第二章 实数 单元练习（含答案）2025-2026学年北师大版数学八年级上册
文档属性
| 名称 | 第二章 实数 单元练习（含答案）2025-2026学年北师大版数学八年级上册 |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 138.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-12-09 00:00:00 | ||
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文档简介
2025-2026学年北师大数学八年级上册随堂练习
第二章实数
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列实数中，无理数是( )
A. B. C. D.
2.下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
3.设边长为的正方形的面积为下列关于的四种结论：是的算术平方根；是无理数；可以用数轴上的一个点来表示；是无限小数．其中正确结论是( )
A. B. C. D.
4.若式子有意义，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.若，，则式子的值为 ( )
A. B. C. D.
6.下列计算：；；；；其中正确的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
7.对于任意的正数、，定义新运算：计算的结果为( )
A. B. C. D.
8.实数，互为相反数，其在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论中，正确的是( )
A. B. C. D.
9.如图，数轴上点所表示的数为，则的值是( )
A. B. C. D.
10.在古希腊时期，有一天毕达哥拉斯走在街上，在经过铁匠铺时，他听到铁匠打铁的声音非常好听，于是驻足倾听，他发现铁匠打铁节奏很有规律，这种声音的节奏比例被毕达哥拉斯用数学的方式表达出来，后来人们将这个数称为“黄金分割数”设，，记，，，，，则的值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.写出一个比大比小的无理数： ．
12.实数、在数轴上对应点、的位置如图，化简的结果为 ．
13.已知和是某正数的两个平方根，则的值是 ．
14.将如图所示的长方形纸片每个小正方形的边长为，剪一剪，拼成一个正方形，那么这个正方形的边长是 ．
15.观察下列等式：，，，，请用含的等式表示这种规律： ．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.（12分）计算：
；
．
．
17.本小题分
把下列各数填到相应的横线上填序号：
；；；；；；；；；相邻的两个之间依次多一个．
有理数： ；
无理数： ；
正实数： ；
负实数： ．
18.本小题分
请你在方格纸上按照如下要求设计图形，每个小正方形的边长为．
请在图中设计一个直角三角形，使它的三边中有两边的边长不是有理数；
请在图中设计一个直角三角形，使它的三边长都不是有理数．
19.本小题分
求值：
已知某正数的两个不相等的平方根分别是和，的立方根为，求，的值．
已知的平方根是，的立方根是，是的整数部分，是的小数部分，求的算术平方根．
20.本小题分
某居民小区有块形状为长方形的绿地，长方形绿地的长为米，宽为米，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛即图中阴影部分，长方形花坛的长为米，宽为米．
长方形的周长是多少？结果化为最简二次根式
除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为每平方米元的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？结果保留一位小数
21.本小题分如图，有这样一个探究：把两个边长为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的个直角三角形拼在一起，就可以得到一个面积为的大正方形，试根据这个研究方法回答下列问题：
所得到的面积为的大正方形的边就是原先边长为的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为 ．
由此，我们得到了一种方法，能在数轴上画出无理数所对应的点，则图中，两点表示的数分别为 ， ．
通过动手操作，小张同学把长为、宽为的长方形进行裁剪，拼成如图所示的一个正方形．请用中相同的方法在数轴上找到表示的点．作图过程中标出必要线段长
22.本小题0分
【阅读与探究】在进行二次根式去分母时，我们有时会碰上如，，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
；
；
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
还可以用以下方法化简：
【小试牛刀】请用不同的方法化简．
参照式得 ；
参照式得 ．
【拓展应用】化简：．
23.本小题分
综合探究．
【材料阅读】由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这样的两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：，请完成下列问题．
【问题初探】的有理化因式是 写出一个即可，化去式子分母中的根号： ；
【探究运用】利用你发现的规律计算下列式子的值：；
【拓展运用】比较与的大小，并写出理由．
答案
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
11.答案不唯一 12. 13. 14.
15.，且为正整数
16.（1）解：原式；
（2）原式．
（3）解：原式 ．
17.（1）
（2）
（3）
（4）
18.（1）解：画法不唯一，如：如图，满足条件．
（2）如图，满足条件．
19.，
20.（1）解：长方形的周长米 答：长方形的周长是米．
（2）通道的面积 平方米 购买地砖需要花元 答：购买地砖需要花费约元．
21.（1）
（2） ；
（3）如图，即表示的点．
22.（1）
（2）原式．
23.（1） 答案不唯一
（2）原式 ．
（3），理由如下：， ， 又，，．
第二章实数
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列实数中，无理数是( )
A. B. C. D.
2.下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
3.设边长为的正方形的面积为下列关于的四种结论：是的算术平方根；是无理数；可以用数轴上的一个点来表示；是无限小数．其中正确结论是( )
A. B. C. D.
4.若式子有意义，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.若，，则式子的值为 ( )
A. B. C. D.
6.下列计算：；；；；其中正确的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
7.对于任意的正数、，定义新运算：计算的结果为( )
A. B. C. D.
8.实数，互为相反数，其在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论中，正确的是( )
A. B. C. D.
9.如图，数轴上点所表示的数为，则的值是( )
A. B. C. D.
10.在古希腊时期，有一天毕达哥拉斯走在街上，在经过铁匠铺时，他听到铁匠打铁的声音非常好听，于是驻足倾听，他发现铁匠打铁节奏很有规律，这种声音的节奏比例被毕达哥拉斯用数学的方式表达出来，后来人们将这个数称为“黄金分割数”设，，记，，，，，则的值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.写出一个比大比小的无理数： ．
12.实数、在数轴上对应点、的位置如图，化简的结果为 ．
13.已知和是某正数的两个平方根，则的值是 ．
14.将如图所示的长方形纸片每个小正方形的边长为，剪一剪，拼成一个正方形，那么这个正方形的边长是 ．
15.观察下列等式：，，，，请用含的等式表示这种规律： ．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.（12分）计算：
；
．
．
17.本小题分
把下列各数填到相应的横线上填序号：
；；；；；；；；；相邻的两个之间依次多一个．
有理数： ；
无理数： ；
正实数： ；
负实数： ．
18.本小题分
请你在方格纸上按照如下要求设计图形，每个小正方形的边长为．
请在图中设计一个直角三角形，使它的三边中有两边的边长不是有理数；
请在图中设计一个直角三角形，使它的三边长都不是有理数．
19.本小题分
求值：
已知某正数的两个不相等的平方根分别是和，的立方根为，求，的值．
已知的平方根是，的立方根是，是的整数部分，是的小数部分，求的算术平方根．
20.本小题分
某居民小区有块形状为长方形的绿地，长方形绿地的长为米，宽为米，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛即图中阴影部分，长方形花坛的长为米，宽为米．
长方形的周长是多少？结果化为最简二次根式
除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为每平方米元的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？结果保留一位小数
21.本小题分如图，有这样一个探究：把两个边长为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的个直角三角形拼在一起，就可以得到一个面积为的大正方形，试根据这个研究方法回答下列问题：
所得到的面积为的大正方形的边就是原先边长为的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为 ．
由此，我们得到了一种方法，能在数轴上画出无理数所对应的点，则图中，两点表示的数分别为 ， ．
通过动手操作，小张同学把长为、宽为的长方形进行裁剪，拼成如图所示的一个正方形．请用中相同的方法在数轴上找到表示的点．作图过程中标出必要线段长
22.本小题0分
【阅读与探究】在进行二次根式去分母时，我们有时会碰上如，，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
；
；
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
还可以用以下方法化简：
【小试牛刀】请用不同的方法化简．
参照式得 ；
参照式得 ．
【拓展应用】化简：．
23.本小题分
综合探究．
【材料阅读】由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这样的两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：，请完成下列问题．
【问题初探】的有理化因式是 写出一个即可，化去式子分母中的根号： ；
【探究运用】利用你发现的规律计算下列式子的值：；
【拓展运用】比较与的大小，并写出理由．
答案
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
11.答案不唯一 12. 13. 14.
15.，且为正整数
16.（1）解：原式；
（2）原式．
（3）解：原式 ．
17.（1）
（2）
（3）
（4）
18.（1）解：画法不唯一，如：如图，满足条件．
（2）如图，满足条件．
19.，
20.（1）解：长方形的周长米 答：长方形的周长是米．
（2）通道的面积 平方米 购买地砖需要花元 答：购买地砖需要花费约元．
21.（1）
（2） ；
（3）如图，即表示的点．
22.（1）
（2）原式．
23.（1） 答案不唯一
（2）原式 ．
（3），理由如下：， ， 又，，．
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