(共38张PPT)
阶段拔尖专训4 二次函数中的存在性问题
题型1 二次函数中探究点的存在性问题
(－1，0)
(3，0)
(0，2)
(2)若点P是x轴上一点，当△BCP为等腰三角形时，求点P的坐标．
(3)点Q是二次函数图象上的一个动点(不与点A重合)，请问是否存在点Q使∠QCB＝∠ABC？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2．[2024邵阳一模]如图，已知抛物线的顶点为C，对称轴为直线x＝2，直线AB：y＝x＋m与抛物线交于A，B两点，其中点A的坐标为(5，8)，点B在y轴上．
(1)直线AB的表达式为____________，抛物
线的表达式为____________．
y＝x＋3
题型2 二次函数中探究平行四边形的存在性问题
y＝x2－4x＋3
(2)若点P(x，y)为线段AB上的一个动点(点P不与A，B两点重合)，过点P作x轴的垂线，与这条抛物线交于点E，设线段PE的长为h，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
【解】∵点P在线段AB上，
∴P(x，x＋3)(0
∵PE⊥x轴，交抛物线于点E，
∴E(x，x2－4x＋3)，
∴h＝PE＝x＋3－(x2－4x＋3)＝－x2＋5x(0(3)若点P(x，y)为直线AB上的一个动点，直线AB与这条抛物线的对称轴的交点为D，PE⊥x轴交抛物线于点E，是否存在点P，使以点D，C，E，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请写出理由．
【解】存在．∵y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，∴C(2，－1).
∵直线AB与抛物线的对称轴的交点为D，∴D(2，5)，DC＝6. ∵以点D，C，E，P为顶点的四边形是平行四边形，
∴PE＝DC＝6，
由(2)易得PE＝|－x2＋5x|，∴－x2＋5x＝6或－x2＋5x＝－6，
解得x1＝2(舍去)，x2＝3，x3＝－1，x4＝6，
∴3＋3＝6，－1＋3＝2，6＋3＝9，
∴点P的坐标为(3，6)或(－1，2)或(6，9)．
3. [2024珠海三模]如图，二次函数图象的顶点为坐标原点O，且经过点A(3，3)，一次函数的图象经过点A和点B(6，0)，一次函数图象与y轴相交于点C.
(1)二次函数的表达式为____________，
一次函数的表达式为____________．
y＝－x＋6
(2)如果点D在线段AC上(不与A、C两点重合)，与y轴平行的直线DE与二次函数的图象相交于点E，∠CDO＝∠OED，求点D的坐标．
(3)若点D是直线AC上的一个动点，与y轴平行的直线DE与二次函数的图象相交于点E，以点O，C，D，E为顶点的四边形能成为平行四边形吗？若能，请求出点D的坐标，若不能，请说明理由．
4．[2024泸州改编]如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2＋bx＋3经过点A(3，0)，与y轴交于点B，且关于直线x＝1对称．
(1)该抛物线的表达式为_______________．
y＝－x2＋2x＋3
(2)当－1≤x≤t时，y的取值范围是0≤y≤2t－1，求t的值．
【解】∵抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝1，
∴抛物线上点到对称轴的距离越远，函数值越小，
由当－1≤x≤t时，0≤y≤2t－1，得
(3)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线AB于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，请说明理由．
【解】存在．当x＝0时，y＝3，∴B(0，3)，
设直线AB的表达式为y＝kx＋3，把A(3，0)的坐标代入，得k＝－1，∴y＝－x＋3.
设C(m，－m2＋2m＋3)(0(0，4)
题型3 二次函数中探究特殊角的存在性问题
(2)D是平面直角坐标系内一点，以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标．
(3)连接AC，该抛物线的对称轴上是否存在点E，使得∠ACE＝45°？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【解】存在，如图，在x轴上方作
MA⊥AC，使MA＝AC，连接CM，
交对称轴于点E，作MN⊥x轴于点N，
∵MA⊥AC，MA＝AC，
∴∠ACM＝∠AMC＝45°，即∠ACE＝45°.
∵易知∠MAN＋∠AMN＝90°＝∠MAN＋∠CAO，
∴∠AMN＝∠CAO，
又∵∠ANM＝∠COA＝90°，MA＝AC，
∴△ANM≌△COA，
∴MN＝OA＝3，AN＝OC＝4，∴M(－7，3)，
6．[2024郴州模拟]如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)，B，与y轴交于点C，且CO＝3AO，连接AC.
(1)抛物线的表达式为____________．
y＝x2－2x－3
(2)若点M是直线BC下方抛物线上一动点(不与点B，C重合)，是否存在△BCM，使∠BCM＝90°？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．(共36张PPT)
阶段拔尖专训1 二次函数与几何变换的综合应用
高分秘籍 二次函数的图象的平移变换： 在一般式y＝ ax2＋bx＋c(a≠0)或顶点式y＝a(x－h)2＋k(a≠0)中，左右平移在x上加减平移的单位长度，上下平移在等号右边整体加减平移的单位 长度．
题型1 二次函数与平移变换
1．[2024长沙一模]我们不妨约定：如果抛物线的顶点在直线y＝2x上，那么我们把这样的抛物线叫作“完美抛物线”．根据约定，解答下列问题：
【概念理解】
(1)下列抛物线是“完美抛物线”的是________(填序号)；
①y＝x2；②y＝x2－4x＋6；③y＝－(x＋h)2－2h.
①③
【拓展应用】如图，已知“完美抛物线”y＝－(x－1)2＋k的顶点为A，将该抛物线沿直线y＝2x向上平移，点A平移到点B，两条“完美抛物线”相交于点C，设点B，C的横坐标分别为m，n(m>1)．
y＝－(x－1)2＋2
y＝－x2＋6x－3
2．[2024山东]在平面直角坐标系xOy中，点P(2，－3)在二次函数y＝ax2＋bx－3(a＞0)的图象上，记该二次函数图象的对称轴为直线x＝m.
(1)求m的值；
(2)若点Q(m，－4)在y＝ax2＋bx－3的图象上，将该二次函数的图象向上平移5个单位，得到新的二次函数的图象．当0≤x≤4时，求新的二次函数的最大值与最小值 的和；
【解】由题意得点Q(1，－4)在y＝ax2－2ax－3的图象上，
∴a－2a－3＝－4，解得a＝1，
∴y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，
将该二次函数的图象向上平移5个单位，得到新的图象对应的二次函数为y＝(x－1)2－4＋5＝(x－1)2＋1，
∵0≤x≤4，∴当x＝1时，函数有最小值为1，
当x＝4时，函数有最大值为(4－1)2＋1＝10，
∴新的二次函数的最大值与最小值的和为11.
(3)设y＝ax2＋bx－3的图象与x轴交点为(x1，0)，(x2，0) (x1＜x2)，若4＜x2－x1＜6，求a的取值范围．
高分秘籍 二次函数的图象的对称变换：①关于x轴对称：抛物线y＝ax2＋bx＋c关于x轴对称的抛物线对应的函数表达式为y＝－ax2－bx－c；抛物线y＝a(x－h)2＋k关于x轴对称的抛物线对应的函数表达式为y＝－a(x－h)2－k.②关于y轴对称：抛物线y＝ax2＋bx＋c关于y轴对称的抛物线对应的函数表达式为y＝ax2－bx＋c；抛物线y＝a(x－h)2＋k关于y轴对称的抛物线对应的函数表达式为y＝a(x＋h)2＋k.
题型2 二次函数与对称变换
③关于原点对称：抛物线y＝ax2＋bx＋c关于原点对称的抛物线对应的函数表达式为y＝－ax2＋bx－c；抛物线y＝ a(x－h)2＋k关于原点对称的抛物线对应的函数表达式为y＝－a(x＋h)2－k.
3．[2024湛江模拟]如图，已知抛物线y＝x2－x－2交x轴于A，B两点，将该抛物线位于x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为图象W，图象W交y轴于点C.
(1)图象W在A，B间的部分对应的函数
关系式为_______________________；
y＝－x2＋x＋2(－1(2)若直线y＝－x＋b与图象W有三个交点，请结合图象，直接写出b的值；
【解】2或3
(3)P为x轴正半轴上一动点，过点P作PM∥y轴交直线BC于点M，交图象W于点N，是否存在这样的点P，使△CMN与△OBC相似？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解】存在．当x＝0时，y＝2，∴C(0，2)，当y＝0时，x2－x－2＝0，解得x＝－1，x2＝2，∴B(2，0)，∴OB＝OC＝2.又∵∠BOC＝90°，∴△BOC是等腰直角三角形.
如图①，当CN∥OB时，△CNM∽△BOC，由对称性易得N(1，2)．∵PN∥y轴，∴P(1，0)．
4．已知抛物线y＝ax2＋2x＋c经过点(1，0)和点(－3，0)．
(1)a＝________，c＝________；
(2)若直线y＝－2x＋k与此抛物线有且只有一个交点，则 k＝________，该交点的坐标为___________；
1
－3
－7
(－2，－3)
(3)将该抛物线x轴下方部分沿x轴翻折，翻折后得到的图象与原图象剩余部分组成一个新的图象，将该图象记为M，若直线y＝－2x＋n与图象M有2个交点，求n的取值 范围．
【解】如图，当直线y＝－2x＋n经过点
(－3，0)时，直线与图象M有1个交点，
把点(－3，0)的坐标代入y＝－2x＋n，
得0＝－2×(－3)＋n，解得n＝－6.
当直线y＝－2x＋n经过点(1，0)时，
直线与图象M有3个交点，把点(1，0)的坐标
代入y＝－2x＋n，得0＝－2×1＋n，解得n＝2.
令－2x＋n＝－(x2＋2x－3)，整理得x2＋n－3＝0.
当－4(n－3)＝0，即n＝3时，直线y＝－2x＋n与图象M有3个交点．
综上，结合图象可知，若直线y＝－2x＋n与图象M有2个交点，则n的取值范围为－6＜n＜2或n＞3.
5. 我们约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)满足x1＋y1＝x2＋ y2＝m，则称此函数为关于m的等和函数，这些点叫作关于m的等和点．
①
－8
(3)若函数y＝x2－x－2(x≤2)的图象记为W1，将其沿直线x＝2翻折后的图象记为W2.若W1，W2两部分组成的图象上恰有两个关于m的等和点，请求出m的取值范围．
消去n，得y＝x2－7x＋10，即图象W2对应的函数表达式为y＝x2－7x＋10.
画出图象W1，W2如图所示．
令x2－x－2＝0，解得x1＝2，x2＝－1，
∴A(2，0)．
由题意知，等和点所在直线是y＝－x＋m.
6．[2024邵阳模拟]如果二次函数y1的图象的顶点在二次函数y2的图象上，同时二次函数y2的图象的顶点在二次函数y1的图象上，那么我们称这两个函数互为“顶点相容函数”．
(1)若二次函数y1＝x2－2x－3与二次函数y2＝－x2＋bx－7互为“顶点相容函数”，则b＝________；
4
题型3 二次函数与旋转变换(共19张PPT)
阶段拔尖专训5
垂径定理的构造类型
1．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(10，0)，点B的坐标是(8，0)，点C，D在以OA为直径的半圆M上， 且四边形OCDB是平行四边形，求点C的坐标．
类型1 构单弦心距
【解】如图，连接CM，作MN⊥CD于点N，CH⊥OA于点H，易得CN＝MH，CH＝MN.
∵四边形OCDB是平行四边形，点B的坐标是(8，0)，
∴CD＝OB＝8.
(1)若BC＝8，求sin ∠BCO；
(2)证明：△BCD∽△CED；
(3)若AC＝8，求四边形ABCD的面积．
类型2 构双弦心距
4．[2024台州模拟]如图，已知⊙M与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，A、B两点的横坐标分别为－2和14，弦AB的弦心距MN为6.
(1)求⊙M的半径．
【解】PQ⊥CF.理由如下：
连接DF，
∵CF是⊙M的直径，∴∠CDF＝90°，
∴∠CFD＋∠DCF＝90°，
∵∠CQD＝∠CFD，∴∠CQD＋∠DCF＝90°，
又∵∠CPQ＝∠CQD，∴∠CPQ＋∠DCF＝90°，
∴∠CEP＝90°，∴PQ⊥CF.
②求CQ的长．
个y
C
D
M
B A
不y
W
D
0
H
M
B A
C
A
D
E
B
C
0
D
0
E
A
B
C
Q
C
E
P
M
AO
B
N
X
D
F(共18张PPT)
阶段拔尖专训9
圆的翻折、覆盖问题
1．[2024菏泽一模]如图，在以线段AB为直径的⊙O上取一点C，连接AC，BC，将△ABC沿AB翻折后得到△ABD.
类型1 翻折问题
(1)试说明点D在⊙O上；
【解】∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°.
∵△ABC沿AB翻折后得到△ABD，
∴△ABC≌△ABD，∴∠ADB＝∠ACB＝90°.
∴点D在以AB为直径的⊙O上．
(2)在线段AD的延长线上取一点E，使AB2＝AC·AE，求证：BE为⊙O的切线；
(3)在(2)的条件下，分别延长线段AE，CB相交于点F，若BC＝2，AC＝4，求线段EF的长．
2．[2024泰州模拟]已知在扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝13，点P在半径OB上，连接AP，把△AOP沿AP翻折，点O的对称点为点Q.
(1)如图①，当点Q刚好落在弧AB上时，
求弧BQ的长；
(2)如图②，点Q落在扇形AOB内部，AQ的延长线与弧AB交于点C，过点Q作QH⊥OA，垂足为H，AH＝8，求AC 的长；
3．已知一块等腰三角形钢板的底边长为60 cm，腰长为 50 cm.
(1)求能从这块钢板上截得的最大圆的半径．
类型2 覆盖问题
【解】设这块三角形钢板为△ABC，且腰为AC＝BC＝50 cm，底为AB＝60 cm，如图①，根据题意
可知该三角形的内切圆即为能从这块
钢板上截得的最大圆，点O为圆心，
点D，E，F为切点．
∵AC＝BC＝50 cm，AB＝60 cm，∴根据等腰三角形三线合一的性质及勾股定理易得AE＝30 cm，CE＝40 cm.
(2)用一个圆完全覆盖这块钢板，这个圆的最小半径是多少？
【解】由题意易知能完全覆盖这块钢板的最小圆是这个三角形的外接圆，设圆心为O′，如图②，连接 AO′，CO′，延长CO′交AB于H.
4．如图是由两个长方形组成的工件的平面图，直线l是它的对称轴，若HG＝60 mm，AB＝80 mm，GF＝50 mm，CB＝20 mm，则能完全覆盖这个平面图形的圆的最小半径是多少？
【解】由题易知过A，B，G，H四点的圆是能完全覆盖这个平面图形的半径最小的圆．如图，设圆心为O，易知O在直线l上，连接AO，GO，(共25张PPT)
阶段拔尖专训8
隐形圆问题
模型展示 图①中，若点O是定点，OA＝OB＝OC，则A，B，C三点在以点O为圆心的圆上．
图②中，若点O是定点，OA是定长，则动点A在以点O为圆心，OA长为半径的圆上．
模型1 定点定长
1．[2024盐城期中]如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，点P是BC边上一动点(点P不与点B，C重合)，连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，求线段MC的最小值．
【解】连接AM，AC，如图所示．
∵点B和点M关于AP对称，
∴AB＝AM＝3，
∴点M在以点A为圆心，3为半径的圆上，
作出该圆，易知当A，M，C三点共线时，
线段MC的值最小．
2．[2024河南改编]如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝3，线段CD绕点C在平面内旋转，过点B作AD的垂线，交射线AD于点E.若CD＝1，求AE的最大值和最小值．
在Rt△ABE中，AE＝AB·cos∠BAE，
∵AB为定值，
∴当cos∠BAE最大时，AE最大，当
cos∠BAE最小时，AE最小．
当AE与⊙C相切于点D，且点D在△ABC内部时，
∠BAE最小，cos∠BAE最大，AE最大，连接CE，如图①所示，则CD⊥AE，
∴∠ADC＝∠CDE＝90°，
模型展示 图①中，若∠A＋∠C＝180°，则A，B，C，D四点共圆．
图②中，若∠A＝∠D，则A，B，C，D四点共圆．
模型2 四点共圆
3．如图，已知在△ABC 中，AB＝AC＝ 6，∠B＝30°，E为BC上一点，BE＝2EC，DE＝DC，∠ADC＝60°，则AD的长为________．
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转α°(0＜α＜180)得到△ADE，∠AED＝90°，直线BD与直线CE的交点为P.求证：PB＝PD.
【证明】由旋转的性质得∠CAE＝∠BAD＝α°，AC＝AE，AB＝AD，∴∠CEA＝∠ADB，
∴A，D，E，P四点共圆，如图，连接AP.
∵∠AED＝90°，
∴AD为圆的直径，
∴∠APD＝90°，即AP⊥BD.
∴PB＝PD.
模型展示 点A，B是定点，动点C满足∠ACB＝90°，则动点C的轨迹是以AB为直径的圆(除去A，B两点)．
模型3 直角所对的弦是直径
5. 如图，在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＋∠PBA＝90°，求线段CP长的最小值．
【解】∵∠PAB＋∠PBA＝90°，∴∠APB＝90°，
∴点P在以AB为直径的圆上(P在△ABC内)．
设以AB为直径的圆的圆心为O，如图所示，
连接OC，易知当点P在OC上时PC最短．
∵AB＝6，∴OB＝OP＝3.
6．[2024连云港月考]如图，在正方形ABCD中，AB＝2，动点E从点A出发向点D运动，同时动点F从点D出发向点C运动，点E、F的运动速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段AF、BE相交于点P，求线段DP的最小值．
【解】∵动点F，E的运动速度相同，∴DF＝AE，
∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，
又∵∠ABE＋∠BEA＝90°，∴∠FAD＋∠BEA＝90°，∴∠APE＝90°，∴∠APB＝90°. ∴点P在以AB为直径的圆上.
在△ABC中，∠A＝α，BC＝m(α，m是定值)．若点B，C是定点，点A是动点，则动点A的轨迹是个圆(⊙O)，圆心O在BC的垂直平分线上，且满足∠BOC＝2α(α为锐角时)或∠BOC＝360°－2α(α为钝角时)．
模型4 定弦定角
7．如图，在四边形ABCD中，AD＝2，∠ABC＝∠ADC＝60°，对角线AC⊥AD，求BD的最大值．
【解】由题意得点B的轨迹是个圆，且圆心在AC的垂直平分线上，易知当BD经过圆心时，BD取得最大值，此时，作△ABC的外接圆⊙O，使得BD经过圆心O，连接CO并延长，交⊙O于点F, 连接 AF，如图．
∵AC⊥AD，CF经过圆心O，即CF为⊙O的直径，
∴AC⊥AF.∴点D，A，F在同一直线上．
∵∠AFC＝∠ABC＝∠ADC＝60°，
∴易知△CDF是等边三角形．∴CF＝DF＝2AD＝4.(共18张PPT)
阶段拔尖专训12
用概率判断游戏规则的公平性
1．小明、小华两名同学相约打羽毛球．
(1)有款式完全相同的3个羽毛球拍，分别记为A，B，C.小明从中随机选取1个，则小明选中球拍A的概率为________；
类型1 利用概率判断摸球游戏的公平性
(2)为了决定谁先发球，两人一起设计了一个游戏：在一个不透明的口袋中装有四个小球，分别标有数字－1，－2，3，4，球除数字外都相同，小明从口袋中随机摸出一球，记下数字后放回摇匀，小华再从中随机摸出一球，若两球上的数字之积小于或等于－4，则小明先发球，否则小华先发球，请用列表或画树状图的方法说明这个游戏是否公平．
【解】画树状图如图．
2．物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成.某学习小组在延时课上制作了A，B，C，D，E五张卡片，五张卡片除图片内容不同外，其他没有区别，放置于暗箱中摇匀．
类型2 利用概率判断抽卡片游戏的公平性
(1)小临从五张卡片中随机抽取一张，抽中C卡片的概率是________；
(2)小临和小夏一起设计了一个游戏：分别从五张卡片中一次性随机抽取两张，若抽取的两张卡片内容均为物理变化，则小临获胜，若均为化学变化，则小夏获胜，请用列表法或画树状图法说明这个游戏是否公平．
【解】根据题意画树状图如下．
3．[2024西安二模]李涵和王兰相约周末去西安游玩，由于时间紧张，她们打算在大唐芙蓉园、华清池中随机选取一个为这次旅游的打卡地．李涵想去华清池，王兰更倾向于去大唐芙蓉园，为了公平起见，她们设计了游戏来决定去哪个景区游玩．
类型3 利用概率判断掷骰子游戏的公平性
游戏规则为：将如图①所示背面相同的三张扑克牌(方块3、红桃4、黑桃5)洗匀后，背面朝上放置在桌面上，李涵从中随机抽取一张，记下牌面数字；如图②是一枚质地均匀的正方体骰子，六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6，王兰掷一次骰子，记下骰子朝上一面的点数．若李涵记下的牌面数字大于王兰记下的骰子
点数，则李涵获胜，否则，王
兰获胜．
(1)“李涵从三张扑克牌中随机抽取一张，抽到的牌面数字是6”是________事件；(填“必然”“不可能”或“随机”)
(2)请用画树状图或列表的方法说明这个游戏对双方公平吗？
不可能
【解】由题意可列表如下．
1 2 3 4 5 6
3 (3，1) (3，2) (3，3) (3，4) (3，5) (3，6)
4 (4，1) (4，2) (4，3) (4，4) (4，5) (4，6)
5 (5，1) (5，2) (5，3) (5，4) (5，5) (5，6)
4．[2024榆林三模]2024世界泳联跳水世界杯总决赛在西安奥体中心游泳跳水馆举行，小明和小乐均想去观赛，但仅有一张门票，他们准备了如图所示的甲、乙两个可以自由转动的转盘，每个转
盘被分成面积相等的三个扇形，
并在每一个扇形内标上数字，
类型4 利用概率判断转盘游戏的公平性
游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，指针所指区域得到的两个数字之和大于1，则小明获得门票，否则小乐获得门票．若指针恰好停在分割线上，则重转一次，直到指针指向某一扇形区域为止．
(1)若转动转盘甲，则转盘指针指向的数字是正数的概率为________；
(2)请用列表或画树状图的方法，判断该游戏规则对双方是否公平．
【解】用表格列出所有等可能的结果如下：
1 －2 3
－3 －2 －5 0
2 3 0 5
3 4 1 6(共35张PPT)
阶段拔尖专训10
圆与其他知识的综合应用
应用1 圆与二次函数相综合
(1)求该抛物线的表达式；
(2)求点C的坐标和线段EF的长．
(1)若⊙P的半径为5，求B，P两点的坐标；
【解】如图，连接PC.
∵⊙P的半径为5，
⊙P与y轴相切于点C，
∴CP＝5，PC⊥y轴．
∴xP＝5.
(2)在(1)的条件下，求以P为顶点，且经过点B的抛物线的表达式；并判断该抛物线是否经过点C关于原点的对称点D，说明理由．
【解】是．理由：对于二次函数y＝x2－4x＋3，
当x＝0时，y＝3；当y＝0时，解得x＝1或x＝3，
∴二次函数图象与x轴的交点为A(1，0)，B (3，0)，与y轴的交点为C(0，3)，
(2)已知二次函数y＝x2－4x＋4图象的顶点为A，坐标圆的圆心为P，如图①，求△POA周长的最小值；
【解】如图①，设抛物线与y轴的交点为H，
连接PH，则H(0，4)，∴OH＝4.
∵二次函数y＝x2－4x＋4图象的顶点为A，
∴易得A(2，0)，∴OA＝2，
∴△POA的周长＝PO＋PA＋OA＝PO＋PH＋2，
当P在线段OH上时，PO＋PH的值最小，最小为OH＝4，
∴△POA周长的最小值为6.
(3)已知二次函数y＝ax2－4x＋4(0【解】如图②，连接CD，PA，过点P作直线l⊥x轴，则直线l为抛物线的对称轴，
设直线l与CD交于点E，与x轴交于点F，则AF＝BF.
4．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点P在弦AC上，若⊙O的半径为2，则阴影部分的面积是________．
应用2 圆与多边形相综合
5．[2024常州模拟]如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，过点A作AE∥BC交CD的延长线于点E，AE＝AB，AD＝ED，连接BD.
(1)求证：∠BAD＝∠EAD；
【证明】∵AE∥BC，∴∠E＋∠ECB＝180°.
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ECB＋∠BAD＝180°，∴∠E＝∠BAD，
∵AD＝DE，∴∠EAD＝∠E，
∴∠BAD＝∠EAD.
(2)若CD＝1，DE＝3，求AB的长．
【解】连接AC.∵AB＝EA，∠BAD＝∠E，AD＝ED，
∴△BAD≌△AED(SAS)，
∴BD＝AD，∴∠DAB＝∠DBA.
∵∠BAD＝∠DAE，∠DBA＝∠ACD，
∴∠DAE＝∠DBA＝∠ACE.
6．[2024长沙]对于凸四边形，根据它有无外接圆(四个顶点都在同一个圆上)与内切圆(四条边都与同一个圆相切)，可分为四种类型，我们定义：既无外接圆，又无内切圆的四边形称为“平凡型无圆”四边形；只有外接圆，而无内切圆的四边形称为“外接型单圆”四边形；只有内切圆，而无外接圆的四边形称为“内切型单圆”四边形；既有外接圆，又有内切圆的四边形称为“完美型双圆”四边形．
请你根据该定义，解答下列问题：
(1)请你判断下列说法是否正确(在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”)．
①平行四边形一定不是“平凡型无圆”四边形； ( )
②内角不等于90°的菱形一定是“内切型单圆”四边形；
( )
×
√
√
(2)如图①，已知四边形ABCD内接于⊙O，四条边长满足：AB＋CD≠BC＋AD.
①该四边形ABCD是“___________”四边形(从定义的四种类型中选一种填入)；
外接型单圆
②若∠BAD的平分线AE交⊙O于点E，∠BCD的平分线CF交⊙O于点F，连接EF.求证：EF是⊙O的直径．
(3)已知四边形ABCD是“完美型双圆”四边形，它的内切圆⊙O与AB，BC，CD，AD分别相切于点E，F，G，H.
①如图②，连接EG，FH交于点P.求证：EG⊥FH.
【证明】如图①，连接OE，OF，OG，OH，HG，
∵⊙O是四边形ABCD的内切圆，
∴OE⊥AB，OF⊥BC，OG⊥CD，OH⊥AD，
∴∠OEA＝∠OHA＝90°，
∴在四边形AEOH中，∠A＋∠EOH＝360°－
90°－90°＝180°，同理可证，∠FOG＋∠C＝180°，
∵四边形ABCD是“完美型双圆”四边形，∴∠A＋∠C＝180°，∴∠EOH＝∠C，则∠FOG＋∠EOH＝180°.
②如图③，连接OA，OB，OC，OD，若OA＝2，OB＝6，OC＝3，求内切圆⊙O的半径r及OD的长．
【解】如图②，连接OE，OF，OG，OH，
∵四边形ABCD是“完美型双圆”四边形，它的内切圆⊙O与AB，BC，CD，AD分别相切于点E，F，G，H，
∴OE⊥AB，OF⊥BC，OG⊥CD，OH⊥AD，
OE＝OF＝OG＝OH，∠EAH＋∠FCG＝180°，
∠OAH＝∠OAE，∠OCG＝∠OCF，
∴∠OAH＋∠OCG＝90°.(共38张PPT)
阶段拔尖专训3
二次函数的最值问题
高分秘籍 求线段最值问题的关键点：设未知数，表示出线段，得到线段关于所设未知数的二次函数，运用二次函数的性质求最值.
题型1 二次函数中的线段最值问题
1．[2024临夏州改编]在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，作直线BC.
(1)抛物线的表达式为________________．
y＝－x2＋2x＋3
(2)如图①，点P是线段BC上方的抛物线上一动点，过点P作PQ⊥BC，垂足为Q，请问线段PQ是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解】存在最大值．过点P作PD⊥AB于点D，交BC于点E，
∴∠EDB＝90°.
对于y＝－x2＋2x＋3，当x＝0时，y＝3，∴C(0，3)．
∵B(3，0)，
∴易得直线BC的表达式为y＝－x＋3，OB＝OC，
∵∠BOC＝90°，∴∠CBO＝45°，
∵∠EDB＝90°，∴∠PEQ＝∠DEB＝45°，
(3)如图②，点M是直线BC上一动点，作线段MN∥OC(点N在直线BC下方)，已知MN＝2，若线段MN与抛物线有交点，请直接写出点M的横坐标xM的取值范围．
高分秘籍 线段和最小值模型：
(1)如图①，两点在直线异侧模型(两点之间，线段最短)；
(2)如图②，两点在直线同侧模型(将军饮马)．
题型2 二次函数中的线段和最值问题
2．[2024长沙期末]如图，二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象经过点A(－1，0)，B(3，0)，点E为二次函数第一象限内图象上一动点，EH⊥x轴于点H，交直线BC于点F，以EF为直径的⊙M与BC交于点R.
(1)求b，c的值；
(2)当△EFR的周长最大时，求此时点E的坐标及△EFR的 周长．
【解】∵以EF为直径的⊙M与BC交于点R，
∴∠ERF＝90°.
对于y＝－x2＋2x＋3，令x＝0，得y＝3，∴C(0，3)，∴OC＝3.
∵B(3，0)，∴OB＝3，∴OC＝OB，∵CO⊥OB，
∴∠CBO＝∠OCB＝45°，∴∠EFC＝∠OCB＝45°，
∴△ERF为等腰直角三角形，∴当△EFR的周长最大时，EF最长．
由C(0，3)，B(3，0)，易得直线BC的表达式为y＝－x＋3，
(2)如图①，过点C作CH⊥OA，垂足为H，交抛物线于点E，求线段CE的长．
(3)点D为线段OA上一动点(O点除外)，在OC右侧作平行四边形OCFD.
①如图②，当点F落在抛物线上时，求点F的坐标；
②如图③，连接BD，BF，求BD＋BF的最小值．
高分秘籍 线段差最大值模型：
(1)如图①，两点在直线同侧(三角形三边关系)；
(2)如图②，两点在直线异侧(三角形三边关系)．
题型3 二次函数中的线段差最值问题
4．如图，已知抛物线过点O(0，0)，A(5，5)，且它的对称轴为直线x＝2.
(1)此抛物线的表达式为________________；
y＝x2－4x
(2)若点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限，当△OAB的面积为15时，求点B的坐标；
【解】如图，∵点B是抛物线对称轴上
的一点，且点B在第一象限，
∴设B(2，m)(m＞0)．
(3)在(2)的条件下，P是抛物线上的动点，当PA－PB的值最大时，求点P的坐标以及PA－PB的最大值．
高分秘籍 考查角度多为求面积最大时动点的坐标，并求出面积的最大值．解题方法一般为设出动点的坐标，利用面积公式或补形、割形法表示出图形的面积，将图形面积的最值问题，转化为二次函数的最值问题，一般得到二次函数的顶点式，利用二次函数的图象与性质即可求解．
题型4 二次函数中的面积最值问题
5．[2024衡阳一模]如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(1，0)，B(－3，0)，C(0，3)三点．
(1)抛物线的表达式为_______________；
y＝－x2－2x＋3
(2)若点D为第二象限内抛物线上一动点，求△BCD面积的最大值；
(3)设点P为抛物线的对称轴上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．
【解】∵y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝－1，
设P(－1，y)，∵B(－3，0)，C(0，3)，
∴BP2＝(－1＋3)3＋y2＝4＋y2，CP2＝1＋(3－y)2，
BC2＝32＋32＝18，
6．[2024娄底期末]如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)，B(4，0)，C(0，4)三点.
(1)抛物线的表达式为______________，顶点D的坐标为________；
y＝－x2＋3x＋4
(2)在抛物线的对称轴上求一点M的坐标，使得点M到点A，点C的距离之和最小；
(3)在直线BC上方的抛物线上求一点P，使得△PBC的面积最大，并求出△PBC的面积的最大值．
【解】过点P作x轴的垂线，交直线BC于N，
由题意，设P(m，－m2＋3m＋4)，则N(m，－m＋4)，0∴PN＝－m2＋3m＋4－(－m＋4)＝－m2＋4m，(共18张PPT)
阶段拔尖专训11
投影规律在实际问题中的应用
类型1 投影线不受限时的测量
1．[2024碑林区校级三模]某数学兴
趣小组在综合实践活动中测量古塔(MN)的高度．
【测量方案】在地面上选一点A，垂直地面竖立标杆AB，后退2 m到E处，此时M，B，E在同一直线上；另选一点C，垂直地面竖立标杆CD，后退4 m到F处，此时M，D，F三点也在同一直线上．
应用1 平行投影的实际应用
【测量数据】两次测量标杆之间的距离为50 m，两个标杆的高度均为1.5 m，且N，A，E，C，F在同一直线上．请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出古塔的高度．
类型2 投影线在特定条件下的测量
3．[2024恩施模拟]如图，小华在晚上由路灯AC走向路灯BD.当他走到点P时，发现他身后影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部；当他向前再步行12 m到达点Q时，发现他身前影子的顶部刚好接触到
路灯BD的底部．已知小华的身高是
1.6 m，两个路灯的高度都是9.6 m，
且AP＝QB.
应用2 中心投影的实际应用
(1)标出小华站在P处时，在路灯AC下的影子；
【解】如图①，连接CM并延长与AB交于点K，线段PK即为小华站在P处时，在路灯AC下的影子．
(2)求两个路灯之间的距离；
(3)当小华走到路灯BD的底部时，他在路灯AC下的影长是多少？
4．[2024苏州姑苏区校级月考]如图，玻璃桌面与地面平行，桌面上有一盏台灯和一支铅笔，点光源O与铅笔AB所确定的平面垂直于桌面．在灯光照射下，AB在地面上形成的影子为CD(不计折射)．
(1)在桌面上沿着AB方向平移铅笔，试说明CD的长度 不变．
【解】如图①，设AB平移到EF，EF在地面上形成的影
子为MN.
(2)桌面上一点P恰在点O的正下方，连接OP，且OP＝30 cm，PA＝15 cm，AB＝15 cm，桌面的高度为60 cm.在点O与AB所确定的平面内，将AB绕点A旋转，使得CD的长度最大．
①画出此时AB所在位置的示意图；
【解】如图②，以A为圆心，AB长为半径画圆，
当OQ与⊙A相切于H时，此时CD最大为CQ.
此时AB所在位置为AH.
②求CD的长度的最大值．(共38张PPT)
阶段拔尖专训2 二次函数的图象与线段、直线、射线的交点问题
题型1 二次函数的图象与线段交点问题
1．[2023杭州模拟]已知点P(2，－3)在抛物线L：y＝a(x－1)2＋k(a，k均为常数且a≠0)上，L交y轴于点C，连接CP.
(1)写出L的对称轴，并用含a的式子表示k；
【解】由题意得抛物线L的对称轴为直线x＝1.将点P(2，－3)的坐标代入y＝a(x－1)2＋k，得－3＝a＋k，解得k＝－a－3.
(2)当L经过点(4，－7)时，求此时L的表达式及顶点坐标；
(3)横、纵坐标都是整数的点叫作整点．如图，当a＜0时，若L在点C，P之间的部分与线段CP所围成的区域内(含边界)恰有5个整点，求a的取值范围．
【解】由(1)得抛物线L的表达式为y＝a(x－1)2－a－3，
∴抛物线L的顶点坐标为(1，－a－3)．
将x＝0代入y＝a(x－1)2－a－3，得y＝a－a－3＝－3，
∴点C的坐标为(0，－3)．
易得点(0，－3)，(1，－3)，(2，－3)在区域内．
当区域内恰有5个整点时，点(1，－2)，(1，－1)在区域内，点(1，0)不在区域内，
∴－1≤－a－3＜0，解得－3＜a≤－2.
2. 已知抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)．
(1)A点坐标为________，B点坐标为________；
(－1，0)
(3，0)
(2)如图，过点A的直线l：y＝－x－1与抛物线的另一个交点为C，点P为抛物线对称轴上的一点，连接PA，PC，设点P的纵坐标为m，当PA＝PC时，求m的值；
(3)将线段AB先向右平移1个单位，再向上平移5个单位，得到线段MN，若抛物线y＝a(－x2＋2x＋3)(a≠0)与线段MN只有一个交点，请直接写出a的取值范围．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点C(x，y)为线段AB上一点，作DC∥y轴，交抛物线于点D，求线段DC的最大值；
(3)在直线AB上取一点P，将P向上平移3个单位长度得到点Q，请直接写出线段PQ与抛物线有交点时，点P的横坐标xP的取值范围．
4．如图，抛物线y＝x2＋mx与直线y＝－x＋b交于点A(2，0)和点B.
(1)m＝________，b＝________；
－2
2
(2)求点B的坐标，并结合图象写出不等式x2＋mx＞－x＋b的解集；
(3)点M是直线AB上的一个动点，将点M向左平移3个单位得到点N，若线段MN与抛物线只有一个公共点，直接写出点M的横坐标xM的取值范围．
【解】－1≤xM＜2 或 xM＝3.
5．已知在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2－2mx＋m2＋2m－1的顶点为A，点B的坐标为(3，5)．
(1)求抛物线过点B时顶点A的坐标；
【解】∵抛物线y＝x2－2mx＋m2＋2m－1过点B(3，5)，∴5＝32－2m×3＋m2＋2m－1，即m2－4m＋3＝0，解得m1＝1，m2＝3. 当m＝1时，y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，∴顶点A的坐标为(1，1)；当m＝3时，y＝x2－6x＋14＝(x－3)2＋5，∴顶点A的坐标为(3，5)．综上，顶点A的坐标为(1，1)或(3，5)．
(2)点A的坐标记为(x，y)，求y与x的函数表达式；
【解】∵y＝x2－2mx＋m2＋2m－1＝(x－m)2＋2m－1，
∴顶点A的坐标为(m，2m－1)．
∵点A的坐标记为(x，y)，∴x＝m，y＝2m－1.
∴y＝2x－1.
(3)如图，已知点C的坐标为(0，2)，当m取何值时，抛物线y＝x2－2mx＋m2＋2m－1与线段BC只有一个公共点？
【解】由(2)可知，抛物线的顶点在直线y＝2x－1上运动，且形状不变．
由(1)知，当m＝1或m＝3时，抛物线过点B(3，5)．
把C(0，2)的坐标代入y＝x2－2mx＋m2＋2m－1，
得m2＋2m－1＝2，解得m＝1或m＝－3.
∴当m＝1或m＝－3时，抛物线经过点C(0，2)．
如图，当m＝－3或m＝3时，抛物线与线段BC只有一个交点(即线段CB的端点)；
当m＝1时，抛物线同时过点B，C，
不合题意．
∴m的取值范围是－3≤m≤3且m≠1.
6．[2024长沙一模]如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A(4，0)，O两点，D(2，－2)为抛物线的顶点．
(1)该抛物线的表达式为________________；
题型2 二次函数的图象与射线交点问题
7．如图①，抛物线y＝ax2－3x＋c与x轴的交点为A和B，与y轴的交点为D(0，4)，与直线y＝－x＋b的交点为A和C，且OA＝OD.
(1)求抛物线的表达式和b的值；
题型3 二次函数的图象与直线交点问题
(2)将抛物线在x轴上方的部分沿x轴翻折得一个“M”形状的新图象(如图②)，若直线y＝－x＋n与新图象恰好有4个公共点，请求出此时n的取值范围．
8．[2024株洲期末]如图，直线y＝－x＋3与x轴、y轴分别交于B，C两点，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过B，C两点，与x轴的另一交点为点A，顶点为点D.
(1)B点坐标为________，C点坐标为
________．
(3，0)
(0，3)
(2)求抛物线的表达式，点A，点D的坐标及抛物线的对 称轴．
当y＝0时，－x2＋2x＋3＝0，
解得x＝3或－1，∴A(－1，0)．
∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，
∴D(1，4)，抛物线的对称轴为直线x＝1.
(3)设直线y＝kx＋4与抛物线y＝－x2＋bx＋c两交点的横坐标分别为x1，x2，是否存在k值，使得x12＋x22＋x1x2＝8？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．(共15张PPT)
阶段拔尖专训7
圆中常见的最值问题
题型1 利用对称性求最值
【解】如图，作点B关于MN的对称点B′，连接OA，OB，OB′，AB′，则PA＋PB的最小值为AB′的长度．
∵∠ACM＝60°，
∴∠AOM＝120°.
∴∠AON＝180°－∠AOM＝60°.
2．[2024庆阳期中]如图，AB是⊙O的一条弦，C是⊙O上一动点，且∠ACB＝45°，E，F分别是AC，BC的中点，直线EF与⊙O交于点G，H.若⊙O的半径为2，求GE＋FH的最大值．
题型2 利用直径是圆中最长的弦求最值
3．[2024泰安期末]如图，⊙M的半径为4，圆心M的坐标为(6，8)，点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA，PB与x轴分别交于A，B两点，若点A，B关于原点O对称，求AB的最大值．
题型3 利用直角三角形的性质求最值
【解】如图，连接PO.∵PA⊥PB，∴∠APB＝90°.
∵点A，B关于原点O对称，∴AO＝BO.∴AB＝2PO.
若要使AB取得最大值，则PO需取得最大值，
连接OM并延长交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP取得最大值，过点M作MQ⊥x轴于点Q，
则OQ＝6，MQ＝8，∴OM＝10.
又∵MP′＝r＝4，
∴OP′＝MO＋MP′＝10＋4＝14.
∴AB的最大值＝2OP′＝2×14＝28.
题型4 利用垂线段最短求最值
题型5 其他最值问题
【解】如图，连接AD，过点O作OM⊥BC，交BC于点N，交⊙O于点M，过点F作FH⊥BC于点H.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，AB＝2OB＝10.(共11张PPT)
阶段拔尖专训6
巧用勾股定理解决圆的计算问题
题型1 运用“单勾股”列方程
2．[2024绍兴期中]如图，有一座拱桥在正常水位时，水面的宽AB为20 m，水位再上升3 m时，水面的宽CD为10 m，此时水面到拱桥最高点P的距离为1 m(PM⊥AB于点M，交CD于点N). 关于这座桥的形状，四名学生的意见如下：
题型2 运用“双勾股”列方程
小敏说：这座桥的形状是圆弧形，不是抛物线形．
小刚说：这座桥的形状是抛物线形，不是圆弧形．
小亮说：这座桥的形状既是圆弧形，又是抛物线形，因为圆弧形是特殊的抛物线形．
小强说：这座桥的形状既不是圆弧形，又不是抛物线形，因为它不符合这两种曲线的特征．
以上四名同学的意见，只有一个是正确的，你认为谁的意见正确？请通过计算说明．
【解】小刚的意见正确，说明如下：
先假设这座桥的形状是抛物线形，
如图①，以点P为原点，PM所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，
由题意易知，D(5，－1)，B(10，－4)．
再假设这座桥的形状是圆弧形，则易知圆心O在PM的延长线上，连接OA，OC，如图②，
设半径OA＝r，则易知OM＝r－4，ON＝r－1，
∴在Rt△AOM中，由勾股定理，得OM2＋AM2＝AO2，
即(r－4)2＋102＝r2，
解得r＝14.5，∴ON＝14.5－1＝13.5.
∴在Rt△CON中，CN2＋ON2＝52＋13.52＝207.25≠14.52，
∴这座桥的形状不是圆弧形．
∴小刚的意见是正确的．
