2025-2026浙教版九上期末模拟数学试卷3（含解析）

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2025-2026浙教版九上期末模拟数学试卷3
范围：九上-九下第一章
姓名：__________班级：__________考号：__________总分__________
题号 一 二 三 总分
得分
一．选择题（共10小题）
1．如图所示的几何体的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
2．已知⊙O的半径为10，OP＝8，则点P与⊙O的位置关系是（　　）
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．不确定
3．如图，△ABC内接于 O，CD⊥AB于点D，若CD＝BD， O的半径为4，则劣弧的长为（　　）
A．5π B．4π C．3π D．2π
4．若用我们数学课本上采用的科学计算器计算sin72°38′25″，按键顺序正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
5．在关于x的二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中，自变量x可以取任意实数，如表是自变量x与函数y的几组对应值：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 …
y … ﹣1.15 ﹣2.45 ﹣2.75 ﹣2.05 ﹣0.35 2.35 6.05 …
根据以上信息，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根中，其中的一个根最接近于（　　）
A．0 B．1.8 C．2.0 D．2.6
6．在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝12cm，则的值是（　　）
A． B． C． D．
7．任意掷一枚骰子，下列情况出现的可能性比较大的是（　　）
A．面朝上的点数是3 B．面朝上的点数是奇数
C．面朝上的点数小于2 D．面朝上的点数小于3
8．如图，嘉嘉要测量池塘两岸A，B两点间的距离，先在AB的延长线上选定点C，测得BC＝5m，再选一点D，连接AD，CD，作BE∥AD，交CD于点E，测得CD＝8m，DE＝4m，则AB＝（　　）
A．3m B．4m C．5m D．6m
9．如图，AB是⊙O的直径，点E，C在⊙O上，点A是的中点，过点A画⊙O的切线，交BC的延长线于点D，连接EC．若∠ADB＝58.5°，则∠ACE的度数为（　　）
A．29.5° B．31.5° C．58.5° D．63°
10．如图，A、B、C三点均在二次函数y＝x2的图象上，M为线段AC的中点，BM∥y轴，且MB＝2．设A、C两点的横坐标分别为t1、t2（t2＞t1），则t2﹣t1的值为（　　）
A．3 B． C． D．
二．填空题（共6小题）
11．比例的基本性质：如果，那么 　 　 ；如果ad＝bc（a，b，c，d都不等于0），则
12．若某一圆锥的侧面展开图是一个半径为16cm的半圆，则这个圆锥的高是 　 　 cm．
13．不透明的袋中装有若干个质地均匀的红球和8个白球，摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是0.4，则袋中约有红球 　 　 个．
14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，斜边上的高为CD，则cos∠ACD的值为 　 　 ．
15．如图，点C是半圆O上一点，将弧BC沿弦BC折叠交直径AB于点D，点E是弧CD中点，连结BE并延长交半圆于点F，若BC＝6，，则AB的长为 　 　 ．
16．设O为坐标原点，A，B为抛物线上的两个动点，且OA⊥OB，连接AB，过点O作OC⊥AB于C，则点C到y轴的距离的最大值为　 　 ．
三．解答题（共8小题）
17．（1）解方程：3（x﹣2）2＝27；
（2）计算：sin60° tan30°﹣cos245°．
18．现有一个不透明的口袋装有分别标有汉字“最”、“美”、“前”、郭”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球．
（1）若小刚同学从中任取一个球，取出的球上的汉字是“美”的概率为 　 　 ；
（2）小明同学从中任取一个球，不放回，再从中任取一个球，请用画树状图或列表的方法，求小明取出两个球上的汉字能组成“前郭”的概率．
19．已知，如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与经过点C的切线垂直，交⊙O于点E，连接BE交AC于点F．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）连接EC，若，EF＝1，求线段BF的长．
20．如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米．
（1）求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；
（2）若所围成花圃的面积不小于20平方米，直接写出x的取值范围．
21．如图，在锐角三角形ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，连接DE，AF⊥BC于点F，AG⊥DE于点G，∠BAF＝∠EAG．
（1）求证：△ABC∽△AED；
（2）若AB＝4，AG＝2，EG＝1，求AF的长．
22．综合实践活动中，某小组利用木板和铅锤自制了一个简易测高仪测量塔高．测高仪ABCD为矩形，CD＝30cm，顶点D处挂了一个铅锤H．如图是测量塔高的示意图，测高仪上的点C、D与塔顶G在一条直线上，铅垂线DH交BC于点M．经测量，点D距地面1.9m，到塔EG的距离DF＝13m，CM＝20cm．求塔EG的高度（结果精确到1m）．
23．已知二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0，b是实数）图象经过四点：（﹣1，m），（1，n），（2，3），（4，p）．
（1）若m＝4，
①求二次函数的表达式；
②已知x≤2k﹣3时，y随x的增大而减小，求k的最大值．
（2）若m，n，p这三个实数中，有且只有一个是负数，求a的取值范围．
24．【模型认知】“阿氏圆”，是阿波罗尼斯圆的简称，已知在平面内两点A、B，则所有满足PA＝kPB的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”．
如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，⊙C的半径为2，P为圆上一动点，求APBP最小值．
第一步：如图②，连结圆心C与动点P；
第二步：以半径CP为公共边，构造“母子”型相似△CPM∽△CBP
第三步：计算CM的长度由△CPM∽△CBP可得，即CMCP＝1
第四步：APBP＝AP+MP，如图③当A、P、M三点共线时APBP最小，此时APBP＝ 　 　 ．
【模型探究】如图④，在△ABC中，AC＝1，AB＝2，D为AB上一点，小明同学认为当AD时，CD的长是BC长的一半，于是给出如下证明：
∵AC＝1，AB＝2，AD
∴
证明过程缺失
∴
∴CDBC
请补全缺失的证明过程．
【模型应用】如图⑤，在扇形COD中，∠COD＝90°，OC＝6，OA＝3，OB＝5，点P为扇形上一动点，则2AP+PB的最小值为 　 　 ．
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．【考点】简单组合体的三视图
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
解：从正面看，可得图形如下：
故选：B．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
2．【考点】点与圆的位置关系
【分析】根据题意得⊙O的半径为10，则点P到圆心O的距离小于圆的半径，则根据点与圆的位置关系可判断点P在⊙O内．
解：∵OP＝8、r＝10，
∴OP＜r，
则点P在⊙O内，
故选：A．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有点P在圆外 d＞r；点P在圆上 d＝r；点P在圆内 d＜r．
3．【考点】弧长的计算
【分析】连接OA，OC，根据圆周角定理得∠COA＝2∠CBA＝90°，利用弧长公式计算即可．
解：如图，连接OA，OC．
∵CD⊥AB于点D，CD＝BD，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴∠CBA＝45°，
∴∠COA＝2∠CBA＝90°，
∵， O的半径为4，
∴劣弧的长为2π．
故选：D．
【点评】本题考查了弧长的计算，等腰直角三角形的性质，圆周角定理，连接OA、OC构造圆心角，求出∠COA＝90°是解题的关键．
4．【考点】计算器—三角函数
【分析】根据计算器的使用方法进行解题即可．
解：根据计算器的使用方法可知，
依次输入sin，72，DNS，38，DNS，25，DMS，＝．
故选：D．
【点评】本题考查计算器，熟练掌握计算器的使用方法是解题的关键．
5．【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象上点的坐标特征
【分析】由表格可知，当x＝2时，y＝﹣0.35＜0，当x＝3时，y＝2.35＞0，进而可得答案．
解：由表格可知，当x＝2时，y＝﹣0.35＜0，当x＝3时，y＝2.35＞0，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根中，其中的一个根最接近于2.0．
故选：C．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
6．【考点】解直角三角形；等腰三角形的性质
【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为D，先利用等腰三角形的三线合一性质可得∠BAD∠BAC，BD＝6，然后在Rt△ABD中，利用勾股定理求出AD＝8，从而利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
解：如图：过点A作AD⊥BC，垂足为D，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD∠BAC，BDBC＝6，
在Rt△ABD中，AD8，
∴cos∠BAD，
∴cos的值为，
故选：A．
【点评】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
7．【考点】可能性的大小
【分析】分别求出每个事件发生的可能性大小，从而得出答案．
解：A．面朝上的点数是3的概率为；
B．面朝上的点数是奇数的概率为；
C．面朝上的点数小于2的概率为；
D．面朝上的点数小于3的概率为；
∴概率最大的是面朝上的点数是奇数，
故选：B．
【点评】本题主要考查可能性的大小，解题的关键是掌握概率公式．
8．【考点】平行线分线段成比例
【分析】根据BE∥AD，得出△BCE∽△ADC，根据相似三角形的性质和比例的性质求解即可．
解：∵BE∥AD，
∴△BCE∽△ADC，
∴，
∴，即，
解得AB＝5．
故选：C．
【点评】本题考查相似三角形的应用．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
9．【考点】切线的性质；圆周角定理
【分析】根据切线的性质得到BA⊥AD，根据直角三角形的性质求出∠B，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，进而求出∠BAC，根据垂径定理得到BA⊥EC，进而得出答案．
解：∵AD是⊙O的切线，
∴BA⊥AD，
∵∠ADB＝58.5°，
∴∠B＝90°﹣∠ADB＝31.5°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝90°﹣∠B＝58.5°，
∵点A是的中点，
∴BA⊥EC，
∴∠ACE＝90°﹣∠BAC＝31.5°，
故选：B．
【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、垂径定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
10．【考点】二次函数图象上点的坐标特征
【分析】设B点坐标为B（x，x2），则M（x，x2+2），由M为线段AC的中点，得到t1+t2＝2x，，从而求出．
解：设B点坐标为B（x，x2），
∵BM∥y轴，MB＝2，
∴M（x，x2+2），
∵A、B、C三点均在二次函数y＝x2的图象上，
∴，
∵M为线段AC的中点，
∴t1+t2＝2x，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵t2＞t1，
∴t2﹣t1＝2，
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象的性质，完全平方公式的应用，解题的关键是结合图象理清点坐标之间的关系．
二．填空题（共6小题）
11．【考点】比例的性质
【分析】利用内项之积等于外项之积求解．
解：如果，那么ad＝bc；
如果ad＝bc（a，b，c，d都不等于0），则．
故答案为：ad＝bc；b，d．
【点评】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质）是解决问题的关键．
12．【考点】圆锥的计算
【分析】设圆锥的底面圆的半径为rcm，利用弧长公式得到2πr，则可求出r，然后利用勾股定理计算这个圆锥的高．
解：设圆锥的底面圆的半径为rcm，
根据题意得2πr，
解得r＝8，
所以这个圆锥的高为8（cm）．
故答案为：8．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
13．【考点】利用频率估计概率
【分析】根据口袋中有8个白球，利用白球在总数中所占比例得出与试验比例应该相等求出即可．
解：∵通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是0.4，口袋中有8个白球，
假设有x个红球，
则0.4，
解得：x＝12，
∴口袋中有红球约为12个，
故答案为：12．
【点评】本题主要考查利用频率估计随机事件的概率，根据已知白球的频率得出与试验比例应该相等是解题关键．
14．【考点】解直角三角形；勾股定理
【分析】根据题意画出示意图，再结合余弦的定义即可解决问题．
解：如图所示，
∵∠ACD+∠BCD＝∠BCD+∠B＝90°，
∴∠ACD＝∠B．
在Rt△ABC中，
cosB，
∴cos∠ACD＝cosB．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了解直角三角形及勾股定理，能根据题意画出示意图及熟知余弦的定义是解题的关键．
15．【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；翻折变换（折叠问题）
【分析】连接AF、CF、CE，过C作CH⊥EF于H，由圆心角、弧、弦的关系定理推出AF＝CF＝CE，由等腰三角形的性质推出EHEF，令EF＝2x，BE＝3x，AF＝y，由勾股定理得到y2+15x2＝36，判定△CBH∽△ABF，推出CH：BH＝AF：BF，求出x2，由勾股定理得到AB7.5．
解：连接AF、CF、CE，过C作CH⊥EF于H，
∵点E是弧CD中点，
∴∠CBF＝∠ABF，
∴，
∴AF＝CF＝CE，
∴EHEF，
∵，
∴令EF＝2x，BE＝3x，
∴EH＝x，BF＝5x，BH＝4x，
设AF＝y，
∴CH2＝CE2﹣HE2＝y2﹣x2，
∵CH2+BH2＝BC2，
∴y2﹣x2+16x2＝36，
∴y2+15x2＝36，
∵AB是圆的直径，
∴∠AFB＝90°，
∴∠AFB＝∠CHB＝90°，
∵∠CBH＝∠ABF，
∴△CBH∽△ABF，
∴CH：BH＝AF：BF，
∴：4x＝y：5x，
∴y2x2，
∴x2+15x2＝36，
∴x2，
∵AB，
∴AB7.5．
故答案为：7.5．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，折叠问题，圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，关键是判定△CBH∽△ABF，得到y2x2，
由勾股定理求出AB的长．
16．【考点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征
【分析】分别作AE、BF垂直于x轴于点E、F，设OE＝a，OF＝b，由抛物线解析式可得AEa2，BFb2，作AH⊥BH于H，交y轴于点G，连接AB交y轴于点D，设点D（0，m），易证△ADG∽△ABH，所以，即，可得mab．再证明△AEO∽△OFB，所以，即，可得ab＝1．即得点D为定点，坐标为（0，），得DO．进而可推出点C是在以DO为直径的圆上运动，则当点C到y轴距离为此圆的直径的一半，即时最大．
解：如图，分别作AE、BF垂直于x轴于点E、F，
设OE＝a，OF＝b，由抛物线解析式为yx2，
则AEa2，BFb2，
作AH⊥BF于H，交y轴于点G，连接AB交y轴于点D，
设点D（0，m），
∵DG∥BH，
∴△ADG∽△ABH，
∴，即，
化简得：mab．
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOE+∠BOF＝90°，
又∠AOE+∠EAO＝90°，
∴∠BOF＝∠EAO，
又∠AEO＝∠BFO＝90°，
∴△AEO∽△OFB．
∴，
即，
化简得ab＝9．
则m＝ab，说明直线AB过定点D，D点坐标为（0，）．
∵∠DCO＝90°，DO，
∴点C是在以DO为直径的圆上运动，
∴当点C到y轴距离为DO时，点C到y轴的距离最大．
故答案为：．
【点评】本题考查了二次函数结合动点问题背景下的最值求法，涉及相似三角形，圆周角定理，此题难度较大，关键是要找出点D为定点，确定出点C的运动轨迹为一段优弧，再求最值．
三．解答题（共8小题）
17．【考点】特殊角的三角函数值；实数的运算；解一元二次方程﹣直接开平方法
【分析】（1）先两边同除以3，然后利用直接开平方法解题；
（2）根据特殊角的三角函数值解决此题．
解：（1）方程整理得：（x﹣2）2＝9，
开方得：x﹣2＝3或x﹣2＝﹣3，
解得：x1＝5，x2＝﹣1；
（2）原式（）2
＝0．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，特殊角的三角函数值和实数的运算，熟练掌握一元二次方程的解法和特殊角的三角函数值是解决本题的关键．．
18．【考点】列表法与树状图法；概率公式
【分析】（1）直接利用概率公式进行计算即可得；
（2）先画出树状图，从而可得小明取出两个球上的汉字的所有等可能的结果，再找出小明取出两个球上的汉字恰能组成“前郭”的结果，然后利用概率公式求解即可得．
解：（1）由题意，从中任取一个球共有4种结果，
则从中任取一个球，取出的球上的汉字是“美”的概率为，
故答案为：；
（2）由题意，画出树状图如下：
由图可知，小明取出两个球上的汉字的所有等可能的结果共有12种，其中，小明取出两个球上的汉字恰能组成“前郭”的结果有2种，
则小明取出两个球上的汉字恰能组成“前郭”的概率为，
答：小明取出两个球上的汉字恰能组成“前郭”的概率为．
【点评】本题考查了利用列举法求概率，正确画出树状图是解题关键．
19．【考点】相似三角形的判定与性质；角平分线的定义；直角三角形的性质；圆周角定理；切线的性质
【分析】（1）连接OC，利用切线的性质定理和圆周角定理得到AD∥OC，利用平行线的性质，等腰三角形的性质和等式的性质得到∠DAC＝∠OAC，则结论可得；
（2）连接OC，设OC与BE交于点G，利用圆的有关性质得到BC＝EC，利用圆周角定理和垂径定理得到BG＝EGBE，设FG＝x，则EG＝BG＝x+1，BF＝2x+1，再利用相似三角形的判定与性质得到关于x的方程，解方程即可得出结论．
（1）证明：连接OC，如图，
∵CD为⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∵AD⊥CD，
∴AD∥OC，
∴∠DAC＝∠OCA，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠DAC＝∠OAC，
∴AC平分∠DAB；
（2）解：连接OC，设OC与BE交于点G，如图，
由（1）知：∠DAC＝∠OAC，
∴，
∴BC＝EC．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠AEB＝90°，
∴BE⊥AD，
由（1）知：AD∥OC，
∴OC⊥BE，
∴BG＝EGBE，
设FG＝x，则EG＝BG＝x+1，
∴BF＝2x+1，
∵∠ACB＝90°，CG⊥BE，
∴△BCG∽△BFC，
∴，
∴，
∴x或x＝﹣2，
经检验，它们都是原方程的根，但负数不合题意，舍去，
∴FG，
∴BF＝2x+1＝2．
【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，圆的切线的性质定理，直角三角形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
20．【考点】二次函数的应用
【分析】（1）根据长方形的面积公式列方程，再根据0＜4x＜24求得自变量的取值范围即可；
（2）先求出﹣4x2+24＝20方程的解，再根据二次函数的图象以及自变量的取值范围求解即可．
解：（1）由题意得，S＝x（24﹣4x）＝﹣4x2+24x，
∵0＜4x＜24，即0＜x＜6，
∴自变量的取值范围为0＜x＜6；
（2）当﹣4x2+24x＝20时，解得x1＝1，x2＝5，
由函数图象可得，1≤x≤5．
【点评】本题考查二次函数的应用，理解题意求函数解析式是解题的关键．
21．【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理
【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余，得到∠BAF+∠B＝∠EAG+∠AEG＝90°，再根据∠BAF＝∠EAG，即可得到∠B＝∠AEG，又因为∠BAC＝∠EAD，即可证明△ABC∽△AED；
（2）先利用勾股定理求出，再根据相似三角形的性质列式求解即可．
（1）证明：∵在锐角三角形ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，AF⊥BC于点F，AG⊥DE于点G，
∴∠AFB＝∠AGE＝90°，
∵∠BAF＝∠EAG，
∴∠AED＝∠ABC，
∵∠EAD＝∠BAC，
∴△AED∽△ABC；
（2）解：由（1）可知：∠AFB＝∠AGE＝90°，
又∵∠BAF＝∠EAG，
∴△ABF∽△AEG，
∴，
∵AB＝4，AG＝2，EG＝1，AG⊥DE，
在直角三角形AEG中，由勾股定理得：，
∴，
∴．
【点评】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质是解答本题的关键．
22．【考点】相似三角形的应用；解直角三角形的应用
【分析】证明△GFD∽△DCM，然后根据相似三角形的性质列出比例式解答即可．
解：∵∠FDM＝90°，
∴∠GDF+∠CDM＝90°，
∵∠GFD＝90°，
∴∠GDF+∠DGF＝90°，
∴∠CDM＝∠DGF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠GFD＝90°，
∴△GFD∽△DCM，
∴，
∵CD＝30cm，DF＝13m，CM＝20cm，
∴，
解得GF＝19.5，
∴EG＝19.5+1.9＝21.4（m）≈21（m），
答：塔EG的高度约为21米．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是证明三角形相似．
23．【考点】二次函数综合题
【分析】（1）①由待定系数法即可求解；
②x≤2k﹣3时，y随x的增大而减小，抛物线开口向上，故2k﹣3≤1，即可求解；
（2）当a＞0时，画图确定点的位置，若m，n，p这三个实数中，有且只有一个是负数，则只可能n为负数，即可求解；当a＜0时，同理可解．
解：（1）①当m＝4时，则函数过点（﹣1，4）、（2，3），
则抛物线的对称轴直线x（0+2）＝1，即1，
则抛物线的表达式为：y＝ax2﹣2ax+3，
将（﹣1，4）代入上式得：4＝a+2a+3，则a，
则抛物线的表达式为：yx2x+3；
②由①知，抛物线的对称轴为直线x＝1，
∵x≤2k﹣3时，y随x的增大而减小，抛物线开口向上，
故2k﹣3≤1，
解得：k≤2，
即k的最大值为2；
（2）由（1）知，y＝ax2﹣2ax+3，
当a＞0时，
各点的大致位置如下，
若m，n，p这三个实数中，有且只有一个是负数，
则只可能n为负数，
将（1，n）代入y＝ax2﹣2ax+3得：n＝a﹣2a+3＜0，
解得：a＞3；
∵a+2a+3＝m＞0，16a﹣8a+3＝p＞0，
∴a，
综上所述：a＞3；
当a＜0时，
同理可知，p＜0且m≥0，n＞0，
把（4，p）代入抛物线的表达式得：16a﹣8a+3＜0，
解得a，
∵a+2a+3＝m≥0，a﹣2a+3＞0，
解得﹣1≤a＜3，
综上所述：﹣1≤a．
综上，a＞3或﹣1≤a．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到函数点的特征、解不等式等，熟悉函数的图象和性质是解题的关键．
24．【考点】圆的综合题
【分析】【模型认知】连结圆心C与动点P，以半径CP为公共边，构造“母子”型相似△CPM∽△CBP，利用相似三角形的判定与性质求得MPPB，则APBP＝AP+MP，当A、P、M三点共线时APBP最小，利用勾股定理解答即可；
【模型探究】利用相似三角形的判定与性质解答即可；
【模型应用】延长OC至点E使CE＝6，连接PE，OP，利用相似三角形的判定与性质得到PE＝2PA，则2AP+PB＝PE+PB，当点E，P，B在一条直线上时，PE+PB为线段BE，利用勾股定理解答即可得出结论．
【模型认知】解：连结圆心C与动点P，以半径CP为公共边，构造“母子”型相似△CPM∽△CBP，如图，
∵△CPM∽△CBP，
∴，
∴CMCP＝1，
∵△CPM∽△CBP，
∴，
∴MPPB．
∴APBP＝AP+MP，
∴当A、P、M三点共线时APBP最小，如图，
此时APBP．
故答案为：；
【模型探究】证明：∵AC＝1，AB＝2，AD，
∴，
∴，
又∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴，
∴CDBC．
【模型应用】解：延长OC至点E使CE＝6，连接PE，OP，如图，
则OE＝OC+CE＝12，
∵OA＝3，OP＝OC＝6，
∴，
∴，
∵∠AOP＝∠POE，
∴△AOP∽△POE，
∴，
∴PE＝2PA，
∴2AP+PB＝PE+PB．
∴当点E，P，B在一条直线上时，PE+PB为线段BE，
∴PE+PB的最小值13．
∴2AP+PB的最小值为13．
故答案为：13．
【点评】本题主要考查了圆的有关性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，本题是阅读型题目，熟练掌握题干中的方法并熟练应用是解题的关键
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