(共29张PPT)
第1章 二次函数
测素质 二次函数的应用
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B
一、选择题(每题5分，共30分)
1．已知一个直角三角形两直角边长之和为20 cm，则这个直角三角形的最大面积为( )
A．25 cm2 B．50 cm2
C．100 cm2 D．无法确定
D
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3．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，对称轴是直线x＝－1，则过点M(c，2a－b)和点N(b2－4ac，a－b＋c)的直线一定不经过( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
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C
4．株洲五桥主桥主孔为拱梁钢构组合体系，小明在五桥观光，发现该拱梁的路面部分均匀排列着9根支柱，他回家上网查到了该拱梁是抛物线形，其跨度为20米，拱高(中柱)10米，于是他建立如图所示的坐标系，则中柱右边第二根支柱CD的高度为( )
A．7米 B．7.6米
C．8米 D．8.4米
【点拨】设抛物线的表达式为y＝ax2，由已知得点A的坐标是(－10，－10)，代入得100a＝－10，∴a＝－0.1.∴抛物线的表达式为y＝－0.1x2.∵该拱梁的路面部分均匀排列着9根支柱，其跨度为20米，
【答案】 D
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【答案】 D
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6． 如图①，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝120°，已知点P在边AB上，以1 m/s的速度从点A向点B运动，点Q在边BC上，以 m/s的速度从点B向点C运动．若点P，Q同时出发，当点P到达点B时，
点Q恰好到达点C处，此时两
点都停止运动，
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C
二、填空题(每题6分，共18分)
7．若二次函数y＝ax2－1的图象经过点(－2，0)，则关于x的方程a(x－2)2－1＝0的实数根为____________．
x1＝0，x2＝4
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8. 《中华人民共和国道路交通安全法》规定，同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离，其原因可以用物理和数学的知识来解释，公路上行驶的汽车急刹车时，刹车距离s(m)与时间t(s)的函数关系式为s＝16t－4t2，当遇到紧急情况刹车时，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的最小安全距离为________．
16 m
【点拨】s＝16t－4t2＝－4(t－2)2＋16.∵－4＜0，∴当t＝2时，s有最大值，最大值为16.∴当遇到紧急情况刹车时，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的最小安全距离为16 m.
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9．斜坡OA的坡度i＝1∶5，在此斜坡上距离点O的水平距离为6 m处有一个球筐BC，球筐BC的高度为0.8 m且垂直于水平地面，以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系．某人站在点O处将篮球从点D处抛出，已知篮球的运行轨迹可以看作抛物线y＝－0.1x2＋0.8x＋2的一部分，若想使篮球恰好进入球
筐的顶端C处，则此人应向后平移
________m.
2
【点拨】∵斜坡OA的坡度i＝1∶5，点B到点O的水平距离为6 m，∴点B到地面的垂直距离为1.2 m．∴点C到地面的垂直距离为2 m．∴点C的坐标为(6，2)．
y＝－0.1x2＋0.8x＋2＝－0.1(x－4)2＋3.6，设此人应向后平移m m，则平移后的抛物线可表示为y＝－0.1(x－4＋m)2＋3.6，将点C(6，2)的坐标代入上式，得2＝－0.1(6－4＋m)2＋3.6，解得m＝2或m＝－6(不合题意，舍去)，∴此人应向后平移2 m.
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三、解答题(共52分)
10．(16分)[2025临沂月考]如图，利用一面墙(墙的长度为20 m)，以及34 m长的篱笆围成两个鸡场，中间用一道篱笆隔开，每个鸡场均留一道1 m宽的门，设AB的长为x m.
(1)若两个鸡场的面积和为S m2，求S关于x的关系式，并写出x的取值范围．
(2)两个鸡场的面积和有最大值吗？若有，最大值是多少？
【解】两个鸡场的面积和有最大值．∵S＝－3x2＋36x＝－3(x－6)2＋108，∴当x＝6时，S取得最大值108，即两个鸡场的面积和的最大值是108 m2.
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11．(16分)某酒店有A，B两种客房，其中A种24间，B种20间．若全部入住，一天营业额为7 200元；若A，B两种客房均有10间入住，一天营业额为3 200元．
(1)求A，B两种客房每间定价分别是多少元．
(2)酒店对A种客房调研发现：如果客房不调价，房间可全部住满；如果每个房间定价每增加10元，就会有一个房间空闲；当A种客房每间定价为多少元时，A种客房一天的营业额W(元)最大，最大营业额为多少元？
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12．(20分)小李使用电脑软件通过光点运动模拟弹力球的抛物运动，如图，弹力球从x轴上的点A(－5，0)处抛出，其经过的路径是抛物线L的一部分，并在点B(－1，4)处达到最高点，在x轴上的C点处被弹起，向右继续沿抛物线G运动，抛物线G与抛物线L的形状相同，且其顶点的纵坐标为1.
(1)求抛物线L的表达式及点C的坐标；
(2)在x轴上有一个矩形框PQMN，光点只可通过矩形框的边MN落入框内(包括点M，N)，已知P(6.5，0)，Q(7.5，0)，MQ＝0.5.请判断光点是否能落入矩形框内，若能，请说明理由；若不能，为使光点落入框内，可以移动矩形框，请求出移动后点P的横坐标m的取值范围．
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第1章 二次函数
测素质 二次函数的图象与性质
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B
2．[2025福建]已知点A(－2，y1)，B(1，y2)在抛物线y＝3x2＋bx＋1上，若3A．1C．1A
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3．如图，抛物线y＝x2＋c经过正方形OABC的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则c＝( )
A．－1
B．－2
C．－3
D．－4
【点拨】如图，作AE⊥x轴，垂足为E.∵四边形OABC为正方形，对角线OB在y轴上，∴∠AOB＝45°.∴∠AOE＝45°.∴易得△OAE为等腰直角三角形．∴OE＝AE.设点A(m，－m)，则易得B(0，－2m)．
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【答案】 B
4．[2025南昌一模]一次函数y＝－ax＋b(a≠0)与二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
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【答案】 B
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B
【点拨】如图①，线段MN与二次函数y＝－x2＋4x＋n的相关函数的图象恰有1个公共点．∴当x＝2时，y＝1，即－4＋8＋n＝1，解得n＝－3.
如图②，线段MN与二次函数y＝－x2＋4x＋n的相关函数的图象恰有2个公共点．∵抛物线y＝x2－4x－n与y轴交点的纵坐标为1，∴－n＝1，解得n＝－1.∴当－3＜n≤－1时，线段MN与二次函数y＝－x2＋4x＋n的相关函数的图象恰有2个公共点．
如图③，线段MN与二次函数y＝－x2＋4x＋n的相关函数的图象恰有3个公共点．∵抛物线y＝－x2＋4x＋n经过点(0，1)，∴n＝1.
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【答案】 A
二、填空题(每题6分，共24分)
7. 一个二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的表达式可以是______________________．
y＝－x2＋1(答案不唯一)
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9． 在平面直角坐标系中，若抛物线y＝a(x－2)2＋c(a≠0)向左平移2个单位后经过点(－1，6)，则ac的最大值为________．
9
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10．如图，在正方形OABC中，点A(0，2)，点C(2，0)，当二次函数y＝(x－m)2－m的图象与正方形OABC有交点时，m的最大值和最小值的差为________．
【点拨】如图，由题意得，二次函数y＝(x－m)2－m的图象的顶点(m，－m)在直线y＝－x上运动．∵在正方形OABC中，点A(0，2)，点C(2，0)，∴B(2，2)．
从图象可以看出，当函数图象从左向右运动且与正方形有交点时，先经过点A，再逐渐经过点O，点B，…，最后再经过点B，且在运动的过程中，两次经过点A，点O，点B和点C，∴只需求出当函数图象经过点A及点B时m的值，即可求出m的最大值及最小值．当二次函数y＝(x－m)2－m的图象经过点A(0，2)时，m＝2或m＝－1；
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三、解答题(共40分)
11．(10分)已知二次函数y＝x2－kx＋k－5.
(1)若此二次函数图象的对称轴为直线x＝1.
①求二次函数的表达式；
②直接写出二次函数的最小值；
【解】二次函数的最小值是－4.
(2)当x≤1时，y随x的增大而减小，求k的取值范围．
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12．(10分)如图，二次函数y＝(x＋2)2＋m的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数y＝kx＋b的图象经过该二次函数图象上的点A(－1，0)及点B.
(1)求二次函数与一次函数的表达式；
【解】(1)把点A(－1，0)的坐标代入y＝(x＋2)2＋m，
得1＋m＝0，解得m＝－1，
∴二次函数的表达式为y＝(x＋2)2－1.
令x＝0，得y＝3.∴点C的坐标是(0，3)．
易得抛物线的对称轴是直线x＝－2.又∵点B与点C关于抛物线的对称轴对称，∴B(－4，3)．
(2)在对称轴上求作一点P，使PA＋PC的值最小，并求点P的坐标．
【解】∵点B和点C关于直线x＝－2对称，
∴直线AB与直线x＝－2的交点即为点P，
此时PA＋PC最小．
当x＝－2时，y＝－x－1＝－(－2)－1＝1，
∴点P的坐标是(－2，1)．
【点规律】当点A，C在直线l同侧时，要在直线l上找一点P，使PA＋PC的值最小，可先找出点A(或点C)关于直线l的对称点，再将找出的对称点与点C(或点A)连接，连线与直线l的交点就是所求的点．
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13．(10分)如图，二次函数y＝x2－2x的图象与x轴正半轴交于点A，点B(－1，m)在该图象上．
(1)求直线AB的表达式；
【解】解方程x2－2x＝0，得x1＝0，x2＝2.
∴A(2，0)．
∵点B(－1，m)在函数y＝x2－2x的图象上，
∴m＝(－1)2－2×(－1)＝3.∴B(－1，3)．
(2)点M是直线AB上的一个动点，将点M绕原点O逆时针旋转90°得到点N，当点N在抛物线上时，请直接写出点M的坐标．
【点拨】过点M作MC⊥x轴于点C，过点N作ND⊥y轴于点D.设M(n，－n＋2)，由题意知，点M在第四象限或第一象限．当点M在第四象限时，OC＝n，CM＝－(－n＋2)＝n－2，此时点N在第一象限．∴易得OD＝OC＝n，DN＝CM＝n－2，∴点N的坐标为(n－2，n)．当点M在第一象限时，OC＝n，CM＝－n＋2，此时点N在第二象限．∴易得OD＝OC＝n，DN＝CM＝－n＋2，∴点N的坐标为(n－2，n)．
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14．(10分)已知抛物线y＝x2＋bx＋c(b＜0)与x轴交点的坐标分别为(x1，0)，(x2，0)，且x1＜x2.
(1)若抛物线y1＝x2＋bx＋c＋1(b＜0)与x轴交点的坐标分别为(x3，0)，(x4，0)，且x3＜x4，试判断下列每组数据的大小(填写“＜”“＝”或“＞”)：
①x1＋x2________x3＋x4；②x1－x3________x2－x4；③x2＋x3________x1＋x4.
＝
＜
＞
(2)若x1＝1，2＜x2＜3，求b的取值范围．
【解】∵x1＝1，2＜x2＜3，∴3＜x2＋x1＜4.
∴3＜－b＜4.∴－4＜b＜－3.
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