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第2章 圆
2．5 直线与圆的位置关系
2.5.4 三角形的内切圆
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C
1．下列说法错误的是( )
A．三角形的内切圆与三角形的三边都相切
B．一个三角形一定有唯一一个内切圆
C．一个圆一定有唯一一个外切三角形
D．等边三角形的内切圆与外接圆是同心圆
2. 某旅游景区内有一块三角形绿地ABC，现要在绿地ABC内建一个休息点O，使它到AB，BC，AC三边的距离相等，下列作法正确的是( )
D
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3．如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA.若∠CAI＝37°，则∠OBC的度数为( )
A．37°
B．20°
C．16°
D．14°
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C
【点拨】根据点D是△ABC的内心，画出△ABC的内切圆⊙D，如图，过点D作DE⊥AB，DF⊥BC，DH⊥AC，垂足分别为点E，F，H，连接AD，CD.根据内切圆的性质可知，垂足E，F，H也是△ABC三边与⊙D的切点，∴DE＝DF＝DH，
AE＝AH，BE＝BF，CF＝CH.
【答案】 C
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5. 我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示)．若直角三角形的内切圆半径为2，大正方形的面积为169，则小正方形的面积为________．
49
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6．如图，O是△ABC的外心，I是△ABC的内心，连接AI，BI，延长AI分别交BC和⊙O于点D，E，连接BE.
(1)求证： EB＝EI；
【证明】∵I是△ABC的内心，
∴AE平分∠CAB，BI平分∠ABC.
∴∠BAE＝∠CAE，∠ABI＝∠CBI.
∵∠BIE＝∠BAE＋∠ABI，∠IBE＝∠IBD＋∠EBD，∠CBE＝∠CAE，∴∠BIE＝∠EBI.∴EB＝EI.
(2)若AB＝8，AC＝6，BE＝4，求AI的长．
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【点拨】如图．∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，△ABC的内切圆和外接圆是同心圆．设圆心为O，连接AO并延长，交BC于点D.易知AD⊥BC.设AC与△ABC的内切圆相切于点E，连接OE，
则OE⊥AC，根据题意得OE＝OD＝r，
AO＝R，AD＝h，∴h＝R＋r，故A
正确，不符合题意；
【答案】 C
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【答案】 C
24
设OE＝OC＝x，则AD＝AC＝14－x，BD＝BE＝13－x，∴13－x＋14－x＝15，解得x＝6.∴点P的坐标为(6，4)．∴k＝6×4＝24.
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10．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝8，E是BC边上一点，且BE＝2，点I是△ABC的内心，BI的延长线交AC于点D，P是BD上一动点，连接PE，PC，则PE＋PC的最小值为________．
【点拨】如图，在AB上取点F，使BF＝BE＝2，连接PF，CF，过点F作FH⊥BC于点H.∵I是△ABC的内心，∴BI平分∠ABC.∴∠ABD＝∠CBD.又∵BP＝BP，BF＝BE，∴△BFP≌△BEP.
∴PF＝PE.∴PE＋PC＝
PF＋PC≥CF.
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11．如图，把Rt△OAB置于平面直角坐标系中，点A的坐标为(0, 4)，点B的坐标为(3, 0)，点P是Rt△OAB内切圆的圆心，将Rt△OAB沿x轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合，第1次滚动后圆心为P1，第2次滚动后圆心为P2，…，以此规律递推，第2 025次后，Rt△OAB内切圆的圆心P2 025的
坐标为____________．
(8 101，1)
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∴P3(3＋5＋4＋1，1)，即P(13，1)，每滚动3次为一个循环．∵2 025÷3＝675，∴第2 025次滚动后，Rt△OAB内切圆的圆心P2 025的横坐标是675×(3＋5＋4)＋1＝8 101，∴P2 025的坐标为(8 101，1)．
12．如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，∠BAD＝∠CAD，CE∥AD，CE交BA的延长线于点E，BC＝8，AD＝3.
(1)求CE的长；
【解】∵AD是边BC上的中线，CE∥AD，
∴AD为△BCE的中位线．∴CE＝2AD＝6.
(2)求证：△ABC为等腰三角形；
【证明】∵CE∥AD，∴∠BAD＝∠E，∠CAD＝∠ACE.
∵∠BAD＝∠CAD，∴∠ACE＝∠E.∴AE＝AC.
由(1)知AD为△BCE的中位线，∴AB＝AE.∴AB＝AC.∴△ABC为等腰三角形．
(3)求△ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离．
【解】如图，作△ABC的内切圆⊙Q和外接圆⊙P，连接BP，BQ，CP，CQ，易得∠ADB＝∠BDP＝90°，A，Q，D，P四点共线．
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13. 使用“面积法”解决下列问题：
(1)若Rt△ABC的两条直角边长分别为3和4，则它的内切圆半径为________；
1
(2)如图①，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，AD是BC边上的高，求AD的长及△ABC的内切圆半径；
【解】设BD＝x，则CD＝14－x，设△ABC的内切圆半径为r，在Rt△ABD中，AD2＝AB2－BD2＝152－x2，
(3)若△ABC的周长为l，面积为S，内切圆⊙O的半径为r，直接写出r与S，l之间的关系；
(4)若四边形ABCD存在内切圆(与各边都相切的圆)，如图②，且四边形ABCD的面积为S，各边长分别为a，b，c，d，试推导四边形的内切圆半径公式；
(5)如图③，在四边形ABCD中，半径为r1的⊙O1与半径为r2的⊙O2分别为△ABD与△BCD的内切圆，⊙O1与△ABD的三边分别相切于点E，F，G，若∠ADB＝90°，AE＝8，BC＋CD＝20，S△DBC＝36，
r2＝2，求r1的值．
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第2章 圆
2．5 直线与圆的位置关系
2．5.2 圆的切线
第1课时 切线的判定
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D
1．如图，点B在⊙A上，点C在⊙A外，以下条件不能判定BC是⊙A的切线的是( )
A．∠A＝50°，∠C＝40°
B．∠B－∠C＝∠A
C．AB2＋BC2＝AC2
D．⊙A与AC的交点是AC的中点
2．[2025天津南开区期末]如图，⊙O的半径为3，A为⊙O上一点．按以下步骤作图：①连接OA；②以点A为圆心，3为半径作弧，交⊙O于点B；③在射线OB上截取BC＝OB；④连接AC.则下列说法中错误的是( )
A．∠AOB＝60° B．AC为⊙O的切线
C．AC＝6 D．∠ACO＝30°
C
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3. 如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接BC并延长至点T，连接AT，AC，要使直线AT是⊙O的切线，需要添加的一个条件是______________________．(写一个条件即可)
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∠TAC＝∠B(答案不唯一)
4．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，DE⊥AC，垂足为E，ED的延长线与AB的延长线交于点F.求证：EF是⊙O的切线．
【证明】如图，连接OD，AD.
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°.∴AD⊥BC.
又∵AB＝AC，∴BD＝CD.
又∵OA＝OB，∴OD为△BAC的中位线．
∴OD∥AC.又∵DE⊥AC，∴OD⊥DE.
又∵OD为⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线．
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5．如图，在坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，与该圆弧相切的是( )
A．点(0，3)
B．点(1，3)
C．点(6，0)
D．点(6，1)
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B
6. 发动机的曲柄连杆将直线运动转化为圆周运动，如图是其示意图．
点A在直线l上往复运动，推动点B做圆周运动形成⊙O，AB与BO表示曲柄连杆的两直杆，点C，D是直线l与⊙O的交点；当点A运动到E时，点B到达C；当点A运动到F时，点B到达D.若AB＝12，OB＝5，则下列结论正确的是( )
A．FC＝2 B．当AB与⊙O相切时，EA＝4
C．EF＝12 D．当OB⊥CD时，EA＝AF
【点拨】由题意可得AB＝CE＝DF＝12，AB＋BO＝OE＝17，OC＝OB＝OD＝5.∴FC＝FD－CD＝12－5－5＝2，故A正确．∴EF＝CE－CF＝12－2＝10，故C错误．
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【答案】 AB
7．如图，已知AB为⊙O的直径，F为⊙O上一点，AC平分∠BAF且交⊙O于点C，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D，延长AB，DC交于点E，连接BC，CF.
(1)求证：CD是⊙O的切线；
【证明】如图，连接OC.∵CD⊥AF，∴∠D＝90°.
∵AC平分∠BAF，∴∠BAC＝∠CAD.
∵OC＝OA，∴∠OCA＝∠OAC.
∴∠OCA＝∠CAD.∴OC∥AD.
∴∠OCE＝∠D＝90°.∴OC⊥CD.
又∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线．
(2)若AD＝6，DE＝8，求BE的长；
(3)求证：AF＋2DF＝AB.
【证明】如图，过C作 CG⊥AE于点G，则∠BGC＝∠AGC＝90°＝∠ADC.
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第2章 圆
2．5 直线与圆的位置关系
*2.5.3 切线长定理
1．如图，已知PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，下列结论中错误的是( )
A．∠1＝∠2
B．PA＝PB
C．AB⊥OP
D．AB平分OP
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D
2．如图，EA，ED是⊙O的切线，切点为A，D，点B，C在⊙O上，若∠BAE＋∠BCD＝236°，则∠E＝( )
A．56°
B．60°
C．68°
D．70°
C
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3．如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于点A，B，CD切⊙O于点E，分别交PA，PB于点C，D，若PA＝8，则△PCD的周长为( )
A．8
B．12
C．16
D．20
【点拨】 ∵PA，PB分别切⊙O于点A，B，CD切⊙O于点E，∴PA＝PB＝8，AC＝EC，BD＝ED.∴PC＋CD＋PD＝PC＋CE＋DE＋PD＝PC＋AC＋BD＋
PD＝PA＋PB＝8＋8＝16，即△PCD的周长为16.
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【答案】 C
4．将刻度尺、含60°角的直角三角尺和量角器如图摆放(无重叠部分)，若三角尺60°角的顶点A在刻度尺上的读数是5 cm，量角器与刻度尺接触点在刻度尺上的读数是7 cm，量角器与三角尺的接触点为B.
该量角器的直径长为________cm.
(结果保留根号)
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5. 我们古代数学家擅长通过计算来研究图形的性质．例如《测圆海镜》卷中记载：“假令有圆城一所，不知周径．四面开门，门外纵横各有十字大道……其东南十字道头定为巽地……或问甲、乙二人同立于巽地，乙西行四十八步而立，甲北行九十步，望乙与城参相直，问径几何？”意思是：
如图，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，已知AC＝48步，BC＝90步，AB与⊙O相切于点D，CA，CB分别与⊙O相切于点E，F，求⊙O的半径．根据题意，⊙O的半径是________步．
120
【点拨】如图，连接OD，OE，OF.∵CA，CB是⊙O的切线，E，F为切点，∴OF⊥CF，OE⊥CE.∴∠F＝∠E＝90°.又∵∠ACB＝90°，∴四边形OECF是矩形．∵OE＝OF，∴四边形OECF是正方形．设OE＝OF＝EC＝FC＝r步，则BF＝FC－BC
＝(r－90)步，AE＝EC－AC＝
(r－48)步．
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6．如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于点E，F，G，且AB∥CD，连接OB，OC.
(1)求证：OB⊥OC；
(2)若OB＝6，OC＝8，求CG－BE的值．
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【点拨】如图，连接OM，OC.∵∠ABC＝30°，∴∠AOC＝2∠ABC＝60°.∵MA，MC分别为⊙O的切线，∴MA＝MC，且∠MAO＝∠MCO＝90°.
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【答案】 A
8．如图，在△ABC中，BC＝5，⊙P与△ABC的边或边的延长线相切．若⊙P的半径为4，△ABC的面积为13，则△ABC的周长为________．
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9．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为________．
【点拨】如图，连接OE，OF，ON，OG.∵在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，∴∠A＝∠B＝∠C＝90°，CD＝AB＝4，AD＝BC＝5.∵AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，∴∠AEO＝∠AFO＝∠OFB＝∠BGO＝90°.∵EO＝FO＝GO，
∴四边形AFOE，FBGO是正方形，
∴易知AF＝BF＝AE＝BG＝2，
∴DE＝3.
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10．如图，在△ABC中，AO平分∠BAC交BC于点O，以点O为圆心，BO长为半径的⊙O与AB相切于点B，与BC相交于点D.
(1)求证：AC是⊙O的切线；
【证明】过点O作OE⊥AC，垂足为E.∵以点O为圆心，BO长为半径的⊙O与AB相切于点B，∴OB⊥AB.∵AO平分∠BAC，∴OE＝OB，∴OE是⊙O的半径．又∵OE⊥AC，∴AC是⊙O的切线．
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11. 如图，AB是⊙O的直径，点D，F是⊙O上异于A，B的点．点C在⊙O外，CA＝CD，延长BF，与CA的延长线交于点M，点N在BA的延长线上，∠AMN＝∠ABM，AM·BM＝AB·MN.点H在直径AB上，
∠AHD＝90°，E是线段DH的中点．
(1)求∠AFB的度数；
【解】∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB＝90°.
(2)求证：直线CM与⊙O相切；
∵∠NAM＋∠MAB＝180°，
∴∠NAM＝∠MAB＝90°.
∴OA⊥CM.
∵OA为⊙O的半径，∴直线CM与⊙O相切．
(3)看一看，想一想，证一证：以下与线段CE、线段EB、线段CB有关的三个结论：CE＋EB＜CB，CE＋EB＝CB，CE＋EB＞CB，你认为哪个正确？请说明理由．
【解】正确的结论为CE＋EB＝CB.理由：
连接OC，OD，过点B作⊙O的切线，交CD的延长线于点K，设BC与DH交于点G，如图．
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∵CA＝CD，∴GH＝GD.∴G是线段DH的中点．
又∵E是线段DH的中点，∴点G与点E重合．
∴线段BC经过点E.∴CE＋EB＝CB.(共35张PPT)
第2章 圆
2．5 直线与圆的位置关系
2.5.1 直线与圆的位置关系
1. “海日生残夜，江春入旧年”，如图是日出时的美景，图中太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是( )
A．相切
B．相交
C．相离
D．平行
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B
2. 在平面直角坐标系xOy中，以点(3，4)为圆心，方程x2－3x－4＝0的一个根为半径的圆一定( )
A．与x轴相交，与y轴相切
B．与x轴相离，与y轴相交
C．与x轴相切，与y轴相交
D．与x轴相切，与y轴相离
C
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3．在 ABCD中，BC＝5，S ABCD＝20.如果以顶点C为圆心，BC长为半径作⊙C，那么⊙C与边AD所在直线的公共点的个数是( )
A．3 B．2 C．1 D．0
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B
4. 已知⊙O的直径为10 cm，⊙O与直线l有两个交点，则圆心O到直线l的距离可能为________________．
4 cm(答案不唯一)
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5．如图，在直线l上有相距12 cm的两点A和O(点A在点O的右侧)，以点O为圆心，2 cm为半径作圆，过点A作直线AB⊥l.将⊙O以2 cm/s的速度向右移动(点O始终在直线l上)，则经过________s时，⊙O与直线AB相切．
5或7
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【点拨】∵点O到直线AB的距离为12 cm，∴当⊙O向右移动(12－2) cm或(12＋2) cm时，⊙O与直线AB相切．∵(12－2)÷2＝5(s)，(12＋2)÷2＝7(s)，∴经过5 s或7 s时，⊙O与直线AB相切．
6. 在△ABC中，AB＝5 cm，BC＝4 cm，AC＝3 cm.
(1)若以点C为圆心，2 cm为半径画⊙C，判断直线AB与⊙C的位置关系；
【解】∵AB＝5 cm，BC＝4 cm，AC＝3 cm，
∴AC2＋BC2＝AB2.
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°.
(2)若直线AB与半径为r cm的⊙C相切，求r的值；
【解】由(1)知CD⊥AB，CD＝2.4 cm.
∴当r＝2.4时，直线AB与半径为r cm的⊙C相切．
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(3)若线段AB与半径为r cm的⊙C有唯一公共点，求r的取值范围．
【解】线段AB与半径为r cm的⊙C有唯一公共点，分两种情况：①当⊙C与AB相切时，即r＝2.4；
②当点A在⊙C内部，点B在⊙C上或在⊙C外部时，即3【答案】C
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8．已知直线y＝kx(k≠0)经过点(12，－5)，将直线向上平移m(m＞0)个单位，若平移后得到的直线l与半径为6的⊙O相交(点O为坐标原点)，则m的取值范围为____________．
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(1)求⊙P与直线x＝2相切时点P的坐标；
(2)请直接写出⊙P与直线x＝2相交、相离时x的取值范围．
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【解】当－1＜x＜5时，⊙P与直线x＝2相交；
当x＜－1或x＞5时，⊙P与直线x＝2相离．
【解】当－1＜x＜5时，⊙P与直线x＝2相交；
当x＜－1或x＞5时，⊙P与直线x＝2相离．
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6.点E为CD边上的一个动点(不与C，D重合)，⊙O是△BCE的外接圆．
(1)若CE＝2，⊙O交AD于点F，G，求FG的长度；
【解】如图①，过点O作OM⊥FG于点M，延长MO交BC于点N，连接OG，则∠DMN＝90°，FM＝GM.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠D＝90°，
∴BE是⊙O的直径．
∵∠C＝∠D＝∠DMN＝90°，
∴四边形MNCD是矩形，
∴MN⊥BC，MN＝CD＝AB＝4，∴BN＝CN.
∵OB＝OE，∴ON是△BCE的中位线，
(2)若CE的长度为m，⊙O与直线AD的位置关系随着m的值变化而变化，试探索⊙O与直线AD的位置关系及对应的m的取值范围．
【解】如图②，当⊙O与直线AD相切于点M时，连接OM并反向延长交BC于点N.
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11. 【新知】19世纪英国著名文学家和历史学家卡莱尔给出了一元二次方程x2＋bx＋c＝0的几何解法：如图①，在平面直角坐标系中，已知点A(0，1)，B(－b，c)，以AB为直径作⊙P.若⊙P交x轴于点
M(m，0)，N(n，0)，则m，n为
方程x2＋bx＋c＝0的两个实数根．
【探究】
(1)由勾股定理得AM2＝12＋m2，BM2＝c2＋(－b－m)2，AB2＝(1－c)2＋b2.在Rt△ABM中，AM2＋BM2＝AB2，所以12＋m2＋c2＋(－b－m)2＝(1－c)2＋b2.化简得m2＋bm＋c＝0.同理可得________________．所以m，n为方程x2＋bx＋c＝0的两个实数根；
n2＋bn＋c＝0
【点拨】连接AN，BN，则AN2＝12＋n2，BN2＝c2＋(－b－n)2，AB2＝(1－c)2＋b2.在Rt△ABN中，AN2＋BN2＝AB2，∴12＋n2＋c2＋(－b－n)2＝(1－c)2＋b2，化简得n2＋bn＋c＝0.
【运用】
(2)在图②中的x轴上画出以方程x2－3x－2＝0两根为横坐标的点M，N；
(3)已知点A(0，1)，B(6，9)，以AB为直径作⊙C.判断⊙C与x轴的位置关系，并说明理由；
【解】⊙C与x轴相切．理由：
由题意得方程为x2－6x＋9＝0.
∵Δ＝b2－4ac＝(－6)2－4×1×9＝0，
∴方程x2－6x＋9＝0有两个相等的实数根．
∴⊙C与x轴只有一个交点，即⊙C与x轴相切．
【拓展】
(4)在平面直角坐标系中，已知两点A(0，a)，B(－b，c)，若以AB为直径的圆与x轴有两个交点M，N，则以点M，N的横坐标为根的一元二次方程是____________．
x2＋bx＋ac＝0
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第2章 圆
2．5 直线与圆的位置关系
2．5.2 圆的切线
第2课时 切线的性质
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B
1．如图，AB为⊙O的切线，点A为切点，OB交⊙O于点C，点D在⊙O上，连接AD，CD，OA，若∠ADC＝25°，则∠ABO的度数为( )
A．35° B．40°
C．50° D．55°
【点拨】A.∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°.∴AD⊥BC.故A正确；B.∵AC是⊙O的直径，AB是⊙O的切线，∴CA⊥AB，即∠CAB＝90°.故B正确；
【答案】 ABD
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3．[2025福建]如图，PA与⊙O相切于点A，PO的延长线交⊙O于点C.AB∥PC，且交⊙O于点B.若∠P＝30°，则∠BCP的大小为( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．75°
【点拨】如图，连接OA，OB，则OA＝OB＝OC.∵PA与⊙O相切于点A，∴OA⊥AP.∵∠P＝30°，∴∠POA＝90°－30°＝60°.∵AB∥PC，∴∠POA＝∠OAB＝60°.∴△AOB为等边三角形，∴∠AOB＝60°，
∴∠BOC＝180°－∠POA－∠AOB＝60°，
∴△BOC为等边三角形，
∴∠BCP＝60°.故选C.
【答案】 C
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4．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点O在四边形ABCD内部，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，连接OA，OB.若∠AOB＝140°，∠BCP＝35°，则∠ADC的度数为________．
105°
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5．如图，OA是⊙O的半径，BC是⊙O的弦，OA⊥BC于点D，AE是⊙O的切线，AE交OC的延长线于点E.若∠AOC＝60°，BC＝3，则线段AE的长为________．
3
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6. “板车”具有悠久的历史，是上世纪90年代以前农村主要运输及交通工具．如图是板车侧面的部分示意图，AB为车轮⊙O的直径，过圆心O的车架AC一端点C着地时，地面CD与车轮⊙O相切于点D，连接AD，BD.
(1)求证：∠ADC＝∠DBC；
【证明】如图，连接OD.∵CD是⊙O的切线，
∴∠ODC＝90°.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.
∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA.
∵∠DBC＝∠ADB＋∠OAD＝90°＋
∠OAD，
∠ADC＝∠ODC＋∠ODA＝90°＋∠ODA，
∴∠ADC＝∠DBC.
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7．如图，AB是圆O的直径，PQ切圆O于点E，AC⊥PQ于点C，AC交圆O于点D，若OA＝5，EC＝4，则AD的长为( )
A．4
B．5
C．6
D．8
【答案】C
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【点拨】如图，连接OA，OB，BD，OE，延长EO交AB于点F，则∠AOB＝120°.∵CD与⊙O相切于点E，∴EF⊥CD.易得CD∥AB，DB⊥AB.∴EF⊥AB.∴易得四边形BDEF是矩形，AF＝BF.∴BD＝EF.
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【答案】C
【点拨】如图，作CF⊥AB交AB的延长线于点F，连接DE.∵AB∥CD，AD⊥AB，∴∠FAD＝∠ADC＝∠F＝90°，∴四边形ADCF为矩形，∴AF＝DC，AD＝CF.∵以D为圆心，AD为半径的
弧恰好与BC相切，切点为E，
∴DE⊥BC.∴易得AB＝BE.
设AB＝BE＝a(a>0)，CE＝x(x>0)，∴CD＝3a，BC＝BE＋CE＝a＋x，∴BF＝AF－AB＝CD－AB＝2a.∵DE＝AD＝CF，在Rt△DEC中，DE2＝CD2－CE2＝(3a)2－x2，在Rt△BFC中，CF2＝BC2－BF2＝(a＋x)2－(2a)2，∴(3a)2－x2＝(a＋x)2－(2a)2，解得x1＝2a，x2＝－3a(舍)，
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【答案】B
10. 如图，⊙M的圆心为M(4，0)，半径为2，P是直线y＝x＋4上的一个动点，过点P作⊙M的切线，切点为Q，则PQ的最小值为________．
【点拨】如图，记直线y＝x＋4与x轴、y轴分别交于A，K两点，连接QM，PM，KM.当x＝0时，y＝4；当y＝0时，x＋4＝0，解得x＝－4.∴K(0，4)，A(－4，0)．又∵M(4，0)，∴OA＝OK＝OM＝4.∴△OAK，△OKM均是等腰直角三角形．
∴∠AKO＝∠MKO＝45°.
∴∠AKM＝90°.∴MK⊥AK.
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11．如图①是一段圆柱形的树干的示意图，已知树干的半径r＝10 cm，AD＝45 cm，该圆柱的侧面展开图如图②所示，蝉N在半径为10 cm的⊙O上运动，⊙O与BC相切，点O到CD的距离为20 cm，螳螂M在线段AD上运动，连接MN，MN即为螳
螂捕蝉时螳螂爬行的距离，
若要使MN与⊙O总是相切，
则MN的长度范围为
_____________________．(π取3)
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12. 【阅读资料】我们把顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫作弦切角，如图①中∠PAB所示．同学们研究发现：P为圆上任意一点，若弦AC经过圆心O，且AB切⊙O于点A，此时弦切角∠CAB＝∠P(如图②)．
证明：∵AB切⊙O于点A，∴∠CAB＝90°.∵AC是直径，∴∠P＝90°.∴∠CAB＝∠P.
【问题拓展】若AC不经过圆心O，如图③，当圆心O在∠PCA的内部时，∠CAB＝∠P还
成立吗？如图④，当圆心O在
∠PCA的外部时，∠CAB＝∠P
还成立吗？请说明理由．
【解】当圆心O在∠PCA的内部时，∠CAB＝∠P成立．理由如下：连接AO并延长交⊙O于点D，连接CD，如图①，则∠D＝∠P.
∵AD为直径，∴∠ACD＝90°，
∴∠D＋∠CAD＝90°.
∵AB切⊙O于点A，∴AD⊥AB，
∴∠CAB＋∠CAD＝90°.∴∠CAB＝∠D＝∠P.
当圆心O在∠PCA的外部时，∠CAB＝∠P成立．
理由如下：
连接AO并延长交⊙O于点D′，连接PD′，
如图②，则∠C＝∠D′，
易知∠PAD＝∠D′，∴∠PAD＝∠C.
又∵∠C＋∠PAC＋∠CPA＝180°，∠PAD＋∠PAC＋∠CAB＝180°，∴∠CAB＝∠CPA.
【知识运用】如图⑤，AD是△ABC中∠BAC的平分线，经过点A的⊙O与BC相切于点D，与AB，AC分别相交于E，F.求证：EF∥BC.
【证明】如图③，连接DF.
∵AD是△ABC中∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD.
∵经过点A的⊙O与BC相切于点D，
∴易得∠CDF＝∠CAD.∴∠BAD＝∠CDF.
∵∠BAD＝∠DFE，∴∠CDF＝∠DFE，∴EF∥BC.
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【点归纳】(1)弦切角的定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫作弦切角．
(2)弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹弧所对的圆周角度数．
