28.4 垂径定理 同步练习（含解析）2025-2026学年冀教版九年级上册数学

28.4 垂径定理
一、单选题
1．下列命题正确的是（ ）
A．三点确定一个圆; B．任何三角形有且仅有一个外接圆
C．平分弦的直径必垂直弦; D．等腰三角形的外心一定在这个三角形内
2．如图，是的直径，弦于E，若，，则的长是（　　）

A．12 B．16 C． D．
3．下列命题中，正确的是（　　）.
A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径.
B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦.
C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心.
D．在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心.
4．某公园中央地上有一个大理石球，小明想测量球的半径，于是找了两块厚的砖塞在球的两侧（如图所示），并量得两砖之间的距离刚好是，则大理石球的半径是（ ）
A． B． C． D．
5．已知为的直径，弦于点E，，，则的直径为（　　）
A．8 B．10 C．16 D．20
6．如图，已知⊙O的半径为，弦垂足为，且，则的长为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，内接于，，，垂足为点，与相交于点，连接，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
8．已知⊙O的直径CD＝100cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝96cm，则AC的长为（ ）
A．36cm或64cm B．60cm或80cm C．80cm D．60cm
二、填空题
9．如图所示的是一个半圆形拱桥的截面示意图，圆心为O，直径是河底线，弦是水位线，已知拱桥的跨度，若测得某时水面宽度，求水深是 ．
10．如图， 的直径，C是圆O上一点，点D平分，，则弦
11．如图，半圆形纸片AMB的半径为1 cm，用如图所示的方法将纸片对折，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则折痕CD的长为 .
12．如图，⊙O的直径CD与弦AB交于点M，添加条件： 得到M是AB的中点．
13．如图，是的直径，弦于点E，，，则的半径 ．
14．的半径为，弦，则与之间的距离是 ．
三、解答题
15．将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C．
（1）用尺规作出该轮的圆心O，并保留作图痕迹；
（2）若△ABC是等腰三角形，设底边BC＝8，腰AB＝5，求该轮的半径R．
16．如图，在中，，，，弦，垂足为点，求的长度．
17．如图，在半径为的中，弦长．求：
（1）的度数；
（2）点O到的距离．
18．如图，在中，，连接，，过点作交延长线于点．
(1)求证：；
(2)若，，求⊙的半径．
19．如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于点B、C．
(1)求证：
(2)当时，求大圆与小圆的面积之差．
参考答案
1．B
【分析】根据圆的性质逐一判断即可.
【详解】A. 若三点在同一条直线上时，不能确定圆，故A错误；
B. 根据外接圆的性质，任何三角形有且仅有一个外接圆，故B正确；
C. 两条直径互相平分，但不一定垂直，故C错误;
D. 等腰直角三角形的外心是斜边的中点，故D错误.
故选B.
【点睛】此题考查的是与圆有关的性质，掌握三角形的外接圆的性质和垂径定理的推论是解决此题的关键.
2．A
【分析】连接，设，则，然后根据垂径定理及勾股定理可列方程进行求解．
【详解】解：连接，如图所示：

∵，是的直径，，
∴，
设，则，
∴在中，由勾股定理得：，
解得：，
∴；
故选A．
【点睛】本题主要考查垂径定理及勾股定理，熟练掌握垂径定理及勾股定理是解题的关键．
3．D
【分析】根据垂径定理对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A、两条直径互相平分，但不一定垂直，故本选项错误，不符合题意；
B、平分一条弧的直径垂直于这条弧所对的弦，故本选项错误，不符合题意；
C、弦的垂直平分线必经过这条弦所在圆的圆心，故本选项错误，不符合题意；
D、在一个圆内平分一条弧和平分它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心，故本选项正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径垂直这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．
4．D
【分析】该题主要考查了垂径定理、勾股定理及其应用问题；解题的方法是作辅助线，构造直角三角形；解题的关键是灵活运用垂径定理、勾股定理来分析、判断、解答．
如图，作辅助线；首先根据题意求出线段的长度；设圆的半径为r，运用勾股定理列出关于r的方程，求出r，即可解决问题．
【详解】解：如图，连接交于点D；
则，
设的半径为r，则，
在直角中，，
由勾股定理得
解得：．
故选：D．
5．D
【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．
如图所示，连接，则，由垂径定理可得，在中，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，则，
∵弦于点，，，
∴，
∴在中，，
∴的直径为20．
故选：D．
6．B
【分析】连接OB，作OP⊥AB于E，OF⊥CD于F，根据弦、弧、圆心角、弦心距的关系定理得到OP=OF，得到矩形PEFO为正方形，根据正方形的性质得到OP=PC，根据垂径定理和勾股定理求出OP，根据勾股定理计算即可．
【详解】解：连接OB，作OP⊥AB于E，OF⊥CD于F，
则BP=AB=4，四边形PEFO为矩形，
∵AB=CD，OP⊥AB，OF⊥CD，
∴OP=OF，
∴矩形PEFO为正方形，
∴OP=PC，
在Rt△OPB中，OP==3，
∴OE==3，
故选：B．
【点睛】本题考查了垂径定理以及勾股定理、矩形的判定与性质等知识，正确得出O到AB，CD的距离是解题关键．
7．C
【分析】连接，根据圆内接四边形的性质得到，根据垂径定理得到是边的中点，由垂直平分线的性质得到 ，根据等腰三角形的性质与三角形内角和定理即可得到结论．
【详解】解：连接，
四边形是圆内接四边形，，
，
，
，
是边的中点，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆内接四边形的性质，垂径定理，等腰三角形的性质，正确作出辅助线（即连接）构造等腰是解决本题的关键．
8．B
【分析】分两种情况讨论，根据题意画出图形，根据垂径定理求出AM的长，连接OA，由勾股定理求出OM的长，进而可得出结论．
【详解】解：连接AC，AO，
∵⊙O的直径CD＝100cm，AB⊥CD，AB＝96cm，
∴AM＝AB＝×96＝48（cm），OD＝OC＝50（cm），
如图1，∵OA＝50cm，AM＝48cm，CD⊥AB，
∴OM＝＝＝14（cm），
∴CM＝OC+OM＝50+14＝64（cm），
∴AC＝＝＝80（cm）；
如图2，同理可得，OM＝14cm，
∵OC＝50cm，
∴MC＝＝36（cm），
在Rt△AMC中，AC＝＝60（cm）；
综上所述，AC的长为80cm或60cm，
故选：B．
【点睛】本题考查的是垂径定理、勾股定理的应用，根据题意画出图形、利用垂径定理和勾股定理求解是解答此题的关键．
9．
【分析】本题考查了勾股定理、垂径定理，连接，由题意可得，，由垂径定理可得，再由勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图所示，连接，
由题意得，，，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴水深为，
故答案为：．
10．
【分析】本题主要考查了垂径定理的推论，三角形中位线定理．由题意可知点D平分， 为的中位线，根据直径求出半径，进而求出的长度，再根据中位线原理即可解答．
【详解】解：∵点D平分，
∴平分，
∴为的中位线，
∴，
又∵ 的直径，
∴，
∵，
∴，
∴弦，
故答案为：．
11．cm
【分析】作MO交CD于E，则MO⊥CD．连接CO．根据勾股定理和垂径定理求解．
【详解】作MO交CD于E，则MO⊥CD，连接CO，
对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，
则ME=OE=OC，
在直角三角形COE中，CE=，
折痕CD的长为2×=（cm）．
故答案为cm
【点睛】作出辅助线，构造直角三角形，根据对称性，利用勾股定理解答．
12．CD⊥AB（答案不唯一）．
【分析】根据垂径定理可知：可添加CD⊥AB或CD平分AB，答案不唯一．
【详解】解：M是弦AB的中点，CD是直径，
由垂径定理可知，CD⊥AB，
故答案为：CD⊥AB（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了学生对垂径定理的理解，答案不唯一，只要有理即可，本题主要根据逆向思维求解．
13．
【分析】设半径为r，则，得到，由垂径定理得到，再根据勾股定理，即可求出答案．
【详解】解：由题意，设半径为r，
则，
∵，
∴，
∵是的直径，弦于点E，
∴点E是CD的中点，
∵，
∴，
在直角△OCE中，由勾股定理得
，
即，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理和勾股定理进行解题．
14．或
【分析】本题主要考查了勾股定理，垂径定理，分两种情况：当在圆心同侧，异侧，分别根据勾股定理求出圆心到弦的距离，即可得出答案．
【详解】解：如图所示．
当在圆心同侧时，过点O作，连接，
∵
∴．
在中，，
根据勾股定理，得．
同理．
∵，且，
∴之间的距离；
当在圆心异侧时，过点O作，连接，
∵
∴．
在中，，
根据勾股定理，得．
同理．
∵，且，
∴之间的距离．
所以两条直线之间的距离是或．
故答案为：或．
15．（1）见解析；（2）该轮的半径R为．
【分析】（1）分别作弦AB和AC的垂直平分线交点O即为所求的圆心；
（2）设该轮的半径为R，在Rt△BOD中，利用勾股定理解决问题即可．
【详解】（1）如图所示：分别作弦AB和AC的垂直平分线交点O即为所求的圆心；
（2）连接AO、BC相交于点D，连接OB，
根据题意可知OA⊥BC，D为BC的中点，
在Rt△ABD中，AB=5，BD=BC=4，
∴AD==3，
设该轮的半径为R，在Rt△BOD中，OD＝R﹣3，
∴R2＝42+（R﹣3）2，
解得：R＝，
∴该轮的半径R为．
【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，垂径定理的推论，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
16．
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理等知识，添加合适辅助线，构造直角三角形是解题的关键．
过O作于点E，过O作于点F，连接，，先证明四边形是矩形，得出，，然后根据垂径定理求出，，在和根据勾股定理得出，然后求解即可．
【详解】解∶过O作于点E，过O作于点F，连接，，
又，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，，
在中，，
在中，，
又，
∴，即，
解得，
在中，．
17．（1）60°；（2）25mm
【分析】（1）证明是等边三角形，从而可得结论；
（2）过点O作OC⊥AB，垂足为点C，利用垂径定理求解 再利用勾股定理可得答案.
【详解】解：（1）∵OA，OB是⊙O的半径，
∴OA＝OB＝50mm，
又∵AB＝50mm，
∴OA＝OB＝AB，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB＝60°．　　
（2）过点O作OC⊥AB，垂足为点C，如图所示，
由垂径定理得AC＝CB＝AB＝25mm，
在Rt△OAC中OC2＝OA2－AC2＝502－252＝252×3，
∴OC＝＝25（mm），
即点O到AB的距离是25mm．
【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质，圆的性质，垂径定理的应用，勾股定理的应用，熟练垂径定理的运用是解题的关键.
18．(1)见解析
(2)5
【分析】本题主要考查了圆周角定理、勾股定理、垂径定理等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键．
（1）根据平行的性质可得，根据圆周角定理可得，然后根据等量代换即可证明结论；
（2）先说明，则；如图：连接交于点，连接，由垂径定理可得、，在中，由勾股定理得；连接，设，在中运用勾股定理列方程即可解答．
【详解】（1）解：证明：，
．
，
，
．
（2）解： ，，
，
．
如图：连接交于点，连接，
，
，．
在中，由勾股定理得，
连接，设，在中，由勾股定理得，，
，解得，即的半径为5．
19．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，正确作出辅助线是解答本题的关键．
（1）过点作于点，利用垂径定理可得，，即可证明；
（2）连接，作于点E，根据垂径定理得，，再根据圆的面积公式，勾股定理和平方差公式计算即可．
【详解】（1）证明：如下图，过点作于点，
则，，
∴，
即；
（2）解：如图，连接，作于点E，则，，

大圆与小圆的面积之差为：
．