(共32张PPT)
第2章 圆
专题7 与切线有关的辅助线
1．如图，以AB为直径的⊙O经过点P，C，且∠ACP＝60°，D是AB延长线上一点，PA＝PD.试判断PD与⊙O的位置关系，并说明理由．
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【解】PD与⊙O相切．理由如下：连接PO.
由圆周角定理得∠AOP＝2∠ACP＝120°，∴∠BOP＝60°.
∵OA＝OP，∴易得∠OAP＝∠OPA＝30°.
∵PA＝PD，∴∠D＝∠OAP＝30°.
∴∠OPD＝180°－∠BOP－∠D＝90°.∴OP⊥PD.
又∵OP是⊙O的半径，∴PD与⊙O相切．
2．[2025广安]如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，点E在BC的延长线上，连接AE，∠ABE＝∠CAE.
(1)求证：AE是⊙O的切线．
【证明】如图所示，连接OA.
∵OB＝OA，∴∠OAB＝∠ABE.
∵∠ABE＝∠CAE，∴∠OAB＝∠CAE.
∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，
∴∠OAC＋∠CAE＝∠OAC＋∠OAB＝90°，
∴∠OAE＝90°，∴OA⊥AE.
又∵OA是⊙O的半径，∴AE是⊙O的切线．
(2)过点C作CD⊥AE，垂足为D，若△ABC的面积是△ADC面积的3倍，CE＝12，求AE的长．
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3．[2025长沙天心区期末]如图，AB是⊙O的直径，射线BC交⊙O于点D，E是劣弧AD上一点，且BE平分∠ABC，过点E作EF⊥BC于点F，延长FE交BA的延长线于点G.
(1)求证：GF是⊙O的切线；
【证明】如图，连接OE.
∵BE平分∠FBA，∴∠1＝∠2.
∵OB＝OE，∴∠2＝∠3.
∴∠1＝∠3.∴OE∥BF.
∵BF⊥GF，∴OE⊥GF.
又∵OE是⊙O的半径，∴GF是⊙O的切线．
(2)若AG＝4，GE＝8，求⊙O的半径和EF的长．
【解】设OA＝OE＝r，则OG＝r＋4.
在Rt△GOE中，OG2＝GE2＋OE2，
即(r＋4)2＝82＋r2，
解得r＝6，即⊙O的半径为6，∴OG＝10.
作EH⊥BG于点H，如图．
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4． 如图，AB是⊙O的直径，AD和BC分别切⊙O于A，B两点，CD与⊙O有公共点E，且AD＝DE.
(1)求证：CD是⊙O的切线；
【证明】连接OD，OE.
∵AD切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，∴DA⊥AB.∴∠DAB＝90°.
∵AD＝ED，OA＝OE，OD＝OD，
∴△ADO≌△EDO.
∴∠OED＝∠OAD＝90°.∴OE⊥CD.
又∵OE是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线．
(2)若AB＝12，BC＝4，求AD的长．
【解】过点C作CH⊥AD于点H，则∠CHA＝90°.
∵AB是⊙O的直径，AD和BC分别切⊙O于A，B两点，∴∠DAB＝∠ABC＝90°.
∴四边形ABCH是矩形．
∴CH＝AB＝12，AH＝BC＝4.
∴DH＝AD－AH＝AD－4.
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∵CD切⊙O于点E，CB切⊙O于点B，∴CE＝CB＝4.
又∵AD＝DE，∴CD＝AD＋4.
∴在Rt△CHD中，CH2＋DH2＝CD2，即
122＋(AD－4)2＝(AD＋4)2，解得AD＝9.
5．[2025苏州一模]如图，C，D为线段AB上两点，且AD＝10，CD＝2，BC＝3，过点D作AB的垂线，与以AC为直径的⊙O交于点E，作射线BE.
(1)求证：BE为⊙O的切线；
【证明】连接OE.
∵AD＝10，CD＝2，BC＝3，
∴AC＝AD＋CD＝12，BD＝CD＋BC＝5.
∴⊙O半径OE＝OA＝OC＝6.
∴OD＝OC－CD＝4.
∵OE＝6，OB＝OC＋BC＝9，∴OE2＝36，OB2＝81.
∵OE2＋EB2＝36＋45＝81＝OB2，
∴在△OEB中，∠OEB＝90°，即OE⊥BE.
又∵OE是⊙O的半径，∴BE为⊙O的切线．
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6．[2025南昌模拟]【课本再现】如图，△ABC是等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D.求证：AC是⊙O的切线．
【证明】如图，过点O作OE⊥AC，垂足为E，
连接OD，OA.
∵⊙O与AB相切于点D，∴OD⊥AB.
又∵△ABC是等腰三角形，O是底边BC的中点，
∴AO是∠BAC的平分线．
∴OE＝OD.
∴OE是⊙O的半径．
∴AC是⊙O的切线．
【问题提出】若⊙O的半径为3，则AD与BD的乘积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．
【解】是定值，定值为9.理由如下：
∵AB＝AC，O是底边BC的中点，
∴AO⊥BC，∴∠BAO＋∠B＝90°.
∵OD⊥AB，∴∠DOB＋∠B＝90°.
∴∠BAO＝∠DOB.
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7．如图，在△ABC中，O为AC上一点，以O为圆心，OC长为半径作圆，与BC相切于点C，过点A作AD⊥BO，交BO的延长线于点D，且∠AOD＝∠BAD.
(1)求证：AB为⊙O的切线；
【证明】过点O作OE⊥AB于点E，则∠OEB＝90°.
∵BC切⊙O于点C，∴∠OCB＝90°.
∵AD⊥BD，∴∠ADB＝90°.∴∠OCB＝∠ADB.
∵∠AOD＝∠BOC，∴∠CBD＝∠OAD.
∵∠AOD＝∠BAD，∠D＝∠D，∴∠OAD＝∠ABD.
∴∠ABD＝∠CBO.
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第2章 圆
测素质 直线与圆的位置关系
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B
一、选择题(每题5分，共35分)
1. 如图是“光盘行动”的宣传海报，图中餐盘与筷子可看成直线和圆的位置关系是( )
A．相切
B．相交
C．相离
D．平行
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心作⊙C，半径为r，已知直线AB和⊙C有交点，则r的取值范围为( )
A．r＞3 B．r＞2.4
C．r＜4 D．r≥2.4
D
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D
C
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5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC＝124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为( )
A．56°
B．62°
C．68°
D．78°
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【点拨】∵点I是△ABC的内心，∴∠BAC＝2∠IAC，∠ACB＝2∠ICA.∵∠AIC＝124°，∴∠B＝180°－(∠BAC＋∠ACB)＝180°－2(∠IAC＋∠ICA)＝180°－2(180°－∠AIC)＝68°.又∵四边形ABCD内接于⊙O，∴易得∠CDE＝∠B＝68°.
【答案】 C
【点拨】如图所示，过点O作OE⊥AC于点E，OF⊥AB于点F，OG⊥BC于点G，连接OA，OB.∵点O是Rt△ABC的内心，∴OE＝OF＝OG，CO平分∠ACB.
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【答案】 B
【点拨】连接BD，AO交于点E，过点O作OF⊥CD于点F，过点D作DH⊥BC于点H，如图所示．设OE＝a，半圆O的半径为r.∵AB，AD是半圆O的切线，切点分别是B，D，∴OB⊥AB，AD＝AB，
∠DAO＝∠BAO.∴易得DE＝BE，
∠BAD＝2∠BAO，OA⊥BD.
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【答案】 B
二、填空题(每题5分，共25分)
8． 如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，过A，B，C三点作一圆弧，则圆心的坐标是_______．
(2，1)
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2
9．[2025德阳期末]已知⊙O的半径是一元二次方程x2－2x－3＝0的一个根，圆心O到直线l的距离d＝2，则直线l与⊙O的交点有________个．
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10. 如图，在△ABC中，AC＝2，BC＝4，点O在BC上．以OB长为半径的⊙O与AC相切于点A，D是BC边上的动点．当△ACD为直角三角形时，AD的长为_________．
【点拨】如图，连接OA，过点A作AD⊥BC于点D.∵⊙O与AC相切于点A，OA是⊙O的半径，∴OA⊥AC.由题意可知，D点的位置分为两种情况：
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11. 如图，PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点B，点C在PA上，且CB＝CA.若OA＝5，PA＝12，则AC的长为_______．
【点拨】如图，连接OC.∵PA与⊙O相切于点A，∴∠OAP＝90°.∵OA＝OB，OC＝OC，CA＝CB，∴△OAC≌△OBC.∴∠OBC＝∠OAP＝90°.
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【点拨】如图，连接OP，OQ.∵PQ是⊙O的切线，∴OQ⊥PQ.根据勾股定理知PQ2＝OP2－OQ2.∵OQ＝1，为定值，∴当OP最短时，PQ最短，即当PO⊥AB时，线段PQ最短．
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三、解答题(共40分)
13．(12分)如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F.
(1)若AB＝6，AC＝4，BC＝8，求CE的长；
【解】由切线长定理可知AE＝AF，BD＝BF，CE＝CD.
设CE＝CD＝x，则BF＝BD＝8－x，AF＝AE＝4－x.
∴8－x＋4－x＝6，解得x＝3.∴CE＝3.
(2)若∠A＝70°，求∠BOC的度数．
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14．(12分)如图，将矩形ABCD(AD>AB)沿对角线BD翻折，点C的对应点为点C′，以矩形ABCD的顶点A为圆心，r为半径画圆，⊙A与BC′相切于点E，延长DA交⊙A于点F，连接EF交AB于点G.
(1)求证：BE＝BG；
【证明】如图，连接AE.∵BC′与⊙A相切于点E，
∴AE⊥BE.∴ ∠BEG＋∠AEG＝90°.
∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°.
∴∠BAF＝90°.∴∠AGF＋∠F＝90°.
∵AF＝AE，∴∠F＝∠AEG.∴∠AGF＝∠BEG.
又∵∠AGF＝∠BGE，∴∠BEG＝∠BGE.∴BE＝BG.
(2)当r＝1，AB＝2时，求BC的长．
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(1)求证：△BON≌△DOM；
(2)若点G在EF的延长线上，且∠BOF＝2∠G，求证：CG是⊙O的切线；
【证明】如图，连接AF交OC于点H.
∵OA＝OF，∴∠OAF＝∠AFO.
∴∠BOF＝2∠AFO.
∵∠BOF＝2∠G，
∴∠G＝∠AFO.∴AF∥CG.
(3)求⊙O的半径．
【解】设⊙O的半径为r.
∵四边形ONBF是平行四边形，
∴BF＝ON＝2，BN＝OF＝r.
∵△BON≌△DOM，∴DM＝BN＝r.
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第2章 圆
专题5 垂径定理模型的应用
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C
1．[2025温州月考]如图，直角坐标系中的点A(0，4)，B(4，4)，C(6，2)，经过A，B，C三点的圆，圆心为M，则点M的坐标为( )
A．(1，－1)
B．(1，0)
C．(2，0)
D．(2，1)
2．如图，在由边长均为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点都在格点(小正方形的顶点)上，则△ABC外接圆的半径为________．
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3. 如图，以点P为圆心的圆弧与x轴交于A，B两点，点P的坐标为(4，2)，点A的坐标为(2，0)，则点B的坐标为________．
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(6，0)
①当弦AB，AC在圆心O的同侧时，∠BAC＝∠BAO－∠CAO＝45°－30°＝15°；②当弦AB，AC在圆心O的异侧时，∠BAC＝∠BAO＋∠CAO＝45°＋30°＝75°.综上，∠BAC的度数为75°或15°.
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【答案】C
公式中“弦”指圆弧所对弦长AB，“矢”等于半径长与圆心O到弦的距离之差．在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为2，则cos∠OAB的值为________．
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6． 如图，⊙O的直径为10 cm，弦AB＝8 cm，P是弦AB上的一个动点，连接OA，OP，则OP的长度范围为________________．
3 cm≤OP≤5 cm
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7．如图，AB是⊙O内的一条弦．
(1)尺规作图(保留作图痕迹，标明字母)：作弦AB的垂直平分线EF，EF与AB交于点P(垂足为P)，与⊙O交于点E，F(点E在弦AB的上方)，连接OA，OB.
【解】如图所示．
(2)在所作的图中，若AB＝24，⊙O的半径为13，求PF的长．
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8．[2025安徽]如图，四边形ABCD的顶点都在半圆O上，AB是半圆O的直径，连接OC，∠DAB＋2∠ABC＝180°.
(1)求证：OC∥AD；
【证明】∵∠AOC＝2∠ABC，∠DAB＋2∠ABC＝180°，∴∠DAB＋∠AOC＝180°，∴OC∥AD.
【解】连接BD，交OC于点E.
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ADB＝90°，即AD⊥BD.
∵OC∥AD，∴OC⊥BD，
∴点E为BD的中点．
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(1)请用圆规和无刻度的直尺画出⊙O，不写作法，保留作图痕迹；
【解】画⊙O如图①所示．
(2)求⊙O的半径；
【解】如图②，过点A作AD⊥BC，
垂足为D，连接OB，OC.
∵AB＝AC，AD⊥BC，∴AD垂直平分BC.
又∵OB＝OC，∴点O在BC的垂直平分线上，即点O在AD上．
(3)若在同一平面内的⊙P也经过B，C两点，且PA＝2，请直接写出⊙P的半径的长．
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10. 【问题情境】如图①，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，利用水的冲力旋转，当转过一定角度时，原先浸在水里的竹筒将提升到一定高度，从而使水流入木槽．假定在水流量稳定的情况下，
筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做
匀速圆周运动，每旋转一周用时120 s.
【问题设置】如图②，把筒车抽象为一个半径为r m的⊙O.筒车涉水宽度AB＝3.6 m，筒车涉水深度(劣弧AB的中点到水面的距离)是0.6 m．筒车开始
工作时，⊙O上C处的某盛水筒到水面
AB的距离是0.9 m，经过85 s后，该
盛水筒旋转到点D处．
【问题解决】
(1)求该筒车的半径；
∵OF＝r m，EF＝0.6 m，∴OE＝(r－0.6) m.
∵在Rt△OAE中，OE2＋AE2＝OA2，OA＝r m，
∴(r－0.6)2＋1.82＝r2，解得r＝3.
∴该筒车的半径为3 m.
(2)当盛水筒旋转至D处时，求它到水面AB的距离．
【解】如图，过点C，D分别作CH⊥OF，DG⊥OF，交OF于点H，G.
由(1)知OF＝OC＝OD＝3 m，
∴OE＝OF－EF＝3－0.6＝2.4(m)．
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11．某市一大型地下横截面为圆形的排污管道突然爆裂，为了使人们的生活不受影响，相关部门组织专业人员抢修．爆裂后的管道横截面如图所示，经测量得出管道内水面宽AB为8米．
(1)请利用尺规作图的方法找到管道横截面的圆心O；(保留作图痕迹，不写作法)
【解】如图①.
(2)为了保证安全作业，经过紧急排污处理后，水面下降1米后的水面CD 宽为6米，请求出此时水面的最大深度．
【解】如图②，过点O作ON⊥AB于点G，交CD和圆弧于点H，N，连接AO，OC.
由题意可得，GH＝1米，AB∥CD，∴OH⊥CD.∴NH的长即为所求水面的最大深度．
∴ON＝OC＝5米．
∴NH＝ON－OG－GH＝1米，
即此时水面的最大深度为1米．
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第2章 圆
专题8 圆中常见的计算题型
50 cm
1. 如图是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连接外圆上的两点A，B，作半径OC⊥弦AB交外圆于点C，交内圆于点D.测得CD＝10 cm，AB＝60 cm，则这个车轮的外圆半径长是__________．
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2．在⊙O中，直径AB＝6，BC是⊙O的弦，∠ABC＝30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ.
(1)如图①，当PQ∥AB时，求PQ的长；
(2)如图②，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值．
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【点方法】圆中与弦有关的计算或证明问题，往往需要连接半径，以构造直角三角形，从而应用勾股定理进行计算．
3．[2025东营]如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD＝130°，则∠ECD的度数是( )
A．50°
B．55°
C．65°
D．70°
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C
4．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接AC，BC，作CD平分∠ACB交⊙O于点D，连接AD，BD，若∠ABC＝30°，则∠CAD的度数为( )
A．100°
B．105°
C．110°
D．120°
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【点拨】∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.又∵∠ABC＝30°，∴∠BAC＝90°－∠ABC＝90°－30°＝60°.∵CD平分∠ACB，∴∠BCD＝45°.∴∠BAD＝45°.∴∠CAD＝∠BAC＋∠BAD＝60°＋45°＝105°.
【答案】 B
5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝45°，BC＝4，则⊙O的直径为________．
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6．已知△ABC是⊙O的内接三角形，且AB＝AC，∠BAC＝52°，D是⊙O上除A，B，C之外的任意一点，直线CD与直线AB相交于点E，则当△ADC为等腰三角形时，∠AEC的度数为_____________．
70°或76°或20°
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7．[2025青岛月考]正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高，用材最少，空间最大，也最为坚固．如图，某蜂巢的房孔是边长为8的正六边形ABCDEF，若⊙O的内接正六边形为正六边形ABCDEF，则BF的长为________．
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8．同一个圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距之比为___________．
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9．如图，以点O为圆心，AB长为直径作⊙O，在⊙O上取一点C，连接AC，BC，延长AB至点D，连接DC，∠DCB＝∠DAC，过点A作AE⊥AD交DC的延长线于点E.
(1)求证：CD是⊙O的切线；
【证明】如图，连接OC.
∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，
即∠BCO＋∠OCA＝90°.
∵OC＝OA，∴∠OCA＝∠OAC.
又∵∠DCB＝∠DAC，∴∠OCA＝∠DCB.
∴∠DCB＋∠BCO＝90°，即∠DCO＝90°.∴OC⊥DC.
又∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线．
(2)若CD＝4，DB＝2，求AE的长．
【解】∵∠DCO＝90°，∴OC2＋CD2＝OD2.
又∵OC＝OB，CD＝4，DB＝2，∴OB2＋42＝(OB＋2)2.
∴OB＝3.∴AB＝6.
∵AE⊥AD，AB是⊙O的直径，∴AE是⊙O的切线．
又∵CD是⊙O的切线，∴AE＝CE.∵AD2＋AE2＝DE2，∴(6＋2)2＋AE2＝(4＋AE)2，解得AE＝6.
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【答案】D
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11．如图，在圆心角为90°的扇形CAB内，以BC为直径作半圆，连接AB.若AC＝2，则阴影部分的面积为________．
π－1
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【点方法】计算不规则图形的面积时，常常通过割补法将不规则图形的面积转化为几个规则图形面积的和或差．
12．如图，三个小正方形的边长都为1，求图中阴影部分面积的和．(结果保留π)
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【点方法】利用凑整法可将图中阴影部分拼成一个圆心角为135°、半径是1的扇形．
(1)求证：CE是⊙O的切线；
(2)若∠BAC＝30°，AB＝4，求阴影部分的面积．
【解】如图，连接OF，交AC于点M.
∵OA＝OC，∠BAC＝30°，
∴∠BAC＝∠ACO＝30°，∠BOC＝60°.
∵AD⊥CE，由(1)知OC⊥CE，∴AD∥OC.
∴∠FAM＝∠OCM＝30°，∠FAB＝∠BOC＝60°.
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14．如图，在平面直角坐标系中，以A(5，1)为圆心，以2个单位长度为半径的⊙A交x轴于点B，C，解答下列问题：
(1)将⊙A向左平移______个单位长度与
y轴首次相切，得到⊙A′，此时点A′
的坐标为__________，阴影部分的
面积为__________；
3
(2，1)
6
(2)求BC的长．
【解】如图，连接AC，过点A作AD⊥BC于点D，
则BC＝2DC.
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【解】如图，连接OO′，AO′，AB，A′B.根据旋转可知，∠OBO′＝60°＝∠ABA′.∵OB＝BO′，∴△OBO′为等边三角形．∴∠BOO′＝60°，OO′＝BO.∵OA＝OB，∴OO′＝OA.又∵∠AOB＝120°，∴∠AOO′＝60°.∴△AOO′为等边三角形．
∴AO′＝AO.∴OA＝OB＝BO′＝AO′.
∴四边形AOBO′为菱形， S弓形AO′＝S弓形BO′.
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第2章 圆
测素质 圆及圆的基本性质
一、选择题(每题4分，共32分)
1．下列说法正确的是( )
A．半圆或直径所对的圆周角是直角
B．平分弦的直径垂直于弦
C．相等的弦所对的弧相等
D．相等的圆心角所对的弧相等
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A
2．如图，AB，AC是⊙O的两条弦，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，连接OB，OC，若∠DOE＝130°，则∠BOC的度数为( )
A．95°
B．100°
C．105°
D．130°
B
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3．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，若∠BCD＝28°，则∠ABD＝( )
A．72°
B．62°
C．52°
D．28°
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B
B
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5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠ABD＝20°，则∠BCD的度数是( )
A．90°
B．100°
C．110°
D．120°
【点拨】∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.又∵∠ABD＝20°，∴∠DAB＝70°.∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BAD＋∠BCD＝180°.∴∠BCD＝110°.
【答案】 C
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6． 一面墙上有一个宽为1.5米，高为2米的矩形门洞，现要将其改造成圆弧形门洞(如图)，则改造后圆弧形门洞的最大高度是( )
A．2.25米
B．2.2米
C．2.15米
D．2.1米
A
A
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【点拨】如图，作OQ⊥AB，连接OP，OD，OC，PQ.∵CD＝，OC＝OD＝1，∴OC2＋OD2＝CD2.∴△OCD为等腰直角三角形．
由y＝－x－2，得A(－2，0)，
B(0，－2)．∴OA＝OB＝2.
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【答案】 D
二、填空题(每题5分，共20分)
9. 已知⊙O的面积是16π，点P到圆心O的距离d为方程x2－4x－5＝0的一个根，则点P与⊙O的位置关系为______________．
点P在⊙O外
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10．如图，在坐标系中，点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上，⊙D经过A，B，O，C四点，∠ACO＝120°，AB＝4，则圆心D的坐标是________．
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11．[2025北京西城区模拟]如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，P 是矩形上方一个动点，且满足∠APB＝90°，连接DP，则DP的最大值是________．
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12．如图，将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高AB＝20 cm，底面直径BC＝12 cm，球的最高点到瓶底面的距离为32 cm，则球的半径为________cm(玻璃瓶厚度忽略不计)．
7.5
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(1)求证：△ACD∽△ECB；
(2)若AC＝3，BC＝1，求CE的长．
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14．(12分)已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线BD是⊙O的直径．
(1)如图①，连接OA，CA，若OA⊥BD，求证：CA平分∠BCD；
【解】如图，延长AE交BC于点M，延长CE交AB于点N.
∵AE⊥BC，CE⊥AB，
∴∠AMB＝∠CNB＝90°.
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15．(12分)如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADB.
(1)请说明DB平分∠ADC，并求∠BAD的大小；
(2)过点A作AF∥CD交CB的延长线于点F，若AC＝AD，BF＝3，求此圆半径的长．
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16．(12分)如图，AB是⊙O的直径，BC，BD是⊙O的两条弦，点C与点D在AB的两侧，E是OB上一点(OE＞BE)，连接OC，CE，且∠BOC＝2∠BCE.
(2)如图②，若BD＝2OE，求证：BD∥OC.
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∵BD＝2OE，∴OE＝BK.
由(1)可得∠CEO＝90°，
∴∠CEO＝∠OKB＝90°.
又∵OC＝OB，∴Rt△OEC≌Rt△BKO.
∴∠COE＝∠OBK.∴BD∥OC.(共35张PPT)
第2章 圆
专题6 构造圆的基本图形的八大技法
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C
(1)求圆心O到弦MN的距离；
(2)求∠ACN的度数．
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(1)求证：∠A＝∠C；
(2)若OD＝DC，求∠A的度数．
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【解】设∠A＝∠C＝x°.∵OA＝OP，
∴∠A＝∠OPA＝x°，∴∠POB＝2∠A＝2x°.
∵OD＝DC，∴∠DOC＝∠C＝x°.
∵OP＝OC，∴∠OPC＝∠C＝x°.
在△POC中，x＋x＋2x＋x＝180，解得x＝36.
∴∠A＝36°.
4．如图，AB是⊙O的弦，OB＝2，∠B＝30°，点C是弦AB上一动点(不与点A，B重合)，连接CO并延长交⊙O于点D，连接AD.
(1)弦AB的长为________．
(2)当∠D＝20°时，∠BOD的度数为________．
【点拨】如图，连接OA.
∵OA＝OB＝OD，∠B＝30°，∠D＝20°，
∴∠OAB＝∠B＝30°，∠OAD＝∠D＝20°.
∴∠BAD＝∠OAB＋∠OAD＝30°＋20°＝50°.
∴∠BOD＝2∠BAD＝100°.
100°
(3)当AC的长度为多少时，以A，C，D为顶点的三角形与以B，O，C为顶点的三角形相似？
【解】∵∠BCO＝∠DAB＋∠D，
∴∠BCO＞∠DAB，∠BCO＞∠D.
∴要使△DAC与△BOC相似，只能∠DCA＝∠BCO＝90°.
∴∠BOC＝60°.∴∠BOD＝120°，
∴∠DAC＝60°＝∠BOC.∴△DAC∽△BOC.
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5．[2025重庆]如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接AC.以AC为边作菱形ACDE，CD交⊙O于点F，AB⊥CD，垂足为G.连接AD，交⊙O于点H，连接EH.若AG＝12，GF＝5，则DF的长
度为________，EH的长度为
________．
3
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6．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交AC于点E.
(1)求证：D是边BC的中点；
【证明】如图，连接AD.
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，
又∵AB＝AC，∴BD＝CD，
即D是边BC的中点．
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7．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12.P是线段AD上一动点，点E为线段BP上一点，连接AE，CE，∠BCE＝∠ABP，则AE的最小值为( )
A．4
B．5
C．6
D．8
【点拨】∵四边形ABCD为矩形，∴∠ABP＋∠CBP＝∠ABC＝90°.又∵∠BCE＝∠ABP，∴∠BCE＋∠CBP＝90°.∴∠BEC＝90°.∴点E在以BC的中点O为圆心，OB长为半径的半圆上运动．
如图所示，连接OA交半圆于点E，
此时AE有最小值．
【答案】A
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(1)求⊙O的半径的长；
【解】如图，连接OA，OC，作OH⊥AC于点H.
∵∠ABC＝120°，
∴∠AMC＝180°－∠ABC＝60°.
∴∠AOC＝2∠AMC＝120°.
(2)求证：AB＋BC＝BM.
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又∵BE＝BC，∴△EBC是等边三角形．
∴CE＝CB，∠CEB＝60°.
∴∠MEC＝180°－∠CEB＝120°＝∠ABC.
又∵∠CMB＝∠CAB，
∴△ABC≌△MEC(AAS)．∴AB＝ME.
∵ME＋EB＝BM，∴AB＋BC＝BM.
(1)求证：AE＝BE.
(2)判断BE与EF是否相等，请说明理由．
【解】BE＝EF.理由如下：
由(1)知∠BAC＝90°，
∴∠BAE＋∠FAD＝∠ABF＋∠AFB＝90°.
又∵∠BAE＝∠ABF，
∴∠FAD＝∠AFB.∴EF＝AE.
又∵AE＝BE，∴BE＝EF.
(3)小李通过操作发现CF＝2AB，请问小李的发现是否正确？若正确，请说明理由；若不正确，请写出CF与AB之间正确的关系式．
【解】小李的发现是正确的．理由如下：
如图，连接CP，延长BA，CP交于点G.
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第2章 圆
全章热门考点整合应用
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C
1．下列说法中，正确的有( )
①半圆是弧，弧也是半圆；②直径是圆中最长的弦；③半径相等的两个半圆是等弧；④半径相等的两个圆是等圆；⑤顶点在圆上的角是圆周角．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
C
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12
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B
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【答案】D
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【答案】D
7．[2025西安铁一中模拟]如图，已知AB是⊙O的直径，E为CD的中点，CD＝BC，连接OC，若OB＝2，则AE的长为________．
1
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8．如图，已知∠ACB＝30°，CM＝2，AM＝5，以点M为圆心，r为半径作⊙M，当⊙M与线段AC有交点时，r的取值范围是________．
1≤r≤5
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9. 如图，已知O为坐标原点，点A的坐标为(2，3)，⊙A的半径为1，过A作直线l平行于x轴，点P在l上运动．
(1)当点P运动到⊙A上时，求线段OP的长；
(2)当点P的坐标为(4，3)时，试判断直线OP与⊙A的位置关系，并说明理由．
【解】直线OP与⊙A相离．理由如下：如图，过点A作AM⊥OP，垂足为M.∵P(4，3)，∴OC＝3，CP＝4，AP＝2.
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10．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线与BA的延长线交于点D，点E在⊙O上(不与点B，C重合)，连接BE，CE.若∠D＝40°，则∠BEC的度数为( )
A．100°
B．110°
C．115°
D．120°
C
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11．[2025南充]如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，以CD为直径的⊙O交BC于点E，交AC于点F，M为线段DB上一点，ME＝MD.
(1)求证：ME是⊙O的切线．
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20
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13．如图，⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，垂足分别为D，E，F，连接DE，EF，FD.若DE＋DF＝6.5, △ABC的周长为21，则EF的长为( )
A．8
B．4
C．3.5
D．3
【答案】B
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【答案】C
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【答案】A
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17．[2025北京西城区月考]如图，在四边形ABCD中，AD＝CD＝4，AB＝BC，∠ADC＝120°，∠ABC＝90°，O为AC的中点，分别以A，C为圆心，AO长为半径作圆，得扇形AEF与扇形CHG(∠EAF，
∠HCG为圆心角)，则阴影部分
的面积为______________．
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18．[2025泸州]如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD＝10，⊙O与梯形ABCD的各边都相切，且⊙O的面积为16π，则点B到CD的距离为________．
【点拨】设AD，CD，BC分别与⊙O的切点记为点E，F，G，连接OE，OG，OF，过点D作DH⊥BC于点H，过点B作BK⊥CD于点K，过点A作AM⊥BC于点M，如图，则OE⊥AD，OF⊥CD，
OG⊥BC，DE＝DF，CF＝CG.
∴∠OGC＝∠OED＝∠DHG＝
∠DHC＝∠BKC＝90°.
∵在梯形ABCD中，AD∥BC，∴点E，O，G共线，∴四边形EGHD为矩形，∴EG＝DH，DE＝HG.∵⊙O的面积为16π，∴πOE2＝16π，∴OE＝4(负值已舍去)，∴EG＝2OE＝8＝DH.设DE＝DF＝HG＝x.∵CD＝10，∴CG＝CF＝10－x，∴CH＝CG－HG＝10－2x. ∵在Rt△DHC中，DH2＋HC2＝DC2，∴82＋(10－2x)2＝102，解得x＝2或x＝8(不合题意，舍去)，∴CH＝10－2×2＝6.
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19. 如图所示，菱形ABCD的顶点A，B在x轴上，点A在点B的左侧，点D在y轴的正半轴上，∠BAD＝60°，点A的坐标为(－2，0)．
(1)线段AD所在直线的函数表达式为____________．
(2)动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，按照A→D→C→B→A的顺序在菱形的边上匀速运动一周，设运动时间为t s．当t为何值时，以点P为圆心、1为半径的圆与对角线AC相切？
【解】如图所示．∵四边形ABCD是菱形，
∴易知∠DCB＝∠BAD＝60°，DC＝CB＝BA＝AD＝4.
∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝30°.
①当点P在AD上，圆与AC相切时，
易得AP1＝2，∴t1＝2；
②当点P在DC上，圆与AC相切时，易得CP2＝2，∴DP2＝2.∴AD＋DP2＝6.∴t2＝6；
③当点P在BC上，圆与AC相切时，易得CP3＝2，∴AD＋DC＋CP3＝10.∴t3＝10；
④当点P在AB上，圆与AC相切时，易得AP4＝2，∴BP4＝2.∴AD＋DC＋CB＋BP4＝14.∴t4＝14.
综上，当t的值为2或6或10或14时，以点P为圆心、1为半径的圆与对角线AC相切．
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【证明】过点O作OH⊥AB于点H.
∵AB＝BC＝CA，∴△ABC是等边三角形．
∴∠B＝∠C＝60°.
∵△ABC是⊙O的内接三角形，OD⊥BC，OH⊥AB，OE⊥AC，
∴∠BHO＝∠BFO＝∠CFO＝∠CGO＝90°，BH＝BF＝CF＝CG，OH＝OF＝OG.
∴∠FOH＝∠FOG＝360°－90°－90°－60°＝120°.
【证明】过圆心O分别作OM⊥BC，ON⊥AC，垂足分别为M，N，则有∠OMF＝∠ONG＝90°，OM＝ON，∠MON＝∠FOG＝120°，
∴∠MON－∠FON＝∠FOG－∠FON，
即∠MOF＝∠NOG.∴△MOF≌△NOG.
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第2章 圆
测素质 与圆有关的计算
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A
一、选择题(每题5分，共35分)
1．已知一个扇形的圆心为150°，半径为6，则这个扇形的面积是( )
A．15π B．10π C．5π D．2.5π
2．中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线(即圆弧)示意图，高铁列车在转弯时的曲线起点为A，曲线终点为B，过点A，B的两条切
线相交于点C，列车在从A到
B行驶的过程中转角α为60°.
【答案】B
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3．[2025长沙芙蓉区一模]如图，正五边形ABCDE的外接圆为⊙O，P为劣弧AB上一点，则∠APB＝( )
A．136°
B．162°
C．108°
D．144°
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D
4．我们知道，除三角形外，其他多边形都不具有稳定性．如图，将正五边形OABCD的边AB固定，向右推动该正五边形，使得O为AD的中点，且点A，B，C，D在以点O为圆心的圆上，过点C作⊙O的切线EF，则∠BCF的度数为( )
A．18° B．30°
C．36° D．54°
B
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A
【点拨】如图，作点D关于OB的对称点D′，连接AD′，CD′，OD′，则CD＝CD′，OD＝OD′，∠DOB＝∠BOD′，∴AC＋CD＝AC＋CD′≥AD′，
当A，C，D′共线时取等号，此时，
AC＋CD最小，即阴影部分周长的
值最小，
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【答案】A
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【答案】D
二、填空题(每题5分，共20分)
8. 如图，“莱洛三角形”是机械学家莱洛研究发现的一种曲边三角形，转子发动机的设计就是利用了莱洛三角形．它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧，若该等边三角形的边长为10，则这个“莱洛三角形”
的周长是________．
10π
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9. 《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形ABCD的边长为4，以它的对角线的交点为位似中心，
作它的位似图形A′B′C′D′，若A′B′∶
AB＝2∶1，则四边形A′B′C′D′的
外接圆半径为________．
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10．[2025衡阳模拟]如图，正六边形ABCDEF的外接圆⊙O的半径为2，过圆心O的两条直线l1，l2的夹角为60°，则图中的阴影部分的面积为________．
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11. 某螺丝钉由头部(正六棱柱)和螺杆(圆柱)组合而成，其俯视图如图所示．小明将刻度尺紧靠螺杆放置，经过点A且交CD于点P，量得PC长为1 mm，正六边形ABCDEF的边长为4 mm.
(1)AP长为________mm；
7
(2)Q为圆上一点，则AQ的最小值为________mm.
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三、解答题(共45分)
12．(10分)如图，在⊙O的内接正八边形ABCDEFGH中，AB＝2，连接DG.
(1)求证：DG∥AB；
(2)求DG的长．
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13．(15分)[2025宿迁月考]如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，G，连接OD，过点D作EF⊥AC于点E，交AB的延长线于点F.
(1)求证：EF是⊙O的切线；
【证明】∵AB＝AC，∴∠C＝∠OBD.
∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD.
∴∠ODB＝∠C.∴OD∥AC.
∵EF⊥AC，∴EF⊥OD.
又∵OD是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线．
(2)当DB＝BF＝3时，求阴影部分的面积．
【解】∵BD＝BF＝3，∴∠BDF＝∠F.
∵OD⊥EF，∴∠ODF＝90°.
∴∠ODB＋∠BDF＝90°＝∠DOB＋∠F.
∴∠ODB＝∠BOD.
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14．(20分) 如图，是一个半圆形桥洞的截面示意图，圆心为O，直径AB是河底截线，弦CD是水位线，CD∥AB，AB＝20 m，OE⊥CD于点E.
5 m
(2)当水位的高度比(1)上升1 m时，有一艘宽为10 m，船舱顶部高出水面2 m的货船要经过桥洞(船舱截面为矩形MNPQ)，请通过计算判断该货船能否顺利通过桥洞？
【解】由(1)中水位高度为5 m可知此时水位高度
OE＝5＋1＝6(m)．
延长OE交MQ于点F，则OF⊥MQ，连接OM.
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