2.4 圆周角 同步练习（含答案）2025-2026学年苏科版九年级上册数学

2.4 圆周角
一、单选题
1．在中，是外心，且，则的度数是（）
A． B． C．或 D．或
2．如图， 为的直径，为上两点， 若则的大小为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，是正方形的外接圆，若，则的半径是（ ）
A． B．2 C． D．
4．如图，A、C、B是⊙O上三点，若∠AOC=40°，则∠ABC的度数是（ ）．
A．10° B．20° C．40° D．80°
5．如图，ABCD为圆内接四边形，E为DA延长线上一点，若∠C=45°，则∠BAE等于（　　　）
A．90° B．30° C．135° D．45°
6．如图，已知是的直径，C 是圆上一点，点D 是 弧中 点，若．则为 （ ）
A． B． C． D．
7．如图，A，B，C是上的点，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
8．如图，是的外接圆的直径，若，则 °．
9．如图，，，是上的三点，，在圆心的两侧，若，，则的度数为 ．

10．如图，在圆O中，弧所对的圆心角为，且，则 ．
11．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠ABD=55°，则∠BCD的度数 ．
12．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，∠ABC=50°，则∠CAD= ．
三、解答题
13．如图，在以为直径的半圆中，M是的中点，C是上的点，的延长线相交于点D，连接．

(1)求证：平分；
(2)若平分，则的大小为________度．
14．如图，AB为⊙O的直径，弦AC=2，∠ABC=30°，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求：
（1）BC、AD的长；
（2）图中两阴影部分面积的和．
15．已知：如图，内接于，是的弦，，垂足为，点为弧上一点，且．
（1）求证：是的直径；
（2）若，，求的长．
16．如图，为的直径，交于点D，交于点E，．
(1)求的度数；
(2)求证：．
17．如图，是的两条弦，与相交于点，．
(1)求证：；
(2)连接，作直线，求证：．
参考答案
1．C
【分析】该题主要考查了三角形的外心以及圆周角定理；
由于三角形的外心的位置的不同，应分为两种情况考虑：外心在三角形的内部或外心在三角形的外部．然后根据三角形的外心是三角形外接圆的圆心，结合一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半进行分析求解．
【详解】解：如图1，当三角形的外心在三角形的内部时，则；
如图2，当三角形的外心在三角形的外部时，则．
故选：C．
2．B
【分析】本题考查了直径所对圆周角为直角，同弧或等弧所对圆周角相等，直角三角形两锐角互余，掌握同弧或等弧所对圆周角相等是解题的关键．
如图所示，连接，得到，由是直径，得到，在根据直角三角形两锐角互余，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，
∵，
∴，
∵是直径，
∴，
在中，，
故选：B ．
3．A
【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，90度的圆周角所对的弦是直径，先根据正方形的性质和勾股定理求出的长，再由90度的圆周角所对的弦是直径得到是的直径，据此可得答案．
【详解】解：如图所示，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴是的直径，
∴的半径为，
故选：A．
4．B
【详解】根据同一弧所对的圆周角的度数等于它所对圆心角度数的一半,
所以∠ACB的度数等于∠AOB的一半,
即
故选B
考点：同一弧所对的圆周角与它所对圆心角的关系.
5．D
【分析】根据圆内接四边形的性质可直接进行求解．
【详解】由圆内接四边形的外角等于它的内对角知，∠BAE=∠C=45°．
故选：D．
【点睛】本题主要考查圆内接四边形，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键．
6．C
【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，同弧或等弧所对的圆周角相等，三角形内角和定理，先由直径所对的圆周角是直角得到，则由三角形内角和定理得到，再由同弧或等弧所对的圆周角相等得到，据此可得答案．
【详解】解：如图所示，连接，
∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点 D 是弧中点，
∴，
∴，
∴，
故选： C．
7．D
【分析】在优弧上取一点D，连接、，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求出，再根据圆内接四边形对角互补即可求出．
【详解】解：如图，在优弧上取一点D，连接、，
∵，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质，熟知同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，圆内接四边形对角互补是解题的关键．
8．50
【分析】根据圆周角定理即可得到结论．
【详解】∵是的外接圆的直径，
∴点，，，在上，
∵，
∴，
故答案为：50．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
9．/100度
【分析】过A、O作的直径，首先根据等边对等角得到，，进而得到，然后利用圆周角定理求解即可．
【详解】解：过A作的直径，交于D

∵
∴，
∴
∵
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了等边对等角，圆周角定理，解答本题的关键是正确作出辅助线．
10．10゜
【分析】连接AB，由OA=OB及∠AOB=80゜可得∠OAB=∠OBA=50゜，由已知可得∠ABC的度数，从而在△ABC中可求得∠CAB的度数，因此可求得∠OAC的度数.
【详解】如图，连接AB
∵OA=OB，∠AOB=80゜
∴∠OAB=∠OBA=50゜
∵∠OBC=50゜
∴∠ABC=∠OBA+∠OBC=100゜
∵∠ACB=∠AOB=40゜
∴∠CAB=180゜ ∠ACB ∠ABC=40゜
∴∠OAC=∠OAB ∠CAB=50゜ 40゜=10゜
故答案为：10゜
【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，这是圆中一类基础题，关键是掌握圆的有关性质．
11．35°
【分析】连接AD，根据圆周角的性质得到∠ADB=90°，根据余角的性质得到∠DAB=35°，最后根据同弧多对圆周角相等即可求解．
【详解】连接AD
∵AB是⊙O的直径
∴∠ADB=90°
∵∠ABD=55°
∵∠DAB=90°-55°=35°
∴∠BCD=∠DAB=35°
故答案为35°．
【点睛】本题考查了圆周角定理，正确的做出辅助线是本题的关键，并且要熟练应用圆周角的性质．
12．40°
【详解】连接CD，
则∠ADC=∠ABC=50°，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD=90°，
∴∠CAD+∠ADC=90°，
∴∠CAD=90°-∠ADC=90°-50°=40°，
故答案为： 40°.
13．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了圆周角定理，解题的关键是熟练掌握“直径所对的圆周角为直角”，“同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角相等”．
（1）连接，根据点M半圆的中点，易得，再计算得出即可求解；
（2）由（1）可知，利用直角三角形两锐角互余，即可求解．
【详解】（1）解：连接，

∵为直径，
∴，
∴，
∵点M半圆的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴平分；
（2）解：∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴故答案为：．
14．(1)2；（2）.
【分析】（1）根据直径得出∠ACB=∠ADB=90°，根据勾股定理求出BC，根据圆周角定理求出AD=BD，求出AD即可；
（2）根据三角形的面积公式，求出△AOC和△AOD的面积，再求出S扇形COD，即可求出答案．
【详解】解：（1）∵AB是直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角），
在Rt△ABC中，∠ABC=30°，AC=2，
∴AB=4，
∴BC=，
∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，
∴∠DCA=∠BCD
∴，
∴AD=BD，
∴在Rt△ABD中，AD=BD=AB=2；
（2）连接OC，OD，
∵∠ABC=30°，
∴∠AOC=∠2∠ABC=60°，
∵OA=OB，
∴S△AOC=S△ABC=××AC×BC=××2×2=，
由（1）得∠AOD=90°，
∴∠COD=150°，
S△AOD=×AO×OD=×22=2，
∴S阴影=S扇形COD﹣S△AOC﹣S△AOD=﹣﹣2=π﹣﹣2．
【点睛】考查了勾股定理、圆周角定理、三角形的面积等知识点的应用，关键是求出∠ACB=∠ADB=90°．
15．（1）见解析；（2）
【分析】（1）先根据圆周角定理得出，，再根据垂直的定义、等量代换得出，然后根据圆周角定理即可得证；
（2）先根据圆周角定理得出，从而可得，再根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理可得，从而可得是等腰直角三角形，由此即可得．
【详解】（1）证明：∵
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴是的直径；
（2）如图，连接
∴
∵
∴，即
∵
∴
由三角形的内角和定理得：
解得
∴是等腰直角三角形
∵
∴
∴．
【点睛】本题考查了圆周角定理、三角形的内角和定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，熟记圆周角定理是解题关键．
16．(1)
(2)见解析
【分析】本题考查圆周角定理及等腰三角形的性质的综合运用，关键是根据的度数等于进行解答．
（1）的度数等于，因而求的度数就可以转化为求和，根据等腰三角形的性质等边对等角，就可以求出；
（2）在等腰三角形中，根据三线合一定理即可证得．
【详解】（1）解：∵是的直径，
∴．
又∵，
∴．
又∵，
∴．
∴．
（2）证明：连接，
∵是的直径，
∴．
∴．
又∵，
∴．
17．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（）利用弧、弦、圆心角的关系得出，即得，即可求证；
（）由得，即得，即得到，得到，进而由得到都在的垂直平分线上，即可求证；
本题考查了弧、弦、圆心角的关系，圆周角定理，垂直平分线的判定等，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
即，
∴；
（2）解：如图，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴都在的垂直平分线上，
∴．