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第1章 二次函数
1．2 二次函数的图象与性质
第2课时 二次函数y＝ax2(a<0)的图象与性质
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A
1. 小湘用软件绘制抛物线y＝－0.3x2时，将“－0.3”按成了“0.3”，和原图象相比，发生改变的是( )
A．开口方向 B．开口大小
C．对称轴 D．顶点坐标
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C
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A
4. 当ab＞0时，函数y＝ax2与y＝ax＋b的图象可能是( )
D
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5. 已知(x1，y1)，(x2，y2)是二次函数y＝(a＋1)x2的图象上的两点，且当0
y2，试写出不等式ax＜a的一个解x＝______________.
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2(答案不唯一)
6．如图，正方形的边长为4，以正方形的中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数y＝2x2与y＝－2x2的图象，则阴影部分的面积是________．
8
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【点拨】∵函数y＝2x2与y＝－2x2的图象关于x轴对称，∴阴影部分的面积是正方形面积的一半．∵正方形的边长为4，∴正方形的面积为16.∴阴影部分的面积是8.
7．已知y＝(k＋2)xk2＋k－4是二次函数，且函数图象开口向下．
(1)求k的值，并画出它的图象；
(2)该图象的顶点坐标是________，若点(a，－9)在其图象上，则a的值是________；
(0，0)
±3
(3)如果点P(m，n)是此二次函数的图象上的一点，若－2≤m≤1，求n的取值范围．
【解】∵点P(m，n)是此二次函数的图象上的一点，且－2≤m≤1，∴当m＝－2时，n＝－(－2)2＝－4；
当m＝1时，n＝－12＝－1；
当m＝0时，n取最大值，为0.
∴当－2≤m≤1时，－4≤n≤0.
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8. 定义新运算：a b＝ 例如：4 5＝4×52，4 (－5)＝－4×(－5)2，则函数y＝2 x的图象大致为( )
D
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【答案】 B
10．如图，直线y＝kx＋b(k≠0)与抛物线y＝ax2(a≠0)交于A，B两点，且点A的横坐标是－2，点B的横坐标是3，
则以下结论中，正确的有( )
①抛物线y＝ax2(a≠0)的图象的顶点一定是原点；
②当x>0时，直线y＝kx＋b(k≠0)与抛物线y＝ax2(a≠0)的函数值都随着x的增大而减小；
③AB的长度可以等于5；
④△OAB有可能成为等边三角形；
⑤当－2b.
A．①② B．①②⑤ C．②③④ D．①②④⑤
【点拨】①抛物线y＝ax2(a≠0)的顶点坐标为(0，0)，故①说法正确；②由题图可知，k<0，a<0，二次函数图象的顶点坐标为(0，0)，所以当x>0时，直线y＝kx＋b(k≠0)与抛物线y＝ax2(a≠0)的函数值都随着x的增大而减小，故②说法正确；③由点A的横坐标是－2，点B的横坐标是3，若AB＝5，可得出直线AB与x轴平行，即k＝0，与已知k≠0矛盾，故③说法错误；
④当△OAB为等边三角形时，有OA＝OB，可得出直线AB与x轴平行，即k＝0，与已知k≠0矛盾，故④说法错误；⑤由ax2－kx>b，可知ax2>kx＋b，结合交点A，B的横坐标可判断当直线y＝kx＋b(k≠0)的图象在抛物线y＝ax2(a≠0)的下方时，x的取值范围为－2返回
【答案】 B
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12. (1)已知四个点的坐标分别为A(－4，2)，B(－3，1)，C(－1，1)，D(－2，2)，若抛物线y＝ax2与四边形ABCD的边没有交点，则a的取值范围为___________________．
(2)已知△ABC的三个顶点坐标为A(－1，－1)，B(－1，3)，C(－3，－3)，将△ABC向右平移m(m>0)个单位后，△ABC某一边的中点恰好落在二次函数y＝－2x2的图象上，则m的值为________．
1或2或3
【点拨】∵△ABC的三个顶点坐标为A(－1，－1)，B(－1，3)，C(－3，－3)，∴AB边的中点的坐标为(－1，1)，BC边的中点的坐标为(－2，0)，AC边的中点的坐标为(－2，－2)．∵将△ABC向右平移m(m>0)个单位，∴AB边的中点平移后的坐标为(－1＋m，1)，BC边的中点平移后的坐标为(－2＋m，0)，AC边的中点平移后的坐标为(－2＋m，－2)．
∵二次函数y＝－2x2的图象在x轴及其下方，点(－1＋m，1)在x轴的上方，∴AB边的中点平移后不可能在二次函数y＝－2x2的图象上．把(－2＋m，0)代入 y＝－2x2，得－2(－2＋m)2＝0，解得m1＝m2＝2.把(－2＋m，－2)代入y＝－2x2，得－2(－2＋m)2＝ －2，解得m3＝1，m4＝3，综上，m的值为1或2或3.
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13. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx－3(k≠0)与抛物线y＝－x2相交于A，B两点(点A在点B的左侧)，点B关于y轴的对称点为B′.
(1)当k＝2时，A，B的坐标分别为
___________________；
(－3，－9)，(1，－1)
(2)连接OA，OB，AB′，BB′，若△B′AB的面积与△OAB的面积相等，求k的值；
(3)试探究直线AB′是否经过某一定点．若是，请直接写出该定点的坐标；若不是，请说明理由．
【解】是．直线AB′一定经过定点(0，3)．
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第1章 二次函数
1．1 二次函数
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C
2．关于函数y＝(500－10x)(40＋x)，下列说法不正确的是( )
A．y是x的二次函数
B．二次项系数是－10
C．一次项是100
D．常数项是20 000
C
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3．[2025长沙岳麓区模拟]下列函数关系中，是二次函数的是( )
A．生产100吨钢材，工作效率x和工作时间y之间的关系
B．当速度为100 km/h时，汽车行驶的距离s与时间t之间的关系
C．长方形的周长一定时，长方形的长y与宽x之间的关系
D．高为14 m的圆柱形储油罐的体积为y m3，底面圆的半径为x m
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D
4. 2025年5月18日，子弹库帛书《五行令》《攻守占》两件文物回到祖国，子弹库帛书于1942年在湖南省长沙市出土，是迄今发现的中国最早的帛书，对于学术史、思想史研究具有不可替代的价值．各地博物馆也因此迎来一波游览热潮．数据显示某博物馆5月第2周接待游客3.5万人，若平均每周的增长率为x，则5月第4周的游客人数y(万人)关于x的函数表达式是( )
A．y＝3.5(1＋x) B．y＝3.5(1＋2x)
C．y＝3.5(1＋x)2 D．y＝3.5x2
C
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5．[2025常德期末]若关于x的二次函数y＝(k－2)·xk2－2k＋2＋kx＋1的二次项系数为a，一次项系数为b，常数项为c，则a＋b＋c＝________.
－1
【点拨】∵函数y＝(k－2)xk2－2k＋2＋kx＋1是关于x的二次函数，∴k－2≠0，k2－2k＋2＝2，解得k＝0.∴y＝－2x2＋1.∴a＝－2，b＝0，c＝1.∴a＋b＋c＝－2＋0＋1＝－1.
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6. 如图是一个运算程序示意图，若第一次输入1，则输出的结果是________．
11
7. 已知一块边长为30 m的正方形草地．
(1)如图①，先将正方形草地的一条边减少x m(0＜x＜10)，再将另一边增加x m，设变化后的草地的面积为S m2，则S________(填“是”或“不是”)
关于x的函数．
是
(2)如图②，将正方形草地的相邻两边各增加x m，设扩充后的草地的面积为y m2.
①写出y与x之间的函数关系式；
②当x＝5时，求y的值．
【解】根据题意，得y＝(30＋x)2.
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当x＝5时，y＝(30＋5)2＝1 225.
8. 某网络主播代销某品牌的电子产品，销售中发现每件售价为99元时，日销售量为200件，当电子产品的单价每下降5元时，日销售量会增加10件．已知每售出1件电子产品，该主播需支付厂家和其他费用共50元．
D
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10. 如图，要用篱笆围成一个矩形菜园ABCD，其中一边AB靠墙，且AB的长不超过21 m，E，F分别为边AB，CD的中点，EF将其分成面积相等的两部分，在DF，FC上分别留出两个宽为1 m的小门．若图中虚线部分使用篱笆，且使用篱笆的长度
是43 m，当矩形菜园ABCD的
面积为150 m2时，BC的长为
________m.
10
【点拨】∵四边形ABCD是矩形，E，F分别为边AB，CD的中点，∴AD＝EF＝BC，AB＝CD.∵篱笆的长度是43 m，∴AD＋BC＋EF＋CD＝(43＋2) m．∴3AD＋CD＝45 m．∵AB的长不超过21 m，∴3AD≥(45－21)m.∴AD≥8 m．设AD＝BC＝EF＝x m，则CD＝AB＝43－3x＋2＝(45－3x) m，∴S矩形ABCD＝AD·CD＝[x(45－3x)] m2.当x(45－3x)＝150时，解得x1＝5，x2＝10.又∵AD≥8 m，∴x＝10.∴BC的长为10 m.
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11．随着居民收入的持续增长，某数学兴趣小组统计了某村农户老王2020－2024年的年度纯收入如表．
年度/年 2020 2021 2022 2023 2024
年度纯收入/万元 2.5 4.5 7.5 11.5 16.5
若记2020年为第1年，在平面直角坐标系中分别用点A(1，2.5)，B(2，4.5)，C(3，7.5)，D(4，11.5)，E(5，16.5)表示农户老王2020－2024年的年度纯收入的变化情况，如图所示．拟用下列三个函数中的
一个模拟农户老王从2020年开始的年度纯
收入变化趋势，以便估算农户老王2025年
的年度纯收入．
(1)你认为选用函数________(填序号)模拟最合理(不必说明理由)，并求出相应的函数表达式；
③
(2)农户老王准备在2025年底购买一台价值22万元的农机设备，根据(1)中你选择的函数表达式，预测农户老王2025年的年度纯收入能否满足购买农机设备的资金需求．
【解】由(1)得y＝0.5x2＋0.5x＋1.5.
当x＝6时，y＝0.5×36＋0.5×6＋1.5＝22.5.
∵22.5>22，∴农户老王2025年的年度纯收入能满足购买农机设备的资金需求．
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12. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝12 cm，点E在边AD上，点P从点C出发，沿CB运动，点Q从点A出发，沿折线AE—EC运动．它们同时出发，运动速度都是1 cm/s，当点P运动到点B时，两点同时停止运动．设点P运动的时间为t s，△BPQ的面积为S cm2.已知当点Q到达点E时，S＝24.
(1)AE＝________cm，
CE＝________cm；
4
10
(2)求S关于t的函数表达式，并直接写出自变量t的取值范围．
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第1章 二次函数
1．2 二次函数的图象与性质
第5课时 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质
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A
1．[2025邵阳月考]将抛物线y＝－2x2－4x向上平移5个单位后，所得新抛物线的顶点式是( )
A．y＝－2(x＋1)2＋7 B．y＝－2(x－1)2＋7
C．y＝－2(x＋1)2－7 D．y＝－2(x－1)2－7
【答案】 C
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3．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则关于x的一次函数y＝ax＋bc的图象一定不经过的象限是( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】 B
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4．已知二次函数y＝x2－2x(－1≤x≤t－1)，当x＝－1时，函数取得最大值；当x＝1时，函数取得最小值，则t的取值范围是( )
A．0＜t≤2
B．0＜t≤4
C．2≤t≤4
D．t≥2
C
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【点拨】∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴的右侧，∴a<0，b>0，c>0.∴abc<0.故①符合题意；∵顶点P的坐标为(1，n)，∴n＝a＋b＋c且函数的最大值为n.∵当x＝m时，y＝am2＋bm＋c，∴a＋b＋c≥am2＋bm＋c.∴am2＋bm－a－b≤0，故②不符合题意；
【答案】 D
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6．在平面直角坐标系中，抛物线y＝2x2＋4x－1不动，把x轴向下平移3个单位，y轴向左平移1个单位，那么在新坐标系下抛物线的表达式为____________．
y＝2x2
7．若A(m－1，y1)，B(m，y2)，C(m＋2，y3)为抛物线y＝ax2－2ax＋4(a>0)上的三点，且总有y1>y3>y2，则m的取值范围是________．
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8. 家用燃气灶烧开一壶水所需的燃气量y(单位：m3)与旋钮的旋转角度x(单位：度，0A．32度 B．41度
C．58度 D．75度
【点拨】由题意可知函数图象为开口向上的抛物线，由图上数据描点连线，补全图可得如图，
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【答案】 B
9．[2025天津益中学校月考]将二次函数y＝x2－2mx＋m2＋m＋1配成顶点式后，发现其图象顶点的纵坐标比横坐标大．
【点拨】将y＝x2－2mx＋m2＋m＋1配成顶点式为y＝(x－m)2＋m＋1，∴此二次函数图象的顶点坐标是(m，m＋1)，此二次函数的图象开口
向上，开口大小一定，易知此
二次函数图象的顶点在直线y＝
x＋1上运动(假设图象自左向右
移)，如图①，
如图②，当二次函数图象与矩形最后一次相交时，二次函数图象的顶点为矩形与y轴的交点，即点(0，1)，
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【答案】 B
10. 如图，点P是抛物线y＝－x2＋2x＋3上第一象限内一动点，A(0，3)，B(3，0)，过点P分别作x轴、y轴的平行线，交直线AB于F，H两点，过点P作AB的垂线，垂足为G.
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【答案】 D
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12．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2－2bx－4经过点(－1，m)．
(1)已知点(x1，y1)，(x2，y2)在抛物线上，其中x1＜x2.若m＞0且2x1＋2x2≤5，试比较y1与y2的大小关系，并说明理由；
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13．[2025苏州]如图，二次函数y＝－x2＋2x＋3的图象与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，作直线BC，M(m，y1)，N(m＋2，y2)为二次函数y＝－x2＋2x＋3的图象上的两点．
(1)求直线BC对应的函数表达式；
【解】在y＝－x2＋2x＋3中，令x＝0，则y＝3，
∴点C的坐标为(0，3)．
令y＝0，则－x2＋2x＋3＝0.解得x＝－1，或x＝3，
∴点B的坐标为(3，0)．
(2)试判断是否存在实数m，使得y1＋2y2＝10.若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由；
【解】不存在实数m，使得y1＋2y2＝10，理由如下：
∵M(m，y1)，N(m＋2，y2)为二次函数y＝－x2＋2x＋3的图象上的两点，∴y1＝－m2＋2m＋3，
y2＝－(m＋2)2＋2(m＋2)＋3＝－m2－2m＋3.
(3)已知P是二次函数y＝－x2＋2x＋3的图象上的一点(不与点M，N重合)，且点P的横坐标为1－m，作△MNP.若直线BC与线段MN，MP分别交于点D，E，且△MDE与△MNP的面积的比为1∶4，请直接写出所有满足条件的m的值．
【点拨】如图，作NH∥y轴，交x轴于点H，交BC于点N′，作PQ⊥NH，垂足为Q，作MM′∥y轴，交BC于点M′，则MM′∥NN′.当x＝1－m时，y＝－(1－m)2＋2(1－m)＋3＝－m2＋4.∴点P的坐标为(1－m，－m2＋4)．
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第1章 二次函数
1．2 二次函数的图象与性质
第4课时 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质
1．[2025岳阳模拟]关于二次函数y＝(x＋1)2－2的图象，下列结论中正确的是( )
A．对称轴为直线x＝1
B．与y轴交于点(0，－2)
C．与x轴没有交点
D．当x<－1时，y随x的增大而减小
【点拨】 A.对称轴为直线x＝－1，原说法错误，故该选项不符合题意；B.令x＝0，则y＝(x＋1)2－2＝－1，故与y轴交于点(0，－1)，原说法错误，故该选项不符合题意；C.抛物线y＝(x＋1)2－2的顶点为(－1，－2)，且开口向上，∴抛物线y＝(x＋1)2－2与x轴有两个交点，原说法错误，故该选项不符合题意；
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D.∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝－1，∴当x<－1时，y随x的增大而减小，原说法正确，故该选项符合题意．故选D.
【答案】 D
2．[2025威海]已知点(－2，y1)，(3，y2)，(7，y3)都在二次函数y＝－(x－2)2＋c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A．y1>y2>y3 B．y1>y3>y2
C．y2>y1>y3 D．y3>y2>y1
C
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3．抛物线y＝(x－a)2＋a－1的顶点一定不在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
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B
4．已知点A(a，2)，B(b，2)，C(c，7)都在抛物线y＝(x－1)2－2上，且点A在点B的左侧，则下列选项正确的是( )
A．若c＜0，则a＜c＜b
B．若c＜0，则a＜b＜c
C．若c＞0，则a＜c＜b
D．若c＞0，则a＜b＜c
D
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5. 已知某二次函数y＝a(x－h)2＋k的部分图象如图所示，若y≤0，则x的取值范围为__________，其函数表达式为______________．
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－1≤x≤5
y＝(x－2)2－9
6．[2025怀化期末]将抛物线y＝(x＋3)2向下平移1个单位，再向右平移________个单位后，得到的新抛物线经过原点．
2或4
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【点拨】抛物线y＝(x＋3)2向下平移1个单位后的表达式为y＝(x＋3)2－1，设抛物线向右平移h个单位后，得到的新抛物线经过原点，则新抛物线的表达式为y＝(x＋3－h)2－1.∵新抛物线经过原点，∴(3－h)2－1＝0，解得h＝2或4.
7. 已知二次函数y＝a(x－1)2－a(a≠0)，当－1≤x≤4时，y的最小值为－4，则a的值为________．
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8．如图，点P(a，3)在抛物线C：y＝4－(6－x)2上，且在对称轴的右侧．
(1)写出抛物线C的对称轴和y的最大值，并求出a的值；
【解】抛物线C的对称轴为直线x＝6，y的最大值为4.当y＝3时，3＝4－(6－x)2，解得x＝5或x＝7.∵点P在对称轴的右侧，∴a＝7.
(2)坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为P′，C′.平移该胶片，使C′所在抛物线对应的函数表达式恰好为y＝－(x－3)2.求点P′移动的最短路程．
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B
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【答案】 D
①③
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12．如图，已知点M(x1，y1)，N(x2，y2)在二次函数 y＝a(x－2)2－1(a>0)的图象上，且 x2－x1＝3.
(1)若二次函数的图象经过点(3，1)．
①求这个二次函数的表达式；
【解】∵二次函数y＝a(x－2)2 －1(a>0)的图象经过点(3，1)，∴1＝a－1，解得a＝2.
∴这个二次函数的表达式为y＝2(x－2)2－1.
②若y1＝y2，求顶点到直线MN的距离．
(2)当x1≤x≤x2时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点M，N在对称轴的异侧，请直接写出a的取值范围．
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13. 在平面直角坐标系中，规定：抛物线y＝a(x－h)2＋k的关联直线为y＝a(x－h)＋k.
例如：抛物线y＝2(x＋1)2－3的关联直线为y＝2(x＋1)－3，即y＝2x－1.
(1)如图，对于抛物线y＝－(x－1)2＋3.
①该抛物线的顶点坐标为________，关联直线为____________，该抛物线与其关联直线的交点坐标为________和________；
(1，3)
y＝－x＋4
(1，3)
(2，2)
②点P是抛物线y＝－(x－1)2＋3上一点，过点P的直线PQ垂直于x轴，交抛物线y＝－(x－1)2＋3的关联直线于点Q.设点P的横坐标为m，线段PQ的长度为d(d＞0)，求当d随m的增大而减小时，d与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
【解】如图所示，设该抛物线与其关联直线的交点分别为E，F，易知E(1，3)，F(2，2)．
由题意得P(m，－m2＋2m＋2)，
Q(m，－m＋4)．
当m＜1时，d＝－m＋4－(－m2＋
2m＋2)＝m2－3m＋2，此时d随
m的增大而减小；
(2)顶点在第一象限的抛物线y＝－a(x－1)2＋4a与其关联直线交于点A，B(点A在点B的左侧)，与x轴负半轴交于点C，直线AB与x轴交于点D，连接AC，BC.
①求△BCD的面积(用含a的代数式表示)；
【解】抛物线y＝－a(x－1)2＋4a的关联直线为y＝－a(x－1)＋4a＝－ax＋5a，
②当△ABC为钝角三角形时，求a的取值范围．
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第1章 二次函数
1．4 二次函数与一元二次方程的联系
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B
1．若关于x的一元二次方程a(x＋m)2－2＝0的两个根为x1＝－2，x2＝4，则二次函数y＝2(x＋m－3)2－2的图象的对称轴为( )
A．直线x＝－4 B．直线x＝4
C．直线x＝1 D．直线x＝－1
2．下表是二次函数y＝x2－4x＋c的自变量x与函数值y的若干组对应值：
则下面是关于x的方程x2－4x＋c＝0的一个近似根(精确到0.1)的是( )
A．3.0 B．3.1 C．3.2 D．3.3
C
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x … 0.7 0.8 0.9 1.0 …
y … 0.30 0.05 －0.18 －0.39 …
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D
【点拨】∵二次函数y＝ax2＋2ax＋c的图象与x轴的一个交点为(1，0)，易得对称轴为直线x＝－1，∴二次函数y＝ax2＋2ax＋c的图象与x轴的另一个交点为(－3，0)．∴方程ax2＋2ax＋c＝0(a≠0)的解为x1＝1，x2＝－3.
【答案】C
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5. 已知m＞n＞0，若关于x的方程x2＋2x－3－m＝0的解为x1，x2(x1＜x2)，关于x的方程x2＋2x－3－n＝0的解为x3，x4(x3＜x4)，则x1，x2，x3，x4的大小关系为___________．(用“<”连接)
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x11，0，－1，2
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7. 我们规定形如y＝|ax2＋bx＋c|(a>0)的函数叫作“元宝型函数”．如图是“元宝型函数”y＝|x2－4x＋3|的图象，
根据图象，给出以下结论：①图象关于直线x＝2对称；②关于x的不等式|x2－4x＋3|>0的解集是x<1或x>3；
③当k<1时，关于x的方程|x2－4x＋3|＝k有四个实数解；
④当x<1时，函数y＝|ax2＋bx＋c|(a>0)的y值随x值的增大而减小．其中正确的是________．(填序号)
①
【点拨】根据函数的特征可知图象关于直线x＝2对称，故①正确，符合题意；由“元宝型函数”y＝|x2－4x＋3|的图象可知，当x≠1且x≠3时，图象位于x轴上方，∴关于x的不等式|x2－4x＋3|>0的解集是x≠1且x≠3，故②错误，不符合题意；当x＝2时，y＝|x2－4x＋3|＝1，由题图可得，当0返回
由题图可知，函数y＝|ax2＋bx＋c|(a>0)的y值随x值的变化情况取决于函数在x<1时的增减性，并不一定是当x<1时，y值随x值的增大而减小，故④错误，不符合题意．综上所述，正确的是①.
8．已知抛物线y＝x2－(m＋n)x＋4m经过定点(4，8)，且当x取任意实数时，y的值始终为正数，则m 的取值范围为________________．
返回
9. 现定义：对于一个数a，我们把{a}称为a的“邻一数”，若a≥0，则{a}＝a－1；若a＜0，则{a}＝a＋1.例如：{1}＝1－1＝0，{－0.5}＝－0.5＋1＝0.5.已知函数y＝{－x2－3}＋3{|x|＋3}，当直线y＝x＋b与该函数的图象有4个交点时，b的取值范围是( )
A．4≤b＜5 B．4＜b＜5
C．4≤b≤5 D．b＞4
【点拨】由题知y＝{－x2－3}＋3{|x|＋3}＝－x2－3＋1＋3(|x|＋3－1)＝－x2＋3|x|＋4，
其图象如图．
当x＞0时，y＝－x2＋3x＋4，
令x＝0，则y＝4，
返回
∴当直线y＝x＋b过点(0，4)时，与函数y＝{－x2－3}＋3{|x|＋3}的图象有3个交点．令x＋b＝－x2＋3x＋4，即x2－2x－4＋b＝0，当直线y＝x＋b与抛物线y＝－x2＋3x＋4有1个公共点时，(－2)2－4(－4＋b)＝0，解得b＝5.由图象可得当4【答案】B
10．[2025武汉江夏区月考]已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点为(－2，0)．若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝p(p＜0)有整数解，则p的值有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【点拨】如图，∵抛物线y＝ax2＋bx＋c(a>0)的对称轴为直线x＝2，∴易知抛物线始终与x轴交于点(－2，0)与(6，0)．若关于x的一元二次方
程ax2＋bx＋c＝p(p<0)有整数解，
即直线y＝p(p<0)与抛物线y＝
ax2＋bx＋c有交点．
返回
∴在－2【答案】C
11．[2025遂宁]如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，且a≠0)的对称轴是直线x＝1，且抛物线与x轴的一个交点坐标是(4，0)，与y轴的交点坐标是(0，m)，且2【答案】C
返回
12．已知抛物线C：y＝ax2－6ax＋5a(a为常数，a≠0)．
(1)求证：不论a为何值，抛物线C与x轴总有两个不同的公共点；
【证明】由题意，得对于方程ax2－6ax＋5a＝0(a≠0)，
Δ＝(－6a)2－4a×5a＝16a2＞0，∴不论a为何值，抛物线C与x轴总有两个不同的公共点．
(2)设抛物线C交x轴于点A，B，交y轴于点D，若△ABD的面积为20，求a的值；
【解】对于y＝ax2－6ax＋5a，
令y＝0，得ax2－6ax＋5a＝0，解得x＝1或x＝5.
令x＝0，得y＝5a，
∴点A，B，D的坐标分别为(1，0)，(5，0)，(0，5a)．∴AB＝4.
(3)设点E(2，4)，F(3，4)，若抛物线C与线段EF只有一个公共点，结合函数图象，直接写出a的取值范围．
返回
13．小明利用一次函数和二次函数知识，设计了一个计算程序，其程序框图如图①所示，输入x的值为－2时，输出y的值为1；输入x的值为2时，输出y的值为3；输入x的值为3时，输出y的值为6.
(1)直接写出k，a，b的值．
【解】k＝1，a＝1，b＝－2.
(2)小明在平面直角坐标系中画出了关于x的函数图象，如图②.
Ⅰ.当y随x的增大而增大时，x的取值范围为____________．
x≤0或x≥1
【点拨】∵k＝1，a＝1，b＝－2，∴一次函数的表达式为y＝x＋3，二次函数的表达式为y＝x2－2x＋3.当x>0时，y＝x2－2x＋3的图象的对称轴为直线x＝1，开口向上，∴当x≥1时，y随x的增大而增大；当x≤0时，y＝x＋3，其中k＝1>0，∴当x≤0时，y随x的增大而增大．综上，当y随x的增大而增大时，x的取值范围为x≤0或x≥1.
Ⅱ.若关于x的方程ax2＋bx＋3－t＝0(t为实数)，在0【解】易知该问题可转化为抛物线
y＝x2－2x＋3与直线y＝t在0x＝1时，y＝2.∴该抛物线的顶点坐标为(1，2)，如图．
∴当t＝2时，抛物线y＝x2－2x＋3与直线y＝t在0Ⅲ.若在函数图象上有点P，Q(P与Q不重合)．P的横坐标为m，Q的横坐标为－m＋1.小明对P，Q之间(含P，Q两点)的图象进行研究，当图象对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化时，直接写出m的取值范围．
【解】－1≤m≤0或1≤m≤2.
返回(共20张PPT)
第1章 二次函数
1．2 二次函数的图象与性质
第1课时 二次函数y＝ax2(a>0)的图象与性质
返回
A
1. 下列关于函数y＝36x2的叙述中，错误的是( )
A．y有最大值
B．图象的对称轴是y轴
C．当x＞0时，y随x的增大而增大
D．图象的顶点是原点
2．若点(－1，y1)，(0，y2)，(2，y3)都在二次函数y＝x2的图象上，则( )
A．y3>y2>y1 B．y2>y1>y3
C．y1>y3>y2 D．y3>y1>y2
D
返回
返回
C
①③②
返回
【解】这个函数图象的另一部分如图所示．
(2)判断点(－2，－4)是否在这个函数图象上；
【解】当x＝－2时，y＝2≠－4，
∴点(－2，－4)不在这个函数图象上．
(3)求当y＝4时对应的函数图象在第一象限的点的坐标．
返回
6. 若(x1，y1)，(x2，y2)是抛物线y＝ax2(a>0)上两个不同的点，则(|x1|－|x2|)(y1－y2)为( )
A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数
【点拨】 ∵(x1，y1)，(x2，y2)是抛物线y＝ax2(a>0)上两个不同的点，∴x1≠x2，y1＝ax12，y2＝ax22.∴(|x1|－|x2|)·(y1－y2)＝a(|x1|－|x2|)(x1＋x2)(x1－x2)．当x1>0，x2>0时，原式＝a(x1－x2)(x1＋x2)(x1－x2)＝a(x1＋x2)(x1－x2)2.∵a>0，x1＋x2>0，(x1－x2)2>0，∴原式>0；当x1＝0，x2>0时，原式＝ax23>0；当x1＝0，x2<0时，原式＝－ax23>0.
当x1<0，x2<0时，原式＝a(x2－x1)(x1＋x2)(x1－x2)．∵a>0，x1＋x2<0，(x2－x1)(x1－x2)<0，∴原式>0；当x1>0，x2<0时，原式＝a(x1＋x2)(x1＋x2)(x1－x2)＝a(x1－x2)(x1＋x2)2.∵a>0，x1－x2>0，(x1＋x2)2≥0，
返回
∴原式≥0.当x1>0，x2＝0时，原式＝ax13>0；当x1<0，x2＝0时，原式＝－ax13>0.当x1<0，x2>0时，原式＝a(－x1－x2)(x1＋x2)(x1－x2)＝－a(x1－x2)(x1＋x2)2.∵－a<0，x1－x2<0，(x1＋x2)2≥0，∴原式≥0.综上，(|x1|－|x2|)(y1－y2)为非负数．故选D.
【答案】 D
2≤m≤4
7. 若直线y＝m(m为常数)与函数 的图象恒有两个不同的交点，则常数m的取值范围是________．
返回
8. 在平面直角坐标系中，已知点A在y轴正半轴上．
(1)如图①，已知菱形ABCD的顶点B，C，D在二次函数y＝x2的图象上，且AD⊥y轴，则菱形的边长为_______．
(2)如图②，已知正方形ABCD的顶点B，D在二次函数y＝x2的图象上，点B，D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B，D的横坐标分别为m，n，探究n－m是否为定值．
【解】当B，D在y轴的右侧时，过点B作BF⊥y轴于点F，过点D作DE⊥y轴于点E，如图．
∵点B，D的横坐标分别为m，n，
正方形ABCD的顶点B，D在二次
函数y＝x2的图象上，∴B(m，m2)，
D(n，n2)．
∴BF＝m，OF＝m2，DE＝n，OE＝n2.
返回
∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB＝90°，AD＝AB.
∴∠FAB＝90°－∠EAD＝∠EDA.
又∵∠AFB＝∠DEA＝90°，∴△ABF≌△DAE.
∴BF＝AE＝m，AF＝DE＝n.
∴m＝n2－n－m2.∴m＋n＝(n－m)(n＋m)．
∵点B，D在y轴的右侧，∴m＋n≠0.
∴n－m＝1；当B，D在y轴的左侧时，
同理可得n－m＝1.∴n－m为定值．(共36张PPT)
第1章 二次函数
1．2 二次函数的图象与性质
第3课时 二次函数y＝a(x－h)2的图象与性质
对于抛物线y＝2(x－1)2，下列说法正确的有( )
①开口向上；②顶点坐标为(0，－1)；③对称轴为直线x＝1；④与x轴的交点坐标为(1，0)；⑤图象不经过第二、三象限．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
返回
C
2．如图，小芳在坐标系内画出了y＝a(x＋3)2的图象，则她所选择的坐标原点是( )
A．P点
B．Q点
C．M点
D．N点
C
返回
3．若点P(m，n)在抛物线y＝ax2(a≠0)上，则下列各点在抛物线y＝a(x＋1)2上的是( )
A．(m，n＋1) B．(m＋1，n)
C．(m，n－1) D．(m－1，n)
返回
D
4. 在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋c和二次函数y＝a(x＋c)2的图象可能是( )
B
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返回
b返回
6. 三名同学分别说出了一个二次函数的一些特征：
小明：函数图象的顶点在x轴上；
小智：当自变量取1，3时，函数值相等；
小文：函数有最大值．
请你写出一个符合上述条件的二次函数表达式：_______________________．
y＝－(x－2)2(答案不唯一)
7．把抛物线y＝a(x－4)2向左平移6个单位后得到抛物线y＝－3(x－h)2.若抛物线y＝a(x－4)2的顶点为A，且与y轴交于点B，抛物线y＝－3(x－h)2的顶点是M.
(1)求a，h的值；
【解】∵抛物线y＝a(x－4)2向左平移6个单位后得到抛物线y＝－3(x－h)2，
∴a＝－3，4－6＝h，∴h＝－2.
(2)求S△MAB的值．
返回
8．已知a>0，现有函数y1＝a(x－1)2，y2＝a(x－2)2，y3＝a(x－3)2.直线x＝m与函数y1，y2，y3的图象分别交于点A(m，c1)，B(m，c2)，C(m，c3)，下列说法正确的是( )
A．若m<1，则c2B．若1C．若2D．若m>3，则c3【点拨】如图所示．A.由图象可知，当m<1时，c1返回
C.由图象可知，当23时，c3【答案】 D
返回
【答案】 D
10. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2(a＞0)与y＝a(x－2)2交于点B，抛物线y＝a(x－2)2交y轴于点E，过点B作x轴的平行线与两条抛物线分别交于C，D两点，若点A是x轴上两条抛物线顶点之间的一点，连接AD，AC，EC，ED，则四边形ACED
的面积为________．(用含a的
式子表示)
8a
返回
返回
12. 如图，点P1，P2，…，Pn在抛物线y＝a(x－1)2的图象上，点Q0，Q1，Q2，…，Qn在抛物线的对称轴上．若△P1Q0Q1，△P2Q1Q2，…，△PnQn－1Qn
都为等边三角形(点Q0是抛物线的顶
点)且Q0Q1＝2，则P2 026的坐标为
__________________．
【点拨】如图，分别过点P1，P2作P1M1⊥Q0Q1 ，P2M2⊥Q1Q2.∵点Q0，Q1，Q2，…，Qn在抛物线y＝a(x－1)2的对称轴上，且对称轴为直线x＝1，∴点Q0，Q1，Q2，…，Qn的横坐标为1.
返回
13. 如图，已知抛物线y＝(x－2)2，P是抛物线对称轴上的一个动点，直线x＝t分别与直线y＝x及抛物线交于点A，B，若△ABP是等腰直角三角形，则t＝__________________________.
返回
14. 如图，已知二次函数图象的顶点坐标为M(1，0)，直线y＝x＋m与该二次函数的图象交于A，B两点，其中A点的坐标为(3，4)，B点在y轴上．
(1)求m的值及这个二次函数的表达式．
【解】设这个二次函数的表达式为y＝a(x－1)2.
∵点A(3，4)在抛物线上，∴4＝a(3－1)2，解得a＝1.
∴这个二次函数的表达式为y＝(x－1)2.
∵点A(3，4)也在直线y＝x＋m上，∴4＝3＋m，
解得m＝1.
(2)连接BM，AM，求△MAB的面积．
(3)若P(a，0)是x轴上的一个动点，过点P作x轴的垂线分别与直线AB和二次函数的图象交于D，E两点．
①当0＜a＜3时，求线段DE长度的最大值．
②若直线AB与抛物线的对称轴交于点N，问是否存在一点P，使以M，N，D，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解】存在一点P，使以M，N，D，E为顶点的四边形是平行四边形．
∵M(1，0)，∴把x＝1代入y＝x＋1，得y＝2.
∴N(1，2)．∴MN＝2.
要使以M，N，D，E为顶点的四边形是平行四边形，则DE＝MN＝2，
易知DE＝|－a2＋3a|，∴2＝|－a2＋3a|，
返回(共67张PPT)
第1章 二次函数
1．5 二次函数的应用
【点拨】∵AB∥x轴，CH⊥AB且CH＝1 cm，BD＝
2 cm，且B，D关于y轴对称，∴点B的坐标为(－1，1)，点D的坐标为(1，1)．∵AB∥x轴，最低点C在x轴上，∴A，B关于直线CH对称．又∵AB＝4 cm，∴易得左边抛物线的顶点C的坐标为(－3，0)．∴右边抛物线的顶点F的坐标为(3，0)．
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【答案】 B
2. 某水利工程公司开挖的池塘，蓄水之后截面呈抛物线形，如图所示，在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据(单位：m)．
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【答案】 C
3. “水幕电影”的工作原理是把影像打在抛物线状的水幕上，通过光学原理折射出图象，水幕是由若干个水嘴喷出的水柱组成的(如图)，水柱的最高点为P，AB＝2 m，BP＝9 m，水嘴高AD＝5 m，则水柱落
地点C到水嘴所在墙的距离AC
是________m.
5
【点拨】∵以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．由题意知D(0，5)，P(2，9)．∵水柱的最高点为P(2，9)，∴设抛物线的表达式为y＝a(x－2)2＋9.把点D(0，5)的坐标代入，得4a＝－4，∴a＝－1.∴抛物线的表达式为y＝－(x－2)2＋9.当y＝0时，－(x－2)2＋9＝0，解得x＝5或x＝－1(不合题意，舍去)，∴水柱落地点C到水嘴所在墙的距离AC是5 m.
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4. 在数学的学习过程中，同学们要善于用数学的眼光观察世界，你会发现生活中处处有数学；善于用数学的思维思考世界，你就能探索现实世界的奥秘．比如，一棵生长的幼苗可以近似看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成．
小明同学在观察研究幼苗叶片生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线都可以看作是二次函数y＝mx2－4mx－20m＋5图象的一部分，如图①，该二次函数图象经过坐标系的原点，已知直线PD与水平线的夹角为45°，
三天后，点D长到与点P同一水平位置的点D′时，叶尖Q落在射线OP上，如图②，则此时幼苗叶子的长度QD′为________，幼苗叶子的最大宽度为________．
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5．如图①是一座抛物线形拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分(如图②)，抛物线的顶点在C处，对称轴OC与水平线OA垂直，OC＝9，点A在抛物线上，且点A到对称轴的距离OA＝3，
点B在抛物线上，点B到
对称轴的距离是1.
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图②，为更加稳固，小星想在OC上找一点P，加装拉杆PA，PB，同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小星找到点P的位置并求出坐标；
【解】∵点B到对称轴的距离是1，
∴将x＝1代入y＝－x2＋9，
得y＝－1＋9＝8.∴B(1，8)．
如图，作点B关于y轴的对称点B′(－1，8)，连接AB′，交y轴于点P，则点P即为所求．
(3)为了造型更加美观，小星重新设计抛物线，其表达式为y＝－x2＋2bx＋b－1(b＞0)，当4≤x≤6时，函数y的值总大于或等于9.请直接写出b的取值范围．
返回
设点P的运动时间为t秒，正方形DPEF的面积为S.当点P由点B运动到点A时，S是关于t的二次函数，如图②.
【答案】 B
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7．九年级一班的同学计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来10 m长的围栏，准备围成一边靠墙(墙足够长)的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、等腰三角形(底边靠墙)、半圆形这三种方案(如图)，则最佳方案是________．(填序号)
③
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8．九(1)班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地，地上两段围墙AB⊥CD于点O(如图)，其中AB上的EO段围墙空缺．同学们测得AE＝6.6 m，OE＝1.4 m，OB＝6 m，OC＝5 m，OD＝3 m，班长买来可切断的围栏
16 m，准备利用已有围墙，围出一块
封闭的矩形菜地，则该菜地的最大
面积是______m2.
46.4
【点拨】要使该矩形菜地面积最大，则要利用AO和OC构成矩形，设矩形菜地在射线OA上的一边长为
x m，矩形菜地的面积为S m2.当x≤8时，如图①，
返回
当x＞8时，如图②，则矩形菜地的周长为16＋6.6＋5＝27.6(m)，则在射线OC上的一边长为(13.8－x) m，∴S＝x·(13.8－x)＝－x2＋13.8x＝－(x－6.9)2＋47.61.∵－1＜0，∴当x≥6.9时，S
随x的增大而减小．∴当x＞8时，
S的值均小于46.4.综上，该菜地的
最大面积是46.4 m2.
(1)求点B的坐标．
(2)将矩形OCDE沿x轴向右平移，得到矩形O′C′D′E′，点O，C，D，E的对应点分别为O′，C′，D′，E′.设OO′＝t，矩形O′C′D′E′与△OAB重叠部分的面积为S.
①如图②，当点E′在x轴正半轴上，且矩形O′C′D′E′与△OAB重叠部分为四边形时，D′E′与OB相交于点F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；
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10. 衡山红脆桃，湖南省衡阳市衡山县特产，全国农产品地理标志，深受人们喜爱．某特产批发店以30元/箱的价格购进了一批衡山红脆桃，根据市场调查发现：售价定为58元/箱时，每天可销售600箱，为保证市场占有率，决定降价销售，发现每箱降价1元，每天可增加销量60箱，每天的利润w(元)与每箱降价x(元)之间的函数表达式为_________________________．
w＝－60x2＋1 080x＋16 800
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11. 2025年哈尔滨亚洲冬季运动会于2025年2月7日至2月14日在哈尔滨市举行，是继北京冬奥会后中国举办的又一重大国际综合性冰雪盛会，此次冬运会吉祥物“滨滨”和“妮妮”的名称合起来寓意着“哈尔滨欢迎您”．某商场购进一批价格为40元/件的冬运会吉祥物礼盒，要求售价不超过55元/件．若每月销售量y(件)与售价x(元/件)之间满足的函数关系是y＝－10x＋800，则销售冬运会吉祥物礼盒每月可获得的最大利润为____________．
3 750元
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12．商场购进一批儿童智力玩具，调查发现该玩具的月销售量y(个)与销售单价x(元/个)之间满足一次函数关系，销售单价与月销售量、月销售利润w(元)的对应值如下表：
销售单价x/(元/个) 30 35 40 45
月销售量y/个 230 180 130 m
月销售利润w/元 2 300 2 700 2 600 2 000
当销售单价定为________元/个时，月销售利润最大．由于生产玩具成本增加，商场购进玩具的价格提高n元/个(0＜n≤7，n为整数)，商场规定每件玩具的销售单价不能低于40元/个，该商场在今后的销售中，月销售量与销售单价的函数关系不变．若月销售利润最大是2 340元，则n的值是________．
36.5
2
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(1)求m关于t的函数表达式．
(2)哪一天的销售利润最大，最大利润是多少？
(3)若在最后10天，公司决定每销售1千克产品就捐赠a元给“环保公益项目”，且希望扣除捐赠后每日的利润不低于3 600元以维持各种开支，求a的最大值(结果精确到0.01)．
返回(共47张PPT)
第1章 二次函数
*1.3 不共线三点确定二次函数的表达式
1．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过(1，－1)，(2，－4)，(0，4)三点，那么它的对称轴是直线( )
A．x＝－3 B．x＝－1
C．x＝1 D．x＝3
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D
2．已知一个二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数y的几组对应值如下表：
x … －4 －2 0 3 5 …
y … －24 －8 0 －3 －15 …
则下列关于这个二次函数的结论正确的是( )
A．图象的开口向上
B．当x＞0时，y随x的增大而减小
C．图象经过第二、三、四象限
D．图象的对称轴是直线x＝1
∵y＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，∴当x＞1时，y随x的增大而减小．故B选项不符合题意．令y＝0，得－x2＋2x＝0，解得x1＝0，x2＝2，∴抛物线与x轴的交点坐标为(0，0)和(2，0)．易知抛物线的顶点坐标为(1，1)，∴抛物线经过第一、三、四象限．故C选项不符合题意．∵二次函数的表达式为y＝－(x－1)2＋1，∴抛物线的对称轴为直线x＝1.故D选项符合题意．
【答案】D
返回
返回
B
4. 据科学计算，“长征二号”F运载火箭在点火后第一秒通过的路程为2 km，第二秒时共通过了6 km的路程，第三秒时共通过了12 km的路程，在这一过程中路程与时间成二次函数关系，在达到离地面240 km的高度时，火箭程序拐弯，则这一过程需要的时间大约是( )
A．10 s B．13 s C．15 s D．20 s
∴y＝x2＋x.当y＝240时，x2＋x＝240，解得x＝15或x＝－16(不合题意，舍去)，∴这一过程需要的时间大约是15 s．故选C.
【答案】C
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5. 若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过点A(2，0)，B(－1，0)，且与y轴交于点C.若OC＝2，则y的取值范围是____________．
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6．已知直线y＝－x＋5与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A，B两点，顶点为P.
(1)求抛物线的表达式及顶点P的坐标；
(2)若将该二次函数的图象先向右平移m个单位，再向下平移m个单位(m>0)，平移后的抛物线过点C(2，3)，求m的值．
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根据题意，得平移后的抛物线的表达式为
y＝－(x－2－m)2＋9－m，
将点C(2，3)的坐标代入上式，得
－(2－2－m)2＋9－m＝3，解得m1＝－3，m2＝2.
又∵m＞0，∴m＝2.
7. 某中学校本课程“物理与数学”学习小组对一款热水器的工作电路展开研究，如图①，将滑动变阻器R的滑片从一端滑到另一端，绘制出滑动变阻器R消耗的电功率P随电流I变化的关系图象，
如图②所示，且该图象是经过原点的一条抛物线的一部分，则滑动变阻器R消耗的电功率P最大为( )
A．160 W
B．180 W
C．200 W
D．220 W
∵－55＜0，∴当I＝2 A时，P取最大值为220 W．
∴滑动变阻器R消耗的电功率P最大为220 W．故选D.
【答案】D
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【点拨】易知二次函数的开口越小，|a|值越大．分以下两种情况：当a>0时，如图①，建立平面直角坐标系．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A(－1，0)，B(2，0)，C(1，－3)或A(－1，0)，
D(3，0)，C(1，－3)．易得过
A(－1，0)，B(2，0)，C(1，－3)
三点的抛物线的开口最小．
则抛物线的表达式为y＝a(x＋1)(x－2)，将点C(1，－3)的坐标代入，得－3＝－2a，解得a＝；当a<0时，如图②，建立平面直角坐标系，
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象
经过B(2，0)，D(3，0)，C(1，
－3)三点，则抛物线的表达式
为y＝a(x－3)(x－2)，
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【答案】A
9．如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA＝1，tan∠BAO＝3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A，B，C，则抛物线的顶点坐标为________．
(－1，4)
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(0，－m)
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11．如图，已知抛物线y1＝x2＋bx＋c与x轴交于两点O(0，0)，A(2，0)，若抛物线y2＝x2－8x＋t与抛物线y1＝x2＋bx＋c交于点C，过点C作直线MN，分别交抛物线y1和y2于点M，N(M，N均不与点C重合)，
设点M的横坐标为m，点N的横坐
标为n，则|m－n|＝________.
6
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12. 龙的英文不再翻译为dragon，而是loong.在中国，龙的形象非常正面，与西方巨型魔怪的龙不同，中国的龙不仅是尊贵的，还是友好和善的．我们不妨定义：在平面直角坐标系中，满足横坐标与纵坐标之和为5的点叫作“loong点”，根据“loong点”的定义，解答下列问题：
(1)判断下列各函数图象上是否存在“loong点”，若存在，在“( )”里打“√”；若不存在，在“( )”打“×”．
①y＝3x ( )；
②y＝x＋1 ( )；
③y＝－x2＋x ( )．
√
√
×
(2)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，请判断该图象上的“loong点”的个数，并求出相应的“loong点”的坐标．
(3)在(2)的条件下，选取该二次函数图象上两个“loong点”，分别记为点M，N，请问该二次函数图象的对称轴上是否存在点P，使得△MPN的面积为5？若存在，求出满足条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
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