2025-2026浙教版九上期末模拟数学试卷1（含解析）

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2025-2026浙教版九上期末模拟数学试卷1
范围：九上-九下第一章
姓名：__________班级：__________考号：__________总分__________
题号 一 二 三 总分
得分
一．选择题（共10小题）
1．如图，该几何体的左视图为（　　）
A． B． C． D．
2．如图，在正方形组成的网格中，∠BAC的余弦值等于（　　）
A． B． C．1 D．
3．如图，以O为圆心的圆形跑道上，有三个起点A，B，C，设从A到B的跑道长为a，从B到C的跑道长为b，从C到A的跑道长为c，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．b＜a＜c B．a＝b＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a
4．如图，AB是⊙O直径，BC与⊙O相切于点B，OC与⊙O相交于点D，连结AD，若∠A＝24°，则∠C的度数为（　　）
A．24° B．42° C．48° D．52°
5．已知⊙O的半径是5，点P到圆心O的距离是7，则点P在（　　）
A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．不能确定
6．已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣b（a＞0）的图象上三个点的坐标分别为A（﹣1，y1），B（2，y2），C（4，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A．y2＜y1＜y3 B．y3＜y1＜y2 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y2＜y1
7．如图，已知二次函数y＝a（x+1）（x﹣3）的图象经过点A（0，3），则关于x的一元二次方程ax2﹣2ax＝3a+3的根是（　　）
A．x1＝0，x2＝2 B．x1＝﹣1，x2＝3
C．x1＝0，x2＝3 D．x1＝1，x2＝﹣3
8．任意掷一枚骰子，下列情况出现的可能性比较小的是（　　）
A．面朝上的点数是6 B．面朝上的点数是偶数
C．面朝上的点数大于2 D．面朝上的点数小于3
9．如图，在△ABC中，点D、E分别是AB和AC上的点，且DE∥BC，如果AD＝6，BD＝4，AC＝8，那么AE的长是（　　）
A．4 B．6 C． D．
10．高速公路的隧道和桥梁最多，如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面AB＝8米，净高CD＝8米，则此圆的半径OA＝（　　）
A．5米 B．5.5米 C．6米 D．6.5米
二．填空题（共6小题）
11．已知，则的值为 　 　 ．
12．若把一个半径为5，圆心角为180°的扇形做成圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆的半径为 　 　 ．
13．某区为了了解初中生体质健康水平，在全区进行初中生体质健康的随机抽测，结果如下表．根据抽测结果，对该区初中生体质健康合格的概率进行估计，最合理的结果是 　 　 ．
累计抽测的学生数n 100 20 300 400 500 600 700 800 900 1000
体质健康合格的学生数与n的比值 0.88 0.89 0.93 0.9 0.89 0.9 0.92 0.93 0.93 0.93
14．已知：在△ABC中，AB＝8，BC＝10，∠ABC＝120°，则AC＝　 　 ．
15．如图，点C是半圆O上一点，将弧BC沿弦BC折叠交直径AB于点D，点E是弧CD中点，连结BE并延长交半圆于点F，若BC＝6，，则AB的长为 　 　 ．
16．在平面直角坐标系中，抛物线 （0≤x≤8）的图象如图所示，对任意的0≤a＜b≤8，称W为a到b时y的值的“极差”（即a≤x≤b时y的最大值与最小值的差），L为a到b时x的值的“极宽”（即b与a的差值），则当L＝7时，W的取值范围是 　 　 ．
三．解答题（共8小题）
17．计算：
（1）sin60°tan30°﹣tan45℃os230°；
（2）．
18．2024年春节档电影票房火爆，电影《飞驰人生2》、《热辣滚烫》、《第二十条》深受观众喜爱．甲、乙两人从这三部电影中任意选择一部观看．
（1）甲选择《热辣滚烫》的概率是 　 　 ；
（2）请用列表或画树状图的方法求出甲、乙两人选择同一部电影的概率．
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是△ABC的角平分线．
（1）求证△CBD∽△CAB；
（2）若AB＝1，求AD的长．
20．为响应扬州市“创建全国文明城市”号召，某单位不断美化环境，拟在一块矩形空地上修建绿色植物园，其中一边用墙，可利用的墙长不超过16m，另外三边由36m长的栅栏围成，设矩形ABCD空地中，垂直于墙的边AB＝xm，面积为ym2（如图）．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？
21．已知：如图，等边△ABC中，点E在边BC上，CD∥AB，且CD＝BE．
（1）求证：△ABE≌△ACD；
（2）判断△ADE的形状，并说明理由．
22．综合实践活动中，某小组利用木板和铅锤自制了一个简易测高仪测量塔高．测高仪ABCD为矩形，CD＝30cm，顶点D处挂了一个铅锤H．如图是测量塔高的示意图，测高仪上的点C、D与塔顶G在一条直线上，铅垂线DH交BC于点M．经测量，点D距地面1.9m，到塔EG的距离DF＝13m，CM＝20cm．求塔EG的高度（结果精确到1m）．
23．若抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的顶点横坐标比抛物线y＝﹣x2+2x+c的顶点横坐标大1．
（1）求b的值．
（2）若点A（x1，m）在抛物线y＝﹣x2+bx+c上，点B（x2，n）在抛物线y＝﹣x2+2x+c上．
①若x2＝2x1+0.5，求n﹣m的最大值．
②若x2﹣x1＝t，且x1≥0时，始终有n﹣m＝3t，直接写出t的值．
24．如图，点D是△ABC的边AB上一点，BC的延长线交△ADC的外接圆于点E，作AF∥BE交于点F，连结DF交AC于点M，记．
【认识图形】求证：∠ACB＝∠CDF．
【探索关系】求证：DF＝kAC．
【问题解决】若点M与点E关于CF对称．
①当时，求k的值．
②求k的最大值．
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．【考点】简单组合体的三视图
【分析】根据三视图的定义，从左边看到的图形是左视图，看得到线用实线表示，看不到的线用虚线表示，即可判断．
解：从左边看几何体，分为上下两个矩形，中间的线不可见，为虚线，D选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了几何体的三视图，解题的关键是明确左视图是从几何体的左边观察得到的图形．
2．【考点】解直角三角形
【分析】在网格中，构造直角三角形ACD，利用三角函数的定义求解即可．
解：如图，在Rt△ACD中，AD＝CD＝3，
∴AC3，
∴cos∠BAC，
故选：B．
【点评】本题考查了解直角三角形，适当构造直角三角形，利用三角函数定义解答是关键．
3．【考点】弧长的计算
【分析】根据弧长公式分别求出a，b，c，再比较大小即可．
解：设⊙O的半径为r，由题意可知，
a，b，c，
∴a＝b＜c．
故选：B．
【点评】本题考查了弧长的计算，掌握弧长公式是解题的关键．
4．【考点】切线的性质；圆周角定理
【分析】由切线的性质定理得到∠OBC＝90°，由圆周角定理得到∠BOC＝2∠A＝48°，由直角三角形的性质即可求出∠C＝90°﹣48°＝42°．
解：∵AB是⊙O直径，BC与⊙O相切于点B，
∴BC⊥AB，
∴∠OBC＝90°，
∵∠BOC＝2∠A＝2×24°＝48°，
∴∠C＝90°﹣48°＝42°．
故选：B．
【点评】本题考查切线的性质，圆周角定理，关键是由切线的性质定理得到∠OBC＝90°，由圆周角定理得到∠BOC＝2∠A．
5．【考点】点与圆的位置关系
【分析】由⊙O的半径分别是5，点P到圆心O的距离为3，根据点与圆心的距离与半径的大小关系即可确定点P与⊙O的位置关系．
解：∵⊙O的半径分别是5，点P到圆心O的距离为7，
∴点P与⊙O的位置关系是：点在圆外．
故选：C．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系．注意若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．
6．【考点】二次函数图象上点的坐标特征
【分析】求出抛物线的对称轴，求出A关于对称轴的对称点的坐标，根据抛物线的开口方向和增减性，即可求出答案．
解：y＝ax2﹣2ax﹣b（a＞0），
对称轴是直线x1，
即二次函数的开口向上，对称轴是直线x＝1，
即在对称轴的右侧y随x的增大而增大，
A点关于直线x＝1的对称点是D（3，y1），
∵2＜3＜4，
∴y3＞y1＞y2，
故选：A．
【点评】本题考查了学生对二次函数图象上点的坐标特征的理解和运用，主要考查学生的观察能力和分析能力，本题比较典型，但是一道比较容易出错的题目．
7．【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象上点的坐标特征
【分析】可知二次函数y＝a（x+1）（x﹣3）＝ax2﹣2ax﹣3a的对称轴为直线x1，则点A（0，3）关于对称轴对称的点为（2，3），可知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a的图象与直线y＝3的交点横坐标为0，2，进而可得答案．
解：∵二次函数y＝a（x+1）（x﹣3）＝ax2﹣2ax﹣3a的对称轴为直线x1，
∴点A（0，3）关于对称轴对称的点为（2，3），
∴二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a的图象与直线y＝3的交点横坐标为0，2，
∴关于x的一元二次方程ax2﹣2ax＝3a+3的根为x1＝0，x2＝2．
故选：A．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
8．【考点】可能性的大小
【分析】分别求出每个事件发生的可能性大小，从而得出答案．
解：A．面朝上的点数是6的概率为；
B．面朝上的点数是偶数的概率为；
C．面朝上的点数大于2的概率为；
D．面朝上的点数小于3的概率为；
∴出现的可能性比较小的是：面朝上的点数是6，
故选：A．
【点评】本题主要考查可能性的大小，解题的关键是掌握概率公式．
9．【考点】平行线分线段成比例
【分析】根据平行线分线段成比例可得，即可求出答案．
解：∵DE∥BC，
∴，
∵AD＝6，BD＝4，AC＝8，
∴，
∴AE．
故选：D．
【点评】本题考查平行线分线段成比例，熟练掌握该知识点是关键，本题属于基础题型．
10．【考点】垂径定理；勾股定理
【分析】根据垂径定理得到AD的长，再根据勾股定理即可求出半径．
解：由题意，得CD⊥AB，
∴ADAB，
设此圆的半径OA＝r米，
∵AB＝8米，CD＝8米，
∴AD＝4米，OD＝（8﹣r）米，
在Rt△OAD中，
由勾股定理，得OA2＝AD2+OD2，
即r2＝42+（8﹣r）2，
解得r＝5（米），
故选：A．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．
二．填空题（共6小题）
11．【考点】比例的性质
【分析】设k，则a＝3k，b＝2k，再代入求出答案即可．
解：设k，则a＝3k，b＝2k，
所以
，
故答案为：．
【点评】本题考查了比例的性质，能熟记比例的性质是解此题的关键，如果，那么ad＝bc．
12．【考点】圆锥的计算
【分析】根据弧长公式求出扇形的弧长，再根据圆的周长公式计算，得到答案．
解：扇形的弧长为：5π，
则圆锥的底面周长为5π，
∴圆锥的底面圆的半径为：，
故答案为：．
【点评】本题考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥的底面圆周长是扇形的弧长是解题的关键．
13．【考点】利用频率估计概率
【分析】根据频数估计概率可直接进行求解．
解：由表格可知：经过大量重复试验，体质健康合格的学生数与抽测的学生数n的比值稳定在0.93附近，所以该区初中生体质健康合格的概率为0.93，
故答案为：0.93．
【点评】本题主要考查用频数估计概率；熟练掌握利用频数估计概率是解题的关键．
14．【考点】解直角三角形；勾股定理
【分析】作AD垂直于CD，交CB的延长线于点D，得到∠BAD＝30°，进而利用勾股定理得到AD＝4，CD＝14，最后利用勾股定理解答即可．
解：如图，作AD垂直于CD，交CB的延长线于点D，
∵∠ABC＝120°，∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝60°，∠BAD＝30°，
∵AB＝8，
∴BD＝4，
∴AD4，
∴CD＝BC+BD＝10+4＝14，
在Rt△ACD中，AC2，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了解直角三角形以及勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解答本题的关键．
15．【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；翻折变换（折叠问题）
【分析】连接AF、CF、CE，过C作CH⊥EF于H，由圆心角、弧、弦的关系定理推出AF＝CF＝CE，由等腰三角形的性质推出EHEF，令EF＝2x，BE＝3x，AF＝y，由勾股定理得到y2+15x2＝36，判定△CBH∽△ABF，推出CH：BH＝AF：BF，求出x2，由勾股定理得到AB7.5．
解：连接AF、CF、CE，过C作CH⊥EF于H，
∵点E是弧CD中点，
∴∠CBF＝∠ABF，
∴，
∴AF＝CF＝CE，
∴EHEF，
∵，
∴令EF＝2x，BE＝3x，
∴EH＝x，BF＝5x，BH＝4x，
设AF＝y，
∴CH2＝CE2﹣HE2＝y2﹣x2，
∵CH2+BH2＝BC2，
∴y2﹣x2+16x2＝36，
∴y2+15x2＝36，
∵AB是圆的直径，
∴∠AFB＝90°，
∴∠AFB＝∠CHB＝90°，
∵∠CBH＝∠ABF，
∴△CBH∽△ABF，
∴CH：BH＝AF：BF，
∴：4x＝y：5x，
∴y2x2，
∴x2+15x2＝36，
∴x2，
∵AB，
∴AB7.5．
故答案为：7.5．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，折叠问题，圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，关键是判定△CBH∽△ABF，得到y2x2，
由勾股定理求出AB的长．
16．【考点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征
【分析】根据抛物线的一般式可得出对称轴和顶点坐标，然后根据L＝7，得出b＝a+7，即可得出0≤a＜a+7≤8，推出0≤a≤1和7≤a+7≤8，然后即可求出当a≤x≤a+7时y的最大值和最小值，即可写出W（a+4）2，然后根据0≤a≤1求出W的最大值和最小值即可求出范围．
解：根据题意可得：（x﹣3）2，
∴抛物线的对称轴x＝3，顶点坐标为（3，），
∵L＝7，即b与a的差值为7，
∴b＝a+7，
∵0≤a＜b≤8，即0≤a＜a+7≤8，
∴0≤a≤1，则7≤a+7≤8，
∴当a≤x≤3时，y随x增大而增大，当3＜x≤a+7时，y随x的增大而减小，
∴当x＝3时，y有最大值，最大值为，
当x＝a+7时，y有最小值，最小值为（a+4）2，
∴W[（a+4）2]（a+4）2，
则对称轴a＝﹣4，
∴当0≤a≤1时，W随a的增大而增大，
∴当a＝0时，W有最小值，最小值为4，
当a＝1时，W有最大值，最大值为，
综上所述：4≤W；
故答案为：4≤W．
【点评】本题考查的主要是二次函数的最值，解题关键：一是求出a的取值范围，二是根据范围求出y的最大值和最小值．
三．解答题（共8小题）
17．【考点】特殊角的三角函数值
【分析】（1）根据sin60°，tan30°，tan45°＝1，cos30°，将待求式化为1×（）2，再计算得出结果；
（2）也可根据特殊角的三角函数值，将待求式变形，再结合实数的运算法则计算．
解：（1）sin60°tan30°﹣tan45°cos230°
1×（）2
1
；
（2）
．
【点评】本题考查了三角函数的计算，掌握特殊角的三角函数值是关键．
18．【考点】列表法与树状图法；概率公式
【分析】（1）直接利用概率公式求解；
（2）用A、B、C分别表示电影《飞驰人生2》、《热辣滚烫》、《第二十条》，画树状图展示所有9种等可能的结果，再找出甲、乙两人选择同一部电影的结果数．然后根据概率公式计算．
解：（1）甲选择《热辣滚烫》的概率是；
故答案为：；
（2）用A、B、C分别表示电影《飞驰人生2》、《热辣滚烫》、《第二十条》，
画树状图为：
共有9种等可能的结果，其中甲、乙两人选择同一部电影的结果数为3种，
所以甲、乙两人选择同一部电影的概率．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．
19．【考点】相似三角形的判定与性质；角平分线的定义；三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【分析】（1）由AB＝AC，∠A＝36°，求得∠ABC＝∠C＝72°，则∠CBD＝∠ABD＝36°，所以∠CBD＝∠A，而∠C＝∠C，即可证明△CBD∽△CAB；
（2）由∠ABD＝∠A＝36°，得BD＝AD，∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°，所以∠BDC＝∠C，则BD＝BC＝AD，而AB＝AC＝1，所以DC＝1﹣AD，由相似三角形的性质得，则BC2＝AC DC，所以AD2＝1﹣AD，求得AD．
（1）证明：∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠C（180°﹣36°）＝72°，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠CBD＝∠ABD∠ABC＝36°，
∴∠CBD＝∠A，
∵∠C＝∠C，
∴△CBD∽△CAB．
（2）解：由（1）得∠ABD＝∠A＝36°，∠C＝72°，△CBD∽△CAB，
∴BD＝AD，∠BDC＝∠A+∠ABD＝36°+36°＝72°，
∴∠BDC＝∠C，
∴BD＝BC，
∴BC＝AD，
∵AB＝AC＝1，
∴DC＝1﹣AD，
∵，
∴BC2＝AC DC，
∴AD2＝1﹣AD，即AD2+AD﹣1＝0，
解得AD或AD（不符合题意，舍去），
∴AD的长是．
【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理、相似三角形的判定与性质等知识，推导出∠CBD＝∠A，进而证明△CBD∽△CAB是解题的关键．
20．【考点】二次函数的应用
【分析】（1）根据矩形的面积公式列出y与x之间的函数关系式，并由0＜36﹣2x≤16求出自变量x的取值范围即可；
（2）把（1）中所得的二次函数解析式写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案．
解：（1）由题意可得：y＝x（36﹣2x）＝﹣2x2+36x，
∵0＜36﹣2x≤16，
∴10≤x＜18，
∴y＝﹣2x2+36x（10≤x＜18）；
（2）y＝﹣2x2+36x＝﹣2（x﹣9）2+162，
因为y＝﹣2（x﹣9）2+162开口向下，x值越靠近对称轴直线为x＝9，y值最大，且10≤x＜18，
∴当x＝10时，y有最大值，且为y＝﹣2×（10﹣9）2+162＝﹣2+162＝160，
此时AD＝36﹣2x＝36﹣20＝16（m），符合题意．
【点评】本题考查了二次函数和一元二次方程的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
21．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质
【分析】（1）由等边三角形的性质得出AB＝AC，∠B＝∠BAC＝60°，根据SAS可证明△ABE≌△ACD；
（2）由全等三角形的性质得出AE＝AD，∠BAE＝∠CAD，证出∠EAD＝60°，则可得出结论．
（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠B＝∠BAC＝60°，
∵AB∥CD，
∴∠ACD＝∠BAC＝60°，
∴∠ACD＝∠B，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS）；
（2）解：△ADE是等边三角形．
理由：∵△ABE≌△ACD，
∴AE＝AD，∠BAE＝∠CAD，
∵∠BAC＝60°，
∴∠EAD＝∠EAC+∠CAD＝∠EAC+∠BAE＝60°，
∴△ADE是等边三角形．
【点评】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．
22．【考点】相似三角形的应用；解直角三角形的应用
【分析】证明△GFD∽△DCM，然后根据相似三角形的性质列出比例式解答即可．
解：∵∠FDM＝90°，
∴∠GDF+∠CDM＝90°，
∵∠GFD＝90°，
∴∠GDF+∠DGF＝90°，
∴∠CDM＝∠DGF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠GFD＝90°，
∴△GFD∽△DCM，
∴，
∵CD＝30cm，DF＝13m，CM＝20cm，
∴，
解得GF＝19.5，
∴EG＝19.5+1.9＝21.4（m）≈21（m），
答：塔EG的高度约为21米．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是证明三角形相似．
23．【考点】二次函数综合题
【分析】（1）由题意得：b﹣1＝1，即可求解；
（2）①设x1＝a，则x2＝2a+0.5，则n﹣m＝﹣3（a）2，即可求解；
②则n﹣m＝﹣（a+t）2+2（a+t）+c+a2﹣4a﹣c＝t，整理得：（t+1）（t+2a）＝0，即可求解．
解：（1）由题意得：b﹣1＝1，则b＝4；
（2）由（1）知，y＝﹣x2+4x+c，
①设x1＝a，则x2＝2a+0.5，
则n﹣m＝﹣（2a+0.5）2+2（2a+0.5）+c﹣a2+4a﹣c＝﹣3（a）2，
即n﹣m的最大值为：；
②x1＝a，则x2＝a+t，
则n﹣m＝﹣（a+t）2+2（a+t）+c+a2﹣4a﹣c＝t，
整理得：（t+1）（t+2a）＝0，
∵x1＝a≥0，上式恒成立，
则t+1＝0，则t＝﹣1．
【点评】本题为二次函数综合运用，主要考查了二次函数的性质，正确设定未知数a是解题的关键．
24．【考点】圆的综合题
【分析】【认识图形】由AF∥BE，得出∠ACB＝∠CAF，根据得出∠CDF＝∠CAF，从而得出∠ACB＝∠CDF；
【探索关系】证明△ABC∽△FCD，从而，从而DF＝kAC；
【问题解决】连接EF，EM，可证得∠CEF＝∠CMF，进而证得∠CAF＝∠AMF，从而AF＝FM，可证得AC＝AF，①设AC＝AF＝3a，CM＝CE＝2a，从而得出AM＝AC﹣CM＝a，可证得△CDM∽△FAM，从而得出DMAM，进一步得出结果；
②设AC＝AF＝FM＝x，CM＝CE＝m，从而得出AM＝AC﹣CM＝x﹣m，根据得出，从而得出DM，进而得出k（，进一步得出结果．
【认识图形】证明：∵AF∥BE，
∴∠ACB＝∠CAF，
∵，
∴∠CDF＝∠CAF，
∴∠ACB＝∠CDF；
【探索关系】证明：∵，
∴∠BAC＝∠CFD，
由上知，
∠ACB＝∠CDF，
∴△ABC∽△FCD，
∴，
∴DF＝kAC；
【问题解决】解：如图，
连接EF，EM，
∵点M与点E关于CF对称．
∴CF垂直平分EM，
CM＝CE，FM＝FE，
∴∠CEM＝∠CME，∠FEM＝∠FME，∠ECF＝∠ACF，
∴∠CEM+∠FEM＝∠CME+∠FME，
∴∠CEF＝∠CMF，
∴180°﹣∠CEF＝180°﹣∠CMF＝∠AMF，
∵四边形ACEF是圆的内接四边形，
∴∠CAF＝180°﹣∠CEF，
∴∠CAF＝∠AMF，
∴AF＝FM，
∵AF∥CE，
∴∠ECF＝∠AFC，
∴∠AFC＝∠ACF，
∴AC＝AF，
①由设AC＝AF＝3a，CM＝CE＝2a，
∴AM＝AC﹣CM＝a，
∵∠CME＝∠AMF，∠CDF＝∠CAF，
∴△CDM∽△FAM，
∴，
∴DMAM，
∴DF＝FM+DM＝3a，
∴k；
②设AC＝AF＝FM＝x，CM＝CE＝m，
∴AM＝AC﹣CM＝x﹣m，
由①知，
，
∴，
∴DM，
∴DF＝FM+DM＝x，
∴k（，
∴当时，k最大．
【点评】本题考查了圆周角定理的推论，轴对称的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，配方法等知识解决问题的关键是通过导角，发现特殊性
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