九年级数学上册试题 第二十三章《旋转》章节检测卷--人教版（含答案）

第二十三章《旋转》章节检测卷
一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。）
1．中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“清明”、“谷雨”、“白露”、“大雪”，其中既是中心对称又是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．在平面直角坐标系中，点P，Q的坐标分别为，，则点P与点（ ）
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于原点对称 D．关于直线对称
3．如图，将 ABC绕点顺时针旋转得到 ADE，点的对应点恰好落在边上．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，在 ABC中， ，将 ABC沿射线的方向平移，得到 ，再将绕点逆时针旋转一定角度后，点恰好与点C重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为（ ）
A．4， B．2， C．1， D．3，
5．如图，长方形绕点逆时针旋转得到长方形，连接，点是的中点，连接，若，，则长方形的周长为（ ）
A．14 B．12 C．10 D．7
6．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点的坐标为。以为边作矩形，若将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，将 ABC沿射线的方向平移，得到，再将绕点逆时针旋转一定角度后，点恰好与点C重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为（ ）
A．2， B．4， C．1， D．3，
8．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为5，边在轴上．．若将正方形绕点逆时针旋转．得到正方形．则点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，点的坐标为，第一次：将点绕原点逆时针旋转得到；第二次：作点关于轴的对称点；第三次：将点绕点逆时针旋转得到；第四次：作点关于轴的对称点，然后按这四次规律重复，则点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
10．如图所示，点是等边 ABC内一点，，将绕点逆时针旋转一定角度后得到，下列四个结论中：①为等边三角形；②；③；④其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．）
11．如图，在 ABC中，，，将 ABC绕点顺时针旋转后得到，使得点恰好落在边上，则旋转的角度为 ．
12．如图，是等边 ABC内一点，，，将绕点按顺时针方向旋转得到，连接．若是等腰三角形，则的度数为 ．
13．如图，将 ABC绕点A顺时针旋转得到，若，，点B的对应点D恰好落在边上，则的长为 ．
14．如图，在中，，，，点P是边上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，则长的最小值为 ．
三、解答题（本题共7小题，共58分．）
15．（8分）如图，在四边形中，是对角线， ABC是等边三角形．线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
16．（8分）按要求在如图所示的网格中完成作图（网格图中每个小正方形的边长均为个单位长度）．
(1)将 ABC绕点顺时针旋转，得到，作出；
(2)将 ABC沿某直线翻折，点的对应点是点，作出翻折后的．
17．（8分）如图，已知 ABC为等边三角形．P为 ABC内一点，，将绕点B逆时针旋转后得到．
(1)求点P与点之间的距离；
(2)求的度数．
18．（8分）将两块全等的含角的直角三角板按图1的方式放置，已知，．
(1)固定三角板，然后将三角板绕点C顺时针方向旋转至图2的位置，与分别交于点D、E，与交于点F．
①填空：当旋转角等于时， ___________度；
②当旋转角等于多少度时，与垂直？请说明理由．
(2)将图2中的三角板绕点C顺时针方向旋转至图3的位置，使，与交于点D，试说明．
19．（8分）在 ABC中，，，将 ABC绕点顺时针旋转一个角度得到 A，点、的对应点分别是、．
(1)如图1，若点恰好与点重合，，垂足为，求的大小；
(2)如图2，若，连接交于点，求证：四边形是平行四边形．
20．（8分）在学习《图形的平移与旋转》这一课时，李老师给我们展示了一道这样的数学题目：
(1)【初步感知】
如图1，在 ABC中，，，点D为斜边上一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，则________．
(2)【探究应用】
如图2，在 ABC中，，，点D为 ABC内一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，若B、D、E三点共线，求的度数．
(3)【拓展提升】
如图3，若 ABC是边长为6的等边三角形，点D是线段上的一个动点（不与B、C重合），将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接、，点D在运动过程中，的周长是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值以及此时的面积；若不存在，请说明理由．
21．（10分）请阅读材料并填空：
如图1，在等边三角形内有一点，且，，，求的度数和等边三角形的边长．李明同学的思路是：
将绕点逆时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2），连接．
(1)根据李明同学的思路，进一步思考后可求和等边 ABC的边长，请写出求解的过程．
(2)请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：
如图3，在正方形内有一点，且，，．求度数和正方形的边长．
参考答案
一、单项选择题
1．A
【详解】解：A、既是中心对称又是轴对称图形，故A选项符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C选项不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意．
故选：A．
2．A
【分析】该题考查了点的对称，关于x轴对称的两点：横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两点：纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的两点：横、纵坐标均互为相反数．
根据对称性的定义，分别判断点与点的坐标关系．
【详解】解：∵点与点的横坐标均为2，纵坐标与3互为相反数，
∴点P与点关于x轴对称，
故选：A．
3．A
【详解】解：由题意可知，，，，
，
，
，
，
故选：A．
4．B
【详解】解：由平移的性质得：，，平移的距离为的长，
由旋转的性质得：，旋转角为的度数，
∴为等边三角形，
∴，，
∵，
∴．
故选：B
5．A
【详解】解：长方形绕点逆时针旋转得到长方形，连接，
∴，，
如图所示，延长交于点，，
∴，
∴，
∵点是的中点，
∴，且，
∴，
∴，则，
∴，即，
在中，，
∴，
解得，（负值舍去），
∴，
∴长方形的周长为，
故选：A ．
6．B
【详解】∵点的坐标为，点的坐标为，
，
∵四边形是矩形，
∵将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形，
∴轴，
∴点的坐标为，
故选：B．
7．A
【详解】解：∵，将 ABC沿射线的方向平移，得到，再将绕点逆时针旋转一定角度后，点恰好与点C重合，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴平移的距离和旋转角的度数分别为：2，60°
故选：A．
8．A
【详解】解：∵正方形的边长为5，边在轴上，将正方形绕点逆时针旋转．得到正方形．
∴，在轴上，，
∵，
∴，，
∴，
故选：A
9．D
【详解】解：过点作轴的垂线，垂足为，过点作轴的垂线，垂足为，如图所示：
∵点的坐标为，
∴．
由旋转可知，．
又∵轴，轴，
∴，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∴点的坐标为．
∵点和点关于轴对称，
∴点的坐标为．
依次类推：
点的坐标为，
点的坐标为，
点的坐标为，
…，
则从点开始，所得点的坐标按循环，
，
点的坐标是．
故选：D．
10．D
【详解】解：由旋转的性质得，
∴，，，，
∴，
∴为等边三角形，故①正确；
∴，，
∴，
∴，故②正确；
∵，
∴，
在中，
∴，
∴，
∴，故③正确；
取中点Q，连接，
则，
∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∵Q点是中点，，
∴，
∴，故④正确；
故选：D．
二、填空题
11．50
【分析】本题主要考查了旋转变换的性质及其应用问题；如图，证明；求出，即可解决问题．
【详解】解：由题意得：，
∴，
又
∴
在中，
∵，
∴，
在中，
∴，
∴是旋转的角度，为．
故答案为：50．
12．或或
先证是等边三角形，得，再证，分三种情况分别求出的度数即可．
【详解】解：绕点按顺时针方向旋转得到，
∴，且，
是等边三角形，
，
是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
旋转得到，
∴，
∴，
当时，，
∴，
∴；
当时，，
∴；
当时，，
∴；
故答案为：或或．
13．
【详解】解：∵将 ABC绕点顺时针旋转得到 ADE，
，
为等边三角形，
，
，
故答案为：．
14．4
【详解】解：在上截取，连接，过点D作于点E，如图，
∵，，
∴．
由旋转可知，，
∴，即，
又∵，，
∴，
∴，
∴当最短时，最小．
∵垂线段最短，
∴当点P与点E重合时，最短，即为的长．
∵，，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴线段的最小值为4．
故答案为：4．
三、解答题
15．（1）证明：由旋转可知，
∵ ABC是等边三角形，
∴，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：连接，如图，
∵，由（1）可知，
∴；
由旋转可知：，，
∴是等边三角形
∴，
∵，
∴，
在中，，，
∴
∴
16．（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求．
17．（1）解：如图，连接．
由题意可知，
为等边三角形，
，
∴
．
为等边三角形，
．
（2）解：∵，
∴
∴，
为直角三角形，且，
∵为等边三角形，
∴，
．
18．（1）解：∵将三角板绕点C顺时针方向旋转至图2所示的位置，
∴，
∴，
∴；
故答案为：160；
②当旋转角等于时，与垂直．理由如下：
当与垂直时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
即旋转角等于时，与垂直；
（2）解：连接，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴.
19．（1）解：∵，
∴
∴
∵，
∴
∴
∴
（2）∵，即
又
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴四边形是平行四边形
20．（1）解：∵在 ABC中，，，
∴，
∵将线段绕点A逆时针旋转得到线段，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵在 ABC中，，，
∴，
∵将线段绕点A逆时针旋转得到线段，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：的周长存在最小值．
∵ ABC是边长为6的等边三角形，
∴，，
∵将线段绕点A逆时针旋转得到线段，
∴，，
∴ ADC是等边三角形，则，，
∵，，，
∴，
∴，
∴的周长为，
当时，最短，此时的周长最小，
如图，
在中，，，
∴，
∴的周长的最小值为，
过E作延长线于H，则，，
∴，
∴．
21．（1）解：是等边三角形，
，
将绕点逆时针旋转60°得出，
，，，，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
过点作，交的延长线于点，
，，
由勾股定理得：，
，
由勾股定理得：；
（2）解：将绕点逆时针旋转90°得到，
与（1）类似：可得：，，
，，
，
，
由勾股定理得：，
，，
，
，
，
过点作，交的延长线于点；
，
，
；
在中，由勾股定理，得；
，正方形边长为．