北师大版九年级上册数学期末考试综合复习高频考题（含解析）
文档属性
| 名称 | 北师大版九年级上册数学期末考试综合复习高频考题（含解析） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 2.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-12-10 06:46:37 | ||
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文档简介
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北师大版九年级上册数学期末考试综合复习高频考题
一．选择题（共22小题）
1．4的算术平方根为（ ）
A．﹣2 B．2 C．±2 D．
2．截至4月12日17时38分，电影《哪吒之魔童闹海》全球总票房达到156.29亿元，也是我国首部百亿电影，将数据“156.29亿”用科学记数法表示为（ ）
A．156.29×108 B．15.629×1010
C．1.5629×1010 D．0.15629×109
3．下列计算结果为4a5的是（ ）
A．4a2 a3 B．4a6﹣a C．8a10÷2a2 D．（﹣2a3）2
4．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．图中几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
6．在下列四幅图形中，能表示两棵小树在同一时刻阳光下影子的图形的可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．用配方法解方程x2+2x﹣1＝0时，配方结果正确的是（ ）
A．（x+2）2＝2 B．（x+1）2＝2 C．（x+2）2＝3 D．（x+1）2＝3
8．如图，已知直线AB∥CD∥EF，若AD：DF＝3：2，CE＝4，则BE的长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
9．在△ABC中，若角A，B满足|cosA|+（1﹣tanB）2＝0，则∠C的大小是（ ）
A．45° B．60° C．75° D．105°
10．如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠A＝35°，则直角边BC的长是（ ）
A．msin35° B．mcos35° C． D．
11．在函数的图象上有三点A（﹣4，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3），则下列各式正确的是（ ）
A．y3＜y2＜y1 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y2＜y3 D．y3＜y1＜y2
12．在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A的坐标为（﹣9，6），以原点O为位似中心，把△ABC缩小为原来的，得到△A'B'C'，则点A的对应点A'的坐标为（ ）
A．（﹣3，2） B．（﹣2，3）或（﹣3，2）
C．（﹣2，3） D．（﹣3，2）或（3，﹣2）
13．把二次函数y＝x2﹣4x+1的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，平移后的图象必经过点（ ）
A．（1，﹣1） B．（﹣1，1） C．（1，2） D．（7，﹣2）
14．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，2），B（1，0），∠ABC＝90°，BC＝2AB，若点C在函数y（x＞0）的图象上，则k的值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
15．如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P．则cos∠APD的值是（ ）
A．0.5 B． C．2 D．
16．如图，是反比例函数y1和y2（k1＜k2）在第一象限的图象，直线AB∥x轴，并分别交两条双曲线于A、B两点，若S△AOB＝3，则k2﹣k1的值是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
17．古代数学趣题：老头提篮去赶集，一共花去七十七；满满装了一菜篮，十斤大肉三斤鱼；买好未曾问单价，只因回家心里急；道旁行人告诉他，九斤肉钱五斤鱼．意思是：77元钱共买了10斤肉和3斤鱼，9斤肉的钱等于5斤鱼的钱，问每斤肉和鱼各是多少钱？设每斤肉x元，每斤鱼y元，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
18．如图，在半径为的⊙O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB＝75°，AB＝6，AE＝1，则CD的长是（ ）
A．2 B．2 C．2 D．4
19．如图，点D（0，3），O（0，0），C（4，0）在⊙A上，BD是⊙A的一条弦，则sin∠OBD＝（ ）
A． B． C． D．
20．如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（3，4），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
21．抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，且过点（1，0）．顶点位于第二象限，其部分图象如图所示，给出以下判断：①abc＞0；②4a﹣2b+c＞0；③8a+c＞0；④b2﹣4ac＞0；⑤c＝3a﹣3b．其中正确的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
22．如图1，动点P从菱形ABCD的点A出发，沿边AB→BC匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，PO的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到BC中点时，PO的长为（ ）
A．2 B．3 C． D．
二．填空题（共10小题）
23．因式分解2m2﹣4m+2＝ ．
24．对于任意实数a，b，定义关于“ ”的一种运算如下：a b＝ab+ab．例如：5 2＝52+5×2＝35．若（﹣3） 2＝ ．
25．函数y有意义，则x的取值范围是 ．
26．在一个不透明的布袋中装有黄、白两种颜色的球共10个，这些球除了颜色外其他都相同，小红从布袋中随机摸出一个球，记下颜色后再放回布袋中，通过大量重复试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3，估计布袋中黄球的个数为 个．
27．小丽身高1.5米，经太阳光照射，在地面的影长为2米，同一时刻，她测得旗杆在地面的影长为20米，那么旗杆高为 米．
28．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD＝80°，则∠BCD的度数是 ．
29．如图，P（12，a）在反比例函数图象上，PH⊥x轴于H，则tan∠POH的值为 ．
30．已知⊙O的直径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝8cm，CD＝6cm，则AB与CD之间的距离为 cm．
31．有一斜坡的坡度i＝12：5，斜坡上最高点到地面的距离为2.4米，那么这个斜坡的长度为 米．
32．如图，在Rt△AOB中，OA＝OB＝3，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则切线PQ的最小值为 ．
三．解答题（共19小题）
33．计算：
（1）4sin60° tan30°﹣6cos245°；
（2）．
34．解方程：
（1）x2﹣4x+3＝0．
（2）x（2x+1）＝2x+1．
35．计算：（﹣4）﹣12cos30°．
36．先化简，再求值：，其中．
37．解不等式组：．
38．在中国古代，数学被称为“算术”或“九章之学”，而几何知识常用于天文、测地、建筑、乃至器物制作中．古人用“矩”、“规”巧妙地构建出各类精妙图形．在这样的背景下，匠人们常以尺规作图解决实际问题，体现“法天则地”的智慧精神．
如今，借助尺规来完成一道几何构造题：
如图，已知：△ABC，尺规作图得四边形DBEC．作图步骤如下：
①分别以B、C为圆心，大于的长为半径作弧，两条弧分别相交于点P，Q；
②作直线PQ交AC于点D，连接BD；
③以B为圆心，BD的长为半径作弧，交直线PQ于点E，连接CE，BE．
（1）请用上面方法，用没有刻度的直尺和圆规作出四边形DBEC．（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若∠BAC＝90°，AB＝8cm，AC＝16cm，则四边形DBEC的面积是 cm2．
39．如图，塔AB前有一座高为DE的台阶，已知CD＝30m，∠DCE＝30°，点E，C，A在同一条水平直线上．在C处测得塔顶部B的仰角为45°，在D处测得塔顶部B的仰角为27°．
（1）求台阶的高DE；
（2）求塔AB的高度（tan27°≈0.5，，结果精确到米）．
40．5月18日是国际博物馆日，为了解甘肃省博物馆的藏品及其承载的历史，弘扬传统文化，小英和小丽准备从博物馆的三个展厅中随机选择一个展厅报名当志愿者，三个展厅如下，分别用A，B，C表示三张形状相同的卡片，其中“A．甘肃佛教艺术展”“B．甘肃古生物化石展”“C．甘肃彩陶展”．现将这3张卡片背面朝上，洗匀放好，小英从中随机抽取一张，记下卡片，放回并洗匀后，小丽再从中随机抽取一张．
（1）小英抽到“A．甘肃佛教艺术展”展厅的概率为 ；
（2）用列表法或画树状图法求出两人恰好抽到“B．甘肃古生物化石展”和“C．甘肃彩陶展”两个展厅的概率．
41．某服装店的某件衣服最近销售火爆．现有A、B两家供应商到服装店推销服装，两家服装价格相同，品质相近．服装店决定通过检查材料的纯度来确定选购哪家的服装．检查人员从两家提供的材料样品中分别随机抽取15块相同的材料，通过特殊操作检验出其纯度（单位：%），并对数据进行整理、描述和分析．部分信息如下：
Ⅰ．A供应商供应材料的纯度（单位：%）如下：
A 72 73 74 75 76 78 79
频数 1 1 5 3 3 1 1
Ⅱ．B供应商供应材料的纯度（单位：%）如下：
72 75 72 75 78 77 73 75 76 77 71 78 79 72 75
Ⅲ．A、B两供应商供应材料纯度的平均数、中位数、众数和方差如下：
平均数 中位数 众数 方差
A 75 75 74 3.07
B 75 75 a b
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表格中的a＝ ，b＝ ；
（2）你认为服装店应选择哪个供应商供应服装？为什么？
42．某网络平台销售一种电动牙刷，进价为每把30元，在销售过程中发现如下市场规律：当每把电动牙刷售价为35元时，每天可售出350把；若销售单价每提高1元，则每天销售量减少10把．已知销售单价不低于35元，且物价部门规定每把电动牙刷的销售利润不高于进价的50%，设销售单价为x元．
（1）当x＝38时，每天可销售电动牙刷 把．
（2）若当天的利润为3000元，求x的值．
（3）当x为多少时，该网络平台当天获得利润W（元）最大？最大利润为多少元？
43．某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求该商品每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系式；
（2）若商店按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？
44．如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y的图象相交于A（2，4）、B（﹣4，n）两点．
（1）分别求出一次函数与反比例函数的表达式；
（2）根据所给条件，请直接写出不等式kx+b的解集 ；
（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为点C，连接AC，求S△ABC．
45．已知，如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于D，过D作DE⊥MN于E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若DE＝6cm，AE＝3cm，求⊙O的半径．
46．已知：如图，在△ABC中，BC＝AC，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E．
（1）求证：点D是AB的中点；
（2）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（3）若⊙O的直径为18，cosB，求DE的长．
47．（1）如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE⊥DF，垂足为点G．求证：△ADE∽△DCF．
【问题解决】
（2）如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF，延长BC到点H，使CH＝DE，连接DH．求证：∠ADF＝∠H．
【类比迁移】
（3）如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF＝11，DE＝8，∠AED＝60°，求CF的长．
48．【问题情境】已知矩形ABCD和矩形AEFG，点E在BC边上，矩形AEFG在BC边的上方，且，连接CF．
【特例发现】（1）如图1，当k＝1时，那么的值为 ；（提示：在AB边上取一点M，使得BM＝BE，连接EM）
【拓展延伸】（2）如图2，当时，连接DG，DF．
①求证：△ABE∽△ADG；
②若，且DG＝8，求DF的长．
49．综合与实践
【问题情境】在学校活动课上，樊老师让同学们探究特殊平行四边形的性质，小明和他的小伙伴们准备了如图1所示的正方形ABCD，连接对角线BD，在BD上取一点P，连接PA，延长AD至点E，连接PE，交CD于点F，且PA＝PE．
【观察发现】（1）如图1，小明连接了PC，小伙伴们发现了PE与PC之间存在一定的关系，其数量关系为 ，位置关系为 ．
【探索猜想】（2）如图2、小明连接了CE，小伙伴们发现了PA和CE之间存在一定的数量关系，请你帮助小明和小伙伴们探究PA和CE之间的数量关系，并说明理由．
【拓展延伸】（3）如图3，小明将正方形ABCD改为菱形ABCD，当∠BAD＝60°时，请直接写出PA与CE之间的数量关系．
50．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3经过A、B、C三点，点A（﹣3，0）、C（1，0），点B在y轴上．点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与A、B重合）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）过点P作x轴的垂线，垂足为D，交直线AB于点E，动点P在什么位置时，PE最大，求出此时P点的坐标；
（3）点Q是抛物线对称轴上一动点，是否存在点Q，使以点A、B、Q为顶点的三角形为直角三角形？若存在，请求出点Q坐标；若不存在，请说明理由．
51．如图，已知抛物线：y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OA＝OC＝3，顶点为D．
（1）求此函数的关系式；
（2）在AC下方的抛物线上，是否存在一点N，使△CAN面积最大？最大面积是多少？
（3）E在对称轴上，F在抛物线上，若以A，O，E，F为顶点形成平行四边形，求出点E，F的坐标．
北师大版九年级上册数学期末考试综合复习高频考题
参考答案与试题解析
一．选择题（共22小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B C． A B D D B C D A B
题号 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
答案 D A C B B A C D C C C
一．选择题（共22小题）
1．4的算术平方根为（ ）
A．﹣2 B．2 C．±2 D．
【分析】依据算术平方根的定义求解即可．
【解答】解：∵22＝4，
∴4的算术平方根是2，
故选：B．
【点评】本题主要考查的是算术平方根的定义，掌握算术平方根的定义是解题的关键．
2．截至4月12日17时38分，电影《哪吒之魔童闹海》全球总票房达到156.29亿元，也是我国首部百亿电影，将数据“156.29亿”用科学记数法表示为（ ）
A．156.29×108 B．15.629×1010
C．1.5629×1010 D．0.15629×109
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：156.29亿＝15629000000＝1.5629×1010．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．下列计算结果为4a5的是（ ）
A．4a2 a3 B．4a6﹣a C．8a10÷2a2 D．（﹣2a3）2
【分析】各式计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式＝4a5，符合题意；
B、原式不能合并，不符合题意；
C、原式＝4a8，不符合题意；
D、原式＝4a6，不符合题意．
故选：A．
【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用比例的性质即可得到答案．
【解答】解：∵，
∴11；
故选：B．
【点评】本题考查了比例线段：熟练掌握比例的性质是解决此题的关键．
5．图中几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可．
【解答】解：从上面看可得到三个矩形左右排在一起，中间的较大，故选：D．
【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
6．在下列四幅图形中，能表示两棵小树在同一时刻阳光下影子的图形的可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据平行投影的特点，利用两小树的影子的方向相反可对A、B进行判断；利用在同一时刻阳光下，树高与影子成正比可对C、D进行判断．
【解答】解：A、两棵小树的影子的方向相反，不可能为同一时刻阳光下影子，所以A选项错误；
B、两棵小树的影子的方向相反，不可能为同一时刻阳光下影子，所以B选项错误；
C、图中树高与影子成反比，而在同一时刻阳光下，树高与影子成正比，所以C选项错误；
D、在同一时刻阳光下，树高与影子成正比，所以D选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．
7．用配方法解方程x2+2x﹣1＝0时，配方结果正确的是（ ）
A．（x+2）2＝2 B．（x+1）2＝2 C．（x+2）2＝3 D．（x+1）2＝3
【分析】把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数，判断出配方结果正确的是哪个即可．
【解答】解：∵x2+2x﹣1＝0，
∴x2+2x+1＝2，
∴（x+1）2＝2．
故选：B．
【点评】此题主要考查了配方法在解一元二次方程中的应用，要熟练掌握．
8．如图，已知直线AB∥CD∥EF，若AD：DF＝3：2，CE＝4，则BE的长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【分析】利用平行线分线段成比例定理求解．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴，
∵AD：DF＝3：2，CE＝4，
∴，
∴BC＝6，
∴BE＝BC+CE＝6+4＝10．
故选：C．
【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理．
9．在△ABC中，若角A，B满足|cosA|+（1﹣tanB）2＝0，则∠C的大小是（ ）
A．45° B．60° C．75° D．105°
【分析】根据非负数的性质得出cosA，tanB＝1，求出∠A和∠B的度数，继而可求得∠C的度数．
【解答】解：由题意得，cosA，tanB＝1，
则∠A＝30°，∠B＝45°，
则∠C＝180°﹣30°﹣45°＝105°．
故选：D．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．
10．如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠A＝35°，则直角边BC的长是（ ）
A．msin35° B．mcos35° C． D．
【分析】根据正弦定义：把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦可得答案．
【解答】解：sin∠A，
∵AB＝m，∠A＝35°，
∴BC＝msin35°，
故选：A．
【点评】此题主要考查了锐角三角函数，关键是掌握正弦定义．
11．在函数的图象上有三点A（﹣4，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3），则下列各式正确的是（ ）
A．y3＜y2＜y1 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y2＜y3 D．y3＜y1＜y2
【分析】先根据题意判断出函数图象所在的象限，再根据各点横坐标的值即可得出结论．
【解答】解：∵k2+1＞0，
∴函数的图象的两个分支分别位于第一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小，
∵点A（﹣4，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）在此函数图象上，﹣4＜﹣1，2＞0，
∴0＞y1＞y2，y3＞0，
∴y2＜y1＜y3．
故选：B．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键．
12．在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A的坐标为（﹣9，6），以原点O为位似中心，把△ABC缩小为原来的，得到△A'B'C'，则点A的对应点A'的坐标为（ ）
A．（﹣3，2） B．（﹣2，3）或（﹣3，2）
C．（﹣2，3） D．（﹣3，2）或（3，﹣2）
【分析】根据关于以原点为位似中心的点的坐标特征，把A点的横纵坐标都乘以或得到点A'的坐标．
【解答】解：∵以原点O为位似中心，把△ABC缩小为原来的，得到△A'B'C'，
而点A的坐标为（﹣9，6），
∴点A的对应点A'的坐标为（﹣9，6）或（9，﹣6），即（﹣3，2）或（3，﹣2）．
故选：D．
【点评】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
13．把二次函数y＝x2﹣4x+1的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，平移后的图象必经过点（ ）
A．（1，﹣1） B．（﹣1，1） C．（1，2） D．（7，﹣2）
【分析】根据“左加右减，上加下减”的法则求得平移后的解析式，然后把四个选项中点的坐标代入即可得出结论．
【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣4x+1可化为y＝（x﹣2）2﹣3，
∴把二次函数y＝x2﹣4x+1的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，平移后的抛物线的表达式为y＝（x﹣2+2）2﹣3+1，即y＝x2﹣2，
当x＝1时，y＝﹣1，故A符合题意，C不合题意；
当x＝﹣1时，y＝﹣1，故B不合题意；
当x＝7时，y＝47，故D不合题意；
故选：A．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．
14．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，2），B（1，0），∠ABC＝90°，BC＝2AB，若点C在函数y（x＞0）的图象上，则k的值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【分析】利用△AOB∽△BDC求出OD和CD，得到点C坐标即可求出k值．
【解答】解：作CD⊥x轴，垂足为点D，
∵点A（0，2），B（1，0），
∴OA＝2，OB＝1，
∵∠AOB＝∠BDC，∠ABO＝∠BCD，
∴△AOB∽△BDC，
∵BC＝2AB，
∴，
∴BD＝2AO＝4，CD＝2BO＝2，
∴OD＝5，
∴C（5，2），
∵点C在函数y（x＞0）的图象上，
∴k＝5×2＝10．
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解答本题的关键．
15．如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P．则cos∠APD的值是（ ）
A．0.5 B． C．2 D．
【分析】连接BE，AE，先利用勾股定理的逆定理证明△ABE是直角三角形，从而可得∠AEB＝90°，然后在Rt△AEB中，利用锐角三角函数的定义求出cos∠ABE的值，再根据题意可得：BE∥CD，从而可得∠ABE＝∠APD，即可解答．
【解答】解：如图：连接BE，AE，
设小正方形的边长为1，
由题意得：AE2＝22+22＝8，
BE2＝12+12＝2，
AB2＝12+32＝10，
∴AE2+BE2＝AB2，
∴△ABE是直角三角形，
∴∠AEB＝90°，
在Rt△AEB中，AB，BE，
∴cos∠ABE
由题意得：BE∥CD，
∴∠ABE＝∠APD，
∴cos∠APD＝cos∠ABE，
故选：B．
【点评】本题考查了解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
16．如图，是反比例函数y1和y2（k1＜k2）在第一象限的图象，直线AB∥x轴，并分别交两条双曲线于A、B两点，若S△AOB＝3，则k2﹣k1的值是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【分析】应用反比例函数比例系数k的几何意义，表示△BOC、△AOC的面积，利用S△BOC﹣S△AOC＝S△AOB构造方程即可．
【解答】解：由反比例函数比例系数k的几何意义可知，
S△BOC
S△AOC
∵S△BOC﹣S△AOC＝S△AOB＝3
∴3
∴k2﹣k1＝6
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义，解答时注意观察图中三角形面积关系以构造方程．
17．古代数学趣题：老头提篮去赶集，一共花去七十七；满满装了一菜篮，十斤大肉三斤鱼；买好未曾问单价，只因回家心里急；道旁行人告诉他，九斤肉钱五斤鱼．意思是：77元钱共买了10斤肉和3斤鱼，9斤肉的钱等于5斤鱼的钱，问每斤肉和鱼各是多少钱？设每斤肉x元，每斤鱼y元，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据“77元钱共买了10斤肉和3斤鱼，9斤肉的钱等于5斤鱼的钱”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：∵77元钱共买了10斤肉和3斤鱼
∴10x+3y＝77；
∵9斤肉的钱等于5斤鱼的钱，
∴9x＝5y．
∴根据题意可列出方程组．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
18．如图，在半径为的⊙O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB＝75°，AB＝6，AE＝1，则CD的长是（ ）
A．2 B．2 C．2 D．4
【分析】过点O作OF⊥CD于点F，OG⊥AB于G，连接OB、OD、OE，由垂径定理得出DF＝CF，AG＝BGAB＝3，得出EG＝AG﹣AE＝2，由勾股定理得出OG2，证出△EOG是等腰直角三角形，得出∠OEG＝45°，OEOG＝2，求出∠OEF＝30°，由直角三角形的性质得出OFOE，由勾股定理得出DF，即可得出答案．
【解答】解：过点O作OF⊥CD于点F，OG⊥AB于G，连接OB、OD、OE，如图所示：
则DF＝CF，AG＝BGAB＝3，
∴EG＝AG﹣AE＝2，
在Rt△BOG中，OG2，
∴EG＝OG，
∴△EOG是等腰直角三角形，
∴∠OEG＝45°，OEOG＝2，
∵∠DEB＝75°，
∴∠OEF＝30°，
∴OFOE，
在Rt△ODF中，DF，
∴CD＝2DF＝2；
故选：C．
【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理以及直角三角形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
19．如图，点D（0，3），O（0，0），C（4，0）在⊙A上，BD是⊙A的一条弦，则sin∠OBD＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】连接CD，可得出∠OBD＝∠OCD，根据点D（0，3），C（4，0），得OD＝3，OC＝4，由勾股定理得出CD＝5，再在直角三角形中得出利用三角函数求出sin∠OBD即可．
【解答】解：连接CD，如图所示：
∵D（0，3），C（4，0），
∴OD＝3，OC＝4，
∵∠COD＝90°，
∴CD5，
∵∠OBD＝∠OCD，
∴sin∠OBD＝sin∠OCD．
故选：D．
【点评】本题考查了圆周角定理，勾股定理、以及锐角三角函数的定义；熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键．
20．如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（3，4），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【分析】由Rt△APB中AB＝2OP知要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，据此求解可得．
【解答】解：∵PA⊥PB，
∴∠APB＝90°，
∵AO＝BO，
∴AB＝2PO，
若要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，
连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，
过点M作MQ⊥x轴于点Q，
则OQ＝3、MQ＝4，
∴OM＝5，
又∵MP′＝2，
∴OP′＝3，
∴AB＝2OP′＝6，
故选：C．
【点评】本题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AB取得最小值时点P的位置．
21．抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，且过点（1，0）．顶点位于第二象限，其部分图象如图所示，给出以下判断：①abc＞0；②4a﹣2b+c＞0；③8a+c＞0；④b2﹣4ac＞0；⑤c＝3a﹣3b．其中正确的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据二次函数的性质可得a＜0，b＝2a＞0，c＞0，可判断结论①；由x＝﹣2处的函数值可判断结论②；由x＝2处函数值可判断结论③；由抛物线与x轴的交点可判断④；由x＝1处函数值和b＝2a可判断结论⑤．
【解答】解：二次函数开口向下，则a＜0，
二次函数对称轴为直线x＝﹣1，则1，b＝2a＜0，
交y轴的正半轴，则c＞0，
∴abc＞0，
故①正确；
由对称性可得二次函数与x轴的另一交点为（﹣3，0），
由函数图象可得x＝﹣2时y＞0，
∴4a﹣2b+c＞0，
故②正确；
由函数图象可得x＝2时y＜0，
∴4a+2b+c＜0，b＝2a代入得：8a+c＜0，
故③错误；
抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
故④正确；
∵x＝1时y＝0，
∴a+b+c＝0，b＝2a代入得：c＝﹣3a，
∵c＝3a﹣3b＝3a﹣6a＝﹣3a，
故⑤正确；
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的图象与各项系数符号的关系是解题关键．
22．如图1，动点P从菱形ABCD的点A出发，沿边AB→BC匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，PO的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到BC中点时，PO的长为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【分析】结合图象，得到当x＝0时，PO＝AO＝4，当点P运动到点B时，PO＝BO＝2，根据菱形的性质，得∠AOB＝∠BOC＝90°，继而得到，当点P运动到BC中点时，PO的长为，解得即可．
【解答】解：结合图象，得到当x＝0时，PO＝AO＝4，
∴当点P运动到点B时，PO＝BO＝2，
∵菱形ABCD，
∴AC⊥BD，
∴∠AOB＝∠BOC＝90°，
∴，
当点P运动到BC中点时，PO的长为，
故选：C．
【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质是解题的关键．
二．填空题（共10小题）
23．因式分解2m2﹣4m+2＝ 2（m﹣1）2 ．
【分析】直接提取公因式2，进而利用完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：原式＝2（m2﹣2m+1）
＝2（m﹣1）2．
故答案为：2（m﹣1）2．
【点评】此题主要考查了提取公因式法、公式法分解因式，正确运用乘法公式分解因式是解题关键．
24．对于任意实数a，b，定义关于“ ”的一种运算如下：a b＝ab+ab．例如：5 2＝52+5×2＝35．若（﹣3） 2＝ 3 ．
【分析】根据新定义的运算得到（﹣3） 2＝（﹣3）2+（﹣3）×2，再根据有理数混合运算法则计算即可．
【解答】解：（﹣3） 2＝（﹣3）2+（﹣3）×2＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了实数的运算，掌握实数的运算法则是关键．
25．函数y有意义，则x的取值范围是x≥﹣3且x≠2 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0以及分式有意义的条件：分母不为0进行解答即可．
【解答】解：由x+3≥0且x﹣2≠0，得x≥﹣3且x≠2，
故答案为x≥﹣3且x≠2．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围问题，掌握二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0以及分式有意义的条件：分母不为0是解题的关键．
26．在一个不透明的布袋中装有黄、白两种颜色的球共10个，这些球除了颜色外其他都相同，小红从布袋中随机摸出一个球，记下颜色后再放回布袋中，通过大量重复试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3，估计布袋中黄球的个数为 3 个．
【分析】用频率估计出摸到黄球的概率，再用总球的个数乘以摸到黄球的概率即可得出答案．
【解答】解：∵通过大量重复试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3，
∴估计摸到黄球的概率为0.3，
∴估计布袋中黄球的个数为10×0.3＝3（个）．
故答案为：3．
【点评】本题考查了利用频率估计概率．解答本题的关键要明确：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
27．小丽身高1.5米，经太阳光照射，在地面的影长为2米，同一时刻，她测得旗杆在地面的影长为20米，那么旗杆高为 15 米．
【分析】设旗杆高为x米，根据同时同地物高与影长成正比列出比例式，求解即可．
【解答】解：设旗杆高为x米，
根据题意得，，
解得：x＝15，
故答案为：15．
【点评】本题主要考查同一时刻物高和影长成正比，考查利用所学知识解决实际问题的能力．
28．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD＝80°，则∠BCD的度数是 140° ．
【分析】首先根据圆周角定理可得∠A∠BOD，然后再根据圆内接四边形对角互补可得答案．
【解答】解：∵∠BOD＝80°，
∴∠A＝40°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BCD＝180°﹣40°＝140°，
故答案为：140°．
【点评】此题主要考查了云内接四边形的性质和圆周角定理，关键是掌握圆内接四边形的对角互补；在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
29．如图，P（12，a）在反比例函数图象上，PH⊥x轴于H，则tan∠POH的值为 ．
【分析】利用锐角三角函数的定义求解，tan∠POH为∠POH的对边比邻边，求出即可．
【解答】解：∵P（12，a）在反比例函数图象上，
∴a5，
∵PH⊥x轴于H，
∴PH＝5，OH＝12，
∴tan∠POH，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
30．已知⊙O的直径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝8cm，CD＝6cm，则AB与CD之间的距离为 1或7 cm．
【分析】作OE⊥AB于E，延长EO交CD于F，连接OA、OC，如图，利用平行线的性质OF⊥CD，根据垂径定理得到AE＝BE＝4，CF＝DF＝3，则利用勾股定理可计算出OE＝3，OF＝4，讨论：当点O在AB与CD之间时，EF＝OF+OE；当点O不在AB与CD之间时，EF＝OF﹣OE．
【解答】解：作OE⊥AB于E，延长EO交CD于F，连接OA、OC，如图，
∵AB∥CD，OE⊥AB，
∴OF⊥CD，
∴AE＝BEAB＝4cm，CF＝DFCD＝3cm，
在Rt△OAE中，OE3cm，
在Rt△OCF中，OF4cm，
当点O在AB与CD之间时，如图1，EF＝OF+OE＝4+3＝7cm；
当点O不在AB与CD之间时，如图2，EF＝OF﹣OE＝4﹣3＝1cm；
综上所述，AB与CD之间的距离为1cm或7cm．
故答案为1或7．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．注意分类讨论．
31．有一斜坡的坡度i＝12：5，斜坡上最高点到地面的距离为2.4米，那么这个斜坡的长度为 2.6 米．
【分析】题目中给出的坡度i＝12：5，表示垂直高度与水平距离的比例为12：5，已知最高点到地面的距离为2.4米，需先求出水平距离，再利用勾股定理求斜边长．
【解答】解：设水平距离为m米，斜边长为n米，
根据题意可得：，
∴m＝1，
∴．
故答案为：2.6．
【点评】本题主要考查了对坡度的理解，坡度通常定义为垂直高度与水平距离的比值，掌握其性质是解题的关键．
32．如图，在Rt△AOB中，OA＝OB＝3，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则切线PQ的最小值为 2 ．
【分析】首先连接OP、OQ，根据勾股定理知PQ2＝OP2﹣OQ2，可得当OP⊥AB时，即线段PQ最短，然后由勾股定理即可求得答案．
【解答】解：连接OP、OQ．
∵PQ是⊙O的切线，
∴OQ⊥PQ；
根据勾股定理知PQ2＝OP2﹣OQ2，
∴当PO⊥AB时，线段PQ最短，
∵在Rt△AOB中，OA＝OB＝3，
∴ABOA＝6，
∴OP3，
∴PQ2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了切线的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意得到当PO⊥AB时，线段PQ最短是关键．
三．解答题（共19小题）
33．计算：
（1）4sin60° tan30°﹣6cos245°；
（2）．
【分析】（1）代入特殊角的三角函数值，按运算顺序计算；
（2）代入特殊角的三角函数值，结合二次根式、绝对值的性质计算．
【解答】解：（1）4sin60° tan30°﹣6cos245°
＝2﹣3
＝﹣1；
（2）
．
【点评】本题主要考查了特殊角的三角函数值、二次根式的运算及绝对值的性质，熟练掌握特殊角的三角函数值并准确进行实数运算是解题的关键．
34．解方程：
（1）x2﹣4x+3＝0．
（2）x（2x+1）＝2x+1．
【分析】（1）利用因式分解法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
【解答】解：（1）x2﹣4x+3＝0，
（x﹣3）（x﹣1）＝0，
∴x﹣3＝0或x﹣1＝0，
∴x1＝3，x2＝1；
（2）x（2x+1）＝2x+1，
x（2x+1）﹣（2x+1）＝0，
（2x+1）（x﹣1）＝0，
∴2x+1＝0或x﹣1＝0，
∴x1，x2＝1；
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
35．计算：（﹣4）﹣12cos30°．
【分析】按照实数的运算法则依次计算，注意||，（﹣4）﹣1，（）0＝1．
【解答】解：原式1﹣2．
【点评】本题需注意的知识点是：负数的绝对值是正数；a﹣p．任何不等于0的数的0次幂是1．
36．先化简，再求值：，其中．
【分析】利用分式的运算法则化简，再代值计算即可求解．
【解答】解：原式
，
代入，原式．
【点评】本题考查了分式的化简与求值，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．
37．解不等式组：．
【分析】先分别求出每一个不等式的解集，再找出解集的公共部分即得原不等式组的解集为﹣2＜x＜1．
【解答】解：，
由①得，x＜1，
由②得．x＞﹣2，
∴原不等式组的解集为﹣2＜x＜1．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”是解题的关键．
38．在中国古代，数学被称为“算术”或“九章之学”，而几何知识常用于天文、测地、建筑、乃至器物制作中．古人用“矩”、“规”巧妙地构建出各类精妙图形．在这样的背景下，匠人们常以尺规作图解决实际问题，体现“法天则地”的智慧精神．
如今，借助尺规来完成一道几何构造题：
如图，已知：△ABC，尺规作图得四边形DBEC．作图步骤如下：
①分别以B、C为圆心，大于的长为半径作弧，两条弧分别相交于点P，Q；
②作直线PQ交AC于点D，连接BD；
③以B为圆心，BD的长为半径作弧，交直线PQ于点E，连接CE，BE．
（1）请用上面方法，用没有刻度的直尺和圆规作出四边形DBEC．（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若∠BAC＝90°，AB＝8cm，AC＝16cm，则四边形DBEC的面积是 80 cm2．
【分析】（1）根据题干给出的作图方法作图即可；
（2）证明四边形DBEC为菱形，菱形的性质结合勾股定理，求出菱形的面积即可．
【解答】解：（1）尺规作图得四边形DBEC，如图1即为所求；
（2）根据作图可得，PQ垂直平分BC，
∴BD＝CD，BE＝CE，
∵由作图得，BD＝BE，
∴BD＝CD＝BE＝CE，
∴四边形DBEC是菱形，
在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8cm，AC＝16cm，
由勾股定理得：BC8（cm），
如图2，BC与DE相交于点O，
∴BO＝COBC＝4（cm），
∵AC＝AD+CD＝AD+BD＝16cm，
∴AD＝16﹣BD，
∵∠BAC＝90°，
在直角三角形ABD中，由勾股定理得：AB2+AD2＝BD2，
∴82+（16﹣BD）2＝BD2，
∴BD＝10cm，
由勾股定理得：OD2（cm），
∴四边形DBEC的面积80（cm2）．
故答案为：80．
【点评】本题考查作图—复杂作图，勾股定理，菱形的判定与性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
39．如图，塔AB前有一座高为DE的台阶，已知CD＝30m，∠DCE＝30°，点E，C，A在同一条水平直线上．在C处测得塔顶部B的仰角为45°，在D处测得塔顶部B的仰角为27°．
（1）求台阶的高DE；
（2）求塔AB的高度（tan27°≈0.5，，结果精确到米）．
【分析】（1）根据题意可得：DE⊥CE，然后在Rt△DEC中，利用含30度角的直角三角形的性质进行计算，即可解答；
（2）过点D作DF⊥AB，垂足为F，根据题意可得：DE＝AF＝15m，DF＝AE，然后设AC＝xm，则DF＝AE＝（x+15）m，分别在Rt△DBF和Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出BF和AB的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）由题意得：DE⊥CE，
在Rt△DEC中，CD＝30m，∠DCE＝30°，
∴DECD＝15（m），CEDE＝15（m），
∴台阶的高DE为15m；
（2）过点D作DF⊥AB，垂足为F，
由题意得：DE＝AF＝15m，DF＝AE，
设AC＝xm，
∵CE＝15m，
∴DF＝AE＝CE+AC＝（x+15）m，
在Rt△DBF中，∠BDF＝27°，
∴BF＝DF tan27°≈0.5（x+15）m，
在Rt△ABC中，∠BCA＝45°，
∴AB＝AC tan45°＝x（m），
∵BF+AF＝AB，
∴0.5（x+15）+15＝x，
解得：x＝1530，
∴AB＝1530＝15×1.7+30≈56（m），
∴塔AB的高度约为56m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，含30度角的直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
40．5月18日是国际博物馆日，为了解甘肃省博物馆的藏品及其承载的历史，弘扬传统文化，小英和小丽准备从博物馆的三个展厅中随机选择一个展厅报名当志愿者，三个展厅如下，分别用A，B，C表示三张形状相同的卡片，其中“A．甘肃佛教艺术展”“B．甘肃古生物化石展”“C．甘肃彩陶展”．现将这3张卡片背面朝上，洗匀放好，小英从中随机抽取一张，记下卡片，放回并洗匀后，小丽再从中随机抽取一张．
（1）小英抽到“A．甘肃佛教艺术展”展厅的概率为 ；
（2）用列表法或画树状图法求出两人恰好抽到“B．甘肃古生物化石展”和“C．甘肃彩陶展”两个展厅的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式计算即可；
（2）先列表得到所有结果，找出符合条件的结果利用概率公式计算即可．
【解答】解：（1）∵共有“A．甘肃佛教艺术展”“B．甘肃古生物化石展”“C．甘肃彩陶展”三种等可能的情况，
∴小英从中随机抽取一张，小英抽到“A．甘肃佛教艺术展”展厅的概率为，
故答案为：；
（2）小英从三张形状相同的卡片随机抽取一张，放回并洗匀后，小丽再从中随机抽取一张，列表如下：
A B C
A （A，A） （B，A） （C，A）
B （A，B） （B，B） （C，B）
C （A，C） （B，C） （C，C）
∴所有的等可能的结果数有9个，两人恰好抽到“B．甘肃古生物化石展”和“C．甘肃彩陶展”两个展厅的结果数有2个，
∴两人恰好抽到“B．甘肃古生物化石展”和“C．甘肃彩陶展”两个展厅的概率为．
【点评】本题主要考查了列表法与树状图法，概率公式，熟练掌握概率的求法是解题的关键．
41．某服装店的某件衣服最近销售火爆．现有A、B两家供应商到服装店推销服装，两家服装价格相同，品质相近．服装店决定通过检查材料的纯度来确定选购哪家的服装．检查人员从两家提供的材料样品中分别随机抽取15块相同的材料，通过特殊操作检验出其纯度（单位：%），并对数据进行整理、描述和分析．部分信息如下：
Ⅰ．A供应商供应材料的纯度（单位：%）如下：
A 72 73 74 75 76 78 79
频数 1 1 5 3 3 1 1
Ⅱ．B供应商供应材料的纯度（单位：%）如下：
72 75 72 75 78 77 73 75 76 77 71 78 79 72 75
Ⅲ．A、B两供应商供应材料纯度的平均数、中位数、众数和方差如下：
平均数 中位数 众数 方差
A 75 75 74 3.07
B 75 75 a b
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表格中的a＝ 75 ，b＝ 6 ；
（2）你认为服装店应选择哪个供应商供应服装？为什么？
【分析】（1）根据众数和方差的计算公式分别进行解答即可；
（2）根据方差的定义，方差越小数据越稳定即可得出答案；
【解答】解：（1）众数a＝75，
平均数为：，
∴方差为：
故答案为：75，6；
（2）选A，理由如下：
∵两家平均值一样，A更稳定，
∴选A供应商供应服装．
【点评】本题主要考查了方差、平均数、中位数、众数等知识点，熟悉相关统计量的计算公式和意义是解决此题的关键．
42．某网络平台销售一种电动牙刷，进价为每把30元，在销售过程中发现如下市场规律：当每把电动牙刷售价为35元时，每天可售出350把；若销售单价每提高1元，则每天销售量减少10把．已知销售单价不低于35元，且物价部门规定每把电动牙刷的销售利润不高于进价的50%，设销售单价为x元．
（1）当x＝38时，每天可销售电动牙刷 320 把．
（2）若当天的利润为3000元，求x的值．
（3）当x为多少时，该网络平台当天获得利润W（元）最大？最大利润为多少元？
【分析】（1）依据题意，每天的销量＝350﹣10（x﹣35），再将x＝38代入即可得解；
（2）依据题意，每天的利润＝（x﹣30）[350﹣10（x﹣35）]，又利润为3000元时，从而可以求得x，再结合电动牙刷的销售利润不高于进价的50%，进而可以判断得解；
（3）依据题意，结合（2），由每天的利润＝（x﹣30）[350﹣10（x﹣35）]＝﹣10（x﹣50）2+4000，再由又电动牙刷的销售利润不高于进价的50%，从而可得售价x的取值范围，进而结合二次函数的性质可以计算得解．
【解答】解：（1）由题意，每天的销量＝350﹣10（x﹣35）．
∴当x＝38时，每天可销售电动牙刷的数量为：350﹣10（38﹣35）＝320（把）．
故答案为：320．
（2）由题意，每天的利润＝（x﹣30）[350﹣10（x﹣35）]．
又当天的利润为3000元时，
∴3000＝（x﹣30）[350﹣10（x﹣35）]．
∴x＝40或x＝60．
又电动牙刷的销售利润不高于进价的50%，
∴x＝60不合题意．
∴x＝40．
（3）由题意，结合（2），∵每天的利润＝（x﹣30）[350﹣10（x﹣35）]
＝﹣10（x﹣50）2+4000．
又电动牙刷的销售利润不高于进价的50%，
∴x≤30+30×50%＝45．
∴35≤x≤45．
又﹣10＜0，
∴当x＜50时，利润随售价x的增大而增大．
∴当x＝45时，利润最大，最大利润为3750元．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要能根据二次函数的增减性进行计算是关键．
43．某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求该商品每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系式；
（2）若商店按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？
【分析】（1）将点（30，100）、（45，70）代入一次函数表达式，即可求解；
（2）由题意得w＝（x﹣30）（﹣2x+160）＝﹣2（x﹣55）2+1250，即可求解．
【解答】解：（1）设y与销售单价x之间的函数关系式为：y＝kx+b，
将点（30，100）、（45，70）代入一次函数表达式得：
，
解得：，
故函数的表达式为：y＝﹣2x+160；
（2）由题意得：w＝（x﹣30）（﹣2x+160）＝﹣2（x﹣55）2+1250，
∵﹣2＜0，故当x＜55时，w随x的增大而增大，而30≤x≤50，
∴当x＝50时，w有最大值，此时，w＝1200，
故销售单价定为50元时，该超市每天的利润最大，最大利润1200元．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式等知识，正确利用销量×每件的利润＝w得出函数关系式是解题关键．
44．如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y的图象相交于A（2，4）、B（﹣4，n）两点．
（1）分别求出一次函数与反比例函数的表达式；
（2）根据所给条件，请直接写出不等式kx+b的解集 ﹣4＜x＜0或x＞2 ；
（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为点C，连接AC，求S△ABC．
【分析】（1）先根据点A的坐标求出反比例函数的解析式，再求出B的坐标，利用待定系数法求一次函数的解析式；
（2）当一次函数的值＞反比例函数的值时，直线在双曲线的上方，直接根据图象写出一次函数的值＞反比例函数的值x的取值范围．
（3）设AB与x轴的交点为D，把△ACB的面积分成两个部分求解；也可以以BC为底，BC上的高为A点横坐标和B点横坐标的绝对值的和．
【解答】（本小题满分9分）
解：（1）∵点A（2，4）在y的图象上，
∴m＝8．
∴反比例函数的表达式为y．
∴n2，B（﹣4，﹣2）．
∵点A（2，4），B（﹣4，﹣2）在y＝kx+b上，
∴，
∴．
∴一次函数的表达式为y＝x+2．
（2）﹣4＜x＜0或x＞2．，
故答案为）﹣4＜x＜0或x＞2．
（3）方法一：设AB交x轴于点D，则D的坐标为（﹣2，0）．
∴CD＝2．
∴S△ABC＝S△BCD+S△ACD2×22×4＝6．
方法二：以BC为底，则BC边上的高为4+2＝6．
∴S△ABC2×6＝6．
【点评】本题主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式和反比例函数中k的几何意义．这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
45．已知，如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于D，过D作DE⊥MN于E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若DE＝6cm，AE＝3cm，求⊙O的半径．
【分析】（1）连接OD，根据平行线的判断方法与性质可得∠ODE＝∠DEM＝90°，且D在⊙O上，故DE是⊙O的切线．
（2）由直角三角形的特殊性质，可得AD的长，又有△ACD∽△ADE．根据相似三角形的性质列出比例式，代入数据即可求得圆的半径．
【解答】（1）证明：连接OD．
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA．
∵∠OAD＝∠DAE，
∴∠ODA＝∠DAE．
∴DO∥MN．
∵DE⊥MN，
∴∠ODE＝∠DEM＝90°．
即OD⊥DE．
∵D在⊙O上，OD为⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线．
（2）解：∵∠AED＝90°，DE＝6，AE＝3，
∴．
连接CD．
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝∠AED＝90°．
∵∠CAD＝∠DAE，
∴△ACD∽△ADE．
∴．
∴．
则AC＝15（cm）．
∴⊙O的半径是7.5cm．
【点评】本题考查常见的几何题型，包括切线的判定，线段等量关系的证明及线段长度的求法，要求学生掌握常见的解题方法，并能结合图形选择简单的方法解题．
46．已知：如图，在△ABC中，BC＝AC，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E．
（1）求证：点D是AB的中点；
（2）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（3）若⊙O的直径为18，cosB，求DE的长．
【分析】（1）连接CD，由BC为直径可知CD⊥AB，又BC＝AC，由等腰三角形的底边“三线合一”证明结论；
（2）连接OD，则OD为△ABC的中位线，OD∥AC，已知DE⊥AC，可证DE⊥OC，证明结论；
（3）连接CD，在Rt△BCD中，已知BC＝18，cosB，求得BD＝6，则AD＝BD＝6，在Rt△ADE中，已知AD＝6，cosA＝cosB，可求AE，利用勾股定理求DE．
【解答】（1）证明：连接CD，
∵BC为⊙O的直径，∴CD⊥AB，
又∵AC＝BC，
∴AD＝BD，即点D是AB的中点．
（2）解：DE是⊙O的切线．
证明：连接OD，则DO是△ABC的中位线，
∴DO∥AC，
又∵DE⊥AC，
∴DE⊥DO即DE是⊙O的切线；
（3）解：∵AC＝BC，∴∠B＝∠A，
∴cosB＝cosA，
∵cosB，BC＝18，
∴BD＝6，
∴AD＝6，
∵cosA，
∴AE＝2，
在Rt△AED中，DE．
【点评】本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，解直角三角形的运用，关键是作辅助线，将问题转化为直角三角形，等腰三角形解题．
47．（1）如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE⊥DF，垂足为点G．求证：△ADE∽△DCF．
【问题解决】
（2）如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF，延长BC到点H，使CH＝DE，连接DH．求证：∠ADF＝∠H．
【类比迁移】
（3）如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF＝11，DE＝8，∠AED＝60°，求CF的长．
【分析】（1）由矩形的性质得∠C＝∠ADE＝90°，再证∠AED＝∠DFC，即可得出结论；
（2）证Rt△ADE≌Rt△DCF（HL），得DE＝CF，再证△DCF≌△DCH（SAS），得∠DFC＝∠H，然后由平行线的性质得∠ADF＝∠DFC，即可得出结论；
（3）延长BC至点G，使CG＝DE＝8，连接DG，△ADE≌△DCG（SAS），得∠DGC＝∠AED＝60°，AE＝DG，再证△DFG是等边三角形，得FG＝DF＝11，即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠ADE＝90°，
∴∠CDF+∠DFC＝90°，
∵AE⊥DF，
∴∠DGE＝90°，
∴∠CDF+∠AED＝90°，
∴∠AED＝∠DFC，
∴△ADE∽△DCF；
（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，AD∥BC，∠ADE＝∠DCF＝90°，
∵AE＝DF，
∴Rt△ADE≌Rt△DCF（HL），
∴DE＝CF，
∵CH＝DE，
∴CF＝CH，
∵点H在BC的延长线上，
∴∠DCH＝∠DCF＝90°，
又∵DC＝DC，
∴△DCF≌△DCH（SAS），
∴∠DFC＝∠H，
∵AD∥BC，
∴∠ADF＝∠DFC，
∴∠ADF＝∠H；
（3）解：如图3，延长BC至点G，使CG＝DE＝8，连接DG，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝DC，AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DCG，
∴△ADE≌△DCG（SAS），
∴∠DGC＝∠AED＝60°，AE＝DG，
∵AE＝DF，
∴DG＝DF，
∴△DFG是等边三角形，
∴FG＝DF＝11，
∵CF+CG＝FG，
∴CF＝FG﹣CG＝11﹣8＝3，
即CF的长为3．
【点评】本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、正方形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质等知识，本题综合性强，熟练掌握矩形的性质、正方形的性质和菱形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．
48．【问题情境】已知矩形ABCD和矩形AEFG，点E在BC边上，矩形AEFG在BC边的上方，且，连接CF．
【特例发现】（1）如图1，当k＝1时，那么的值为 ；（提示：在AB边上取一点M，使得BM＝BE，连接EM）
【拓展延伸】（2）如图2，当时，连接DG，DF．
①求证：△ABE∽△ADG；
②若，且DG＝8，求DF的长．
【分析】（1）在AB边上取一点M，使BM＝BE，连接EM，则，根据SAS证明△AME≌△ECF即可；
（2）①对图形进行标注，如图，证明∠1＝∠2，由，可得，进一步可得结论，即可得出结论；
②过F作FH⊥CD于H，结合△ABE∽△ADG，证明△AGD∽△GFH，求出FH＝4，DH＝3，再运用勾股定理求出DF．
【解答】解：（1）如图，在AB边上取一点M，使BM＝BE，连接EM，则，
∵，
∴AB＝BC，AE＝EF，
∵BM＝BE，
∴AB﹣BM＝BC﹣BE，即AM＝CE，
∵∠MAE+∠AEB＝90°，∠AEB+∠CEF＝180°﹣∠AEF＝90°，
∴∠MAE＝∠CEF，
在△AME与△ECF中，
，
∴△AME≌△ECF（SAS），
∴，
∴．
故答案为：；
（2）①证明：∵∠BAE+∠EAD＝90°，∠DAG+∠EAD＝90°，
∴∠BAE＝∠DAG，
∵四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形，
∴AD＝BC，AG＝EF，
∵，
∴，
∴△ABE∽△ADG．
②如图，过点F作FH⊥DG于点H，
由①知，△ABE∽△ADG，
∴，即，
∴BE＝4，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵∠AGD+∠DGF＝90°，∠AGD+∠2＝90°，
∴∠2＝∠DGF，而∠ADG＝∠GHF＝90°，
∴△AGD∽△GFH，
∴，
∵四边形AEFG是矩形，
∴AG＝EF，AE＝GF，
∵，
∴，
即，解得GH＝5，FH＝4，
∴DH＝DG﹣DH＝3，
∴．
【点评】本题主要考查矩形的性质，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形和相似三角形是解答本题的关键．
49．综合与实践
【问题情境】在学校活动课上，樊老师让同学们探究特殊平行四边形的性质，小明和他的小伙伴们准备了如图1所示的正方形ABCD，连接对角线BD，在BD上取一点P，连接PA，延长AD至点E，连接PE，交CD于点F，且PA＝PE．
【观察发现】（1）如图1，小明连接了PC，小伙伴们发现了PE与PC之间存在一定的关系，其数量关系为 PE＝PC ，位置关系为 PE⊥PC ．
【探索猜想】（2）如图2、小明连接了CE，小伙伴们发现了PA和CE之间存在一定的数量关系，请你帮助小明和小伙伴们探究PA和CE之间的数量关系，并说明理由．
【拓展延伸】（3）如图3，小明将正方形ABCD改为菱形ABCD，当∠BAD＝60°时，请直接写出PA与CE之间的数量关系．
【分析】（1）先证出△ABP≌△CBP，则∠BAP＝∠BCP，进而得∠DAP＝∠DCP，由PA＝PC，得到∠DAP＝∠E，∠DCP＝∠E，最后∠CPF＝∠EDF＝90°得到结论；
（2）结合（1）证明△PEC是等腰直角三角形，所以CEPC，进而可得结论；
（3）证明△ABP≌△CBP（SAS），得到△PEC是顶角为120°的等腰三角形，进而求解．
【解答】解：（1）PC与PE的关系垂直且相等，理由：
在正方形ABCD中，AB＝BC，
∠ABP＝∠CBP＝45°，
在△ABP和△CBP中，AB＝BC，∠ABP＝∠CBP，PB＝PB，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴PA＝PC，PA＝PE，
∴∠DAP＝∠DCP，
∵PA＝PE，
∴∠DAP＝∠E，
∴∠DCP＝∠E，
∵∠CFP＝∠EFD（对顶角相等），
∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF＝180°﹣∠DFE﹣∠E，
即∠CPF＝∠EDF＝90°，
故PC与PE的关系垂直且相等；
故答案为：PE＝PC，PE⊥PC；
（2）CEPA，理由如下：
由（1）知：PE＝PC，PE⊥PC，
∴△PEC是等腰直角三角形，
∴CEPC，
∵PA＝PC，
∴CEPA；
（3）∵把正方形ABCD改为菱形ABCD，∠BAD＝60°，
∴∠ADC＝120°，
同理可得△ABP≌△CBP（SAS），
∴PA＝PC＝PE，∠BAP＝∠BCP，
∵∠BAD＝∠BCD，
∴∠DAP＝∠DCP，
∴∠DAP＝∠DCP＝∠AEP，
∵∠DFE＝∠PFC，∠DCP＝∠DEP，
∴∠CPE＝∠CDE＝180°﹣∠ADC＝180°﹣120°＝60°，
∴△PEC是等边三角形，
∴CE＝PA，
∴线段AP与线段CE的数量关系是CE＝PA．
【点评】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，等边对等角的性质，熟记正方形的性质确定出∠ABP＝∠CBP是解题的关键．
50．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3经过A、B、C三点，点A（﹣3，0）、C（1，0），点B在y轴上．点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与A、B重合）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）过点P作x轴的垂线，垂足为D，交直线AB于点E，动点P在什么位置时，PE最大，求出此时P点的坐标；
（3）点Q是抛物线对称轴上一动点，是否存在点Q，使以点A、B、Q为顶点的三角形为直角三角形？若存在，请求出点Q坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）把点A，B代入y＝ax2+bx﹣3即可得出答案；
（2）设P（x，x2+2x﹣3），求出直线AB的解析，用含x的代数式表示出点E坐标，即可用含x的代数式表示出PE的长度，由函数的思想可求出点P的横坐标，进一步求出其纵坐标；
（3）设点Q（﹣1，n），然后分类讨论利用勾股定理列出关于n的方程求解．
【解答】解：（1）把A（﹣3，0）和C（1，0）代入y＝ax2+bx﹣3得，
，
解得，
∴抛物线解析式为y＝x2+2x﹣3；
（2）设P（x，x2+2x﹣3），直线AB的解析式为y＝kx+m，
①由抛物线解析式y＝x2+2x﹣3，
令x＝0，则y＝﹣3，
∴B（0，﹣3），
把A（﹣3，0）和B（0，﹣3）代入y＝kx+m，
得，，
解得，，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x﹣3，
∵PE⊥x轴，
∴E（x，﹣x﹣3），
∵P在直线AB下方，
∴PE＝﹣x﹣3﹣（ x2+2x﹣3）＝﹣x2﹣3x＝﹣（x）2，
当x时，y＝x2+2x﹣3，
∴当PE最大时，P点坐标为（，）；
（3）∵抛物线解析式为y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1，
设Q（﹣1，n），
∵A（﹣3，0），B（0，﹣3），
①当∠QAB＝90°时，AQ2+AB2＝BQ2，
∴22+n2+32+32＝（﹣1）2+（n+3）2，
解得：n＝2，
∴Q1（﹣1，2），
②当∠QBA＝90°时，BQ2+AB2＝AQ2，
∴（﹣1）2+（n+3）2+32+32＝22+n2，
解得：n＝﹣4，
∴Q2（﹣1，﹣4），
③当∠AQB＝90°时，BQ2+AQ2＝AB2，
∴（﹣1）2+（n+3）2+22+n2＝32+32，
解得：n或n，
∴Q3（﹣1，），Q4（﹣1，），
综上所述：点Q的坐标是（﹣1，2）或（﹣1，﹣4）或（﹣1，）或（﹣1，）．
【点评】本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数的解析式、二次函数的性质、勾股定理，解题的关键是用含有未知数的代数式表达点的坐标和线段的长度．
51．如图，已知抛物线：y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OA＝OC＝3，顶点为D．
（1）求此函数的关系式；
（2）在AC下方的抛物线上，是否存在一点N，使△CAN面积最大？最大面积是多少？
（3）E在对称轴上，F在抛物线上，若以A，O，E，F为顶点形成平行四边形，求出点E，F的坐标．
【分析】（1）求出A，C坐标，待定系数法求出函数解析式即可；
（2）求出直线AC的解析式，过点N作NE⊥x轴于点E，交AC于点M，设点N的坐标为（t，t2+2t﹣3），分割法表示出△CAN的面积，转化为二次函数求最值即可；
（3）分AO为边，和AO为对角线，两种情况进行讨论求解即可．
【解答】解：（1）知抛物线：y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OA＝OC＝3，
∴A（﹣3，0），C（0，﹣3），
将点A，点C的坐标分别代入得：
，
解得：，
∴此函数的解析式为y＝x2+2x﹣3；
（2）在AC下方的抛物线上，存在一点N使△CAN面积最大；理由如下：
如图1，过点N作NE⊥x轴于点E，交AC于点M，
设AC的解析式为y＝kx﹣3，将点A的坐标代入得：
﹣3k﹣3＝0，
解得：k＝﹣1，
∴直线AC解析式为y＝﹣x﹣3，
设点N的坐标为（t，t2+2t﹣3），则点M的坐标为（t，﹣t﹣3），
∴MN＝﹣t2﹣3t，
∴，
∴当时，此时，△CAN的面积最大为；
（3）如图2，抛物线对称轴为直线，
①以AO为边，则EF∥AO，且EF＝AO．
设F（m，m2+2m﹣3），则E（﹣1，m2+2m﹣3），
∴|m+1|＝3，
解得：m1＝2，m2＝﹣4，
当m＝2时，m2+2m﹣3＝5；
当m＝﹣4时，m2+2m﹣3＝5；
故F（2，5），E（﹣1，5）或F（﹣4，5），E（﹣1，5）；
②以AO为对角线，则AO与EF互相平分，
设E（﹣1，n），
∵AO的中点M（﹣1.5，0），
∴F（﹣2，﹣n）．
把F（﹣2，﹣n）代入y＝x2+2x﹣3，得：n＝3．
∴E（﹣1，3），F（﹣2，﹣3），
综上所述，F（2，5），E（﹣1，5）或F（﹣4，5），E（﹣1，5）或F（﹣2，﹣3），E（﹣1，3）．
【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键．
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北师大版九年级上册数学期末考试综合复习高频考题
一．选择题（共22小题）
1．4的算术平方根为（ ）
A．﹣2 B．2 C．±2 D．
2．截至4月12日17时38分，电影《哪吒之魔童闹海》全球总票房达到156.29亿元，也是我国首部百亿电影，将数据“156.29亿”用科学记数法表示为（ ）
A．156.29×108 B．15.629×1010
C．1.5629×1010 D．0.15629×109
3．下列计算结果为4a5的是（ ）
A．4a2 a3 B．4a6﹣a C．8a10÷2a2 D．（﹣2a3）2
4．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．图中几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
6．在下列四幅图形中，能表示两棵小树在同一时刻阳光下影子的图形的可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．用配方法解方程x2+2x﹣1＝0时，配方结果正确的是（ ）
A．（x+2）2＝2 B．（x+1）2＝2 C．（x+2）2＝3 D．（x+1）2＝3
8．如图，已知直线AB∥CD∥EF，若AD：DF＝3：2，CE＝4，则BE的长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
9．在△ABC中，若角A，B满足|cosA|+（1﹣tanB）2＝0，则∠C的大小是（ ）
A．45° B．60° C．75° D．105°
10．如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠A＝35°，则直角边BC的长是（ ）
A．msin35° B．mcos35° C． D．
11．在函数的图象上有三点A（﹣4，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3），则下列各式正确的是（ ）
A．y3＜y2＜y1 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y2＜y3 D．y3＜y1＜y2
12．在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A的坐标为（﹣9，6），以原点O为位似中心，把△ABC缩小为原来的，得到△A'B'C'，则点A的对应点A'的坐标为（ ）
A．（﹣3，2） B．（﹣2，3）或（﹣3，2）
C．（﹣2，3） D．（﹣3，2）或（3，﹣2）
13．把二次函数y＝x2﹣4x+1的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，平移后的图象必经过点（ ）
A．（1，﹣1） B．（﹣1，1） C．（1，2） D．（7，﹣2）
14．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，2），B（1，0），∠ABC＝90°，BC＝2AB，若点C在函数y（x＞0）的图象上，则k的值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
15．如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P．则cos∠APD的值是（ ）
A．0.5 B． C．2 D．
16．如图，是反比例函数y1和y2（k1＜k2）在第一象限的图象，直线AB∥x轴，并分别交两条双曲线于A、B两点，若S△AOB＝3，则k2﹣k1的值是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
17．古代数学趣题：老头提篮去赶集，一共花去七十七；满满装了一菜篮，十斤大肉三斤鱼；买好未曾问单价，只因回家心里急；道旁行人告诉他，九斤肉钱五斤鱼．意思是：77元钱共买了10斤肉和3斤鱼，9斤肉的钱等于5斤鱼的钱，问每斤肉和鱼各是多少钱？设每斤肉x元，每斤鱼y元，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
18．如图，在半径为的⊙O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB＝75°，AB＝6，AE＝1，则CD的长是（ ）
A．2 B．2 C．2 D．4
19．如图，点D（0，3），O（0，0），C（4，0）在⊙A上，BD是⊙A的一条弦，则sin∠OBD＝（ ）
A． B． C． D．
20．如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（3，4），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
21．抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，且过点（1，0）．顶点位于第二象限，其部分图象如图所示，给出以下判断：①abc＞0；②4a﹣2b+c＞0；③8a+c＞0；④b2﹣4ac＞0；⑤c＝3a﹣3b．其中正确的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
22．如图1，动点P从菱形ABCD的点A出发，沿边AB→BC匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，PO的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到BC中点时，PO的长为（ ）
A．2 B．3 C． D．
二．填空题（共10小题）
23．因式分解2m2﹣4m+2＝ ．
24．对于任意实数a，b，定义关于“ ”的一种运算如下：a b＝ab+ab．例如：5 2＝52+5×2＝35．若（﹣3） 2＝ ．
25．函数y有意义，则x的取值范围是 ．
26．在一个不透明的布袋中装有黄、白两种颜色的球共10个，这些球除了颜色外其他都相同，小红从布袋中随机摸出一个球，记下颜色后再放回布袋中，通过大量重复试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3，估计布袋中黄球的个数为 个．
27．小丽身高1.5米，经太阳光照射，在地面的影长为2米，同一时刻，她测得旗杆在地面的影长为20米，那么旗杆高为 米．
28．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD＝80°，则∠BCD的度数是 ．
29．如图，P（12，a）在反比例函数图象上，PH⊥x轴于H，则tan∠POH的值为 ．
30．已知⊙O的直径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝8cm，CD＝6cm，则AB与CD之间的距离为 cm．
31．有一斜坡的坡度i＝12：5，斜坡上最高点到地面的距离为2.4米，那么这个斜坡的长度为 米．
32．如图，在Rt△AOB中，OA＝OB＝3，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则切线PQ的最小值为 ．
三．解答题（共19小题）
33．计算：
（1）4sin60° tan30°﹣6cos245°；
（2）．
34．解方程：
（1）x2﹣4x+3＝0．
（2）x（2x+1）＝2x+1．
35．计算：（﹣4）﹣12cos30°．
36．先化简，再求值：，其中．
37．解不等式组：．
38．在中国古代，数学被称为“算术”或“九章之学”，而几何知识常用于天文、测地、建筑、乃至器物制作中．古人用“矩”、“规”巧妙地构建出各类精妙图形．在这样的背景下，匠人们常以尺规作图解决实际问题，体现“法天则地”的智慧精神．
如今，借助尺规来完成一道几何构造题：
如图，已知：△ABC，尺规作图得四边形DBEC．作图步骤如下：
①分别以B、C为圆心，大于的长为半径作弧，两条弧分别相交于点P，Q；
②作直线PQ交AC于点D，连接BD；
③以B为圆心，BD的长为半径作弧，交直线PQ于点E，连接CE，BE．
（1）请用上面方法，用没有刻度的直尺和圆规作出四边形DBEC．（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若∠BAC＝90°，AB＝8cm，AC＝16cm，则四边形DBEC的面积是 cm2．
39．如图，塔AB前有一座高为DE的台阶，已知CD＝30m，∠DCE＝30°，点E，C，A在同一条水平直线上．在C处测得塔顶部B的仰角为45°，在D处测得塔顶部B的仰角为27°．
（1）求台阶的高DE；
（2）求塔AB的高度（tan27°≈0.5，，结果精确到米）．
40．5月18日是国际博物馆日，为了解甘肃省博物馆的藏品及其承载的历史，弘扬传统文化，小英和小丽准备从博物馆的三个展厅中随机选择一个展厅报名当志愿者，三个展厅如下，分别用A，B，C表示三张形状相同的卡片，其中“A．甘肃佛教艺术展”“B．甘肃古生物化石展”“C．甘肃彩陶展”．现将这3张卡片背面朝上，洗匀放好，小英从中随机抽取一张，记下卡片，放回并洗匀后，小丽再从中随机抽取一张．
（1）小英抽到“A．甘肃佛教艺术展”展厅的概率为 ；
（2）用列表法或画树状图法求出两人恰好抽到“B．甘肃古生物化石展”和“C．甘肃彩陶展”两个展厅的概率．
41．某服装店的某件衣服最近销售火爆．现有A、B两家供应商到服装店推销服装，两家服装价格相同，品质相近．服装店决定通过检查材料的纯度来确定选购哪家的服装．检查人员从两家提供的材料样品中分别随机抽取15块相同的材料，通过特殊操作检验出其纯度（单位：%），并对数据进行整理、描述和分析．部分信息如下：
Ⅰ．A供应商供应材料的纯度（单位：%）如下：
A 72 73 74 75 76 78 79
频数 1 1 5 3 3 1 1
Ⅱ．B供应商供应材料的纯度（单位：%）如下：
72 75 72 75 78 77 73 75 76 77 71 78 79 72 75
Ⅲ．A、B两供应商供应材料纯度的平均数、中位数、众数和方差如下：
平均数 中位数 众数 方差
A 75 75 74 3.07
B 75 75 a b
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表格中的a＝ ，b＝ ；
（2）你认为服装店应选择哪个供应商供应服装？为什么？
42．某网络平台销售一种电动牙刷，进价为每把30元，在销售过程中发现如下市场规律：当每把电动牙刷售价为35元时，每天可售出350把；若销售单价每提高1元，则每天销售量减少10把．已知销售单价不低于35元，且物价部门规定每把电动牙刷的销售利润不高于进价的50%，设销售单价为x元．
（1）当x＝38时，每天可销售电动牙刷 把．
（2）若当天的利润为3000元，求x的值．
（3）当x为多少时，该网络平台当天获得利润W（元）最大？最大利润为多少元？
43．某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求该商品每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系式；
（2）若商店按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？
44．如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y的图象相交于A（2，4）、B（﹣4，n）两点．
（1）分别求出一次函数与反比例函数的表达式；
（2）根据所给条件，请直接写出不等式kx+b的解集 ；
（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为点C，连接AC，求S△ABC．
45．已知，如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于D，过D作DE⊥MN于E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若DE＝6cm，AE＝3cm，求⊙O的半径．
46．已知：如图，在△ABC中，BC＝AC，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E．
（1）求证：点D是AB的中点；
（2）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（3）若⊙O的直径为18，cosB，求DE的长．
47．（1）如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE⊥DF，垂足为点G．求证：△ADE∽△DCF．
【问题解决】
（2）如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF，延长BC到点H，使CH＝DE，连接DH．求证：∠ADF＝∠H．
【类比迁移】
（3）如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF＝11，DE＝8，∠AED＝60°，求CF的长．
48．【问题情境】已知矩形ABCD和矩形AEFG，点E在BC边上，矩形AEFG在BC边的上方，且，连接CF．
【特例发现】（1）如图1，当k＝1时，那么的值为 ；（提示：在AB边上取一点M，使得BM＝BE，连接EM）
【拓展延伸】（2）如图2，当时，连接DG，DF．
①求证：△ABE∽△ADG；
②若，且DG＝8，求DF的长．
49．综合与实践
【问题情境】在学校活动课上，樊老师让同学们探究特殊平行四边形的性质，小明和他的小伙伴们准备了如图1所示的正方形ABCD，连接对角线BD，在BD上取一点P，连接PA，延长AD至点E，连接PE，交CD于点F，且PA＝PE．
【观察发现】（1）如图1，小明连接了PC，小伙伴们发现了PE与PC之间存在一定的关系，其数量关系为 ，位置关系为 ．
【探索猜想】（2）如图2、小明连接了CE，小伙伴们发现了PA和CE之间存在一定的数量关系，请你帮助小明和小伙伴们探究PA和CE之间的数量关系，并说明理由．
【拓展延伸】（3）如图3，小明将正方形ABCD改为菱形ABCD，当∠BAD＝60°时，请直接写出PA与CE之间的数量关系．
50．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3经过A、B、C三点，点A（﹣3，0）、C（1，0），点B在y轴上．点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与A、B重合）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）过点P作x轴的垂线，垂足为D，交直线AB于点E，动点P在什么位置时，PE最大，求出此时P点的坐标；
（3）点Q是抛物线对称轴上一动点，是否存在点Q，使以点A、B、Q为顶点的三角形为直角三角形？若存在，请求出点Q坐标；若不存在，请说明理由．
51．如图，已知抛物线：y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OA＝OC＝3，顶点为D．
（1）求此函数的关系式；
（2）在AC下方的抛物线上，是否存在一点N，使△CAN面积最大？最大面积是多少？
（3）E在对称轴上，F在抛物线上，若以A，O，E，F为顶点形成平行四边形，求出点E，F的坐标．
北师大版九年级上册数学期末考试综合复习高频考题
参考答案与试题解析
一．选择题（共22小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B C． A B D D B C D A B
题号 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
答案 D A C B B A C D C C C
一．选择题（共22小题）
1．4的算术平方根为（ ）
A．﹣2 B．2 C．±2 D．
【分析】依据算术平方根的定义求解即可．
【解答】解：∵22＝4，
∴4的算术平方根是2，
故选：B．
【点评】本题主要考查的是算术平方根的定义，掌握算术平方根的定义是解题的关键．
2．截至4月12日17时38分，电影《哪吒之魔童闹海》全球总票房达到156.29亿元，也是我国首部百亿电影，将数据“156.29亿”用科学记数法表示为（ ）
A．156.29×108 B．15.629×1010
C．1.5629×1010 D．0.15629×109
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：156.29亿＝15629000000＝1.5629×1010．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．下列计算结果为4a5的是（ ）
A．4a2 a3 B．4a6﹣a C．8a10÷2a2 D．（﹣2a3）2
【分析】各式计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式＝4a5，符合题意；
B、原式不能合并，不符合题意；
C、原式＝4a8，不符合题意；
D、原式＝4a6，不符合题意．
故选：A．
【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用比例的性质即可得到答案．
【解答】解：∵，
∴11；
故选：B．
【点评】本题考查了比例线段：熟练掌握比例的性质是解决此题的关键．
5．图中几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可．
【解答】解：从上面看可得到三个矩形左右排在一起，中间的较大，故选：D．
【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
6．在下列四幅图形中，能表示两棵小树在同一时刻阳光下影子的图形的可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据平行投影的特点，利用两小树的影子的方向相反可对A、B进行判断；利用在同一时刻阳光下，树高与影子成正比可对C、D进行判断．
【解答】解：A、两棵小树的影子的方向相反，不可能为同一时刻阳光下影子，所以A选项错误；
B、两棵小树的影子的方向相反，不可能为同一时刻阳光下影子，所以B选项错误；
C、图中树高与影子成反比，而在同一时刻阳光下，树高与影子成正比，所以C选项错误；
D、在同一时刻阳光下，树高与影子成正比，所以D选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．
7．用配方法解方程x2+2x﹣1＝0时，配方结果正确的是（ ）
A．（x+2）2＝2 B．（x+1）2＝2 C．（x+2）2＝3 D．（x+1）2＝3
【分析】把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数，判断出配方结果正确的是哪个即可．
【解答】解：∵x2+2x﹣1＝0，
∴x2+2x+1＝2，
∴（x+1）2＝2．
故选：B．
【点评】此题主要考查了配方法在解一元二次方程中的应用，要熟练掌握．
8．如图，已知直线AB∥CD∥EF，若AD：DF＝3：2，CE＝4，则BE的长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【分析】利用平行线分线段成比例定理求解．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴，
∵AD：DF＝3：2，CE＝4，
∴，
∴BC＝6，
∴BE＝BC+CE＝6+4＝10．
故选：C．
【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理．
9．在△ABC中，若角A，B满足|cosA|+（1﹣tanB）2＝0，则∠C的大小是（ ）
A．45° B．60° C．75° D．105°
【分析】根据非负数的性质得出cosA，tanB＝1，求出∠A和∠B的度数，继而可求得∠C的度数．
【解答】解：由题意得，cosA，tanB＝1，
则∠A＝30°，∠B＝45°，
则∠C＝180°﹣30°﹣45°＝105°．
故选：D．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．
10．如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠A＝35°，则直角边BC的长是（ ）
A．msin35° B．mcos35° C． D．
【分析】根据正弦定义：把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦可得答案．
【解答】解：sin∠A，
∵AB＝m，∠A＝35°，
∴BC＝msin35°，
故选：A．
【点评】此题主要考查了锐角三角函数，关键是掌握正弦定义．
11．在函数的图象上有三点A（﹣4，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3），则下列各式正确的是（ ）
A．y3＜y2＜y1 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y2＜y3 D．y3＜y1＜y2
【分析】先根据题意判断出函数图象所在的象限，再根据各点横坐标的值即可得出结论．
【解答】解：∵k2+1＞0，
∴函数的图象的两个分支分别位于第一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小，
∵点A（﹣4，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）在此函数图象上，﹣4＜﹣1，2＞0，
∴0＞y1＞y2，y3＞0，
∴y2＜y1＜y3．
故选：B．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键．
12．在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A的坐标为（﹣9，6），以原点O为位似中心，把△ABC缩小为原来的，得到△A'B'C'，则点A的对应点A'的坐标为（ ）
A．（﹣3，2） B．（﹣2，3）或（﹣3，2）
C．（﹣2，3） D．（﹣3，2）或（3，﹣2）
【分析】根据关于以原点为位似中心的点的坐标特征，把A点的横纵坐标都乘以或得到点A'的坐标．
【解答】解：∵以原点O为位似中心，把△ABC缩小为原来的，得到△A'B'C'，
而点A的坐标为（﹣9，6），
∴点A的对应点A'的坐标为（﹣9，6）或（9，﹣6），即（﹣3，2）或（3，﹣2）．
故选：D．
【点评】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
13．把二次函数y＝x2﹣4x+1的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，平移后的图象必经过点（ ）
A．（1，﹣1） B．（﹣1，1） C．（1，2） D．（7，﹣2）
【分析】根据“左加右减，上加下减”的法则求得平移后的解析式，然后把四个选项中点的坐标代入即可得出结论．
【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣4x+1可化为y＝（x﹣2）2﹣3，
∴把二次函数y＝x2﹣4x+1的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，平移后的抛物线的表达式为y＝（x﹣2+2）2﹣3+1，即y＝x2﹣2，
当x＝1时，y＝﹣1，故A符合题意，C不合题意；
当x＝﹣1时，y＝﹣1，故B不合题意；
当x＝7时，y＝47，故D不合题意；
故选：A．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．
14．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，2），B（1，0），∠ABC＝90°，BC＝2AB，若点C在函数y（x＞0）的图象上，则k的值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【分析】利用△AOB∽△BDC求出OD和CD，得到点C坐标即可求出k值．
【解答】解：作CD⊥x轴，垂足为点D，
∵点A（0，2），B（1，0），
∴OA＝2，OB＝1，
∵∠AOB＝∠BDC，∠ABO＝∠BCD，
∴△AOB∽△BDC，
∵BC＝2AB，
∴，
∴BD＝2AO＝4，CD＝2BO＝2，
∴OD＝5，
∴C（5，2），
∵点C在函数y（x＞0）的图象上，
∴k＝5×2＝10．
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解答本题的关键．
15．如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P．则cos∠APD的值是（ ）
A．0.5 B． C．2 D．
【分析】连接BE，AE，先利用勾股定理的逆定理证明△ABE是直角三角形，从而可得∠AEB＝90°，然后在Rt△AEB中，利用锐角三角函数的定义求出cos∠ABE的值，再根据题意可得：BE∥CD，从而可得∠ABE＝∠APD，即可解答．
【解答】解：如图：连接BE，AE，
设小正方形的边长为1，
由题意得：AE2＝22+22＝8，
BE2＝12+12＝2，
AB2＝12+32＝10，
∴AE2+BE2＝AB2，
∴△ABE是直角三角形，
∴∠AEB＝90°，
在Rt△AEB中，AB，BE，
∴cos∠ABE
由题意得：BE∥CD，
∴∠ABE＝∠APD，
∴cos∠APD＝cos∠ABE，
故选：B．
【点评】本题考查了解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
16．如图，是反比例函数y1和y2（k1＜k2）在第一象限的图象，直线AB∥x轴，并分别交两条双曲线于A、B两点，若S△AOB＝3，则k2﹣k1的值是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【分析】应用反比例函数比例系数k的几何意义，表示△BOC、△AOC的面积，利用S△BOC﹣S△AOC＝S△AOB构造方程即可．
【解答】解：由反比例函数比例系数k的几何意义可知，
S△BOC
S△AOC
∵S△BOC﹣S△AOC＝S△AOB＝3
∴3
∴k2﹣k1＝6
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义，解答时注意观察图中三角形面积关系以构造方程．
17．古代数学趣题：老头提篮去赶集，一共花去七十七；满满装了一菜篮，十斤大肉三斤鱼；买好未曾问单价，只因回家心里急；道旁行人告诉他，九斤肉钱五斤鱼．意思是：77元钱共买了10斤肉和3斤鱼，9斤肉的钱等于5斤鱼的钱，问每斤肉和鱼各是多少钱？设每斤肉x元，每斤鱼y元，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据“77元钱共买了10斤肉和3斤鱼，9斤肉的钱等于5斤鱼的钱”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：∵77元钱共买了10斤肉和3斤鱼
∴10x+3y＝77；
∵9斤肉的钱等于5斤鱼的钱，
∴9x＝5y．
∴根据题意可列出方程组．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
18．如图，在半径为的⊙O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB＝75°，AB＝6，AE＝1，则CD的长是（ ）
A．2 B．2 C．2 D．4
【分析】过点O作OF⊥CD于点F，OG⊥AB于G，连接OB、OD、OE，由垂径定理得出DF＝CF，AG＝BGAB＝3，得出EG＝AG﹣AE＝2，由勾股定理得出OG2，证出△EOG是等腰直角三角形，得出∠OEG＝45°，OEOG＝2，求出∠OEF＝30°，由直角三角形的性质得出OFOE，由勾股定理得出DF，即可得出答案．
【解答】解：过点O作OF⊥CD于点F，OG⊥AB于G，连接OB、OD、OE，如图所示：
则DF＝CF，AG＝BGAB＝3，
∴EG＝AG﹣AE＝2，
在Rt△BOG中，OG2，
∴EG＝OG，
∴△EOG是等腰直角三角形，
∴∠OEG＝45°，OEOG＝2，
∵∠DEB＝75°，
∴∠OEF＝30°，
∴OFOE，
在Rt△ODF中，DF，
∴CD＝2DF＝2；
故选：C．
【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理以及直角三角形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
19．如图，点D（0，3），O（0，0），C（4，0）在⊙A上，BD是⊙A的一条弦，则sin∠OBD＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】连接CD，可得出∠OBD＝∠OCD，根据点D（0，3），C（4，0），得OD＝3，OC＝4，由勾股定理得出CD＝5，再在直角三角形中得出利用三角函数求出sin∠OBD即可．
【解答】解：连接CD，如图所示：
∵D（0，3），C（4，0），
∴OD＝3，OC＝4，
∵∠COD＝90°，
∴CD5，
∵∠OBD＝∠OCD，
∴sin∠OBD＝sin∠OCD．
故选：D．
【点评】本题考查了圆周角定理，勾股定理、以及锐角三角函数的定义；熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键．
20．如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（3，4），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【分析】由Rt△APB中AB＝2OP知要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，据此求解可得．
【解答】解：∵PA⊥PB，
∴∠APB＝90°，
∵AO＝BO，
∴AB＝2PO，
若要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，
连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，
过点M作MQ⊥x轴于点Q，
则OQ＝3、MQ＝4，
∴OM＝5，
又∵MP′＝2，
∴OP′＝3，
∴AB＝2OP′＝6，
故选：C．
【点评】本题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AB取得最小值时点P的位置．
21．抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，且过点（1，0）．顶点位于第二象限，其部分图象如图所示，给出以下判断：①abc＞0；②4a﹣2b+c＞0；③8a+c＞0；④b2﹣4ac＞0；⑤c＝3a﹣3b．其中正确的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据二次函数的性质可得a＜0，b＝2a＞0，c＞0，可判断结论①；由x＝﹣2处的函数值可判断结论②；由x＝2处函数值可判断结论③；由抛物线与x轴的交点可判断④；由x＝1处函数值和b＝2a可判断结论⑤．
【解答】解：二次函数开口向下，则a＜0，
二次函数对称轴为直线x＝﹣1，则1，b＝2a＜0，
交y轴的正半轴，则c＞0，
∴abc＞0，
故①正确；
由对称性可得二次函数与x轴的另一交点为（﹣3，0），
由函数图象可得x＝﹣2时y＞0，
∴4a﹣2b+c＞0，
故②正确；
由函数图象可得x＝2时y＜0，
∴4a+2b+c＜0，b＝2a代入得：8a+c＜0，
故③错误；
抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
故④正确；
∵x＝1时y＝0，
∴a+b+c＝0，b＝2a代入得：c＝﹣3a，
∵c＝3a﹣3b＝3a﹣6a＝﹣3a，
故⑤正确；
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的图象与各项系数符号的关系是解题关键．
22．如图1，动点P从菱形ABCD的点A出发，沿边AB→BC匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，PO的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到BC中点时，PO的长为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【分析】结合图象，得到当x＝0时，PO＝AO＝4，当点P运动到点B时，PO＝BO＝2，根据菱形的性质，得∠AOB＝∠BOC＝90°，继而得到，当点P运动到BC中点时，PO的长为，解得即可．
【解答】解：结合图象，得到当x＝0时，PO＝AO＝4，
∴当点P运动到点B时，PO＝BO＝2，
∵菱形ABCD，
∴AC⊥BD，
∴∠AOB＝∠BOC＝90°，
∴，
当点P运动到BC中点时，PO的长为，
故选：C．
【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质是解题的关键．
二．填空题（共10小题）
23．因式分解2m2﹣4m+2＝ 2（m﹣1）2 ．
【分析】直接提取公因式2，进而利用完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：原式＝2（m2﹣2m+1）
＝2（m﹣1）2．
故答案为：2（m﹣1）2．
【点评】此题主要考查了提取公因式法、公式法分解因式，正确运用乘法公式分解因式是解题关键．
24．对于任意实数a，b，定义关于“ ”的一种运算如下：a b＝ab+ab．例如：5 2＝52+5×2＝35．若（﹣3） 2＝ 3 ．
【分析】根据新定义的运算得到（﹣3） 2＝（﹣3）2+（﹣3）×2，再根据有理数混合运算法则计算即可．
【解答】解：（﹣3） 2＝（﹣3）2+（﹣3）×2＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了实数的运算，掌握实数的运算法则是关键．
25．函数y有意义，则x的取值范围是x≥﹣3且x≠2 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0以及分式有意义的条件：分母不为0进行解答即可．
【解答】解：由x+3≥0且x﹣2≠0，得x≥﹣3且x≠2，
故答案为x≥﹣3且x≠2．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围问题，掌握二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0以及分式有意义的条件：分母不为0是解题的关键．
26．在一个不透明的布袋中装有黄、白两种颜色的球共10个，这些球除了颜色外其他都相同，小红从布袋中随机摸出一个球，记下颜色后再放回布袋中，通过大量重复试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3，估计布袋中黄球的个数为 3 个．
【分析】用频率估计出摸到黄球的概率，再用总球的个数乘以摸到黄球的概率即可得出答案．
【解答】解：∵通过大量重复试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3，
∴估计摸到黄球的概率为0.3，
∴估计布袋中黄球的个数为10×0.3＝3（个）．
故答案为：3．
【点评】本题考查了利用频率估计概率．解答本题的关键要明确：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
27．小丽身高1.5米，经太阳光照射，在地面的影长为2米，同一时刻，她测得旗杆在地面的影长为20米，那么旗杆高为 15 米．
【分析】设旗杆高为x米，根据同时同地物高与影长成正比列出比例式，求解即可．
【解答】解：设旗杆高为x米，
根据题意得，，
解得：x＝15，
故答案为：15．
【点评】本题主要考查同一时刻物高和影长成正比，考查利用所学知识解决实际问题的能力．
28．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD＝80°，则∠BCD的度数是 140° ．
【分析】首先根据圆周角定理可得∠A∠BOD，然后再根据圆内接四边形对角互补可得答案．
【解答】解：∵∠BOD＝80°，
∴∠A＝40°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BCD＝180°﹣40°＝140°，
故答案为：140°．
【点评】此题主要考查了云内接四边形的性质和圆周角定理，关键是掌握圆内接四边形的对角互补；在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
29．如图，P（12，a）在反比例函数图象上，PH⊥x轴于H，则tan∠POH的值为 ．
【分析】利用锐角三角函数的定义求解，tan∠POH为∠POH的对边比邻边，求出即可．
【解答】解：∵P（12，a）在反比例函数图象上，
∴a5，
∵PH⊥x轴于H，
∴PH＝5，OH＝12，
∴tan∠POH，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
30．已知⊙O的直径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝8cm，CD＝6cm，则AB与CD之间的距离为 1或7 cm．
【分析】作OE⊥AB于E，延长EO交CD于F，连接OA、OC，如图，利用平行线的性质OF⊥CD，根据垂径定理得到AE＝BE＝4，CF＝DF＝3，则利用勾股定理可计算出OE＝3，OF＝4，讨论：当点O在AB与CD之间时，EF＝OF+OE；当点O不在AB与CD之间时，EF＝OF﹣OE．
【解答】解：作OE⊥AB于E，延长EO交CD于F，连接OA、OC，如图，
∵AB∥CD，OE⊥AB，
∴OF⊥CD，
∴AE＝BEAB＝4cm，CF＝DFCD＝3cm，
在Rt△OAE中，OE3cm，
在Rt△OCF中，OF4cm，
当点O在AB与CD之间时，如图1，EF＝OF+OE＝4+3＝7cm；
当点O不在AB与CD之间时，如图2，EF＝OF﹣OE＝4﹣3＝1cm；
综上所述，AB与CD之间的距离为1cm或7cm．
故答案为1或7．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．注意分类讨论．
31．有一斜坡的坡度i＝12：5，斜坡上最高点到地面的距离为2.4米，那么这个斜坡的长度为 2.6 米．
【分析】题目中给出的坡度i＝12：5，表示垂直高度与水平距离的比例为12：5，已知最高点到地面的距离为2.4米，需先求出水平距离，再利用勾股定理求斜边长．
【解答】解：设水平距离为m米，斜边长为n米，
根据题意可得：，
∴m＝1，
∴．
故答案为：2.6．
【点评】本题主要考查了对坡度的理解，坡度通常定义为垂直高度与水平距离的比值，掌握其性质是解题的关键．
32．如图，在Rt△AOB中，OA＝OB＝3，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则切线PQ的最小值为 2 ．
【分析】首先连接OP、OQ，根据勾股定理知PQ2＝OP2﹣OQ2，可得当OP⊥AB时，即线段PQ最短，然后由勾股定理即可求得答案．
【解答】解：连接OP、OQ．
∵PQ是⊙O的切线，
∴OQ⊥PQ；
根据勾股定理知PQ2＝OP2﹣OQ2，
∴当PO⊥AB时，线段PQ最短，
∵在Rt△AOB中，OA＝OB＝3，
∴ABOA＝6，
∴OP3，
∴PQ2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了切线的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意得到当PO⊥AB时，线段PQ最短是关键．
三．解答题（共19小题）
33．计算：
（1）4sin60° tan30°﹣6cos245°；
（2）．
【分析】（1）代入特殊角的三角函数值，按运算顺序计算；
（2）代入特殊角的三角函数值，结合二次根式、绝对值的性质计算．
【解答】解：（1）4sin60° tan30°﹣6cos245°
＝2﹣3
＝﹣1；
（2）
．
【点评】本题主要考查了特殊角的三角函数值、二次根式的运算及绝对值的性质，熟练掌握特殊角的三角函数值并准确进行实数运算是解题的关键．
34．解方程：
（1）x2﹣4x+3＝0．
（2）x（2x+1）＝2x+1．
【分析】（1）利用因式分解法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
【解答】解：（1）x2﹣4x+3＝0，
（x﹣3）（x﹣1）＝0，
∴x﹣3＝0或x﹣1＝0，
∴x1＝3，x2＝1；
（2）x（2x+1）＝2x+1，
x（2x+1）﹣（2x+1）＝0，
（2x+1）（x﹣1）＝0，
∴2x+1＝0或x﹣1＝0，
∴x1，x2＝1；
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
35．计算：（﹣4）﹣12cos30°．
【分析】按照实数的运算法则依次计算，注意||，（﹣4）﹣1，（）0＝1．
【解答】解：原式1﹣2．
【点评】本题需注意的知识点是：负数的绝对值是正数；a﹣p．任何不等于0的数的0次幂是1．
36．先化简，再求值：，其中．
【分析】利用分式的运算法则化简，再代值计算即可求解．
【解答】解：原式
，
代入，原式．
【点评】本题考查了分式的化简与求值，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．
37．解不等式组：．
【分析】先分别求出每一个不等式的解集，再找出解集的公共部分即得原不等式组的解集为﹣2＜x＜1．
【解答】解：，
由①得，x＜1，
由②得．x＞﹣2，
∴原不等式组的解集为﹣2＜x＜1．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”是解题的关键．
38．在中国古代，数学被称为“算术”或“九章之学”，而几何知识常用于天文、测地、建筑、乃至器物制作中．古人用“矩”、“规”巧妙地构建出各类精妙图形．在这样的背景下，匠人们常以尺规作图解决实际问题，体现“法天则地”的智慧精神．
如今，借助尺规来完成一道几何构造题：
如图，已知：△ABC，尺规作图得四边形DBEC．作图步骤如下：
①分别以B、C为圆心，大于的长为半径作弧，两条弧分别相交于点P，Q；
②作直线PQ交AC于点D，连接BD；
③以B为圆心，BD的长为半径作弧，交直线PQ于点E，连接CE，BE．
（1）请用上面方法，用没有刻度的直尺和圆规作出四边形DBEC．（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若∠BAC＝90°，AB＝8cm，AC＝16cm，则四边形DBEC的面积是 80 cm2．
【分析】（1）根据题干给出的作图方法作图即可；
（2）证明四边形DBEC为菱形，菱形的性质结合勾股定理，求出菱形的面积即可．
【解答】解：（1）尺规作图得四边形DBEC，如图1即为所求；
（2）根据作图可得，PQ垂直平分BC，
∴BD＝CD，BE＝CE，
∵由作图得，BD＝BE，
∴BD＝CD＝BE＝CE，
∴四边形DBEC是菱形，
在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8cm，AC＝16cm，
由勾股定理得：BC8（cm），
如图2，BC与DE相交于点O，
∴BO＝COBC＝4（cm），
∵AC＝AD+CD＝AD+BD＝16cm，
∴AD＝16﹣BD，
∵∠BAC＝90°，
在直角三角形ABD中，由勾股定理得：AB2+AD2＝BD2，
∴82+（16﹣BD）2＝BD2，
∴BD＝10cm，
由勾股定理得：OD2（cm），
∴四边形DBEC的面积80（cm2）．
故答案为：80．
【点评】本题考查作图—复杂作图，勾股定理，菱形的判定与性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
39．如图，塔AB前有一座高为DE的台阶，已知CD＝30m，∠DCE＝30°，点E，C，A在同一条水平直线上．在C处测得塔顶部B的仰角为45°，在D处测得塔顶部B的仰角为27°．
（1）求台阶的高DE；
（2）求塔AB的高度（tan27°≈0.5，，结果精确到米）．
【分析】（1）根据题意可得：DE⊥CE，然后在Rt△DEC中，利用含30度角的直角三角形的性质进行计算，即可解答；
（2）过点D作DF⊥AB，垂足为F，根据题意可得：DE＝AF＝15m，DF＝AE，然后设AC＝xm，则DF＝AE＝（x+15）m，分别在Rt△DBF和Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出BF和AB的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）由题意得：DE⊥CE，
在Rt△DEC中，CD＝30m，∠DCE＝30°，
∴DECD＝15（m），CEDE＝15（m），
∴台阶的高DE为15m；
（2）过点D作DF⊥AB，垂足为F，
由题意得：DE＝AF＝15m，DF＝AE，
设AC＝xm，
∵CE＝15m，
∴DF＝AE＝CE+AC＝（x+15）m，
在Rt△DBF中，∠BDF＝27°，
∴BF＝DF tan27°≈0.5（x+15）m，
在Rt△ABC中，∠BCA＝45°，
∴AB＝AC tan45°＝x（m），
∵BF+AF＝AB，
∴0.5（x+15）+15＝x，
解得：x＝1530，
∴AB＝1530＝15×1.7+30≈56（m），
∴塔AB的高度约为56m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，含30度角的直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
40．5月18日是国际博物馆日，为了解甘肃省博物馆的藏品及其承载的历史，弘扬传统文化，小英和小丽准备从博物馆的三个展厅中随机选择一个展厅报名当志愿者，三个展厅如下，分别用A，B，C表示三张形状相同的卡片，其中“A．甘肃佛教艺术展”“B．甘肃古生物化石展”“C．甘肃彩陶展”．现将这3张卡片背面朝上，洗匀放好，小英从中随机抽取一张，记下卡片，放回并洗匀后，小丽再从中随机抽取一张．
（1）小英抽到“A．甘肃佛教艺术展”展厅的概率为 ；
（2）用列表法或画树状图法求出两人恰好抽到“B．甘肃古生物化石展”和“C．甘肃彩陶展”两个展厅的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式计算即可；
（2）先列表得到所有结果，找出符合条件的结果利用概率公式计算即可．
【解答】解：（1）∵共有“A．甘肃佛教艺术展”“B．甘肃古生物化石展”“C．甘肃彩陶展”三种等可能的情况，
∴小英从中随机抽取一张，小英抽到“A．甘肃佛教艺术展”展厅的概率为，
故答案为：；
（2）小英从三张形状相同的卡片随机抽取一张，放回并洗匀后，小丽再从中随机抽取一张，列表如下：
A B C
A （A，A） （B，A） （C，A）
B （A，B） （B，B） （C，B）
C （A，C） （B，C） （C，C）
∴所有的等可能的结果数有9个，两人恰好抽到“B．甘肃古生物化石展”和“C．甘肃彩陶展”两个展厅的结果数有2个，
∴两人恰好抽到“B．甘肃古生物化石展”和“C．甘肃彩陶展”两个展厅的概率为．
【点评】本题主要考查了列表法与树状图法，概率公式，熟练掌握概率的求法是解题的关键．
41．某服装店的某件衣服最近销售火爆．现有A、B两家供应商到服装店推销服装，两家服装价格相同，品质相近．服装店决定通过检查材料的纯度来确定选购哪家的服装．检查人员从两家提供的材料样品中分别随机抽取15块相同的材料，通过特殊操作检验出其纯度（单位：%），并对数据进行整理、描述和分析．部分信息如下：
Ⅰ．A供应商供应材料的纯度（单位：%）如下：
A 72 73 74 75 76 78 79
频数 1 1 5 3 3 1 1
Ⅱ．B供应商供应材料的纯度（单位：%）如下：
72 75 72 75 78 77 73 75 76 77 71 78 79 72 75
Ⅲ．A、B两供应商供应材料纯度的平均数、中位数、众数和方差如下：
平均数 中位数 众数 方差
A 75 75 74 3.07
B 75 75 a b
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表格中的a＝ 75 ，b＝ 6 ；
（2）你认为服装店应选择哪个供应商供应服装？为什么？
【分析】（1）根据众数和方差的计算公式分别进行解答即可；
（2）根据方差的定义，方差越小数据越稳定即可得出答案；
【解答】解：（1）众数a＝75，
平均数为：，
∴方差为：
故答案为：75，6；
（2）选A，理由如下：
∵两家平均值一样，A更稳定，
∴选A供应商供应服装．
【点评】本题主要考查了方差、平均数、中位数、众数等知识点，熟悉相关统计量的计算公式和意义是解决此题的关键．
42．某网络平台销售一种电动牙刷，进价为每把30元，在销售过程中发现如下市场规律：当每把电动牙刷售价为35元时，每天可售出350把；若销售单价每提高1元，则每天销售量减少10把．已知销售单价不低于35元，且物价部门规定每把电动牙刷的销售利润不高于进价的50%，设销售单价为x元．
（1）当x＝38时，每天可销售电动牙刷 320 把．
（2）若当天的利润为3000元，求x的值．
（3）当x为多少时，该网络平台当天获得利润W（元）最大？最大利润为多少元？
【分析】（1）依据题意，每天的销量＝350﹣10（x﹣35），再将x＝38代入即可得解；
（2）依据题意，每天的利润＝（x﹣30）[350﹣10（x﹣35）]，又利润为3000元时，从而可以求得x，再结合电动牙刷的销售利润不高于进价的50%，进而可以判断得解；
（3）依据题意，结合（2），由每天的利润＝（x﹣30）[350﹣10（x﹣35）]＝﹣10（x﹣50）2+4000，再由又电动牙刷的销售利润不高于进价的50%，从而可得售价x的取值范围，进而结合二次函数的性质可以计算得解．
【解答】解：（1）由题意，每天的销量＝350﹣10（x﹣35）．
∴当x＝38时，每天可销售电动牙刷的数量为：350﹣10（38﹣35）＝320（把）．
故答案为：320．
（2）由题意，每天的利润＝（x﹣30）[350﹣10（x﹣35）]．
又当天的利润为3000元时，
∴3000＝（x﹣30）[350﹣10（x﹣35）]．
∴x＝40或x＝60．
又电动牙刷的销售利润不高于进价的50%，
∴x＝60不合题意．
∴x＝40．
（3）由题意，结合（2），∵每天的利润＝（x﹣30）[350﹣10（x﹣35）]
＝﹣10（x﹣50）2+4000．
又电动牙刷的销售利润不高于进价的50%，
∴x≤30+30×50%＝45．
∴35≤x≤45．
又﹣10＜0，
∴当x＜50时，利润随售价x的增大而增大．
∴当x＝45时，利润最大，最大利润为3750元．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要能根据二次函数的增减性进行计算是关键．
43．某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求该商品每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系式；
（2）若商店按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？
【分析】（1）将点（30，100）、（45，70）代入一次函数表达式，即可求解；
（2）由题意得w＝（x﹣30）（﹣2x+160）＝﹣2（x﹣55）2+1250，即可求解．
【解答】解：（1）设y与销售单价x之间的函数关系式为：y＝kx+b，
将点（30，100）、（45，70）代入一次函数表达式得：
，
解得：，
故函数的表达式为：y＝﹣2x+160；
（2）由题意得：w＝（x﹣30）（﹣2x+160）＝﹣2（x﹣55）2+1250，
∵﹣2＜0，故当x＜55时，w随x的增大而增大，而30≤x≤50，
∴当x＝50时，w有最大值，此时，w＝1200，
故销售单价定为50元时，该超市每天的利润最大，最大利润1200元．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式等知识，正确利用销量×每件的利润＝w得出函数关系式是解题关键．
44．如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y的图象相交于A（2，4）、B（﹣4，n）两点．
（1）分别求出一次函数与反比例函数的表达式；
（2）根据所给条件，请直接写出不等式kx+b的解集 ﹣4＜x＜0或x＞2 ；
（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为点C，连接AC，求S△ABC．
【分析】（1）先根据点A的坐标求出反比例函数的解析式，再求出B的坐标，利用待定系数法求一次函数的解析式；
（2）当一次函数的值＞反比例函数的值时，直线在双曲线的上方，直接根据图象写出一次函数的值＞反比例函数的值x的取值范围．
（3）设AB与x轴的交点为D，把△ACB的面积分成两个部分求解；也可以以BC为底，BC上的高为A点横坐标和B点横坐标的绝对值的和．
【解答】（本小题满分9分）
解：（1）∵点A（2，4）在y的图象上，
∴m＝8．
∴反比例函数的表达式为y．
∴n2，B（﹣4，﹣2）．
∵点A（2，4），B（﹣4，﹣2）在y＝kx+b上，
∴，
∴．
∴一次函数的表达式为y＝x+2．
（2）﹣4＜x＜0或x＞2．，
故答案为）﹣4＜x＜0或x＞2．
（3）方法一：设AB交x轴于点D，则D的坐标为（﹣2，0）．
∴CD＝2．
∴S△ABC＝S△BCD+S△ACD2×22×4＝6．
方法二：以BC为底，则BC边上的高为4+2＝6．
∴S△ABC2×6＝6．
【点评】本题主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式和反比例函数中k的几何意义．这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
45．已知，如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于D，过D作DE⊥MN于E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若DE＝6cm，AE＝3cm，求⊙O的半径．
【分析】（1）连接OD，根据平行线的判断方法与性质可得∠ODE＝∠DEM＝90°，且D在⊙O上，故DE是⊙O的切线．
（2）由直角三角形的特殊性质，可得AD的长，又有△ACD∽△ADE．根据相似三角形的性质列出比例式，代入数据即可求得圆的半径．
【解答】（1）证明：连接OD．
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA．
∵∠OAD＝∠DAE，
∴∠ODA＝∠DAE．
∴DO∥MN．
∵DE⊥MN，
∴∠ODE＝∠DEM＝90°．
即OD⊥DE．
∵D在⊙O上，OD为⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线．
（2）解：∵∠AED＝90°，DE＝6，AE＝3，
∴．
连接CD．
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝∠AED＝90°．
∵∠CAD＝∠DAE，
∴△ACD∽△ADE．
∴．
∴．
则AC＝15（cm）．
∴⊙O的半径是7.5cm．
【点评】本题考查常见的几何题型，包括切线的判定，线段等量关系的证明及线段长度的求法，要求学生掌握常见的解题方法，并能结合图形选择简单的方法解题．
46．已知：如图，在△ABC中，BC＝AC，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E．
（1）求证：点D是AB的中点；
（2）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（3）若⊙O的直径为18，cosB，求DE的长．
【分析】（1）连接CD，由BC为直径可知CD⊥AB，又BC＝AC，由等腰三角形的底边“三线合一”证明结论；
（2）连接OD，则OD为△ABC的中位线，OD∥AC，已知DE⊥AC，可证DE⊥OC，证明结论；
（3）连接CD，在Rt△BCD中，已知BC＝18，cosB，求得BD＝6，则AD＝BD＝6，在Rt△ADE中，已知AD＝6，cosA＝cosB，可求AE，利用勾股定理求DE．
【解答】（1）证明：连接CD，
∵BC为⊙O的直径，∴CD⊥AB，
又∵AC＝BC，
∴AD＝BD，即点D是AB的中点．
（2）解：DE是⊙O的切线．
证明：连接OD，则DO是△ABC的中位线，
∴DO∥AC，
又∵DE⊥AC，
∴DE⊥DO即DE是⊙O的切线；
（3）解：∵AC＝BC，∴∠B＝∠A，
∴cosB＝cosA，
∵cosB，BC＝18，
∴BD＝6，
∴AD＝6，
∵cosA，
∴AE＝2，
在Rt△AED中，DE．
【点评】本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，解直角三角形的运用，关键是作辅助线，将问题转化为直角三角形，等腰三角形解题．
47．（1）如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE⊥DF，垂足为点G．求证：△ADE∽△DCF．
【问题解决】
（2）如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF，延长BC到点H，使CH＝DE，连接DH．求证：∠ADF＝∠H．
【类比迁移】
（3）如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF＝11，DE＝8，∠AED＝60°，求CF的长．
【分析】（1）由矩形的性质得∠C＝∠ADE＝90°，再证∠AED＝∠DFC，即可得出结论；
（2）证Rt△ADE≌Rt△DCF（HL），得DE＝CF，再证△DCF≌△DCH（SAS），得∠DFC＝∠H，然后由平行线的性质得∠ADF＝∠DFC，即可得出结论；
（3）延长BC至点G，使CG＝DE＝8，连接DG，△ADE≌△DCG（SAS），得∠DGC＝∠AED＝60°，AE＝DG，再证△DFG是等边三角形，得FG＝DF＝11，即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠ADE＝90°，
∴∠CDF+∠DFC＝90°，
∵AE⊥DF，
∴∠DGE＝90°，
∴∠CDF+∠AED＝90°，
∴∠AED＝∠DFC，
∴△ADE∽△DCF；
（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，AD∥BC，∠ADE＝∠DCF＝90°，
∵AE＝DF，
∴Rt△ADE≌Rt△DCF（HL），
∴DE＝CF，
∵CH＝DE，
∴CF＝CH，
∵点H在BC的延长线上，
∴∠DCH＝∠DCF＝90°，
又∵DC＝DC，
∴△DCF≌△DCH（SAS），
∴∠DFC＝∠H，
∵AD∥BC，
∴∠ADF＝∠DFC，
∴∠ADF＝∠H；
（3）解：如图3，延长BC至点G，使CG＝DE＝8，连接DG，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝DC，AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DCG，
∴△ADE≌△DCG（SAS），
∴∠DGC＝∠AED＝60°，AE＝DG，
∵AE＝DF，
∴DG＝DF，
∴△DFG是等边三角形，
∴FG＝DF＝11，
∵CF+CG＝FG，
∴CF＝FG﹣CG＝11﹣8＝3，
即CF的长为3．
【点评】本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、正方形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质等知识，本题综合性强，熟练掌握矩形的性质、正方形的性质和菱形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．
48．【问题情境】已知矩形ABCD和矩形AEFG，点E在BC边上，矩形AEFG在BC边的上方，且，连接CF．
【特例发现】（1）如图1，当k＝1时，那么的值为 ；（提示：在AB边上取一点M，使得BM＝BE，连接EM）
【拓展延伸】（2）如图2，当时，连接DG，DF．
①求证：△ABE∽△ADG；
②若，且DG＝8，求DF的长．
【分析】（1）在AB边上取一点M，使BM＝BE，连接EM，则，根据SAS证明△AME≌△ECF即可；
（2）①对图形进行标注，如图，证明∠1＝∠2，由，可得，进一步可得结论，即可得出结论；
②过F作FH⊥CD于H，结合△ABE∽△ADG，证明△AGD∽△GFH，求出FH＝4，DH＝3，再运用勾股定理求出DF．
【解答】解：（1）如图，在AB边上取一点M，使BM＝BE，连接EM，则，
∵，
∴AB＝BC，AE＝EF，
∵BM＝BE，
∴AB﹣BM＝BC﹣BE，即AM＝CE，
∵∠MAE+∠AEB＝90°，∠AEB+∠CEF＝180°﹣∠AEF＝90°，
∴∠MAE＝∠CEF，
在△AME与△ECF中，
，
∴△AME≌△ECF（SAS），
∴，
∴．
故答案为：；
（2）①证明：∵∠BAE+∠EAD＝90°，∠DAG+∠EAD＝90°，
∴∠BAE＝∠DAG，
∵四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形，
∴AD＝BC，AG＝EF，
∵，
∴，
∴△ABE∽△ADG．
②如图，过点F作FH⊥DG于点H，
由①知，△ABE∽△ADG，
∴，即，
∴BE＝4，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵∠AGD+∠DGF＝90°，∠AGD+∠2＝90°，
∴∠2＝∠DGF，而∠ADG＝∠GHF＝90°，
∴△AGD∽△GFH，
∴，
∵四边形AEFG是矩形，
∴AG＝EF，AE＝GF，
∵，
∴，
即，解得GH＝5，FH＝4，
∴DH＝DG﹣DH＝3，
∴．
【点评】本题主要考查矩形的性质，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形和相似三角形是解答本题的关键．
49．综合与实践
【问题情境】在学校活动课上，樊老师让同学们探究特殊平行四边形的性质，小明和他的小伙伴们准备了如图1所示的正方形ABCD，连接对角线BD，在BD上取一点P，连接PA，延长AD至点E，连接PE，交CD于点F，且PA＝PE．
【观察发现】（1）如图1，小明连接了PC，小伙伴们发现了PE与PC之间存在一定的关系，其数量关系为 PE＝PC ，位置关系为 PE⊥PC ．
【探索猜想】（2）如图2、小明连接了CE，小伙伴们发现了PA和CE之间存在一定的数量关系，请你帮助小明和小伙伴们探究PA和CE之间的数量关系，并说明理由．
【拓展延伸】（3）如图3，小明将正方形ABCD改为菱形ABCD，当∠BAD＝60°时，请直接写出PA与CE之间的数量关系．
【分析】（1）先证出△ABP≌△CBP，则∠BAP＝∠BCP，进而得∠DAP＝∠DCP，由PA＝PC，得到∠DAP＝∠E，∠DCP＝∠E，最后∠CPF＝∠EDF＝90°得到结论；
（2）结合（1）证明△PEC是等腰直角三角形，所以CEPC，进而可得结论；
（3）证明△ABP≌△CBP（SAS），得到△PEC是顶角为120°的等腰三角形，进而求解．
【解答】解：（1）PC与PE的关系垂直且相等，理由：
在正方形ABCD中，AB＝BC，
∠ABP＝∠CBP＝45°，
在△ABP和△CBP中，AB＝BC，∠ABP＝∠CBP，PB＝PB，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴PA＝PC，PA＝PE，
∴∠DAP＝∠DCP，
∵PA＝PE，
∴∠DAP＝∠E，
∴∠DCP＝∠E，
∵∠CFP＝∠EFD（对顶角相等），
∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF＝180°﹣∠DFE﹣∠E，
即∠CPF＝∠EDF＝90°，
故PC与PE的关系垂直且相等；
故答案为：PE＝PC，PE⊥PC；
（2）CEPA，理由如下：
由（1）知：PE＝PC，PE⊥PC，
∴△PEC是等腰直角三角形，
∴CEPC，
∵PA＝PC，
∴CEPA；
（3）∵把正方形ABCD改为菱形ABCD，∠BAD＝60°，
∴∠ADC＝120°，
同理可得△ABP≌△CBP（SAS），
∴PA＝PC＝PE，∠BAP＝∠BCP，
∵∠BAD＝∠BCD，
∴∠DAP＝∠DCP，
∴∠DAP＝∠DCP＝∠AEP，
∵∠DFE＝∠PFC，∠DCP＝∠DEP，
∴∠CPE＝∠CDE＝180°﹣∠ADC＝180°﹣120°＝60°，
∴△PEC是等边三角形，
∴CE＝PA，
∴线段AP与线段CE的数量关系是CE＝PA．
【点评】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，等边对等角的性质，熟记正方形的性质确定出∠ABP＝∠CBP是解题的关键．
50．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3经过A、B、C三点，点A（﹣3，0）、C（1，0），点B在y轴上．点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与A、B重合）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）过点P作x轴的垂线，垂足为D，交直线AB于点E，动点P在什么位置时，PE最大，求出此时P点的坐标；
（3）点Q是抛物线对称轴上一动点，是否存在点Q，使以点A、B、Q为顶点的三角形为直角三角形？若存在，请求出点Q坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）把点A，B代入y＝ax2+bx﹣3即可得出答案；
（2）设P（x，x2+2x﹣3），求出直线AB的解析，用含x的代数式表示出点E坐标，即可用含x的代数式表示出PE的长度，由函数的思想可求出点P的横坐标，进一步求出其纵坐标；
（3）设点Q（﹣1，n），然后分类讨论利用勾股定理列出关于n的方程求解．
【解答】解：（1）把A（﹣3，0）和C（1，0）代入y＝ax2+bx﹣3得，
，
解得，
∴抛物线解析式为y＝x2+2x﹣3；
（2）设P（x，x2+2x﹣3），直线AB的解析式为y＝kx+m，
①由抛物线解析式y＝x2+2x﹣3，
令x＝0，则y＝﹣3，
∴B（0，﹣3），
把A（﹣3，0）和B（0，﹣3）代入y＝kx+m，
得，，
解得，，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x﹣3，
∵PE⊥x轴，
∴E（x，﹣x﹣3），
∵P在直线AB下方，
∴PE＝﹣x﹣3﹣（ x2+2x﹣3）＝﹣x2﹣3x＝﹣（x）2，
当x时，y＝x2+2x﹣3，
∴当PE最大时，P点坐标为（，）；
（3）∵抛物线解析式为y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1，
设Q（﹣1，n），
∵A（﹣3，0），B（0，﹣3），
①当∠QAB＝90°时，AQ2+AB2＝BQ2，
∴22+n2+32+32＝（﹣1）2+（n+3）2，
解得：n＝2，
∴Q1（﹣1，2），
②当∠QBA＝90°时，BQ2+AB2＝AQ2，
∴（﹣1）2+（n+3）2+32+32＝22+n2，
解得：n＝﹣4，
∴Q2（﹣1，﹣4），
③当∠AQB＝90°时，BQ2+AQ2＝AB2，
∴（﹣1）2+（n+3）2+22+n2＝32+32，
解得：n或n，
∴Q3（﹣1，），Q4（﹣1，），
综上所述：点Q的坐标是（﹣1，2）或（﹣1，﹣4）或（﹣1，）或（﹣1，）．
【点评】本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数的解析式、二次函数的性质、勾股定理，解题的关键是用含有未知数的代数式表达点的坐标和线段的长度．
51．如图，已知抛物线：y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OA＝OC＝3，顶点为D．
（1）求此函数的关系式；
（2）在AC下方的抛物线上，是否存在一点N，使△CAN面积最大？最大面积是多少？
（3）E在对称轴上，F在抛物线上，若以A，O，E，F为顶点形成平行四边形，求出点E，F的坐标．
【分析】（1）求出A，C坐标，待定系数法求出函数解析式即可；
（2）求出直线AC的解析式，过点N作NE⊥x轴于点E，交AC于点M，设点N的坐标为（t，t2+2t﹣3），分割法表示出△CAN的面积，转化为二次函数求最值即可；
（3）分AO为边，和AO为对角线，两种情况进行讨论求解即可．
【解答】解：（1）知抛物线：y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OA＝OC＝3，
∴A（﹣3，0），C（0，﹣3），
将点A，点C的坐标分别代入得：
，
解得：，
∴此函数的解析式为y＝x2+2x﹣3；
（2）在AC下方的抛物线上，存在一点N使△CAN面积最大；理由如下：
如图1，过点N作NE⊥x轴于点E，交AC于点M，
设AC的解析式为y＝kx﹣3，将点A的坐标代入得：
﹣3k﹣3＝0，
解得：k＝﹣1，
∴直线AC解析式为y＝﹣x﹣3，
设点N的坐标为（t，t2+2t﹣3），则点M的坐标为（t，﹣t﹣3），
∴MN＝﹣t2﹣3t，
∴，
∴当时，此时，△CAN的面积最大为；
（3）如图2，抛物线对称轴为直线，
①以AO为边，则EF∥AO，且EF＝AO．
设F（m，m2+2m﹣3），则E（﹣1，m2+2m﹣3），
∴|m+1|＝3，
解得：m1＝2，m2＝﹣4，
当m＝2时，m2+2m﹣3＝5；
当m＝﹣4时，m2+2m﹣3＝5；
故F（2，5），E（﹣1，5）或F（﹣4，5），E（﹣1，5）；
②以AO为对角线，则AO与EF互相平分，
设E（﹣1，n），
∵AO的中点M（﹣1.5，0），
∴F（﹣2，﹣n）．
把F（﹣2，﹣n）代入y＝x2+2x﹣3，得：n＝3．
∴E（﹣1，3），F（﹣2，﹣3），
综上所述，F（2，5），E（﹣1，5）或F（﹣4，5），E（﹣1，5）或F（﹣2，﹣3），E（﹣1，3）．
【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键．
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