(共29张PPT)
阶段拔尖专训5 圆与图形变换
类型1 圆与平移变换
1.如图，内含于，的弦切
于点，且 ．若阴影部分的面积为
，则弦 的长为( )
C
A.3 B.4 C.6 D.9
2. 如图①，有一块直角三角板，其中
， ， ，，在 轴上，点
的坐标为，的半径为，圆心 的坐标为
，以每秒1个单位长度的速度沿 轴向右做平移
运动，运动时间为 ；
（1）求点 的坐标；
解：点的坐标为 .
（2）当点在的内部且与直线相切时，求 的值；
解：如图，设与直线相切于点 ，作
于，连接， .
，， ，
，
，
点的运动路径的长为 ，
，
即当点在的内部且与直线
相切时， 的值为18.
（3）如图②，点，分别是，的中点，连接 ，
，在运动过程中，是否存在某一时刻，使
若存在，直接写出 的值，若不存在，请说明理由．
解：存在， .
类型2 圆与翻折变换
3.[2024·济南莱芜区期中] 如图，点 是圆形纸片的圆心，将
这个圆形纸片按下列顺序折叠，使弧和弧都经过圆心 ，
已知 的半径为5，则阴影部分的面积是_ ___．
4.图①和图②中，优弧 所在
的半径为2，，点
为优弧上一点（点不与，
重合），将图形沿 折叠，得到
点的对应点 ．
发现：（1）点到弦 的距离
1
是___，当经过点时， ____；
（2）当与 相切时，如图②，求折痕的长.
解：过点作，垂足为 ，连
接 ，如图②所示.
与 相切，
.
， .
由折叠可得 .
. .
. ，
.
.即折痕的长为 .
拓展： 如图③，点（不与点， 重
合）为半圆上一点，将半圆沿 折叠，
分别得到点，的对应点， ，设
．
（1）当 时，过点作，如图③，判断
与半圆 的位置关系，并说明理由；
解：相切.理由如下：如图③,分别过， 作
于点，于点 .
， 易得四边形 是矩
形.
.
由折叠的性质得 ,
,
.
.
为半圆的半径.与半圆 相
切.
（2）当____时，与半圆相切，当____时，点
落在 上．
（3）当线段与半圆只有一个公共点时，直接写出
的取值范围.
解： 或 .
类型3 圆与旋转变化
5.[2024·镇江月考] 如图①、图②，在圆中， ，
，将弦与弧 所围成的弓形（包括边界的阴影
部分）绕点顺时针旋转，点 的对应点是
.
（1）点到线段的距离是__；_____ ；点 落在
阴影部分（包括边界）时， 的取值范围是______________；
120
（2）如图③，线段与优弧的交点是 ，当
时，说明点在 的延长线上；
解：如图③，连接， ，
为直径， 点在 的延长线上.
（3）当直线与圆相切时，求 的值并求此时点 运动
路径的长度．
解：当与圆相切时， 或 .当 时，
运动路径的长度 ;当 时， 运动
路径的长度 .
6. 如图，在中， 为
的直径，是弦， ，
.
（1）求 的度数；
解： .
（2）如图，一动点从点出发，在 上按逆时针方向运
动一周，当时，求动点 所经过的弧长．
解：如图，分四种情况讨论：①作点 关于直
径所在直线的对称点，连接 ，
.易得 ，
，
， 当点运动到
时，，此时点 经过的
弧长为过点作 ，交
于点，连接， ，易得
，
，
， 当点 运动到
时，，此时点 经过
的弧长为过点作,交
于点，连接， ，易得
， ，
， 当点
运动到时， ，此时
点经过的弧长为当点运动到
时，与重合， ，此
时点经过的弧长为 .
综上所述,当时，动点
所经过的弧长为 或 或 或 .(共26张PPT)
阶段拔尖专训2 分类讨论思想在圆
中的应用类型
类型1 点与圆的位置关系不唯一
1.是半径为的上一点， 为平面内一点，且
，求 的最值.
解：如图所示. ，
点在以为圆心，半径为 的圆上.
当，， 三点在同一条直线上时，线
段 有最值.
当点在内（点处）时， 有最小值，最小值为
;
当点在外（点处）时， 有最大值，最大值为
.
2.若所在平面内一点到 上的点的最大距离为7，最
小距离为3，求此圆的半径.
解：此圆的半径为5或2.
类型2 点在圆上的位置不唯一
3.与是的两条半径，且 ,为 上
一点，求 的度数.
解：如图所示，当点在的优弧 上的
点时， ；
当点在的劣弧上的点 时，
，
的度数是 或 .
4.弦把分成的两部分，是上不同于， 的一
点，求 的度数.
解：如图所示，连接， .
弦把分成 的两部分，
.
当点在的优弧上的点 时，
.
当点在的劣弧上的点 时，
.
的度数是 或 .
5.已知，两点的坐标分别为，， 是
外接圆上的一点，且 ，求点 的坐标.
解：如图所示. ，
，， .
， 易知点
的横、纵坐标相等.设
， 是直径.
外接圆的圆心为 的中点.
设的中点为，则.连接 ，
易知.过点作 于
点，过点作，交 于点
. 易知 ，
. 在 中，
或（不合题意，舍去） 点 的
坐标为.设点 关于圆心
对称的点为 ，则
点 的坐标为
或 .
类型3 点在直径上的位置不唯一
6.已知的直径，弦于点 ，若
，求弦 的长度.
解：当点在半径 上时，如图①，连接
.
,
,
, ;
当点在半径上时，如图②,连接 .
,
,
, .综上所述,弦
的长度为或 .
类型4 弦与弦的位置关系不唯一
7.已知的半径，弦，，求
的度数.
解：的度数为 或 .
8.已知是的内接正十边形的一边，是 的内接正十
五边形的一边，求以 为边的内接正多边形的中心角的度数．
解：连接，，是 的内接正十边形的一
边，是 的内接正十五边形的一边，
， .当点在 外
时， ；当点在 上时，
. 以 为边的内接正多边形的中
心角的度数为 或 .
9.在中，直径，弦,且 于点
，于点，，,求 的长.
解：连接，，， .
，，， ,
， .
, ,
，， ，
. 当弦，在圆心 的同一侧时，
；当弦， 不在圆心
的同一侧时， .综上，
的长为或 .
类型5 弦所对的圆周角不唯一
10.圆的一条弦长等于它的半径，求这条弦所对的圆周角的度数．
解：如图，连接， .
， 为正三角形.
.当点在优弧 上时，
；当点在劣弧 上时，
一 . 弦所对的圆周角的度数为
或 .
类型6 直线与圆的位置关系不唯一
11.[2024·菏泽一模] 如图，在 中，
，，，以点 为圆
心作，半径为，已知直线和 有
交点，则 的取值范围为( )
D
A. B. C. D.
12.已知的直径为，如果直线上的一点到圆心 的
距离为，则直线与 的位置关系是____________．
相交或相切
类型7 切点的位置不唯一
13.如图，直线， 相交于
点， ，半径为
的的圆心在直线 上，
且位于点左侧 处．若
3或7
以的速度由向的方向移动，则______后，
与直线 相切．
类型8 圆心的位置不唯一
14.已知在的内接中，，圆心到 的距
离为，的半径为，求 的长.
解：分两种情况:（1）当圆心
在 的内部时，如图①,
连接并延长交于点 ,连
接 .由题知
.易得,则 ,
，
.
.
（2）当圆心在的外部时，如图②,连接,交 于点
,连接,易得 .
,.综上所述, 的长为
或 .(共23张PPT)
阶段拔尖专训1 圆中常见的五种关系
关系1 弧、弦之间的关系
1.如图，在中，，与 相交于
点 ，求证：
（1） ；
证明： 在中， ，
，
，即 .
（2） ．
证明：如图，连接， ，
由（1）知, .
在和中，
.
.
关系2 圆周角、圆心角之间的关系
（第2题）
2.如图，的直径 弦 ，垂足为
点，连接并延长交于点 ，连接
，若 ，则 的度数为
( )
C
A. B. C. D.
（第3题）
3.[2024·成都金牛区月考] 如图， 是
的直径，弦垂直平分，点 在
上，连接，，若平分 ，
则 ( )
C
A. B. C. D.
4.如图，，，都是 的弦，且
，求证： .
证明：在中，，分别是
所对的圆周角和圆心角，
.
同理 .
又 ，
.
关系3 弧、圆周角之间的关系
5.[2024·宁波一模] 如图，已知，为上一点，以
为圆心，长为半径的圆经过点，且与， 分别交于
点，，设 ， ，则下列选项正确的是
( )
A.若 ，则的度数为
B.若 ，则的度数为
C.若 ，则的度数为
D.若 ，则的度数为
√
6.如图，是的直径，点，在上， ，
求 的度数．
解：如图，连接 .
是 的直径，
.
，
.
又，是 所对的圆周角，
.
关系4 弦、圆心角之间的关系
7.[2024·无锡期中] 如图，是 的直
径，四边形内接于 ，若
，则 的直径
为( )
D
A. B. C. D.
8.如图，以等边三角形的边为直径作交于点 ，
交于点，连接.试判断，， 之间的大小关系，
并说明理由．
解：.理由如下：如图，连接， .
是等边三角形，
.
又 ，
与 都是等边三角形.
.
.
.
.
关系5 弦、弧、圆心角之间的关系
9.如图，内接于，，是 的
弦，， ．下列结论：
； ；
；
． 其中所有正确结论的序号是
( )
A.①②③④ B.②③
C.②④ D.②③④
√
10.如图，在中， ，且，是 的三等分
点，连接分别交，于点， .求证：
.
证明：如图，连接， .
，是 的三等分点，
.
，
.
又 ，
.
， ，
.
.
， ，
.
.同理可得 .
.(共45张PPT)
阶段拔尖专训8 圆与其他知识的综
合应用
题型1 圆与全等三角形的综合
1.如图，在中，，分别是半径，
的中点，点在圆上， ．求证：
．
证明：，分别是半径， 的中点，
.
又, ,
.
.
2.如图，四边形是的内接四边形，点 是
延长线上的一点，且平分， 于
点 ．
（1）求证： ；
【证明】平分 ，
.
，，
.
，
.
（2）若，，求 的长．
解： 的长为7.
题型2 圆与相似三角形的综合
3.如图，在中，是 边上的一点，
且，，以 为直
径作交于点，交于点 ．
（1）求证： ；
【证明】 ，
是等腰三角形.
为 的直径，
，即 .
.
（2）求证：是 的切线．
证明： ，
.
， .
. 是 的切线.
（3）若，，求 的长．
解： 的长为0.8.
4.如图，以为直径的半圆中，点为圆心，点 在半圆上，
过点作，且．连接，分别交， 于
点，，与半圆交于点，若 ．
（1）求证：是半圆 的切线；
证明： ，
.
, .
是半圆的半径，是半圆 的切线.
（2）求 的值．
解：如图，过点作交于 .设
半径为,，，
易得 ,
.由勾股定理得
,
， 易得
.
， 易得 ,
， .
..补全，延长 ，
与交于，连接，, 为
的直径， .
. ，
.
，
.又
. ，即
，
解得
.
题型3 圆与勾股定理的综合
5.如图，是的直径，，于点 ，连接
，，交于点 ．
（1）求证： ．
证明：是 的直径，
.
，
. .又
，
. .
（2）若，，求弦 的长．
解：如图，连接，交于点 .
，， ，
， ，
的半
径为10.设,则 ,由勾股定理，得
，即
，解得
.
6.如图， 经过坐标原点，且与两坐标轴
分别交于点与点，点的坐标为 ，
是圆上一点， ．
（1）求证：为 的直径；
证明：经过坐标原点， ,
是 的直径.
（2）求的半径及圆心 的坐标．
解： 四边形 是圆内接四边形，
， .
. 点 的坐标
为， 的半径
点在第二象限， 点的横坐标小于0.设点
的坐标为.连接，由半径 ，即
，解得， 或
（舍去） 圆心的坐标为 .
题型4 圆与三角函数的综合
7.如图，正三角形外切于，正方形 内接于
．若正三角形的边长为6，求正方形 的面积．
解：设与相切于点，连接， ，
， ，如图所示.
则 ， .
.
.
.
四边形 是正方形，
.
是等腰直角三角形.
.
正方形 的面积为6.
8.已知：如图，四边形是的内接四边形，直径
交边于点，，的延长线相交于点，连接 ，若
．
（1）求证： ；
证明：如图，连接 .
与 是同弦所对的圆周角，
.
，
.
为的直径， 为圆周上一点，
..
.
， .
（2）若，，求 的半径．
解： 的半径为5.
题型5 圆与二次函数的综合
9.[2024·淄博张店区一模] 如图，在
平面直角坐标系中，已知 ，
，且以为直径的圆交 轴的
正半轴于点 ．
（1）求点的坐标和过，， 三点的抛物线的表达式；
解：设以 为直径的圆的圆心为
，连接 .
， ，
,, ，
， .
在 中，
，
点的坐标为 .
由题意，可设过，， 三点的抛
物线的表达式为
，
把点 的坐标代入，得
，解得 ，
过，， 三点的抛物线的表达
式为 ，即
.
（2）设平行于轴的直线交抛物线于， 两点，问：是否存
在以线段为直径的圆，恰好与 轴相切？若存在，求出该
圆的半径；若不存在，请说明理由．
解：存在.由题意知抛物线的对称轴
为直线 ，
设满足条件的圆的半径为 ，
点在点的左侧，则点 的坐
标为或.
点在抛物线 上，
，整理得
，解得
（舍去），
，
或 ，
整理得 ，
解得 （舍去），
，
存在以线段 为直径的圆，
恰好与 轴相切，该圆的半径
为或 .
题型6 圆与四边形的综合
10.如图，四边形是 的内接四
边形， ，连接 ，作
于点，于点， ，
相交于点 ．
（1）求证： ；
证明： ，
是 的直径.
.
， ，
.
， .
， .
四边形 是平行四边形.
.
（2）连接，，若， ，
，求 的度数．
解：由（1）得，四边形 是平行四
边形.
， .
.
， ,
.
是等腰直角三角形.
. .
.
，
.(共20张PPT)
阶段拔尖专训3 常考的隐圆模型
模型1 定点定长模型（圆的定义）
1.[2024·盐城期中] 如图，在矩形 中，
已知，，点是 边上一动
点（点不与，重合），连接 ，作点
关于所在直线的对称点，则线段
的最小值为( )
A
A.2 B. C.3 D.
2.如图，已知 ，
， ，
求 的度数．
解： ，
，，三点在以为圆心， 长为半径的圆上.
， .
， ，
.
模型2 定边对直角模型（直角对直径）
3.[2024·黄山模拟] 如图，在
中，，，，点
是内部的一个动点，连接 ，且
满足 ．
（1） ____；
（2）当线段最短时， 的面积为_ __．
4.[2024·连云港月考] 如图，在正方形
中，，动点从点出发向点 运动，
同时动点从点出发向点运动，点， 的
运动速度相同，当它们到达各自终点时停止运
动，运动过程中线段，相交于点，求线段 的最小值．
解： 动点， 的运动速度相同，
.
四边形 是正方形，
，
.
在和中，
.
，
.
.
.
点在运动中始终保持 .
点的路径是一段以 为直径的弧，如图.
设的中点为，则 .
连接,交弧于点，此时 的长度最小，
在中， .
， ,
即线段的最小值为 .
模型3 定边对定角模型（定弦定角模型）
5.[2024·厦门月考] 如图，在中，，点 为动点，
在点运动的过程中始终有 ，则 面积的最
大值为_______．
6.，两点的坐标分别为，，点在 轴上，且
，求点 的坐标．
解：如图，在 轴的上方作等腰直角
，， ，以
为圆心，的长为半径作 ，则
过点，连接.过点作
轴于点. 是等腰直角三角
形，，， 易得
，， .设
，则.在
中， ，解得
或 （不合题意，舍去）
.根据对称性可知 也
符合条件，综上所述，点 的坐标为
或 .
7.如图，在等边三角形中，，，分别是 和
上的动点，且，连接，交于点，求 的
最小值．
解：是等边三角形， ，
.
又 ，
.
又 ，
.
.
点的运动轨迹是在以为圆心，
长为半径的弧上运动，如图，连接
，，，交于点 ，当点
与点重合时， 的值最小，最小值
为 的长.
易得 ,
, ,
. ，
，
.
.
的最小值为 .
模型4 四点共圆模型（对角互补模型与等弦对等角）
8.如图，在矩形中，，，点 在对角线
上，连接，作，垂足为，直线交线段
于点，则 __.
9.[2024·西安长安区月考] 如图，在四边形
中， ，
，，是 的中点，
连接，求线段 的最小值．
解： ，
，，， 四点共圆.
连接，取的中点为，则圆心为点 ，
连接，，取的中点为，连接， ，如图.
， .
又， 为等边三角形.
.
.
为 的中点,
， .
易得 .
易知是 的中位线，
.
，
当，，三点共线时，取得最小值，最小值为.(共24张PPT)
阶段拔尖专训7 圆中最值问题的解
法技巧
技巧1 用对称性解圆中的最值问题
1.如图，是半圆的直径，半圆的半径为4，点， 在半
圆上，，，点是 上的一个动点，则
的最小值为_____．
2.[2024·聊城模拟] 如图，是的直径，， 分别是直
径和弦上的两个动点，已知 ， ，
求线段 的最小值．
解：如图，连接,延长到 ,使
,连接,, ,
是 的直径，
,
垂直平分 ,
, ,
.
,
当最小时， 最小.易知当
时， 最小，此时
，
的最小值是2.
技巧2 构造圆解圆中的最值问题
3.如图，是的弦，点在 内，
， ，连接 ，若
的半径是4，则 的最小值为_________．
4.如图所示，为平面内一点，且，若点 的坐标为
，点的坐标为，求 的最大值与最小值.
解：如图所示. ，
点在以 为圆心，5为半径的圆
上.
连接，交于点， 的延
长线交于点，易知的长为的最小值， 的长为
的最大值.
点的坐标为，点的坐标为 ，
, .
,
.
，
.
的最大值为18，最小值为8.
5. 【知识探索】
（1）“化隐圆为显圆”.
①已知：如图①，
，若
，求 的度数．
解：若以点为圆心，为半径作辅助圆，则是 所
对的圆心角，是 所对的圆周角，从而可容易得到
____ ．
25
②如图②，点为正方形内一点，且 ，若
，求 的最小值．
解：， ，
点在以 为直径的圆上.
设圆心为点，则当，，三点共线时 最小，最小值为
_________．
【问题解决】
（2）①如图③，在平行四边形中，已知 ，
， ，点是边上一动点（点不与 ，
重合），连接，作点关于直线的对称点 ，则线段
的最小值为_________．
②如图④，在中， ，， ，
为上一动点，以为直径的交于，求线段
的最小值．
解：如图①，连接 .
是 的直径，
.
.
点在以 为直径的圆上.
以为直径作，交于,连接，当，， 三点共
线时， 最小.
， ，
当，， 三点共线时，
.
,
线段的最小值为 .
【问题拓展】
（3）如图⑤，在平面直角坐标系
中，已知两点，，
轴上有一动点，当 最大时，
求点 的坐标．
解：如图②,易知当过，两点的与 轴相切
且切点为点时， 最大.
设直线的表达式为 ,
把，代入，得
解得
直线的表达式为 .
易知圆心在 的垂直平分线上，
线段的垂直平分线的表达式为 .
设.连接，，则
轴.
，
，
解得或 （舍去）.
点的坐标为 .
技巧3 过圆心作垂线解圆中的最值问题
6.[2024·舟山模拟] 如图所示，的半径是3，直线与
相交于，两点，点，是上的两个动点，且在直线
的异侧，若 ，求四边形 面积的最大值.
解：如图，过点作直线于 ,交
于,两点，连接,,,, ,
,
,
,
.
，
为等腰直角三角形,
.
,
当点到的距离最大时，的面积最大，当点到
的距离最大时， 的面积最大,
当点与点重合，点与点重合时，四边形 的面
积最大，最大值为
.(共52张PPT)
阶段拔尖专训6 圆中的基本图形研究
图形1 垂径图
1.[2024·临沂模拟] 春秋时代的名著《墨子非儒下》载：“孔
子穷于陈蔡，藜羹不糁”．“糁”在文字上讲是用肉做成的汤羹，
是临沂地区的风味小吃．因其香辣可口、肥而不腻、祛风除
寒、开食健胃实为众人所喜爱，早晨喝糁是临沂传统食
俗．糁汤做好后会盛入大碗中，如图②是从正面看到的一个
盛糁汤的大碗（图①）的形状示意图．是 的一部分，
是的中点，连接，与弦交于点，连接，．
已知，碗深，则的半径 为
( )
A. B. C. D.
B
2.[2024·连云港赣榆区月考] 如图，为的直径， 为
弦，于点，连接并延长交于点，连接
交于点，连接，且 ．
（1）求证： ；
证明： ,
.
,
,
.
（2）若，求的度数和 的长．
解：如图，连接,, ,
, ,
, .
又 ,
. , 是等
边三角形, ,
, 易得
.在 中，
,又 ,
,, 易
得, .
图形2 角分图
3.如图，在中，弦为，弦为 ，
，， 弦于点 ．
（1）求 的半径；
解：连接， ,
是 的直径.
在 中，
.
的半径是 .
（2）求 的长．
解：连接,,,过点作交 的延
长线于点，由（1）知的半径是 ，
., ，
,.
, .
, .
又是的直径， .
. .
又 ， .
, ,
.
.
,
.
在 中，
.
图形3 等腰图
4.如图，已知的三个顶点都在
上，，是上一点，
于 ．
（1）若，求 的度数；
解：的度数为 .
（2）求证： ．
证明：在线段上截取 ,连接
， .
,, ,
, .
, ,
.
5.[2024·东营模拟] 如图，在中，，以 为直
径作与交于点，过点作的切线交 的延长线
于点 ．
（1）求证： ；
证明：与 相切于点
, ,
. 是
的直径， ,
, .
,, .
（2）若， ，求
的半径．
解： ,
, ,
,, ,
.又, , ,
, 的半径是2.25.
6.如图,是的内接三角形，,是 的中点,
连接, .
（1）如图①,若 ,求证:是 的直径;
证明： ，
.
,
是等边三角形，
.又是 的中点，
, , 是
的直径.
（2）如图②,若,,求 的长.
解：连接，,,交
于点,连接并延长交 于
点 ,
垂直平分 ,
, ,又, 在
中，.设 ,
则， 在
中，
,
是的中点，
易证 ,
,
，
,
.
图形4 切割图
7. 如图，为 的直
径，为上一点，和过 点的直线互相
垂直，垂足为，且平分 ．
（1）求证：为 的切线；
证明：连接 ,
,
.
平分 ,
.
, .
, .
又为的半径，为 的切
线.
（2）若的半径为3，，求 的长．
解：的长为 .
8.[2024·菏泽模拟] 如图，为的直径，为 上一点，
连接，，过点作的切线交的延长线于点 ，
于点，交于点 ．
（1）求证： ；
证明：连接,如图.为 的直
径， .
, ,
.是 的切线，
,
, ,
,
, .
（2）若，，求 的长．
解：, ,
,
,
, .
设,则 ,
由（1）得 ,
又, ,
,即 ,
整理,得,解得 ,
的长为 .
图形5 双切图
9. 如图，
是的内接三角形，过 外一
点作的两条切线和 ，点
，为切点．点在上，点 在
75
上，点在上，且， ．若
，则 ____度．
10.如图，在中， ，
以上的点为圆心， 长为半径的
圆与交于点，与切于点 ．
（1）求证： ；
证明： ,是的半径，
为的切线.又切于点, .
（2）求证： ；
证明：是 的直径,
.
.又
,
.由（1）得
,
.
（3）设，，求 直径的长．
解： 直径的长为3.
图形6 三角形内切圆
11.[2024·济宁任城区月考] 如图，的内切圆 与
，，分别相切于点，，，且 ，
，，求阴影部分（即四边形 ）的面积.
解：, ,
,
,
为直角三角形，且
，
与,分别相切于点， ,
,, ,
四边形 是正方形.
.
设,则 ,
的内切圆与 ,
,分别相切于点,, ,
，
,
,
,
阴影部分（即四边形 ）
的面积为 .
图形7 梯形圆
12.[2024·武汉新洲区期末] 如图，，，分别与
相切于点，，，且，连接， ．
（1）求证： ；
证明：连接，，,如图.,,
分别与相切于点,,, 由切线长定理
可得,.在和
中,,, ,
.同理可
得, .
, ,
， , .
（2）若，，求 的值．
解：由（1）可知 ,
是的切线， ,
,
, ,
，
, ,
,
.
图形8 内心图
13. 如图，点 为等边三
角形的内心，连接并延长交
的外接圆于点 ，已知外接圆的半径为2，
则线段 的长为( )
A
A.2 B.3 C.4 D.
14.[2024·烟台] 如图，是 的直径，
内接于，点为 的内心，连
接并延长交于点，是 上任意一
点，连接，，， ．
（1）若 ，求 的度数；
解：是的直径， .又
， . 四边形
是的内接四边形， ，
.
（2）找出图中所有与 相等的线段，并证明；
解：.证明:连接，如图. 点
为的内心， ，
.
. ,
, ,
, .
（3）若，，求 的周长．
解：过点分别作,, ,垂足
分别为,,,如图. 点为 的内心，即
为的内切圆的圆心.，， 分别为
该内切圆与三边的切点， ,
,, , ,
, ,
, ,
的周长为 .(共36张PPT)
阶段拔尖专训4 圆中辅助线的添加
方法
方法1 连接半径构等腰、全等
1.[2024·石家庄模拟] 如图， 的
直径的延长线与弦 的延长线交
于点，若， ，
则 等于( )
A
A. B. C. D.
2.如图，等边三角形的三个顶点都在上，点， 分
别在边，上，且，求证： .
证明：连接，， ，则
.
为等边三角形，
， ，
易得 ，
.
，
.
又 ，
， .
方法2 作垂线段构弦心距
3.如图，已知的半径为，弦
的长为，是 的延长线上一点，
，则 等于( )
D
A. B.
C. D.
4.如图，是的弦，， ，点是弦
上一动点（不与点，重合），连接并延长交于点 ，
连接 .
（1）求弦 的长.
解：如图，过点作于点 ,则
.
在中，， ，
.
.
（2）当 时，求 的度数.
解：如图，连接 .
， ， ，
， .
.
.
（3）当的长度为多少时，以，， 为顶点的三角形与
以，， 为顶点的三角形相似？
解：， ，
要使以，， 为顶点的三角
形与以，， 为顶点的三角形相似，只能
. .
.
，
即，. 当时，以， ，
为顶点的三角形与以，， 为顶点的三角形相似.
方法3 连弧的中点与圆心构垂径
5.如图，是半径为8的的弦，点 是优
弧的中点， ，求弦 的长.
如图所示，连接，，并延长，交
于点 .
由题知 .
解：如图所示，连接，，并延长 ，
交于点.由题知 点 是优弧
的中点，, 易得
.又 ，
. .
.
.
方法4 连弧的中点与端点构等腰
6.如图，是的直径，是弦,是 的中点，
于点，，，求 的长.
解：连接,,，过点作 于
点是
的中点， ,
, ,
.又 ，
, ,, 易得
， ,
， .
方法5 构同弧或等弧所对的圆周角或圆心角
7.[2024·泰安模拟] 如图，已知点，，
在上，为 的中点，若
，则 等于( )
A
A. B. C. D.
8.如图，四边形内接于，，交 的延长线
于点．若平分，，，求 的长度．
解：连接，如图，平分 ,
四边形 内接于
, .又
,
,
, ,
, ,, 在
中， .
方法6 构 圆周角所对的直径
9. 小方的老家有
一个古色古香的圆形门，如图所
示，她测得下面矩形 的边
为，的长为，
的延长线与圆形门交于点，她测得的长约为 ，则图
中整个门的面积约为_ ____________（结果保留根号和 ）.
10.如图，为的直径,交弦于点，是 上一点，
弦,且 弦,连接交于点,点在 的延
长线上,.若,,求 的长.
解：连接 ,
,为 的直
径，经过点 ,
,
,
， ,
, .
.
.
, ,
,, ,
, ,
.设
,则.在
和 中，由勾股定理，得
，
即 ，解
得, , .
方法7 构直径所对圆周角
11.[2024·南通海安市月考] 如图，中， ，
以为直径的交于点，交于点，过点 作
于点，交的延长线于点 .
（1）若，求 的面积；
解：连接，，如图.是 的直
径，， ,
， ,
.又 ，
， ，
，即， ，
， 的面积
.
（2）若，，求 的长．
解：是的直径， ，
，， .由（1）知
，，是 的中位
线，，设 ，则
，，, ，
，， 或
（舍去），，， 易得
，，即， .
方法8 连圆心与切点构直角
12.[2024·青岛模拟] 如图，为的直径，为 上一
点，过点作的切线交的延长线于点，连接 ，若
，求 的长度.
解：如图，连接为 的切
线，为 的直
径，,
, .
.由圆周角定理,得 ,
, .
13.[2024·聊城模拟] 如图，内接于，为 的
直径，延长到点，连接．过点作，交 于
点，交于点，过点作的切线，交 的延长
线于点，且 .
（1）求证： ；
证明：如图，连接,为 的
直径， .
. 与 相切，
. ,
,
. ,
, , ,
.
（2）若，，求 的长．
解：在中，, ,
,
., ,
,
.设, 则 ,
,解
得, ,
. 在
中，,, 由勾股定
理,得. ,
, 四边形 为平行四边形,
.
