(共34张PPT)
第五章 圆
专题3 证明圆的切线的常用方法
1．如图，以AB为直径的⊙O经过点P，C，且∠ACP＝60°，D是AB延长线上一点，PA＝PD．试判断PD与⊙O的位置关系，并说明理由．
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【解】PD与⊙O相切．理由如下：如图，连接PO.
∵∠ACP＝60°，
∴∠AOP＝2∠ACP＝120°.
∴∠POD＝180°－∠AOP＝60°.
∵OA＝OP，∴∠OAP＝∠OPA＝30°.
∵PA＝PD，∴∠D＝∠OAP＝30°.
∴∠OPD＝180°－∠POD－∠D＝90°，即OP⊥PD.
又∵OP是⊙O的半径，∴PD与⊙O相切.
2．如图，BD是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，连接AC，且AB＝AC，以AD为边作∠DAF＝∠ACD，交BD的延长线于点F．
(1)求证：AF是⊙O的切线；
【证明】如图，连接OA.
∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD＝90°，
∴∠OAB＋∠OAD＝90°.
∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA.
∵∠DAF＝∠ACD，∠OBA＝∠ACD，
∴∠DAF＝∠OBA＝∠OAB，
∴∠DAF＋∠OAD＝∠OAB＋∠OAD＝90°，
∴∠OAF＝90°，即OA⊥AF.
又∵OA是⊙O的半径，
∴AF是⊙O的切线.
(2)过点A作AE⊥BD，交BD于点E，若CD＝3DE，求cos∠ABC的值．
【解】如图，延长CD交AF于点H，延长AO交BC于
点G，连接OC.
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°，即CH⊥BC.
∵AB＝AC，OB＝OC，
∴AG垂直平分BC，∴AG⊥BC. ∴AG∥CH.
∵∠OAF＝90°，AE⊥BD，∴∠AEB＝∠AHC＝90°.
又∵∠ABE＝∠ACH，AB＝AC，
∴△ABE≌△ACH(AAS)，∴AE＝AH，BE＝CH.
∵AD＝AD，∴Rt△ADE≌Rt△ADH(HL)，
∴DH＝DE.设DH＝DE＝a，则CD＝3a，
∴BE＝CH＝DH＋CD＝4a，∴BD＝BE＋DE＝5a，
∴OA＝OD＝2.5a，∴OE＝OD－DE＝1.5a，
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3．如图，△ABC的外角∠BAM的平分线与它的外接圆相交于点E，连接BE，CE，过点E作EF∥BC，交CM于点D．求证：
(1)BE＝CE；
【证明】∵四边形ACBE是圆的内接四边形，
∴易得∠EAM＝∠EBC.
∵AE平分∠BAM，∴∠BAE＝∠EAM.
又∵∠BAE＝∠BCE，∴∠BCE＝∠EAM.
∴∠BCE＝∠EBC.∴BE＝CE.
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(2)EF为⊙O的切线．
【证明】如图，连接EO并延长，交BC于点H，连接
OB，OC.
∵OB＝OC，EB＝EC，
∴直线EO垂直平分BC.
∴EH⊥BC.
∵EF∥BC，∴EH⊥EF.
又∵OE是⊙O的半径，∴EF为⊙O的切线.
4．如图，AB是⊙O的直径，射线BC交⊙O于点D，E是劣弧AD上一点，且BE平分∠ABC，过点E作EF⊥BC于点F，延长FE交BA的延长线于点G．
(1)求证：GF是⊙O的切线；
【证明】如图，连接OE.
∵BE平分∠FBA，∴∠1＝∠2.
∵OB＝OE，∴∠2＝∠3.
∴∠1＝∠3，∴OE∥BF.
∵BF⊥GF，∴OE⊥GF.
又∵OE是⊙O的半径，∴GF是⊙O的切线.
(2)若AG＝4，GE＝8，求⊙O的半径和EF的长．
【解】设OA＝OE＝r，则OG＝r＋4.
在Rt△GOE中，由OG2＝OE2＋GE2，
可得(r＋4)2＝r2＋82，解得r＝6，
即⊙O的半径为6，∴OG＝10.
作EH⊥BG于H，如图．
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5．如图，C，D为线段AB上两点，且AD＝10，CD＝2，BC＝3，过点D作AB的垂线，与以AC为直径的⊙O交于点E，作射线BE．
(1)求证：BE为⊙O的切线；
【证明】如图，连接OE.
∵AD＝10，CD＝2，BC＝3，
∴AC＝AD＋CD＝12，
BD＝CD＋BC＝5.
∴OE＝OA＝OC＝6，
∴OD＝OC－CD＝4，OB＝OC＋BC＝9.
∵ED⊥AB，∴∠ODE＝∠BDE＝90°.
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6．如图，AB是⊙O的直径，AD和BC分别切⊙O于A，B两点，CD与⊙O有公共点E，且AD＝DE．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
【证明】连接OD，OE.
∵AD切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，∴DA⊥AB.
∴∠DAB＝90°.
∵AD＝ED，OA＝OE，OD＝OD，
∴△ADO≌△EDO(SSS)．
∴∠OED＝∠OAD＝90°，∴OE⊥CD.
又∵OE是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线.
(2)若AB＝12，BC＝4，求AD的长．
【解】过点C作CH⊥AD于点H，则∠CHA＝90°.
∵AB是⊙O的直径，AD和BC分别切⊙O于A，B两点，
∴∠DAB＝∠ABC＝90°.∴四边形ABCH是矩形．
∴CH＝AB＝12，AH＝BC＝4.
∴DH＝AD－AH＝AD－4.
∵CD切⊙O于点E，CB切⊙O于点B，∴CE＝CB＝4.
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又∵AD＝DE，∴CD＝AD＋4.
在Rt△CHD中，CH2＋DH2＝CD2，
∴122＋(AD－4)2＝(AD＋4)2.∴AD＝9.
7．[2025南昌模拟]如图，△ABC是等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D．
(1)求证：AC是⊙O的切线．
【证明】如图，过点O作OE⊥AC，垂足为E，连接
OD，OA.
∵⊙O与AB相切于点D，
∴OD⊥AB.
∵△ABC是等腰三角形，O是底边BC的中点，
∴AO是∠BAC的平分线．∴OE＝OD.
∴OE是⊙O的半径．∴AC是⊙O的切线.
(2)若⊙O的半径为3，则AD与DB的乘积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．
【解】是定值．
∵AB＝AC，O是底边BC的中点，
∴AO⊥BC. ∴∠OAB＋∠B＝90°.
∵OD⊥AB，∴∠DOB＋∠B＝90°.
∴∠OAB＝∠DOB.
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8．如图，在△ABC中，O为AC上一点，以O为圆心，OC长为半径作圆，与BC相切于点C，过点A作AD⊥BO，交BO的延长线于点D，且∠AOD＝∠BAD．
(1)求证：AB为⊙O的切线；
【证明】过点O作OE⊥AB于点E，则∠OEB＝90°.
∵BC切⊙O于点C，∴∠OCB＝90°.
∵AD⊥BD，∴∠ADB＝90°.∴∠OCB＝∠ADB.
又∵∠AOD＝∠BOC，∴∠CBD＝∠OAD.
∵∠AOD＝∠BAD，∠D＝∠D，∴∠OAD＝∠ABD.
∴∠ABD＝∠CBO.
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第五章 圆
专题6 圆中常见的阴影面积的计算方法
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【答案】C
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【点拨】如图，连接QP，过点Q作QM⊥AP于点M，QN⊥ BP于点N，设AP，QD相交于点E，QC，BP相交于点F，则易得四边形QMPN是矩形．
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5．[2025郑州二模]如图，半圆O的直径AB为4，OC⊥AB交半圆O于点C，以点A为圆心，AC的长为半径画弧交AB于点D，以点B为圆心，BC的长为半径画弧交AB于点E，则图中阴影部分的面积是( )
A．2π－1 B．2π－2
C．2π－4 D．4π－2
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【答案】C
【点拨】如图，连接CO，DO，过点C作CE⊥DO交DO的延长线于点E.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.
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【答案】B
(1)求证：CE是⊙O的切线；
(2)若∠BAC＝30°，AB＝4，求阴影部分的面积．
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8．如图，CD为大半圆的直径，小半圆的圆心O1在线段CD上，大半圆O的弦AB与小半圆O1交于点E，F，AB＝6 cm，EF＝2 cm，且AB∥CD，则阴影部分的面积为__________cm2．(结果保留π)
4π
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【点拨】如图，连接A′B，过点A′作A′E⊥AB于点E，则∠A′EB＝90°.
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【答案】A
10．在Rt△ABC中，∠B为直角，且BC＝2 cm，AC＝4 cm，将△ABC绕点C顺时针旋转120°，如图所示，求阴影部分的面积．(π取3.14)
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【答案】A
12．如图，在圆心角为90°的扇形BAC中，半径AC＝12，以AB为直径作半圆O．过点O作AC的平行线交两弧于D，E，求图中阴影部分的面积．
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【答案】B
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14．如图，五个半径为2的圆，圆心分别是点A，B，C，D，E，则图中阴影部分的面积和是________．
6π
15．[2025泰安月考]如图，圆心角为90°的扇形ACB内，以BC为直径作半圆，连接AB．若AC＝2，则阴影部分的面积为________．
π－1
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【点方法】计算不规则图形的面积时，常常通过割补法将不规则图形的面积转化为几个规则图形面积的和或差.
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第五章 圆
专题4 巧用三角形的中位线求解圆的问题
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1．如图，EB为半圆O的直径，点A在EB的延长线上，AD切半圆O于点D，BC⊥AD于点C，AB＝2，半圆O的半径为2，则BC的长为( )
A．2 B．1
C．1.5 D．0.5
B
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2．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AB＝10，点D是劣弧BC的中点，连接OD交BC于点E，DE＝1，则弦AC的长为( )
A．3 B．4
C．6 D．8
D
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【答案】B
4．如图，⊙O是△ABC的外接圆，OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，垂足分别为D，E，F，连接DE，EF，FD．若DE＋DF＝6，△ABC的周长为20，则EF的长为________．
4
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5
【点拨】如图，连接DO并延长，与⊙O相交于点G，连接CG.
∵DG是直径，∴∠DCG＝90°.
∴∠CDG＋∠G＝90°.
∵AC⊥BD，
∴∠DAC＋∠ADB＝90°.
∵∠DAC＝∠G，∴∠ADB＝∠CDG.
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6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AD＝CD，连接OD，与对角线AC交于点M，若⊙O的半径是6，CB＝4，则AD的长是________．
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7．如图所示，点P(3，4)，⊙P的半径为2，A(2.8，0)，B(5.6，0)，点M是⊙P上的动点，点C是MB的中点，求AC的最小值．
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8．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，以AB为直径作⊙O分别交AC，BC于点D，E，过点E作⊙O的切线EF，交AC于点F，连接BD．
(1)求证：EF是△CDB的中位线；
【证明】连接AE，OE，如图所示．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠AEB＝90°，∴AE⊥BC，BD⊥AC.
∵AB＝AC，BC＝6，∴BE＝CE＝3. ∵OA＝OB，∴OE是△ABC的中位线，∴OE∥AC，∴OE⊥BD.
∵EF是⊙O的切线，∴OE⊥EF.∴BD∥EF.
∵BE＝CE，∴CF＝DF，∴EF是△CDB的中位线.
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(2)求EF的长．(共24张PPT)
第五章 圆
专题2 圆周角定理及其推论的综合应用
50°
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2．[2025淄博二模]如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且OC⊥AB，过点C的弦CD与线段OB相交于点E，满足∠OCD＝25°，连接AD，则∠BAD＝______°．
20
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【答案】B
8
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【点拨】作点D关于AB的对称点E，连接CE交AB于点G，连接OC，OD，OE，PE，如图．
∴PD＝PE，
∴PC＋PD＝PC＋PE≥CE，即当点P与
点G重合时，此时PC＋PD有最小值，
最小值为CE的长．
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【答案】D
【点拨】如图，连接OC，OD.
∵AB⊥CD，∴∠CHO＝90°.
在Rt△COH中，设OC＝r，则OH＝r－2.
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E
A
B
C
D
E
A
B
C
D
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0
C
E
D
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0
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D
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O
P
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A
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P
A
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0·
B
F
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E
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B
A
D.
A
M
C
A
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M
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A
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M
C
O
D(共23张PPT)
第五章 圆
专题1 与垂径定理有关的常见题型
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【答案】A
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3．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上，以AB为直径的⊙D经过点O，连接OD，过点D作DE⊥AO于点E，若∠ADO＝120°，AB＝4，则圆心点D的坐标是__________．
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5．如图，D是以O为圆心，以AB长为直径的半圆上的一点，以OD为对角线作正方形OCDE，经过C，E的直线分别与半圆弧交于点F，G．已知CD＝6，则FG的长为________．
【点拨】如图，连接OF，设OD与FG相交于点H.
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【答案】C
8．[2025无锡一模]如图，已知AB是⊙O的直径，M为OB上的点，且AM＝7，MB＝1，弦PQ经过点M．当PQ⊥AB时，S△APQ＝________；S△APQ的最大值为________．
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0
D
A
B
C
C
D
A
B
0
C
D
E
F
A
B
不
y=x
P.
B
A
70
X
y不
y=x
B
A
C
X
D
F
C
E
A
B
O
D
F
C
H
E
G
A
B
0
C
H
A
P
D
G
B
F
E
C
H
A
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D
B
G
M
F
E
D
C
F
E
A
B
D
C
F
E
A
B
M
P
0
A
M
B
P
A
M
B
Q(共67张PPT)
第五章 圆
全章热门考点整合应用
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1．在平面内到点P的距离为1 cm的点有( )
A．无数个 B．3个
C．2个 D．1个
A
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2．下列结论中，正确的是( )
A．长度相等的两条弧是等弧
B．半圆是弧
C．半径是弦
D．弧是半圆
B
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3．小明在半径为5的圆中测量弦AB的长度，下列测量结果中一定是错误的是( )
A．4 B．5 C．10 D．11
D
(1)求∠AOB的度数；
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(2)求tan∠BAC的值．
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【答案】C
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6
7．[2025安徽]如图，四边形ABCD的顶点都在半圆O上，AB是半圆O的直径，连接OC，∠DAB＋2∠ABC＝180°.
(1)求证：OC∥AD；
【解】如图，连接BD交OC于点E.
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ADB＝90°，即AD⊥BD.
∵OC∥AD，∴OC⊥BD.∵OC为半圆O的半径，
∴E为BD的中点．
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20
9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝7，点D在边BC上，CD＝3，⊙A的半径长为3，⊙D与⊙A相交，且点B在⊙D外，那么⊙D的半径长r的取值范围是__________．
2＜r＜4
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(1)若∠ECP＝∠PDC，判断射线CE与⊙O的位置关系，并说明理由；
【解】CE与⊙O相切．理由如下：
∵CD为⊙O的直径，∴∠CPD＝90°.
∴∠PDC＋∠PCD＝90°.
∵∠ECP＝∠PDC，∴∠ECP＋∠PCD＝90°.
∴∠ECD＝90°.∴CD⊥CE.
又∵CD为⊙O的直径，∴CE与⊙O相切.
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11．如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，D，E，F分别为切点，∠ACB＝90°，则∠EDF的度数为________．
45°
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13．如图，已知⊙O的内接正十边形ABCD…，AD分别交OB，OC于点M，N．求证：
(1)MN∥BC；
【证明】连接OA，OD，由题意得∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝360°÷10＝36°，∴∠AOD＝∠AOB＋∠BOC＋∠COD＝108°. 又∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA＝(180°－108°)÷2＝36°. ∴∠ANO＝∠COD＋∠ODA＝36°＋36°＝72°. ∵∠BOC＝36°，OB＝OC，∴∠BCO＝∠OBC＝(180°－36°)÷2＝72°.
∴∠ANO＝∠BCO.∴MN∥BC.
(2)MN＋BC＝OB．
【证明】 ∵∠AON＝∠AOB＋∠BOC＝72°，∠ANO＝72°，∴∠AON＝∠ANO.∴AN＝OA＝OB.
∵MN∥BC，∴∠AMB＝∠OBC＝72°.
易知∠ABM＝(180°－36°)÷2＝72°，
∴∠ABM＝∠AMB.∴AB＝AM.
∵十边形ABCD…是正十边形，∴AB＝BC，∴AN＝ AM＋MN＝AB＋MN＝BC＋MN. ∴MN＋BC＝OB.
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2
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15．[2025烟台]如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC＝2∠C，点D在线段CB的延长线上，且BD＝AB，连接AD．
(1)求证：AD是⊙O的切线；
【证明】如图，连接AO并延长交⊙O于点E，连接BE.
∵BD＝AB，∴∠D＝∠BAD.
∴∠ABC＝∠D＋∠DAB＝2∠D.
又∵∠ABC＝2∠C，∴∠D＝∠C.
∴∠BAD＝∠C.
∵∠C＝∠E，∴∠BAD＝∠E.
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ABE＝90°，
∴∠BAE＋∠E＝90°.∴∠BAD＋∠BAE＝90°，
∴∠DAO＝90°，即AD⊥AO.
∵OA是⊙O的半径，
∴AD是⊙O的切线.
(2)当AB＝5，AC＝8时，求BC的长及⊙O的半径．
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16．如图，在⊙O中，弦AB⊥弦CD于点E，弦AG⊥弦BC于点F，AG与CD相交于点M，连接AC．
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17．[2025菏泽二模]如图，正六边形ABCDEF的边长为4，以点A为圆心，AC的长为半径画弧，连接AC，AE，则图中阴影部分的面积为( )
A．2π
B．4π
C．8π
D．16π
【点拨】如图，过点B作BH⊥AC于点H.
∵六边形ABCDEF是边长为4的正六边形，
∴AB＝BC＝AF＝EF＝4，
∠ABC＝∠BAF＝∠F＝120°.
∴∠BAC＝∠EAF＝30°.
∴∠CAE＝120°－30°－30°＝60°.
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【答案】C
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C
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E．
(1)求证：BE＝CE；
【证明】如图，连接AE.
∵AC为⊙O的直径，
∴∠AEC＝90°.∴AE⊥BC.
又∵AB＝AC，∴BE＝CE.
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(3)若BD＝2，BE＝3，求AC的长．
【解】如图，连接CD.由(1)知BE＝CE，∴BC＝2BE＝6.
设AB＝AC＝x，则AD＝AB－BD＝x－2.
∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝90°.
∴∠BDC＝90°.
在Rt△BCD中，CD2＝BC2－BD2＝62－22＝32.
在Rt△ADC中，∵AD2＋CD2＝AC2，
∴(x－2)2＋32＝x2，解得x＝9，即AC的长为9.
20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E是BC的中点，以AC为直径的⊙O与AB交于点D，连接CD，DE．
(1)判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD.
∵∠OCD＋∠ECD＝∠ACB＝90°，
∴∠ODC＋∠EDC＝90°，即∠EDO＝90°.
∴DE⊥OD.
又∵OD为⊙O的半径，∴直线DE与⊙O相切.
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21．已知⊙O是等腰三角形ABC的外接圆，AB＝AC，∠BOC＝60°，BC＝2，求△ABC的面积．
【解】①如图①，当圆心O在△ABC内部时，
连接AO并延长，交BC于点E.
∵⊙O是△ABC的外接圆，
∴AE⊥BC.
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22．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC分别相切于点D，E，F，且BE＝4，EC＝6，求△ABC的面积．
(1)如果在Rt△ABC中，∠A＝90°，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC分别相切于点D，E，F，且BE＝m，EC＝n．求证：△ABC的面积等于mn；
【证明】设AF＝p，
根据切线长定理可得AD＝AF＝p，BD＝BE＝m，
CF＝CE＝n，∴BC＝BE＋CE＝m＋n，
AB＝p＋m，AC＝p＋n.
(2)如果△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC分别相切于点D，E，F，且BE＝m，EC＝n，AB·AC＝2mn．求证：∠A＝90°．
【解】设AF＝q，
根据切线长定理可得AD＝AF＝q，BD＝BE＝m，
CF＝CE＝n，∴BC＝BE＋CE＝m＋n，
AB＝q＋m，AC＝q＋n，BC2＝(m＋n)2.
∵AB·AC＝2mn，
∴(q＋m)(q＋n)＝2mn，
整理，得q2＋mq＋nq＝mn.
∴AB2＋AC2＝(q＋m)2＋(q＋n)2＝2(q2＋mq＋nq)＋m2＋ n2＝2mn＋m2＋n2＝(m＋n)2.
∴AB2＋AC2＝BC2.
∴∠A＝90°.
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23．如图，正六边形ABCDEF是一个创意花坛，AB＝20 m．点G，H，M，N，P，Q分别在该正六边形的六条边上，且AG＝BH＝CM＝DN＝EP＝FQ，现计划在六边形GHMNPQ内种植花卉，在剩余部分的六个全等三角形内种植草皮．
(1)该正六边形花坛ABCDEF的面积是
________m2．
(2)当AG的长为多少时，草皮的种植面积最大？最大面积是多少？(提示：过点G作AQ的垂线)
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第五章 圆
专题5 在圆中构造直角三角形解决问题的方法
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1．如图，王老师将汽车停放在地面台阶直角处，他测量了台阶高AB为16 cm，汽车轮胎的直径为80 cm，请你计算直角顶点到轮胎与底面接触点BC的长为( )
A．35 cm
B．32 cm
C．30 cm
D．33 cm
B
【点拨】如图所示，过点O作OH⊥CA于点H，OM⊥AB于点M，过点A作AN⊥BO于点N，则∠OHA＝90°，AC＝2AH.
∵AC∥OB，∴HO⊥OB.∴OH∥AN.
∴四边形OHAN是矩形．
∴OH＝AN.
【答案】B
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【点拨】如图，设⊙H与直线AC，BC，AB的
切点分别为D，E，F，⊙I与直线AC，BC，
AB的切点分别为G，M，N.连接HD，HE，
HF，IG，IM，IN，则四边形HDCE，IGCM
都是正方形，则CE＝CD＝R1，CM＝CG＝R2.
由切线长定理得BF＝BE＝R1－a，AF＝AD＝R1－b，
BN＝BM＝a－R2，AN＝AG＝b－R2.
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【答案】C
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【答案】A
【答案】C
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【答案】A
7．如图，在平面直角坐标系中，半径为5的⊙O与矩形ABCD的边AB，BC都相切，且经过顶点D，与边CD相交于点E．若点A的坐标是(－5，3)，
则点E的坐标是( )
A．(4，－3) B．(5，－3)
C．(3，－4) D．(3，－3)
【点拨】如图，设DC与x轴相交于点M，⊙O与矩形ABCD的边AB相切于G，∴OG⊥AB，∴∠OGB＝90°.
∵在矩形ABCD中，∠A＝90°，
∴∠A＝∠OGB，
∴AD∥x轴．
∵点A的坐标是(－5，3)，
∴点D的纵坐标为3，即DM＝3.
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【答案】A
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【答案】C
