(2－x)＋1的解集为{x|(3)由≥2，可得－2＝≥0，
所以解得所以原不等式的解集为{x|(1)解一元二次不等式的一般步骤：
①将二次项系数化为正；②解相应的方程；③画出相应的函数图象；④写出解集．
(2)解分式不等式时，一般要先通过移项、通分整理成一边是商式，另一边是0的形式，再等价转化为整式不等式(组)的形式进行求解．
解分式不等式常有如下两种等价变形方式：>0 或 f(x)g(x)>0.
利用数形结合也是解不等式的重要方法，特别是解选择、填空题时要注意灵活运用．
变式探究
1．(多选)已知集合M＝{x||x－1|≤2，x∈R}，集合N＝{x|≥1，x∈R}，则( )
A．M＝{x|－1≤x≤3}
B．N＝{x|－1≤x≤4}
C．M∪N＝{x|－1≤x≤4}
D．M∩N＝{x|－1解析：ACD 由题设可得M＝[－1，3]，N＝(－1，4]，A正确，B错误；
M∪N＝{x|－1≤x≤4}，C正确；
M∩N＝{x|－12．已知集合A＝{x|x≥a}，B＝{x|≥2}，若A∩B≠ 且A∪B≠A，则实数a的取值范围是 ．
解析：(1，3] 由≥2得1因为A∩B≠ 且A∪B≠A，所以a∈(1，3].
探究点2 含参变量不等式的解法
【例2】 (1)已知关于x的不等式>0的解集为{x|－1(2)求关于x的不等式ax2－3x＋2>ax－1的解集．
解析：(1)(0，1) 不等式>0等价于(ax－1)(x＋b)>0，
所以－1和2为方程(ax－1)(x＋b)＝0的两根，且a<0，
所以解得
所以原不等式为<1 －1<0 <0 <0，
即x(x－1)<0，解得0即不等式<1的解集为(0，1).
(2)ax2－3x＋2>ax－1 ax2－(a＋3)x＋3>0 (ax－3)(x－1)>0.
当a＝0时，不等式化为x－1<0，不等式的解集为{x|x<1}．
当a<0时，不等式化为(x－)(x－1)<0，不等式的解集为{x|当a>0时，不等式化为(x－)(x－1)>0.
方程ax2－3x＋2＝ax－1的两个根分别为，1.
当a＝3时，两根相等，故不等式的解集为{x|x≠1}；
当a>3时，<1，不等式的解集为{x|x<或x>1}；
当01，不等式的解集为{x|x<1或x>}．
综上：当a<0时，不等式的解集为{x|当a＝0时，不等式的解集为{x|x<1}；
当0}．
当a＝3时，不等式的解集为{x|x≠1}；
当a>3时，不等式的解集为{x|x<或x>1}．
含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论．
(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式的符号进行分类讨论．
(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是否是二次不等式，然后讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式．
变式探究
3．已知函数f(x)＝(ax－1)(x＋b)，若不等式f(x)>0的解集为(－1，3)，则不等式f(－2x)<0的解集为_________________________．
解析：(－∞，－)∪(，＋∞)
由f(x)＝(ax－1)(x＋b)>0的解集是(－1，3)，则a<0，故＝－1，－b＝3，即a＝－1，b＝－3.
所以f(x)＝－x2＋2x＋3，所以f(－2x)＝－4x2－4x＋3，
由－4x2－4x＋3<0，得x>或x<－，
故不等式f(－2x)<0的解集是(－∞，－)∪(，＋∞).
4．若不等式ax2＋bx＋2>0的解集是{x|－0的解集为( )
A．(－∞，－) B．(－∞，)
C．(－，＋∞) D．(，＋∞)
解析：A 不等式ax2＋bx＋2>0的解集是{x|－则根据对应方程的韦达定理得到
解得
则－12x－2>0的解集为(－∞，－)，故选A.
5．解关于x的不等式>0.
解析：当a＝0时，原不等式可化为－>0，解得x<0.
若a>0，则原不等式可化为>0，
即(x－a)(x－)>0.
当0；
当a＝1时，不等式化为(x－1)2>0，解得x∈R且x≠1；
当a>1时，a>，解得x<或x>a.
若a<0，则原不等式可化为(x－a)(x－)<0.
当a<－1时，a<，解得a当a＝－1时，不等式可化为(x＋1)2<0，其解集为 ；
当－1，解得综上，当a<－1时，不等式的解集为{x|a}；当a＝1时，不等式的解集为{x|x∈R且x≠1}；当a>1时，不等式的解集为{x|x<或x>a}．
探究点3 不等式的综合应用
【例3】 (1)(2025·江苏徐州质检)若对于任意x∈[m，m＋1]，都有x2＋mx－1<0成立，则实数m的取值范围是( )
A．(－，0) B．(－，0)
C．[－，0] D．[－，0]
(2)(2024·上海黄浦三模)关于x的不等式ax2－|x|＋2a≥0的解集是(－∞，＋∞)，则实数a的取值范围为 ．
(3)(2024·浙江宁波一模)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b，若不等式|f(x)|≤2在x∈[1，5]上恒成立，则满足要求的有序数对(a，b)有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．无数个
解析：(1)B 由题意，对于 x∈[m，m＋1]都有f(x)＝x2＋mx－1<0成立，
所以f(m)＝m2＋m2－1<0，
f(m＋1)＝(m＋1)2＋m(m＋1)－1<0，
解得－即实数m的取值范围是(－，0).故选B.
(2)[，＋∞) 因为关于x的不等式ax2－|x|＋2a≥0的解集是(－∞，＋∞)，
所以ax2－|x|＋2a≥0在R上恒成立．
令f(x)＝ax2－|x|＋2a，易知f(x)为偶函数，
所以ax2－|x|＋2a≥0在[0，＋∞)上恒成立，
即f(x)＝ax2－|x|＋2a≥0在[0，＋∞)上恒成立，
所以，当x＝0时，由ax2－x＋2a＝2a≥0，得a≥0，
当x>0时，由ax2－x＋2a≥0，得a≥＝，
又因为x＋≥2，当且仅当x＝时取等号，所以a≥＝.
综上，实数a的取值范围为[，＋∞).
(3)B 若不等式|f(x)|≤2在x∈[1，5]上恒成立，
则必须满足
即
由
两式相加得－4≤8＋2a≤4 －6≤a≤－2，①
再由
两式相加得－4≤16＋2a≤4 －10≤a≤－6，②
结合①②两式可知a＝－6.
代入不等式组得解得b＝7.
经检验，当a＝－6，b＝7时，f(x)＝x2－6x＋7＝(x－3)2－2，
当x∈[1，5]时，有f(x)max＝f(1)＝f(5)＝2，f(x)min＝f(3)＝－2，满足|f(x)|≤2在x∈[1，5]上恒成立．
综上所述，满足要求的有序数对(a，b)为(－6，7)，共1个．故选B.
(1)一元二次不等式恒成立的条件
①ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是a>0，且b2－4ac<0.
②ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是a<0，且b2－4ac<0.
(2)一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题的求解方法
①若f(x)>0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围).
②转化为函数值域问题，即已知函数f(x)的值域为[m，n]，则f(x)≥a恒成立 f(x)min≥a，即m≥a；f(x)≤a恒成立 f(x)max≤a，即n≤a.
变式探究
6．(2024·江苏扬州模拟)若关于x的不等式x2－(m＋4)x＋4m<0的解集中恰有3个整数，则实数m的取值范围为( )
A．(7，8] B．(0，1]
C．(0，1]∪[7，8) D．[0，1)∪(7，8]
解析：D 不等式x2－(m＋4)x＋4m<0化为(x－4)(x－m)<0，显然m≠4，否则不等式解集为空集，不符合题意．
当m<4时，不等式的解集为(m，4)，依题意，在(m，4)中恰有3个整数，即为3，2，1，则0≤m<1，
当m>4时，不等式的解集为(4，m)，显然在(4，m)中恰有3个整数，即为5，6，7，则7所以实数m的取值范围为[0，1)∪(7，8].故选D.
7．若x2＋x＋a＋|x2－x－a|≥2对任意x∈R恒成立，则实数a的取值范围为 .
解析：[2，＋∞) (方法1)因为x2＋x＋a＋|x2－x－a|≥2对x∈R恒成立，
当x2－x－a≥0时，x2＋x＋a＋|x2－x－a|＝2x2≥2，所以x≥1或x≤－1恒成立．
因此所以a≥2；
当x2－x－a<0时，x2＋x＋a＋|x2－x－a|＝2x＋2a≥2，
所以x≥1－a恒成立，
因此所以a≥2.
综上，a≥2.
(方法2)令f(x)＝x2，g(x)＝x＋a，
则x2＋x＋a＋|x2－x－a|＝f(x)＋g(x)＋|f(x)－g(x)|＝2max{f(x)，g(x)}≥2恒成立，
作出f(x)和g(x)的图象(如图)，
由图可知，a≥2，所以实数a的取值范围为[2，＋∞).
1．已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|x2＋3x<0}，则A∩B＝（ ）
A．(0，2) B．(－1，0)
C．(－3，2) D．(－1，3)
解析：B 由题意可得A＝{x|－12．已知集合A＝{x|－2A．(－2，－1) B．[－1，1）
C．(－1，1) D．(－2，1)
解析：C ≤1等价于≤0，即≤0，则解得－13．不等式x2－3|x|－10≥0的解集为（ ）
A．(－∞，－5]∪[5，＋∞)
B．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
C．(－∞，－2]∪[5，＋∞)
D．[－5，5]
解析：A x2－3|x|－10≥0 (|x|＋2)·(|x|－5)≥0 |x|≥5 x≥5或x≤－5，故选A.
4．若00的解集为（ ）
A．{x|或xC．{x|x<或x>t} D．{x|t解析：D 原不等式可化为(x－t)（x－）<0.因为05．（多选）若“≥0”是“－3A．5 B．6
C．7 D．8
解析：BCD 由≥0得25，故选BCD.
6．关于x的不等式x2－(m＋2)x＋2m<0的解集中恰有3个正整数根，则实数m的取值范围为（ ）
A．(5，6] B．（5，6)
C．(2，3] D．（2，3)
解析：A 关于x的不等式x2－(m＋2)x＋2m<0可化为(x－m)(x－2)<0.
因为该不等式的解集中恰有3个正整数，
所以不等式的解集为{x|27．已知不等式ax2－bx－1≥0的解集为[－，－]，则不等式x2－bx－a<0的解集为（ ）
A．(2，3)
B．(－∞，2)∪(3，＋∞)
C．（，）
D．（－∞，）∪（，＋∞）
解析：A 由题意知－，－是方程ax2－bx－1＝0的两根，且a<0，由根与系数的关系得，
得
所以不等式x2－bx－a<0即x2－5x＋6<0，
即(x－2)(x－3)<0，解得2所以所求不等式的解集为(2，3).
8．若不等式ax2－x＋a>0对一切实数x都成立，则实数a的取值范围为 .
解析：（，＋∞） 当a＝0时，－x>0不恒成立，故a＝0不合题意；
当a≠0时，即
解得a>.
9．（2024·甘肃张掖模拟预测）若关于x的不等式x2－6x＋2－a>0在区间[0，5]内有解，则实数a的取值范围是（ ）
A．(2，＋∞) B．(－∞，5)
C．(－∞，－3) D．(－∞，2)
解析：D 不等式x2－6x＋2－a>0在区间[0，5]内有解，仅需(x2－6x＋2)max>a即可，
令f(x)＝x2－6x＋2，因为f(x)图象的对称轴为x＝－＝3，f(0)＝2，f(5)＝－3，
所以由一元二次函数的图象和性质，得(x2－6x＋2)max＝2，
所以a<2，故选D.
10．（多选）设[x]表示不小于实数x的最小整数，则满足关于x的不等式[x]2＋[x]－12≤0的解可以为（ ）
A． B．3
C．－4.5 D．－5
解析：BC 由[x]2＋[x]－12≤0可得－4≤[x]≤3，
故[x]可取－4，－3，－2，－1，0，1，2，3.
由于[]＝4，[3]＝3，[－4.5]＝－4，[－5]＝－5.
故BC符合题意．
11．（2025·山东菏泽段考）已知条件q：“不等式(a2－4)x2＋(a＋2)x－1≥0的解集是空集”，则条件p：“－2≤a<1”是条件q的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：A 因为不等式(a2－4)x2＋(a＋2)x－1≥0的解集是空集，
所以不等式(a2－4)x2＋(a＋2)x－1<0的解集是R，
当a2－4＝0，即a＝±2时，
若a＝2，则4x－1<0，解得x<（舍去）；
若a＝－2，则－1<0，x∈R；
当a2－4≠0时，
则
解得－2综上所述，条件q中实数a的取值范围为－2≤a<，
所以条件p是条件q的充分不必要条件．故选A.
12．（多选）已知关于x的不等式(x＋2)(x－4)＋a<0(a<0)的解集是(x1，x2)(x1A．x1＋x2＝2 B．x1x2<－8
C．－26
解析：ABD 已知关于x的不等式(x＋2)(x－4)＋a<0(a<0)的解集是(x1，x2)(x1所以x1，x2是一元二次方程x2－2x－8＋a＝0的两根．
所以x1＋x2＝2，A正确；
x1x2＝a－8<－8，B正确；
所以x2－x1＝＝2>6，D正确；
因为x2－x1>6，x1＋x2＝2，取x2＝5，x1＝－3满足条件，但－213．已知关于x的不等式x2－2ax－b2<0的解集为(m，n)，若n－m＝2，则＋的最小值是（ ）
A．3＋2 B．6＋2
C．6＋4 D．12＋8
解析：C 由题意得m，n是方程x2－2ax－b2＝0的两个根，
所以m＋n＝2a，mn＝－b2，
(n－m)2＝(n＋m)2－4mn＝4a2＋4b2＝4，即a2＋b2＝1，
所以＋＝（＋）(a2＋b2)＝2＋4＋＋≥6＋2＝6＋4，当且仅当＝，即a2＝－1，b2＝2－时等号成立．故选C.
14．对于问题“已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－1，2)，解关于x的不等式ax2－bx＋c>0”，给出如下一种解法：
解析：由ax2＋bx＋c>0的解集为(－1，2)，
得a(－x)2＋b(－x)＋c>0的解集为(－2，1)，
即关于x的不等式ax2－bx＋c>0的解集为(－2，1).
参考上述解法，若关于x的不等式＋<0的解集为（－1，－）∪（，1），则关于x的不等式＋<0的解集为 .
解析：(－3，－1)∪(1，2)
若关于x的不等式＋<0的解集为（－1，－）∪（，1），
则关于x的不等式＋<0可看成上述不等式中的x用代入可得，
则∈（－1，－）∪（，1），
则x∈(－3，－1)∪(1，2).
微专题(一) 集合情境的新定义
所谓“新定义”型试题，是指题目涉及
考点 考情考向 考频
集合 集合间的关系 2022年新课标Ⅱ卷T17(2) 2023年新课标Ⅱ卷T2 3年2考
集合的运算 2022年新课标Ⅰ卷T1 2022年新课标Ⅱ卷T1 2023年新课标Ⅰ卷T1 2024年新课标Ⅰ卷T1 3年4考
常用逻辑用语 2023年新课标Ⅰ卷T7 2024年新课标Ⅱ卷T2 3年2考
不 等式 不等式的性质 2022年新课标Ⅰ卷T22 2023年新课标Ⅰ卷T22 2023年新课标Ⅱ卷T18(2) 2024年新课标Ⅰ卷T8 2024年新课标Ⅱ卷T18 3年5考
基本不等式 2022年新课标Ⅰ卷T8、T18、T22 2022年新课标Ⅱ卷T12 3年4考
一元二次方程、不等式 2022年新课标Ⅰ卷T10、T11、T21 2022年新课标Ⅱ卷T10、T15 2023年新课标Ⅰ卷T1 2023年新课标Ⅱ卷T4、T5、T11 2024年新课标Ⅰ卷T10、T11 2024年新课标Ⅱ卷T11 3年12考
近三年的高考命题，本专题重点考查集合、常用逻辑用语、不等式的性质、基本不等式和不等式的解法与性质．集合主要考查集合间的基本关系和集合的运算，考查难度为容易题；不等式常作为工具渗透到数学运算和逻辑推理中进行考查；常用逻辑用语是非主干点知识，考查形式分为直接和间接两种形式，间接考查往往为构建试题的题设情境，规范数学语言的表述．
从近三年高考情况来看，集合是必考主干知识，以选择题或填空题形式出现，试题难度为容易题，主要涉及的知识是集合语言的理解，两个集合的相互关系与运算，属于高考中的“送分题”．
常用逻辑用语是选考的非主干知识，以选择题形式或“渗透式”考查，逻辑推理过程中“渗透”充要条件和含有量词的否定，命题情境构建“渗透”量词的含义．
不等式的性质、一元二次不等式的解法和基本不等式是数学运算和逻辑推理的工具，一般渗透到其他模块的主干知识中考查，充分体现其工具性功能．
本专题蕴含了丰富的数学思想方法，如数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想和函数与方程的思想等，在复习中应注意总结领会．
第1讲 集合的概念与运算
[课标要求] 1.了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系及空集、全集的意义.2.理解集合之间的包含与相等关系，能识别给定集合的子集.3.理解交集、并集、补集的含义，能求两个简单集合的交集与并集，能求给定子集的补集．
1．集合的含义与表示
(1)一般地，我们把研究对象统称为 元素 ，把一些元素组成的总体叫做 集合 (简称为 集 ).集合中的元素具有 确定性 、 互异性 和 无序性 三个特征．
(2)如果a是集合A的元素，就说a 属于 集合A，记作 a∈A ，如果a不是集合A的元素，就说a 不属于 集合A，记作 a A ．
(3)常见数集的记法
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N*或N＋ Z Q R
(4)常用的集合表示法有：列举法、 描述法 和 图示法 ．
2．集合间的基本关系
(1)如果集合A中 任意 一个元素 都是 集合B中的元素，就称集合A是集合B的子集，记作 A B(或B A) ．
(2)如果集合A B，但存在元素x ∈ B，且x A，就称集合A是集合B的真子集，记作 A B(或BA) ．
(3)如果 A B且B A ，即集合A与集合B中的元素是一样的，就称集合A与集合B相等．
3．集合的基本运算
(1)交集：由 所有 属于集合A 且 属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作A∩B，即A∩B＝ {x|x∈A，且x∈B} ．
(2)并集：由 所有 属于集合A 或 属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B，即A∪B＝ {x|x∈A，或x∈B} ．
(3)补集：对于一个集合A，由全集U中 不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作 UA，即 UA＝ {x|x∈U，且x A} ．
1．空集是任何集合的 子集 ，空集是任何非空集合的 真子集 ．
2．若有限集合A中有n个元素，则A的子集有 2n 个，非空子集有 2n－1 个，真子集有 2n－1 个．
3．A B A∩B＝ A A∪B＝ B ．
1．下列命题中正确的是( )
A． 与{0}表示同一个集合
B．由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}
C．方程(x－1)2(x－2)＝0的所有解的集合可表示为{1，1，2}
D．集合{x|4
对于B，根据集合中元素的无序性，B正确；
对于C，根据集合元素的互异性，C错误；
对于D，由于该集合为无限集且无明显的规律性，所以不能用列举法表示，D错误．故选B.
2．(教材母题必修习题1.1T1)已知集合A＝{x|x2－x＝0}，则－1与集合A的关系为( )
A．－1∈A B．－1 A
C．－1 A D．－1A
解析：B 因为A＝{x|x2－x＝0}＝，所以－1 A，故选B.
3．(2024·新课标Ⅰ卷)已知集合A＝{x|－5
C．{－3，－1，0} D．{－1，0，2}
解析：A 因为A＝，B＝{－3，－1，0，2，3}，且注意到1<<2，从而A∩B＝{－1，0}.故选A.
4．(教材母题必修习题2.3T5)若集合M＝{x|x2＋3x－4≤0}，N＝{x|x＞－3}，则M∪N＝( )
A．(－3，1] B．(－3，4]
C．[－4，＋∞) D．[－1，＋∞)
解析：C 集合M＝{x|x2＋3x－4≤0}＝{x|－4≤x≤1}，N＝{x|x＞－3}，则M∪N＝{x|x≥－4}．故选C.
5．(2025·浙江月考)已知集合M＝{1，2，3}，N＝{0，1，2，3，4，7}，若M A N，则满足集合A的个数为 ．
解析：8 因为M A N，所以A可以是{1，2，3}，{1，2，3，4}，{1，2，3，0}，{1，2，3，7}，{1，2，3，0，4}，{1，2，3，0，7}，{1，2，3，4，7}，{1，2，3，0，4，7}，共8个．
探究点1 集合的基本概念
【例1】 (1)下列说法正确的是( )
A．由0，2，4组成的集合可表示为{0，2，4}或{4，2，0}
B． 与{ }是同一个集合
C．集合{x|y＝x2－1}与集合{y|y＝x2－1}是同一个集合
D．集合{x|x2＋5x＋6＝0}与集合{x2＋5x＋6＝0}是同一个集合
(2)(2024·江苏模拟预测)若集合A＝{x|2mx－3>0，m∈R}，其中2∈A且1 A，则实数m的取值范围是( )
A．(，] B．[，)
C．(，) D．[，]
解析：(1)A 集合中的元素具有无序性，A正确；
是不含任何元素的集合，{ }是含有一个元素 的集合，B错误；
集合{x|y＝x2－1}＝R，集合{y|y＝x2－1}＝{y|y≥－1}，C错误；
集合{x|x2＋5x＋6＝0}＝{x|(x＋2)(x＋3)＝0}中有两个元素－2，－3，集合{x2＋5x＋6＝0}中只有一个元素，为方程x2＋5x＋6＝0，D错误．故选A.
(2)A 由题意可得
解得
(2)研究集合的有关问题，首先要理解集合的属性，其次要注意集合中元素的三个特征——确定性、无序性和互异性，尤其要注意集合中元素的互异性，当集合中的元素含有参数时，要根据互异性进行检验，同时解决集合问题常常应用分类讨论的思想方法．
变式探究
1．若集合A＝{x∈Z|m
C．(－1，0) D．[－1，0]
解析：A 因为集合A有15个真子集，所以集合A中有4个元素，所以－1≤m<0.故选A.
2．已知集合{x|(x－a2)(x－1)＝0}的元素之和为1，则实数a所有取值的集合为( )
A．{0} B．{1}
C．{－1，1} D．{0，－1，1}
解析：D 因为集合{x|(x－a2)(x－1)＝0}的元素之和为1，所以一元二次方程(x－a2)(x－1)＝0有等根时，可得x＝a2＝1，即a＝±1.当方程有两不相等实根时，x＝a2＝0，即a＝0.综上，实数a所有取值的集合为{0，1，－1}．故选D.
探究点2 集合间的基本关系
【例2】 (1)(教材母题必修习题1.2T5)已知集合A＝{x|1
C．(－∞，2024] D．(－∞，2024)
(2)已知集合A＝{x|2
C．[1，3] D．[2，3]
解析：(1)B 集合A＝{x|1
所以B＝{x|a≤x≤a＋1}．
由A∩B＝B，得B A，所以解得2
(2)已知两集合间的关系求参数的取值范围时，要注意：①所给集合若能化简，则先化简；②若集合中的元素是离散的，则用Venn图表示，根据Venn图得到关于参数的一个或多个方程，求出参数后要验证是否与集合元素的互异性矛盾；③若集合中的元素是连续的，则用数轴表示，根据数轴得到关于参数的不等式，解之得到参数的取值范围，此时要注意端点值的取舍；④注意空集的特殊性，一般地，若B A，则应分B＝ 与B≠ 两种情况进行讨论．
(3)注意集合的包含关系与运算关系的转化，一般地，有A B A∩B＝A A∪B＝B.
变式探究
3．已知集合A＝{0，1，a2}，B＝{1，0，3a－2}，若A＝B，则a等于( )
A．1或2 B．－1或－2
C．2 D．1
解析：C 因为A＝B，所以3a－2＝a2，解得a＝1或2.
当a＝1时，集合A＝{0，1，1}，不满足集合中元素的互异性，故舍去．
当a＝2时，集合A＝{0，1，4}，集合B＝{1，0，4}，符合题意，
所以a＝2.故选C.
4．已知集合A＝{x|log2x2≤2}，B＝{m}．若A∪B＝A，则m的取值范围是( )
A．(－∞，2]
B．[－2，2]
C．(－∞，2)∪(2，＋∞)
D．[－2，0)∪(0，2]
解析：D 由题意可得A＝{x|0
【例3】 (1)(2023·全国甲卷)设全集U＝Z，集合M＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，N＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，则 U(M∪N)＝( )
A．{x|x＝3k，k∈Z}
B．{x|x＝3k－1，k∈Z}
C．{x|x＝3k－2，k∈Z}
D．
(2)已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，2，3，4}，B＝{2，4，6}，则图中阴影部分表示的集合为( )
A．{2，4} B．{1，3}
C．{1，3，4} D．{2，3，4}
(3)设集合A＝{x|1
C．3 D．4
解析：(1)A 因为整数集，k∈＋1，k∈＋2，k∈Z}，U＝Z，所以 U(M∪N)＝{x|x＝3k，k∈Z}．故选A.
(2)B 由题意，图中阴影部分表示的集合为A∩( UB).因为U＝{1，2，3，4，5，6}，B＝{2，4，6}，所以 UB＝{1，3，5}，又A＝{1，2，3，4}，所以题图中阴影部分表示的集合为A∩( UB)＝{1，3}．故选B.
(3)D 因为集合A＝{x|1
(2)处理集合的交、并、补的运算问题，首先要将集合进行化简，使之明确化，然后借助数轴、韦恩图等工具，应用集合运算的含义进行推导判定，同时将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，这实质上是数形结合思想在集合中的具体应用．
变式探究
5．已知集合A＝{x|x2－5≤0}，B＝{x|x2＋4x＋3>0}，则A∩B＝ ．
解析：{x|－1
A．{x|－1
解析：3 由不等式|x|≤3，解得－3≤x≤3，所以A＝{x|－3≤x≤3}，
又由log2(x＋a)≥1，可得x＋a≥2，所以x≥2－a，所以B＝{x|x≥2－a}，
因为A∩B＝{x|－1≤x≤3}，所以2－a＝－1，解得a＝3.
1．设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M满足 UM＝{1，3}，则（ ）
A．2∈M B．3∈M
C．4M D．5M
解析：A 由题知M＝{2，4，5}，对比选项知，A正确，B、C、D错误．故选A.
2．已知集合M＝{x|≤2}，N＝{x|－3
解析：D M＝{x|≤2}＝{x|0≤x≤4}，N＝{x|－3
C．3 D．4
解析：D 因为集合A＝{x|1
C．3 D．4
解析：D 因为A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}＝{x|(x－1)(x－2)＝0，x∈R}＝{1，2}，易知B＝{x|0
A． ? B．{2}
C．[1，＋∞） D．[0，＋∞）
解析：D 因为x>1，所以y＝2x>21＝2，所以M＝{y|y>2}．因为2x－x2≥0，所以0≤x≤2，所以N＝{x|0≤x≤2}．
因此M∪N＝[0，＋∞）.故选D.
6．已知集合A＝{x|x＝2n＋1，n∈Z}，B＝{y|0
C．16 D．15
解析：B 由题可知A∩B＝{1，3，5，7，9}，则集合A∩B的子集个数为25－1＝31.
7．已知集合A＝{x|y＝lg x}，B＝{y|y＝x2}，则（ ）
A．A∪B＝R B． RAB
C．A∩B＝B D．AB
解析：D 因为A＝{x|y＝lg x}＝{x|x＞0}，B＝{y|y＝x2}＝{y|y≥0}，所以AB，所以A∪B＝B，A∩B＝A，又A＝{x|x＞0}，所以 RA＝{x|x≤0}，不满足 RAB，故A、B、C错误，D正确．故选D.
8．已知集合A＝{x|(x－a)(x－b)＝0}，B＝{x|x2－6x＋8＝0}，若A∪B＝{2，4，8}，则集合{(x，y)|x＝a，y＝b}的子集个数为 ．
解析：32 由题意得B＝{2，4}，又A∪B＝{2，4，8}，所以8∈A，
所以a＝b＝8或a＝8，b＝2或a＝2，b＝8或a＝8，b＝4或a＝4，b＝8，
所以集合{(x，y)|x＝a，y＝b}＝{(8，8)，(2，8)，(8，2)，(4，8)，(8，4)}，所以其子集个数为25＝32.
9．已知A，B均为R的子集，且 RAB，则A∩( RB)＝（ ）
A．A B．B
C． RA D． RB
解析：D 如图，阴影部分为集合B，且 RAB，则A∩( RB)＝ RB.故选D.
10．已知集合M＝{x|x＝m＋，m∈N}，N＝{x|x＝－，n∈N}，则M，N的关系为（ ）
A．M＝N B．N M
C．M N D．NM
解析：C 因为M＝{x|x＝，m∈N}，N＝{x|x＝＝，n∈N}，所以M N.故选C.
11．已知集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，若A∪B＝B，则实数a的取值范围是（ ）
A．a<－2 B．a≤－2
C．a>－4 D．a≤－4
解析：D 依题意，集合A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|x≤－}．由A∪B＝B可得AB，作出数轴如图．可知－≥2，即a≤－4.故选D.
12．设a，b是实数，集合A＝{x||x－a|<1，x∈R}，B＝{x||x－b|>3，x∈R}，且AB，则|a－b|的取值范围为（ ）
A．[0，2] B．[0，4]
C．[2，＋∞） D．[4，＋∞）
解析：D 集合A＝{x||x－a|<1，x∈R}＝{x|a－1
又AB，所以a＋1≤b－3或a－1≥b＋3，即a－b≤－4或a－b≥4，即|a－b|≥4，
所以|a－b|的取值范围为[4，＋∞）.故选D.
13．（2019·全国卷Ⅲ改）《西游记》 《三国演义》 《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》但未阅读过《红楼梦》的学生人数为 .
解析：10 用Venn图表示调查的100位学生中阅读过《西游记》和《红楼梦》的人数之间的关系如图：
易知调查的100位学生中阅读过《西游记》的学生人数为70，
所以该校阅读过《西游记》但未阅读过《红楼梦》的学生人数为10.
14．（2025·北京顺义区期末）已知A是非空数集，如果对任意x，y∈A，都有x＋y∈A，xy∈A，则称A是封闭集．
(1)判断集合B＝{0}，C＝{－1，0，1}是否为封闭集，并说明理由．
(2)判断以下两个命题的真假，并说明理由．
命题p：若非空集合A1，A2是封闭集，则A1∪A2也是封闭集．
命题q：若非空集合A1，A2是封闭集，且A1∩A2≠ ，则A1∩A2也是封闭集．
解析：(1)对于集合B＝{0}，因为0＋0＝0∈B，0×0＝0∈B，所以B＝{0}是封闭集；
对于集合C＝{－1，0，1}，因为－1＋0＝－1∈C，－1×0＝0∈C，－1＋1＝0∈C，－1×1＝－1∈C，0＋1＝1∈C，0×1＝0∈C，所以集合C＝{－1，0，1}是封闭集．
(2)对命题p：令A1＝{x|x＝2k，k∈Z}，A2＝{x|x＝3k，k∈Z}，
则集合A1，A2是封闭集，如A1＝{0，－2}，A2＝{0，3}，但A1∪A2＝{0，－2，3}不是封闭集，故p是假命题．
对于命题q：设a，b∈(A1∩A2)，则有a，b∈A1，
又因为集合A1是封闭集，所以a＋b∈A1，ab∈A1，
同理可得a＋b∈A2，ab∈A2.
所以a＋b∈(A1∩A2)，ab∈(A1∩A2)，所以A1∩A2是封闭集，故q是真命题．
第2讲 充分条件与必要条件、全称量词与存在量词
[课标要求] 1.理解充分条件、必要条件与充要条件的意义，能初步判断给定的两个条件的关系.2.理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．
1．充分条件与必要条件
(1)充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件 p q且q p
p是q的必要不充分条件 p q且q p
p是q的充要条件 p q
p是q的既不充分也不必要条件 p q且q p
(2)从集合的角度
若p，q以集合的形式出现，记条件p，q对应的集合分别为P，Q，一般有：
若P Q，则p是q的 充分 条件；
若Q P，则p是q的 必要 条件；
若PQ，则p是q的 充分不必要 条件；
若PQ，则p是q的 必要不充分 条件；
若P＝Q，则p是q的 充要 条件．
2．全称量词与全称量词命题
(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词．
(2)全称量词命题：含有全称量词的命题．
(3)全称量词命题的符号表示：“对M中的任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为 x∈M，p(x).
3．存在量词与存在量词命题
(1)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词．
(2)存在量词命题：含有存在量词的命题．
(3)存在量词命题的符号表示：“存在M中的元素x，p(x)成立”可用符号简记为 x∈M，p(x).
1．若p是q的充分不必要条件，则 p是 q的必要不充分条件．
2．含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”．
1．(2024·黑龙江哈尔滨三模)命题“ x>0，都有x2－x＋3≤0”的否定( )
A． x>0，使得x2－x＋3≤0
B． x>0，使得x2－x＋3>0
C． x>0，都有x2－x＋3>0
D． x≤0，都有x2－x＋3>0
解析：B 命题“ x>0，都有x2－x＋3≤0”的否定是： x>0，使得x2－x＋3>0.故选B.
2．(2024·新课标Ⅱ卷)已知命题p： x∈R，|x＋1|>1；命题q： x>0，x3＝x，则( )
A．p和q都是真命题
B． p和q都是真命题
C．p和 q都是真命题
D． p和 q都是真命题
解析：B 对于p，取x＝－1，则有|x＋1|＝0<1，故p是假命题， p是真命题，
对于q，取x＝1，则有x3＝13＝1＝x，故q是真命题， q是假命题，
综上， p和q都是真命题．故选B.
3．(2025·山东潍坊期中)若“ x∈R，sin x
C．a≥－1 D．a>－1
解析：D x∈R，sin x
4．(教材母题必修复习参考题1T5改编)已知a，b都是实数，则“a>b>0”是“|a|>|b|”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：A a>b>0时，一定有|a|>|b|，充分性成立，
当a＝－2，b＝－1时，满足|a|>|b|，但a>b>0不成立，则必要性不成立，
所以“a>b>0”是“|a|>|b|”的充分不必要条件．故选A.
5．设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是( )
A．a＝3b B．a∥b
C．a＝－b D．a∥b且|a|＝|b|
解析：A 由＝可得a，b同向．故只有A中，a＝3b时a，b同向，而B、C、D只能确定a，b共线，故选A.
探究点1 充分、必要条件的判断
【例1】 (1)(2025·浙江调研)已知复数z1，z2，则“z＝z”是“|z1|＝|z2|”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)“函数y＝tan x的图象关于(x0，0)中心对称”是“sin 2x0＝0”的
条件．
(3)已知Sn是数列{an}的前n项和，则“Sn＋1＋2Sn－1＝3Sn对n≥2恒成立”是“{an}是公比为2的等比数列”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：(1)A z＝z z－z＝0 (z1－z2)(z1＋z2)＝0 z1＝z2或z1＝－z2 |z1|＝|z2|.
因为|z1|＝|z2|z1＝z2或z1＝－z2，例如取z1＝＋i，z2＝i，此时|z1|＝|z2|，但z1＝z2或z1＝－z2不成立，故选A.
充要 函数y＝tan x图象的对称中心为(，0)，k∈Z，
所以函数y＝tan x的图象关于(x0，0)中心对称等价于x0＝，k∈Z.
因为sin 2x0＝0等价于2x0＝kπ，k∈Z，即x0＝，k∈Z.
所以“函数y＝tan x的图象关于(x0，0)中心对称”是“sin 2x0＝0”的充要条件．
(3)B 若Sn＋1＋2Sn－1＝3Sn(n≥2)，则Sn＋1－Sn＝2(Sn－Sn－1)，即an＋1＝2an(n≥2)，
根据等比数列的定义，{an}是公比为2的等比数列不一定成立；
若{an}是公比为2的等比数列，则an＋1＝2an(n≥2)，即Sn＋1－Sn＝2(Sn－Sn－1)，
所以Sn＋1＋2Sn－1＝3Sn(n≥2)成立．
所以“Sn＋1＋2Sn－1＝3Sn对n≥2恒成立”是“{an}是公比为2的等比数列”的必要不充分条件，故选B.
充分条件、必要条件的两种判定方法
(1)定义法：根据p q，q p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．
(2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及参数范围的推断问题．
变式探究
1．(2024·高三全国专题练习)对于非零向量a，b，“a＋2b＝0”是“a∥b”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：A 若a＋2b＝0，则a＝－2b，所以a∥b.若a∥b，则a＋2b＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件．故选A.
2．(2024·江苏调研)“a>1”是“<1”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：A 由<1，得a>1或a<0.所以“a>1”是“<1”的充分不必要条件，故选A.
3．(2024·江苏南通模拟预测)在△ABC中，已知B＝30°，c＝2，则“b＝”是“C＝45°”成立的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：B 若b＝，由正弦定理得＝，
即＝，所以sin C＝.
又因为c>b，所以C＝45°或C＝135°，
则“b＝”是“C＝45°”成立的必要不充分条件．故选B.
探究点2 充分、必要条件的应用
【例2】 (1)函数f(x)＝kx－2ln x在[1，＋∞)上单调递增的一个充要条件是( )
A．k>1 B．k>2
C．k≥2 D．k>3
(2)已知命题“ x∈R，x2＋2mx－2m＋3>0”为真命题，记实数m的取值为集合A.设集合B＝{x|a－2
所以k≥，而y＝在区间[1，＋∞)上单调递减，所以k≥2.
所以选项A是必要不充分条件，选项B、D是充分不必要条件，故选C.
[－1，0] 依题意，关于x的不等式x2＋2mx－2m＋3>0恒成立，
于是得Δ＝4m2－4(－2m＋3)<0，解得－3
所以或
得－1≤a≤0，
所以实数a的取值范围为[－1，0].
充分条件、必要条件或充要条件的应用，一般表现为：(1)寻找充分(或必要)条件，关键是依据充分、必要条件的含义推理判定．(2)求参变量的取值范围．求解的一般步骤为：(ⅰ)将p，q等价化简；(ⅱ)将充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的包含关系．(3)列出关于参数的等式或不等式组，求出参数的值或取值范围．
变式探究
4．设α，β为两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是( )
A．α内有无数条直线与β平行
B．α，β垂直于同一个平面
C．α，β平行于同一条直线
D．α，β垂直于同一条直线
解析：D 对于A，α内有无数条直线与β平行推不出α∥β，只有α内所有直线与β平行才能得出α∥β，A错误；
对于B，α，β垂直于同一平面，得到α∥β或α与β相交，B错误；
对于C，α，β平行于同一条直线，得到α∥β或α与β相交，C错误；
对于D，因为垂直于同一条直线的两平面平行，故α，β垂直于同一条直线 α∥β，D正确．故选D.
5．已知集合A＝{y|y＝x2－x＋1，x∈[，2]}，B＝{x|x＋m2≥1}．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则实数m的取值范围为____________________.
解析：(－∞，－]∪[，＋∞) 函数y＝x2－x＋1图象的对称轴为x＝，开口向上，
所以函数y＝x2－x＋1在[，2]上单调递增，
当x＝时，ymin＝；
当x＝2时，ymax＝2.
所以A＝[，2].
B＝{x|x＋m2≥1}＝{x|x≥1－m2}，
由于“x∈A”是“x∈B”的充分条件，
所以1－m2≤，m2≥，
解得m≤－或m≥.
所以实数m的取值范围是(－∞，－]∪[，＋∞).
探究点3 含有量词的命题的否定及应用
【例3】 (1)命题“ x>0，|x|＋x≥0”的否定是( )
A． x<0，|x|＋x<0
B． x>0，|x|＋x<0
C． x>0，|x|＋x≤0
D． x<0，|x|＋x≤0
(2)已知集合A＝{x|0≤x≤a}，集合B＝{x|m2＋2≤x≤m2＋4}，如果命题“ m∈R，A∩B≠ ”为假命题，那么实数a的取值范围为 ．
(3)已知函数f(x)＝x2－2x＋3，g(x)＝log2x＋m，若对 x1∈[2，4]， x2∈[8，16]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围为 .
解析：(1)B 命题“ x>0，|x|＋x≥0”为存在量词命题，
该命题的否定为“ x>0，|x|＋x<0”．故选B.
(2)(－∞，2) 因为命题“ m∈R，A∩B≠ ”为假命题，
所以命题“ m∈R，A∩B＝ ”为真命题．
因为集合A＝{x|0≤x≤a}，当a<0时，集合A＝ ，符合A∩B＝ ；
当a≥0时，因为m2＋2≥2，所以由对 m∈R，A∩B＝ ，可得m2＋2>a对任意的m∈R恒成立，所以0≤a<2.
综上所述，实数a的取值范围为(－∞，2).
(3)(－∞，0] 因为若对 x1∈[2，4]， x2∈[8，16]，使得f(x1)≥g(x2)，
所以f(x1)min≥g(x2)min.
因为f(x)＝x2－2x＋3的对称轴为x＝1，x∈[2，4]，所以f(x)min＝f(2)，
因为g(x)＝log2x＋m，x∈[8，16]，
所以g(x)min＝g(8)，所以f(2)≥g(8)，
即3≥3＋m，所以m≤0，即m∈(－∞，0].
(1)全称(存在)量词命题的否定，是将其全称量词改为存在量词(存在量词改为全称量词)，并把结论否定．从命题的形式看，全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题．
(2)判定全称量词命题“ x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判定存在量词命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x，使p(x)成立即可．
(3)应用含有量词的命题求参数的策略：①对于全称量词命题 x∈M，a>f(x)(或a
6．(多选)下列命题是真命题的是( )
A． a∈R，使函数y＝2x＋a·2－x在R上为偶函数
B． x∈R，函数y＝sin x＋cos x＋的值恒为正数
C． x∈R，2x
解析：AC 当a＝1时，y＝2x＋a·2－x＝2x＋2－x，易知定义域为R，且f(－x)＝2－x＋2x＝f(x)，所以y＝2x＋2－x为偶函数，A为真命题；
y＝sin x＋cos x＋＝sin (x＋)＋，
当sin (x＋)＝－1时，y＝0，B为假命题；
当x＝3时，23＝8<9＝32，C为真命题；
当x＝时，由y＝()x的图象与性质知，()∈(0，1)，
又log ＝1，所以()
7．若命题“ x>1，x2－ax＋a＋3<0”是假命题，则实数a的取值范围是 .
解析：(－∞，6] 因为命题“ x>1，x2－ax＋a＋3<0”是假命题，
所以命题“ x>1，x2－ax＋a＋3≥0”是真命题，
即 x>1，x2＋3≥a(x－1)，
所以a≤＝
＝x－1＋＋2.
因为(x－1)＋≥2＝4，
当且仅当x－1＝，即x＝3时取等号，
所以a≤6，即a∈(－∞，6].
8．(2024·四川模拟预测)已知命题“ x∈[1，4]，ex－－m≥0”为真命题，则实数m的取值范围为( )
A．(－∞，e－2]
B．(－∞，e4－]
C．[e－2，＋∞)
D．[e4－，＋∞)
解析：A 因为命题“ x∈[1，4]，ex－－m≥0”为真命题，
所以 x∈[1，4]，m≤ex－.
令f(x)＝ex－，x∈[1，4]，y＝ex与y＝－在[1，4]上均为增函数，
故f(x)为增函数．
当x＝1时，f(x)有最小值e－2，即m≤e－2，故选A.
1．设a∈R，则“a>1”是“a2>a”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：A 由a2>a可得a>1或a<0，据此可知“a>1”是“a2>a”的充分不必要条件．故选A.
2．“m<2”是“方程＋＝1表示椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：B 方程＋＝1表示椭圆 ?
所以“m<2”是“方程＋＝1表示椭圆”的必要不充分条件，故选B.
3．（2025·安徽芜湖月考）已知直线l1：mx－y－3＝0，l2：(m－2)x－y＋1＝0，则“m＝1”是“l1⊥l2”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
解析：C 当m＝1时，l1：x－y－3＝0，l2：－x－y＋1＝0，
即l1：y＝x－3，l2：y＝－x＋1，则k1k2＝－1，即l1⊥l2；
当l1⊥l2时，m(m－2)＋(－1)×(－1)＝0，解得m＝1.
所以“m＝1”是“l1⊥l2”的充要条件．故选C.
4．（2024·四川成都模拟预测）命题 x∈[－1，1]，x＋|x|<0的否定是（ ）
A． x∈[－1，1]，x＋|x|≥0
B． x∈[－1，1]，x＋|x|≥0
C． x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，x＋|x|≥0
D． x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，x＋|x|<0
解析：B 因为命题为 x∈[－1，1]，x＋|x|<0，则其否定为 x∈[－1，1]，x＋|x|≥0.故选B.
5．已知命题p： x∈R，(x－1)2>0；命题q： x∈R，tan x＝2，则（ ）
A．p和q都是真命题
B． p和q都是真命题
C．p和 q都是真命题
D． p和 q都是真命题
解析：B 对于p，取x＝1，则有(x－1)2＝0，故p是假命题， p是真命题，
对于q，y＝tan x的值域为R，故q是真命题， q是假命题．
综上， p和q都是真命题．故选B.
6．（多选）下列命题是真命题的是（ ）
A． x∈R，2x-1>0
B． x∈R，x
D． x∈R，sin x＝1
解析：ACD 对于A，根据y＝2x-1的图象可知A正确；
对于B，取x＝1，x＝x2，B错误；
对于C，取x＝，则lg x＝－1<0，C正确；
对于D，y＝sin x的值域为[－1，1]，D正确．
故选ACD.
7．“a<－1”是“ x∈R，a sin x＋1<0”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：A 设f(x)＝a sin x＋1，
当a>0时，f(x)∈[1－a，1＋a]，所以1－a<0，即a>1；
当a<0时，f(x)∈[1＋a，1－a]，所以1＋a<0，即a<－1.
故a>1或a<－1.
所以“a<－1”是“ x∈R，a sin x＋1<0”的充分不必要条件．
故选A.
8．已知命题p： x∈[1，3]，（）x-1＋m－1<0，命题q： x∈R，mx2＋x－4＝0.若命题p和q都是真命题，则实数m的取值范围为 .
解析：[－，0） 因为p： x∈[1，3]，（）x-1＋m－1<0，
所以m<1－（）x-1在x∈[1，3]恒成立，
因为y＝1－（）x-1是增函数，
所以当x＝1时有ymin＝0，所以m<0.
因为q： x∈R，mx2＋x－4＝0，所以mx2＋x－4＝0有解，
即m＝0或所以m≥－.
若命题p和q都正确，则－≤m<0.
故实数m的取值范围为[－，0）.
9．已知f(x)是定义在[0，1]上的函数，那么“函数f(x)在[0，1]上单调递增”是“函数f(x)在[0，1]上的最大值为f(1)”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：A 若函数f(x)在[0，1]上单调递增，则f(x)在[0，1]上的最大值为f(1).
若f(x)在[0，1]上的最大值为f(1)，比如f(x)＝（x－）2，
但f(x)＝（x－）2在[0，]上为减函数，在[，1]上为增函数，
故f(x)在[0，1]上的最大值为f(1)推不出f(x)在[0，1]上单调递增．
故“函数f(x)在[0，1]上单调递增”是“f(x)在[0，1]上的最大值为f(1)”的充分不必要条件，故选A.
10．（多选）若“ x∈M，x<0或x>1”为真命题，“ x∈M，x>3”为假命题，则集合M可以是（ ）
A．(－∞，－5) B．(－3，－1]
C．（3，＋∞) D．[2，3]
解析：ABD 命题“ x∈M，x>3”为假命题，则命题“ x∈M，x≤3”为真命题，可得M{x|x≤3}，
命题“ x∈M，x<0或x>1”为真命题，则M{x|x<0或x>1}，
{x|x<0或x>1}∩{x|x≤3}＝{x|x<0或1
11．（2023·全国甲卷）设甲：sin2α＋sin2β＝1，乙：sinα＋cos β＝0，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
解析：B 当sin2α＋sin2β＝1时，例如α＝，β＝0但sinα＋cos β≠0，即sin2α＋sin2β＝1推不出sinα＋cos β＝0.
当sin α＋cos β＝0时，sin2α＋sin2β＝(－cosβ)2＋sin2β＝1，
即sinα＋cos β＝0能推出sin2α＋sin2β＝1.
综上可知，甲是乙的必要不充分条件．故选B.
12．已知f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a>0)，若?x1∈[－1，2]，?x0∈[－1，2]，使g(x1)＝f(x0)，则实数a的取值范围为 .
解析：（0，] 由于函数g(x)在定义域[－1，2]内是任意取值的，且必存在x0∈[－1，2]，使得g(x1)＝f(x0)，因此问题等价于函数g(x)的值域是函数f(x)值域的子集．
因为f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[－1，2]，所以f(x)∈[－1，3]，即函数f(x)的值域是[－1，3].
因为a>0，所以函数g(x)的值域是[2－a，2＋2a]，则有2－a≥－1且2＋2a≤3，即a≤.
故实数a的取值范围是（0，].
13．（多选）设a>0，b>0，且a≠b，则“a＋b>2”的一个必要条件可以是（ ）
A．a3＋b3>2 B．a2＋b2>2
C．ab>1 D．＋>2
解析：AB 对于A，若a＋b>2，则a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＝(a＋b)[(a＋b)2－3ab]>(a＋b)[(a＋b)2－]>2成立；
对于B，若a＋b>2，则a2＋b2>>2，成立；
对于C，ab<（）2，无法判断出ab>1；
对于D，>，且（＋）(a＋b)>4，因为a＋b>2，所以不能得出＋与2的大小关系．故选AB.
14．（多选）在下列所示电路图中，下列说法正确的是（ ）
A．如图1所示，开关L1闭合是灯泡M亮的充分不必要条件
B．如图2所示，开关L1闭合是灯泡M亮的必要不充分条件
C．如图3所示，开关L1闭合是灯泡M亮的充要条件
D．如图4所示，开关L1闭合是灯泡M亮的必要不充分条件
解析：ABC 对于A，由图1可得，开关L1闭合，灯泡M亮；而灯泡M亮时，开关L1不一定闭合，所以开关L1闭合是灯泡M亮的充分不必要条件，故A正确．
对于B，由图2可得，开关L1闭合，灯泡M不一定亮；而灯泡M亮时，开关L1必须闭合，所以开关L1闭合是灯泡M亮的必要不充分条件，故B正确．
对于C，由图3可得，开关L1闭合，灯泡M亮；而灯泡M亮时，开关L1必须闭合，所以开关L1闭合是灯泡M亮的充要条件，故C正确．
对于D，由图4可得，开关L1闭合，灯泡M不一定亮；而灯泡M亮时，开关L1不一定闭合，所以开关L1闭合是灯泡M亮的既不充分也不必要条件，故D错误．故选ABC.
第3讲 等式性质与不等式性质
[课标要求] 1.了解不等式的概念，掌握等式性质，理解不等式性质.2.会比较两个代数式的大小.3.能应用不等式的性质解决有关问题．
1．不等式的定义
用不等号“>”“≥”“<”“≤”“≠”将两个数学表达式连接起来，所得的式子叫不等式．
2．两个实数的大小比较
(1)作差法
设a，b∈R，则a－b>0 a>b ；a－b<0 a
设a>0，b>0，则>1 a>b ；＝1 a＝b ；<1 a
(1)对称性：a＝b b＝a ．
(2)传递性：a＝b，b＝c a＝c ．
(3)可加性：a＝b a±c＝b±c ．
(4)可乘性：a＝b ac＝bc ．
(5)可除性：a＝b，c≠0 ＝ ．
4．不等式的基本性质
(1)对称性：a>b b
(3)可加性：a>b a＋c>b＋c ．
(4)不等式加法：a>b，c>d a＋c>b＋d ．
(5)可乘性：a>b，c>0 ac>bc ；a>b，c<0 ac
(7)不等式乘方：a>b>0 an>bn (n∈N，n≥2).
(8)不等式开方：a>b>0 > (n∈N，n≥2).
1．倒数性质
(1)a>b，ab>0 <；(2)a<02．分数性质
若a>b>0，m>0，则
(1)真分数性质：<；>(b－m>0).
(2)假分数性质：>；<(b－m>0).
1．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是( )
A．M>N B．M＝N
C．M
2．若<<0，有下面四个不等式：①|a|>|b|，②a
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：C 由<<0可得b
3．(教材母题必修习题2.1T8改编)若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式成立的是( )
A．< B．a2>b2
C．> D．a|c|>b|c|
解析：C 对于A，若a>0>b，则>0，<0，此时>，所以A不成立；
对于B，若a＝1，b＝－2，则a2
对于D，当c＝0时，a|c|＝b|c|，所以D不成立．故选C.
4．下列不等式正确的是( )
A．若ac2≥bc2，则a≥b
B．若>，则a
D．若a>0，b>0，m>0，且a
解析：D 对于A，当c＝0，a＝－1，b＝2时满足ac2≥bc2，但a
对于C，当a＝－1，b＝，c＝2时满足a＋b>0，c－b>0，但a
5．一个盒子中红、白、黑三种球分别为x个、y个、z个，黑球个数至少是白球个数的一半，至多是红球个数的，白球与黑球的个数之和至少为55，则用不等式(组)将题中的不等关系表示为____________________．
解析：(x，y，z∈N*)
由题意可得(x，y，z∈N*)
探究点1 不等式的基本性质
【例1】 (1)(多选)若a，b，c∈R，则下列命题正确的是( )
A．若a>b，则>
B．若a>b，则ac2>bc2
C．若a
D．若ac2
A．c2
解析：(1)ACD 对于A，若a>b，则a－b＝()3－()3＝(－)[()2－＋()2]>0，
而()2－＋()2＝(－)2＋()2>0，
因此－>0，即>，A正确；
对于B，若a>b，当c＝0时，ac2＝bc2，B错误；
对于C，若a
对于D，若ac2
因为a>b>0>c>d，所以ad
故选ACD.
(1)要判定一个不等式不成立，只需举出一个反例即可．而要判定一个不等式成立，一般需要证明．
(2)判定大小关系，常用的方法有：①利用不等式的性质；②利用比较法(如作差法或作商法)；③利用函数的单调性或借助函数的图象．
变式探究
1．已知a＜b＜0，则下列不等式成立的是( )
A．＜ B．ab＜b2
C．－ab＜－a2 D．－＜－
解析：D 由于a＜b＜0，不妨令a＝－2，b＝－1，可得＝－，＝－1，所以＞，A错误；
可得ab＝2，b2＝1，所以ab＞b2，B错误；
可得－ab＝－2，－a2＝－4，所以－ab＞－a2，C错误；
－＝，因为ab>0，a－b<0，所以－<0，即－<－，D正确．故选D.
2．(多选)设a
解析：BC 因为a
探究点2 数(式)的大小比较
【例2】 (1)(2025·河南开学考试)已知a>b>c>0，A＝ab＋bc，B＝ac＋b2，C＝a2＋b2，则A，B，C的大小关系是 ．
(2)如果x＋y<0，且y>0，那么下列不等式成立的是( )
A．y2>x2>－xy B．x2>y2>－xy
C．x2<－xy
(3)已知a>0，试比较与的大小．
解析：(1)C>A>B 由a>b>c>0，得a2>ab，b2>bc，因此C＝a2＋b2>ab＋bc＝A，
显然A－B＝(ab＋bc)－(ac＋b2)＝(a－b)(b－c)>0，则A>B，
所以A，B，C的大小关系是C>A>B.
(2)D x2－y2＝(x－y)(x＋y)，因为x＋y<0，且y>0，所以x<0，所以x－y<0，
所以x2－y2>0，所以x2>y2，
又xy＋y2＝y(x＋y)，
因为x＋y<0，y>0，所以y(x＋y)<0，所以y2<－xy.
又x2＋xy＝x(x＋y)>0，所以x2>－xy.
综上，x2>－xy>y2.
故选D.
(3)因为－＝＝，可得a≠1，
(ⅰ)当a>1时，－2a<0，a2－1>0，
则<0，即<；
(ⅱ)当0
综上，当a>1时，<；当0
比较大小的常用方法
(1)作差法：作差→变形→判断符号→结论．其关键是变形，变形的方法有分解因式、配方、通分等．当两个式子都是正数时，有时也可先平方再比较．
(2)作商法：作商→变形→判断与1的大小关系→结论(作商前一般需判断符号).
(3)单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，然后研究函数的单调性，根据单调性得出大小关系．
变式探究
3．已知a>0，b>0，M＝，N＝＋，则M与N的大小关系为 ．
解析：M
①<；②a3>b3；③2a>2b；④ln a2>ln b2.
解析：②③ 当a>0，b<0时，>0>，故①不正确；
由函数y＝x3，y＝2x的单调性可知，②③正确；
当a＝1，b＝－1时，ln a2＝ln b2＝ln 1＝0，故④不正确．
5．设p＝(a2＋a＋1)-1，q＝a2－a＋1，则( )
A．p>q B．p
解析：D 因为p＝(a2＋a＋1)-1＝＝>0，q＝a2－a＋1＝(a－)2＋>0，
则＝＝(a2－a＋1)(a2＋a＋1)＝(a2＋1)2－a2＝(a2)2＋a2＋1≥1.
故p≤q，当且仅当a＝0时，取等号，故选D.
探究点3 不等式性质的综合应用
【例3】 (1)已知下列三个不等式：①ab>0；②>；③bc>ad.以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可组成 个正确命题．
(2)设x，y为实数，满足3≤xy2≤8，4≤≤9，则的最小值是 .
解析：(1)3 对②变形：> >0.
(ⅰ)由ab>0，bc>ad得②成立，所以①③ ②.
(ⅱ)若ab>0，>0，则bc>ad，所以①② ③.
(ⅲ)若bc>ad，>0，则ab>0，所以②③ ①.
综上所述，可组成3个正确命题．
(2) 设＝(xy2)m·()n，即xy-3＝xm+2n·y2m－n，
所以解得所以＝(xy2)-1·.
因为3≤xy2≤8，4≤≤9，所以≤(xy2)-1≤.
由不等式性质可知≤(xy2)-1·≤3，即≤≤3.
综上可知，的最小值为.
求代数式的取值范围的方法
(1)待定系数法：先建立待求整体与已知范围的整体的关系，最后通过“一次性”使用不等式的运算，求得整体的范围．
(2)换元法：设已知范围的式子分别为a，b，将所求式子用a，b表示，再通过a，b的范围“一次性”得到所求式子的范围．
变式探究
6．已知a，b∈R且满足则4a＋2b的取值范围是( )
A．[0，12] B．[4，10]
C．[2，10] D．[2，8]
解析：C 设4a＋2b＝A(a＋b)＋B(a－b)，
可得解得
则4a＋2b＝3(a＋b)＋a－b，
因为可得
所以2≤4a＋2b≤10，故选C.
7．已知正数a，b满足5－3a≤b≤4－a，ln b≥a，则的取值范围是 .
解析：[e，7] 因为正数a，b满足5－3a≤b≤4－a，
所以5－3a≤4－a，所以a≥.
因为5－3a≤b≤4－a，
所以－3≤≤－1，从而≤7.
因为ln b≥a，所以≥(b≥e)，
设f(x)＝(x≥e)，
则f ′(x)＝，
当e≤x＜e时，f′(x)＜0，当x＞e时，f′(x)＞0，当x＝e时，f′(x)＝0，
所以当x＝e时，f(x)取到极小值，也是最小值．
所以f(x)min＝f(e)＝e，所以≥e，
所以的取值范围是[e，7].
1．若a，b，c∈R且a>b，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．ac>bc B．(a－b)c2>0
C．< D．c－2a
当c＝0时，(a－b)c2＝0，B错误；
当a＝1，b＝－1时，a>b，且>，C错误；
由不等式的性质可知－2a<－2b，c－2a
A．1－x<1－y B．x2>y2
C．||>1 D．xz>yz
解析：A 因为x>y，所以－x<－y，所以－x＋1<－y＋1，即1－x<1－y，A正确；
当x＝－1，y＝－2时，满足x>y，但x2＝1，y2＝4，此时x2
A．4×<100 B．4×≥100
C．4×≤100 D．4×>100
解析：B 由题意知导火索的长度x（单位：厘米），故导火索燃烧的时间为秒，
人在此时间内跑的路程为（4×）米，由题意可得4×≥100.故选B.
5．（多选）已知a，b，c满足c
C．cb2
解析：BCD 因为a，b，c满足c
所以ac(a－c)<0，c(b－a)<0，cb2
6．已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（ ）
A．－＞0 B．sin x－sin y＞0
C．（）x－（）y＜0 D．ln x＋ln y＞0
解析：C 对于A，因为f(x)＝在(0，＋∞)上单调递减，又x＞y＞0，所以－<0，A错误；
对于B，因为f(x)＝sin x在(0，＋∞)上不是单调的，所以不一定有sin x>sin y，B错误；
对于C，因为f(x)＝（）x在(0，＋∞)上单调递减，又x＞y＞0，所以（）x<（）y，即（）x－（）y<0，C正确；
对于D，设f(x)＝ln x，因为ln x＋ln y＝ln xy，当x>y>0时，xy>0，不一定有ln xy>0，D错误．故选C.
7．已知0
所以M－N＝＋＝>0，所以M>N.
8．已知a，b为实数，则2a2＋b2＋1 ab＋2a（填“>”“<”“≥”或“≤”）.
解析：≥ 由题知，（2a2＋b2＋1）－(ab＋2a)＝a2－ab＋b2＋a2－2a＋1＝（a－b）2＋(a－1)2≥0，
当且仅当a＝1，b＝2时，取等号．
9．若a，b为实数，则“0＜ab＜1”是“a＜或b＞”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：A 因为a，b为实数，0＜ab＜1，当a>0时，b>0，且a<；当a<0时，b<0，且b>.所以“0＜ab＜1”“a＜或b＞”．
反之，当a<时，若a<0，b>0，则ab<0，所以“a＜或b＞”不能推出“0＜ab＜1”，
所以“0＜ab＜1”是“a＜或b＞”的充分不必要条件．故选A.
10．（多选）若a，b为非零实数，则以下不等式中恒成立的是（ ）
A．≥ab B．≤
C．≥ D．＋≥2
解析：AB 对于A，由－ab＝＝≥0，可得≥ab，A正确；
对于B，由－＝＝≤0，可得≤，B正确；
对于C，当a＝－1，b＝－2时，＝－，＝－，－<－，C错误；
对于D，当a＝1，b＝－2时，＋＝＋＝－<2，D错误．故选AB.
11．已知实数x，y满足－2≤x＋2y≤3，－2≤2x－y≤0，则3x－4y的取值范围为 ．
解析：[－7，2] 设3x－4y＝m(x＋2y)＋n(2x－y)，则解得
所以3x－4y＝－(x＋2y)＋2(2x－y)，
因为－2≤x＋2y≤3，－2≤2x－y≤0，
所以－3≤－(x＋2y)≤2，－4≤2(2x－y)≤0，所以－7≤3x－4y≤2.
12．已知a，b，c均为正实数，且≥，≥，≥，则＋＋的最大值为 .
解析：4 因为a，b，c均为正实数，所以由题可得0<≤3，0<≤4，0<≤5，即0<＋≤3，0<＋≤4，0<＋≤5，三式相加得0<3（＋＋）≤12，所以0<＋＋≤4，所以＋＋的最大值为4.
13．有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：m2）分别为x，y，z，且x＜y＜z，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/m2）分别为a，b，c，且a＜b＜c.在下列不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是（ ）
A．ax＋by＋cz B．az＋by＋cx
C．ay＋bz＋cx D．ay＋bx＋cz
解析：B 因为x＜y＜z且a＜b＜c，
所以ax＋by＋cz－(az＋by＋cx)＝a(x－z)＋c(z－x)＝(x－z)(a－c)＞0，
所以ax＋by＋cz＞az＋by＋cx；
同理ay＋bz＋cx－(ay＋bx＋cz)＝b(z－x)＋c(x－z)＝(z－x)(b－c)＜0，
所以ay＋bz＋cx＜ay＋bx＋cz；
同理az＋by＋cx－(ay＋bz＋cx)＝a(z－y)＋b(y－z)＝(z－y)(a－b)＜0，
所以az＋by＋cx＜ay＋bz＋cx.
所以最低费用为az＋by＋cx.故选B.
14．（多选）已知实数m，n满足0
C．mn>nm D．logmn
由幂函数y＝xm 为增函数知mm>nm，故mn>nm，C正确；
根据 0
第4讲 基本不等式
[课标要求] 1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最值问题.3.掌握基本不等式在实际问题中的应用．
1．基本不等式≥
(1)基本不等式成立的条件： a>0，b>0 ．
(2)等号成立的条件：当且仅当 a＝b 时不等式取等号．
(3)其中叫做正数a，b的算术平均数；叫做正数a，b的几何平均数．
2．几个重要不等式
(1)a2＋b2≥ 2ab (a，b∈R)；
(2)＋≥ 2 (a，b同号)；
(3)ab≤()2(a，b∈R)；
(4) ≥ ()2.
3．基本不等式求最值
(1)两个 正数 的和为 定值 ，当且仅当它们 相等 时，其积最大．
(2)两个 正数 的积为 定值 ，当且仅当它们 相等 时，其和最小．
利用这两个结论可以求某些函数的最值，求最值时，要注意“一正、二定、三相等”的条件．
1．(教材母题必修习题2.2T2改编)若x>0，y>0，且x＋y＝18，则的最大值为( )
A．9 B．18
C．36 D．81
解析：A 因为x＋y＝18，所以≤＝9，当且仅当x＝y＝9时，等号成立．故选A.
2．下列等式中最小值为4的是( )
A．y＝x＋ B．y＝2t＋
C．y＝4t＋(t>0) D．y＝t＋
解析：C 对于A，x＝－1时，y＝－5<4；对于B，t＝－1时，y＝－3<4；对于C，y＝4t＋≥2＝4，当且仅当t＝时等号成立；对于D，t＝－1时，y＝－2<4.故选C.
3．(2025·广东深圳期末)下列不等式恒成立的是( )
A．＋≥2 B．ab≥()2
C．a＋b≥2 D．a2＋b2≥－2ab
解析：D 对于A，若a＝1，b＝－1时，＋＝－2，A错误；
对于B，因为(a－b)2≥0，所以a2＋b2≥2ab，所以≥ab，即()2≥ab，当且仅当a＝b时取等号，B错误；
对于C，若a＝－1，b＝－1时，a＋b＝－2<2＝2，C错误；
对于D，因为(a＋b)2≥0，所以a2＋b2＋2ab≥0，即a2＋b2≥－2ab，当且仅当a＝b时取等号，D正确．故选D.
4．小李从甲地到乙地的平均速度为a，从乙地到甲地的平均速度为b(a>b>0)，他往返甲、乙两地的平均速度为v，则( )
A．v＝ B．v＝
C．
则t1＝，t2＝，v＝＝＝，
所以v＝>＝b，
v＝＝<＝.故选D.
5．已知a>0，b>0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是 ．
解析： 因为a＋b＝2，所以＝1.
所以＋＝(＋)()＝＋(＋)≥＋2＝(当且仅当＝，即b＝2a＝时，“＝”成立)，故y＝＋的最小值为.
探究点1 利用基本不等式求最值
【例1】 (1)若a＞0，b＞0，lg a＋lg b＝lg (a＋b)，则a＋b的最小值为( )
A．8 B．6
C．4 D．2
(2)y＝(x>1)的最小值为__________________．
(3)已知a>0，b>0且a＋b＝1，求＋的最小值．
解析：(1)C 依题意ab＝a＋b，所以a＋b＝ab≤()2，即a＋b≤，
所以a＋b≥4，当且仅当a＝b＝2时取等号，
所以a＋b的最小值为4.故选C.
(2)8 由题意，y＝＝(x－1)＋＋2，
因为x>1，所以x－1>0，
所以y≥2＋2＝6＋2＝8，
当且仅当x－1＝，即x＝4时等号成立，
故y的最小值为8.
(3)因为a>0，b>0且a＋b＝1，所以a＋1＋b＝2，
则＋＝(＋)[(a＋1)＋b]
＝(4＋＋)
≥(4＋2)＝2＋，
当且仅当＝，a＋b＝1，即a＝2－，b＝－1时取等号，
故其最小值为2＋.
(1)利用基本不等式求最值时，要注意“一正、二定、三相等”三个条件．所谓“一正”指正数，“二定”指应用不等式时，和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件．
(2)利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，采用“乘1”“加0”等策略，配凑出积、和为常数的形式，再利用基本不等式．
变式探究
1．若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为( )
A． B．2
C．2 D．4
解析：C 因为＋＝，所以a＞0，b＞0，所以＝＋≥2＝2，所以ab≥2(当且仅当b＝2a时取等号)，所以ab的最小值为2，故选C.
2．已知x>0，y>0，x＋2y＝6，则＋的最小值为 .
解析： 由x＋2y＝6，得＋＝1，
所以＋＝(＋)(＋)＝＋＋＋≥＋2＝，
当且仅当＝，即x＝3，y＝时取等号，
所以＋的最小值为.
3．(2025·江苏南通期中)已知正实数x，y满足x＋y＝m，函数f(x，y)＝(x＋)(y＋)的最小值为，则实数m的取值集合为 ．
解析：{} 因为m＝x＋y≥2，
所以xy≤，f(x，y)＝xy＋1＋1＋＝xy＋＋2，
令xy＝t，t∈(0，]，g(t)＝t＋＋2.
当≥1时，g(t)min＝4，与已知矛盾；
当<1时，g(t)在(0，]上单调递减，
所以g(t)min＝g()＝＋＋2＝，
解得m＝或－(舍去)，
所以m的取值集合为{}．
探究点2 基本不等式的综合应用
【例2】 (1)已知b>0，直线b2x＋y＋1＝0与ax－(b2＋2)y＋3＝0互相垂直，则ab的最小值为 ．
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＋b＋c＝2，则＋的最小值为 ．
《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形来证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为( )
A．≥(a>0，b>0)
B．a2＋b2≥2(a>0，b>0)
C．≤(a>0，b>0)
D．≤(a>0，b>0)
解析：(1)2 因为b>0，直线b2x＋y＋1＝0与直线ax－(b2＋2)y＋3＝0互相垂直，所以b2×a＋1×[－(b2＋2)]＝0，所以a＝，所以ab＝·b＝b＋≥2＝2，当且仅当b＝时取等号．
则ab的最小值为2.
(2) 因为a＋b＋c＝2，
所以＋＝(＋)[(a＋b)＋c]
＝(5＋＋)
≥(5＋2)＝，
当且仅当＝，即a＋b＝2c时等号成立，故＋的最小值为.
D 由题可得圆O的半径为r＝OF＝AB＝，
OC＝OB－BC＝－b＝.
在Rt△OCF中，可得FC2＝OC2＋OF2＝()2＋()2＝，
因为FO≤FC，所以≤，当且仅当a＝b时取等号．故选D.
(1)应用基本不等式求解时，要注意合理地进行变形、转化，提供应用基本不等式的条件与情境．
(2)求解参变量范围或最值时，要注意结合问题的特征进行变形，利用基本不等式求得参变量范围或最值．同时注意等号成立的条件而得到参变量的值．变式探究
4．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝，b sin B＋c sin C＝a sin A＋c sin B，则△ABC的周长的最大值是( )
A．3 B．3＋
C．2＋ D．4＋
解析：A 因为b sin B＋c sin C＝a sin A＋c sin B，所以由正弦定理得b2＋c2＝a2＋bc，
所以a2＝(b＋c)2－3bc≥(b＋c)2－3()2＝，
又a＝，得b＋c≤2，当且仅当b＝c＝时等号成立，
所以△ABC的周长的最大值是3.故选A.
5．(2025·山西太原阶段练习)中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式S＝求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．现有一个三角形的边长满足a＝6，b＋c＝8，则此三角形面积的最大值为( )
A．3 B．8
C．4 D．9
解析：A 因为a＝6，b＋c＝8，p＝＝＝7，
所以S2＝7×(7－6)×(7－b)(7－c)
＝7[bc－7(b＋c)＋49]＝7(bc－7)
≤7×[()2－7]＝7×9，
当且仅当b＝c＝4时取等号．
所以S≤3，即三角形面积的最大值为3.故选A.
6．(2024·北京顺义模拟)若数列{an}为等比数列，则“a3≥1”是“a1＋a5≥2”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：A 因为数列{an}为等比数列，不妨设公比为q，则q≠0，
由a3≥1可得a1q2≥1，故a1>0，而a1＋a5＝a1(1＋q4)，
由1＋q4≥2q2知a1＋a5≥2a1q2，当且仅当q2＝1时取等号，
而a1q2≥1，故a1＋a5≥2，
此时q＝±1，a1＝1，
故“a3≥1”是“a1＋a5≥2”的充分条件．
由a1＋a5＝a1(1＋q4)≥2可得a1≥，
则a3＝a1q2≥，而＝≤1，
故不一定能得到a3≥1.
如q＝，a1＝2时，满足a1＋a5≥2，
但是a3＝a1q2＝2×()2＝<1，
故“a3≥1”不是“a1＋a5≥2”的必要条件．
即“a3≥1”是“a1＋a5≥2”的充分不必要条件．故选A.
探究点3 基本不等式在实际问题中的应用
【例3】 (2024·安徽池州模拟预测)1471年，米勒向诺德尔教授提出一个有趣的问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆看上去最长(即可见角最大)？后人将其称为“米勒问题”，这是载入数学史的第一个极值问题．我们把地球表面抽象为平面α，悬杆抽象为线段AB(或直线l上两点A，B)，则上述问题可以转化为如下的数学模型：如图1，一条直线l垂直于一个平面α，直线l有两点A，B位于平面α的同侧，求平面上一点C，使得∠ACB最大．建立如图2所示的平面直角坐标系．设A，B两点的坐标分别为(0，a)，(0，b)(0
C．2 D．
解析：D 由题意可知∠ACB是锐角，且∠ACB＝∠OCA－∠OCB，
而tan ∠OCA＝，tan ∠OCB＝，
所以tan ∠ACB＝tan (∠OCA－∠OCB)＝＝，
而c＋≥2，当且仅当c＝，即c＝时取等号．
因为∠ACB是锐角，所以当c＝时，tan ∠ACB＝≤最大，此时∠ACB最大．故选D.
应用基本不等式解决实际问题的一般步骤：
(1)理解题意，把实际问题抽象为最值问题；
(2)建立目标函数(可以是一元，也可以是二元)关系式，设变量时一般把要求最大(小)值的变量定为函数；
(3)利用基本不等式求最大(小)值问题，注意是否符合“一正、二定、三相等”的条件；
(4)回到实际问题中，写出正确答案．
变式探究
7．某热力公司每年燃料费约24万元，为了“环评”达标，需要安装一块面积为x(x≥0)(单位：平方米)可用15年的太阳能板，其工本费为(单位：万元)，并与燃料供热互补工作，从此，公司每年的燃料费为(k为常数)万元，记y为该公司安装太阳能板的费用与15年的燃料费之和，则y关于x的函数关系式为 ．当y取最小值时，所安装太阳能板的面积为 ．
解析：y＝＋，x≥0 55平方米
因为公司每年的燃料费为(k为常数)万元，
取x＝0，得＝24，则k＝2400.
所以，该公司安装太阳能板的费用与15年的燃料费之和为
y＝15×＋＝＋，x≥0.
因为y＝＋＝＋－
≥2－
＝57.5，
当且仅当＝，即x＝55时取等号．
所以安装太阳能板的面积为55平方米时，y的最小值为57.5万元．
1．设x>0，y>0，且2x＋y＝4，则xy的最大值为（ ）
A． B．4
C． D．2
解析：D 因为x>0，y>0，且2x＋y＝4，
所以2x＋y≥2，即4≥2，所以xy≤2，
当且仅当2x＝y＝2时，取等号．所以xy的最大值为2.故选D.
2．设函数f(x)＝2x＋－1(x<0)，则f(x)（ ）
A．有最大值 B．有最小值
C．是增函数 D．是减函数
解析：A f(x)＝－[(－2x)＋（－）]－1≤－2－1，当且仅当x＝－时，等号成立，所以函数f(x)有最大值，故选A.
3．若直线＋＝1(a＞0，b＞0)过点(1，1)，则a＋b的最小值等于（ ）
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：C 将(1，1)代入直线方程＋＝1，得＋＝1，又a＞0，b＞0，故a＋b＝(a＋b)（＋）＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝2时取到等号．故选C.
4．（多选）已知a，b为实数，且ab≠0，则下列命题正确的是（ ）
A．若a>0，b>0，则≥
B．若≥，则a>0，b>0
C．若a≠b，则>
D．若>，则a≠b
解析：ABD 对于A，由基本不等式可知当a>0，b>0时，≥，当且仅当a＝b时取等号，A正确；
对于B，因为≥，ab≠0，所以且（－）2≥0，所以a>0，b>0，当且仅当a＝b时取等号，B正确；
对于C，若a＝－1，b＝－4，则＝<＝＝2，C错误；
对于D，因为>，ab≠0，所以且a＋b－2>0，所以a>0，b>0，（－）2>0，所以a>0，b>0且a≠b，D正确．故选ABD.
5．若对任意m，n∈(0，＋∞)，都有m2－amn＋2n2≥0，则实数a的最大值为（ ）
A． B．2
C．4 D．
解析：B 因为对任意m，n∈(0，＋∞)，都有m2－amn＋2n2≥0，所以m2＋2n2≥amn，即a≤＝＋恒成立．
因为＋≥2＝2，
当且仅当＝，即m＝n时取等号，
所以a≤2，故实数a的最大值为2.故选B.
6．设x>0，y>0，x＋2y＝5，则的最小值为 .
解析：4 因为x>0，y>0，所以>0.
因为x＋2y＝5，所以＝＝＝2＋≥2＝4，
当且仅当2＝时取等号．
所以的最小值为4.
7．已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为 .
解析：6 （换元消元法）由已知得x＋3y＝9－xy，
因为x>0，y>0，所以x＋3y≥2，
所以3xy≤（）2，当且仅当x＝3y时取等号，即(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0.
令x＋3y＝t，则t>0且t2＋12t－108≥0，
得t≥6，即x＋3y的最小值为6，且此时x＝3，y＝1.
8．若a克不饱和糖水中含有b克糖，则糖的质量分数为，这个质量分数决定了糖水的甜度．如果在此糖水中再添加m克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽象出不等式>(a>b>0，m>0)，数学中常称其为糖水不等式．依据糖水不等式可得出log32 log1510（填“<”或“>”），请写出上述结论所对应的一个糖水不等式________________．
解析：< >
因为0
由前一空可得log32
9．（2024·黑龙江哈尔滨二模）已知正实数x，y满足＋＝1，则2xy－3x的最小值为（ ）
A．8 B．9
C．10 D．11
解析：B 易知＋＝1?2x＋y＝xy，则2xy－3x＝2(2x＋y)－3x＝(x＋2y)·（＋）＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即x＝y＝3时取得等号．故选B.
10．若函数f(x)＝a ln x－在点(1，f（1)）处的切线的斜率为2，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．1
解析：D 由已知得f′(x)＝＋，所以f′(1)＝a＋b＝2，
而a，b∈R，a2＋b2≥2ab，所以2(a2＋b2)≥(a＋b)2，当且仅当a＝b时取等号，
故＝≥×(a＋b)2＝1，
当且仅当a＝b时，结合a＋b＝2，即a＝b＝1时等号成立，
即的最小值为1，故选D.
11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，
∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝1，则4a＋c的最小值为 .
解析：9 由题意可知，S△ABC＝S△ABD＋S△BCD，由角平分线性质和三角形面积公式得ac sin 120°＝a×1×sin 60°＋c×1×sin 60°，化简得ac＝a＋c，即＋＝1.因此4a＋c＝(4a＋c)（＋）＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当c＝2a＝3时取等号，则4a＋c的最小值为9.
12．（2024·广东湛江一模）已知ab>0，a2＋ab＋2b2＝1，则a2＋2b2的最小值为_______________．
解析： 因为ab>0，
所以a2＋2b2≥2＝2ab（当且仅当a＝b时等号成立），
即得ab≤＝(a2＋2b2)，
则1＝a2＋ab＋2b2≤a2＋2b2＋(a2＋2b2)＝(a2＋2b2)，
得a2＋2b2≥＝，
所以a2＋2b2的最小值为.
13．（2024·河北沧州模拟预测）已知抛物线T：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线l交抛物线T于A，B两点，M为线段AB的中点，过点M作抛物线T的准线的垂线，垂足为N，若|MF|＝|AM|，则的最大值为（ ）
A．1 B．
C． D．
解析：B 设|AF|＝m，|BF|＝n，
因为|MF|＝|AM|＝|MB|，
所以AF⊥BF，
所以|AB|＝.
过点A，B分别作AG，BW垂直准线于点G，W，如图所示．
由抛物线的定义可知|AF|＝|AG|，|BF|＝|BW|，
由梯形的中位线可知
|MN|＝＝＝.
因为m2＋n2≥2mn，
所以2(m2＋n2)≥2mn＋m2＋n2＝(m＋n)2，
当且仅当m＝n时，等号成立，
所以|AB|＝≥＝|MN|，
所以≤，故的最大值为.故选B.
14．（2022·全国乙卷）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）
A． B．
C． D．
解析：C 设该四棱锥底面为四边形ABCD，四边形ABCD所在小圆半径为r，设四边形ABCD对角线的夹角为α，
则S四边形ABCD＝·AC·BD·sin α
≤·AC·BD
≤·2r·2r
＝2r2，
当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立，
即当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆的距离h(0
＝
≤
＝，
当且仅当r2＝2h2，即h＝时等号成立．故选C.
第5讲 不等式的解法
[课标要求] 1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式，了解一元二次不等式的现实意义．2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.3.掌握一元二次不等式的解法，会求解简单的分式不等式．
1．一元二次不等式的定义
只含 1 个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的不等式叫做一元二次不等式．
2．二次函数与一元二次方程、不等式的相应关系
判别式 图象 f(x)＝0 的根 f(x)>0 的解集 f(x)<0 的解集
Δ>0 有两个不相等的实根x1，x2 {x|x>x2 或x
Δ<0 无实根 R
3.分式不等式与一元二次不等式的关系
(1)>0 (x－a)(x－b)>0 ；
(2)<0 (x－a)(x－b)<0 ；
(3)≥0 ；
(4)≤0 ．
1．(教材母题必修2.3练习T1改编)不等式x2－4x＋3<0的解集是( )
A．{x|1
C．{x|x<1或x>3}
D．{x|x>1}
解析：A 由题意知，x2－4x＋3<0 (x－1)·(x－3)<0，所以原不等式的解集为{x|1
A．{x|－2
C．{x|x<－2或x>3}
D．{x|x>3}
解析：A 由<0得(x＋2)(x－3)<0，解得－2
C．5 D．6
解析：A 依题意可得，m，n分别是关于x的一元二次方程x2－3x＋2＝0的两根，根据韦达定理可得m＋n＝3.故选A.
4．不等式(a－2)x2＋4(a－2)x－12<0的解集为R，则实数a的取值范围是( )
A．[－1，2) B．(－1，2]
C．(－2，1) D．[－1，2]
解析：B 关于x的不等式(a－2)x2＋4(a－2)x－12<0的解集为R.
①当a－2＝0时，即当a＝2时，则有－12<0恒成立，符合题意；
②当a－2≠0时，
则有
解得－1
5．不等式≥0的解集是_______________．
解析：{x|x≥2或x<－1} 因为≥0，所以
解得x≥2或x<－1，
所以不等式≥0的解集是{x|x≥2或x<－1}．
探究点1 一元二次不等式、分式不等式的解法
【例1】 (教材母题必修习题2.3T1)解下列不等式：
(1)－3x2＋5x－4≥0；
(2)(x＋1)(x＋2)<(x＋1)(2－x)＋1；
(3)≥2.
解析：(1)不等式－3x2＋5x－4≥0可化为3x2－5x＋4≤0，
由Δ＝(－5)2－4×3×4＝－23<0可知，一元二次方程3x2－5x＋4＝0无实根，
则不等式3x2－5x＋4≤0的解集为 ，
故不等式－3x2＋5x－4≥0的解集为 .
(2)不等式(x＋1)(x＋2)<(x＋1)(2－x)＋1可化为2x2＋2x－1<0，
一元二次方程2x2＋2x－1＝0有两根，
x1＝，x2＝，
则不等式2x2＋2x－1<0的解集为
{x|
所以解得
①将二次项系数化为正；②解相应的方程；③画出相应的函数图象；④写出解集．
(2)解分式不等式时，一般要先通过移项、通分整理成一边是商式，另一边是0的形式，再等价转化为整式不等式(组)的形式进行求解．
解分式不等式常有如下两种等价变形方式：>0 或 f(x)g(x)>0.
利用数形结合也是解不等式的重要方法，特别是解选择、填空题时要注意灵活运用．
变式探究
1．(多选)已知集合M＝{x||x－1|≤2，x∈R}，集合N＝{x|≥1，x∈R}，则( )
A．M＝{x|－1≤x≤3}
B．N＝{x|－1≤x≤4}
C．M∪N＝{x|－1≤x≤4}
D．M∩N＝{x|－1
M∪N＝{x|－1≤x≤4}，C正确；
M∩N＝{x|－1
解析：(1，3] 由≥2得1
探究点2 含参变量不等式的解法
【例2】 (1)已知关于x的不等式>0的解集为{x|－1
解析：(1)(0，1) 不等式>0等价于(ax－1)(x＋b)>0，
所以－1和2为方程(ax－1)(x＋b)＝0的两根，且a<0，
所以解得
所以原不等式为<1 －1<0 <0 <0，
即x(x－1)<0，解得0
(2)ax2－3x＋2>ax－1 ax2－(a＋3)x＋3>0 (ax－3)(x－1)>0.
当a＝0时，不等式化为x－1<0，不等式的解集为{x|x<1}．
当a<0时，不等式化为(x－)(x－1)<0，不等式的解集为{x|
方程ax2－3x＋2＝ax－1的两个根分别为，1.
当a＝3时，两根相等，故不等式的解集为{x|x≠1}；
当a>3时，<1，不等式的解集为{x|x<或x>1}；
当0
综上：当a<0时，不等式的解集为{x|
当0
当a＝3时，不等式的解集为{x|x≠1}；
当a>3时，不等式的解集为{x|x<或x>1}．
含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论．
(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式的符号进行分类讨论．
(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是否是二次不等式，然后讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式．
变式探究
3．已知函数f(x)＝(ax－1)(x＋b)，若不等式f(x)>0的解集为(－1，3)，则不等式f(－2x)<0的解集为_________________________．
解析：(－∞，－)∪(，＋∞)
由f(x)＝(ax－1)(x＋b)>0的解集是(－1，3)，则a<0，故＝－1，－b＝3，即a＝－1，b＝－3.
所以f(x)＝－x2＋2x＋3，所以f(－2x)＝－4x2－4x＋3，
由－4x2－4x＋3<0，得x>或x<－，
故不等式f(－2x)<0的解集是(－∞，－)∪(，＋∞).
4．若不等式ax2＋bx＋2>0的解集是{x|－
A．(－∞，－) B．(－∞，)
C．(－，＋∞) D．(，＋∞)
解析：A 不等式ax2＋bx＋2>0的解集是{x|－
解得
则－12x－2>0的解集为(－∞，－)，故选A.
5．解关于x的不等式>0.
解析：当a＝0时，原不等式可化为－>0，解得x<0.
若a>0，则原不等式可化为>0，
即(x－a)(x－)>0.
当0
当a＝1时，不等式化为(x－1)2>0，解得x∈R且x≠1；
当a>1时，a>，解得x<或x>a.
若a<0，则原不等式可化为(x－a)(x－)<0.
当a<－1时，a<，解得a
当－1
探究点3 不等式的综合应用
【例3】 (1)(2025·江苏徐州质检)若对于任意x∈[m，m＋1]，都有x2＋mx－1<0成立，则实数m的取值范围是( )
A．(－，0) B．(－，0)
C．[－，0] D．[－，0]
(2)(2024·上海黄浦三模)关于x的不等式ax2－|x|＋2a≥0的解集是(－∞，＋∞)，则实数a的取值范围为 ．
(3)(2024·浙江宁波一模)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b，若不等式|f(x)|≤2在x∈[1，5]上恒成立，则满足要求的有序数对(a，b)有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．无数个
解析：(1)B 由题意，对于 x∈[m，m＋1]都有f(x)＝x2＋mx－1<0成立，
所以f(m)＝m2＋m2－1<0，
f(m＋1)＝(m＋1)2＋m(m＋1)－1<0，
解得－
(2)[，＋∞) 因为关于x的不等式ax2－|x|＋2a≥0的解集是(－∞，＋∞)，
所以ax2－|x|＋2a≥0在R上恒成立．
令f(x)＝ax2－|x|＋2a，易知f(x)为偶函数，
所以ax2－|x|＋2a≥0在[0，＋∞)上恒成立，
即f(x)＝ax2－|x|＋2a≥0在[0，＋∞)上恒成立，
所以，当x＝0时，由ax2－x＋2a＝2a≥0，得a≥0，
当x>0时，由ax2－x＋2a≥0，得a≥＝，
又因为x＋≥2，当且仅当x＝时取等号，所以a≥＝.
综上，实数a的取值范围为[，＋∞).
(3)B 若不等式|f(x)|≤2在x∈[1，5]上恒成立，
则必须满足
即
由
两式相加得－4≤8＋2a≤4 －6≤a≤－2，①
再由
两式相加得－4≤16＋2a≤4 －10≤a≤－6，②
结合①②两式可知a＝－6.
代入不等式组得解得b＝7.
经检验，当a＝－6，b＝7时，f(x)＝x2－6x＋7＝(x－3)2－2，
当x∈[1，5]时，有f(x)max＝f(1)＝f(5)＝2，f(x)min＝f(3)＝－2，满足|f(x)|≤2在x∈[1，5]上恒成立．
综上所述，满足要求的有序数对(a，b)为(－6，7)，共1个．故选B.
(1)一元二次不等式恒成立的条件
①ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是a>0，且b2－4ac<0.
②ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是a<0，且b2－4ac<0.
(2)一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题的求解方法
①若f(x)>0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围).
②转化为函数值域问题，即已知函数f(x)的值域为[m，n]，则f(x)≥a恒成立 f(x)min≥a，即m≥a；f(x)≤a恒成立 f(x)max≤a，即n≤a.
变式探究
6．(2024·江苏扬州模拟)若关于x的不等式x2－(m＋4)x＋4m<0的解集中恰有3个整数，则实数m的取值范围为( )
A．(7，8] B．(0，1]
C．(0，1]∪[7，8) D．[0，1)∪(7，8]
解析：D 不等式x2－(m＋4)x＋4m<0化为(x－4)(x－m)<0，显然m≠4，否则不等式解集为空集，不符合题意．
当m<4时，不等式的解集为(m，4)，依题意，在(m，4)中恰有3个整数，即为3，2，1，则0≤m<1，
当m>4时，不等式的解集为(4，m)，显然在(4，m)中恰有3个整数，即为5，6，7，则7
7．若x2＋x＋a＋|x2－x－a|≥2对任意x∈R恒成立，则实数a的取值范围为 .
解析：[2，＋∞) (方法1)因为x2＋x＋a＋|x2－x－a|≥2对x∈R恒成立，
当x2－x－a≥0时，x2＋x＋a＋|x2－x－a|＝2x2≥2，所以x≥1或x≤－1恒成立．
因此所以a≥2；
当x2－x－a<0时，x2＋x＋a＋|x2－x－a|＝2x＋2a≥2，
所以x≥1－a恒成立，
因此所以a≥2.
综上，a≥2.
(方法2)令f(x)＝x2，g(x)＝x＋a，
则x2＋x＋a＋|x2－x－a|＝f(x)＋g(x)＋|f(x)－g(x)|＝2max{f(x)，g(x)}≥2恒成立，
作出f(x)和g(x)的图象(如图)，
由图可知，a≥2，所以实数a的取值范围为[2，＋∞).
1．已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|x2＋3x<0}，则A∩B＝（ ）
A．(0，2) B．(－1，0)
C．(－3，2) D．(－1，3)
解析：B 由题意可得A＝{x|－1
C．(－1，1) D．(－2，1)
解析：C ≤1等价于≤0，即≤0，则解得－1
A．(－∞，－5]∪[5，＋∞)
B．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
C．(－∞，－2]∪[5，＋∞)
D．[－5，5]
解析：A x2－3|x|－10≥0 (|x|＋2)·(|x|－5)≥0 |x|≥5 x≥5或x≤－5，故选A.
4．若0
A．{x|
C．7 D．8
解析：BCD 由≥0得2
6．关于x的不等式x2－(m＋2)x＋2m<0的解集中恰有3个正整数根，则实数m的取值范围为（ ）
A．(5，6] B．（5，6)
C．(2，3] D．（2，3)
解析：A 关于x的不等式x2－(m＋2)x＋2m<0可化为(x－m)(x－2)<0.
因为该不等式的解集中恰有3个正整数，
所以不等式的解集为{x|2
A．(2，3)
B．(－∞，2)∪(3，＋∞)
C．（，）
D．（－∞，）∪（，＋∞）
解析：A 由题意知－，－是方程ax2－bx－1＝0的两根，且a<0，由根与系数的关系得，
得
所以不等式x2－bx－a<0即x2－5x＋6<0，
即(x－2)(x－3)<0，解得2
8．若不等式ax2－x＋a>0对一切实数x都成立，则实数a的取值范围为 .
解析：（，＋∞） 当a＝0时，－x>0不恒成立，故a＝0不合题意；
当a≠0时，即
解得a>.
9．（2024·甘肃张掖模拟预测）若关于x的不等式x2－6x＋2－a>0在区间[0，5]内有解，则实数a的取值范围是（ ）
A．(2，＋∞) B．(－∞，5)
C．(－∞，－3) D．(－∞，2)
解析：D 不等式x2－6x＋2－a>0在区间[0，5]内有解，仅需(x2－6x＋2)max>a即可，
令f(x)＝x2－6x＋2，因为f(x)图象的对称轴为x＝－＝3，f(0)＝2，f(5)＝－3，
所以由一元二次函数的图象和性质，得(x2－6x＋2)max＝2，
所以a<2，故选D.
10．（多选）设[x]表示不小于实数x的最小整数，则满足关于x的不等式[x]2＋[x]－12≤0的解可以为（ ）
A． B．3
C．－4.5 D．－5
解析：BC 由[x]2＋[x]－12≤0可得－4≤[x]≤3，
故[x]可取－4，－3，－2，－1，0，1，2，3.
由于[]＝4，[3]＝3，[－4.5]＝－4，[－5]＝－5.
故BC符合题意．
11．（2025·山东菏泽段考）已知条件q：“不等式(a2－4)x2＋(a＋2)x－1≥0的解集是空集”，则条件p：“－2≤a<1”是条件q的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：A 因为不等式(a2－4)x2＋(a＋2)x－1≥0的解集是空集，
所以不等式(a2－4)x2＋(a＋2)x－1<0的解集是R，
当a2－4＝0，即a＝±2时，
若a＝2，则4x－1<0，解得x<（舍去）；
若a＝－2，则－1<0，x∈R；
当a2－4≠0时，
则
解得－2
所以条件p是条件q的充分不必要条件．故选A.
12．（多选）已知关于x的不等式(x＋2)(x－4)＋a<0(a<0)的解集是(x1，x2)(x1
C．－2
解析：ABD 已知关于x的不等式(x＋2)(x－4)＋a<0(a<0)的解集是(x1，x2)(x1
所以x1＋x2＝2，A正确；
x1x2＝a－8<－8，B正确；
所以x2－x1＝＝2>6，D正确；
因为x2－x1>6，x1＋x2＝2，取x2＝5，x1＝－3满足条件，但－2
A．3＋2 B．6＋2
C．6＋4 D．12＋8
解析：C 由题意得m，n是方程x2－2ax－b2＝0的两个根，
所以m＋n＝2a，mn＝－b2，
(n－m)2＝(n＋m)2－4mn＝4a2＋4b2＝4，即a2＋b2＝1，
所以＋＝（＋）(a2＋b2)＝2＋4＋＋≥6＋2＝6＋4，当且仅当＝，即a2＝－1，b2＝2－时等号成立．故选C.
14．对于问题“已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－1，2)，解关于x的不等式ax2－bx＋c>0”，给出如下一种解法：
解析：由ax2＋bx＋c>0的解集为(－1，2)，
得a(－x)2＋b(－x)＋c>0的解集为(－2，1)，
即关于x的不等式ax2－bx＋c>0的解集为(－2，1).
参考上述解法，若关于x的不等式＋<0的解集为（－1，－）∪（，1），则关于x的不等式＋<0的解集为 .
解析：(－3，－1)∪(1，2)
若关于x的不等式＋<0的解集为（－1，－）∪（，1），
则关于x的不等式＋<0可看成上述不等式中的x用代入可得，
则∈（－1，－）∪（，1），
则x∈(－3，－1)∪(1，2).
微专题(一) 集合情境的新定义
所谓“新定义”型试题，是指题目涉及
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