2025-2026浙教版九上期末模拟数学试卷2（含解析）
文档属性
| 名称 | 2025-2026浙教版九上期末模拟数学试卷2（含解析） |
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| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 2.8MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 浙教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-12-09 00:00:00 | ||
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文档简介
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2025-2026浙教版九上期末模拟数学试卷2
范围：九上-九下第一章
姓名：__________班级：__________考号：__________总分__________
题号 一 二 三 总分
得分
一．选择题（共10小题）
1．△ABC与△DEF的相似比为1：3，则△ABC与△DEF的面积比为（ ）
A．1：3 B．1：4 C．1：9 D．1：16
2．四个不透明的袋子中都装有除颜色外其他均相同的若干红球和白球，比较四个袋子中的红、白球数发现：第一个袋子中的总球数最多，第二个袋子中的红球数最多，第三个袋子中的红球数减去白球数的差最大，第四个袋子中的红球数除以白球数的商最大．从中任意摸出一个球，摸到红球可能性最大的一定是（ ）
A．第一个袋子 B．第二个袋子
C．第三个袋子 D．第四个袋子
3．下列函数表达式中，一定为二次函数的是（ ）
A．y＝2x﹣5 B．y＝ax2+bx+c
C．h D．y＝x2
4．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点E是弧CD的中点，连接DE，AE，交CD于点F，则∠AFD的度数为（ ）
A．45° B．60° C．67.5° D．112.5°
5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠ADC＝130°，连接AC，则∠BAC的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．65°
6．将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线的函数关系表达式是（ ）
A． B．
C． D．
7．黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱，摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法．其原理是：如图，将正方形ABCD的底边BC取中点E，以E为圆心，线段DE为半径作圆，其与底边BC的延长线交于点F，这样就把正方形ABCD延伸为矩形ABFG，称其为黄金矩形．若CF＝4a，则AB＝（ ）
A．（1）a B．（2）a C．（1）a D．（2）a
8．小明、小亮、小梅、小花四人共同探究函数y＝x2﹣4x+5的值的情况，他们作了如下分工：小明负责找函数值为1时的x值，小亮负责找函数值为0时的x值，小梅负责找最小值，小花负责找最大值．几分钟后，各自通报探究的结论，其中错误的是（ ）
A．小明认为只有当x＝2时，函数值为1
B．小亮认为找不到实数x，使函数值为0
C．小花发现当x取大于2的实数时，函数值y随x的增大而增大，因此认为没有最大值
D．小梅发现函数值y随x的变化而变化，因此认为没有最小值
9．如图，已知∠B＝90°，∠DAB＝55°，∠CAB＝45°，AB＝a，则CD的长是（ ）
A．a tan55°﹣a B．a sin55°﹣a
C．a cos55°﹣a D．
10．如图，已知AB＝2，C为AB上一动点（不与A、B）重合，分别以AC、BC为边在AB的上方作等边△ACD和等边△BCE，连接AE、BD、DE、PC，且AE、BD相交于点P．有下列结论：①△ACD∽△BCE；②∠DPA＝60°；③PC平分∠APB；④△CDE外接圆面积的最小值为，其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
二．填空题（共6小题）
11．已知二次函数y＝﹣x2+2x+1，若y随x增大而增大，则x的取值范围是 ．
12．一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的8个黑球、4个白球和若干个红球．每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到黑球的频率稳定于0.4，由此可估计袋中约有红球 ．
13．一个圆柱形管件，其横截面如图所示，管内存有一些水（阴影部分），测得水面宽AB为8cm，水的深度CD为2cm，则此管件的直径为 ．
14．若正多边形的一个中心角为60°，则这个正多边形的一个内角等于 °
15．二次函数y＝（x+m）2﹣3，m为常数，且m＜0，若对于任意的x满足2m≤x≤2m+3，且此时x所对应的函数值最小值为1，则m的值是 ．
16．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝6，则AB+AC的最大值为 ．
三．解答题（共8小题）
17．计算：．
18．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象过不同的五点A（m，n），B（0，y1），C（3﹣m，n），D（，y2），E（2，y3），试比较y1，y2，y3的大小关系．
19．二十四节气是通过观察太阳周年运动，认知一年中时令、气候、物候等方面变化规律所形成的知识体系．二十四节气被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，被誉为“中国的第五大发明”．现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为“立春”，另外一张卡片的正面图案为“立冬”，卡片除正面图案不同外，其余均相同，将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．
请用画树状图或列表的方法，求抽出的两张卡片上的图案都是“立春”的概率．（图案为“立春”的两张卡片分别记为A1、A2，图案为“立冬”的卡片记为B）
20．由边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均在格点上，请用无刻度直尺按要求作图，保留作图痕迹．
（1）在图①中画出△ABC的外心点O，并直接写出其外接圆的半径 ．
（2）如图②，在线段AC上找一点D使得．
21．如图，点M，N分别在△ABC的边AB，AC上，且MN∥BC．
（1）求证：△AMN∽△ABC．
（2）若AM：BM＝3：2，AN＝6，求AC的长．
22．根据下列素材，探索完成任务：
如何加固蔬菜大棚？
素材1 农科所在某蔬菜基地试用新型保温大棚技术．大棚横截面为抛物线型（如图），一端固定在距离地面1米的墙体1处．另一端固定在距离地面2米的对面墙体B处，两墙体的水平距离为6米．大棚离地面的最高点P与A的水平距离为3.5米．
素材2 为了使大棚更牢固，在此横截面内竖立若干根与地面垂直的竹竿连接到大棚的边缘．要求相邻竹竿之间的水平距离为2米，靠近墙体的竹竿与墙体的水平距离不超过2米．
问题解决
任务1 确定大棚形状 结合素材1，在图中建立合适的直角坐标系，求大棚横截面所对应的抛物线解析式（不需写自变量取值范围）．
任务2 探索加固方案 请你设计一个符合要求的竹竿竖立方案，方案内容包括：①从何处立第一根竹竿；②共需多少根竹竿；③所需竹竿的总长度 （写出计算过程）．
23．如图，在Rt△ABC中，以斜边AC为直径作外接圆⊙O，分别过点A，B作⊙O的切线并相交于点P，连接OP，交⊙O于点E．
（1）求证：BC∥OP；
（2）若∠BAC＝30°，BC＝2，求AP的长；
（3）求证：点E是△ABP的内心．
24．[综合探究]运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况．在大自然里，有很多数学的奥秘．图1是一片美丽的心形叶片，图2是一棵生长的幼苗都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成．
【探究一】确定心形叶片的形状
（1）如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数y＝ax2+bx图象的一部分，已知该抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），求抛物线的解析式；
【探究二】研究心形叶片的尺寸
（2）如图3，在（1）的条件下，心形叶片的对称轴，即直线y＝x+1与坐标轴交于A，B两点，抛物线与x轴交于另一点C，点C，C′是叶片上的一对对称点，CC′交直线AB于点G．求叶片此处宽度CC′的值；
【探究三】探究幼苗叶片的特征
（3）小李同学在观察某种幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，如图4所示，右侧幼苗上方轮廓线与下方轮廓线形状相同，开口相反，已知叶尖P的坐标为（4，4）．在右侧上方轮廓线上任取一点M，过M作x轴垂线交下方轮廓线于点N，求MN的最大值．
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．【考点】相似三角形的性质
【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方解答即可．
解：∵△ABC∽△DEF，相似比为1：3，
∴△ABC与△DEF的面积比为1：9，
故选：C．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解题的关键．
2．【考点】可能性的大小
【分析】根据题意可得，红球占总球数的比例最大时，摸到红球的可能性最大，据此可解答．
解：∵第四个袋子中红球数除以白球数的商最大，
∴红球占的比例最大，即摸到红球可能性最大，D符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了可能性的大小，熟记概率公式是解题的关键．
3．【考点】二次函数的定义
【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数进行分析．
解：A、是一次函数，故此选项错误，不符合题意；
B、当a≠0时，是二次函数，故此选项错误，不符合题意；
C、是整式，故此选项错误，不符合题意；
D、是二次函数，故此选项正确，符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次函数定义，关键掌握判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
4．【考点】正多边形和圆；全等三角形的判定与性质；正方形的性质；圆周角定理
【分析】连接OA、OD、OE、OC，由正方形ABCD内接于⊙O，得∠AOD＝∠COD＝90°，由，得∠COE＝∠DOE∠COD＝45°，所以∠CDE∠COE＝22.5°，而∠AED∠AOD＝45°，求得∠AFD＝∠AED+∠CDE＝67.5°，于是得到问题的答案．
解：连接OA、OD、OE、OC，
∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴∠AOD＝∠COD360°＝90°，
∵点E是的中点，
∴，
∴∠COE＝∠DOE∠COD＝45°，
∴∠CDE∠COE＝22.5°，
∵∠AED∠AOD＝45°，
∴∠AFD＝∠AED+∠CDE＝67.5°，
故选：C．
【点评】此题重点考查正方形的性质、正多边形和圆、圆周角定理、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．
5．【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理
【分析】由圆内接四边形的性质得到∠B＝50°，由圆周角定理得到∠ACB＝90°，即可求出∠BAC＝40°．
解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠D+∠B＝180°，
∵∠D＝130°，
∴∠B＝50°，
∵AB是圆的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝90°﹣∠B＝40°．
故选：B．
【点评】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，关键是圆内接四边形的性质求出∠B＝50°，由圆周角定理即可求出∠BAC的度数．
6．【考点】二次函数图象与几何变换
【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．
解：将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线的函数关系表达式是，
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象的平移，掌握平移规律是解题的关键．
7．【考点】黄金分割；矩形的性质；正方形的性质
【分析】设AB＝x，根据正方形的性质可得AB＝BC＝x，然后根据黄金矩形的定义可得，从而可得，最后进行计算即可解答．
解：设AB＝x，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝x，
∵矩形ABFG是黄金矩形，
∴，
∴，
解得：x＝（2+2）a，
经检验：x＝（2+2）a是原方程的根，
∴AB＝（2+2）a，
故选：D．
【点评】本题考查了黄金分割，正方形的性质，矩形的性质，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
8．【考点】二次函数的应用
【分析】将二次函数解析式写成顶点式，根据二次函数的性质逐个选项分析即可．
解：∵y＝x2﹣4x+5
＝（x﹣2）2+1，
∴顶点坐标为：（2，1），
∴只有当x＝2时，函数值为1，故A正确；
∵抛物线开口向上，顶点纵坐标值1为最小值，故找不到实数x，使函数值为0，从而B正确；
∵对称轴为直线x＝2，抛物线开口向上，
∴当x取大于2的实数时，函数值y随x的增大而增大，因此没有最大值，故C正确；
∵顶点纵坐标值1为最小值，故D错误，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
9．【考点】解直角三角形
【分析】根据正切的定义，表示出BD和BC的长，进一步表示出CD的长即可．
解：在Rt△ABD中，
tan∠DAB，
所以BD＝a tan55°．
又因为∠ACB＝45°，
所以△ABC是等腰直角三角形，
所以BC＝AB＝a，
所以CD＝BD﹣BC＝a tan55°﹣a．
故选：A．
【点评】本题主要考查了解直角三角形，熟知正切的定义是解题的关键．
10．【考点】相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质；圆周角定理；三角形的外接圆与外心
【分析】根据等边三角形的性质得到∠DAC＝∠ECB，∠DCA＝∠EBC，根据相似三角形的判定定理得到△ACD∽△BCE，故①正确，根据全等三角形的性质得到∠CAE＝∠CDB，求得∠APD＝∠ACD＝60°，故②正确；过C作CH⊥BD于H，CG⊥AP于G，根据全等三角形的性质得到CG＝CH，根据角平分线的定义得到PC平分∠APB，故③正确；如图，分别作∠CAD与∠CBE角平分线，交点为O．推出圆心O在CD、CE垂直平分线上，即圆心O是一个定点．连接OC．推出半径OC最短，则OC⊥AB根据直角三角形的性质即可得到结论．
解：∵△ACD和△BCE是等边三角形，
∴∠DAC＝∠ECB，∠DCA＝∠EBC，
∴△ACD∽△BCE，故①正确，
∵AC＝CD，∠ACD＝BCE＝60°，CE＝CB，
∴∠ACE＝∠DCB，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴∠CAE＝∠CDB，
∵∠AFC＝∠PFD，
∴∠APD＝∠ACD＝60°，故②正确；
过C作CH⊥BD于H，CG⊥AP于G，
∴∠DHC＝∠AGC＝90，
∴△ACG≌△DCH（AAS），
∴CG＝CH，
∴PC平分∠APB，故③正确；
如图，分别作∠CAD与∠CBE角平分线，交点为O．
∵△ACD和△BCE都是等边三角形，
∴AO与BO为CD、CE垂直平分线．
又∵圆心O在CD、CE垂直平分线上，即圆心O是一个定点．
连接OC．
若半径OC最短，则OC⊥AB．
又∵∠OAC＝∠OBC＝30°，AB＝2，
∴OA＝OB，
∴AC＝BC＝1，
在直角△AOC中，OC＝AC tan∠OAC＝1×tan30°．
∴△CDE外接圆面积的最小值π，故④正确；
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，全等三角形的判定和性质，三角形的外接圆与外心．需要掌握等边三角形的“三线合一”的性质，三角形的外接圆圆心为三角形的垂心，点到直线的距离垂线段最短以及解直角三角形等知识点．难度不大，注意数形结合数学思想的应用．
二．填空题（共6小题）
11．【考点】二次函数的性质
【分析】由抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1可知当x＜1时，根据抛物线的性质，在对称轴左侧y随x的增大而增大．
解：∵y＝﹣x2+2x+1＝﹣（x﹣1）2+2，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，
∴当x＜1时，y随x的增大而增大．
故答案为：x＜1．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：当抛物线开口向下时，在对称轴左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小．
12．【考点】利用频率估计概率
【分析】根据摸到黑球的频率稳定于0.4，得到摸到黑球的概率为0.4，设红球的个数为x个，列出方程进行求解即可．
解：由题意，摸到黑球的概率为0.4，设红球的个数为x个，
则：8＝（8+4+x）×0.4，
解得：x＝8；
故答案为：8个．
【点评】本题考查利用频率估算概率，利用概率求数量，掌握其性质是解题的关键．
13．【考点】垂径定理的应用
【分析】连接OB，先由垂径定理求出BC的长，再根据勾股定理求出OB的长，即可得到答案．
解：连接OB，如图所示：
由题意知，AB＝8cm，CD＝2cm，CD⊥AB，
∴BCAB＝4cm，
设⊙O的半径为Rcm，
则OB＝OD＝R，OC＝（R﹣2）cm，
在Rt△OBC中，OB2＝OC2+BC2，
∴R2＝（R﹣2）2+42，
解得R＝5cm，
∴此管件的直径为10cm，
故答案为：10cm．
【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
14．【考点】正多边形和圆
【分析】根据正多边形的中心角为60°，可求出正多边形的边数，再求出其每个外角，即可根据内角和外角的和为180度求出每个内角的度数．
解：∵正多边形的中心角等于60°，360÷60°＝6，
∴正多边形为正六边形，
又∵正多边形外角和为360°，
∴其外角为360÷60＝60°，
∴其每个内角为180°﹣60°＝120°．
故答案为：120．
【点评】本题考查学生对正多边形的概念掌握和计算的能力．解答这类题往往一些学生因对正多边形的基本知识不明确，将多边形的中心角和外角、内角混淆．
15．【考点】二次函数的性质；二次函数的最值
【分析】由二次函数解析式可得抛物线的顶点坐标，分类讨论x＝2m，x＝2m+3时y＝1求解．
解：∵y＝（x+m）2﹣3，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣m，顶点坐标为（﹣m，﹣3），
将x＝2m代入y＝（x+m）2﹣3得y＝9m2﹣3，
将x＝2m+3代入y＝（x+m）2﹣3得y＝9m2+18m+6，
当2m+3＜﹣m时，m＜﹣1，
9m2+18m+6＝1，
解得m（舍）或m，
当2m＞﹣m时，m＞0，不符合题意．
故答案为：m．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
16．【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；垂径定理；圆周角定理；三角形的外接圆与外心；切线的性质
【分析】通过构造三角形的外接圆，即可解决问题．
解：延长BA到D，使AD＝AC，连接DC，作△BDC的外接圆⊙O，
∴AB+AC＝DB，
∵∠BAC＝90°，
∴∠D＝45°，
∴当BD是⊙O直径时，BD取得最大值，
即AB+AC取得最大值，
当BD是⊙O直径，∠D＝45°，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴BDBC＝6，
∴AB+AC的最大值为：6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了三角形和圆的有关知识，关键是想到构造三角形的外接圆．
三．解答题（共8小题）
17．【考点】特殊角的三角函数值
【分析】把锐角三角函数值直接代入进行计算即可．
解：原式
．
【点评】本题考查特殊锐角三角函数值，掌握特殊锐角三角函数值以及实数的混合运算的方法是正确解答的关键．
18．【考点】二次函数图象上点的坐标特征
【分析】由点A（m，n）、C（3﹣m，n）的对称性，可求函数的对称轴为x，再由B（0，y1）、D（，y2）、E（2，y3），与对称轴的距离，即可判断y1＞y3＞y2；
解：∵经过A（m，n）、C（3﹣m，n），
∴二次函数的对称轴x，
∵B（0，y1）、D（，y2）、E（2，y3）与对称轴的距离B最远，D最近，
∵a＞0，
∴y2＜y3＜y1．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握函数图象上点的特征是解题的关键．
19．【考点】列表法与树状图法；概率公式
【分析】先列出树状图，然后根据概率＝所求情况数÷总情况数，求出答案即可．
解：将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．作树状图如下：
由树状图可知，所有可能出现的结果共有9种，其中两次抽取的卡片上都是“立春”的结果有4种，
∴P（两张都是“立春”）．
【点评】本题考查列表法与树状图法，概率公式，熟练掌握概率的求法是解题的关键．
20．【考点】作图—应用与设计作图；相似三角形的判定与性质；圆周角定理；三角形的外接圆与外心
【分析】（1）结合网格的特点，作BC和AB的垂直平分线，交点即为外心点O，再结合勾股定理求出外接圆的半径即可；
（2）在网格中取点E、F，连接EF、AE，EF与AC的交点为D，易证△ADE∽△CDF，则．
解：（1）结合网格的特点，作BC和AB的垂直平分线，交点即为外心点O，如图，点O即为所求作；
∵△ABC是直角三角形，
∴其外接圆的半径等于斜边AC的一半，即为，
故答案为：；
（2）如图，点D即为所求作．
【点评】本题考查了格点作图，三角形的外心，相似三角形的判定和性质，掌握相关知识点是解题关键．
21．【考点】相似三角形的判定与性质；平行线分线段成比例
【分析】（1）根据两直线平行同位角相等，得出相等的角，然后根据相似三角形的判定定理即可得出结论；
（2）根据相似三角形的对应边成比例进行求解即可．
（1）证明：∵点M，N分别在△ABC的边AB，AC上，且MN∥BC，
∴∠AMN＝∠B，∠ANM＝∠C，
∴△AMN∽△ABC；
（2）解：∵AM：BM＝3：2，AM+MB＝AB，
∴AM：AB＝3：5，
由（1）得△AMN∽△ABC，
∴，
∴，
解得：AC＝10（经检验，是分式方程的解，且符合题意）．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质．
22．【考点】二次函数的应用
【分析】（1）建立直角坐标系，用待定系数法求出解析式即可；（2）根据题意，写出一个符合要求的方案即可．
解：（1）建立直角坐标系如图（答案不唯一）：
由已知可得A（0，1），B（6，2），顶点P的横坐标为3.5，
设大棚横截面所对应的抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，
∴，
解得，
∴大棚横截面所对应的抛物线解析式为yx2x+1；
（2）符合要求的方案（答案不唯一）：
从距左侧墙体2米处立第一根竹竿，距左侧墙体4米处立第二根竹竿，
∴共需2根竹竿，
当x＝2时，yx2x+142+1，
当x＝4时，yx2x+1164+1＝3，
∴所需竹竿总长度为3（米）．
【点评】本题考查二次函数的应用，涉及待定系数法，方案设计等，解题的关键是读懂题意，掌握待定系数法求函数解析式．
23．【考点】圆的综合题
【分析】（1）根据切线的性质结合三角形中位线的判定定理求得OF是△ABC的中位线，据此可得到BC∥OP；
（2）连接OB，证明△OBC是等边三角形，求得OB＝BC＝2＝OA，再求得∠APO＝30°，利用直角三角形的性质以及勾股定理求解即可；
（3）证明点E是∠PAB和∠APB的角平分线的交点即可．
（1）证明：如图1，以斜边AC为直径作外接圆⊙O，分别过点A，B作⊙O的切线并相交于点P，设PO和AB相交于点F，
∴PA＝PB，PO平分∠APB，
∴AF＝BF，
∵OA＝OC，
∴OF是△ABC的中位线，
∴OF∥BC，即BC∥OP；
（2）解：如图2，AC为⊙O的直径，设PO和AB相交于点F，连接OB，
∴∠ABC＝90°，
∵∠BAC＝30°，
∴∠C＝60°，
∵OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB＝BC＝2＝OA，
∵BC∥OP，
∴∠AOP＝∠C＝60°，
∵PA是⊙O的切线，
∴∠OAP＝90°，
∴∠APO＝30°，
∴OP＝2OA＝4，
在直角三角形AOP中，由勾股定理得：；
（3）证明：如图3，设PO和AB相交于点F，连接AE，BE，
∵PA是⊙O的切线，
∴∠OAP＝90°，
∴∠OAE+∠PAE＝90°，
∵PA和PB是⊙O的切线，
∴PA＝PB，PO平分∠APB，PO⊥AB，
∴∠BAE+∠AEO＝90°，
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠AEO，
∴∠BAE＝∠PAE，
∴AE平分∠PAB，
∵PO平分∠APB，
∴点E是△ABP的内心．
【点评】本题属于圆的综合题，主要考查了切线的性质，切线长定理，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质以及勾股定理，正确添加辅助线解决问题是解题的关键．
24．【考点】二次函数综合题
【分析】（1）根据顶点坐标公式列方程求解即可；
（2）先求出OA＝OB＝1，得到∠BAO＝45°，求出点C（4，1），得AC＝5，求得，根据对称性得；
（3）运用待定系数求出右侧幼苗上方轮廓线表达式为，设M点坐标为，则，得，运用二次函数的性质可求解．
解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx图象的顶点坐标为（2，﹣1），
依题意得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）∵直线y＝x+1与坐标轴交于A，B两点，
当y＝0时，得：x+1＝0，
解得：x＝﹣1；
当x＝0时，得：y＝1，
∴A（﹣1，0），B（0，1），
∴OA＝OB＝1，
∴△ABO是等腰直角三角形，
∴∠BAO＝45°；
∵直线y＝x+1是心形叶片的对称轴，且点C，C′是叶片上的一对对称点，
∴∠CGA＝90°，CC′＝2CG，
∴∠GCA＝45°，
∴△AGC是等腰直角三角形，
∴，
对于，当y＝0时，，
解得：x＝0或x＝4，
∴C（4，0），
∴AC＝4﹣（﹣1）＝5，
∴，
∴；
（3）∵右侧幼苗上方轮廓线与下方轮廓线形状相同，开口相反，
设右侧幼苗上方轮廓线表达式为，代入（0，0）、（4，4）得：
，
解得，，
∴，
设M点坐标为，则，
，
∵，
∴当m＝2时，MN的最大值为2．
【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质与几何综合，轴对称的性质，等腰直角三角形的性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键
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2025-2026浙教版九上期末模拟数学试卷2
范围：九上-九下第一章
姓名：__________班级：__________考号：__________总分__________
题号 一 二 三 总分
得分
一．选择题（共10小题）
1．△ABC与△DEF的相似比为1：3，则△ABC与△DEF的面积比为（ ）
A．1：3 B．1：4 C．1：9 D．1：16
2．四个不透明的袋子中都装有除颜色外其他均相同的若干红球和白球，比较四个袋子中的红、白球数发现：第一个袋子中的总球数最多，第二个袋子中的红球数最多，第三个袋子中的红球数减去白球数的差最大，第四个袋子中的红球数除以白球数的商最大．从中任意摸出一个球，摸到红球可能性最大的一定是（ ）
A．第一个袋子 B．第二个袋子
C．第三个袋子 D．第四个袋子
3．下列函数表达式中，一定为二次函数的是（ ）
A．y＝2x﹣5 B．y＝ax2+bx+c
C．h D．y＝x2
4．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点E是弧CD的中点，连接DE，AE，交CD于点F，则∠AFD的度数为（ ）
A．45° B．60° C．67.5° D．112.5°
5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠ADC＝130°，连接AC，则∠BAC的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．65°
6．将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线的函数关系表达式是（ ）
A． B．
C． D．
7．黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱，摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法．其原理是：如图，将正方形ABCD的底边BC取中点E，以E为圆心，线段DE为半径作圆，其与底边BC的延长线交于点F，这样就把正方形ABCD延伸为矩形ABFG，称其为黄金矩形．若CF＝4a，则AB＝（ ）
A．（1）a B．（2）a C．（1）a D．（2）a
8．小明、小亮、小梅、小花四人共同探究函数y＝x2﹣4x+5的值的情况，他们作了如下分工：小明负责找函数值为1时的x值，小亮负责找函数值为0时的x值，小梅负责找最小值，小花负责找最大值．几分钟后，各自通报探究的结论，其中错误的是（ ）
A．小明认为只有当x＝2时，函数值为1
B．小亮认为找不到实数x，使函数值为0
C．小花发现当x取大于2的实数时，函数值y随x的增大而增大，因此认为没有最大值
D．小梅发现函数值y随x的变化而变化，因此认为没有最小值
9．如图，已知∠B＝90°，∠DAB＝55°，∠CAB＝45°，AB＝a，则CD的长是（ ）
A．a tan55°﹣a B．a sin55°﹣a
C．a cos55°﹣a D．
10．如图，已知AB＝2，C为AB上一动点（不与A、B）重合，分别以AC、BC为边在AB的上方作等边△ACD和等边△BCE，连接AE、BD、DE、PC，且AE、BD相交于点P．有下列结论：①△ACD∽△BCE；②∠DPA＝60°；③PC平分∠APB；④△CDE外接圆面积的最小值为，其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
二．填空题（共6小题）
11．已知二次函数y＝﹣x2+2x+1，若y随x增大而增大，则x的取值范围是 ．
12．一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的8个黑球、4个白球和若干个红球．每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到黑球的频率稳定于0.4，由此可估计袋中约有红球 ．
13．一个圆柱形管件，其横截面如图所示，管内存有一些水（阴影部分），测得水面宽AB为8cm，水的深度CD为2cm，则此管件的直径为 ．
14．若正多边形的一个中心角为60°，则这个正多边形的一个内角等于 °
15．二次函数y＝（x+m）2﹣3，m为常数，且m＜0，若对于任意的x满足2m≤x≤2m+3，且此时x所对应的函数值最小值为1，则m的值是 ．
16．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝6，则AB+AC的最大值为 ．
三．解答题（共8小题）
17．计算：．
18．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象过不同的五点A（m，n），B（0，y1），C（3﹣m，n），D（，y2），E（2，y3），试比较y1，y2，y3的大小关系．
19．二十四节气是通过观察太阳周年运动，认知一年中时令、气候、物候等方面变化规律所形成的知识体系．二十四节气被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，被誉为“中国的第五大发明”．现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为“立春”，另外一张卡片的正面图案为“立冬”，卡片除正面图案不同外，其余均相同，将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．
请用画树状图或列表的方法，求抽出的两张卡片上的图案都是“立春”的概率．（图案为“立春”的两张卡片分别记为A1、A2，图案为“立冬”的卡片记为B）
20．由边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均在格点上，请用无刻度直尺按要求作图，保留作图痕迹．
（1）在图①中画出△ABC的外心点O，并直接写出其外接圆的半径 ．
（2）如图②，在线段AC上找一点D使得．
21．如图，点M，N分别在△ABC的边AB，AC上，且MN∥BC．
（1）求证：△AMN∽△ABC．
（2）若AM：BM＝3：2，AN＝6，求AC的长．
22．根据下列素材，探索完成任务：
如何加固蔬菜大棚？
素材1 农科所在某蔬菜基地试用新型保温大棚技术．大棚横截面为抛物线型（如图），一端固定在距离地面1米的墙体1处．另一端固定在距离地面2米的对面墙体B处，两墙体的水平距离为6米．大棚离地面的最高点P与A的水平距离为3.5米．
素材2 为了使大棚更牢固，在此横截面内竖立若干根与地面垂直的竹竿连接到大棚的边缘．要求相邻竹竿之间的水平距离为2米，靠近墙体的竹竿与墙体的水平距离不超过2米．
问题解决
任务1 确定大棚形状 结合素材1，在图中建立合适的直角坐标系，求大棚横截面所对应的抛物线解析式（不需写自变量取值范围）．
任务2 探索加固方案 请你设计一个符合要求的竹竿竖立方案，方案内容包括：①从何处立第一根竹竿；②共需多少根竹竿；③所需竹竿的总长度 （写出计算过程）．
23．如图，在Rt△ABC中，以斜边AC为直径作外接圆⊙O，分别过点A，B作⊙O的切线并相交于点P，连接OP，交⊙O于点E．
（1）求证：BC∥OP；
（2）若∠BAC＝30°，BC＝2，求AP的长；
（3）求证：点E是△ABP的内心．
24．[综合探究]运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况．在大自然里，有很多数学的奥秘．图1是一片美丽的心形叶片，图2是一棵生长的幼苗都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成．
【探究一】确定心形叶片的形状
（1）如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数y＝ax2+bx图象的一部分，已知该抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），求抛物线的解析式；
【探究二】研究心形叶片的尺寸
（2）如图3，在（1）的条件下，心形叶片的对称轴，即直线y＝x+1与坐标轴交于A，B两点，抛物线与x轴交于另一点C，点C，C′是叶片上的一对对称点，CC′交直线AB于点G．求叶片此处宽度CC′的值；
【探究三】探究幼苗叶片的特征
（3）小李同学在观察某种幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，如图4所示，右侧幼苗上方轮廓线与下方轮廓线形状相同，开口相反，已知叶尖P的坐标为（4，4）．在右侧上方轮廓线上任取一点M，过M作x轴垂线交下方轮廓线于点N，求MN的最大值．
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．【考点】相似三角形的性质
【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方解答即可．
解：∵△ABC∽△DEF，相似比为1：3，
∴△ABC与△DEF的面积比为1：9，
故选：C．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解题的关键．
2．【考点】可能性的大小
【分析】根据题意可得，红球占总球数的比例最大时，摸到红球的可能性最大，据此可解答．
解：∵第四个袋子中红球数除以白球数的商最大，
∴红球占的比例最大，即摸到红球可能性最大，D符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了可能性的大小，熟记概率公式是解题的关键．
3．【考点】二次函数的定义
【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数进行分析．
解：A、是一次函数，故此选项错误，不符合题意；
B、当a≠0时，是二次函数，故此选项错误，不符合题意；
C、是整式，故此选项错误，不符合题意；
D、是二次函数，故此选项正确，符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次函数定义，关键掌握判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
4．【考点】正多边形和圆；全等三角形的判定与性质；正方形的性质；圆周角定理
【分析】连接OA、OD、OE、OC，由正方形ABCD内接于⊙O，得∠AOD＝∠COD＝90°，由，得∠COE＝∠DOE∠COD＝45°，所以∠CDE∠COE＝22.5°，而∠AED∠AOD＝45°，求得∠AFD＝∠AED+∠CDE＝67.5°，于是得到问题的答案．
解：连接OA、OD、OE、OC，
∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴∠AOD＝∠COD360°＝90°，
∵点E是的中点，
∴，
∴∠COE＝∠DOE∠COD＝45°，
∴∠CDE∠COE＝22.5°，
∵∠AED∠AOD＝45°，
∴∠AFD＝∠AED+∠CDE＝67.5°，
故选：C．
【点评】此题重点考查正方形的性质、正多边形和圆、圆周角定理、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．
5．【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理
【分析】由圆内接四边形的性质得到∠B＝50°，由圆周角定理得到∠ACB＝90°，即可求出∠BAC＝40°．
解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠D+∠B＝180°，
∵∠D＝130°，
∴∠B＝50°，
∵AB是圆的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝90°﹣∠B＝40°．
故选：B．
【点评】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，关键是圆内接四边形的性质求出∠B＝50°，由圆周角定理即可求出∠BAC的度数．
6．【考点】二次函数图象与几何变换
【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．
解：将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线的函数关系表达式是，
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象的平移，掌握平移规律是解题的关键．
7．【考点】黄金分割；矩形的性质；正方形的性质
【分析】设AB＝x，根据正方形的性质可得AB＝BC＝x，然后根据黄金矩形的定义可得，从而可得，最后进行计算即可解答．
解：设AB＝x，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝x，
∵矩形ABFG是黄金矩形，
∴，
∴，
解得：x＝（2+2）a，
经检验：x＝（2+2）a是原方程的根，
∴AB＝（2+2）a，
故选：D．
【点评】本题考查了黄金分割，正方形的性质，矩形的性质，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
8．【考点】二次函数的应用
【分析】将二次函数解析式写成顶点式，根据二次函数的性质逐个选项分析即可．
解：∵y＝x2﹣4x+5
＝（x﹣2）2+1，
∴顶点坐标为：（2，1），
∴只有当x＝2时，函数值为1，故A正确；
∵抛物线开口向上，顶点纵坐标值1为最小值，故找不到实数x，使函数值为0，从而B正确；
∵对称轴为直线x＝2，抛物线开口向上，
∴当x取大于2的实数时，函数值y随x的增大而增大，因此没有最大值，故C正确；
∵顶点纵坐标值1为最小值，故D错误，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
9．【考点】解直角三角形
【分析】根据正切的定义，表示出BD和BC的长，进一步表示出CD的长即可．
解：在Rt△ABD中，
tan∠DAB，
所以BD＝a tan55°．
又因为∠ACB＝45°，
所以△ABC是等腰直角三角形，
所以BC＝AB＝a，
所以CD＝BD﹣BC＝a tan55°﹣a．
故选：A．
【点评】本题主要考查了解直角三角形，熟知正切的定义是解题的关键．
10．【考点】相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质；圆周角定理；三角形的外接圆与外心
【分析】根据等边三角形的性质得到∠DAC＝∠ECB，∠DCA＝∠EBC，根据相似三角形的判定定理得到△ACD∽△BCE，故①正确，根据全等三角形的性质得到∠CAE＝∠CDB，求得∠APD＝∠ACD＝60°，故②正确；过C作CH⊥BD于H，CG⊥AP于G，根据全等三角形的性质得到CG＝CH，根据角平分线的定义得到PC平分∠APB，故③正确；如图，分别作∠CAD与∠CBE角平分线，交点为O．推出圆心O在CD、CE垂直平分线上，即圆心O是一个定点．连接OC．推出半径OC最短，则OC⊥AB根据直角三角形的性质即可得到结论．
解：∵△ACD和△BCE是等边三角形，
∴∠DAC＝∠ECB，∠DCA＝∠EBC，
∴△ACD∽△BCE，故①正确，
∵AC＝CD，∠ACD＝BCE＝60°，CE＝CB，
∴∠ACE＝∠DCB，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴∠CAE＝∠CDB，
∵∠AFC＝∠PFD，
∴∠APD＝∠ACD＝60°，故②正确；
过C作CH⊥BD于H，CG⊥AP于G，
∴∠DHC＝∠AGC＝90，
∴△ACG≌△DCH（AAS），
∴CG＝CH，
∴PC平分∠APB，故③正确；
如图，分别作∠CAD与∠CBE角平分线，交点为O．
∵△ACD和△BCE都是等边三角形，
∴AO与BO为CD、CE垂直平分线．
又∵圆心O在CD、CE垂直平分线上，即圆心O是一个定点．
连接OC．
若半径OC最短，则OC⊥AB．
又∵∠OAC＝∠OBC＝30°，AB＝2，
∴OA＝OB，
∴AC＝BC＝1，
在直角△AOC中，OC＝AC tan∠OAC＝1×tan30°．
∴△CDE外接圆面积的最小值π，故④正确；
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，全等三角形的判定和性质，三角形的外接圆与外心．需要掌握等边三角形的“三线合一”的性质，三角形的外接圆圆心为三角形的垂心，点到直线的距离垂线段最短以及解直角三角形等知识点．难度不大，注意数形结合数学思想的应用．
二．填空题（共6小题）
11．【考点】二次函数的性质
【分析】由抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1可知当x＜1时，根据抛物线的性质，在对称轴左侧y随x的增大而增大．
解：∵y＝﹣x2+2x+1＝﹣（x﹣1）2+2，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，
∴当x＜1时，y随x的增大而增大．
故答案为：x＜1．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：当抛物线开口向下时，在对称轴左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小．
12．【考点】利用频率估计概率
【分析】根据摸到黑球的频率稳定于0.4，得到摸到黑球的概率为0.4，设红球的个数为x个，列出方程进行求解即可．
解：由题意，摸到黑球的概率为0.4，设红球的个数为x个，
则：8＝（8+4+x）×0.4，
解得：x＝8；
故答案为：8个．
【点评】本题考查利用频率估算概率，利用概率求数量，掌握其性质是解题的关键．
13．【考点】垂径定理的应用
【分析】连接OB，先由垂径定理求出BC的长，再根据勾股定理求出OB的长，即可得到答案．
解：连接OB，如图所示：
由题意知，AB＝8cm，CD＝2cm，CD⊥AB，
∴BCAB＝4cm，
设⊙O的半径为Rcm，
则OB＝OD＝R，OC＝（R﹣2）cm，
在Rt△OBC中，OB2＝OC2+BC2，
∴R2＝（R﹣2）2+42，
解得R＝5cm，
∴此管件的直径为10cm，
故答案为：10cm．
【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
14．【考点】正多边形和圆
【分析】根据正多边形的中心角为60°，可求出正多边形的边数，再求出其每个外角，即可根据内角和外角的和为180度求出每个内角的度数．
解：∵正多边形的中心角等于60°，360÷60°＝6，
∴正多边形为正六边形，
又∵正多边形外角和为360°，
∴其外角为360÷60＝60°，
∴其每个内角为180°﹣60°＝120°．
故答案为：120．
【点评】本题考查学生对正多边形的概念掌握和计算的能力．解答这类题往往一些学生因对正多边形的基本知识不明确，将多边形的中心角和外角、内角混淆．
15．【考点】二次函数的性质；二次函数的最值
【分析】由二次函数解析式可得抛物线的顶点坐标，分类讨论x＝2m，x＝2m+3时y＝1求解．
解：∵y＝（x+m）2﹣3，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣m，顶点坐标为（﹣m，﹣3），
将x＝2m代入y＝（x+m）2﹣3得y＝9m2﹣3，
将x＝2m+3代入y＝（x+m）2﹣3得y＝9m2+18m+6，
当2m+3＜﹣m时，m＜﹣1，
9m2+18m+6＝1，
解得m（舍）或m，
当2m＞﹣m时，m＞0，不符合题意．
故答案为：m．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
16．【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；垂径定理；圆周角定理；三角形的外接圆与外心；切线的性质
【分析】通过构造三角形的外接圆，即可解决问题．
解：延长BA到D，使AD＝AC，连接DC，作△BDC的外接圆⊙O，
∴AB+AC＝DB，
∵∠BAC＝90°，
∴∠D＝45°，
∴当BD是⊙O直径时，BD取得最大值，
即AB+AC取得最大值，
当BD是⊙O直径，∠D＝45°，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴BDBC＝6，
∴AB+AC的最大值为：6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了三角形和圆的有关知识，关键是想到构造三角形的外接圆．
三．解答题（共8小题）
17．【考点】特殊角的三角函数值
【分析】把锐角三角函数值直接代入进行计算即可．
解：原式
．
【点评】本题考查特殊锐角三角函数值，掌握特殊锐角三角函数值以及实数的混合运算的方法是正确解答的关键．
18．【考点】二次函数图象上点的坐标特征
【分析】由点A（m，n）、C（3﹣m，n）的对称性，可求函数的对称轴为x，再由B（0，y1）、D（，y2）、E（2，y3），与对称轴的距离，即可判断y1＞y3＞y2；
解：∵经过A（m，n）、C（3﹣m，n），
∴二次函数的对称轴x，
∵B（0，y1）、D（，y2）、E（2，y3）与对称轴的距离B最远，D最近，
∵a＞0，
∴y2＜y3＜y1．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握函数图象上点的特征是解题的关键．
19．【考点】列表法与树状图法；概率公式
【分析】先列出树状图，然后根据概率＝所求情况数÷总情况数，求出答案即可．
解：将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．作树状图如下：
由树状图可知，所有可能出现的结果共有9种，其中两次抽取的卡片上都是“立春”的结果有4种，
∴P（两张都是“立春”）．
【点评】本题考查列表法与树状图法，概率公式，熟练掌握概率的求法是解题的关键．
20．【考点】作图—应用与设计作图；相似三角形的判定与性质；圆周角定理；三角形的外接圆与外心
【分析】（1）结合网格的特点，作BC和AB的垂直平分线，交点即为外心点O，再结合勾股定理求出外接圆的半径即可；
（2）在网格中取点E、F，连接EF、AE，EF与AC的交点为D，易证△ADE∽△CDF，则．
解：（1）结合网格的特点，作BC和AB的垂直平分线，交点即为外心点O，如图，点O即为所求作；
∵△ABC是直角三角形，
∴其外接圆的半径等于斜边AC的一半，即为，
故答案为：；
（2）如图，点D即为所求作．
【点评】本题考查了格点作图，三角形的外心，相似三角形的判定和性质，掌握相关知识点是解题关键．
21．【考点】相似三角形的判定与性质；平行线分线段成比例
【分析】（1）根据两直线平行同位角相等，得出相等的角，然后根据相似三角形的判定定理即可得出结论；
（2）根据相似三角形的对应边成比例进行求解即可．
（1）证明：∵点M，N分别在△ABC的边AB，AC上，且MN∥BC，
∴∠AMN＝∠B，∠ANM＝∠C，
∴△AMN∽△ABC；
（2）解：∵AM：BM＝3：2，AM+MB＝AB，
∴AM：AB＝3：5，
由（1）得△AMN∽△ABC，
∴，
∴，
解得：AC＝10（经检验，是分式方程的解，且符合题意）．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质．
22．【考点】二次函数的应用
【分析】（1）建立直角坐标系，用待定系数法求出解析式即可；（2）根据题意，写出一个符合要求的方案即可．
解：（1）建立直角坐标系如图（答案不唯一）：
由已知可得A（0，1），B（6，2），顶点P的横坐标为3.5，
设大棚横截面所对应的抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，
∴，
解得，
∴大棚横截面所对应的抛物线解析式为yx2x+1；
（2）符合要求的方案（答案不唯一）：
从距左侧墙体2米处立第一根竹竿，距左侧墙体4米处立第二根竹竿，
∴共需2根竹竿，
当x＝2时，yx2x+142+1，
当x＝4时，yx2x+1164+1＝3，
∴所需竹竿总长度为3（米）．
【点评】本题考查二次函数的应用，涉及待定系数法，方案设计等，解题的关键是读懂题意，掌握待定系数法求函数解析式．
23．【考点】圆的综合题
【分析】（1）根据切线的性质结合三角形中位线的判定定理求得OF是△ABC的中位线，据此可得到BC∥OP；
（2）连接OB，证明△OBC是等边三角形，求得OB＝BC＝2＝OA，再求得∠APO＝30°，利用直角三角形的性质以及勾股定理求解即可；
（3）证明点E是∠PAB和∠APB的角平分线的交点即可．
（1）证明：如图1，以斜边AC为直径作外接圆⊙O，分别过点A，B作⊙O的切线并相交于点P，设PO和AB相交于点F，
∴PA＝PB，PO平分∠APB，
∴AF＝BF，
∵OA＝OC，
∴OF是△ABC的中位线，
∴OF∥BC，即BC∥OP；
（2）解：如图2，AC为⊙O的直径，设PO和AB相交于点F，连接OB，
∴∠ABC＝90°，
∵∠BAC＝30°，
∴∠C＝60°，
∵OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB＝BC＝2＝OA，
∵BC∥OP，
∴∠AOP＝∠C＝60°，
∵PA是⊙O的切线，
∴∠OAP＝90°，
∴∠APO＝30°，
∴OP＝2OA＝4，
在直角三角形AOP中，由勾股定理得：；
（3）证明：如图3，设PO和AB相交于点F，连接AE，BE，
∵PA是⊙O的切线，
∴∠OAP＝90°，
∴∠OAE+∠PAE＝90°，
∵PA和PB是⊙O的切线，
∴PA＝PB，PO平分∠APB，PO⊥AB，
∴∠BAE+∠AEO＝90°，
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠AEO，
∴∠BAE＝∠PAE，
∴AE平分∠PAB，
∵PO平分∠APB，
∴点E是△ABP的内心．
【点评】本题属于圆的综合题，主要考查了切线的性质，切线长定理，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质以及勾股定理，正确添加辅助线解决问题是解题的关键．
24．【考点】二次函数综合题
【分析】（1）根据顶点坐标公式列方程求解即可；
（2）先求出OA＝OB＝1，得到∠BAO＝45°，求出点C（4，1），得AC＝5，求得，根据对称性得；
（3）运用待定系数求出右侧幼苗上方轮廓线表达式为，设M点坐标为，则，得，运用二次函数的性质可求解．
解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx图象的顶点坐标为（2，﹣1），
依题意得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）∵直线y＝x+1与坐标轴交于A，B两点，
当y＝0时，得：x+1＝0，
解得：x＝﹣1；
当x＝0时，得：y＝1，
∴A（﹣1，0），B（0，1），
∴OA＝OB＝1，
∴△ABO是等腰直角三角形，
∴∠BAO＝45°；
∵直线y＝x+1是心形叶片的对称轴，且点C，C′是叶片上的一对对称点，
∴∠CGA＝90°，CC′＝2CG，
∴∠GCA＝45°，
∴△AGC是等腰直角三角形，
∴，
对于，当y＝0时，，
解得：x＝0或x＝4，
∴C（4，0），
∴AC＝4﹣（﹣1）＝5，
∴，
∴；
（3）∵右侧幼苗上方轮廓线与下方轮廓线形状相同，开口相反，
设右侧幼苗上方轮廓线表达式为，代入（0，0）、（4，4）得：
，
解得，，
∴，
设M点坐标为，则，
，
∵，
∴当m＝2时，MN的最大值为2．
【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质与几何综合，轴对称的性质，等腰直角三角形的性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键
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