2025-2026北师大版九上期末模拟数学试卷2（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
2025-2026北师大版九上期末模拟数学试卷2
范围：九上-九下第一章
姓名：__________班级：__________考号：__________总分__________
题号 一 二 三 总分
得分
一．选择题（共10小题）
1．下列各对相关联的量中，成反比例的是（　　）
A．购买苹果和香蕉一共花了60元，购买苹果的金额与购买香蕉的金额
B．一个长方形的面积为20cm2，这个长方形的长与宽
C．小红每分钟跳绳130个，她跳绳的总数与时间
D．汽车的行驶速度为60km/h，行驶的路程与时间
2．如图，该几何体的左视图为（　　）
A． B． C． D．
3．用配方法解方程x2+8x+3＝0时，若将方程变形为（x+p）2＝q，则q﹣p＝（　　）
A．9 B．17 C．13 D．5
4．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，P为AB的黄金分割点（AP＞BP），如果AB的长度为10cm，那么较短线段BP的长度为（　　）
A． B．
C． D．
5．下列命题中，真命题的是（　　）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．三条边相等的四边形是菱形
D．一组邻边相等的矩形是正方形
6．如图，矩形ABCD的顶点D在反比例函数的图象上，顶点B，C在x轴上．对角线AC的延长线交y轴于点E，连接BE，若△BCE的面积是8，则k的值为（　　）
A．﹣4 B．﹣8 C．﹣16 D．﹣20
7．在同一直角坐标系中，一次函数y＝kx+b与反比例函数的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
8．如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40m，宽为22m．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为520m2．求车道的宽度（单位：m）．设停车场内车道的宽度为xm，根据题意所列方程为（　　）
A．（40﹣2x）（22﹣x）＝520 B．（40﹣x）（22﹣x）＝520
C．（40﹣x）（22﹣2x）＝520 D．（40﹣x）（22+x）＝520
9．已知α，β是方程x2+2023x+1＝0的两个根，则代数式（1+2024α+α2）（1+2025β+β2）的值是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
10．如图，点E，F，G，H分别是正方形ABCD的边DA，AB，BC，CD的中点，连接AH，BE，CF，DG，它们分别相交于点M，N，P，Q，连接NQ．若AB＝4，则下列结论错误的是（　　）
A．△ABE≌△DAH B．四边形MNPQ是正方形
C． D．
二．填空题（共5小题）
11．已知点M（2，5）在反比例函数的图象上，则k＝　 　 ．
12．小慧同学在学习“图形的相似”一章后，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程，如图就是一个特殊化的学习过程，图中横线上应填写的数值是 　 　 ．
13．如图，某港口O位于南北方向的海岸线上．甲，乙两舰艇同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲舰艇每小时航行16海里，乙舰艇每小时航行12海里．它们离开港口1.5小时后分别位于点P，Q处，且相距30海里．已知甲舰艇沿北偏东40°方向航行，则乙舰艇的航行方向是 　 　 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，已知 AOCB的顶点A（﹣2，3），顶点B，C均在反比例函数图象上，且点B在C的左侧，则B点的横坐标为 　 　 ．
15．如图，边长为2的正方形ABCD中，E是对角线BD上的一点，且BE＝BC，点P在EC上，过点P作PF⊥BC于点F，PG⊥BD于点G，则PF+PG的值为 　 　 ．
三．解答题（共10小题）
16．（1）计算：tan60°；
（2）解方程：x2﹣2x﹣3＝0．
17．已知．
（1）化简T；
（2）若在平面直角坐标系中，点P（a，b）为反比例函数上一点，且OP＝5，求T的值．
18．安顺正在积极创建全国文明城市，为提高学生的环保意识，某校举行了环保知识竞赛，从全校学生的成绩中随机抽取了部分学生的成绩进行分析，把结果划分为4个等级：A（优秀）；B（良好）；C（中）；D（合格）．并将统计结果绘制成两幅统计图．
（1）本次抽样调查的学生共有 　 　 名，并补全条形统计图；
（2）该校共有1200名学生，请你估计本次竞赛获得B等级的学生有 　 　 名；
（3）在这次竞赛中，九年级一班共有4人获得了优秀，分别记为1号，2号，3号，4号，学校决定从这4人中随机选出2人参加市级环保知识竞赛，请你用列表法或画树状图法，求所选2人号数恰好一奇数和一偶数的概率．
19．如图，在平面直角坐系xOy中，△ABC的顶点坐标分别为A（2，2），B（4，0），C（1，﹣1）．
（1）画出将△ABC向左平移3个单位，再向上平移2个单位后得到的△A1B1C1（点A，B，C的对应点分别是A1，B1，C1）；
（2）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出△A2B2C2．使△A2B2C2与△ABC位似，且相似比为2：1，请写出点A2的坐标（点A，B，C的对应点分别是A2，B2，C2）；
（3）请在图中画出△A1B1C1与△A2B2C2的位似中心M，并写出点M的坐标．
20．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，BD的垂直平分线分别交AB，BD，BC于点E，F，G，连接DE，DG．
（1）求证：四边形BGDE是菱形；
（2）若∠EDG＝30°，∠C＝45°，ED＝4，求BC的长．
21．为了测量校园内一棵树的高度，学校数学应用实践小组做了如下的探索实践．根据《自然科学》中的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：把镜子放在离树（AB）9m的水平地面点E处，然后一同学沿着直线BE后退到点D，这时该同学恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE＝3m，该同学身高CD＝1.6m．请你计算树（AB）的高度．
22．某村今年收获12万千克的茭白，计划在A市和B市全部销售．在A市销售时，每千克茭白的利润为2元；在B市销售时，平均每千克茭白的利润y（元）与B市的销售量x（万千克）之间的关系满足y＝﹣0.2x+4.2．
（1）若该村销售完所有茭白共获利28.8万元，求该村在B市销售茭白多少万千克；
（2）若在B市销售茭白m万千克与n万千克所获总利润相同，且m≠n，求出m与n所满足关系式？
23．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的3倍，那么称这样的方程为“三倍根方程”．例如，一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两个根是1和3，则方程x2﹣4x+3＝0就是“三倍根方程”．
（1）通过计算，判断方程x2﹣8x+12＝0是否是“三倍根方程”？
（2）若x2﹣（n+3）x+3n＝0是“三倍根方程”，求n的值．
24．研究与应用：
【自学研究】兴趣小组深入探究，发现：在平面直角坐标系中已知点P1（a，b）、P2（c，d），则线段P1P2的中点坐标为（，），已知点A（2，1）、B（0，1），则线段AB的中点坐标为 　 　 ．
【学以致用】如图1，在平面直角坐标系中，长方形OABC的两边OC、OA分别在坐标轴上，且OA＝2，OC＝4，连接OB．反比例函数y（x＞0）的图象经过线段OB的中点D，并与AB、BC分别交于点E、F，一次函数y＝kx+b的图象经过E、F两点．
（1）分别求出一次函数和反比例函数的表达式；
（2）点P是x轴上一动点，当PE+PF的值最小时，求点P的坐标．
【深入研究】（3）小组成员又发现：如图1中，连接AC，则EF∥AC．（如图2），于是想到：如果在双曲线y（x＞0）上任取两点E、F，作EA⊥y轴于A点，作FC⊥x轴于C点，是否仍存在EF∥AC（如图3）．若存在，请证明．
25．如图1，平面上，四边形ABCD中，AB＝4，CD＝6，，DA＝3，∠A＝90°，点M在AD边上，且DM＝1．点P沿折线AB﹣BC以1个单位速度向终点C运动，点A′是点A关于直线MP的对称点，连接A′P，设点P在该折线上运动的时间为t（t＞0）．
（1）直接写出线段BP的长；
（2）如图2，连接BD．
①求∠CBD的度数，并直接写出当A′、M、A共线时t的值；
②若点P到BD的距离为1，求tan∠A′MP的值；
（3）当0＜t≤4时，请直接写出点A′到直线AD的距离（用含t的式子表示）．
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．【考点】反比例函数的定义
【分析】根据反比例函数的定义进行判断即可．
解：购买苹果和香蕉一共花了60元，那么购买苹果的金额与购买香蕉的金额之和为定值，则A不符合题意，
一个长方形的面积为20cm2，那么这个长方形的长与宽的积为定值，则B符合题意，
小红每分钟跳绳130个，那么她跳绳的总数与时间的商为定值，则C不符合题意，
汽车的行驶速度为60km/h，那么行驶的路程与时间的商为定值，则D不符合题意，
故选：B．
【点评】本题考查反比例函数的定义，熟练掌握其定义是解题的关键．
2．【考点】简单组合体的三视图
【分析】根据三视图的定义，从左边看到的图形是左视图，看得到线用实线表示，看不到的线用虚线表示，即可判断．
解：从左边看几何体，分为上下两个矩形，中间的线不可见，为虚线，D选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了几何体的三视图，解题的关键是明确左视图是从几何体的左边观察得到的图形．
3．【考点】解一元二次方程﹣配方法
【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，据此可得p，q得值，再代值计算即可．
解：x2+8x+3＝0，
x2+8x＝﹣3，
x2+8x+42＝﹣3+42，
（x+4）2＝﹣3+16，
（x+4）2＝13，
∵方程x2+8x+3＝0变形为（x+p）2＝q，
∴p＝4，q＝13，
∴q﹣p＝13﹣4＝9．
故选：A．
【点评】本题主要考查了解一元二次方程—配方法，掌握配方法是解题的关键．
4．【考点】黄金分割
【分析】先利用黄金分割的定义计算出AP的长，再由AB﹣AP即可．
解：∵P为AB的黄金分割点（AP＞PB），AB＝10cm，
∴APAB10＝（55）cm，
∴BP＝AB﹣AP＝10﹣（55）＝（15﹣5）cm，
故选：D．
【点评】此题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．
5．【考点】命题与定理；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定与性质；正方形的判定
【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定判断即可．
解：A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形或等腰梯形，故本选项命题是假命题，不符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项命题是假命题，不符合题意；
C、四条边相等的四边形是菱形，故本选项命题是假命题，不符合题意；
D、一组邻边相等的矩形是正方形，是真命题，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
6．【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【分析】设D（a，b），则可表示OC，CD；由矩形及点D在反比例函数图象上，AB＝CD，k＝ab；再由AB∥OE，可证明△ABC∽△EOC，由相似三角形的性质即可求得ab的值，从而求得k的值．
解：设D（a，b），则OC＝﹣a，CD＝b；
∵点D在反比例函数图象上，
∴k＝ab；
∵AB∥OE，
∴△ABC∽△EOC，
∴，
即BC OE＝AB OC；
∴BC OE＝﹣ab；
∵△BCE的面积是8，
∴，
即BC OE＝16，
∴16＝﹣ab，
即ab＝﹣16
∴k＝﹣16；
故选：C．
【点评】本题主要考查了矩形的性质以及相似三角形的性质与判定，反比例函数与图形结合．解题的关键是将△BCE的面积与点D的坐标联系在一起，体现了数形结合的思想方法．
7．【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象
【分析】先根据一次函数y＝kx+b经过的象限判断﹣kb的符号，再根据反比例函数的图象经过的象限，判断出﹣kb的符号，看是否一致．
解：A、一次函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限，则k＞0，b＜0，﹣kb＞0，反比例函数图象经过第二、四象限，则﹣kb＜0，此选项错误，不符合题意；
B、一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限，则k＞0，b＞0，﹣kb＜0，反比例函数图象经过第二、四象限，则﹣kb＜0，此选项正确，符合题意；
C、一次函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限，则k＜0，b＜0，﹣kb＜0，反比例函数图象经过第一、三象限，则﹣kb＞0，此选项错误，不符合题意；
D、一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限，则k＜0，b＞0，﹣kb＞0，反比例函数图象经过第二、四象限，则﹣kb＜0，此选项错误，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查了反比例函数和一次函数的图象，熟练掌握一次函数和反比例函数的性质是解题的关键．
8．【考点】由实际问题抽象出一元二次方程
【分析】由停车场的长、宽及停车场内车道的宽度，可得出停车位（图中阴影部分）可合成长为（40﹣x）m，宽为（22﹣x）m的矩形，结合停车位的占地面积为520m2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
解：若设停车场内车道的宽度为xm，则停车位（图中阴影部分）可合成长为（40﹣x）m，宽为（22﹣x）m的矩形，
根据题意得：（40﹣x）（22﹣x）＝520．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9．【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解
【分析】根据根与系数的关系得到αβ＝1，通过根的定义得到α2+2023α+1＝0，β2+2023β+1＝0，即可得到1+2024α+α2＝α，1+2025β+β2＝2β，进一步即可求出答案．
解：∵α，β是方程x2+2023x+1＝0的两个根，
∴αβ＝1，α2+2023α+1＝0，β2+2023β+1＝0，
（1+2024α+α2）（1+2025β+β2）
＝a 2β
＝2αβ
＝2×1
＝2．
故选：C．
【点评】本题考查了根与系数的关系，属于基础题，关键是把所求代数式合理变形后再利用根与系数的关系解题．
10．【考点】四边形综合题
【分析】根据正方形的性质可得四个边相等，四个角都等于90度，点F、G、H、E分别是正方形边AB、BC、CD、DA的中点，可以证明四边形MNPQ是正方形，再根据勾股定理即可求得PQ的长．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，
∵点F、G、H、E分别是正方形边AB、BC、CD、DA的中点，
∴AF∥CH，AF＝CH，
∴四边形AFCH是平行四边形，
同理可得四边形BEDG是平行四边形，
∴AH∥CF，BE∥DG，
∴四边形MNPQ是平行四边形，
∵AB＝AD，∠BAD＝∠ADC，AE＝DH，
∴△ABE≌△DAH（SAS），故A正确；
∴∠ABE＝∠DAH，
∴∠ABE+∠BAM＝∠DAH+∠BAM＝90°，
∴∠BMA＝∠NMQ＝90°，
∴平行四边形MNPQ是矩形，
由△ABM≌△DQ（AAS）
∴BM＝AQ，
由△AEM≌△BFN（AAS）
∴AM＝BN，MN＝MQ，
∴矩形MNPQ是正方形，故B正确；
∵BF＝AE＝DH＝CG＝2，
根据勾股定理，得
∴BE＝DG2，
由△BFN∽△BEA，
∴，
解得FN，故C正确；
∴EM＝FN，
∴BN，
∴MN＝BE﹣BN﹣EM，
∴QNMN，故D错误；
故选：D．
【点评】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是熟练运用正方形的性质．
二．填空题（共5小题）
11．【考点】反比例函数图象上点的坐标特征
【分析】直接利用反比例函数图象上点的坐标性质得出k的值．
解：∵点M（2，5）在反比例函数的图象上，
∴k的值是：k＝xy＝2×5＝10．
故答案为：10．
【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标性质，得出xy＝k是解题关键．
12．【考点】比例的性质
【分析】利用比例的性质进行计算，即可解答．
解：∵，
∴ab，cb，
∴2，
∴图中横线上应填写的数值是2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
13．【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题；勾股定理的应用
【分析】根据题意，分别求出OP，OQ的长，结合已知条件中PQ的长，满足勾股定理的逆定理，得到△OPQ为直角三角形，∠POQ＝90°，从而求出∠SOQ，得到结果．
解：如图，根据题意，∠NOP＝40°，OP＝16×1.5＝24（海里），OQ＝12×1.5＝18（海里），
∵PQ＝30（海里），
∴OP2+OQ2＝PQ2，
∴△OPQ为直角三角形，∠POQ＝90°，
∴∠EOQ＝40°，
∴∠SOQ＝50°，
∴乙舰艇的航行方向是南偏东50°．
故答案为：南偏东50°．
【点评】本题考查了解直角三角形的方向角，勾股定理逆定理的应用，熟练掌握方向角的定义是解题的关键．
14．【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；平行四边形的性质
【分析】设点C坐标为，由坐标偏移得到，进而列方程求出x即可．
解：∵A（﹣2，3），四边形ABCO是平行四边形，
∴点A向下平移3个单位、向右平移2个单位可得O点，
∴点B向下平移3个单位、向右平移2个单位可得C点，
设点B坐标为，
∴，
∴，
解并检验得：，（不合题意舍去），
∴点B的横坐标为，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了求反比例函数解析式，平行四边形的性质，根据平行四边形的性质，掌握代入法是关键．
15．【考点】正方形的性质；勾股定理
【分析】过点C作CH⊥BD于点H，连接BP，先利用勾股定理求出BD，再由三角形的面积公式得CH，进而得S△BCEBE CH，再利用三角形面积公式分别求出S△PBFBC PF＝PF，S△PBEBE PG＝PG，然后根据S△PBF+S△PBE＝S△BCE即可得出PF+PG的值．
解：过点C作CH⊥BD于点H，连接BP，如图所示：
∵四边形ABCD为正方形，且边长为2，
∴BC＝DC＝2，∠BCD＝90°，
∴△BCD是等腰直角三角形，
由勾股定理得：BD，
由三角形的面积公式得：S△BCDBD CHBC CD，
∴CH，
∵BE＝BC＝2，
∴S△BCEBE CH，
∵PF⊥BC于点F，PG⊥BD于点G，
∴S△PBFBC PF＝PF，S△PBEBE PG＝PG，
∵S△PBF+S△PBE＝S△BCE，
∴PF+PG．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质，灵活利用三角形的面积及勾股定理进行计算是解决问的关键．
三．解答题（共10小题）
16．【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；特殊角的三角函数值；实数的运算；零指数幂；负整数指数幂
【分析】（1）分别根据绝对值的性质，负整数指数幂的定义，任何非零数的零次幂等于1以及特殊角的三角函数值计算即可；
（2）方程利用因式分解法求解即可．
解：（1）tan60°
＝2+3﹣1
＝2+3﹣1﹣3
＝1；
（2）x2﹣2x﹣3＝0，
（x﹣3）（x+1）＝0，
x﹣3＝0或x+1＝0，
所以x1＝3，x2＝﹣1．
【点评】本题考查了实数的运算以及解一元二次方程，掌握相关定义与运算法则是解答本题的关键．
17．【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；分式的化简求值
【分析】（1）将分式的分子分解因式，再约分即可；
（2）利用反比例函数图象上点的坐标特征以及勾股定理得到ab＝12，a2+b2＝52，即可求得（a+b）2＝49，解得a+b＝±7．
解：（1）
＝a+b．
（2）∵点P（a，b）为反比例函数上一点，且OP＝5，
∴ab＝12，a2+b2＝52，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝25+24＝49，
∴a+b＝±7，
∴T的值为7或﹣7．
【点评】本题考查了分式的化简，反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数系数k＝xy以及利用勾股定理求解是解题的关键．
18．【考点】列表法与树状图法；用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；概率公式
【分析】（1）根据A组人数以及百分比计算即可解决问题；求出C组人数，画出条形图即可解决问题；
（2）利用样本估计总体即可；
（3）先画出树状图，继而根据概率公式可求出所选2人号数恰好一奇数和一偶数的概率，
解：（1）18÷30%＝60（人）；
60﹣18﹣24﹣3＝15（人），
补全条形图如下：
，
故答案为：60；
（2）估计本次竞赛获得B等级的学生有：（名），
故答案为：480；
（3）画树状图如下：
机会均等的可能有12种，其中恰好一奇数和一偶数由8种，
故被选中的两人恰好是一男一女的概率是：．
【点评】此题考查列表法与树状图法，用样本估计总体，扇形统计图，条形统计图，概率公式，解答本题的关键是熟练掌握概率的求法．
19．【考点】作图﹣位似变换；作图﹣平移变换
【分析】（1）根据“左减右加，上加下减”计算平移后各点坐标，再描点画图．
（2）以原点为位似中心，相似比2：1且在y轴右侧，通过原坐标乘以2得到对应点坐标．
（3）连接对应点连线，其交点即为位似中心，通过计算确定位似中心坐标．
解：（1）根据“左减右加，上加下减”计算平移后各点坐标，
C（1，﹣1）向左平移3个单位，向上平移2个单位得C1（﹣2，1）；
B（4，0）向左平移3个单位，向上平移2个单位得B1（1，2）；
将A（2，2）向左平移3个单位，向上平移2个单位得A1（﹣1，4）；
描点连接得△A1B1C1．
（2）以原点O为位似中心，相似比2：1且在y轴右侧，A（2，2）的对应点A2坐标为（2×2，2×2）＝（4，4）．
描点连接得△A2B2C2（见上图），
故点A2的坐标为（4，4）．
（3）作射线A2A1、B2B1、C2C1，交点即为位似中心M（见上图）．
设直线B1B2的解析式为y＝kx+b，
将B1（1，2）和B2（8，0）代入解析式，
得到方程组：，
解方程组得，代入k+b＝2得，
因此，直线B1B2的解析式为，
∵A1（﹣1，4），A2（4，4），故直线A1A2为y＝4，
联立求解得．
所以位似中心M的坐标为（﹣6，4）．
【点评】本题考查了图形的平移变换、位似变换及位似中心的确定，解题的关键是掌握平移坐标变化规律、位似的坐标性质及位似中心的找法．
20．【考点】菱形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理
【分析】（1）由角平分线的性质和垂直平分线的性质可证∠EDB＝∠DBG＝∠ABD＝∠GDB，可得BE∥DG，DE∥GB，由菱形的判定可证结论；
（2）过点D作DH⊥BC，由菱形的性质可得DE＝DG＝4，DG∥EB，由直角三角形的性质可得CH＝DH＝2，HGDH＝2，进而即可解决问题．
（1）证明：在△ABC中，BD平分∠ABC，BD的垂直平分线分别交AB，BD，BC于点E，F，G，
∴∠ABD＝∠DBG，
∵EG垂直平分BD，
∴DG＝BG，DE＝EB，
∴∠DBG＝∠GDB，∠ABD＝∠EDB，
∴∠EDB＝∠DBG＝∠ABD＝∠GDB，
∴BE∥DG，DE∥GB，
∴四边形BGDE是平行四边形，
又∵DE＝EB，
∴四边形BGDE是菱形；
（2）解：如图，过点D作DH⊥BC于点H，
∵四边形BGDE是菱形，
∴∠ABC＝∠EDG＝30°，DE＝DG＝BG＝4，DG∥EB，
∴∠ABC＝∠DGC＝30°，
又∵DH⊥BC，
∴DHDG＝2，HGDH＝2，
∵∠C＝45°，DH⊥BC，
∴∠C＝∠CDH＝45°，
∴CH＝DH＝2，
∴GC＝GH+HC＝22，
∴BC＝BG+GH+CH＝6+2．
【点评】本题考查了菱形的判定和性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，熟练运用菱形的判定和性质是本题的关键．
21．【考点】相似三角形的应用
【分析】如图容易知道CD⊥BD，AB⊥BE，即∠CDE＝∠ABE＝90°．由光的反射原理可知∠CED＝∠AEB，这样可以得到△CED∽△AEB，然后利用对应边成比例就可以求出AB．
解：由题意知∠CDE＝∠ABE＝90°，
又由光的反射原理可知∠CED＝∠AEB，
∴△CED∽△AEB
∴，
∴，
∴AB＝4.8米．
答：树高是4.8米．
【点评】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的性质就可以求出结果．
22．【考点】一元二次方程的应用；一次函数的应用
【分析】（1）设该村在B市销售茭白x万千克，则在A市销售茭白（12﹣x）万千克，根据该村销售完所有茭白共获利28.8万元，列出一元二次方程，解方程即可；
（2）由题意可知，在B市销售茭白m万千克，则在A市销售茭白（12﹣m）万千克，在B市销售茭白n万千克，则在A市销售茭白（12﹣n）万千克，根据在B市销售茭白m万千克与n万千克所获总利润相同，可得m（﹣0.2m+4.2）+2（12﹣m）＝n（﹣0.2n+4.2）+2（12﹣n），即可解决问题．
解：（1）设该村在B市销售茭白x万千克，则在A市销售茭白（12﹣x）万千克，
根据题意得：x（﹣0.2x+4.2）+2（12﹣x）＝28.8，
整理得：x2﹣11x+24＝0，
，解得：x1＝3，x2＝8，
答：该村在B市销售茭白3万千克或8万千克；
（2）由题意可知，在B市销售茭白m万千克，则在A市销售茭白（12﹣m）万千克，
在B市销售茭白n万千克，则在A市销售茭白（12﹣n）万千克，
根据题意得：m（﹣0.2m+4.2）+2（12﹣m）＝n（﹣0.2n+4.2）+2（12﹣n），
∴（n﹣m）（n+m﹣11）＝0，
∴n＝m（不符合题意，舍去）或n+m＝11，
答：m与n所满足的关系式为n+m＝11．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用、一次函数的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23．【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解；解一元二次方程﹣因式分解法；根的判别式
【分析】（1）先解方程，然后根据“三倍根方程”的定义进行判断；
（2）先解方程x2﹣（n+3）x+3n＝0，然后根据“三倍根方程”的定义求出n的值即可．
解：（1）解方程x2﹣8x+12＝0得x1＝2，x2＝6，
所以x2﹣8x+12＝0是“三倍根方程”；
（2）解方程x2﹣（n+3）x+3n＝0得x1＝3，x2＝n，
∵若x2﹣（n+3）x+3n＝0是“三倍根方程”，
∴n＝9或1，
即n的值为9或1．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系已经一元二次方程的解法，解题的关键是掌握因式分解法解方程．
24．【考点】反比例函数综合题
【分析】【自学研究】
由中点坐标公式即可求解；
【学以致用】
（1）用待定系数法即可求解；
（2）作点E关于x轴的对称点E′（1，﹣2），连接E′F交x轴于点P，此时，PE+PF的值最小，进而求解；
【深入研究】
（3）证明1，即可求解．
【自学研究】
解：由中点坐标公式得：中点坐标为（，），
即中点的坐标为（1，1），
故答案为：（1，1）；
【学以致用】
（1）解：由题意得，点B（4，2），则OB的中点坐标为（2，1），
将点（2，1）代入反比例函数表达式得：1，
解得：m＝2，
即反比例函数表达式为：y，
当x＝4时，则y，即点F（4，），
同理可得，点E（1，2），
则，解得：，
即一次函数的表达式为：yx；
（2）解：作点E关于x轴的对称点E′（1，﹣2），如图，连接E′F交x轴于点P，此时，PE+PF的值最小，
理由：PE+PF＝PE′+PF＝E′F为最小，
由点E′、F的坐标得，直线E′F的表达式为：yx，
令yx0，
解得：x，
即点P的坐标为（，0）；
【深入研究】
（3）存在，理由：
证明：如图，延长CF交AE的延长线于点B，
设点B（s，t），则点E、F的坐标分别为（，t）、（s，），
则BE＝s，BA＝s，
则1，
同理可得：1，
∴EF∥AC．
【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了平行线分线段成比例定理，坐标轴上，任意线段的中点公式，反比例函数图象上点的坐标特点、中点坐标公式是解答此题的关键．
25．【考点】四边形综合题
【分析】（1）分两种情况0＜t≤4和4＜t≤8分别求出BD即可；
（2）①首先根据勾股定理得到，然后利用勾股定理的逆定理即可求出∠CBD＝90°；画出图形，然后证明出△DNM∽△DBA，利用相似三角形的性质求出，然后证明出△PBN∽△DMN，利用相似三角形的性质得到，进而求解即可；
②当P点在AB上时，PQ＝1，∠A′MP＝∠AMP，分别求得BP，AP，根据正切的定义即可求解；当P在BC上时，则PB＝1，过点P作PO⊥AB交AB的延长线于点Q，延长MP交AB的延长线于点H，证明△PQB∽△BAD，得，进而求得AQ，证明△HPQ∽△HMA，即可求解；
（3）如图所示，过点A′作A′F⊥AD于点F，过点P作PE⊥A′F于点E，则四边形AFEP是矩形，证明△A′PE∽△MA′F，根据相似三角形的性质即可求解．
解：（1）四边形ABCD中，AB＝4，CD＝6，，DA＝3，∠A＝90°，点M在AD边上，且DM＝1．点P沿折线AB﹣BC以1个单位速度向终点C运动，
设点P在该折线上运动的时间为t（t＞0）．
∴当0＜t≤4时，BP＝4﹣t；
当4＜t≤8时，BP＝t﹣4；
（2）①当A′、M、A共线时t的值为；理由如下：
∵四边形ABCD中，AB＝4，CD＝6，，DA＝3，∠A＝90°，点A′是点A关于直线MP的对称点，连接A′P，
∴，
∴BD2+BC2＝25+11＝36，CD2＝36，
∴BD2+BC2＝CD2，
∴∠CBD＝90°；
如图2所示，当A′、M、A共线时，设MP交BD与点N，
∵PM平分∠A′MA，
∴∠PMA＝90°，
∴PM∥AB，
∴△DNM∽△DBA，
∴，
∵DM＝1，DA＝3，
∴，
∴，
∴，
∵∠PBN＝∠NMD＝90°，∠PNB＝∠DNM，
∴△PBN∽△DMN，
∴，即 ，
∴，
∴；
②若点P到BD的距离为1，如图3所示，当P点在AB上时，PQ＝1，∠A′MP＝∠AMP，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图4所示，当P在BC上时，则PB＝1，过点P作PQ⊥AB交AB的延长线于点Q，延长MP交AB的延长线于点H，
∵∠PQB＝∠CBD＝∠DAB＝90°，
∴∠QPB＝90°﹣∠PBQ＝∠DBA，
∴△PQB∽△BAD，
∴，即，
∴，
∴，
∵PQ⊥AB，DA⊥AB，
∵PQ∥AD，
∴△HPQ∽△HMA，
即，
解得：，
∴，
综上所述，tan∠A′MP的值为 或 ；
（3）点A′到直线AB的距离为 ．理由如下：
∵点A′是点A关于直线MP的对称点，当0＜x≤4时，P在AB上，
如图5所示，过点A′作A′F⊥AD于点F，过点P作PE⊥A′F于点E，
由作图可知，A′F⊥AD，PE⊥A′F，
∴四边形AFEP是矩形，
由△A′PE∽△MA′F，
∴，
∵A′P＝AP＝t，MA′＝MA＝2，
设A′F＝y，PE＝h，
即，
∴h，2（t﹣y）＝t（h﹣2），
∴2（t﹣y）＝t（2），
整理得y，
即点A′到直线AD的距离为．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了相似三角形的性质与判定，折叠的性质，求正切值，熟练掌握以上知识且分类讨论是解题的关键
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)