2026年高考数学一轮复习专题课件：导数与函数的单调性(共54张PPT)

(共54张PPT)
　导数与函数的单调性
2026年高考数学一轮复习专题课件★★　
函数的单调性与导数的关系
已知函数y＝f (x)在某个区间内可导，则
(1)若f′(x)>0，则f (x)在这个区间内单调递增．
(2)若f′(x)<0，则f (x)在这个区间内单调递减．
(3)若f′(x)＝0，则f (x)在这个区间内是常数函数．
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利用导数判断函数单调性的步骤
第1步，确定函数的________；
第2步，求出导数f′(x)及函数f′(x)的____；
第3步，用f′(x)的零点将f (x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f (x)在定义域内的单调性．
定义域
零点
导数的绝对值与函数值变化的关系
一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么这个函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图象就比较“平缓”．
常用结论
(1)在某区间内，f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f (x)在此区间上单调递增(减)的充分不必要条件．可导函数f (x)在(a，b)上单调递增(减)的充要条件是对 x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零．
(2)若函数f (x)在(a，b)上存在单调递增区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)>0有解；若函数f (x)在(a，b)上存在单调递减区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)<0有解．
1．判断下面结论是否正确．(对的打“√”，错的打“×”)
(1)若函数f (x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0.
夯实双基
答案　(1)×　
解析　对于(1)，如f (x)＝x3，它在(－∞，＋∞)上为增函数，但f′(x)＝3x2≥0；
(2)在(a，b)内f′(x)≤0且f′(x)＝0的根有有限个，则f (x)在(a，b)内单调递减．
答案　(2)√　
(3)若函数f (x)在(a，b)上存在单调递减区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)<0有解．
答案　(3)√　
(4)如果函数f (x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f (x)在此区间内没有单调性．
答案　(4)√　
解析　对于(4)，如果函数f (x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则函数f (x)在这个区间内为常数函数，则函数f (x)在这个区间内没有单调性．
(5)函数f (x)在区间(a，b)上变化得越快，其导数就越大．
答案　(5)×
2．【多选题】已知定义在R上的函数f (x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是(　　)
√
A．f(b)>f(c)>f(d) B．f(b)>f(a)>f(e)
C．f(c)>f(b)>f(a) D．f(c)>f(d)>f(e)
√
解析　由题意得，当x∈(－∞，c)时，f′(x)>0，所以函数f (x)在(－∞，c)上单调递增，因为af(b)>f(a)．当x∈(c，e)时，f′(x)<0，所以函数f (x)在(c，e)上单调递减，因为cf(d)>f(e)．
3．(课本习题改编)函数y＝3x2－2ln x的单调递增区间为________，单调递减区间为______________．
4．(2025·青岛检测)若y＝x＋ (a>0)在[2，＋∞)内单调递增，则a的取值范围是________．
(0，2]
间为(－∞，－a]和[a，＋∞)．∵函数在[2，＋∞)内单调递增，∴[2，＋∞) [a，＋∞)，∴a≤2.又a>0，∴05．已知函数f (x)＝－ x2－3x＋4ln x在(t，t＋2)上不单调，则实数t的取值范围是________．
[0，1)
题型一　 不含参数的函数的单调性
求下列函数的单调区间．
【答案】　(2)单调递增区间为(e，＋∞)，单调递减区间为(0，1)，(1，e)
(3)f (x)＝(x－1)ex－x2；
【答案】　(3)单调递减区间为(0，ln 2)，单调递增区间为(－∞，0)，(ln 2，＋∞)
【解析】　(3)由f (x)＝(x－1)ex－x2，得f′(x)＝ex＋(x－1)ex－2x＝xex－2x＝x(ex－2)，
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝ln 2.
当x变化时，f′(x)，f (x)的变化如下表：
x (－∞，0) 0 (0，ln 2) ln 2 (ln 2，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f (x) ? 极大值 ? 极小值 ?
由表可知，函数f (x)的单调递减区间为(0，ln 2)，单调递增区间为(－∞，0)，(ln 2，＋∞)．
(4)f (x)＝x＋2cos x，x∈(0，π)．
状元笔记
　函数单调区间的求法
(1)求函数的单调区间注意先求定义域．
(2)使f′(x)>0的区间为f (x)的单调递增区间，使f′(x)<0的区间为f (x)的单调递减区间．
(3)函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开．
题型二　 含参函数的单调性(微专题)
微专题1　导函数为一次函数型
已知函数f (x)＝ln x－ax(a∈R)，讨论函数f (x)的单调性．
【答案】　见解析
状元笔记
导函数是一次函数型含参函数单调性的讨论方法
(1)判断导函数是否有根，无根会出现恒成立的情况，即原函数在定义域上单调．
(2)若有根，求出导函数的根，判断根是否在定义域内，不在定义域内会出现恒成立的情况，即原函数在定义域上单调．
(3)根在定义域内，穿根法确定导函数的符号，进而确定原函数的单调性．
微专题2　导函数为二次函数型　
【答案】　见解析
【答案】　见解析
则x，f (x)，f′(x)的变化情况如下表：
x (0，x1) x1 (x1，x2) x2 (x2，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f (x) ? 极大值 ? 极小值 ?
状元笔记
　导函数为二次函数型的含参函数单调性的讨论方法
(1)先判断导函数是否有根，没有根会出现恒成立的情况，即原函数在定义域上单调．
(2)如果导函数有根，先求根(能因式分解的因式分解求根)，并判断根是否在定义域内(讨论根与定义域端点值的大小关系)．
①若有一根在定义域内，穿根法确定导函数的符号，进而确定原函数的单调性．
②若有两根在定义域内，确定两根大小关系，穿根法确定导函数的符号，进而确定原函数的单调性．
思考题1　(2025·湖北武汉模拟预测)已知函数f (x)＝e2x＋(a－2)ex－ax，讨论f (x)的单调性．
【答案】　见解析
【解析】　由题意可知f (x)的定义域为R，
且f′(x)＝2e2x＋(a－2)ex－a＝(2ex＋a)(ex－1)，
若a≥0，则2ex＋a>0，
令f′(x)>0，解得x>0；令f′(x)<0，解得x<0，
可知f (x)在(－∞，0)内单调递减，在(0，＋∞)内单调递增．
若a<0，令f′(x)＝0，
综上所述，若a≥0，则f (x)的单调递减区间为(－∞，0)，单调递增区间为(0，＋∞)；
微专题3　二次求导讨论函数单调性
(2020·课标全国Ⅱ，文，节选)已知函数f (x)＝2ln x＋1.设a>0，讨论函数g(x)＝ 的单调性．
【答案】　见解析
设m(x)＝2(x－a－xln x＋xln a)，则m′(x)＝2(ln a－ln x)，
当x>a时，ln x>ln a，所以m′(x)<0，m(x)单调递减，因此有m(x)当00，m(x)单调递增，因此有m(x)综上，函数g(x)在区间(0，a)和(a，＋∞)上单调递减，没有单调递增区间．
【答案】　f (x)的单调递增区间是(0，1)，单调递减区间是(1，＋∞)
∴h(x)在(0，＋∞)上单调递减．又h(1)＝0，
所以当00，即f′(x)>0；
当x>1时，h(x)<0，即f′(x)<0.
因此，f (x)的单调递增区间是(0，1)，单调递减区间是(1，＋∞)．
题型三　 函数单调性的应用(微专题)
微专题1　导数与函数的图象
　　 (1)已知函数y＝xf′(x)的图象如图所示，则函数f (x)的图象可能是(　　)
【解析】　由题图知，
当x<0时，xf′(x)>0，则f′(x)<0，故f (x)在(－∞，0)上单调递减；
当00，则f′(x)>0，故f (x)在(0，b)上单调递增；
当x>b时，xf′(x)<0，则f′(x)<0，故f (x)在(b，＋∞)上单调递减．
综上所述，只有D符合题意．故选D.
√
(2)已知f (x)＝ x2＋cos x，f′(x)为f (x)的导函数，则y＝f′(x)的图象大致是(　　)
√
状元笔记
(1)解决导函数图象与原函数图象关系问题的关键点有两个：一是抓住原函数的单调递增区间对应的导函数函数值为正、原函数的单调递减区间对应的导函数函数值为负；二是抓住原函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映导函数图象在相应点处的变化情况．
(2)导函数f′(x)的单调性与原函数图象凹凸性之间的关系：若f′(x)>0且单调递增，则原函数f (x)的图象上升且下凸；若f′(x)>0且单调递减，则原函数f (x)的图象上升且上凸；若f′(x)<0且单调递增，则原函数f (x)的图象下降且下凸；若f′(x)<0且单调递减，则原函数f (x)的图象下降且上凸．
思考题3　已知函数f (x)与其导函数f′(x)的部分图象如图所示，则关于函数 的单调性说法正确的是(　　)
A．在(－1，1)单调递减 B．在(0，2－ )单调递减
C．在[2－ ，1]单调递减 D．在[1，2]单调递减
√
【解析】　∵当f′(x)<0时，f (x)单调递减；当f′(x)>0时，f (x)单调递增，
∴结合题中的图象可知f (x)在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．
微专题2　比较大小、解不等式
【解析】　∵f (x)的定义域为R，且f(－x)＝(－x)2－cos(－x)＝x2－cos x＝f (x)，∴f (x)为偶函数，
√
(2)已知定义域为R的函数f (x)的导数为f′(x)，且满足f′(x)<2x，f(2)＝3，则不等式f (x)>x2－1的解集是(　　)
A．(－∞，－1)　　　　 B．(－1，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(－∞，2)
【解析】　令g(x)＝f (x)－x2，则g′(x)＝f′(x)－2x<0，即函数g(x)在R上单调递减．又不等式f (x)>x2－1可化为f (x)－x2>－1，而g(2)＝f(2)－22＝3－4＝－1，所以该不等式可化为g(x)>g(2)，故该不等式的解集为(－∞，2)．故选D.
状元笔记
利用导数比较大小或解不等式的方法
利用导数比较大小或解不等式，其关键是构造函数，把比较大小和解不等式问题转化为先利用导数判断函数单调性，再根据单调性比较大小和解不等式问题．比较大小时，还要注意当自变量不在同一单调区间内时，应先利用函数的性质将其转化到同一单调区间上，再进行比较；解不等式时，还要注意将常数巧妙地转化为函数值，再根据单调性去掉函数符号“f”．
√
中e为自然对数的底数)，则实数a，b，c的大小关系是(　　)
A．c>b>a B．c>a>b
C．b>a>c D．b>c>a
【解析】　设n(x)＝ex－x－1，则n′(x)＝ex－1，
当x>0时，n′(x)>0，n(x)单调递增，当x<0时，n′(x)<0，n(x)单调递减，所以n(x)≥n(0)＝0，故ex≥x＋1，当x＝0时等号成立，
所以f′(x)≤0但不恒为0，
所以f (x)在R上单调递减，
又f (x)＝－f(－x)，所以f (x)为奇函数，所以f(3a2)＋f(2a－1)≥0 f(3a2)≥－f(2a－1)＝f(1－2a)，即3a2≤1－2a，解得－1≤a≤
微专题3　求参数的取值范围
已知函数f (x)＝ln x，g(x)＝ ax2＋2x(a≠0)．
(1)若函数h(x)＝f (x)－g(x)存在单调递减区间，求实数a的取值范围；
【答案】　(1)(－1，0)∪(0，＋∞)
因为h(x)在(0，＋∞)上存在单调递减区间，
所以a＞－1.又因为a≠0，
所以实数a的取值范围为(－1，0)∪(0，＋∞)．
(2)若函数h(x)＝f (x)－g(x)在[1，4]上单调递减，求实数a的取值范围．
【解析】　(2)因为h(x)在[1，4]上单调递减，所以h′(x)＝ －ax－2≤0且不恒为零在[1，4]上恒成立，
所以a≥m(x)max，
状元笔记
根据函数单调性求参数取值范围的一般思路
(1)利用集合间的包含关系处理，函数y＝f (x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集．
(2)函数f (x)在(a，b)上单调递增的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)的任一子区间上，f′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．
(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题．
√
思考题5　(1)(2023·新高考Ⅱ卷)已知函数f (x)＝aex－ln x在区间(1，2)单调递增，则a的最小值为(　　)
A．e2 B．e
C．e－1 D．e－2
√
(2)(2025·湖南师大附中第五次月考)已知函数f (x)＝cos x＋aln x在区间 上单调递增，则a的最小值为(　　)
本课总结
1．在某个区间(a，b)上，若f′(x)>0，则f (x)在这个区间上单调递增；若f′(x)<0，则f (x)在这个区间上单调递减；若f′(x)＝0恒成立，则f (x)在这个区间上为常数函数；若f′(x)的符号不确定，则f (x)不是单调函数．
2．若函数y＝f (x)在区间(a，b)上单调递增，则f′(x)≥0，且在(a，b)的任意子区间上，等号不恒成立；若函数y＝f (x)在区间(a，b)上单调递减，则f′(x)≤0，且在(a，b)的任意子区间上，等号不恒成立．
3．使f′(x)＝0的离散的点不影响函数的单调性．