28.3 圆心角和圆周角 同步练习 （含解析） 2025-2026学年冀教版九年级上册数学

28.3 圆心角和圆周角
一、单选题
1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠AOB＝80°，则∠ACB的大小为（ ）
A．50° B．30° C．40° D．60°
2．下列说法正确的是（　　）
A．劣弧一定比优弧短
B．面积相等的圆是等圆
C．长度相等的弧是等弧
D．如果两个圆心角相等，那么它们所对的弧也相等
3．如图，点A，B，C均在⊙上，当时，的度数是（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
4．如图，在⊙O中，OC∥AB，∠A=20°，则∠1等于（　　）
A．40° B．45° C．50° D．60°
5．如图，四边形内接于，若，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知：如图，在两个同心圆中，大圆半径是小圆半径的2倍，点D，E，B均在圆上，若，连接，和，则下列说法不正确的是（ ）
A．O到弦距离等于O到弦距离 B．
C． D．
7．如图,AB 是⊙O 的直径,点C 在⊙O 上,∠ABC＝30°,AB＝8,则BC 等于 ( )
A．4； B．4； C．4； D．8；
8．如图，⊙O中，半径OC⊥弦AB于点D，点E在⊙O上，∠E=22.5°，AB=4，则半径OB等于（　　）
A． B．2 C．2 D．3
二、填空题
9．如图，A、B、C、D是上的点，如果，，那么 ．

10．如图，在以为直径的中，点C是上一点，弦长6 cm，长8 cm，的平分线交于E，交于D．则弦的长是 cm.
11．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BCD=130°，则∠BOD的度数是 度．
12．如图，是的内接三角形．若，，则的半径是 ．
13．如图，点A，B，C在⊙O上，∠OBC=18°，则∠A= ．
三、解答题
14．如图所示：、分别与圆O交于A、B、C、D四点，连接、，
(1)证明：
(2)若，，，求的长.
15．如图，中，，，求的度数．
16．如图，是的直径，是的弦，若，求的度数．
17．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝6,AC＝4,D是AB边上一点，P是优弧BAC的中点，连结PA、PB、PC、PD
（1）当BD的长度为多少时，△PAD是以AD为底边的等腰三角形？并证明；
（2）若cos∠PCB=，求PA的长.
18．如图，已知直线l与⊙O相交于点E、F， AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D，交⊙O于G
（1）求证：∠BAF=∠DAE；
（2）若AB=4，DE=2，∠B=45°，求AG的长
参考答案
1．C
【分析】利用圆周角与圆心角的关系，求出∠ACB的度数．
【详解】解：⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB=80°，
∴∠ACB=∠AOB=×80°=40°．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
2．B
【分析】根据圆的相关概念、圆周角定理及其推论进行逐一分析判断即可．
【详解】解：A.在同圆或等圆中，劣弧一定比优弧短，故本选项说法错误，不符合题意；
B.面积相等的圆是等圆，故本选项说法正确，符合题意；
C.能完全重合的弧才是等弧，故本选项说法错误，不符合题意；
D.必须在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项说法错误，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理及其推论、等弧、等圆、以及优弧和劣弧等知识，解题关键是理解各定义的前提条件是在同圆或等圆中．
3．D
【分析】在优弧AB上任意找一点D，根据三角形的内角和得到∠AOC=100°，根据圆周角定理得到∠D=∠AOC=50°，即可根据圆内接四边形的对角互补得到结论．
【详解】
解：在优弧AB上任意找一点D，连接AD，CD，
∵OA=OC，∠OAC=40°，
∴∠OAC=∠OCA=40°，
∴∠AOC=180°-40°-40°=100°，
∴∠D=∠AOC=50°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠D+∠B=180°，
∴∠B=180°-50°=130°，
故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
4．D
【详解】解：∵OC∥AB，
∴
又
∴
故选D.
5．A
【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质及圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．根据圆内接四边形的对角互补计算即可．
【详解】解：，
，
四边形内接于，
，
，
故选：A
6．D
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系、三角形中位线定理、三角形的三边关系判断即可．本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
【详解】解：A、在小圆O中，，O到弦距离等于O到弦距离，故本选项说法正确，不符合题意；
B、∵，，∴故本选项说法正确，不符合题意；
C、∵大圆半径是小圆半径的2倍，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴，故本选项说法正确，不符合题意；
D、在中，，
∵，
∴，故本选项说法不正确，符合题意；
故选：D．
7．C
【详解】试题分析：AB 是⊙O 的直径,点C 在⊙O 上,所以∠ACB=90°，又因∠ABC＝30°,AB＝8,所以AC=4，根据勾股定理得BC=4，故选C.
8．C
【分析】直接利用垂径定理进而结合圆周角定理得出△ODB是等腰直角三角形，进而得出答案．
【详解】解：∵半径OC⊥弦AB于点D，
∴，
∴∠E=∠BOC=22.5°，
∴∠BOD=45°，
∴△ODB是等腰直角三角形，
∵AB=4，
∴DB=OD=2，
则半径OB等于：．
故选C．
【点睛】此题主要考查了垂径定理和圆周角定理，正确得出△ODB是等腰直角三角形是解题关键．
9．
【分析】根据圆心角、弧、弦三者的关系可解答．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查圆心角、弧、弦三者的关系，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．
10．
【分析】连接．利用直径所对的圆周角是直角及勾股定理求出的长,再根据角平分线的性质求出;然后根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半求得;最后根据在等腰直角三角形中利用勾股定理求的长度.
【详解】如图，连接，
∵为的直径，
∴.
∵，
∴根据勾股定理，得.
∵平分，
∴,
∴,
∴,
∴为等腰直角三角形.
∴,即,
∴cm．
11．100
【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A=180°﹣∠C=50°，∴∠BOD=2∠A=100°．故答案为100．
12．
【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心．连接、，根据圆周角定理得到，根据勾股定理计算即可．
【详解】解：连接、，则，
，
，
，即，
解得：（负值已舍去），
故答案为：．
13．72°．
【详解】解：∵OB=OC，∠OBC=18°，
∴∠BCO=∠OBC=18°，
∴∠BOC=180°﹣2∠OBC=180°﹣2×18°=144°，
∴∠A=∠BOC=×144°=72°．
故答案为 72°．
【点睛】本题考查圆周角定理，掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半是本题的解题关键．
14．(1)见解析
(2)的长为6
【分析】（1）根据A、B、C、D四点共圆得，根据得，即可得；
（2）根据相似三角形的性质得，进行计算即可得．
【详解】（1）证明：∵A、B、C、D四点共圆，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
即的长为6．
【点睛】本题考查了圆的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握这些知识点，正确计算．
15．
【分析】根据同圆或等圆中等弧所对圆周角相等，得出，再利用三角形内角和定理求出即可．
此题主要考查圆周角的性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟知同圆或等圆中等弧所对圆周角相等．
【详解】∵，
，
．
16．
【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角为直角，同弧或等弧所对的圆周角相等，先根据是的直径，求出，再根据，求出，然后求出结果即可．
【详解】解：是的直径，
，
∵，
∴，
．
17．（1）是，证明略；（2）
【详解】解：（1）当BD＝AC＝4时，△PAD是以AD为底边的等腰三角形，
∵P是优弧BAC的中点，
∴，
∴PB＝PC，
∵∠PBD=∠PCA，
∴当BD＝AC＝4 ， △PBD≌△PCA
∴PA=PD ，即△PAD是以AD为底边的等腰三角形
（2）由（1）可知，当BD＝4时，PD＝PA，AD＝AB-BD＝6-4＝2，
过点P作PE⊥AD于E，则AE＝AD=1，
∵∠PCB=∠PAD，
∴cos∠PAD=cos∠PCB= ，
∴PA=
18．(1)见解析；(2)
【分析】(1)连接BF，得到∠BAF=90°-∠ABF，由圆内角四边形对角互补得到∠AEF=180°-∠ABF，再由∠DAE=∠AEF-90°即可证明；
(2)由∠ABE=45°得到△ABE为等腰直角三角形，进而求出AE的长，利用勾股定理求出AD的长；再连接GE，由圆内接四边形对角互补得到∠AGE=135°，进而得到∠DGE=45°，△GDE为等腰直角三角形，最后AG=AD-GD即可求解．
【详解】解：(1) 如图，连接BF，
∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB=90°，
∴∠BAF=90°-∠ABF，
∵在⊙O中，四边形ABFE是圆的内接四边形，∴∠AEF+∠ABF=180°，
∴∠AEF=180°-∠ABF，
又∠AEF是△DAE的一个外角，
∴∠DAE=∠AEF-∠90°=180°-∠ABF-90°=90°-∠ABF，
∴∠BAF=∠DAE；
(2)∵AB为直径，∴∠AEB=90°，∠ABE=45°时，△AEB为等腰直角三角形，
∴AE=BE=，
在Rt△ADE中，AD=，
连接GE，如下图所示，
由圆内接四边形对角互补可知，∠AGE=180°-∠B=135°，
∴∠DGE=180°-135°=45°，
又AD⊥DE，∴△GDE为等腰直角三角形，
∴GD=DE=2，
∴AG=AD-GD=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内角四边形对角互补，勾股定理求线段长等知识点，熟练掌握圆周角定理及其推论是解决本类题的关键．