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第2章 圆
2．7 正多边形与圆
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B
1．以下说法：①各角相等的多边形是正多边形；②各边相等的三角形是正三角形；③各角相等的圆内接多边形是正多边形；④各顶点等分外接圆的多边形是正多边形；⑤正多边形既是轴对称图形又是中心对称图形．正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2. 苯分子的环状结构是由约翰·约瑟夫·洛希米特提出的，随着研究的不断深入，发现苯分子中的6个碳原子与6个氢原子均在同一平面，且所有碳碳键的键长都相等(如图①)，组成了一个完美的六边形(正六边形)，图②是其平面示意图，则∠1的度数为( )
A．130°
B．120°
C．110° D．60°
B
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【答案】D
4．如图，正方形ABCD是半径为r的⊙O的内接四边形，若r＝6，则正方形 ABCD的边心距为________．
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5．如图，AC是⊙O内接正六边形的一边，点B在劣弧AC上，且BC是⊙O内接正八边形的一边．此时AB是⊙O内接正n边形的一边，则n的值是________．
24
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【点拨】如图，连接OA，OB，OC.∵AC是⊙O的内接正六边形的一边，∴∠AOC＝360°÷6＝60°.∵BC是⊙O内接正八边形的一边，
∴∠BOC＝360°÷8＝45°.
∴∠AOB＝∠AOC－∠BOC＝
60°－45°＝15°.∴n＝360°÷15°＝24 .
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6．请用直尺(没有刻度)和圆规在已知⊙O中作出正七边形BGHMNPQ.要求：不写作法，但要保留作图痕迹．
【解】如图所示，七边形BGHMNPQ为所要作的正七边形．
【点拨】如图，连接OE，根据DE≥OD－OE，可知当D，E，O三点共线，即点E位于点E′处时，DE最小．∵边长为2的△ABC是等边三角形，点A的坐标为(0，6)，BC的中点D在y轴上，∴AD⊥BC，OA＝6，
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【答案】 B
8．将7个边长均为6的正六边形不重叠、无缝隙的按如图所示摆放，O是中间正六边形的中心．
(1)∠α＝________°；
30
(2)已知点M在边AB上，且AM＝2，若经过点M的直线l将整个图形的面积平分，则直线l被整个图形所截的线段长是________．(结果保留根号)
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9. 我国伟大的数学家刘徽在《九章算术注》中指出，“周三径一”不是圆周率值，实际上是圆内接正六边形周长和直径的比值．刘徽发现，圆内接正多边形边数无限增加时，多边形的周长就无限逼近圆周长，从而创立“割圆术”，为计算圆周率建立起相当严密的理论和完善的算法．
【点拨】易知点O在FC上．连接OB，OG，过点G作GK⊥OC于K，如图所示．设圆O的半径为r.∵六边形ABCDEF是圆O的内接正六边形，∴∠BOC＝60°，∠BOF＝120°，OB＝OC＝OF＝OG＝r.∴易知BC＝r.
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10．如图①，正五边形ABCDE内接于⊙O，阅读以下作图过程，并回答下列问题：
作法：1.作直径AF; 2.以F为圆心，FO长为半径作圆弧，与⊙O交于点M，N; 3.连接AM，MN，NA.如图②.
(1)求∠ABC的度数．
(2)△AMN是正三角形吗？请说明理由．
【解】△AMN是正三角形．
理由如下：连接ON，NF，如图．
由题意可得FN＝OF＝ON，
∴△FON是正三角形．
∴∠NFA＝60°.∴∠NMA＝60°.
同理可得∠ANM＝60°，
∴△AMN是正三角形．
(3)从点A开始，以DN长为半径，在⊙O上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n边形，求n的值．
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【证明】∵△ABC是正三角形，∴AC＝BC，∠BAC＝∠ACB＝60°.如图①，延长BP至E，使PE＝PC，连接CE.∵A，B，P，C四点共圆，∴∠BAC＋∠BPC＝180°.
∵∠BPC＋∠EPC＝180°，
∴∠CPE＝∠BAC＝60°.
又∵PE＝PC，∴△PCE是正三角形，
∴CE＝PC，∠PCE＝60°.
又∵∠BCE＝60°＋∠BCP，∠ACP＝60°＋∠BCP，
∴∠BCE＝∠ACP.∴△ECB≌△PCA.
∴PA＝BE＝PB＋PE＝PB＋PC.
【证明】如图②，连接OA，OB，过点B作BE⊥PB交PA于点E.∵∠1＋∠2＝∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3.
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第2章 圆
2．6 弧长与扇形面积
第1课时 弧长公式
1．若扇形的弧长是5π m，半径是18 m，则该扇形的圆心角是( )
A．50° B．60° C．100° D．120°
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A
B
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3. 如图，用一个半径为6 cm的定滑轮带动重物上升，假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有滑动，绳索端点G向下移动了3π cm，则滑轮上的点F旋转了( )
A．60°
B．90°
C．120°
D．45°
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B
B
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8π
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6．如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°.
(1)求∠ACB的度数；
【解】∵∠APC＝∠CPB＝60°，
∴由圆周角定理，得∠ABC＝∠APC＝60°，∠BAC＝∠BPC＝60°.
∴∠ACB＝180°－∠ABC－∠BAC＝60°.
【解】连接OB，OC，过点O作OD⊥BC于点D，如图．
∵∠BAC＝60°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝120°.
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【点易错】由于题目没有给出图形，所以这两条弦应分为在圆心同侧和圆心异侧两种情况来讨论，以免漏掉其中一种情况导致错误．
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【答案】 D
8. 2025年4月24日，“神舟二十号”航天飞船成功发射．如图，飞船在离地球大约330 km的圆形轨道上，当运行到地球表面P点的正上方点F时，从中直接看到地球表面一个最远的点是点Q.
2 010 km
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(1)直接写出OP与AB的位置关系，并求未启动时点P到地面的高度；
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(1)如图①，当AE＝3时，求∠EMF的度数；
【解】∵正方形ABCD的边长为5，
∴AD＝CD＝5.
∵AE＝3，∴DF＝ED＝2.
∵OF＝OE＝2，∴ED＝DF＝OE＝OF.
∴四边形EOFD是菱形．
(2)如图②，当四边形OEMF为菱形时，求DE的长；
【解】∵四边形OEMF为菱形，
∴EM＝MF＝OE＝OF.
∵扇形OEF所在圆的圆心O在对角线BD上，
∴OE＝OM＝EM＝2.
∴△OEM是等边三角形．
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第2章 圆
2．6 弧长与扇形面积
第2课时 扇形面积
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B
1．如图，在⊙O中，若∠ACB＝30°，OA＝6，则扇形OAB(阴影部分)的面积是( )
A．12π
B．6π
C．4π
D．2π
2．若一个扇形的半径是18 cm，面积是54π cm2，则扇形的圆心角为( )
A．30° B．60° C．90° D．120°
B
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B
4. 社会主义核心价值观是当代中国精神的集中体现，凝结着全体人民共同的价值追求．如图①所示的是一块弘扬“社会主义核心价值观”的宣传展板，该展板的部分示意图如图②所示，它是以点O为圆心，
B
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B
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6. 《九章算术》是中国古代数学名著，其对扇形面积给出“以径乘周四而一”的算法与现代数学的算法一致，如某一问题：有一扇形田地，下周长(弧长)为30 m，径长(两段半径的和)为16 m，则该扇形田地的面积为________m2.
120
7．[2025无锡期末]如图，C为⊙O上一点，AB是⊙O的直径，AB＝4，∠ABC＝30°，现将△ABC绕点B按顺时针方向旋转30°后得到△A′BC′，BC′交⊙O于点D，则图中阴影部分的面积为________．
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【答案】 C
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【答案】 B
10．如图，在3×3的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中的圆弧为格点△ABC外接圆的一部分，小正方形边长为1，图中阴影部分的面积为________．
【点拨】如图，作AB的垂直平分线MN，作BC的垂直平分线PQ，设MN与PQ相交于点O，则点O是△ABC外接圆的圆心，连接OA，OB，OC.
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12．(1)如图①，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，将Rt△ABC绕A点顺时针旋转90°得到Rt△ADE.若∠BAC＝30°，BC＝2，则线段BC扫过的面积为________；若AB＝m，AC＝n，则线段BC扫过的面积为__________
(用含m，n的式子表示)；
π
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【证明】连接BG，如图．
根据题意可知AD＝AE，BE＝BF.
又∵AB＝BC，∴CF＝AE＝AD.
∵AB＝BC＝2AD＝2，
∴易得BF＝BE＝AE＝CF＝AD＝1.
∵AD∥BC，∴四边形ABFD是平行四边形．
∴∠BFD＝∠DAB＝60°.
(2)求图中阴影部分的面积．(结果保留π)
【解】过点D作DH⊥AB于点H，如图．
由图可得S阴影＝S ABFD－S扇形AED－S扇形BEG－S△BFG.
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【点方法】对于此类求不规则图形面积的问题，一般采用作差法，即将不规则图形的面积转化为已学过的规则图形面积的差计算．
