2025-2026北师大版九上期末模拟数学试卷3（含解析）

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2025-2026北师大版九上期末模拟数学试卷3
范围：九上-九下第一章
姓名：__________班级：__________考号：__________总分__________
题号 一 二 三 总分
得分
一．选择题（共8小题，满分32分，每小题4分）
1．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，AB＝3，那么∠B的正弦值是（　　）
A． B． C． D．
2．（4分）下列说法中，不正确的是（　　）
A．菱形的对角线互相垂直
B．有一组邻边相等的平行四边形是菱形
C．矩形的对角线相等
D．有一个角是直角的平行四边形是正方形
3．（4分）若x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b＝0的解，则3a+6b＝（　　）
A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣6
4．（4分）如图，在矩形ABCD中，∠BAD＝90°，以点D为圆心，以CD长为半径作弧，交AC于点E，连接BE．若AB＝6，BC＝8，则BE的长为（　　）
A． B． C． D．
5．（4分）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝70°，则∠ABD的度数是（　　）
A．110° B．70° C．45° D．35°
6．（4分）如图，BD是正方形ABCD的对角线，在BD上取一点F，使得BC＝BF，连接CF，过点F作EF⊥CF，EF交AB于点E，延长EF交CD于点G．若AB＝2，则DG的长为（　　）
A． B． C． D．
7．（4分）如图，菱形ABCD的周长为12，AE＝1，AF＝2，P为对角线BD上的一个动点，则PE+PF的最小值是（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
8．（4分）已知在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx和反比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
二．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）
9．（4分）关于x的方程（m﹣1）x2﹣2x+1＝0有实数根，则m的取值范围是 　 　 ．
10．（4分）若反比例函数的图象经过点（2，3），则k的值是 　 　 ．
11．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，AE：EB＝1：3，若S△AEF＝1，则△ADF的面积为 　 　 ．
12．（4分）如图，小明用灯泡O照射一个矩形硬纸片ABCD，在墙上形成矩形影子A′B′C′D′，现测得OA＝2，OA'＝5，纸片ABCD的面积为8，则影子A′B′C′D′的面积为　 　 ．
13．（4分）矩形ABCD中，AB＝4，BC＝10，点P是BC上一点，满足∠APD＝90°，则tan∠BAP＝ 　 　 ．
三．解答题（共5小题）
14．用因式分解法解下列方程：
（1）x2﹣10x﹣11＝0；
（2）（2x﹣1）2＝x（3x+2）﹣7．
15．已知关于x的方程x2+（2m﹣2）x+m（m﹣1）＝0
（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
（2）设方程的两根分别为x1，x2（x1≠x2），若，求m的值．
16．已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+c，它的图象过点A（2，﹣5），并且与x轴负半轴交于点B．
（1）求二次函数的解析式和点B坐标；
（2）当﹣2＜x＜2时，结合函数图象，直接写出函数值y的取值范围；
（3）若直线y＝kx+b经过A，B两点，直接写出关于x的不等式kx+b＞﹣x2﹣2x+c 的解集．
17．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AD∥BC，AE∥BD，DE∥AC，已知AO＝3，CO＝5，DO＝6．
（1）求BD的长．
（2）设△ADE的面积为S1，△ABD的面积为S2，求的值．
18．如图，直线y＝mx+n与双曲线相交于A（﹣1，3）、B（3，b）两点，与y轴相交于点C．
（1）求直线AB的解析式；
（2）直接写出不等式的解集；
（3）点D在y轴上，且，在x轴上是否存在一点G，使得GD+GB的值最小？若存在，求点G的坐标，若不存在请说明理由．
四．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）
19．（4分）已知方程x2+5x+1＝0的两个实数根分别为x1、x2，则　 　 ．
20．（4分）已知矩形ABCD（AD＞AB），点E是边AD的中点，将△ABE沿BE翻折，点A的对应点F恰好落在对角线AC上，那么tan∠FBC＝ 　 　 ．
21．（4分）已知：如图，点D在边AB上，若∠1＝∠　 　 时，则△ADC∽△ACB．
22．（4分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与边长是7的正方形OABC的两边AB，BC分别相交于D，E两点，△ODE的面积为24，点P是x轴上的动点，则PD+PE的最小值是 　 　 ．
23．（4分）一次函数y＝x+m的图象与x轴交于点B，与反比例函数的图象交于点A（1，k），且△AOB的面积为1，则k的值为 　 　 ．
五．解答题（共3小题）
24．十一黄金周期间，某商场销售一种成本为每件60元的服装，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数y＝﹣x+120．
（1）销售单价定为多少元时，该商场获得的利润恰为500元？
（2）设该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少？
25．综合与实践
问题提出
某兴趣小组开展综合实践活动：已知抛物线y＝x2﹣x，点M、N是抛物线上不重合的两点，点M的横坐标为m，点N的横坐标为（m为常数），抛物线上点M、N之间的部分（包括点M、N）为图象G，设图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为d．
初步感知
（1）连接MN，当MN与x轴平行时，则点M坐标为 　 　 ；
（2）当yM＞yN＞0时，求d与m之间的函数关系式，并写出相应m的取值范围；
延伸探究
（3）以原点为中心，边长为2构造正方形ABCD，正方形ABCD的边与坐标轴垂直或平行，当点N在正方形ABCD的内部且图象G在正方形ABCD的内部（包括边界）的部分的最高点与最低点的纵坐标之差等于，请直接写出m的值．
26．如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，∠DAB的角平分线交边BC于点E，点P在射线AE上以每秒个单位长度的速度沿射线AE方向从点A开始运动，过点P作PQ⊥AD于点Q，以PQ为边向右作平行四边形PQMN，点N在射线AE上，且AP＝PN，设P点运动时间为x秒．
（1）PQ＝　 　 （用含x的代数式表示）；
（2）当点M落在CD上时，求x的值；
（3）设平行四边形PQMN与矩形ABCD重合部分面积为y，当点P在线段AE上运动时，求y与x的函数关系式．
参考答案
一．选择题（共8小题，满分32分，每小题4分）
1．【考点】锐角三角函数的定义
【分析】利用三角形的三边关系可得结论．
解：在Rt△ABC中，∵sinB，
故选：A．
【点评】本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
2．【考点】正方形的判定；平行四边形的性质；菱形的判定与性质；矩形的性质
【分析】根据菱形、矩形和正方形的判定与性质逐一判断各选项的正误即可求解．
解：A、∵菱形的对角线互相垂直，
∴此项正确，不符合题意；
B、∵有一组邻边相等的平行四边形是菱形，
∴此项正确，不符合题意；
C、∵矩形的对角线相等，
∴此项正确，不符合题意；
D、∵有一个角是直角的平行四边形是矩形，但不一定是正方形（正方形需所有边相等且所有角为直角），
∴此项不正确，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查正方形的判定，平行四边形的性质，菱形的判定与性质，矩形的性质，理解相关知识是解答关键．
3．【考点】一元二次方程的解
【分析】把x＝1代入一元二次方程得到a+2b＝﹣1，再把3a+6b变形为3（a+2b），然后利用整体代入的方法计算．
解：把x＝1代入方程x2+ax+2b＝0得1+a+2b＝0，
所以a+2b＝﹣1，
所以3a+6b＝3（a+2b）＝3×（﹣1）＝﹣3．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
4．【考点】矩形的性质
【分析】连接DE，过点B作BF⊥AG于点F，过点D作DH⊥AC于点H，先由勾股定理求出AC＝10，证明△BCF和△DAH全等得BF＝DH，CF＝AH，进而得CH＝AF，由作图可知CD＝ED，根据DH⊥AC得CH＝EH＝AF，继而得AE＝FH，设AE＝a，EF＝x，则CH＝AF＝a+x，AH＝2a+x，AC＝3a+2x＝10，在Rt△DCH和Rt△ADH中，由勾股定理得DH2＝CD2﹣CH2＝AD2﹣AH2，即62﹣（a+x）2＝82﹣（2a+x）2，整理得a（3a+2x）＝28，由此解出a，x得EF＝x，CH＝a+x，再求出BF＝DH，然后由勾股定理即可求出BE的长．
解：连接DE，过点B作BF⊥AG于点F，过点D作DH⊥AC于点H，如图所示：
∴∠BFC＝∠DHA＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，且AB＝6，BC＝8，
∴CD＝AB＝6，BC＝AD＝8，AD∥BC，∠ADC＝90°，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：AC10，
∵AD∥BC，
∴∠BCF＝∠DAH，
在△BCF和△DAH中，
，
∴△BCF≌△DAH（AAS），
∴BF＝DH，CF＝AH，
由CF＝AH，得：CH+FH＝AF+FH，
∴CH＝AF，
由作图可知：CD＝ED，
∴△DCE是等腰三角形，
∵DH⊥AC，
∴CH＝EH，
∴AF＝EH，
∴AE+EF＝EF+FH，
∴AE＝FH，
设AE＝a，EF＝x，
则AF＝AE+EF＝a+x，
∴CH＝AF＝a+x，AH＝AF+FH＝a+x+a＝2a+x，
∴AC＝AF+FH+CH＝a+x+a+a+x＝3a+2x＝10，
在Rt△DCH和Rt△ADH中，由勾股定理得：DH2＝CD2﹣CH2＝AD2﹣AH2，
∴62﹣（a+x）2＝82﹣（2a+x）2，
∴（2a+x）2﹣（a+x）2＝64﹣36，
∴（2a+x+a+x）（2a+x﹣a﹣x）＝28，
即a（3a+2x）＝28，
∵3a+2x＝10，
∵a，
∴，
解得：x，
∴EF＝x，CH＝a+x，
∴DH，
∴BF＝DH，
在Rt△BEF中，由勾股定理得：BE（．
故选：A．
【点评】此题主要考查了矩形的性质，尺规作图，理解矩形的性质，熟练掌握尺规作图，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，灵活运用勾股定理构造方程组是解决问题的关键．
5．【考点】菱形的性质
【分析】根据菱形的性质，平行线的性质计算判断即可．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABD∠ABC，
∵∠ABC＝70°，
∴∠ABD＝35°，
故选：D．
【点评】本题考查了菱形的性质，熟练掌握菱形性质是解题的关键．
6．【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质
【分析】过点B作BH⊥CF于H，CH的延长线交CD于K，设CK＝x，证四边形BEGK为平行四边形得GK＝BE，再证HK为△CFG的中位线得CK＝GK，则CK＝GK＝BE＝x，进而得CG＝2x，DG＝2﹣2x，再求出BD，根据BF＝BC＝2得DF，然后证△FDG∽△FBE得DG：BE＝DF：BF，即，由此解出，进而可得DG的长．
解：过点B作BH⊥CF于H，CH的延长线交CD于K，如图所示：
设CK＝x，
∵四边形ABCD为正方形，AB＝2，
∴AB＝BC＝CD＝DA＝2，AB∥CD，
∵EF⊥CF，BH⊥CF，
∴EF∥BH，
即EG∥BK，
又∵AB∥CD，
∴四边形BEGK为平行四边形，
∴GK＝BE，
∵BC＝BF，BH⊥CF
∴CH＝FH，
∵EG∥BK，
∴HK为△CFG的中位线，
∴CK＝GK，
∴CK＝GK＝BE＝x，
∴CG＝CK+GK＝2x，
∴DG＝CD﹣CG＝2﹣2x，
在Rt△BCD中，BC＝CD＝2，
由勾股定理得：BD，
∵BF＝BC＝2，
∴DF＝BD﹣BF，
∵AB∥CD，
∴△FDG∽△FBE，
∴DG：BE＝DF：BF，
即BF DG＝DF BE，
∴，
解得：x，
∴DG＝2﹣2x．
故选：A．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，三角形的中位线定理，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，理解正方形的性质，三角形的中位线定理，熟练掌握平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．
7．【考点】轴对称﹣最短路线问题；菱形的性质
【分析】作F点关于BD的对称点F′，则PF＝PF′，由两点之间线段最短可知当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP有最小值，然后求得EF′的长度即可．
解：作F点关于BD的对称点F′，连接EF′交BD于点P，则PF＝PF′．
∴EP+FP＝EP+F′P．
由两点之间线段最短可知：当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP的值最小，此时EP+FP＝EP+F′P＝EF′．
∵四边形ABCD为菱形，周长为12，
∴AB＝BC＝CD＝DA＝3，AB∥CD，
∵AF＝2，AE＝1，
∴DF＝DF′＝AE＝1，
∴四边形AEF′D是平行四边形，
∴EF′＝AD＝3．
∴EP+FP的最小值为3．
故选：D．
【点评】本题主要考查的是菱形的性质、轴对称﹣路径最短问题，明确当E、P、F′在一条直线上时EP+FP有最小值是解题的关键．
8．【考点】反比例函数的图象；二次函数的图象；一次函数的图象
【分析】根据二次函数图象确定a、b的符号，再根据反比例函数的图象确定c的符号，最后确定一次函数系数的符号确定其图象在经过的象限即可．
解：由抛物线图象可知，a＜0，
∵0，a＜0
∴b＞0，
由反比例函数图象分布在第一三象限，
∴c＞0，
∴0，b＞0
∴一次函数的图象分布在第一、二、四象限，
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数图象、二次函数图象、反比例函数图象，熟练掌握各函数与系数的关系是关键．
二．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）
9．【考点】根的判别式；一元二次方程的定义
【分析】分当m﹣1＝0时，当m﹣1≠0，即m≠1时，两种情况讨论求解即可．
解：当m﹣1＝0时，即m＝1时，原方程即为﹣2x+1＝0，解得，符合题意；
当m﹣1≠0，即m≠1时，
∵关于x的方程（m﹣1）x2﹣2x+1＝0有实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4（m﹣1）≥0，
解得m≤2且m≠1，
综上所述，m≤2，
故答案为：m≤2．
【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），若Δ＝b2﹣4ac＞0，则方程有两个不相等的实数根，若Δ＝b2﹣4ac＝0，则方程有两个相等的实数根，若Δ＝b2﹣4ac＜0，则方程没有实数根．
10．【考点】反比例函数图象上点的坐标特征
【分析】将点（2，3）代入解析式可求出k的值．
解：把（2，3）代入函数y中，得3，解得k＝6．
故答案为：6．
【点评】主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式．先设y，再把已知点的坐标代入可求出k值，即得到反比例函数的解析式．
11．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质
【分析】根据题意可得：△AFE∽△CFD，根据相似的性质可得：S△AFE：S△CFD＝1：16，且S△AEF＝1，而S△ADF：S△CFD＝1：4，即可求得△ADF的面积为4．
解：∵在平行四边形ABCD中，AE：EB＝1：3，
∴AE：CD＝1：4，
∵∠FAE＝∠FCD，∠AFE＝∠CFD，
∴△AFE∽△CFD，
∴AF：CF＝AE：CD＝1：4，
∴S△AFE：S△CFD＝1：16，且S△AEF＝1，
∴S△CFD＝16，
∵AF：CF＝1：4，
∴S△ADF：S△CFD＝1：4，
∴S△ADF＝4，
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了利用相似比求面积，理解相似比的特征是解决本题的关键．
12．【考点】相似三角形的应用；中心投影；矩形的性质
【分析】根据矩形ABCD与矩形A′B′C′D′位似，证明△AOB∽△A′OB′，得到，根据相似多边形的性质即可得到结论．
解：∵AB∥A′B′，
∴△AOB∽△A′OB′，
∴，
∵S矩形ABCD∽S矩形A'B'C'D'，
∴（）2，
∵S矩形ABCD＝8，
∴S矩形A'B'C'D'＝50．
故答案为：50．
【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，矩形的性质，中心投影，熟练掌握位似图形的性质，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．
13．【考点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【分析】由矩形的性质推出∠B＝∠C＝90°，CD＝AB＝4，由余角的性质推出∠BAP＝∠CPD，判定△ABP∽△PCD，推出AB：PC＝BP：CD，令BP＝x，得到x2﹣10x+16＝0，求出x＝2或8，得到BP＝2或8，即可求出tan∠BAP的值．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝90°，CD＝AB＝4，
∵∠APD＝90°，
∴∠CPD+∠APB＝180°﹣90°＝90°，
∵∠BAP+∠APB＝90°，
∴∠BAP＝∠CPD，
∵∠B＝∠C＝90°，
∴△ABP∽△PCD，
∴AB：PC＝BP：CD，
令BP＝x，
∴PC＝BC﹣BP＝10﹣x，
∴4：（10﹣x）＝x：4，
∴x2﹣10x+16＝0，
∴x＝2或8，
∴BP＝2或8，
∴tan∠BAP，或tan∠BAP2．
故答案为：或2．
【点评】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，关键是判定△ABP∽△PCD，推出AB：PC＝BP：CD，得到关于x的一元二次方程．
三．解答题（共5小题）
14．【考点】解一元二次方程﹣因式分解法
【分析】（1）把方程化为两个因式积的形式，求出x的值即可；
（2）先移项，把方程化为一元二次方程的一般形式，再用因式分解法求解即可．
解：（1）x2﹣10x﹣11＝0，
（x﹣11）（x+1）＝0，
x﹣11＝0或x+1＝0，
x1＝11，x2＝﹣1；
（2）（2x﹣1）2＝x（3x+2）﹣7，
（2x﹣1）2﹣x（3x+2）+7＝0，即x2﹣6x+8＝0，
（x﹣2）（x﹣4）＝0，
x﹣2＝0或x﹣4＝0，
x1＝2，x2＝4．
【点评】本题考查的是利用因式分解法解一元二次方程，因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
15．【考点】根与系数的关系；根的判别式
【分析】（1）用一元二次方程根的判别式判定一元二次方程根的情况；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系得到x1+x2和x1x2的值，化简分式整体代入解题．
解：（1）据题意可得，Δ＝b2﹣4ac＝（2m﹣2）2﹣4m（m﹣1）＝﹣4m+4＞0，
∴m＜1；
（2）由根与系数的关系可得，x1+x2＝2﹣2m，x1x2＝m（m﹣1），
∴，
解得，m＝1或﹣4，
∵x1≠x2，
∴m＜1，
∴m＝﹣4．
【点评】本题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，解题时注意字母系数的取值范围．
16．【考点】二次函数与不等式（组）；待定系数法求二次函数解析式；抛物线与x轴的交点
【分析】（1）把点A（2，﹣5）代入解析式即可求得c的值，即可求得二次函数的解析式，然后令y＝0，求得x的值，即可求得点B的坐标；
（2）依据题意，结合图象，当x＝﹣1时，y取最小值为4，当x＝﹣2时，y＝﹣（﹣2+1）2+4＝3，当x＝2时，y＝﹣（2+1）2+4＝﹣5，从而当﹣2＜x＜2时，进而可以得解；
（3）依据题意，由不等式kx+b＞﹣x2﹣2x+c 的解集就是函数y＝kx+b的图象在二次函数﹣x2﹣2x+c的图象的上方部分图象对应的自变量的取值范围，进而判断得解．
解：（1）∵二次函数y＝﹣x2﹣2x+c的图象过点A（2，﹣5），
∴﹣5＝﹣4﹣4+c，
∴c＝3，
∴二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，
令y＝0，则0＝﹣x2﹣2x+3，
∴x＝﹣3或x＝1
∴B（﹣3，0）．
（2）由题意，画出图象．
∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴当x＝﹣1时，y有最大值4，
∵当x＝﹣2时，y＝﹣（﹣2+1）2+4＝3；当x＝2时，y＝﹣（2+1）2+4＝﹣5，
∴当﹣2＜x＜2时，函数值y的取值范围是﹣5＜y≤4；
（3）由题意，画出图象．
由图象，
∴关于x的不等式kx+b＞﹣x2﹣2x+c 的解集是x＜﹣3或x＞2．
【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与不等式（组），数形结合是解题的关键．
17．【考点】相似三角形的判定与性质；三角形的面积
【分析】（1）证明△OAD∽△OCB，利用相似比求出OB，从而得到BD的长；
（2）先判定四边形AEDO为平行四边形，则S△AOD＝S△ADE＝S1，然后根据三角形的面积公式得到S△AOD：S△ABD＝OD：BD，从而得到的值．
解：（1）∵AD∥BC，
∴△OAD∽△OCB，
∴，
∵AO＝3，CO＝5，DO＝6，
∴，
∴OB＝10，
∴BD＝OD+OB＝6+10＝16；
（2）∵AE∥BD，DE∥AC，
∴四边形AEDO为平行四边形，
∴S△AOD＝S△ADE＝S1，
∵S△AOD：S△ABD＝OD：BD＝6：16＝3：8，
∴．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的面积，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的性质．
18．【考点】反比例函数综合题
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）观察函数图象即可求解；
（3）作点B关于x轴的对称点N（3，1），连接DN交x轴于点G，则此时GD+GB的值最小，即可求解．
解：（1）将点A的坐标代入反比例函数表达式得：k＝﹣1×3＝﹣3，
则反比例函数的表达式为：y，
将点B的坐标代入上式得：b1，
即点B的坐标为：（3，﹣1），
由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为：y＝﹣x+2；
（2）观察函数图象知，不等式的解集为：x＞3或﹣1＜x＜0；
（3）存在，理由：
由直线AB的表达式知点C（0，2），
∵，则OD＝3，
则点D（0，﹣3），
作点B关于x轴的对称点N（3，1），连接DN交x轴于点G，则此时GD+GB的值最小，
理由：GD+GB＝GD+GN＝ND为最小，
由点D、N的坐标得，直线DN的表达式为：yx﹣3，
令y＝0，则x，
即点G（，0）．
【点评】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到求函数表达式、线段和最小值的确定等，有一定的综合性，难度适中．
四．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）
19．【考点】根与系数的关系
【分析】先整理求值的代数式（x1+x2）2﹣2x1x2，再代入两根之和以及两根之积解答即可．
解：∵方程x2+5x+1＝0的两个实数根分别为x1、x2，
∴x1+x2＝﹣5，x1 x2＝1，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝（﹣5）2﹣2＝23．
故答案为：23．
【点评】本题主要考查根与系数的关系，掌握一元二次方程两根之和等于、两根之积等于是解题的关键．
20．【考点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；矩形的性质
【分析】如图，延长BF交CD于G，连接EG，根据矩形的性质得到AB＝CD，AB∥CD，∠BAE＝∠BCD＝∠D＝90°，求得∠BAF＝∠GCF．根据折叠的性质得到AE＝FE，AB＝FB，∠BAE＝∠BFE＝90°，求得∠BAF＝∠AFB，推出FG＝CG．由E是AD边的中点，得到AE＝DE．求得DE＝EF．根据全等三角形的性质得到FG＝DG，求得DG＝CG，得到BF＝2FG，根据三角函数的定义即可得到结论．
解：如图，延长BF交CD于G，连接EG，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD，∠BAE＝∠BCD＝∠D＝90°，
∴∠BAF＝∠GCF．
∵将△ABE沿BE折叠，点A落到点F处，
∴AE＝FE，AB＝FB，∠BAE＝∠BFE＝90°，
∴∠BAF＝∠AFB，
∵∠BFE+∠GFE＝180°，
∴∠EFG＝90°，
又∵∠AFB＝∠CFG，
∴∠GCF＝∠CFG，
∴FG＝CG．
∵∠EFG＝90°．
∴∠EFG＝∠D＝90°．
∵E是AD边的中点，
∴AE＝DE．
∴DE＝EF．
又∵EG＝EG，
∴Rt△EFG≌Rt△EDG（HL），
∴FG＝DG，
∴DG＝CG，
∴，
∴FG，
∴BF＝2FG，
∴BG＝2CG，
∴BC2CG，
∴tan∠FBC，
故答案为：．
【点评】本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理、三角函数定义等知识；熟练掌握翻折变换的性质和勾股定理是解题的关键．
21．【考点】相似三角形的判定
【分析】由相似三角形的判定：有两角对应相等的两个三角形相似，即可得到答案．
解：∵∠DAC＝∠CAB，
∴当∠1＝∠B时，△ADC∽△ACB．
故答案为：B．
【点评】本题考查相似三角形的判定，关键是掌握相似三角形的判定方法．
22．【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；正方形的性质；轴对称﹣最短路线问题；反比例函数的性质
【分析】根据反比例函数k值的几何意义，△ODE的面积＝梯形ADEF的面积都为24，据此求出点ED的坐标，由将军饮马模型求出最值即可．
解：如图，作EF⊥x轴，垂足为F，作点D关于x轴的对称点D′，连接ED′，则ED′就是PD+PE的最小值．
∵△ODE的面积为24，
∴S梯形ADEF＝24，
根据题意可知：E（，7），D（7，），
∴（7）（7）＝24，
解得：k＝7．
∴E（1，7），D（7，1），
在Rt△ED′B中，BD′＝8，BE＝6，
∴ED′10．
故答案为：10．
【点评】本题考查了反比例函数k值的几何意义，熟练掌握将军饮马模型求最值是关键．
23．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【分析】根据直线的解析式求得B点的坐标，然后根据三角形的面积得到关于k的方程，解方程求得即可．
解：∵一次函数y＝x+m的图象与反比例函数的图象交于点A（1，k），
∴k＝1+m，
∴m＝k﹣1，
∴y＝x+k﹣1，
∵一次函数y＝x+k﹣1的图象与x轴交于点B，
∴B（1﹣k，0），
∴OB＝|1﹣k|，
∵S△AOB＝1，
∴OB |yA|＝1，
∴|（1﹣k） |k＝1，
当0＜k＜1时，则（1﹣k） k＝1，无解舍去；
当k＞1时，则（k﹣1） k＝1
解得k＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题以及待定系数法求反比例函数的解析式，表述出B点的坐标是本题的关键．
五．解答题（共3小题）
24．【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用
【分析】（1）根据商场获得的利润＝每件服装的利润×销售量列出方程，然后求出值即可；
（2）根据商场获得的利润＝每件服装的利润×销售量列出函数解析式，并根据函数的性质求最值即可．
解：（1）由题意得：每件的利润为（x﹣60）元，
销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数y＝﹣x+120，当该商场获得的利润为500元时，得：（x﹣60）（﹣x+120）＝500，
整理得x2﹣180x+7700＝0，
解得x1＝70，x2＝110，
∴当单价定为70元或110元时，商场获得的利润恰为500元；
（2）依题意得：W＝（x﹣60）（﹣x+120）＝﹣（x﹣90）2+900，
当x＝90时，W取最大值为900，
∴销售单价定为90元时，商场可获得最大利润，最大利润是900元．
【点评】本题主要考查了二次函数和一元二次方程的应用，解答本题的关键是求出二次函数解析式和一元二次方程．
25．【考点】二次函数综合题
【分析】（1）由于抛物线解析式为y＝x2﹣x求出M（m，m2﹣m），，然后根据MN与x轴平行得出一元二次方程∴，然后解方程即可；
（2）当yN＞0时，则，结合二次函数的图象解得，m＞2或m＜0，此时图象G的最高点与最低点分别为M，N，那么d＝yM﹣yN，即可得到d与m之间的函数关系式；
（3）分类讨论，结合图形列出方程，解之即可．
解：（1）∵点M、N是抛物线上不重合的两点，点M的横坐标为m，点N的横坐标为，
∴当x＝m时，y＝m2﹣m；
当时，；
∴M（m，m2﹣m），，
∵MN与x轴平行，
∴，
解得：m1＝0（舍去），，
∴点M的坐标为（，），
故答案为：（，）；
（2）当yN＞0时，则，
结合二次函数的图象解得，m＞2或m＜0，
当m＞2时，如图1，此时图象G的最高点与最低点分别为M，N，
∴；
此时图象G的最高点与最低点分别为M，N，如图2，
∴，
∴；
（3）m的值为﹣1或或1；理由如下：
如图3，点M在正方形ABCD的外部，点N在正方形ABCD的内部，
当时，
解得：或，
∴正方形ABCD的内部（包括边界）的部分的最高点纵坐标为y＝1与最低点N的纵坐标，
∴，
解得：m＝﹣1或m＝3，
∵点N在正方形ABCD的内部，
∴﹣11，
∴﹣2≤m≤2，
故m＝3不合题意，舍去；
点M，点N在正方形ABCD的内部，如图4，当时，即m＜0时，
∴正方形ABCD的内部最高点为M纵坐标m2﹣m，最低点为N纵坐标，
∴，
解得：m＝1（舍去）或；
点M，点N在正方形ABCD的内部，如图5，当时，
∴正方形ABCD的内部最高点为N纵坐标，最低点为M纵坐标m2﹣m，
∴，m无实数根；
点M，点N在正方形ABCD的内部，如图6，即时，
∴正方形ABCD的内部最高点为M纵坐标m2﹣m，最低点为抛物线解析式顶点，
∴，
解得：m＝0（舍去）或m＝1（舍去）；
如图7，点M在正方形ABCD的外部，点N在正方形ABCD的内部，当m≥1时，
∴正方形ABCD的内部（包括边界）的部分的最高点纵坐标为y＝0与最低点N的纵坐标，
∴，
解得：m＝1，
综上可知，m的值为﹣1或或1．
【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象性质，正方形的性质，分类讨论思想等相关知识，根据题意进行正确的分类讨论是解题的关键．
26．【考点】四边形综合题
【分析】（1）判断出△APQ是等腰直角三角形即可得出结论；
（2）先判断出点Q是AD的中点，进而求出AQ＝4，即可得出结论；
（3）分三种情况进行分类讨论，当时，当时，当2＜x≤3时三种情况即可得到答案．
解：（1）∵矩形ABCD，
∴∠BAD＝90°，
∵∠DAB的角平分线交边BC于点E，
∴∠BAE∠BAD＝45°，
∴∠APQ＝45°＝∠BAE，∠AQP＝90°，
∴△APQ是等腰直角三角形，
由运动知，APx，
∴PQ＝x；
故答案为：x；
（2）∵四边形PQMN是平行四边形，
∴PQ∥MN，
∵点M在DC上，（如图①）
∴DN∥PQ，
∵AP＝PN，
∴AQ＝DQAD＝2，
在Rt△APQ中，∠PAQ＝45°，
∴PQ＝AQ＝2，
∴x＝2；
（3）当0＜x时，如图②，
y＝S PQMN＝x2；
当x≤2时，如图③，
图③
y＝S PQMN﹣S△ENG＝x2；
当2＜x≤3时，如图④，
y＝S矩形QHCD﹣S△HPE﹣S△QDK＝3（4﹣x）x2+4x．
【点评】本题主要考查四边形综合题，矩形的性质，等腰直角三角形，学会分类讨论是解题的关键
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