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第1章 二次函数
综合与实践 汽车能通过隧道吗？
某学校数学兴趣社团利用二次函数的知识进行探究学习．
【数学建模】
他们对一个截面为抛物线且设有两条(双向)行车道的隧道进行研究(行车道分界线的宽度忽略不计，
行驶车辆不能越过分界线)，建立如图①
所示的平面直角坐标系，并画出了隧道
截面图．
【实践应用】
已知隧道的路面宽为10 m，隧道顶部最高处点P距地面‘’
6.25 m，按规定，过隧道的车辆的顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为0.5 m．现有一辆宽3 m、高3.5 m的厢式货车计划从隧道驶过．
(1)求该抛物线的表达式；
【解】根据题意可知此抛物线的顶点坐标为(5，6.25)，∴可设抛物线的表达式为y＝a(x－5)2＋6.25.
∵抛物线过点(0，0)，∴0＝a(0－5)2＋6.25，
解得a＝－0.25，
∴抛物线的表达式为y＝－0.25(x－5)2＋6.25.
(2)厢式货车能否顺利通过隧道？请说明理由．
【解】厢式货车能顺利通过隧道．理由如下：
当宽3 m、高3.5 m的厢式货车从隧道驶过时，
∵5－3＝2(m)，
∴当x＝2时，y＝－0.25×(2－5)2＋6.25＝4.
∵4－3.5＝0.5(m)，∴厢式货车能顺利通过隧道．
【问题探究】
该社团为进一步探索抛物线的有关知识，借助上述抛物线模型，设计了以下问题：
(3)如图②，在抛物线内作矩形ABCD，
使顶点C，D落在抛物线上，顶点A，
B落在x轴上．设矩形ABCD的周长为
l m，求l的最大值．
【解】设AO＝x m，可得AB＝(10－2x) m，
∴AD＝[－0.25(x－5)2＋6.25]m.
∵矩形ABCD的周长为l m，
∴l＝2[－0.25(x－5)2＋6.25]＋2(10－2x)＝
－0.5x2＋x＋20＝－0.5(x－1)2＋20.5.
∴当x＝1时，l的最大值为20.5.
(4)在(3)的条件下，如图③，在矩形ABCD的周长最大时，将矩形ABCD绕点D逆时针旋转α(0°<α<360°)，当以点P，D，C为顶点的三角形为直角三角形时，请直接写出旋转角α的度数．
【解】旋转角α的度数为90°或135°或315°.
【点拨】在(3)的条件下，当矩形ABCD的周长最大时，x＝1，y＝－0.25×(1－5)2＋6.25＝2.25，∴AB＝CD＝8 m，D(1，2.25)，∴C(9，2.25)．
当∠PDC2＝90°时，α＝∠CDC2＝45°＋90°＝135°；当∠PDC3＝90°时，α＝360°－∠CDC3＝360°－(∠PDC3－∠PDC)＝360°－45°＝315°.综上所述，旋转角α的度数为90°或135°或315°.(共28张PPT)
第1章 二次函数
专题3 二次函数与几何图形的综合
1．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)交x轴于A，B两点，交y轴于点D，点B的坐标为(3，0)，顶点C的坐标为(1，4)．
(1)求抛物线和直线BD的表达式；
【解】∵抛物线的顶点坐标为C(1，4)，∴抛物线的表达式为y＝a(x－1)2＋4，将点B(3，0)的坐标代入，
得0＝a(3－1)2＋4，解得a＝－1.
∴抛物线的表达式为y＝－(x－1)2＋4＝－x2＋2x＋3.
令x＝0，则y＝3，∴点D的坐标为(0，3)．
设直线BD的表达式为y＝kx＋3.
将点B(3，0)的坐标代入，得0＝3k＋3，解得k＝－1.
∴直线BD的表达式为y＝－x＋3.
(2)点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求线段PM长度的最大值．
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2. 如图，已知二次函数y＝x2－2x－3的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线y＝kx＋b(k≠0)经过A，C两点．
(1)直线AC的表达式为____________．
y＝x－3
(2)点P为第四象限抛物线上的一个动点，过点P作PF∥y轴交直线AC于点F.
①线段PF的最大长度是多少？
②点P到直线AC的最大距离是多少？
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3．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝－x2＋bx＋3与x轴和y轴的正半轴分别交于A，B两点，且OA＝OB，抛物线的顶点为M，连接AB，AM.
(1)求这条抛物线的表达式和顶点M的坐标；
【解】∵抛物线y＝－x2＋bx＋3与y轴交于点B，
令x＝0，得y＝3，∴B(0，3)．∴OB＝3.
又∵OA＝OB，∴OA＝3.∴A(3，0)．把A(3，0)的坐标代入y＝－x2＋bx＋3，得－9＋3b＋3＝0，解得b＝2，∴这条抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋3.∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴顶点M的坐标为(1，4)．
(2)求sin∠BAM的值；
(3)如果Q是线段OB上一点，满足∠MAQ＝45°，求点Q的坐标．
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4．如图，顶点坐标为(1，4)的抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A，B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C(0，3)，D是直线BC上方抛物线上的一个动点，连接AD交抛物线的对称轴于点E.
(1)求抛物线的表达式；
【解】由题意得y＝a(x－1)2＋4，
将点C(0，3)的坐标代入上式，得a＋4＝3，解得a＝－1.
∴抛物线的表达式为y＝－(x－1)2＋4＝－x2＋2x＋3.
(2)连接AC，CE，当△ACE的周长最小时，求点D的坐标；
【解】如图，作点C关于抛物线对称轴的对称点D′，连接AD′，ED′，则ED′＝CE，D′(2，3)，∴△ACE的周长＝AC＋CE＋AE＝AC＋AE＋D′E≥AC＋AD′，
∴当点D在点D′时，△ACE的周长最小，
此时点D的坐标为(2，3)．
(3)过点D作DH⊥x轴于点H，交直线BC于点F，连接AF.在点D运动过程中，是否存在△ACF为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【解】存在．
令y＝0，则－(x－1)2＋4＝0，解得x＝－1或x＝3，
∴A(－1，0)，B(3，0)．
易得直线BC的表达式为y＝－x＋3.
设点F(m，－m＋3)(0易得AC2＝10，AF2＝(m＋1)2＋(－m＋3)2，CF2＝2m2.
当AC＝AF时，10＝(m＋1)2＋(－m＋3)2，
解得m＝0(舍去)或m＝2，即F(2，1)；
当AF＝CF时，(m＋1)2＋(－m＋3)2＝2m2，
解得m＝2.5，即F(2.5，0.5)；
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(1)求抛物线的表达式；
(2)若点P是抛物线上B，C两点之间的一个动点(不与点B，C重合)，是否存在点P，使得四边形COBP的面积最大？若存在，求点P的坐标及四边形COBP面积的最大值；若不存在，请说明理由．
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第1章 二次函数
专题2 二次函数的图象与系数的关系
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A
2．当抛物线y＝x2－nx＋2的对称轴是y轴时，n______0；当对称轴在y轴左侧时，n______0；当对称轴在y轴右侧时，n______0.(填“＜”“＝”或“＞”)
＝
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<
>
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A
4．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋2(a≠0)的图象与x轴交于(－1，0)，(x1，0)，其中2①ab>0；②a－b＝－2；
③当x>1时，y随x的增大而减小；
【答案】C
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3
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6．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则( )
A．b＞0，c＞0
B．b＞0，c＜0
C．b＜0，c＜0
D．b＜0，c＞0
B
B
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8．[2025安徽]已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则( )
A．abc<0
B．2a＋b<0
C．2b－c<0
D．a－b＋c<0
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当x＝－1时，y＝a－b＋c>0，选项D错误．当x＝2时，y＝4a＋2b＋c＝0，∵a－b＋c>0，∴4a－4b＋4c>0.∴(4a＋2b＋c)－(4a－4b＋4c)<0.∴2b－c<0，选项C正确．故选C.
【答案】 C
9．如图，在平面直角坐标系中，直线y1＝mx＋n与抛物线y2＝ax2＋bx－3相交于点A，B.结合图象，判断下列结论：①当－2＜x＜3时，y1＞y2；②x＝3是方程ax2＋bx－3＝0的一个根；③若(－1，t1)，(4，t2)是抛物线上的两点，则t1＜t2；④对于抛物线y2＝ax2＋bx－3，当－2＜x＜3时，y2的取值范围是0＜y2＜5.
其中正确结论的个数是( )
A．4 B．3 C．2 D．1
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【答案】 B(共29张PPT)
第1章 二次函数
专题4 用二次函数解实际问题的基本类型
1. 如图①是一座抛物线形拱桥侧面示意图．水面宽AB与桥长CD均为24 m，在距离D点6 m的E处，测得桥面到桥拱的距离EF为1.5 m，以桥拱顶点O为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系．
(1)求桥拱顶部O与水面之间的距离．
(2)如图②，桥面上方有3根高度均为4 m的支柱CG，OH，DI，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面的距离为1 m.
①求出其中一条钢缆所在抛物线的表达式；
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②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求彩带的最小长度．
2． 如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，其中矩形的长OA＝12 m，宽OB＝4 m．
(1)求b，c的值，并计算出拱顶D到地面OA的距离．
(2)一辆货车载一长方体集装箱后高为6 m，宽为4 m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？
【解】由题意得货车最外侧与地面OA的交点为(1.8，0)或(10.2，0)，当x＝1.8或x＝10.2时，y＝7.06＞6，∴这辆货车能安全通过．
(3)在抛物线形拱壁上需要安装两排灯，且它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8 m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？
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3．某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙(墙的长度为10 m)，另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积比为1∶2的矩形，已知栅栏的总长度为24 m，设较小矩形与墙平行的一边长为x m(如图)．
当x＝________时，矩形养殖场的
总面积最大，最大为________．
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【点易错】在实际问题中，求二次函数的最值时，不要盲目地认为顶点的纵坐标就是函数的最值．要结合实际意义确定自变量的取值范围，根据二次函数增减性求出该范围内的最值．
(1)求出成本y2关于销售量x的函数表达式．
(2)当成本最低时，销售产品所获利润是多少？
(3)当销售量是多少吨时，可获得最大利润？最大利润是多少万元？(注：利润＝销售额－成本)
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5. 【发现问题】掷实心球是中考体育考试项目之一，明明发现实心球从出手到落地的过程中，实心球竖直高度与水平距离一直在相应的发生变化．实心球竖直高度与水平距离之间有怎样的函数关系？
水平距离x/m 0 2 4 5 6 8 9
竖直高度y/m 2 3.2 3.6 3.5 3.2 2 1.1
【分析问题】明明利用先进的鹰眼系统记录了实心球在空中运动时的水平距离x(m)与竖直高度y(m)的数据如上表，根据表中的数据建立如图所示的平面直角坐标系，根据图中点的分布情况，明明发现其图象是二次函数的一部分．
【解决问题】
(1)在明明投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是______m，实心球在空中的最大高度是______m.
(2)二次函数的表达式为____________________．
2
3.6
y＝－0.1(x－4)2＋3.6
(3)根据中考体育考试评分标准(男生版)，在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于9.7 m时，即可得满分10分，明明在此次考试中能否得到满分？
【解】明明在此次考试中能得到满分．理由如下：
把y＝0代入y＝－0.1(x－4)2＋3.6，得－0.1(x－4)2＋
3.6＝0，解得x1＝10，x2＝－2(不符合题意，舍去)，
∵10 m>9.7 m，∴明明在此次考试中能得到满分．
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第1章 二次函数
专题1 求二次函数表达式的类型
1．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝－2x＋8与抛物线y＝－x2＋bx＋c交于A，B两点，点B在x轴上，点A在y轴上．
(1)抛物线的函数表达式为______________；
y＝－x2＋2x＋8
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2. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，y和x的取值如下表所示：
x … －1 0 2 4 5 …
y … n －2 m －2 p …
(1)若n＝－7，求二次函数的表达式；
(2)用含a的代数式表示m；
(3)若nmp≤0，求a的取值范围．
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3．[2025北京理工大附中模拟]已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过点(3，0)，当x＝1时，函数的最小值为－4.
(1)求该二次函数的表达式；
【解】∵当x＝1时，函数的最小值为－4，
∴二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的顶点坐标为
(1，－4)．
∴二次函数的表达式为y＝a(x－1)2－4.
∵该二次函数的图象过点(3，0)，∴0＝(3－1)2a－4.
∴a＝1.∴二次函数的表达式为y＝(x－1)2－4，
即y＝x2－2x－3.
(2)直线x＝m与抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)和直线y＝x－3的交点分别为点C，点D.
①当m＝－1时，CD＝________；
4
②结合函数的图象，当CD≥4时，m的取值范围为____________．
m≤－1或m≥4
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4．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋3经过点A(1，0)和点B(－3，0)，与y轴交于点C，P为第二象限内抛物线上一点．
(1)求抛物线的表达式，并写出顶点坐标；
【解】∵抛物线y＝ax2＋bx＋3经过点A(1，0)和点B(－3，0)，∴y＝a(x－1)(x＋3)＝ax2＋2ax－3a.
∴－3a＝3.∴a＝－1.
∴抛物线的表达式为y＝－x2－2x＋3.
∵y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，
∴顶点坐标为(－1，4)．
(2)连接PB，PO，PC，BC，OP交BC于点D，当S△CPD∶S△BPD＝1∶2时，求点D的坐标．
【解】如图，过点D作DM⊥y轴于点M.在y＝－x2－2x＋3中，当x＝0时，y＝3，∴点C的坐标为(0，3)．∴OC＝3.∵S△CPD∶S△BPD＝1∶2，∴CD∶BD＝1∶2.易知DM∥BO，∴CD∶BD＝CM∶OM＝1∶2.∴OM＝2.
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5．如图，抛物线L：y＝ax2＋x＋c(a≠0)与x轴交于A(－2，0)，B两点，与y轴交于点C(0，3)，D为抛物线L的顶点．
(1)求抛物线L的表达式；
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6．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c分别交x轴于A(－1，0)，B(3，0)两点，且与y轴交于点C(0，－3)．
(1)求抛物线的表达式及顶点P的坐标；
【解】由题意可得抛物线的表达式为
y＝a(x＋1)(x－3)，将点C(0，－3)的坐标代入，得a＝1，
∴抛物线的表达式为y＝(x＋1)(x－3)＝
x2－2x－3＝(x－1)2－4.
∴顶点P的坐标为(1，－4)．
(2)将该抛物线绕点(4，0)旋转180°，求旋转后的抛物线的表达式．
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∵旋转前后图象的形状不变，开口方向相反，
∴易得旋转后的抛物线的表达式为y＝－(x－7)2＋4.
(1)AC的长为________．
7
(2)求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围．
(3)当正方形APDE的对称中心与点B重合时，直接写出x的值．
【解】 x＝6.
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第1章 二次函数
全章热门考点整合应用
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B
2．已知二次函数y＝(k－1)xk2－3k＋4＋2x－1，当x＝0.5时，y的值为________．
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3．[2025上海普陀区月考]在同一平面直角坐标系中，画出直线y＝ax＋b与抛物线y＝ax2＋bx，这个图形可能是( )
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D
4． 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的顶点坐标是(2，1)，且图象与y轴交于点(0，9)．将二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象以x轴为对称轴进行折叠，则折叠后得到的函数表达式为( )
A．y＝2(x－2)2＋1 B．y＝－2(x－2)2－1
C．y＝－2(x＋2)2－1 D．y＝－2(x＋2)2＋1
B
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5．在平面直角坐标系xOy中，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)是二次函数y＝－x2＋4x－1图象上三点．若0＜x1＜1，x2＞4，则y1________y2(填“＞”或“＜”)；若对于m＜x1＜m＋1，m＋1＜x2＜m＋2，m＋2＜x3＜m＋3，存在y1＜y3＜y2，则m的取值范围是______________．
＞
【点拨】∵y＝－x2＋4x－1＝－(x－2)2＋3，∴二次函数图象的开口向下，对称轴为直线x＝2.∵0＜x1＜1，x2＞4，∴|x1－2|<|x2－2|.∴y1>y2.∵m＜x1＜m＋1，m＋1＜x2x3－2>|x2－2|.∴x1＋x3＜4，且x2＋x3＞4.
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6．[2025福建]在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx－2的图象过点A(1，t)，B(2，t)．
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7．如图，抛物线y＝ax2＋c与直线y＝mx＋n交于A(－1，p)，B(3，q)两点，则不等式ax2－mx＋c＜n的解集为( )
A．x＞－1
B．x＜3
C．－1＜x＜3
D．x＜－3或x＞1
C
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【答案】 B
9．利用长为12 m的墙和40 m长的篱笆来围成一个矩形苗圃园，若平行于墙的一边长不小于6 m，有下列结论：
①垂直于墙的一边长可以为15 m；
②矩形苗圃园的最小面积是102 m2，最大面积是200 m2；
③垂直于墙的一边长有两个不同的值满足矩形苗圃园面积为128 m2.
其中正确的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【点拨】设垂直于墙的一边的长度为x m，则平行于墙的一边的长度为(40－2x) m，由题意知6≤40－2x≤12，解得14≤x≤17，∴垂直于墙的一边长可以为15 m，故①正确；设矩形苗圃园的面积为y m2，则y＝x(40－2x)＝－2x2＋
40x＝－2(x－10)2＋200.∵－2＜0，∴当x＞10时，y随x的增大而减小，∴当x＝14时，y取得最大值，最大值为168，当x＝17时，y取得最小值，最小值为102，即矩形苗圃园的最小面积是102 m2，最大面积是168 m2，故②错误；
当矩形苗圃园的面积为128 m2时，由题意得x(40－
2x)＝128，解得x1＝16，x2＝4.∵14≤x≤17，∴x＝16，∴当垂直于墙的一边长为16 m时，满足矩形苗圃园面积为128 m2，故③错误．故选B.
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【答案】 B
10. 每年5月的第三个星期日为全国助残日．某公司新研发了一批便携式轮椅，计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元．
(1)求y与x的函数表达式，每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？
(2)全国助残日当天，公司共获得销售利润12 160元，请问这天售出了多少辆轮椅？
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11．一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥．桥梁的缆索L1与缆索L2均呈抛物线形，桥塔AO与桥塔BC均垂直于桥面，如图所示，以O为原点，以直线FF′为x轴，以桥塔AO所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．
已知：缆索L1所在抛物线与缆索L2所在抛物线关于y轴对称，桥塔AO与桥塔BC之间的距离OC＝100 m，
AO＝BC＝17 m，缆索L1的最低点P到FF′的距离PD＝
2 m(桥塔的粗细忽略不计)．
(1)求缆索L1所在抛物线的函数表达式；
【解】由题易得顶点P的坐标为(50，2)，点A的坐标为(0，17)，
设缆索L1所在抛物线的函数表达式为y＝a(x－50)2＋2，
把A(0，17)的坐标代入，得17＝a(0－50)2＋2，
(2)点E在缆索L2上，EF⊥FF′，且EF＝2.6 m，FO＜OD，求FO的长．
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12．[2025嘉兴期末]已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，对称轴为直线x＝1.有下列结论：①abc＞0；②b2＜4ac；③a－b＋c＜0；④a＋b＞m(am＋b)(m≠1)；⑤若方程|ax2＋bx＋c|＝1有四个根，则这四个根的和为2.其中正确的为( )
A．①② B．③④
C．③⑤ D．④⑤
【点拨】∵二次函数图象开口向下，∴a＜0.∵对称轴在y轴的右侧，∴a与b异号．∴b＞0.∵二次函数图象与y轴交于正半轴，∴c＞0，∴abc＜0，故①错误；∵二次函数图象与x轴交于不同的两点，∴b2－4ac＞0，∴b2＞4ac，故②错误；∵当x＝－1时，y＜0，∴a－b＋c＜0，故③正确；
∵对称轴为直线x＝1，∴x＝1时函数有最大值，∴当x＝1时的y值大于当x＝m(m≠1)时的y值，即a＋b＋c＞am2＋bm＋c，∴a＋b＞m(am＋b)(m≠1)成立，故④正确；将x轴下方二次函数图象翻折到x轴上方，若与直线y＝1有四个交点，则由图象的轴对称性知，关于对称轴对称的两个交点的横坐标的和为2，∴方程的四个根的和为4，故⑤错误．综上，③④正确．
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【答案】 B
【解】存在．如图，过点B作BM1⊥AB交抛物线的对称轴于点M1，过点A作AM2⊥AB交抛物线的对称轴于点M2，连接AM1，BM2.
易得对称轴为直线x＝1，∴可设
M1(1，n)，则AM12＝(0－1)2＋
(－2－n)2＝n2＋4n＋5，BM12＝
(4－1)2＋(0－n)2＝n2＋9.
在Rt△ABM1中，AB2＋BM12＝AM12.
易得AB2＝22＋42＝20.
∴20＋n2＋9＝n2＋4n＋5，
解得n＝6.∴M1(1，6)；
∴易得直线 BM1 的表达式为y＝－2x＋8.
易得AM2∥BM1，
又∵直线AM2经过点A(0，－2)，
∴易得直线 AM2 的表达式为y＝－2x－2.
∴当x＝1时，y＝－2×1－2＝－4.∴M2(1，－4)．
综上所述，点M的坐标为(1，6)或(1，－4)．
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14．[2025北京]在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过点O和点A(3，3a)．
(1)求c的值，并用含a的式子表示b；
【解】将点O(0，0)的坐标代入y＝ax2＋bx＋c，
可得c＝0，∴该抛物线的表达式为y＝ax2＋bx，
将点A(3，3a)的坐标代入y＝ax2＋bx，
可得3a＝9a＋3b，解得b＝－2a.
(2)过点P(t，0)作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线y＝ax于点N.
①若a＝1，t＝4，求MN的长；
【解】若a＝1，则该抛物线及直线的表达式分别为y＝x2－2x，y＝x，
当t＝4时，点P的坐标为(4，0),
如图①，∵PM⊥x轴，∴xM＝xN＝4.
将x＝4代入y＝x2－2x，可得y＝42－2×4＝8，
即M(4，8)，
将x＝4代入y＝x，可得y＝4，即N(4，4)，
∴MN＝8－4＝4.
②已知在点P从点O运动到点B(2a，0)的过程中，MN的长随OP的长的增大而增大，求a的取值范围．
【解】在点P从点O运动到点B(2a，0)的过程中，
∵PM⊥x轴，P(t，0)，∴xM＝xN＝t.
将x＝t代入y＝ax2－2ax，可得y＝at2－2at，即M(t，at2－2at)，
将x＝t代入y＝ax，可得y＝at，即N(t，at)，
∴MN＝|at2－2at－at|＝|at2－3at|.
令MN＝0，即at2－3at＝0，解得t＝0或t＝3.
若a>0，则2a>0，即点B在y轴右侧，如图②，
当0∵MN的长随OP的长的增大而增大，即MN的长随t的增大而增大，
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