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第二十七章 相似
阶段练习(27.1－27.2)
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A
1.
下列各组中的两个图形，是相似图形的是( )
一、选择题(每小题5分，共40分)
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2.
如图，已知△ABC∽△DEF，若∠A＝35°，∠C＝75°，则∠E的度数为( )
A．65°
B．70°
C．80°
D．85°
B
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3.
如图，E是 ABCD的边AD上一点，CE，BA的延长线交于点F，下列结论中错误的是( )
C
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4.
如图，在△ABC中，∠A＝78°，AB＝6，AC＝9.将△ABC沿下列选项中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( )
C
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5.
C
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6.
[教材P28习题T6变式]把一根铁丝首尾相接围成一个长为3 cm，宽为2 cm的矩形ABCD，现将它按如图所示的方式向外扩张得到矩形A′B′C′D′，使矩形A′B′C′D′与矩形ABCD相似，则这根铁丝需增加( )
A．3.5 cm
B．5 cm
C．7 cm
D．10 cm
D
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7.
如图，MN是凸透镜的主光轴，点O是光心，点F是焦点．若蜡烛PM的像为BN，测量得到OM∶ON＝5∶3，蜡烛高为10 cm，则像BN的长为( )
A．4 cm
B．5 cm
C．6 cm
D．7 cm
C
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8.
如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别是BC，AC上的点，∠ADE＝60°，AB＝4，CD＝1，则AE的长为( )
D
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9.
若a，b，c，d是成比例线段，其中a＝2，b＝5，c＝4，则线段d的长为________.
10
二、填空题(每小题5分，共20分)
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10.
[2025石家庄三模]如图，水平地面上放置盛有液体的容器，CD是液面线，经测量，AB＝8 cm，AD＝5 cm，把长为12 cm的木棍EF的一端F探到容器的底部，另一端与点A重合，则没入液体部分GF的长为________cm(木棍在液体中所占体积忽略不计).
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11.
如图，在△ABC中，E为AC上一点，AE＝3CE，EF∥AB，AD和EG分别为△ABC和△EFC的角平分线，若EG＝1，则AD＝________.
4
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12.
如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E.若AB＝8，BM＝6，则DE的长为________.
13.
三、解答题(共40分)
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴BC∥AD，∠B＝90°，∴∠AEB＝∠DAF.
∵DF⊥AE于点F，∴∠DFA＝90°，
∴∠B＝∠DFA，∴△ABE∽△DFA.
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(2)若AB＝3，BE＝4，AD＝6，求DF的长．
14.
(14分)[教材P41练习T1变式]小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图，在某一时刻，他们在阳光下分别测得该建筑物OB的影长OC为16米，OA的影长OD为20米，小明的影长FG为2.4米，其中O，C，D，F，G五点在同一直线上，A，B，O三点在同一直线上，且AO⊥OD，EF⊥FG.
已知小明的身高EF为1.8米，求旗杆的高AB.
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15.
(16分)在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，如图①，将△ABC绕点A顺时针旋转某个角度得到△ADE，其中点D是点B的对应点，点E是点C的对应点，连接BD，CE.
(1)求证：△ABD∽△ACE；
(2)如图②，当点D在线段CE上时，求线段BD的长.
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第二十七章 相似
专项突破4
相似三角形的基本模型
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B
1.
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2.
如图，在 ABCD中，EF∥AB交AD于E，交BD于F，DE∶EA＝3∶4，EF＝3，则CD的长为( )
A．3
B．4
C．7
D．12
C
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3.
B
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4.
如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，点P在BD上，BP＝BA，连接AP并延长，交DC的延长线于点Q，则CQ的长为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
B
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5.
如图，已知圆的内接四边形ABDC，边DC与BA的延长线交于点Q，对角线AD与CB交于点P.下列结论不正确的是( )
A．△CPD∽△APB
B．△APC∽△BPD
C．△DCA∽△BAC
D．△QCA∽△QBD
C
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6.
如图，在Rt△BAC中，∠BAC＝90°，AD⊥CB.下列结论不成立的是( )
A．AD2＝CD·DB
B．AC2＝BC·CD
C．CD2＝AC·BC
D．AB2＝BC·BD
C
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7.
如图，已知∠A＝70°，∠APC＝65°，AC2＝AP·AB，则∠B的度数为( )
A．45°
B．50°
C．55°
D．60°
A
8.
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9.
如图，AB＝3，AC＝2，BC＝4，AE＝3，AD＝4.5，DE＝6，∠BAD＝20°，则∠CAE的度数为( )
A．10°
B．20°
C．40°
D．无法确定
B
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10.
如图，△ABC和△BDE都是等边三角形，点D是AC上的点，连接AE，下列结论：①△BCD∽△BEO；②△AOD∽△EOB；③△AOE∽△DOB；④△BOD∽△BDA，其中正确的有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
D
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11.
如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在边BC，AB上，∠ADE＝60°.若BD＝4DC，DE＝2.4，则AD的长为( )
A．1.8
B．2.4
C．3
D．3.2
C
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12.
如图，AB＝nAC，A，E，D，F四点都在直线m上，且∠BDF＝∠DEC＝∠BAC＜90°，则线段DE，CE，BD之间满足的一种数量关系为________________.
13.
(8分)如图，点B为线段AC上一点，满足∠A＝∠EBD＝∠C＝90°，AE＝1，AB＝BC＝2.
(1)求CD的长度；
(2)求证：△ABE∽△BDE.
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14.
15.
(2)如图②，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，E为AB上一点，连接DE，过点C作DE的垂线交ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F.求证：DE·AB＝CF·AD.
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第二十七章 相似
培优拔高练
相似三角形在操作实践中的应用
1.
(8分)【项目式学习】
项目主题：学科融合—用数学的眼光观察世界
项目背景：学习完相似三角形的性质后，某学校科学小组的同学们尝试用数学的知识和方法来研究凸透镜成像规律．
项目素材：
素材一：凸透镜成像规律：f(cm)表示凸透镜的焦距，u(cm)表示物体到凸透镜的距离，v(cm)表示像到凸透镜的距离，规律如下表：
物体到凸透镜的距离u(cm) 像到凸透镜的距离v(cm) 像的大小 像的正倒
u＞2f f＜v＜2f 缩小 倒立
u＝2f v＝2f 等大 倒立
f＜u＜2f v＞2f 放大 倒立
u＜f v＞u(物像同侧) 放大 正立
素材二：凸透镜成像中，光路图的规律：通过凸透镜中心的光线不发生改变；平行于主光轴的光线经过折射后经过焦点．
(2)任务二：如图②，某实验小组取焦距OF为6 cm的凸透镜，高度AB是4 cm的蜡烛，设置物距为u cm(u>6)，测量蜡烛的成像MN的高为h cm，
①以u为自变量，h为因变量，写出h与u的关系式：________；
②当u>6时，h随u的增大而________(选填“增大”或“减小”).
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第二十七章 相似
河北特色题型专练一
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是
1.
如图是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长度的小正方形顶点，钉点A，B的连线与钉点C，D的连线交于点E，则：
(1)AB与CD是否垂直？________(填“是”或“否”)；
(2)AE＝________．
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2.
如图，矩形AEHC是由三个全等矩形拼成的，AH与BE，BF，DF，DG，CG分别交于点P，Q，K，M，N.设△BPQ，△DKM，△CNH的面积依次为S1，S2，S3.若
S1＋S3＝20，则S2的值为( )
A．6 B．8
C．10 D．12
B
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3.
[2024河北中考]如图，△ABC的面积为2，AD为BC边上的中线，点A，C1，C2，C3是线段CC4的五等分点，点A，D1，D2是线段DD3的四等分点，点A是线段BB1的中点.
(1)△AC1D1的面积为________；
(2)△B1C4D3的面积为________．
1
7
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4.
在研究相似时，嘉嘉和淇淇两同学的观点如下：
嘉嘉：将边长为1的正方形按图①的方式向外扩张，得到新正方形，它们的对应边间距为1，则新正方形与原正方形相似，同时也位似；
淇淇：将边长为1的正方形按图②的方式向外扩张，得到新正方形，每条对角线向其延长线两个方向各延伸1，则新正方形与原正方形相似，同时也位似．
对于两人的观点，下列说法正确的是( )
A．两人都对
B．两人都不对
C．嘉嘉对，淇淇不对
D．嘉嘉不对，淇淇对
A
5.
(12分)[2025石家庄期末]如图，在△ABC中，点P是△ABC的边AB上的一点.
(1)请判断三人的说法的对错：小星________，小红______，小亮______；(填“对”或“错”)
对
对
错
(2)选择一种正确的方法，求证：△ACP∽△ABC；
选择小星．证明：
∵∠ACP＝∠B，∠A＝∠A，
∴△ACP∽△ABC.
(也可选择小红)
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第二十七章 相似
章末整合练
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D
1.
下列形状分别为正方形、圆、正三角形、矩形的边框，其中不一定是相似图形的是( )
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2.
如图，把矩形ABCD对折再展开，折痕为MN，若矩形DMNC和矩形ABCD相似，则它们的相似比为( )
A
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3.
如图，AB∥CD∥EF，DE＝2AE，BC＝9，则CF的长为( )
A．6
B．8
C．9
D．10
A
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4.
B
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5.
[2025保定模拟]如图，数轴的原点O对应刻度尺的0刻度线，图中的虚线互相平行，则点M对应的数是________.
6
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6.
[2024湖南中考]如图，在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC的中点．下列结论中，错误的是( )
A．DE∥BC
B．△ADE∽△ABC
C．BC＝2DE
D
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7.
如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，BC上，则不一定能判定△ABC∽△EDC的条件是( )
A．∠CDE＝∠B
B．∠DEC＝∠A
D
8.
[2025东营中考]如图，在△ABC中，AB＝6，CA＝4，点D为AC的中点，点E在AB上，当AE为 ________时，△ABC与以点A，D，E为顶点的三角形相似.
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9.
[2025唐山期末]如图，在△ABC中，分别以A，C为圆心，同样长度为半径画弧，交AB，BC，AC于点F，D，E；以F点为圆心，以D，E间的距离为半径画弧，与先画的弧交于点G，作射线AG，交BC边于点H.已知BC＝10，CH＝8，则AB＝________.
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10.
(12分)如图，图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B，C，D均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，要求保留必要的作图痕迹．
(1)在图①中以线段AD为边画一个格点三角形，使它与△ABC相似；
(2)在图②中画一个格点三角形，使它与△ABC相似(不全等)；
解：(1)如图①，△ADE即为所求．
(2)如图②，△FGH即为所求
(答案不唯一)．
如图③，点P即为所求．
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11.
(8分)[2024浙江中考]如图，在圆内接四边形ABCD中，AD＜AC，∠ADC＜∠BAD，延长AD至点E，使AE＝AC，延长BA至点F，连接EF，使∠AFE＝∠ADC.
(1)若∠AFE＝60°，CD为直径，求∠ABD的度数．
(2)求证：①EF∥BC；
证明：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ADC＋∠ABC＝180°.
∵∠AFE＝∠ADC，∴∠AFE＋∠ABC＝180°，
∴EF∥BC.
②EF＝BD.
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12.
[2025内江中考]阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图①，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图②所示，动力臂OA＝150 cm，阻力臂OB＝50 cm，BD＝20 cm，则AC的长度是( ) A．80 cm B．60 cm
C．50 cm D．40 cm
B
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13.
[教材P43习题T9变式]如图，为了测量山坡的护坡石坝高，把一根4.5 m长的竹竿AC斜靠在石坝旁，当量出竹竿上AD长为1 m时，它离地面的高度DE为0.6 m，则坝高CF为________m.
2.7
如图，手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度ED＝3.5 m，点F到地面的高度FC＝1.5 m，灯泡到木板的水平距离AC＝ 5.4 m，墙到木板的水平距离CD＝4 m．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中
点A，B，C，D在同一水平面上，
则灯泡到地面的高度GA为________m.
1.2
14.
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15.
(8分)[2025河北模拟]如图，为测算河对面的高楼AB的高度，小明站在岸边三层小楼顶，从点G看水面，正好通过O看见对面楼顶A在水里的倒影F；他下到一楼从点D看水面，正好通过E看见倒影F.已知一楼点D处高出水面CD＝2 m，三层小楼顶G高出
水面CG＝13 m，E与小明的水平距离
CE＝2 m，与点O的距离OE＝10 m．
求点B与点O之间的距离和高楼AB的高度.
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16.
如图，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，OB＝BE，若S△ABC＝2，则S△DEF＝________.
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8
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17.(共12张PPT)
第二十七章 相似
专项突破5
相似三角形中常见作辅助线的方法
2
1.
解：如图，过点C作CE∥OA，
交BD于点E，则△BCE∽△BOD.
∵C为OB的中点，
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2.
(8分) 如图，在△ABC中，∠C＝90°，D为AB的中点，点M为线段AC上一点，点N为线段CB上一点，且 DM⊥DN.
证明：如图，过点D作DQ⊥AC于点Q，DP⊥BC于点P，
∴∠MQD＝∠DQC＝∠DPN＝90°.
∵∠C＝90°，
∴四边形CPDQ为矩形．
∴∠QDP＝90°，DQ∥BC，DP∥AC.
又∵D为AB的中点，
(2)若BC＝6，AC＝8，CM＝5，求CN的长．
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3.
(4分)如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，E为CD的中点，AE的延长线交BC于点F，FG⊥AB于点G.
求证：FG2＝CF·BF.
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4.
(4分)如图，在△ABC中，AB⊥AC，AE⊥BC于点E，点D在AC上，若BD＝DC＝EC＝1，求AC的长.
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第二十七章 相似
专项突破6
相似三角形与其他知识的综合
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A
1.
如图，在 ABCD中，E是CD边上一点，AE与BD交于点F，若DE＝2EC，则△DEF与△ABF的周长比为( )
A．2∶3
B．1∶3
C．1∶2
D．4∶9
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2.
[2024陕西中考]如图，正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上，AF与DC交于点H，若AB＝6，CE＝2，则DH的长为( )
B
3.
(8分)[2024上海中考]如图，在矩形ABCD中，E为边CD上一点，且AE⊥BD.
(1)求证：AD2＝DE·DC；
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4.
(8分)[2024德阳中考]如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，对角线AC与BD相交于点O，点F为BC的中点，连接AF与BD相交于点E，连接CE并延长交AB于点G.
(1)求证：△BEF∽△BCO；
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，AC⊥BD.
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
∵点F为BC的中点，
∴AF⊥BC，∴∠BFE＝∠BOC＝90°.
又∵∠EBF＝∠CBO，
∴△BEF∽△BCO.
(2)求证：△BEG≌△AEG.
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5.
如图，⊙O的直径AB＝10，半径OC⊥AB，点D为⊙O上一点，连接CD交AB于点E，若AD＝DE，则BD·CE的值为( )
A
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6.
7.
(8分)[2025东营中考]如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上异于A，B的点，连接AC，BC，点D在BA的延长线上，且∠DCA＝∠ABC，点E在DC的延长线上，且BE⊥DC.
(1)求证：DC是⊙O的切线；
证明：连接OC，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠ABC.
∵∠DCA＝∠ABC，∴∠DCA＝∠OCB.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠OCB＋∠ACO＝∠ACB＝90°，
∴∠DCA＋∠ACO＝90°，
即∠OCD＝90°，∴DC⊥OC.
又∵OC是⊙O的半径，∴DC是⊙O的切线．
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8.
A
9.
(2)若直线DE交梯形的对角线BO于点D，交OA于点E，且OE＝4，OD＝2BD，求直线DE的解析式.
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10.
(8分) 如图，二次函数y＝ax2＋bx－3的图象与x轴交于A，B两点(A在B的左侧)，与y轴交于C点，点A的坐标为(－1，0)，且OB＝OC.
(1)求该二次函数的解析式；
(2)设点C′与点C关于该抛物线的对称轴对称．在y轴上是否存在点P，使△PCC′与△POB相似，且PC与PO是对应边？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
解：存在．设P(0，m)，
易知抛物线的对称轴为直线x＝1，
∵点C与点C′关于该抛物线的对称轴对称，C(0，－3)，
∴C′(2，－3)．
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第二十七章 相似
微专项2 作平行线转化线段的比
【例】如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，F是AD上一点，且AF∶FD＝2∶3，连接CF并延长交AB于点E，则AE∶EB＝________．
提示：过点D作DH∥CE交AB于点H.
【变式】如图，在△ABC中，D是AC的中点，点F在BD上，连接AF并延长交BC于点E，若BF∶FD＝3∶1，
BC＝10，则CE的长为( )
B(共9张PPT)
第二十七章 相似
专项突破3
证比例式或等积式的常见技巧
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1.
2.
(4分)如图，已知B，C，E三点在同一条直线上，△ABC与△DCE都是等边三角形．其中线段BD交AC于点G，线段AE交CD于点F，连接GF.
证明：∵△ABC与△DCE都是等边三角形，
∴AC＝BC，CE＝CD，∠DCE＝∠ACB＝60°.
∴∠DCE＋∠ACD＝∠ACB＋∠ACD，
即∠ACE＝∠BCD.
∴△ACE≌△BCD(SAS)．
∴∠AEC＝∠BDC.
又∵∠GCD＝180°－∠ACB－∠DCE＝60°＝∠FCE，CD＝CE，
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3.
(8分)如图，已知DE∥BC，FE∥CD.
(1)若AF＝3，AD＝5，AE＝4，求CE的长；
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4.
(8分)如图，在△ABC中，AB＝AC，DE∥BC，点F在边AC上，DF与BE相交于点G，且∠EDF＝∠ABE.求证：
(1)△DEF∽△BDE；
证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.
∵DE∥BC，
∴∠ABC＋∠EDB＝∠ACB＋∠FED＝180°.
∴∠FED＝∠EDB.
又∵∠EDF＝∠DBE，∴△DEF∽△BDE.
(2)DG·DF＝DB·EF.
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