(共14张PPT)
第4章 概率
4．3 用频率估计概率
1．小星同学通过大量重复的定点投篮练习，估计他投中的概率为0.4，下列说法正确的是( )
A．小星定点投篮1次，不一定能投中
B．小星定点投篮1次，一定可以投中
C．小星定点投篮10次，一定投中4次
D．小星定点投篮4次，一定投中1次
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A
2．在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率和概率，下列说法正确的是( )
A．频率就是概率
B．频率与试验次数无关
C．在相同的条件下进行试验，如果试验次数相同，则各试验小组所得的频率的值也会相同
D．随着试验次数的增加，频率一般会逐步稳定在概率数值附近
D
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3. 社团课上，同学们进行了“摸球游戏”：在一个不透明的盒子里装有几十个除颜色不同外其余均相同的黑、白两种球，将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．
整理数据后，制作了“摸出黑球的频率”与“摸球的总次数”的关系图象(如图)，经分析可以推断盒子里个数比较多的是________．(填“黑球”或“白球”)
白球
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4. 2025年是农历乙巳年，1月5日，中国邮政《乙巳年》特种邮票全国首发．为了测得如图邮票上蛇形图案的面积，李华同学利用电脑模拟投针试验(在电脑上反复向邮票内随机投掷一个点，假设这个点落在邮票内的每一点都是等可能的)，经过反复大量的重复试验，发现这个点落在蛇形图案上的频率稳定在0.3
左右，若一张邮票的面积是6 cm2，则邮
票上蛇形图案的面积约为________．
1.8 cm2
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3.16
5．小瑶同学在学习概率知识后做了一个随机事件的试验．她把100粒米随机撒到如图所示的一张画有正方形及圆的白纸上，经计数，恰好落在圆内的米粒数为79粒，由此她估计圆周率π的值约为________．
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6．在硬地上抛掷一枚图钉，通常会出现两种情况：钉尖着地、钉尖不着地．下面是小明和同学做“抛掷图钉试验”获得的数据．
抛掷次数n 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1 000
钉尖不着地的频数m 63 120 186 252 310 360 434 488 549 610
钉尖不着地的频率 0.63 0.60 0.62 0.63 0.62 a 0.62 b 0.61 c
(1)求出表中a，b，c的值；
【解】a＝360÷600＝0.60，
b＝488÷800＝0.61，
c＝610÷1 000＝0.61.
(2)请在下图中画出该试验中，抛掷图钉钉尖不着地的频率的折线统计图；
【解】折线统计图如图所示．
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(3)根据“抛掷图钉试验”的结果，请估计“钉尖不着地”的概率．
【解】通过大量试验，发现频率围绕0.61上下波动，且趋于稳定，于是可以估计“钉尖不着地”的概率是0.61.(共15张PPT)
第4章 概率
4．1 随机事件与可能性
第2课时 随机事件可能性的大小
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B
1．天气预报显示，某地下周一到周五的降水可能性如图，则当地居民下周一到周五出门时，最有可能带雨具的是( )
A．周一 B．周二 C．周四 D．周五
2. 下列诗句表述的事件中，发生的可能性最小的是( )
A．离离原上草，一岁一枯荣
B．会当凌绝顶，一览众山小
C．危楼高百尺，手可摘星辰
D．东边日出西边雨，道是无晴却有晴
C
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3. 在某校艺体节的乒乓球比赛中，李东同学顺利进入总决赛，且个人技艺高超，有同学预测“李东夺冠的可能性是80%”，对该同学的说法理解正确的是( )
A．李东夺冠的可能性较小
B．李东和他的对手比赛10局时，他一定赢8局
C．李东夺冠的可能性较大
D．李东肯定会夺冠
【点拨】解本题时易对随机事件发生的可能性大小理解不透彻而致错，“李东夺冠的可能性是80%”表示李东有可能夺冠，且夺冠的可能性较大．
【点易错】可能性为80%的事件只是发生的可能性较大，不一定会发生，只有可能性为100%的事件才一定发生．
【答案】 C
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4. 如图，在A，B，C(AB>BC)三地之间的电缆有一处断点，断点出现在A，B两地之间的可能性为P1，断点出现在B，C两地之间的可能性为P2，则P1________P2.(填“>”“<”或“＝”)
＞
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5． 从一副扑克牌中任意抽取1张，则下列事件：①这张牌是“2”；②这张牌是“红桃”；③这张牌是“方块3”；④这张牌是“黑色的”．按其发生的可能性从小到大的顺序排列是____________．(填序号)
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③①②④
6．(1)不透明的袋子中装有红、黄、蓝三种颜色的球共20个，这些球除颜色外都相同，将球搅匀，从中任意摸出一个球，摸出的球是红球和不是红球的可能性一样，则黄球和蓝球共有________个．
(2)一个不透明的袋子中装有白、红、黑三种球，其中白球有3个，红球有8个，黑球有m(m≥1)个，这些球除颜色外完全相同．若从袋子中任意摸一个球，摸到黑球的可能性最小，则m的值可能是________．
10
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1或2
7．如图所示，一个可以自由转动的转盘(被平均分成10份)，转3次得到3个数字，这3个数字能组成一个数．
(1)你认为可能得到的最小数是多少？这种可能性大吗？
【解】可能得到的最小数是0，这种可能性很小．
(2)利用这个转盘，可能得到的最大三位数是多少？可能得到的最小三位数是多少？它们哪一个出现的可能性大？
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【解】可能得到的最大三位数是999，可能得到的最小三位数是100，它们出现的可能性相同．
8．某商家举行抽奖活动，设置如图所示的9个翻奖牌，翻奖牌的正面是编号1～9(图①)，背面是对应的奖品(图②)，若只能选择一个翻奖牌进行抽奖，请解决下面的问题：
(1)得到以下奖品的可能性最小的是( )
A．平板 B．手机 C．球拍 D．水壶
B
(2)在图③中请你设计翻奖牌反面剩余的奖品，奖品包含“手机”“球拍”“水壶”，使得抽到“水壶”的可能性>抽到“球拍”的可能性>抽到“手机”的可能性．
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【解】∵抽到“水壶”的可能性>抽到“球拍”的可能性>抽到“手机”的可能性，∴“水壶”需要出现3次，“球拍”需要出现2次，“手机”需要出现1次．故设计如下．(共17张PPT)
第4章 概率
4．1 随机事件与可能性
第1课时 事件的认识
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A
1．小美和小好同学玩“石头、剪刀、布”的游戏，两人同时出相同的手势，这个事件是( )
A．随机事件 B．不可能事件
C．必然事件 D．确定性事件
2. 成语是中华文化精髓的重要载体，其背后蕴含着丰富的历史典故与哲学智慧．下列成语所描述的事件中，不属于必然事件的是( )
A．水涨船高 B．日出东方
C．异口同声 D．冬去春来
C
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3．下列说法正确的是( )
A．“367人中至少有2人同一天生日”是必然事件
B．“任买一张电影票，座位号是偶数”是不可能事件
C．选出某校短跑最快的学生参加全市比赛用抽样调查
D．可能性很小的事情是不可能发生的
【点拨】A.“367人中至少有2人的生日是同一天”是必然事件，说法正确，符合题意；B.“任意买一张电影票，座位号是偶数”是随机事件，故本选项说法错误，不符合题意；C.选出某校短跑最快的学生参加全市比赛用全面调查，故本选项说法错误，不符合题意；D.可能性很小的事情也有可能会发生，故本选项说法错误，不符合题意．
【点易错】误认为可能性很小的事件是不可能事件．
【答案】 A
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4． 如果在△ABC和△DEF中，AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠D，那么这两个三角形全等，这个事件是_________.
(填“必然事件”“不可能事件”或“随机事件”)
随机事件
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5．下列哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？
(1)用长为4 cm，5 cm，6 cm的三条线段围成一个三角形；
(2)在同一平面内，两直线平行，同位角相等；
(3)他乡遇故知；
(4)a2＋b2＝－1(其中a，b都是实数)；
(5)两个连续正整数的积是偶数；
(6)在数轴上任取一点，该点所表示的数是有理数．
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【解】(1)(2)(5)是必然事件，(4)是不可能事件，(3)(6)是随机事件．
6．已知实数a<0，下列事件：
①|a|>0；②a＋1>0；③a－1<0；④a2＋1<0.
其中确定性事件有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【点拨】①当a<0时，|a|>0是必然事件；②当a<0时，a＋1>0是随机事件；③当a<0时，a－1<0是必然事件；④当a<0时，a2＋1<0是不可能事件．故选C.
【答案】 C
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7． 班里有18名男生，15名女生，从中任意抽取a人打扫卫生，若女生被抽到是必然事件，则a的取值范围是__________________．
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18
8．已知关于x的二次函数y＝3x2－12x＋12＋2a，设事件A：“当x＜0时，y随x的增大而减小”，事件B：“二次函数y＝3x2－12x＋12＋2a的图象与x轴有两个交点”．
(1)小聪说A是必然事件，请你说明其中的道理；
【解】∵y＝3x2－12x＋12＋2a＝3(x－2)2＋2a，且3>0，
∴当x<2时，y随x的增大而减小．
又∵x<0是x<2的一部分，
∴当x<0时，y随x的增大而减小．∴A是必然事件．
(2)小明说B是随机事件，请你说明其中的道理．
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【解】∵(－12)2－4×3×(12＋2a)＝－24a，
∴当a>0时，－24a<0，此时二次函数y＝3x2－12x＋12＋2a的图象与x轴没有交点；
当a＝0时，－24a＝0，此时二次函数y＝3x2－12x＋12＋2a的图象与x轴只有一个交点；
当a<0时，－24a>0，此时二次函数y＝3x2－12x＋12＋2a的图象与x轴有两个交点．∴B是随机事件．
9. 盒中装有红球、黄球共10个，每个球除颜色外其余都相同，搅匀后每次从盒中随机地摸出一个球，摸三次，不放回，请你按要求设计出装球方案：
(1)“摸到三个球都是红球”是不可能事件；
(2)“摸到红球”是必然事件；
(3)“摸到两个黄球”是随机事件；
(4)“摸到两个黄球”是确定性事件．
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【解】答案不唯一．(1)盒中装有红球2个、黄球8个，则“摸到三个球都是红球”是不可能事件．(2)盒中装有红球8个、黄球2个，则“摸到红球”是必然事件．(3)盒中装有红球8个、黄球2个，则“摸到两个黄球”是随机事件．(4)盒中装有红球9个、黄球1个，则“摸到两个黄球”是不可能事件，属于确定性事件．(共29张PPT)
第4章 概率
4．2 概率及其计算
4.2.2 用列举法求概率
第1课时 用列表法求概率
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B
A
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A
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4．[2025永州模拟]五一期间，新上映的一部动漫电影深受中学生的喜爱，爸爸购得此电影票一张，姐姐、哥哥和妹妹三人都想去看，于是爸爸抛出两枚均匀的骰子(各面上的点数分别为1～6)，将两枚骰子点数相加后除以3，规定：当正好整除时姐姐去，当余数是1时哥哥去，当余数是2时妹妹去．这个游戏( )
A．是公平的 B．有利于姐姐
C．有利于哥哥 D．有利于妹妹
【点拨】列表如下：
第二枚 和 第一枚 1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
【答案】A
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5．湘绣、蜀绣、粤绣、苏绣为中国四大名绣，是历史上“丝绸之路”运输的重要商品之一．现有四张正面印有四大名绣的卡片，它们除正面图案不同外其余完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，则两次抽取的卡片正面图案相同的概率为________．
【点拨】列表如下：
直行 左转 右转
直行 (直行，直行) (直行，左转) (直行，右转)
左转 (左转，直行) (左转，左转) (左转，右转)
右转 (右转，直行) (右转，左转) (右转，右转)
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【答案】D
【点拨】列表如下：
HCl NaCl H2O NaOH
HCl (HCl，NaCl) (HCl，H2O) (HCl，NaOH)
NaCl (NaCl，HCl) (NaCl，H2O) (NaCl，NaOH)
H2O (H2O，HCl) (H2O，NaCl) (H2O，NaOH)
NaOH (NaOH，HCl) (NaOH，NaCl) (NaOH，H2O)
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【答案】C
8．[2025长沙雨花区模拟]如图，正六边形ABCDEF顶点处各有一个圈，小雅设计了一个跳圈游戏，规则是投掷两枚六个面点数分别为1，2，3，4，5，6的骰子，向上的一面上的点数是几，游戏者就沿正六边形的边顺时针方向连续跳几个边长．
如若从圈A起跳，一个掷得3，另一个掷得4，就先顺时针连续跳3个边长落到圈D，再从圈D开始顺时针连续跳4个边长落到圈B.设游戏者从圈A起跳，则一次游戏后能够回到圈A的概率是________．
【点拨】列表如下：
第二枚 和 第一枚 1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
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9．[2025成都期末]小明和哥哥都很想去看成都蓉城足球比赛，爸爸只买到了一张门票，最后商定通过转盘游戏决定谁去观看比赛．游戏规则是：转动如图①所示的转盘(被平均分成9份)，转盘停止后，若转盘指针指向红色，小明去；若转盘指针指向蓝色或
黄色，哥哥去(如果指针恰好指向白色
或指向分割线，则重新转动)．
(1)求小明去观看足球比赛的概率．
(2)你认为这个游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计出一种公平的游戏规则．
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【解】如图，将转盘平均分为8份，其中红色占3份，白色占1份，蓝色和黄色共占4份，转动转盘，转盘停止后，若转盘指针指向红色，哥哥去；若转盘指针指向蓝色或黄色，小明去(如果指针恰好指向分割线，则重新转动)(答案不唯一)．
10．“田忌赛马”的故事闪烁着我国古代先贤的智慧光芒．齐王有上、中、下三匹马A1，B1，C1，田忌也有上、中、下三匹马A2，B2，C2，且这六匹马在比赛中的胜负可用不等式表示如下：A1>A2>B1>B2>C1>C2(注：A>B表示A马与B马比赛，A马获胜)．假设齐王事先不打探田忌的“出马”情况，试回答以下问题：
(1)如果田忌事先只打探到齐王首局将出“上马”，他首局应出哪种马才可能获得整场比赛的胜利？并求其获胜的概率．
(2)如果田忌事先无法打探到齐王各局的“出马”情况，他是否必败无疑？若是，请说明理由；若不是，请列出田忌获得整场比赛胜利的所有对阵情况，并求其获胜的概率．
【解】不是，齐王的出马顺序为A1，B1，C1时，田忌获胜的对阵是(C2A1，A2B1，B2C1)；齐王的出马顺序为A1，C1，B1时，田忌获胜的对阵是(C2A1，B2C1，A2B1)；齐王的出马顺序为B1，A1，C1时，田忌获胜的对阵是(A2B1，C2A1，B2C1)；齐王的出马顺序为B1，C1，A1时，田忌获胜的对阵是(A2B1，B2C1，C2A1)；齐王的出马顺序为C1，A1，B1时，田忌获胜的对阵是(B2C1，C2A1，A2B1)；齐王的出马顺序为C1，B1，A1时，田忌获胜的对阵是(B2C1，A2B1，C2A1)．
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综上所述，田忌获胜的所有对阵是(C2A1，A2B1，B2C1)，(C2A1，B2C1，A2B1)，(A2B1，C2A1，B2C1)，(A2B1，B2C1，C2A1)，(B2C1，C2A1，A2B1)，(B2C1，A2B1，C2A1)．齐王的出马顺序为A1，B1，C1时，比赛的所有可能对阵是(A2A1，B2B1，C2C1)，(A2A1，C2B1，B2C1)，(B2A1，A2B1，C2C1)，(B2A1，C2B1，A2C1)，(C2A1，A2B1，B2C1)，(C2A1，B2B1，A2C1)，共6种，同理，齐王的其他出马顺序也都分别有相应的6种可能对阵，(共35张PPT)
第4章 概率
4．2 概率及其计算
4.2.2 用列举法求概率
第2课时 用树状图法求概率
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D
A
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3．甲、乙、丙、丁四名同学在操场上练习互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，则第二次传完后，球到手上概率最高的同学是( )
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【点拨】画树状图如图．
【答案】A
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4．从－1，2，3，－6这四个数中任意选两个数，分别记作m，n，则点(m，n)在函数y＝－3x的图象上的概率是________．
【点拨】画树状图如图．
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5．[2025安徽]在一个平衡的天平左、右两端托盘上，分别放置质量为20 g和70 g的物品后，天平倾斜(如图所示)．现从质量为10 g，20 g，30 g，40 g的四件物品中，随机选取两件放置在天平的左端托盘上，则天平恢复平衡的概率为________．
6．如图，这是一个竖直放置的钉板，其中，黑色圆面表示钉板上的钉子，A1，B1，B2，…，D3，D4分别表示相邻两颗钉子之间的空隙，这些空隙大小均相等，从入口A1处投放一个直径略小于两颗钉子之间空隙的圆球，圆球下落过程中，总是碰到空隙正下
方的钉子，且沿该钉子左右两个相邻空隙
继续下落的机会相等，直至圆球落入下
面的某个槽内．用画树状图法求圆球落
入③号槽内的概率．
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【解】根据题意，画树状图如图所示．
【点拨】设A表示“君问归期未有期”，B表示“巴山夜雨涨秋池”，C表示“何当共剪西窗烛”，D表示“却话巴山夜雨时”，画树状图如图．
【答案】D
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8．一枚质地均匀的骰子，六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6.连续抛掷骰子两次，第一次正面朝上的数字作为十位上的数，第二次正面朝上的数字作为个位上的数，则这个两位数能被3整除的概率为________．
【点拨】画树状图如图．
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10. 数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏．如图是数独的一个简化版，由三行三列九个单元格构成．玩该游戏时，需要将数字1，2，3(各三个)全部填入单元格，每个单元格填一个数字，要求每一行、每一列均有1，2，3这三个数字，则不同的
填法中A>B的概率为________．
【点拨】由题意画出树状图如图所示：
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11．如图，五边形的顶点A处有一个跳蚤机器人，它每跳1步可以等概率地跳到相邻的顶点．顶点C处有一个陷阱，机器人跳到C处就会触发毁灭程序．机器人跳4步仍未毁灭的概率为________%.
50
【点拨】假设C处没有毁灭程序，机器人跳4步的路线画树状图如图：
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12．如图，正方形ABCD的顶点处各有一个圈，抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后若正面朝上就沿正方形的边顺时针移动到下一个圈；若反面朝上，就沿正方形的对角线移动到对角的圈．例如，若从圈A开始，第一次掷出正面，就顺时针移动到圈B；
若第二次掷出反面，就移动到对角
的圈D.设甲从圈A开始．
(1)抛掷一次硬币，甲移动到圈C的概率为________．
(2)抛掷两次硬币，用画树状图的方法求甲移动到圈D的概率．
【解】画树状图如图①：
(3)抛掷三次硬币，甲移动到圈B与回到圈A的可能性一样吗？请说明理由．
【解】一样．理由如下：画出树状图如图②.
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13．一只不透明的袋子中装有1个黄球，现放入若干个红球，它们与黄球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出两个球，使得摸出一红一黄的概率等于摸出两红球的概率，求放入的红球个数．
【解】设放入n个红球，画树状图如图．
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由树状图可知，共有n(n＋1)种等可能的结果，其中摸出一红一黄的结果有n＋n＝2n(种)，摸出两红的结果有n(n－1)种．∵等可能的结果总数不变，P(摸出一红一黄)＝P(摸出两红)，∴摸出一红一黄的结果数＝摸出两红的结果数，∴2n＝n(n－1)，解得n1＝0(舍去)，n2＝3，∴放入的红球个数为3.(共30张PPT)
第4章 概率
4．2 概率及其计算
4.2.1 概率的概念
1．下列说法正确的是( )
A．从装满红球的袋子中随机摸出一个球，是白球
B．抛掷一枚质地均匀的硬币，若连续掷出5次正面，则第6次一定掷出背面
C．标准大气压下，加热到100 ℃时，水沸腾
D．若某种彩票中奖的概率是1%，则买100张该彩票一定会中奖
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C
D
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A
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A
返回
返回
3
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6．如图，有一个质地均匀的游戏转盘，随机转动转盘一次，当转盘停止转动后，指针落在“D”所示区域内的概率是________．
7．[2025岳阳模拟]如图，在3×3的正方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同．假设飞镖击中每块小正方形是等可能的，任意投掷飞镖一次(击中边界或没有击中游戏板，则重投一次)，飞镖击
中阴影部分的概率是________．
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A
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【答案】C
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10．[2025成都]从－1，1，2这三个数中任取两个数分别作为a，b的值，则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋1＝0有实数根的概率为________．
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11．如图，点O是△ABC的重心，过O点作直线DE∥BC，分别交边AB，AC于点D，E，现随机向△ABC内部掷一枚小针，则针尖落在△ADE区域内的概率为________．
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12. 已知函数y＝(2k－1)x＋4(k为常数)，若从－3≤k≤3中任取k值，则得到的函数是具有性质“y随x的增大而增大”的一次函数的概率为________．
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13. 如图所示，甲、乙两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形(两个转盘除表面数不同外，其他完全相同)，转盘甲上的数分别是－6，－1，8，转盘乙上的数分别是－4，5，7(规定：指针恰好停留在分界线上，则重新转一次)．
(1)转动转盘，转盘甲指针指向正数的概率是____，转盘乙指针指向正数的概率是______；
(2)若同时转动两个转盘，转盘甲指针所指的数记为a，转盘乙指针所指的数记为b，求满足a＋b＜0的概率．
【解】同时转动两个转盘，指针所指的数之和所有可能出现的结果如下：－6－4＝－10，－1－4＝－5，8－4＝4，－6＋5＝－1，－1＋5＝4，8＋5＝13，－6＋7＝1，－1＋7＝6，8＋7＝15.
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14. 小深一家逛完超市后，凭小票参加一次抽奖活动，超市设置翻奖牌，翻奖牌的正面、背面如图所示．如果小深只能抽奖一次，且抽到数字1至9的可能性一样，请解决下面的问题：
(1)小深抽到“纸巾”的概率是________；
(2)小深中奖的概率是________；
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【解】4张写着太阳伞，纸巾、牙刷各1张，谢谢参与3张．(答案不唯一)
15．[2025成都模拟]如图，在边长为2的正方形ABCD中，AE是以BC为直径的半圆的切线，在正方形区域内任意取一点P，求点P落在阴影部分的概率．
【解】如图，取BC的中点为O，设AE与以BC为直径的半圆的切点为F，CE＝x.∵四边形ABCD是边长为2的正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝2，半圆的半径为1，∠ABC＝∠BCD＝∠D＝90°.
∵BC为半圆的直径，∴AB切半圆O于点B，CD切半圆O于点C.∵AE切半圆O于点F，∴AF＝AB＝2，EF＝CE＝x，∴AE＝AF＋EF＝2＋x，DE＝CD－CE＝2－x，∴在Rt△ADE中，有AD2＋DE2＝AE2，即22＋(2－x)2＝(2＋x)2，
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