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【北师大版九年级数学（上）期末测试卷】
期末检测模拟卷B (范围:九上全册+九下第一,二章)
一、单选题（共24分）
1．（本题3分）关于的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
解：∵ 方程化为标准形式：，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，即 ，
∴ 方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
2．（本题3分）为了解我国的数学文化，小明和小红从《九章算术》《孙子算经》《海岛算经》三本书中随机抽取一本进行阅读，小明先随机抽取一本，小红再从剩下的两本中随机抽取一本，则抽取的两本书中有《九章算术》的概率是（ ）
A． B． C． D．
解:设三本书为A《九章算术》、B《孙子算经》、C《海岛算经》，
画出树状图为：
共有种等可能的结果，其中抽取两本书中有《九章算术》的结果数为种，
∴抽取两本书中有《九章算术》的概率
故选：D．
3．（本题3分）如图是一个长方体从中间去掉一个圆柱得到的几何体，则该几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
解：这个几何体的俯视图为：
故选：C．
4．（本题3分）如图，在中，，点D为的中点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
解：∵，点D为的中点，
∴,
∴，
∴，
故选：D．
5．（本题3分）如图，，，则图中的相似三角形共有（ ）
A．6对 B．5对 C．4对 D．3对
解：∵，
∴，，
∴；
∵，
∴，
∵，
∴；
∵，，
∴；
∵，，
∴，
∵，
∴；
综上，共有4对相似三角形．
故选：C．
6．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴正半轴上，顶点在反比例函数的图象上，若点的横坐标是，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
解：代入，得，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，
由题意，得在x轴上，
∴轴，
，
∴．
故选：B ．
7．（本题3分）如图，矩形中，，E为边上一点，沿将对折，使点D正好落在边上的点F处，等于（ ）
A． B． C． D．
解：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
根据折叠的性质得：，，
∴，
∴，
在中，，，
由勾股定理得：，
则，
∴，故B正确．
故选：B．
8．（本题3分）如图，是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点坐标为，与x轴的一个交点为．直线经过点A和点B．以下结论：①；②；③抛物线与x轴的另一个交点是；④方程有两个不相等的实数根；⑤；⑥不等式的解集为．其中结论正确的是（ ）
A．①④⑥ B．②⑤⑥ C．①⑤⑥ D．②③⑤
解：观察图象得：抛物线的对称轴为直线 ，
∴，即，故①正确；
∵，
∴，即同号，
∵抛物线开口向上，与轴交于负半轴，
∴，，，
∴，故②错误；
∵抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，
∴抛物线与轴的另一个交点为，故③错误；
∵抛物线的顶点坐标为，
∴当时， ，
即抛物线与直线只有一个交点，
∴方程有两个相等的实数根，故④错误；
观察图象得：当时，，
在对称轴的右侧，抛物线的图象自左向右呈上升趋势，
即此时随的增大而增大，
又当时，，
∴，故⑤正确；
观察图象得：当时，直线的图象位于抛物线的上方，
∴不等式的解集为，故⑥正确；
综上，正确的有①⑤⑥．
故选：C．
二、填空题（共15分）
9．（本题3分）已知a是方程的一个实数根，则的值为 ．
解：∵a是方程的一个实数根，
∴
∴．
故答案为：2．
10．（本题3分）如图，嘉淇向地面上的方格（由完全相同的小正方形组成）中丢一个沙包（沙包落在方格中），则沙包落在阴影区域的概率为 ．
解：∵阴影区域的面积等于大正方形面积的，
∴沙包落在阴影区域的概率为．
故答案为：
11．（本题3分）如图，菱形的顶点B在x轴上，顶点C在y轴上，点A的坐标为，点C的坐标为，则点D的坐标为 ．
解：连接相交于点E，
∵四边形是菱形，
∴，
∵点B在x轴上，顶点C在y轴上，点A的坐标为，点C的坐标为，
∴轴，
∴，轴，
∴，
∴点D的坐标为：．
故答案为：．
12．（本题3分）如图，在平行四边形中，线段交的延长线于点G，交于点F，交于点E，若，则的值为 ．
解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
13．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数的图像经过顶点D，分别与对角线，边交于点E，F，连接．若点E为的中点，则的面积为 ．
解：反比例函数的图像经过矩形的顶点，
设，
是矩形，且点为的中点，
点纵坐标为，代入反比例函数解析式得，
点横坐标为，
点横坐标为代入反比例函数解析式，，
，
，
故答案为：．
三、解答题（共61分）
14．（本题6分）解方程：
(1)；
(2)；
(3)．
（1）解：，
，
，
，
则；
（2）解：，
，
则，
直接开平方得，
，；
（3）解：，
，
则，
或，
则，．
15．（本题8分）如图，在菱形中，点E，F分别在边上，，求证：．
证明：四边形是菱形，
，，
在和中，
，
，
．
16．（本题8分）小明随机调查了若干市民租用共享单车的骑车时间（单位：分），将获得的数据分成四组，绘制了如下统计图（，，，），根据图中信息，解答下列问题：
(1)这项被调查的总人数是多少人？
(2)补全条形统计图；
(3)如果小明想从D组的甲、乙、丙、丁四人中随机选择两人了解平时租用共享单车情况，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲的概率．
（1）解：由B组人数19人，占比，
∴总人数：（人）．
（2）解：∵A组15人，B组19人，D组4人，
∴C组人数：（人）．
（3）解：画树状图如下：
总共有12种等可能结果，其中包含甲的有6种，
∴概率为．
17．（本题8分）如图，在平面直角坐标系中，与关于点位似，其中顶点，，的对应点依次为且都在格点上．
(1)请利用位似的知识在图中找到并画出位似中心；并写出与的面积比为 ；
(2)请在图中画出，使之满足如下条件：
①与关于点位似，且与的位似比为；
②与位于点的同侧．
（1）解：连接、、相交于点，点即为所求；
∵，
∴，
∵与关于点位似，
∴与的面积比为；
故答案为：
（2）解：取、、的中点、、，顺次连接各点得到，作图如下：
18．（本题9分）某店一型号台灯的成本价为30元，若以每台40元出售，平均每月能售出600台，经过一周试销售，发现售价在40元至70元范围内，平均每天售出的台灯数量（台）与售价上涨（元）之间存在如图所示的函数关系．
(1)求出与的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围．
(2)为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？
(3)正式销售后每台台灯的利润率不得高于，该店每月能否获得12250元的利润？若能，则台灯的售价应定为多少？若不能，请说明理由．
（1）解：由图可知，设平均每天售出的台灯数量（台）与售价上涨（元）之间满足的函数关系为，
∵函数过点和，
∴将点和代入，
得，
解得，
∵售价在40元至70元范围内，
，
与的函数表达式为．
（2）解：由题意，得，
整理，得，
解得或（不符合题意，舍去），
，
∴为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为每台50元．
（3）解：不能．理由如下：
由（2）可知，当该店每月获得12250元的利润时，，
整理，得，
解得．
∵每个台灯的利润率不得高于成本价的，
，
即．
，
∴不可能满足题意．
19．（本题10分）在中，，．
【知识学习】
三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等或相似三角形所需角的相等条件，利用全等或相似三角形解决问题．
【探索发现】
（1）如图1，分别过、两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为、，若点恰好是线段的中点，求的值；
【类比迁移】
（2）如图2，是边延长线上一点，，请依据所学模型，求的值．
解：（1）如图1．
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
点是线段的中点，
，
在中，；
（2）如图2，过点作交于点，过点作于点．
，
，
，
，
，
，
，
设，则，，
．
同理（1）中，可得，
．
，，
同理（1）中，可得，
，在中，．
20．（本题12分）如图，已知抛物线经过两点．
(1)求抛物线与轴的交点坐标；
(2)当时，直接写出的取值范围；
(3)点为抛物线上一点，若，求出此时点的坐标．
（1）解：令，即，
解得：，
∴抛物线与轴的交点坐标为，；
（2）解：∵抛物线的对称轴为直线，开口向下，
∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，
∴当时，y有最大值为，
当时，，
∴；
（3）解：设，则的高为，
∵，
∴．
∵，
∴，
解得：，
当时，即，
此时方程无解；
当时，即
解得：或，
∴或．
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【北师大版九年级数学（上）期末测试卷】
期末检测模拟卷B (范围:九上全册+九下第一,二章)
一、单选题（共24分）
1．（本题3分）关于的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
2．（本题3分）为了解我国的数学文化，小明和小红从《九章算术》《孙子算经》《海岛算经》三本书中随机抽取一本进行阅读，小明先随机抽取一本，小红再从剩下的两本中随机抽取一本，则抽取的两本书中有《九章算术》的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．（本题3分）如图是一个长方体从中间去掉一个圆柱得到的几何体，则该几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
4．（本题3分）如图，在中，，点D为的中点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（本题3分）如图，，，则图中的相似三角形共有（ ）
A．6对 B．5对 C．4对 D．3对
6．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴正半轴上，顶点在反比例函数的图象上，若点的横坐标是，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．（本题3分）如图，矩形中，，E为边上一点，沿将对折，使点D正好落在边上的点F处，等于（ ）
A． B． C． D．
8．（本题3分）如图，是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点坐标为，与x轴的一个交点为．直线经过点A和点B．以下结论：①；②；③抛物线与x轴的另一个交点是；④方程有两个不相等的实数根；⑤；⑥不等式的解集为．其中结论正确的是（ ）
A．①④⑥ B．②⑤⑥ C．①⑤⑥ D．②③⑤
二、填空题（共15分）
9．（本题3分）已知a是方程的一个实数根，则的值为 ．
10．（本题3分）如图，嘉淇向地面上的方格（由完全相同的小正方形组成）中丢一个沙包（沙包落在方格中），则沙包落在阴影区域的概率为 ．
11．（本题3分）如图，菱形的顶点B在x轴上，顶点C在y轴上，点A的坐标为，点C的坐标为，则点D的坐标为 ．
12．（本题3分）如图，在平行四边形中，线段交的延长线于点G，交于点F，交于点E，若，则的值为 ．
13．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数的图像经过顶点D，分别与对角线，边交于点E，F，连接．若点E为的中点，则的面积为 ．
三、解答题（共61分）
14．（本题6分）解方程：
(1)；
(2)；
(3)．
15．（本题8分）如图，在菱形中，点E，F分别在边上，，求证：．
16．（本题8分）小明随机调查了若干市民租用共享单车的骑车时间（单位：分），将获得的数据分成四组，绘制了如下统计图（，，，），根据图中信息，解答下列问题：
(1)这项被调查的总人数是多少人？
(2)补全条形统计图；
(3)如果小明想从D组的甲、乙、丙、丁四人中随机选择两人了解平时租用共享单车情况，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲的概率．
17．（本题8分）如图，在平面直角坐标系中，与关于点位似，其中顶点，，的对应点依次为且都在格点上．
(1)请利用位似的知识在图中找到并画出位似中心；并写出与的面积比为 ；
(2)请在图中画出，使之满足如下条件：
①与关于点位似，且与的位似比为；
②与位于点的同侧．
18．（本题9分）某店一型号台灯的成本价为30元，若以每台40元出售，平均每月能售出600台，经过一周试销售，发现售价在40元至70元范围内，平均每天售出的台灯数量（台）与售价上涨（元）之间存在如图所示的函数关系．
(1)求出与的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围．
(2)为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？
(3)正式销售后每台台灯的利润率不得高于，该店每月能否获得12250元的利润？若能，则台灯的售价应定为多少？若不能，请说明理由．
19．（本题10分）在中，，．
【知识学习】
三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等或相似三角形所需角的相等条件，利用全等或相似三角形解决问题．
【探索发现】
（1）如图1，分别过、两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为、，若点恰好是线段的中点，求的值；
【类比迁移】
（2）如图2，是边延长线上一点，，请依据所学模型，求的值．
20．（本题12分）如图，已知抛物线经过两点．
(1)求抛物线与轴的交点坐标；
(2)当时，直接写出的取值范围；
(3)点为抛物线上一点，若，求出此时点的坐标．
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