北师大版2025年九年级下册第2章《二次函数》单元测试卷（含答案）

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北师大版2025年九年级下册第2章《二次函数》单元测试卷
满分120分 时间120min
一、选择题（共30分）
1．下列函数中，一定是关于x的二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．抛物线的对称轴是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
4．将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线解析式是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，二次函数的图象经过点，，当时，x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．或
6．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图是根据某拱桥形状建立的平面直角坐标系，从中得到函数，在正常水位时水面宽，当水位上升5m时，水面的宽为（ ）

A．16m B．18m C．20m D．24m
8．函数的图象与x轴交于A，B两点，函数的图象与x轴交于C，D两点，其中．若，则下列与的数量关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，的顶点在抛物线上，将绕点顺时针旋转，得到，边与该抛物线交于点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
10．二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④（为任意实数）；⑤方程的两根之和为．其中正确结论的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
二、填空题（共18分）
11．函数是关于x的二次函数，则m的值为 ．
12．若二次函数的图象开口向下，则m的值为 ．
13．若点和点均在二次函数的图象上，则 （填“”“”或“”）．
14．已知二次函数的图象与x轴只有一个交点，则m的值是 ．
15．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是 ．
16．如图，二次函数的图象经过和两点，且交y轴于点C．连接A，C，将线段向右平移m个单位，若线段与抛物线有唯一交点，则m的取值范围是 ．
三、解答题（共72分）
17．（6分）如图，抛物线分别经过点，，．求抛物线的函数解析式．
18．（6分）如图，已知二次函数的图象经过点A（-1，0），B（1，-2），与x轴的另一个交点为C．
(1)求该图象的解析式；
(2)求AC长．
19．（6分）如图，抛物线经过A，B，C三点．已知点B的坐标为，且．
(1)求A，C两点的坐标；
(2)求抛物线的解析式．
20．（8分）已知二次函数
(1)若，，当时，求y的取值范围；
(2)当时，y的最大值为2；当时，y的最大值为3，求二次函数的表达式．
21．（8分）在一次社会实践活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两墙足够长），用米长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围，两边），设米．
(1)如果花园的面积为平方米，求的值；
(2)如果在点处有一棵树到墙，的距离分别是米和米，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树粗细），求花园面积的最大值．
22．（8分）已知二次函数的解析式是
(1)将二次函数化成的形式，并求出该函数图象与x轴和y轴的交点坐标；同时在平面直角坐标系中，画出该二次函数的图象（不需要列表）；
(2)结合函数图象，直接写出时x的取值范围；
(3)当时，求y的取值范围；
(4)若一次函数的图象经过和两点，根据图象直接写出不等式的解集．
23．（10分）已知抛物线（，为常数）经过点，．
(1)求的值；
(2)若点向上平移2个单位长度，再向左平移个单位长度后，恰好落在抛物线上，求的值；
(3)当时，抛物线的最大值与最小值的差为，求的取值范围．
24．（10分）如图，抛物线经过点，
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若是y轴正半轴上的一点，且，将点A绕点C逆时针旋转得到点D，且点D在该抛物线上．
①求点D的坐标；
②连接并延长交x轴于点E，作轴交该抛物线于点F，若点F与点D间的抛物线上有一点G，当点G到直线的距离最大时，求点G的坐标．
25．（10分）如图，直线与轴，轴分别交于点，点，经过两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为．
(1)求该抛物线的解析式以及顶点的坐标；
(2)当时，在抛物线上存在点，使的面积有最大值，求点的坐标；
(3)连接，点在轴上，是否存在以为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A B A C B C B C A
二、填空题
11．
12．
13．
14．5
15．或
16．
三．解答题
17．解：抛物线经过点，，
设抛物线的解析式为：，
代入得：，
解得：，
抛物线的解析式：．
18．（1）把点代入中，得
解之得
∴二次函数的解析式为：
（2）对于二次函数
令得
19．（1）解：∵点B的坐标为，
∴，
∵，
∴，
∴，
当时，，
∴；
（2）将，，代入得：
，
解得：，
∴该抛物线的解析式为：．
20．（1）解：，时，
，
抛物线的开口向下，顶点坐标为
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，
中含有顶点，
当时，y有最大值7，
当时，y有最小值为6，
当时，
（2）解：时，y的最大值为2；时，y的最大值为3，
抛物线的对称轴在y轴的右侧，
，
抛物线开口向下，时，y的最大值为2，
，
又时，y的最大值为3，
，
，
，
二次函数的表达式为
21．（1）解：∵米，则，
∴由题意得，．
解得，，．
∴的值为米或米．
（2）解：由题意知，
解得，．
设花园的面积为平方米，
由题意得，，
∵，开口向下，
∴当时，随的增大而增大，
∴当时，．
即花园面积的最大值为平方米．
22．（1）解：，
当时，，
解得：，，
当时，则，
∴与x轴交点坐标为和，与y轴交点坐标为．
画图如下：
．
（2）解：结合函数图象，时x的取值范围为：或．
（3）解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线：，顶点坐标为，
∴函数最小值为，
当时，，
当时，y的取值范围为．
（4）解：如图，
∴不等式的解集为：．
23．（1）解：把，代入二次函数得：，
解得，
则．
（2）解：由（1）知，二次函数的解析式为，
将点向上平移2个单位长度，再向左平移个单位长度后所得到的点的坐标为，即，
∵点恰好落在抛物线上，
∴，
解得或（不符合题意，舍去），
所以的值为4．
（3）解：当时，，
当时，，
将二次函数化成顶点式为，
∴二次函数的对称轴为直线；当时，，
∴当时的函数值与当时的函数值相等，
①当时，在内，随的增大而减小，
则此时当时，取得最大值8；当时，取得最小值，
∵最大值与最小值的差为，
∴，
解得，与题设不符，舍去；
②当时，
则在内，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，
∴此时当时，取得最大值8；当时，取得最小值，
∴最大值与最小值的差为，符合题意；
③当时，
则在内，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，
∴此时当时，取得最大值；当时，取得最小值，
∵最大值与最小值的差为，
∴，
解得或（不符合，舍去）；
综上，的取值范围为．
24．（1）解：将，代入得，
，
解得，
；
（2）解：①如图，过C作轴，过A作于点G，过D作于点H，
，，
，，
，
，
，，
，
，，
，
点D在该抛物线上，
，
解得或，
，
，
；
②如图，过G作于点M，作轴交于点J，过A作轴，过D作轴，两直线交于点K，其中交于点P，
由①知，
，
设直线解析式为，将A和C代入得，
，解得，
直线解析式为，
令得，
，
同理可得直线解析式为，
设，则，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
当时，由最大值，
此时，
.
25．（1）解：直线，令，得，令，得，
所以，，代入得，
，解得：，
∴，
∴，
∴顶点P的坐标为：；
（2）解：在抛物线上取点E，连接，，过E作x轴的垂线，交于点F，
设点，则点，
∴，
∴
，
∴当时，的面积有最大值，
此时，点E的坐标为；
（3）解：存在，理由如下，
连接，设，
当时，，
解得，，
∴，
∵，，，
∴，且非等腰三角形，
若为顶点的三角形与相似，
，则点在点的左侧，
，
①当时，，
∴，
解得，所以点N的坐标为，
②当时，，
∴，
解得，所以点N的坐标为，
综上所述，点N的坐标为或．