九年级数学人教版上册第二十一章《一元二次方程》章节检测卷（含答案）

第二十一章《一元二次方程》章节检测卷
一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。）
1．用配方法解一元二次方程，配方后的方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．在宽为，长为的矩形田地中央修筑同样宽的两条互相垂直的道路，把矩形田地分成四个相同面积的小矩形田地，作为良种试验田，要使每小块试验田的面积为，设道路的宽为米，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．若关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（　　）
A． B．且 C． D．且
4．若是关于的方程的一个根，则关于的方程必有一个根为（ ）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2027
5．对于任意实数a，b，定义新运算“”： ，例如：．若m，n是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．电影哪吒于年月日上映，第一天票房约亿，以后每天票房按相同的增长率增长，第三天票房约亿，若把增长率记作，则方程可以列为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程的两个根．则该三角形的周长是（ ）
A．8 B．10 C．8或10 D．8或9或10
8．对于实数m、n定义运算“☆”为，例如：，则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
9．若一元二次方程的一个根为，则的值是（　　）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
10．如图，在中，，，，点从点出发，以的速度沿边向点匀速运动，同时另一点从点出发，以的速度沿射线匀速运动，当的面积为时，运动时间为（ ）
A．5s B．20s C．5s或20s D．5s或10s
二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．）
11．关于x的方程的两根为，，且，则 ．
12．若关于的一元二次方程的两个根分别为，，则 ．
13．《新课程标准》将劳动从综合实践活动课中独立出来，劳动教育已纳入人才培养全过程．某校积极实施，建设校园农场．如图，该矩形农场长，宽，要求在农场内修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分作为试验田，且使试验田的面积为．则道路的宽为 m．
14．关于的一元二次方程的两实根满足，则的值为 ．
三、解答题（本题共7小题，共58分．）
15．（8分）用合适的方法解下列一元二次方程：
(1)； (2)．
16．（8分）靖州杨梅享有“江南第一梅”的美誉，靖州作为杨梅之乡，当地政府为了把杨梅文化，打造成当地旅游名片，当地政府多次举办杨梅节活动．原来每盒杨梅进货价为100元，经过两次降价后每盒进货价为36元，并且每次降价的百分率相同．
(1)请问每次降价的百分率为多少？
(2)朴实水果店以36元每盒进货了200盒杨梅，计划以每盒标价50元出售．由于恰逢端午佳节，店铺准备开展大促销活动，所有商品一律八折．若要使200盒杨梅全部售出后的利润不少于2000元，则至少需要在促销活动开始前卖出多少盒？
17．（8分）已知关于的方程：，其中是常数．
(1)求证：不论为何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若、是此方程的两个根，当时，求代数式的值．
18．（8分）数学兴趣小组利用长方形纸板制作礼品盒，选择长为，宽为的长方形纸板，如图，在其四角分别剪去两个同样大小的正方形和两个同样大小的长方形（阴影部分），再把剩余部分沿虚线折起来得长方体礼品盒．
(1)当礼盒底面的长是宽的4倍时，求该长方体礼品盒的体积；
(2)当礼盒的侧面的面积为，求剪去的小正方形的边长．
19．（8分）根据以下素材，探索完成任务．如何设计实体店背景下的网上销售价格方案？
如何设计实体店背景下的网上销售价格方案？
素材1 某公司在网上和实体店同时销售一种自主研发的小商品，成本价为元/件．
素材2 该商品的网上销售价定为元件，平均每天销售量是件，在实体店的销售价定为元件，平均每天销售量是件．按公司规定，实体店的销售价保持不变，网上销售价可按实际情况进行适当调整，需确保网上销售价始终高于成本价．
素材3 据调查，网上销售价每降低元，网上销售量平均每天多售出件，同时实体店的销售量受网上影响，平均每天销售量减少件．
问题解决
任务1 计算所获利润 当该商品网上销售价为元件时，求公司在网上销售该商品每天的毛利润与实体店销售该商品每天的毛利润各是多少元？
任务2 拟定价格方案 公司要求每天的总毛利润总毛利润网上毛利润实体店毛利润达到元，求每件商品的网上销售价下降多少元？
任务3 优化价格方案 当每件商品的网上销售价下降多少元时，该公司在网上销售与实体店销售的总毛利润最大？
20．（8分）【感知】把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用．
①用配方法分解因式：
解：原式
②利用配方法求最小值：求最小值．
解：，因为不论a取何值，总是非负数，即，所以，所以当时，有最小值，最小值是．
【应用】根据上述材料，解答下列问题：
（1）填空：________=（x- ）2；
（2）将变形为的形式，并求出的最小值；
【探究】若，（为任意实数）试比较M与N的大小，并说明理由．
21．（10分）如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C移动，当其中一点到达终点运动即停止．设运动时间为t秒．
(1)在运动过程中，的长度能否为？若能，求出t的值，若不能，请说明理由；
(2)在运动过程中，能否为？若能，求出t的值，若不能，请说明理由．
参考答案
一、单项选择题
1．A
【详解】解：，
，
，
．
故选：A．
2．C
【详解】如下图，
将道路推至左上角，形成新矩形田地，
∵道路的宽为米，
∴新矩形田地长为，宽为，
∵每小块试验田的面积为，即新矩形面积为，
，
整理得，
故选：C．
3．D
【详解】
解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴，，
∴m且．
故选：D．
4．A
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个根为，
∴关于的一元二次方程即有一个根为，
即，
解得：，
故选：A．
5．A
【详解】解：∵，
∴，
整理得：，
∵m，n是方程的两个实数根，
即m，n是方程的两个实数根，
∴；
∴；
故选：A．
6．B
【详解】解：根据题意得：，
故选：B．
7．B
【详解】解：，
，
或，
∴，
当腰为2，底为4时，因为，不符合三角形三边的关系，舍去，
当腰为4，底为2时，三角形的周长为．
故选：B．
8．A
【详解】解：∵，且，
∴，即，
∴
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
9．A
【详解】解：∵一元二次方程的一个根为，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
10．C
【详解】解：设运动时间为t秒，则有，，
，
，
，
解得或5，
或时，的面积为．
故选：D．
二、填空题
11．
【详解】解：方程的两根为，，
，
又 ，
，
解得：，
，
，
．
故答案为：．
12．
【详解】解：关于的一元二次方程的两个根分别为，，
∴，
解得，，
∴一元二次方程为，
∴，
故答案为： ．
13．
【详解】解：设道路宽为，
根据题意可得：，
解得，
解得（舍去），
故答案为：．
14．或
【详解】解：，则k为任意实数，方程恒有两个不等的根，
由题意得：，，
∵，
∴，
∴，整理得：，
解得：，，
故答案为：或．
三、解答题
15．（1）解：，
因式分解得，
即，，
解得，；
（2）解：，
，，，
，
∴方程没有实数根．
16．（（1）解：设每次降价的百分率为x，
由题意得，，
解得或（舍去），
答：每次降价的百分率为；
（2）解：设需要在促销活动开始前卖出m盒，则促销活动中一共卖了盒，
由题意得，，
解得，
∴m的最小值为120，
答：至少需要在促销活动开始前卖出120盒．
17．（1）证明：∵
，
∴不论为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：当时，原方程为，
∵、是此方程的两个根，
∴，
∴
∴
．
18．（1）解：设小正方形的边长为，则礼盒底面的长是，宽为，
由题意得：，
解得：，
∴长为，宽为6，高为，
∴体积为：；
（2）解：设剪去的小正方形的边长为，
由题意得：，
整理得：，
解得：或（舍），
∴剪去的小正方形的边长为．
19．解：任务：由题意，当网上售价降至元件时，下降幅度为：元；
网上销量增加件，
总销量为件．
网上毛利润为：元．
又实体店销量减少：件，总销量为件．
实体店毛利润为：元．
任务：由题意，设网上售价下降元，总毛利润为元，
网上毛利润为：．
实体店毛利润为：
总利润方程为：．
．
．
或．
每件商品的网上销售价下降元或元．
任务：依据题意，由总利润函数为：
∴当时，总利润最大
∴网上销售价下降5元时总毛利润最大
20．应用：（1）∵
故答案为：36，6．
（2）
∵，
∴当时，原式有最小值．
【探究】因为，，
；
因为，
所以，
所以，
即．
21．（1）解：根据题意可知：，，，
∵四边形是矩形，
，
在中，，
，
解得：（舍去）或；
（2）解：设运动秒钟后的面积为，则 ，， ，，
，
，
，
即，
，
方程无实数根，
的面积不能为.