【高考突破方案】第十二章 -讲义（教师版）高考物理一轮复习
文档属性
| 名称 | 【高考突破方案】第十二章 -讲义（教师版）高考物理一轮复习 |
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| 格式 | DOCX | ||
| 文件大小 | 8.4MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 物理 | ||
| 更新时间 | 2025-12-10 14:11:27 | ||
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文档简介
第十二章 机械振动和机械波 光学
课程标准 1.通过实验，认识简谐运动的特征.能用公式和图像描述简谐运动. 2.通过实验，探究单摆的周期与摆长的定量关系.知道单摆周期与摆长、重力加速度的关系.会用单摆测量重力加速度的大小. 3.通过实验，认识受迫振动的特点.了解产生共振的条件及其应用. 4.通过观察，认识波的特征.能区别横波和纵波.能用图像描述横波.理解波速、波长和频率的关系. 5.知道波的反射和折射现象.通过实验，了解波的干涉与衍射现象. 6.通过实验，认识多普勒效应.能解释多普勒效应产生的原因. 7.理解光的折射定律.会测量材料的折射率. 8.知道光的全反射现象及其产生的条件.初步了解光纤的工作原理、光纤技术在生产生活中的应用. 9.观察光的干涉、衍射和偏振现象，了解这些现象产生的条件，知道其在生产生活中的应用.知道光是横波，会用双缝干涉实验测量光的波长. 10.通过实验，了解激光的特性.能举例说明激光技术在生产生活中的应用. 11.通过实验，了解电磁波，知道磁场的物质性.通过实验，了解电磁波的应用及其带来的影响.知道光是一种电磁波.知道光的能量是不连续的.初步了解微观世界的量子化特征.
核心素养 物理观念 理解机械振动、简谐运动、单摆；理解振动图像和波动图像、机械波、波的干涉和衍射、多普勒效应；理解折射率、折射定律及全反射、光的干涉、衍射和偏振等.
科学思维 科学推理：振动和波动的相互判断；模型建构：单摆模型、振动模型和波动模型；玻璃砖、棱镜、薄膜干涉模型应用.
科学探究 “探究单摆的运动、用单摆测定重力加速度”实验；“测定玻璃的折射率”实验；“探究用双缝干涉测光的波长”实验.
科学态度 与责任 用恰当的物理量描述简谐运动，并能解释生产生活中的有关现象；了解几何光学和波动光学知识在生产生活中的应用.
命题探究 命题分析 从题型上看，高考对本章命题为选择题（或填空题）或计算题，选择题（或填空题）主要考查简谐运动的特点及图像、波的图像、单摆以及波长、波速、频率的关系.计算题主要考查光的折射定律、折射率的计算、全反射的应用等.
趋势分析 从整体命题趋势上看，本章命题的热点有：简谐运动的特点及图像、波的图像以及波长、波速、频率的关系；光的折射定律、折射率的计算、全反射的应用.
预设情境 摆钟、地震波、共振筛、多普勒彩超、全反射棱镜、光导纤维、增透膜、偏振滤光片、激光等.
第1讲 机械振动、振动图像
一、简谐运动
1.定义：如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成 正比 ，并且总是指向 平衡位置 ，质点的运动就是简谐运动.
2.平衡位置：物体在振动过程中回复力为 零 的位置.
3.回复力
(1)定义：使物体在平衡位置附近做 往复 运动的力.
(2)方向：总是指向 平衡位置 .
(3)效果：使物体返回到平衡位置.
(4)来源：属于 效果 力，可以是某一个力，也可以是几个力的 合力 或某个力的 分力 .
二、简谐运动的公式
1.动力学表达式：F＝ －kx ，其中“－”表示回复力与位移的方向相反.
2.运动学表达式：x＝ A sin (ωt＋φ0) ，其中A代表振幅，ω＝2πf代表简谐运动的快慢，ωt＋φ0代表简谐运动的相位，φ0叫作 初相 .
三、简谐运动的图像
1.物理意义：表示振子的 位移 随时间变化的规律，为 正弦 （或余弦）曲线.
2.简谐运动的图像
(1)从平衡位置开始计时，把开始运动的方向规定为正方向，函数表达式为x＝ A sin ωt ，图像如图甲所示.
(2)从正的最大位移处开始计时，函数表达式为x＝ A cos ωt ，图像如图乙所示.
四、单摆
1.定义：如果细线的长度不可改变，细线的质量与小球相比可以 忽略 ，球的直径与线的长度相比也可以 忽略 ，这样的装置叫作单摆.（如图）
2.视为简谐运动的条件：θ 很小 .
3.回复力：F＝G2＝G sin θ.
4.周期公式：T＝2π.
(1)l为等效摆长，表示从悬点到摆球 重心 的距离.
(2)g为当地重力加速度.
5.单摆的等时性：单摆的振动周期取决于 摆长l 和 重力加速度g ，与振幅和振子（小球）质量 无关 .
五、受迫振动和共振
1.受迫振动
(1)概念：系统在 驱动力 作用下的振动.
(2)振动特征：物体做受迫振动达到稳定后，物体振动的频率等于 驱动力 的频率，与物体的固有频率 无关 .
2.共振
(1)概念：当驱动力的频率等于 固有频率 时，物体做受迫振动的振幅 最大 的现象.
(2)共振的条件：驱动力的频率等于 固有频率 .
(3)共振的特征：共振时振幅 最大 .
(4)共振曲线（如图所示）.
f＝f0时，A＝ Am ，f与f0差别越大，物体做受迫振动的振幅 越小 .
考点一 简谐运动的特征
受力特征 回复力F＝－kx，F（或a）的大小与x的大小成正比，方向相反
运动特征 衡位置时，a、F、x都减小，v增大；远离平衡位置时，a、F、x都增大，v减小
能量特征 振幅越大，能量越大.在运动过程中，系统的动能和势能相互转化，机械能守恒
周期性 特征 质点的位移、回复力、加速度和速度随时间做周期性变化，变化周期就是简谐运动的周期T；动能和势能也随时间做周期性变化，其变化周期为
对称性 特征 关于平衡位置O对称的两点，速度的大小、动能、势能相等，相对平衡位置的位移大小相等；由对称点到平衡位置O用时相等
简谐运动基本物理量的分析
【例1】 （2024·北京卷）图甲为用手机和轻弹簧制作的一个振动装置.手机加速度传感器记录了手机在竖直方向的振动情况，以向上为正方向，得到手机振动过程中加速度a随时间t变化的曲线为正弦曲线，如图乙所示.下列说法正确的是( )
A.t＝0时，弹簧弹力为0
B.t＝0.2 s时，手机位于平衡位置上方
C.从t＝0至t＝0.2 s，手机的动能增大
D.a随t变化的关系式为a＝4sin (2.5πt) m/s2
【解析】 D 由题图乙知，t＝0时，手机加速度为0，由牛顿第二定律得弹簧弹力大小为F＝mg，A错误；由题图乙知，t＝0.2 s时，手机的加速度为正，则手机位于平衡位置下方，B错误；由题图乙知，从t＝0至t＝0.2 s，手机的加速度增大，手机从平衡位置向最大位移处运动，速度减小，动能减小，C错误；由题图乙知T＝0.8 s，则角频率ω＝＝2.5π rad/s，则a随t变化的关系式为a＝4sin (2.5πt) m/s2，D正确.
【易错点】 结合a－t图像，弄清楚各个时刻手机在竖直方向上的位置，切忌想当然.
【变式训练1】 如图甲所示，竖直悬挂弹簧振子在C、D两点之间做简谐运动，O点为平衡位置，振子到达D点开始计时，规定竖直向下为正方向.图乙是弹簧振子做简谐运动的x－t图像，则( )
A.弹簧振子从D点经过O点再运动到C点为一次全振动
B.图乙中的P点时刻振子的速度方向与加速度方向都沿正方向
C.弹簧振子的振动方程为x＝0.1sin（2πt＋） m
D.弹簧振子在前2.5 s内的路程为1 m
【解析】 D 弹簧振子从D点经过O点再运动到C点为次全振动，A错误；图乙中的P点时刻振子的速度方向为负方向，加速度方向沿正方向，B错误；由图乙知周期为T＝1 s，弹簧振子的振幅为A＝0.1 m，则ω＝＝2π rad/s，规定竖直向下为正方向，振子到达D点开始计时，t＝0时刻位移为0.1 m，可知初相为，则弹簧振子的振动方程为x＝0.1sin （2πt＋） m，C错误；弹簧振子在前2.5 s内的路程为s＝×4A＝10A＝1 m，D正确.
简谐运动的周期性和对称性
【例2】（2023·山东卷）（多选）如图所示，沿水平方向做简谐振动的质点，依次通过相距L的A、B两点.已知质点在A点的位移大小为振幅的一半，B点位移大小是A点的倍，质点经过A点时开始计时，t时刻第二次经过B点，该振动的振幅和周期可能是( )
A.，3t B.，4t C.，t D.，t
【解析】 BC 当A、B两点在平衡位置的同侧时有A＝A sin φa，A＝A sin φb，可得φa＝，φb＝或者φb＝，因此可知第二次经过B点时φb＝，T＝t，解得T＝4t，此时位移关系为A－A＝L，解得A＝，A错误、B正确；当A、B两点在平衡位置两侧时有－A＝A sin φa，A＝A sin φb，解得φa＝－或者φa＝－（由图中运动方向知此解可舍去），φb＝或者φb＝，当第二次经过B点时φb＝，则T＝t，解得T＝t，此时位移关系为A＋A＝L，解得A＝，C正确、D错误.
【变式训练2】（多选）弹簧振子做简谐运动，O为平衡位置，当它经过点O时开始计时，经过0.3 s，第一次到达点M，再经过0.2 s第二次到达点M，则弹簧振子的周期不可能为( )
A.0.53 s B.1.4 s C.1.6 s D.2 s
【解析】 BD 如图甲所示，设O为平衡位置，OB(OC)代表振幅，振子从O →C所需时间为.因为简谐运动具有对称性，所以振子从M→C所用时间和从C→M所用时间相等，故＝0.3 s＋ s＝0.4 s，解得T＝1.6 s；如图乙所示，若振子一开始从平衡位置向点B运动，设点M′与点M关于点O对称，则振子从点M′经过点B到点M′所用的时间与振子从点M经过点C到点M所用时间相等，即0.2 s.振子从点O到点M′、从点M′到点O及从点O到点M所用时间相等，为＝ s，故周期为T＝0.5 s＋ s≈0.53 s，所以周期不可能为B、D.
考点二 简谐运动图像的理解和应用
1.根据简谐运动图像可获取的信息
(1)振幅A、周期T（或频率f）和初相位φ（如图所示）.
(2)某时刻振动质点离开平衡位置的位移.
(3)某时刻质点速度的大小和方向：曲线上各点切线的斜率的大小和正负分别表示各时刻质点的速度的大小和方向，速度的方向也可根据下一时刻质点的位移相对上一时刻位移的变化来确定.
(4)某时刻质点的回复力、加速度的方向：回复力总是指向平衡位置，回复力和加速度的方向相同，在图像上总是指向t轴.
(5)某段时间内质点的位移、回复力、加速度、速度、动能和势能的变化情况.
2.利用简谐运动图像理解简谐运动的对称性（如图所示）
(1)相隔Δt＝（n＋）T(n＝0，1，2，…)的两个时刻，弹簧振子的位置关于平衡位置对称，位移等大反向，速度也等大反向.
(2)相隔Δt＝nT(n＝0，1，2，…)的两个时刻，弹簧振子在同一位置，位移和速度都相同.
【例3】 如图1所示，质量相等的小球和点光源，分别用相同的弹簧竖直悬挂于同一水平杆上，间距为l，竖直悬挂的观测屏与小球水平间距为2l，小球和光源做小振幅运动时，在观测屏上可观测小球影子的运动.以竖直向上为正方向，小球和光源的振动图像如图2所示，则( )
A.t1时刻小球向上运动
B.t2时刻光源的加速度向上
C.t2时刻小球与影子相位差为π
D.t3时刻影子的位移为5A
【解析】 D 以竖直向上为正方向，根据图2可知，t1时刻，小球位于平衡位置，随后位移为负值，且位移增大，可知，t1时刻小球向下运动，A错误；以竖直向上为正方向，t2时刻光源的位移为正值，光源振动图像为正弦式，表明其做简谐运动，根据F回＝－kx＝ma可知，其加速度方向与位移方向相反，位移方向向上，则加速度方向向下，B错误；根据图2可知，小球与光源的振动步调总是相反，由于影子是光源发出的光被小球遮挡后，在屏上留下的阴影，可知，影子与小球的振动步调总是相同，即t2时刻小球与影子相位差为0，C错误；根据图2可知，t3时刻，光源位于最低点，小球位于最高点，根据直线传播能够在屏上影子的位置也处于最高点，影子位于正方向上的最大位移处，根据几何关系有＝，解得x影子＝5A，即t3时刻影子的位移为5A，D正确.
【变式训练3】 （多选）如图所示为一简谐运动的振动图像，由图可得( )
A.该简谐振动的振幅为10 cm
B.该简谐运动的表达式为x＝5sin （t） cm
C.该质点在第10 s时的位移为5 cm
D.该质点在前12 s内的路程为60 cm
【解析】 BD 由图可知，振幅A＝5 cm，周期T＝4 s，则有ω＝＝ rad/s，则质点简谐运动的表达式为x＝5sin （t） cm，A错误、B正确；当t＝10 s时，位移为x＝5sin （×10）cm＝0，C错误；1个周期内，路程为5×4 cm＝20 cm，前12 s是3个周期，则路程为s＝20×3 cm＝60 cm，D正确.
考点三 单摆及其周期公式
理想化模型 细线 质量和伸缩都可以忽略
摆球 直径比细线长度小得多
摆角 θ很小，可以认为sin θ≈θ≈
受力 特征 回复力 摆球重力沿切线方向的分力F回＝－mg sin θ＝－x＝－kx，负号表示回复力F回与位移x的方向相反
向心力 细线的拉力和重力沿细线方向的分力的合力充当向心力，F向＝FT－mg cos θ
摆绳拉力 当摆球在最高点时，F向＝＝0，FT＝mg cos θ；当摆球在最低点时，F向＝，FT＝mg＋m
周期 公式 T＝2π l为等效摆长，表示从悬点到摆球重心的距离
g为当地重力加速度
【例4】 （2024·浙江卷）如图所示，不可伸长的光滑细线穿过质量为0.1 kg的小铁球，两端A、B悬挂在倾角为30°的固定斜杆上，间距为1.5 m.小球平衡时，A端细线与杆垂直；当小球受到垂直纸面方向的扰动做微小摆动时，等效于悬挂点位于小球重垂线与AB交点的单摆，重力加速度g取10 m/s2，则( )
A.摆角变小，周期变大
B.小球摆动周期约为2 s
C.小球平衡时，A端拉力为 N
D.小球平衡时，A端拉力小于B端拉力
【解析】 B 根据单摆的周期公式T＝2π可知周期与摆角无关，A错误；同一根绳中，A端拉力等于B端拉力，平衡时对小球受力分析如图，可得2FA cos 30°＝mg，解得FA＝FB＝＝ N，C、D错误；根据几何知识可知摆长为L＝＝1 m，故周期为T＝2π≈2 s，B正确.
【变式训练4】 如图所示，一电动机带动轻杆在竖直框架平面内匀速转动，轻杆一端固定在电动机的转轴上，另一端悬挂一紫外光笔，转动时紫外光始终竖直投射至水平铺开的感光纸上，沿垂直于框架的方向匀速拖动感光纸，感光纸上就画出了描述光点振动的x－t图像.已知轻杆在竖直面内长0.1 m，电动机转速为12 r/min.该振动的圆频率和光点在12.5 s内通过的路程分别为( )
A.0.2 rad/s，1.0 m
B.0.2 rad/s，1.25 m
C.1.26 rad/s，1.0 m
D.1.26 rad/s，1.25 m
【解析】 C 紫外光在纸上的投影做的是简谐振动，电动机的转速为n＝12 r/min＝0.2 r/s，因此角频率ω＝2πn＝0.4π≈1.26 rad/s，周期为T＝＝5 s，简谐振动的振幅即为轻杆的长度A＝0.1 m，12.5 s通过的路程为s＝×4A＝1 m，C正确.
考点四 受迫振动和共振
1.自由振动、受迫振动和共振的比较
振动类型 自由振动 受迫振动 共振
受力情况 仅受回复力 受驱动力 受驱动力
振动周期 或频率 由系统本身性质决定，即固有周期T0或固有频率f0 由驱动力的周期或频率决定，即T＝T驱或f＝f驱 T驱＝T0或 f驱＝f0
振动能量 振动物体的机械能不变 由产生驱动力的物体提供 振动物体获得的能量最大
常见例子 弹簧振子或单摆 机械工作时底座发生的振动 共振筛、声音的共鸣等
2.对共振的理解
(1)共振曲线
如图所示，横坐标为驱动力的频率f，纵坐标为振幅A.它直观地反映了驱动力的频率对某固有频率为f0的振动系统做受迫振动时振幅的影响，由图可知，f与f0越接近，振幅A越大；当f＝f0时，振幅A最大.
(2)受迫振动中系统能量的转化：做受迫振动的系统的机械能不守恒，系统与外界时刻进行能量交换.
【例5】 如图甲所示，一个有固定转动轴的竖直圆盘转动时，固定在圆盘上的小圆柱带动一个T形支架在竖直方向振动，T形支架的下面系着一个由弹簧和小球组成的振动系统.圆盘静止时，让小球做简谐运动，其振动图像如图乙所示.圆盘匀速转动时，小球做受迫振动，小球振动稳定时，下列说法正确的是( )
A.小球振动的固有频率是4 Hz
B.小球做受迫振动时周期一定是4 s
C.圆盘转动周期在4 s附近时，小球振幅显著增大
D.圆盘转动周期在4 s附近时，小球振幅显著减小
【解析】 C 小球振动的固有周期T＝4 s，则其固有频率为f＝＝0.25 Hz，A错误；小球做受迫振动时周期等于驱动力的周期，即等于圆盘转动周期，不一定等于固有周期4 s，B错误；圆盘转动周期在4 s附近时，驱动力周期等于振动系统的固有周期，小球产生共振现象，振幅显著增大，C正确、D错误.
【变式训练5】 如图所示为两单摆分别在受迫振动中的共振曲线，则下列说法错误的是( )
A.若两摆的受迫振动分别在月球上和地球上进行，且摆长相同，则图线Ⅰ表示月球上单摆的共振曲线
B.若两摆的受迫振动是在地球上同一地点进行，则两摆摆长之比LⅠ∶LⅡ＝25∶4
C.若图线Ⅱ表示在地球上完成的，则该单摆摆长约为1 m
D.若摆长均为1 m，则图线Ⅰ表示在地球上完成的
【解析】 D 图线中振幅最大处对应的频率与做受迫振动的单摆的固有频率相等，从图线上可以看出，两摆的固有频率fⅠ＝0.2 Hz，fⅡ＝0.5 Hz.当两摆在月球和地球上分别做受迫振动且摆长相等时，根据关系式f＝ 可知，g越大，f越大，所以gⅡ＞gⅠ，因为g地＞g月，因此可推知图线Ⅰ表示月球上单摆的共振曲线，A正确；若在地球上同一地点进行两次受迫振动，g相同，摆长长的f小，且有＝，所以＝，B正确；fⅡ＝0.5 Hz，若图线Ⅱ表示在地球上完成的，根据g＝9.8 m/s2，可计算出LⅡ约为1 m，C正确、D错误.
1.关于简谐运动，以下说法正确的是( )
A.位移减小时，加速度增大，速度增大
B.位移的方向总跟加速度的方向相反，跟速度的方向相同
C.动能或势能第一次恢复为原来的大小所经历的过程为一个周期
D.物体运动方向指向平衡位置时，速度的方向与位移的方向相反；背离平衡位置时，速度方向与位移方向相同
【解析】 D 位移减小时，回复力减小，则加速度减小，速度增大，A错误；位移的方向总跟回复力的方向相反，则与加速度的方向也相反，跟速度的方向可能相同，也可能相反，B错误；动能或势能第一次恢复为原来的大小所经历的过程不一定是一次全振动，C错误；物体运动方向指向平衡位置时，速度的方向与位移的方向相反；背离平衡位置时，速度方向与位移方向相同，D正确.
2.如图甲所示，一导体杆用两条等长细导线悬挂于水平轴OO′，接入电阻R构成回路.导体杆处于竖直向上的匀强磁场中，将导体杆从竖直位置拉开小角度θ由静止释放，导体杆开始下摆.当R＝R0时，导体杆振动图像如图乙所示.若横纵坐标皆采用图乙标度，则当R＝2R0时，导体杆振动图像是( )
【解析】 B 导体杆切割磁感线时，回路中产生感应电流，由楞次定律可得，导体杆受到的安培力总是阻碍导体棒的运动.当R从R0变为2R0时，回路中的电阻增大为原来的2倍，则电流减小，导体杆所受安培力减小，即导体杆在摆动时所受的阻力减弱，所以杆从开始摆动到停止，运动的路程和经历的时间变长，所以导体杆振动图像是图B.
3.一弹簧振子做简谐运动，周期为T( )
A.若t和(t＋Δt)时刻振子运动速度的大小相等、方向相同，则Δt一定是的整数倍
B.若t和(t＋Δt)时刻振子运动位移的大小相等、方向相反，则Δt一定是的整数倍
C.若Δt＝T，则t和(t＋Δt)时刻振子运动的加速度一定相等
D.若Δt＝，则t和(t＋Δt)时刻弹簧的长度一定相等
【解析】 C 根据振子运动的对称性可知，若t和(t＋Δt)时刻振子运动速度的大小相等、方向相同，振子可以处于关于平衡位置对称的两点，则Δt可以为等，A错误；若t时刻和(t＋Δt)时刻振子运动位移的大小相等，方向相反，如果速度相反，则时间Δt一定是的奇数倍，若速度同方向，不是半周期的整数倍，B错误；若Δt＝T，则在t时刻和(t＋Δt)时刻振子处于同一位置，振子的位移相同，由a＝可知，加速度一定相等，C正确；若Δt＝，则在t和(t＋Δt)两时刻振子必在关于平衡位置对称的两位置（包括平衡位置），这两时刻，振子的位移、加速度、速度等均大小相等、方向相反，但在这两时刻弹簧的长度并不一定相等，D错误.
4.游客在海边欲乘坐游船，当日风浪很大，游船上下浮动，游船浮动可简化为竖直方向的简谐运动，振幅为30 cm，周期为3.0 s.当船上升到最高点时，甲板刚好与码头地面平齐.地面与甲板的高度差不超过15 cm时，游客能舒服地登船.假设风浪较小时，游船振幅为15 cm，游船上升到最高点时依然刚好与码头地面平齐，舒服登船的高度不变，振动周期不变，则在一个周期内，风浪较小时舒服地登船时间比风浪大时增加( )
A.1.0 s B.0.75 s
C.0.50 s D.0.25 s
【解析】 C 风浪很大时，游船的振动方程为y＝A sin （t） cm＝30sin （t） cm，当y＝15 cm时，可解得t1＝0.25 s，t2＝1.25 s，游客可舒服登船的时间为Δt＝t2－t1＝1 s，风浪较小时，游客在一个周期内，有半个周期能舒服登船，故Δt′＝T＝1.5 s，故风浪较小时舒服地登船时间增加了t″＝Δt′－Δt＝0.5 s，C正确.
5.如图所示，一根不计质量的弹簧竖直悬吊质量为M的铁块，在其下方吸引了一质量为m的磁铁，且M＝3m.已知弹簧的劲度系数为k，磁铁对铁块的最大吸引力等于3mg，铁块和磁铁共同沿竖直方向做简谐运动，已知弹簧的弹性势能Ep＝kx2，不计磁铁对其他物体的作用并忽略空气阻力.下列说法正确的是( )
A.铁块处于平衡位置时弹簧的伸长量等于
B.铁块振幅的最大值是
C.弹簧弹性势能最大时，弹力的大小等于16mg
D.铁块运动的最大速度为4g
【解析】 D 由胡克定律得铁块处于平衡位置时(M＋m)g＝kx1，可得x1＝，A错误；当铁块的振幅最大时，若在最低点，对磁铁，有F吸max－mg＝ma，对铁块与磁铁组成的整体，有F弹－(M＋m)g＝(M＋m)a，又F弹＝k(x1＋Amax)，联立解得Amax＝，B错误；弹簧弹性势能最大时，铁块和磁铁位于最低点，弹力的大小为F弹＝k(x1＋Amax)＝12mg，C错误；由机械能守恒定律得k(x1＋Amax)2＝kx＋(M＋m)v2＋(m＋M)gAmax，解得v＝4g，D正确.
6.（多选）如图所示是甲、乙两个单摆做简谐运动的图像，则下列说法正确的是( )
A.甲、乙两摆的振幅之比为2∶1
B.t＝2 s时，甲摆的重力势能最小，乙摆的动能为零
C.甲、乙两球的摆长之比为4∶1
D.甲、乙两摆摆球在最低点时向心加速度大小一定相等
【解析】 AB 由图知甲、乙两摆的振幅分别为2 cm、1 cm，振幅之比为2∶1，A正确；t＝2 s时，甲摆在平衡位置处，则甲单摆的重力势能为零，乙摆在振动的最大位移处，动能为零，B正确；由单摆的周期公式T＝2π，得到甲、乙两摆的摆长之比为1∶4，C错误；因摆球摆动的最大偏角未知，无法判断两单摆摆球在最低点时向心加速度大小关系，D错误.
7.如图所示是两个弹簧振子A、B做简谐运动的图像，根据图像所给的信息，回答以下问题：
(1)弹簧振子A的振幅和周期；
(2)8～10 s内，振子B加速度的大小如何变化，方向如何；
(3)在t＝10 s时，A、B振子都通过平衡位置，并且它们的速度大小相等、方向相反，从此时起，至少再经过多长的时间，它们再同时通过平衡位置且速度相同；
(4)写出两个弹簧振子的位移与时间的关系式.
【解析】 (1)由图可知，振子A的振幅为1 cm；它在四分之三周期的时间是10 s，故T＝10 s，所以它的周期为T＝ s.
(2)因为B的周期是10 s，故在8～10 s内，振子位于平衡位置以下正在向平衡位置移动的过程中，故此时B加速度的大小是减小的，方向为正方向.
(3)在t＝10 s时，A、B振子都通过平衡位置，并且它们的速度大小相等、方向相反，从此时起，设再经过时间t时，它们再同时通过平衡位置且速度相同，在此过程中，其中一个摆将多振动半次，由于B振动得快，设B振子振动的次数为n，则有nTB＝nTA－TA，将TA＝ s和TB＝10 s代入得n＝2，即时间t＝2×10 s＝20 s.
(4)因为A的振幅为1 cm，角速度ωA＝＝0.15π；初相位是，故表达式为xA＝sin （0.15πt＋）cm；B的振幅为0.8 cm，角速度ωB＝＝0.2π；初相位为0，故表达式为xB＝0.8sin (0.2πt)cm.
8.一根轻绳一端连接固定的拉力传感器，另一端连接质量为m的小钢球，如图甲所示.拉起小钢球至某一位置由静止释放，使小钢球在竖直平面内摆动，轻绳与竖直方向的夹角最大值约为5°，图乙为轻绳对小钢球的拉力大小F随时间t变化的图像，图像中F1、F2、T0均为已知量.求：
(1)重力加速度g的大小；
(2)轻绳的长度l.
【解析】 (1)小钢球由静止释放时，轻绳与竖直方向夹角为θ，释放瞬间轻绳拉力最小，故
F1＝mg cos θ，①
小钢球由静止运动到最低点的过程，根据动能定理有
mgl(1－cos θ)＝mv2，②
小钢球运动到最低点时轻绳拉力最大，则
F2－mg＝m，③
联立①②③可得g＝.④
(2)由题图乙可得单摆的周期为
T＝2T0，⑤
而T＝2π，⑥
联立④⑤⑥解得l＝.
第2讲 机械波及其图像
一、机械波 横波和纵波
1.机械波的形成条件
(1)有发生机械振动的 波源 .
(2)有传播 介质 ，如空气、水等.
2.传播特点
(1)机械波传播的只是振动的 形式 和 能量 ，质点只在各自的平衡位置附近做 简谐运动 ，并不随波 迁移 .
(2)介质中各质点的振幅相同，介质中每个质点都做 受迫振动 ，因此，任一质点的振动频率和周期都和波源的振动频率和周期 相同 .
(3)波传到任意一点，该点的起振方向都和波源的起振 方向 相同.
(4)一个周期内，质点完成一次全振动，通过的路程为 4A ，位移为 零 .
3.机械波的分类
分类 质点振动方向和波的传播方向的关系 形状 举例
横波 垂直 凹凸相间，有波峰、波谷 绳波等
纵波 在同一条直线上 疏密相间，有密部、疏部 弹簧波、 声波等
二、横波的图像 波速、波长和频率的关系
1.横波的图像
(1)坐标轴：横轴表示各质点的 平衡位置 ，纵轴表示该时刻各质点的 位移 .
(2)意义：表示在波的传播方向上，某时刻各质点离开 平衡位置 的位移.
(3)图像如图所示.
2.波长、波速、频率及其关系
(1)波长λ：在波动中，振动相位总是 相同 的两个相邻质点间的距离.
(2)波速v：波在介质中的传播速度，由 介质 本身的性质决定.
(3)频率f：由 波源 决定，等于波源的振动 频率 .
(4)波长、波速和频率的关系：①v＝ λf ；②v＝ .
三、波的干涉和衍射现象 多普勒效应
1.波的叠加
几列波相遇时，每列波都能够保持各自的状态继续传播而不互相干扰，只是在重叠的区域里，质点同时参与这几列波引起的振动，质点的位移等于这几列波单独传播时引起的位移的 矢量和 .
2.波的干涉和衍射
项目 波的干涉 波的衍射
条件 两列波的频率必须相同 明显条件：障碍物或孔的尺寸比波长小或相差不多
现象 形成加强区和减弱区相互隔开的稳定的干涉图样 波能够绕过障碍物或孔继续向前传播
3.多普勒效应
(1)条件：波源和观察者之间有 相对运动 .
(2)现象：观察者感到 频率 发生变化.
(3)实质：波源与波的频率 不变 ，观察者接收到的频率 变化 .
(4)规律：①波源与观察者如果相互靠近，观察者接收到的频率 变大 .②波源与观察者如果相互远离，观察者接收到的频率 变小 .③波源和观察者如果相对静止，观察者接收到的频率 等于 波源的频率.
考点一 机械波的传播与图像
1.机械波的传播特点
介质依存性 机械波是机械振动在介质中的传播，因此，机械波离不开介质，真空中不能传播机械波
能量信息性 机械波传播的是振动的形式，因此机械波可以传递能量、信息
传播不移性 在波的传播方向上，各质点只在各自的平衡位置附近振动，并不随波定向迁移
时空重复性 机械波传播时，具有时间上的重复性——周期；而介质中的不同位置处的一些特定质点具有完全相同“步调”的振动形式，形成波的空间上的重复性——波长
周期、频率同源性 介质（包括不同的介质）中各质点的振动周期和频率等于振源的振动周期和频率，而且在传播过程中保持不变
起振同向性 各质点开始振动的方向与振源开始振动的方向相同
2.波的图像的特点
(1)质点振动nT（波传播nλ）(n＝0，1，2，3，…)时，波形不变.
(2)在波的传播方向上，当两质点平衡位置间的距离为nλ(n＝1，2，3，…)时，它们的振动步调总相同；当两质点平衡位置间的距离为(2n＋1)(n＝0，1，2，3，…)时，它们的振动步调总相反.
机械波的形成与传播
【例1】 （2024·湖南卷）如图，健身者在公园以每分钟60次的频率上下抖动长绳的一端，长绳自右向左呈现波浪状起伏，可近似为单向传播的简谐横波。长绳上A、B两点平衡位置相距6 m，t0时刻A点位于波谷，B点位于波峰，两者之间还有一个波谷。下列说法正确的是( )
A.波长为3 m
B.波速为12 m/s
C.t0＋0.25 s时刻，B点速度为0
D.t0＋0.50 s时刻，A点速度为0
【解析】 D 如图所示，根据题意可知xAB＝λ＝6 m，解得λ＝4 m，A错误；波源的振动频率为f＝ Hz＝1 Hz，故波速为v＝λf＝4 m/s，B错误；质点的振动周期为T＝1 s，因为0.25 s＝，故B点在t0＋0.25 s运动到平衡位置，位移为0，速度最大，C错误；0.5 s＝，故A点在t0＋0.5 s运动到波峰，位移最大，速度为0，D正确.
【变式训练1】 平衡位置位于原点O的波源发出简谐横波在均匀介质中沿水平x轴传播，P、Q为x轴上的两个点（均位于x轴正向），P与O的距离为35 cm，此距离介于一倍波长与二倍波长之间，已知波源自t＝0时由平衡位置开始向上振动，周期T＝1 s，振幅A＝5 cm.当波传到P点时，波源恰好处于波峰位置；此后再经过5 s，平衡位置在Q处的质点第一次处于波峰位置，求：
(1)P、Q之间的距离；
(2)从t＝0开始到平衡位置在Q处的质点第一次处于波峰位置时，波源在振动过程中通过路程.
【解析】 (1)由题意，O、P两点的距离与波长满足：OP＝λ ，
波速与波长的关系为v＝，
在t＝5 s时间间隔内波传播的路程为vt，由题意有vt＝PQ＋λ，
综上解得PQ＝133 cm.
(2)Q处的质点第一次处于波峰位置时，波源运动时间为
t1＝t＋T，
波源由平衡位置开始运动，每经过，波源运动的路程为A，由题意可知t1＝25×T，
故t1时间内，波源运动的路程为
s＝25A＝125 cm.
波的图像
【例2】 （多选）在均匀介质中，位于坐标原点的波源从t＝0时刻开始沿y轴做简谐运动，形成沿x轴传播的简谐横波，t＝0.5 s时的波形如图所示，此刻平衡位置在x＝2.5 m处的质点刚开始振动，则下列说法正确的有( )
A.在这种介质中波速v＝4 m/s
B.x＝1 m处质点在t＝0.3 s时位于波谷
C.波源的位移表达式为y＝0.02sin (5πt＋π) m
D.经过半个周期x＝－1 m处的质点向左迁移半个波长
【解析】 BC 由图中可知t＝0.5 s时，波传播的距离为x＝2.5 m，故波的速度为v＝＝ m/s＝5 m/s，A错误；由图可知该波的波长为λ＝2 m，所以波的周期为T＝＝ s＝0.4 s，波传播到x＝1 m需要的时间t1＝＝ s＝0.2 s，由图可知该波的起振方向向下，t＝0.3 s该波振动了0.1 s，即T，所以位于波谷，B正确；根据图像可知该波的振动方程为y＝A sin （t＋φ）＝－0.02sin (5πt) m＝0.02sin (5πt＋π) m，C正确；质点只是上下振动，不随波左右移动，D错误.
【变式训练2】 一列简谐横波沿x轴正向传播，波长为100 cm，振幅为8 cm.介质中有a和b两个质点，其平衡位置分别位于x＝－ cm和x＝120 cm处.某时刻b质点的位移为y＝4 cm，且向y轴正方向运动.从该时刻开始计时，a质点的振动图像为( )
【解析】 A （方法1：解析式法）从该时刻开始计时，b质点的振动方程为yb＝8sin （ωt＋） cm，ab之间的距离为Δx＝（＋120） cm＝λ，两者之间的相位差是φa－φ＝·2π＝π，所以a质点的振动方程为ya＝8sin （ωt＋＋）＝8sin （ωt＋） cm，A正确.
（方法2：参考圆法）由参考圆可知，φb＝，ab之间的距离为Δx＝（＋120） cm＝λ，把距离差换算成相位差，有＝，解得φa＝，所以t＝0时刻质点a的位移是ya＝A sin ＝＝4 cm，且向下振动，A正确.
由波的图像、波的传播方向判定 质点振动方向的方法
项目方法解读图像演示“上、下 坡”法沿波的传播方向，“上坡”时质点向下振动，“下坡”时质点向上振动“同侧” 法波形图上某点表示传播方向和振动方向的箭头在图线同侧“微平移” 法将波形沿传播方向进行微小的平移，再由对应同一x坐标的两波形曲线上的点来判断振动方向
考点二 振动图像与波的图像的综合应用
项目 振动图像 波的图像
图像
物理 意义 表示某质点各个时刻的位移 表示某时刻各质点的位移
图像 信息 质点振动周期，质点振幅，各时刻质点位移，各时刻速度、加速度方向 波长、振幅，任意一质点在该时刻的位移，任意一质点在该时刻加速度方向，传播方向、振动方向的互判
图像 变化 随时间推移，图像延续，但已有形状不变 随时间推移，图像沿传播方向平移
类比 理解 记录一个人在一段时间内活动的录像带 记录在某时刻许多人的动作的集体照
【例3】 （2024·重庆卷）（多选）一列沿x轴传播的简谐波，在某时刻的波形图如图甲所示，一平衡位置与坐标原点距离为3 m的质点从该时刻开始的振动图像如图乙所示，若该波的波长大于3 m.则( )
A.最小波长 m
B.频率 Hz
C.最大波速 m/s
D.从该时刻开始2 s内该质点运动的路程为（4－） cm
【解析】 BD 根据题图乙写出平衡位置与坐标原点距离为3 m的质点的振动方程y＝sin (ωt＋φ)，代入点（0，）和(2，0)解得φ＝，ω＝，可得T＝2.4 s，f＝ Hz，B正确；在题图甲中标出位移为 cm的质点，若波沿x轴正方向传播则为Q点，沿x轴负方向传播则为P点，则波长可能为λ＝3 m，即λ＝18 m或λ′＝3 m，即λ′＝9 m，A错误；根据v＝，可得v＝7.5 m/s或v′＝3.75 m/s，C错误；根据题图乙计算该质点在2 s内运动的路程为s＝（1＋1＋1＋1－） cm＝（4－） cm，D正确.
【易错点】 此题考查波动图像与振动图像的综合应用，注意一周期内位移为 cm的点有两个，相位不同，振动方向不同，必须分类讨论，而且本题涉及非特殊相位，可用参考圆法确定非特殊点的相位.
【变式训练3】 （多选）均匀介质中，波源位于O点的简谐横波在xOy水平面内传播，波面为圆.t＝0时刻，波面分布如图a所示，其中实线表示波峰，虚线表示相邻的波谷.A处质点的振动图像如图b所示，z轴正方向竖直向上.下列说法正确的是( )
A.该波从A点传播到B点，所需时间为4 s
B.t＝6 s时，B处质点位于波峰
C.t＝8 s时，C处质点振动速度方向竖直向上
D.t＝10 s时，D处质点所受回复力方向竖直向上
【解析】 AC 由图a、b可看出，该波的波长、周期分别为λ＝10 m，T＝4 s，则根据波速公式v＝＝2.5 m/s，该波从A点传播到B点所需时间为t＝＝ s＝4 s，A正确；在t＝6 s时，B点运动了2 s，即，则B处质点位于波谷，B错误；波从AE波面传播到C的距离为x＝（10－10） m，则波从AE波面传播到C的时间为t＝≈4.9 s，则t＝8 s时，C处质点再经过3.1 s速度方向向上，C正确；波从AE波面传播到D的距离为x＝（10－10） m，则波从AE波面传播到D的时间为t＝≈1.7 s，则t＝10 s时，C处质点再经过8.3 s位于z轴上方，回复力方向向下，D错误.
求解波的图像与振动图像综合问题的关键
考点三 波的多解问题
1.造成波动问题多解的主要类型
(1)双向性形成多解
①传播方向双向性：波的传播方向不确定.
②振动方向双向性：质点振动方向不确定.
(2)周期性形成多解
①时间周期性：时间间隔Δt与周期T的关系不明确.
②空间周期性：波传播距离Δx与波长λ的关系不明确.
(3)波形的隐含性形成多解
在波动问题中，往往只给出完整波形的一部分，或给出几个特殊点，而其余信息均处于隐含状态.这样，波形就有多种情况，形成波动问题的多解性.
2.解决波的多解问题的一般思路
(1)首先找出造成多解的原因，比如考虑传播方向的双向性，可先假设波向右传播，再假设波向左传播，分别进行分析.
(2)根据周期性列式，若题目给出的是时间条件，则列出t＝nT＋Δt(n＝0，1，2，…)，若给出的是距离条件，则列出x＝nλ＋Δx(n＝0，1，2，…)进行求解.
(3)根据需要进一步求与波速（v＝或v＝＝λf）等有关的问题.
【例4】 （2023·全国甲卷）分别沿x轴正向和负向传播的两列简谐横波P、Q的振动方向相同，振幅均为5 cm，波长均为8 m，波速均为4 m/s.t＝0时刻，P波刚好传播到坐标原点，该处的质点将自平衡位置向下振动；Q波刚好传到x＝10 m处，该处的质点将自平衡位置向上振动.经过一段时间后，两列波相遇.
(1)在坐标图上分别画出P、Q两列波在t＝2.5 s时刻的波形图（P波用虚线，Q波用实线）；
(2)求出图示范围内的介质中，因两列波干涉而振动振幅最大和振幅最小的质点的平衡位置.
【解析】 (1)根据Δx＝vt得Δx＝4×2.5 m＝10 m，可知t＝2.5 s时P波刚好传播到x＝10 m处，Q波刚好传播到x＝0处，根据上、下坡法可得波形图如图所示.
(2)根据题意可知，P、Q两波振动频率相同，振动方向相反，两波叠加时，振动加强点的条件为到两波源的距离差Δx＝(n＝0，1，2…)，解得振幅最大的平衡位置有x＝3 m、x＝7 m，振动减弱的条件为Δx＝nλ(n＝0，1，2…)，解得振幅最小的平衡位置有x＝1 m、x＝5 m、x＝9 m.
【变式训练4】 如图所示，实线是一列简谐横波在t1时刻的波形图，虚线是t2＝(t1＋1) s时刻的波形图，已知质点M的平衡位置距O点距离为5 m.下列说法正确的是( )
A.若波沿x轴负向传播时，其周期可能为 s
B.无论波向哪个方向传播，质点M在t1时刻一定沿y轴正方向运动
C.若该波沿x轴正向传播，其波速可能为7 m/s
D.若波沿x轴负向传播时，当周期T＝ s时，质点M在t1到t2时间内运动的路程为3.2 m
【解析】 A 若波沿x轴负方向传播，则T＋nT＝1 s(n＝0，1，2，…)，从而得到周期T＝ s(n＝0，1，2，…)，当n＝2时T＝ s，A正确；若波沿x轴负方向传播，根据上下坡法可知质点M在t1时刻沿y轴负方向运动，若波沿x轴正方向传播，根据上下坡法可知质点M在t1时刻沿y轴正方向运动，B错误；若该波沿x轴正向传播，可得周期T＝ s(n＝0，1，2，…)，则v＝＝(4n＋1) m/s(n＝0，1，2，…)，其波速不可能为7 m/s，C错误；若波沿x轴负方向传播时，由T＝ s(n＝0，1，2，…)，当n＝3时T＝ s，则质点M在t1到t2时间内，质点M运动的路程为15A＝15×0.2 m＝3 m，D错误.
求解波的多解问题的技巧
考点四 波的干涉、衍射及多普勒效应
1.波的干涉中振动加强点和减弱点的判断
某质点的振动是加强还是减弱，取决于该点到两相干波源的距离之差Δr.
(1)当两波源振动步调一致时
若Δr＝nλ(n＝0，1，2…)，则振动加强；
若Δr＝(2n＋1)(n＝0，1，2…)，则振动减弱.
(2)当两波源振动步调相反时
若Δr＝(2n＋1)(n＝0，1，2…)，则振动加强；
若Δr＝nλ(n＝0，1，2…)，则振动减弱.
2.多普勒效应的成因分析
(1)接收频率：观察者接收到的频率等于观察者在单位时间内接收到的完全波的个数.
(2)当波源与观察者相互靠近时，观察者接收到的频率变大，当波源与观察者相互远离时，观察者接收到的频率变小.
波的干涉
【例5】（2023·辽宁卷）（多选）“球鼻艏”是位于远洋轮船船头水面下方的装置，当轮船以设计的标准速度航行时，球鼻艏推起的波与船首推起的波如图所示，两列波的叠加可以大幅度减小水对轮船的阻力.下列现象的物理原理与之相同的是( )
A.插入水中的筷子，看起来折断了
B.阳光下的肥皂膜，呈现彩色条纹
C.驶近站台的火车，汽笛音调变高
D.振动音叉的周围，声音忽高忽低
【解析】 BD 该现象属于波的叠加原理.插入水中的筷子看起来折断了是光的折射造成的，与该问题的物理原理不相符；阳光下的肥皂膜呈现彩色条纹，是由于光从薄膜上下表面的反射光叠加造成的干涉现象，与该问题的物理原理相符；驶近站台的火车汽笛音调变高是多普勒现象造成的，与该问题的物理原理不相符；振动音叉的周围声音忽高忽低，是声音的叠加造成的干涉现象，与该问题的物理原理相符，B、D正确.
【变式训练5】（2024·浙江卷）（多选）在如图所示的直角坐标系中，xOz平面为介质Ⅰ和Ⅱ的分界面（z轴垂直纸面向外）.在介质Ⅰ中的P(0，4λ)处有一点波源，产生波长为λ、速度为v的波.波传到介质Ⅱ中，其速度为v，图示时刻介质Ⅱ中仅有一个波峰，与x轴和y轴分别交于R和S点，此时波源也恰好位于波峰.M为O、R连线的中点，入射波与反射波在O点相干加强，则( )
A.介质Ⅱ中波的频率为
B.S点的坐标为（0，－λ）
C.入射波与反射波在M点相干减弱
D.折射角α的正弦值sin α＝
【解析】 BD 波从一种介质到另一种介质，频率不变，故介质Ⅱ中波的频率为f＝，A错误；在介质Ⅱ中波长为λ′＝＝λ，由于图示时刻介质Ⅱ中仅有一个波峰，与x轴和y轴分别交于R和S点，故S点的坐标为（0，－λ），B正确；由于S为波峰，且波传到介质Ⅱ中，其速度为v，图示时刻介质Ⅱ中仅有一个波峰，与x轴和y轴分别交于R和S点，则R也为波峰，故P到R比P到O多一个波峰，则PR＝5λ，则OR＝3λ，由于|MO－PM|≠2n·或(2n＋1)，故M不是减弱点，C错误；根据n＝＝，则n＝，解得sin α＝，D正确.
波的衍射
【例6】 如图所示，挡板M固定，挡板N可以上下移动，现在把M、N两块挡板中的空隙当作一个“小孔”做水波的衍射实验，出现了图示中的图样，P点的水没有振动起来.为使挡板左边的振动传到P点，可以采用的办法是( )
A.挡板N向下平移一段距离
B.增大波源振动频率
C.挡板M和N向右移动一段距离
D.波源向左匀速移动
【解析】 D P点的水没有振动起来，说明P点波没有明显衍射过去，原因是MN间的缝太宽或波长太小，因此若要使P点的水振动起来，可将N板上移减小小孔的间距，也可以增大水波的波长，即减小振源的频率，A、B、C错误；根据多普勒效应可知波源向左匀速移动后M、N两块挡板中的空隙接收到的波的频率变小，水波波长增大，可能使P点的水振动起来，D正确.
【变式训练6】 青岛濒临黄海，是国内著名的滨海旅游城市，拥有众多优良海水浴场.在石老人海水浴场，某同学漂浮在海面上，水波以3 m/s的速率向着海滩传播，该同学记录了第1个波峰到第10个波峰通过身下的时间为18 s.下列说法正确的是( )
A.该同学很快就会漂流到沙滩上
B.该水波的周期为1.8 s
C.该水波的波长为6 m
D.该水波可以绕过石老人继续传播属于波的干涉现象
【解析】 C 该同学只会在平衡位置附近振动，不会随波迁移，A错误；该水波的周期为T＝＝2 s，B错误；由波长公式得λ＝vT＝6 m，C正确；该水波可以绕过石老人继续传播属于波的衍射现象，D错误.
多普勒效应
【例7】 （多选）在下列现象中，可以用多普勒效应解释的有( )
A.雷雨天看到闪电后，稍过一会儿才能听到雷声
B.超声波被血管中的血流反射后，探测器接收到的超声波频率发生变化
C.观察者听到远去的列车发出的汽笛声，音调会变低
D.同一声源发出的声波，在空气和水中传播的速度不同
【解析】 BC 雷雨天看到闪电后，稍过一会儿才能听到雷声，这是由于光在空气中的传播速度比声波在空气中的传播速度大，A错误；超声波被血管中血流反射后，探测器接收到的超声波频率发生变化，是多普勒效应，B正确；观察者听到远去的列车发出的汽笛声，音调会变低，是多普勒效应，C正确；同一声源发出的声波，在空气和水中的传播速度不同，可知声速与介质有关，不是多普勒效应，D错误.
【变式训练7】 下列哪项应用没有利用多普勒效应( )
A.利用地球上接收到遥远天体发出的光波的频率来判断遥远天体相对于地球的运动速度
B.交通警察向行进中的汽车发射一个已知频率的电磁波，波被运动的汽车反射回来，根据接收到的频率发生的变化，就知道汽车的速度，以便于进行交通管理
C.铁路工人用耳贴在铁轨上可判断火车的运动情况
D.有经验的战士从炮弹飞行的尖叫声判断飞行炮弹是接近还是远去
【解析】 C 凡是波都具有多普勒效应，因此利用光波的多普勒效应便可以测定遥远星体相对地球远离的速度；被反射的电磁波，相当于一个运动的物体发出的电磁波，其频率发生变化，由多普勒效应的计算公式可以求出运动物体的速度；铁路工人是根据振动的强弱而对列车的运动做出判断的，没有利用多普勒效应；炮弹飞行，与空气摩擦产生声波，人耳接收到的频率与炮弹的相对运动方向有关.
1.如图所示，置于管口T前的声源发出一列单一频率声波，分成两列强度不同的声波分别沿A、B两管传播到出口O.先调节A、B两管等长，O处探测到声波强度为400个单位，然后将A管拉长d＝15 cm，在O处第一次探测到声波强度最小，其强度为100个单位.已知声波强度与声波振幅平方成正比，不计声波在管道中传播的能量损失，则( )
A.声波的波长λ＝15 cm
B.声波的波长λ＝30 cm
C.两声波的振幅之比为3∶1
D.两声波的振幅之比为2∶1
【解析】 C 分析可知A、B两管等长时，声波的振动加强，将A管拉长d＝15 cm后，两声波在O点减弱，设声波加强时振幅为20，声波减弱时振幅为10，则A1＋A2＝20，A1－A2＝10，可得两声波的振幅之比＝，C正确、D错误；根据振动减弱的条件可得＝2d，解得λ＝60 cm，A、B错误.
2.（2024·浙江卷）频率相同的简谐波源S1、S2，和接收点M位于同一平面内，S1、S2到M的距离之差为6 m.t＝0时S1、S2同时垂直平面开始振动，M点的振动图像如图所示，则( )
A.两列波的波长为2 m
B.两列波的起振方向均沿x正方向
C.S1和S2在平面内不能产生干涉现象
D.两列波的振幅分别为3 cm和1 cm
【解析】 B 根据图像可知t＝4 s时M点开始向上振动，故此时一列波传播到M点，起振方向向上，t＝7 s时波形开始改变，说明另一列波传播到M点，此时两列波平衡位置都传到M点，第一列波使M点向下振动，之后振幅减小，则此时M点振动减弱，可知第二列波使M点向上振动.S1、S2到M的距离之差为6 m，由图可知两列波传到M点的时间差为3 s，根据v＝可得波速为v＝ m/s＝2 m/s，故波长为λ＝vT＝4 m，A错误；根据前面分析可知两列波刚传到M点时均使M点向上振动，故两列波的起振方向均沿x正方向，B正确；两列波频率相等，在平面内能产生干涉现象，C错误；由t＝4.5 s和t＝7.5 s时的位移知第一列的振幅为3 cm，第二列波的振幅为A2＝3 cm－1 cm＝2 cm，D错误.
3.一列简谐横波在均匀介质中沿x轴方向传播，在t＝1 s时刻的波形如图甲所示，图乙为质点M的振动图像.下列说法正确的是( )
A.该波沿x轴负方向传播
B.该波传播的速度大小为0.5 m/s
C.在t＝2 s时刻，质点P正在沿y轴负方向运动
D.在1～3.5 s时间内，质点N的路程为30 cm
【解析】 D 由图乙知t＝1 s时，质点M的振动方向沿y轴正方向，结合图甲知该简谐横波沿x轴正方向传播，A错误；根据题图可知波长λ＝4 m，周期T＝2 s，所以波速为2 m/s，B错误；在t＝1 s时，质点P沿y轴负方向运动，再过半个周期即t＝2 s时，质点P沿y轴正方向运动，C错误；在1～3.5 s时间内Δt＝2.5 s＝T，质点N的路程为s＝×4A＝30 cm，D正确.
4.（多选）一列简谐横波沿x轴传播，如图所示，实线为t1＝2 s时的波形图，虚线为t2＝5 s时的波形图.以下关于平衡位置在原点O处质点的振动图像，可能正确的是( )
【解析】 AC 若机械波沿x轴正方向传播，在t1＝2 s时O点振动方向竖直向上，则传播时间Δt＝t2－t1＝3 s满足Δt＝T＋nT(n＝0，1，2，3，…)，解得T＝ s(n＝0，1，2，3，…)，当n＝0时，解得周期T＝4 s，A正确、B错误；若机械波沿x轴负方向传播，在t2＝5 s时O点处于波谷，则Δt＝T＋nT(n＝0，1，2，3，…)，解得T＝ s(n＝0，1，2，3，…)，当n＝0时，解得周期T＝12 s，C正确、D错误.
5.（多选）如图所示，当波源和障碍物都静止不动时，波源发出的波在障碍物处不能发生明显衍射.下列措施可能使波发生较为明显衍射的是( )
A.增大波源的振动频率
B.减小波源的振动频率
C.增大障碍物的长度
D.减小障碍物的长度
【解析】 BD 不能发生明显衍射的原因是障碍物的长度远大于波长，增大波长或减小障碍物的长度均可满足题目要求，由λ＝知，v不变，减小f，λ增大，A、C错误，B、D正确.
6.（多选）一列简谐横波在t＝0时刻的波形如图甲所示，A、B是介质中的两个质点，此时质点B正经过平衡位置，质点B的振动图像如图乙.下列说法正确的是( )
A.波沿x轴正方向传播
B.这列波的波速为0.2 m/s
C.t＝1.5 s时刻，质点B的运动的加速度为零
D.t＝1 s时刻，质点A的位移为负值
【解析】 AB 因t＝0时刻，质点B沿y轴负向振动，结合波形图可知，波沿x轴正方向传播，A正确；这列波的波速为v＝＝ m/s＝0.2 m/s，B正确；t＝1.5 s时刻，质点B处于波峰位置，则此时加速度最大，C错误；t＝1 s时刻，即经过半个周期，质点A的位移为正值，D错误.
7.一列沿x轴正方向传播的简谐横波，其波源的平衡位置在坐标原点，波源在0～4 s内的振动图像如图甲所示，已知波的传播速度为0.5 m/s.
(1)求这列横波的波长；
(2)求波源在4 s内通过的路程；
(3)在图乙中画出t＝4 s时刻的波形图.
【解析】 (1)由题图甲可知，振幅A＝4 cm，周期T＝4 s，由于波的传播速度为0.5 m/s，根据波长与速度关系有λ＝vT＝2 m.
(2)由(1)可知波源的振动周期为4 s，则4 s内波源通过的路程为s＝4A＝16 cm.
(3)由题图甲可知在t＝0时波源的起振方向向上，由于波速为0.5 m/s，则在4 s时，x＝vt＝2 m，可知该波刚好传到位置为2 m的质点，且波源刚好回到平衡位置，且该波沿x轴正方向传播，则根据“上、下坡”法可绘制出t＝4 s时刻的波形图如图所示.
8.在一列沿水平直线传播的简谐横波上有相距4 m的A、B两点，图甲、乙分别是A、B两质点的振动图像.已知该波波长大于2 m，求这列波可能的波速.
【解析】 由振动图像得质点振动周期
T＝0.4 s，
若波由A向B传播，B点比A点晚振动的时间Δt＝nT＋T(n＝0，1，2，3，…)，
所以A、B间的距离为
Δs＝vΔt＝Δt＝nλ＋λ(n＝0，1，2，3，…)，
则波长为λ＝＝ m，
因为λ＞2 m，所以n＝0，1，
当n＝0时，λ1＝ m，v1＝＝ m/s，
当n＝1时，λ2＝ m，v2＝＝ m/s.
若波由B向A传播，A点比B点晚振动的时间Δt＝nT＋T(n＝0，1，2，3，…)，
所以A、B间的距离为
Δs＝nλ＋λ(n＝0，1，2，3，…)，
则波长为λ＝＝ m
因为λ＞2 m，所以n＝0，1，
当n＝0时，λ1＝16 m，v1＝40 m/s，
当n＝1时，λ2＝ m，v2＝8 m/s.
第3讲 光的折射和全反射
一、光的折射定律 折射率
1.折射现象
光从一种介质斜射入另一种介质时传播方向发生 改变 的现象.
2.折射定律
(1)内容：如图所示，折射光线与入射光线、法线处在 同一平面 内，折射光线与入射光线分别位于法线的 两侧 ；入射角的正弦与折射角的正弦成 正比 .
(2)在光的折射现象中，光路是 可逆 的.
3.折射率
(1)定义：光从真空射入某种介质发生折射时， 入射角的正弦 与 折射角的正弦 之比，叫作这种介质的绝对折射率，简称折射率.
(2)表达式：＝n.
(3)物理意义：折射率n是反映介质的 光学性质 的物理量，不能说n与sin θ1成正比，与sin θ2成反比，n由介质本身的光学性质和光的 频率 决定.
(4)计算公式：n＝，因为v4.折射率的理解
(1)折射率由 介质本身 性质决定，与入射角的大小 无关 .
(2)折射率与介质的 密度 没有关系，光密介质不是指密度大的介质.
(3)同一种介质中，频率越大的色光折射率 越大 ，传播速度 越小 .
二、全反射 光导纤维
1.定义
光从光密介质射入光疏介质，当入射角增大到某一角度时， 折射 光线将全部消失，只剩下 反射 光线的现象.
2.条件
(1)光从光密介质射入光疏介质；
(2)入射角 大于或等于 临界角.
3.临界角
折射角等于 90° 时的入射角.若光从 光密介质 （折射率为n）射向真空或空气时，发生全反射的临界角为C，则sin C＝ .介质的折射率 越大 ，发生全反射的临界角 越小 .
4.光导纤维：光导纤维的原理是利用光的 全反射 .
三、光的色散
1.光的色散现象：一白光通过玻璃三棱镜会形成 由红到紫 七种色光组成的彩色光谱.
2.成因：由于n红考点一 折射定律和折射率的理解及应用
1.对折射率的理解
(1)折射率大小不仅反映了介质对光的折射本领，也反映了光在介质中传播速度的大小，v＝.
(2)折射率的大小不仅与介质本身有关，还与光的频率有关.同一种介质中，频率越大的色光折射率越大，传播速度越小.
(3)同一种色光，在不同介质中虽然波速、波长不同，但频率相同.
2.应用光的折射定律解题的一般思路
(1)根据入射角、折射角及反射角之间的关系，作出比较完整的光路图.
(2)充分利用光路图中的几何关系，确定各角之间的联系，根据折射定律求解相关的物理量.
(3)注意在折射现象中，光路是可逆的.
【例1】 （2024·重庆卷）某同学设计了一种测量液体折射率的方案.容器过中心轴线的剖面图如图所示，其宽度为16 cm，让单色光在此剖面内从空气入射到液体表面的中心.调整入射角，当反射光与折射光垂直时，测出竖直器壁上的反射光点与液体表面的距离h，就能得到液体的折射率n.忽略气壁厚度，由该方案可知( )
A.若h＝4 cm，则n＝
B.若h＝6 cm，则n＝
C.若n＝，则h＝10 cm
D.若n＝，则h＝5 cm
【解析】 B 根据几何关系画出光路图，如图所示，标注入射角θ1，折射角θ2，根据折射定律可得n＝＝＝.若h＝4 cm，则n＝2，A错误；若h＝6 cm，则n＝，B正确；若n＝，则h＝ cm，C错误；若n＝，则h＝ cm，D错误.
【变式训练1】 （2024·贵州卷）一种测量液体折射率的V形容器，由两块材质相同的直角棱镜粘合，并封闭其前后两端制作而成.容器中盛有某种液体，一激光束从左边棱镜水平射入，通过液体后从右边棱镜射出，其光路如图所示.设棱镜和液体的折射率分别为n0、n，光在棱镜和液体中的传播速度分别为v0、v，则( )
A.nv0 B.nC.n>n0，v>v0 D.n>n0，v【解析】 A 由图可知光从棱镜进入液体中时，入射角小于折射角，根据折射定律可知nv0，A正确.
考点二 光的折射定律和全反射规律的综合应用
1.解答全反射问题的技巧
(1)解答全反射问题时，要抓住发生全反射的两个条件：
①光必须从光密介质射入光疏介质；
②入射角大于或等于临界角.
(2)利用好光路图中的临界光线，准确地判断出恰好发生全反射的光路图是解题的关键，且在作光路图时尽量与实际相符.
2.求解光的折射、全反射问题的三点注意
(1)明确哪种是光密介质、哪种是光疏介质.同一种介质，相对于其他不同的介质，可能是光密介质，也可能是光疏介质.
(2)如果光线从光疏介质进入光密介质，则无论入射角多大，都不会发生全反射现象.
(3)当光射到两种介质的界面上时，往往同时发生光的折射和反射现象，但在全反射现象中，只发生反射，不发生折射.
【例2】 （多选）如图所示，将一平面镜置于某透明液体中，光线以入射角i＝45°进入液体，经平面镜反射后恰好不能从液面射出.此时，平面镜与水平面（液面）夹角为α，光线在平面镜上的入射角为β.已知该液体的折射率为，下列说法正确的是( )
A.β＝30°
B.β＝37.5°
C.若略微增大α，则光线可以从液面射出
D.若略微减小i，则光线可以从液面射出
【解析】 BD 根据＝n，解得光线在射入液面时的折射角为r＝30°，光线经平面镜反射后，恰好不能从液面射出，光路图如图.有sin C＝，解得∠C＝45°，由几何关系可得2β＋(90°－r)＋(90°－C)＝180°，解得β＝37.5°，A错误、B正确；若略微增大α，则光线在平面镜上的入射角β将变大，根据上面分析的各角度关系可知光线射出液面的入射角变大，将大于临界角，所以不可以从液面射出，C错误；同理，若略微减小i，则r减小，导致光线在平面镜上的入射角β减小，可知光线射出液面的入射角变小，将小于临界角，可以从液面射出，D正确.
【变式训练2】 如图所示，某种防窥屏由透明介质和对光完全吸收的屏障构成，其中屏障垂直于屏幕平行排列，可实现对像素单元可视角度θ的控制（可视角度θ定义为某像素单元发出的光在图示平面内折射到空气后最大折射角的2倍）.透明介质的折射率n＝2，屏障间隙L＝0.8 mm.发光像素单元紧贴屏下，位于相邻两屏障的正中间.不考虑光的衍射.
(1)若把发光像素单元视为点光源，要求可视角度θ控制为60°，求屏障的高度d；
(2)若屏障高度d＝1.0 mm，且发光像素单元的宽度不能忽略，求像素单元宽度x最小为多少时，其可视角度θ刚好被扩为180°（只要看到像素单元的任意一点，即视为能看到该像素单元）.
【解析】 (1)发光像素单元射到屏障上的光被完全吸收，考虑射到屏障顶端的光射到透明介质和空气界面，折射后从界面射向空气，由题意可知θ＝60°，则r＝＝30°，
在介质中的入射角为i，则＝n，
解得sin i＝，
由几何关系sin i＝，
解得d＝ mm≈1.55 mm.
(2)若视角度θ刚好被扩为180°，则＝90°，此时光线在界面发生全反射，此时光线在界面处的入射角sin C＝＝，
解得C＝30°，
此时发光像素单元发光点距离屏障的距离为x1＝d tan C＝ mm，
像素单元宽度x最小为
x＝2（x1－）＝（－0.8） mm
≈0.35 mm.
【易错点】 认真审题，理解题意，能建立物理模型，作出正确的光路图是解题的关键，计算结果带根号，对计算能力有一定的要求，几何关系和计算上都容易出错.
考点三 光路控制 光的色散现象
1.平行玻璃砖、三棱镜和圆柱体（球）对光路的控制特点
项目 平行玻璃砖 三棱镜 圆柱体（球）
结构 玻璃砖上下表面是平行的 横截面为三角形的三棱镜 横截面是圆
对光 线的 作用 通过平行玻璃砖的光线不改变传播方向，但要发生侧移 通过三棱镜的光线经两次折射后，出射光线向棱镜底面偏折 圆界面的法线是过圆心的直线，光线经过两次折射后向圆心偏折
应用 测定玻璃的折射率 全反射棱镜，改变光的传播方向 改变光的传播方向
2.各种色光的比较分析
颜色 红橙黄绿青蓝紫
频率ν 低→高
同一介质中的折射率 小→大
同一介质中的速度 大→小
同一介质中的波长 大→小
通过同一棱镜的偏折角 小→大
同一介质中的临界角 大→小
同一装置的双缝干涉条纹间距 大→小
【例3】 （2023·全国乙卷）如图，一折射率为的棱镜的横截面为等腰直角三角形△ABC，AB＝AC＝l，BC边所在底面上镀有一层反射膜.一细光束沿垂直于BC方向经AB边上的M点射入棱镜，若这束光被BC边反射后恰好射向顶点A，求M点到A点的距离.
【解析】 由题意可作出光路图如图所示，
光线垂直于BC方向射入，根据几何关系可知入射角为45°；由于棱镜折射率为，根据n＝，
有sin r＝，
则折射角为30°，∠BMO＝60°，因为∠B＝45°，所以光在BC面的入射角为
θ＝90°－(180°－60°－45°)＝15°，
根据反射定律可知∠MOA＝2θ＝30°，
根据几何关系可知∠BAO＝30°，
即△MAO为等腰三角形，则＝，
又因为△BOM与△CAO相似，故有
＝，
由题知AB＝AC＝l，
联立可得BM＝AC＝l，
所以M到A点的距离为
x＝MA＝l－BM＝l.
【变式训练3】 如图所示，透明玻璃体的上半部分是半球体，下半部分是圆柱体，半球体的半径为R，O为半球体的球心.圆柱体的底面半径和高也为R，现有一半径为R的圆环形平行光垂直于圆柱体底面射向半球体，OO1为圆光环的中心轴线，所有光线经折射后恰好经过圆柱体下表面圆心O1点，光线从O1点射出后在玻璃体下方的水平光屏上形成圆形亮环，光屏到圆柱体底面的距离为R，光在真空中的传播速度为c.求：
(1)透明玻璃体的折射率；
(2)光从入射点传播到光屏所用的时间.
【解析】 (1)作出光路图如图所示，设光线的入射角为α，出射角为β，则由几何关系可得
R sin α＝R，
解得α＝60°，
由几何关系可知β＝30°，
由折射定律可知
n＝＝. (2)光在透明玻璃体中的传播速度v＝，
光在透明玻璃体中的传播时间
t1＝＝，
由图及折射定律知光线从O1点出射后与竖直方向的夹角α＝60°，所以光从透明玻璃体出射后到光屏所用的时间t2＝＝，
则光从入射点传播到光屏所用的时间
t＝t1＋t2＝.
1.（2024·海南卷）一正三角形OPQ玻璃砖，某束光线垂直于OP射入，恰好在PQ界面发生全反射，则玻璃砖的折射率( )
A. B. C. D.2
【解析】 C 如图所示，根据几何关系可知光线在PQ界面的入射角为C＝60°，根据全反射的临界条件可得sin C＝，解得n＝，C正确.
2.（2024·广东卷）如图所示，红绿两束单色光，同时从空气中沿同一路径以θ角从MN面射入某长方体透明均匀介质.折射光束在NP面发生全反射.反射光射向PQ面.若θ逐渐增大，两束光在NP面上的全反射现象会先后消失.已知在该介质中红光的折射率小于绿光的折射率.下列说法正确的是( )
A.在PQ面上，红光比绿光更靠近P点
B.θ逐渐增大时，红光的全反射现象先消失
C.θ逐渐增大时，入射光可能在MN面发生全反射
D.θ逐渐减小时，两束光在MN面折射的折射角逐渐增大
【解析】 B 红光的频率比绿光的频率小，则红光的折射率小于绿光的折射率，在MN面，入射角相同，根据折射定律n＝，可知绿光在MN面的折射角较小，根据几何关系可知绿光比红光更靠近P点，A错误；根据全反射发生的条件sin C＝可知红光发生全反射的临界角较大，θ逐渐增大时，折射光线与NP面的交点左移过程中，在NP面的入射角先小于红光发生全反射的临界角，所以红光的全反射现象先消失，B正确；在MN面，光是从光疏介质到光密介质，无论θ多大，在MN面都不可能发生全反射，C错误；根据折射定律n＝可知θ逐渐减小时，两束光在MN面折射的折射角逐渐减小，D错误.
3.现有一束光以相同的入射角θ，打在不同浓度NaCl的溶液甲、乙中，折射光线如图所示(β1<β2)，已知NaCl溶液的折射率随NaCl浓度增大而增大.则( )
A.甲溶液折射率较大
B.甲溶液NaCl浓度较小
C.光在甲溶液中的传播速度较大
D.光在甲中发生全反射的临界角较大
【解析】 A 入射角相同，由于β1<β2，根据折射定律可知n甲>n乙，故甲浓度大；根据v＝，可知光线在甲中的传播速度较小，由sin C＝可知折射率越大临界角越小，故甲临界角小，A正确.
4.如图所示，楔形玻璃的横截面POQ的顶角为30°，OP边上的点光源S到顶点O的距离为d，垂直于OP边的光线SN在OQ边的折射角为45°.不考虑多次反射，OQ边上有光射出部分的长度为( )
A.d B.d
C.d D.d
【解析】 C 设光线在OQ界面的入射角为α，折射角为β，几何关系可知α＝30°，则有折射定律n＝＝，光线射出OQ界面的临界为发生全反射，光路图如下，其中OB⊥CS，光线在A、B两点发生全反射，有全反射定律sin C＝＝，即A、B两处全反射的临界角为45°，AB之间有光线射出，由几何关系可知AB＝2AC＝2CS＝OS＝d，C正确.
5.（多选）如图所示，一教师用侧面开孔的透明塑料瓶和绿光激光器演示“液流导光”实验.瓶内装有适量清水.水从小孔中流出后形成了弯曲的液流.让激光水平射向小孔，使光束与液流保持在同一竖直平面内，观察到光束沿着弯曲的液流传播.下列操作中，有助于光束更好地沿液流传播的是( )
A.减弱激光强度
B.提升瓶内液面高度
C.改用折射率更大的液体
D.增大激光器与小孔之间的水平距离
【解析】 BC 若想使激光束完全被限制在液流内，则应使激光在液体内发生全反射现象，根据全反射临界角n＝，可知应该增大液体的折射率或增大激光束的入射角，减弱激光的强度，激光的临界角、折射率均不会改变，A错误；提升瓶内液面的高度，会造成开口处压强增大，水流的速度增大，水流得更远，进而增大了激光束的入射角，则会有大部分光在界面处发生全反射，有助于光束更好地沿液流传播，B正确；若改用折射率更大的液体，临界角变小，更容易发生全反射，C正确；增大激光器与小孔之间的水平距离不能改变液体的折射率或激光束的入射角，现象不会改变，D错误.
6.（多选）某同学做测玻璃折射率实验时，在白纸上放好上、下表面平行的玻璃砖，玻璃砖厚度为L，如图所示的入射光线与折射光线（CD边出射光线未画出），若入射角i＝60°，测出折射角r＝30°，光在真空中的光速为c，则( )
A.玻璃砖的折射率n＝
B.光在玻璃中传播的时间为
C.光在玻璃中传播的时间为
D.若实验时不小心将玻璃砖向上平移一小段，其他操作无误，则测得的折射率将偏大
【解析】 AB 由折射率的定义公式，可得玻璃砖的折射率为n＝＝＝，A正确；光在玻璃中传播的距离为s＝＝＝L，光在玻璃中传播的速度为v＝＝＝，光在玻璃中传播的时间为t＝＝＝，B正确、C错误；若画图时误将玻璃砖向上平移一小段，导致描出的上界面AB比实际位置高，光路图如图所示，由解析图可知，入射角和折射角均不变，则测得的折射率将不变，D错误.
7.（2024·全国卷）一玻璃柱的折射率n＝，其横截面为四分之一圆，圆的半径为R，如图所示.截面所在平面内，一束与AB边平行的光线从圆弧入射.入射光线与AB边的距离由小变大，距离为h时，光线进入柱体后射到BC边恰好发生全反射.求此时h与R的比值.
【解析】 画出光路图如图所示
可知＝n＝
设临界角为C，得
sin C＝＝，cos C＝
根据α＝β＋C可得＝
解得tan β＝
故可得sin β＝
故可知＝sin α＝sin β＝.
8.（2024·山东卷）某光学组件横截面如图所示，半圆形玻璃砖圆心为O点，半径为R；直角三棱镜FG边的延长线过O点，EG边平行于AB边且长度等于R，∠FEG＝30°.横截面所在平面内，单色光线以θ角入射到EF边发生折射，折射光线垂直EG边射出.已知玻璃砖和三棱镜对该单色光的折射率均为1.5.
(1)求sin θ；
(2)以θ角入射的单色光线，若第一次到达半圆弧AMB可以发生全反射，求光线在EF上入射点D（图中未标出）到E点距离的范围.
【解析】 (1)设单色光在三棱镜中的折射角为α，则根据折射定律有n＝，
由于折射光线垂直EG边射出，根据几何关系可知α＝∠FEG＝30°，
代入数据解得
sin θ＝0.75.
(2)根据题意作出单色光第一次到达半圆弧AMB恰好发生全反射的光路图如图所示，
则根据几何关系可知FE上从P点到E点以θ角入射的单色光线第一次到达半圆弧AMB都可以发生全反射，根据全反射临界角公式有
sin C＝，
设P点到FG的距离为l，则根据几何关系有
l＝R sin C，
又因为xPE＝，
联立解得xPE＝R，
所以光线在EF上的入射点D到E点的距离范围为
0第4讲 光的波动性和电磁波
一、光的干涉、衍射和偏振
1.光的干涉
(1)定义：在两列光波叠加的区域，某些区域相互 加强 ，出现亮条纹，某些区域相互 减弱 ，出现暗条纹，且 加强 区域和 减弱 区域相互 间隔 的现象.
(2)条件：两束光的频率 相同 、相位差 恒定 .
2.双缝干涉图样特点
(1)单色光照射时形成明暗相间的等间距的干涉条纹；白光照射时，中央为 白色亮 条纹，其余为 彩色 条纹.
(2)相邻的亮条纹（或暗条纹）之间距离Δx与波长λ、双缝间距d及屏到双缝间距离l的关系为 Δx＝λ .
3.薄膜干涉：利用薄膜（如肥皂液薄膜） 前后表面 反射的光相遇而形成的.图样中同一条亮（或暗）条纹上所对应薄膜厚度 相同 .
4.光的衍射
(1)发生明显衍射的条件：只有当障碍物的尺寸与光的波长 相差不多 ，甚至比光的波长还小的时候，衍射现象才会明显.
(2)单缝衍射和圆孔衍射图样的比较
项目 单缝衍射 圆孔衍射
单 色 光 中央为亮且宽的条纹，两侧为 明暗 相间的条纹，且越靠近两侧，亮条纹的亮度 减弱 ，宽度 越小 ①中央是大且亮的圆形亮斑，周围分布着明暗相间的同心圆环，且越靠外，圆形亮条纹的亮度 越弱 ，宽度 减小 ②亮环或暗环间的距离随圆孔半径的增加而 减小
项目 单缝衍射 圆孔衍射
白 光 中央为亮且宽的白色条纹，两侧为亮度 逐渐变暗 、宽度逐渐 变窄 的彩色条纹，其中最靠近中央的色光是紫光、离中央最远的是红光 中央是大且亮的白色亮斑，周围是不等间距的彩色的同心 圆环
(3)泊松亮斑（圆盘衍射）
当光照射到不透明的 半径很小的小圆盘 上时，在圆盘的阴影中心出现 亮斑 ，在阴影外还有不等间距的 明暗相间 的圆环.
5.光的偏振
(1)自然光：包含着在 垂直 于传播方向上沿一切方向振动的光，而且沿着各个方向振动的光波的强度都 相同 .
(2)偏振光：在垂直于光的传播方向的平面上，只沿着某个 特定 的方向振动的光.
(3)偏振光的两种形成方式
①让自然光通过偏振片形成 偏振光 .
②让自然光在两种介质的界面发生反射和 折射 ，反射光和折射光可以成为部分偏振光或 完全偏振光 .
(4)光的偏振现象说明光是一种 横波 .
6.激光
(1)高度的 相干性 .可用于传递信息，如光通信，全息照相等.
(2)平行度非常好，激光束在相同距离的扩散较小.可用于如精确测距、激光雷达、读盘等.
(3)亮度很高，它可以在很小的空间和很短的时间内集中很大的 能量 .可用于如医用激光刀，激光束切割、焊接等.
二、电磁波
1.麦克斯韦电磁场理论
变化的磁场能够在周围空间产生 电场 ，变化的电场能够在周围空间产生 磁场 .
2.电磁波及其传播
(1) 电磁场 在空间由近及远地传播，形成电磁波.电磁波是 横 波.
(2)电磁波的传播不需要 介质 ，在真空中不同频率的电磁波传播速度都等于 光速 .但在同一介质中，不同频率的电磁波传播速度是 不同 的，频率越高，波速 越小 .
(3)波速公式：v＝ λf ，f是电磁波的频率.
3.电磁波的发射
(1)发射条件： 开放 电路和 高频振荡 信号，所以要对传输信号进行调制（调幅或调频）.
(2)调制方式
①调幅：使高频电磁波的 振幅 随信号的强弱而变.
②调频：使高频电磁波的 频率 随信号的强弱而变.
4.无线电波的接收
(1)当接收电路的固有频率跟接收到无线电波的频率 相等 时，激起的振荡电流 最强 ，这就是电谐振现象.
(2)使接收电路产生电谐振的过程叫作 调谐 ，能够调谐的接收电路叫作 调谐 电路.
(3)从经过调制的高频振荡中“检”出调制信号的过程，叫作 检波 Ｗ.检波是 调制 的逆过程，也叫作 解调 .
5.电磁波谱
按照电磁波的 频率 或 波长 的大小顺序把它们排列成的谱.按波长由长到短排列的电磁波谱为：无线电波、 红外线 、可见光、紫外线、X射线、 γ射线 .
考点一 光的干涉现象
1.亮、暗条纹的判断方法
对于两个振动步调一致的光源，如图所示，光源S1、S2发出的光到屏上某点的路程差：
(1)r2－r1＝kλ(k＝0，1，2…)时，光屏上出现亮条纹.
(2)r2－r1＝(2k＋1)(k＝0，1，2…)时，光屏上出现暗条纹.
注意：对于两个振动步调反相的光源，产生亮、暗条纹的条件与上面的正好相反.
2.薄膜干涉的理解和应用
(1)形成：如图所示，竖直的肥皂薄膜，由于重力的作用，形成上薄下厚的楔形.光照射到薄膜上时，在膜的前表面AA′和后表面BB′分别反射回来，形成两列频率相同的光波，并且叠加.
(2)亮、暗条纹的判断
①在P1、P2处，两个表面反射回来的两列光波的路程差Δr等于波长的整数倍，即Δr＝nλ(n＝1，2，3…)，薄膜上出现亮条纹.
②在Q处，两列反射回来的光波的路程差Δr等于半波长的奇数倍，即Δr＝(2n＋1)(n＝0，1，2，3…)，薄膜上出现暗条纹.
(3)应用：干涉法检查平面如图所示，两板之间形成一楔形空气膜，用单色光从上向下照射，如果被检查平面是平整光滑的，我们会观察到平行且等间距的明暗相间的条纹；若被检查平面不平整，则干涉条纹发生弯曲.
双缝干涉
【例1】 （2024·湖南卷）（多选）1834年，洛埃利用平面镜得到杨氏双缝干涉的结果（称洛埃镜实验），平面镜沿OA放置，靠近并垂直于光屏.某同学重复此实验时，平面镜意外倾斜了某微小角度θ，如图所示.S为单色点光源.下列说法正确的是( )
A.沿AO向左略微平移平面镜，干涉条纹不移动
B.沿OA向右略微平移平面镜，干涉条纹间距减小
C.若θ＝0°，沿OA向右略微平移平面镜，干涉条纹间距不变
D.若θ＝0°，沿AO向左略微平移平面镜，干涉条纹向A处移动
【解析】 BC 根据题意画出光路图如图所示，
S发出的光与通过平面镜反射光（可以等效成虚像S′发出的光）是同一列光分成的，满足相干光条件.所以实验中的相干光源之一是通过平面镜反射的光，且该干涉可看成双缝干涉，设S与S′的距离为d，则d＝2a，S到光屏的距离为l，代入双缝干涉公式Δx＝，可得Δx＝.则若θ＝0°，沿OA向右（沿AO向左）略微平移平面镜，对l和d均没有影响，则干涉条纹间距不变，也不会移动，C正确，D错误；
同理再次画出光路图如图所示，
沿OA向右略微平移平面镜，即图中从①位置→②位置，由图可看出双缝的间距增大，则干涉条纹间距减小，沿AO向左略微平移平面镜，即图中从②位置→①位置，由图可看出干涉条纹向上移动，A错误，B正确.
【变式训练1】 （2024·广西卷）（多选）如图所示，S为单色光源，S发出的光一部分直接照在光屏上，一部分通过平面镜反射到光屏上.从平面镜反射的光相当于S在平面镜中的虚像发出的，由此形成了两个相干光源.设光源S到平面镜和到光屏的距离分别为a和l，a?l，镜面与光屏垂直，单色光波长为λ.下列说法正确的是( )
A.光屏上相邻两条亮条纹的中心间距为λ
B.光屏上相邻两条暗条纹的中心间距为λ
C.若将整套装置完全浸入折射率为n的蔗糖溶液中，此时单色光的波长变为nλ
D.若将整套装置完全浸入某种透明溶液中，光屏上相邻两条亮条纹的中心间距为Δx，则该液体的折射率为λ
【解析】 AD 根据光的反射对称性可知光源S与平面镜中的虚像距离为2a，根据条纹间距公式可知Δx＝λ＝λ，A正确、B错误；若将整套装置完全浸入折射率为n的蔗糖溶液中，光的频率不变，根据λf＝c，v＝λ1f＝，其中c为在真空中的光速，则λ1＝，C错误；若将整套装置完全没入某种透明溶液中，光屏上相邻两条亮条纹的中心间距为Δx，根据条纹间距公式有Δx＝λ2，可得λ2＝，结合C的分析可知λ2＝＝，所以n＝λ，D正确.
薄膜干涉
【例2】 （多选）肥皂膜的干涉条纹如图所示，条纹间距上面宽、下面窄.下列说法正确的是( )
A.过肥皂膜最高和最低点的截面一定不是梯形
B.肥皂膜上的条纹是前后表面反射光形成的干涉条纹
C.肥皂膜从形成到破裂，条纹的宽度和间距不会发生变化
D.将肥皂膜外金属环左侧的把柄向上转动90°，条纹也会跟着转动90°
【解析】 AB 肥皂膜因为自重会上面薄而下面厚，因表面张力的原因其截面应是一个圆滑的曲面而不是梯形，A正确；薄膜干涉是等厚干涉，其原因为肥皂膜上的条纹是前后表面反射光形成的干涉条纹，B正确；形成条纹的原因是前后表面的反射光叠加出现了振动加强点和振动减弱点，形成到破裂的过程上面越来越薄，下面越来越厚，因此出现加强点和减弱点的位置发生了变化，条纹宽度和间距发生变化，C错误；将肥皂膜外金属环左侧的把柄向上转动90°，由于重力，表面张力和粘滞力等的作用，肥皂膜的形状和厚度会重新分布，因此并不会跟着旋转90°，D错误.
【变式训练2】 如图甲所示，将一块平板玻璃a放置在另一玻璃板b上，在一端夹入两张纸片，当单色光从上方入射后，从上往下可以观察到如图乙所示的干涉条纹.则( )
A.任意相邻的亮条纹中心位置下方的空气膜厚度差相等
B.弯曲条纹对应位置的空气膜厚度不相等
C.若抽去一张纸片，条纹变密
D.干涉条纹是由a、b上表面反射的光叠加产生的
【解析】 A 光在空气膜中的光程差为Δx＝2d，即光程差为空气膜厚度的2倍，当光程差Δx＝nλ(n＝1，2…)时此处为亮条纹，当光程差为Δx＝（n＋）λ(n＝0，1，2…)时此处为暗条纹，所以任意相邻的亮条纹中心位置下方的空气膜厚度差相等，A正确；根据A的分析可知，弯曲条纹中心位置下方的空气膜厚度相等，B错误；当光程差Δx＝nλ(n＝1，2…)时此处为亮条纹，则相邻亮条纹之间的空气膜的厚度差为λ，显然抽去一张纸后空气膜的倾角变小，故相邻亮条纹之间的距离变大，干涉条纹变稀疏了，C错误；干涉条纹是由a的下表面和b的上表面反射的光叠加产生的，D错误.
考点二 光的衍射和偏振现象
1.单缝衍射与双缝干涉的比较
项目 单缝衍射 双缝干涉
不 同 点 条纹 宽度 条纹宽度不等，中央最宽 条纹宽度相等
条纹 间距 各相邻条纹间距不等 各相邻条纹等间距
亮度 情况 中央条纹最亮，两边变暗 条纹清晰，亮度基本相等
相同点 干涉、衍射都是波特有的现象，属于波的叠加；干涉、衍射都有明暗相间的条纹
2.光的干涉和衍射的本质
光的干涉和衍射都属于光的叠加，从本质上看，干涉条纹和衍射条纹的形成有相似的原理，都可认为是从单缝通过两列或多列频率相同的光波，在屏上叠加形成的.
3.光的偏振的理解
(1)自然光与偏振光的比较
类别 自然光（非偏振光） 偏振光
光的 来源 从普通光源发出的光 自然光通过起偏器后的光
光的振 动方向 在垂直于光的传播方向的平面内，光振动沿任意方向，且沿各个方向振动的光的强度相同 在垂直于光的传播方向的平面内，光振动沿特定方向
(2)偏振光的应用：加偏振滤光片的照相机镜头、液晶显示器、立体电影、消除车灯眩光等.
【例3】（多选）如下四幅图涉及不同的物理知识，则下列说法正确的是( )
A.甲图中的立体电影是利用了光的衍射现象
B.用乙图中的彩超仪器进行医学检测时利用了多普勒效应
C.丙图中肥皂泡上不同的颜色是光的干涉造成的
D.用丁图中镜头拍某些照片时为了增强反射光会在镜头前加偏振片
【解析】 BC 立体电影利用的是光的偏振，A错误；医院进行医学检测时用的彩超仪器，利用了超声波的多普勒效应，B正确；肥皂泡呈现彩色条纹是光的干涉现象，光在肥皂泡的内外表面反射形成的频率相同的光相互叠加，从而出现彩色条纹，C正确；在照相机镜头前加一个偏振片，能减弱反射光使像清晰，D错误.
【变式训练3】 下列有关光学现象说法正确的是( )
A.甲中荷叶上的露珠显得特别“明亮” 是由于水珠将光线会聚而形成的
B.乙中将双缝干涉实验中的双缝间距调小则干涉条纹间距变小
C.丙中用加有偏振滤光片的相机拍照，可以拍摄清楚汽车内部的情景
D.丁中肥皂膜在阳光下呈现彩色条纹是光的衍射现象
【解析】 C 甲中荷叶上的露珠显得特别“明亮”是由于水珠将光线全反射而形成的，A错误；在双缝干涉实验中，得到的条纹间距 Δx＝λ，若双缝间距调小，则条纹间距Δx变宽，B错误；在照相机镜头前加装偏振滤光片拍摄汽车内部的情景时，滤去了玻璃的反射光，使景像清晰，C正确；肥皂膜表面可看到彩色条纹，是因为肥皂膜的前后两面反射回来的两列光发生干涉时形成的彩色条纹，D错误.
考点三 电磁波
1.对麦克斯韦电磁场理论的理解
2.电磁波与机械波的比较
项目 电磁波 机械波
产生 由周期性变化的电场、磁场产生 由质点（波源）的振动产生
波的特点 横波 纵波或横波
波速 在真空中等于光速c＝3×108 m/s 在空气中不大（如声波波速在空气中一般为340 m/s）
是否需要 介质 不需要介质（在真空中仍可传播） 必须有介质（真空中不能传播）
能量传播 电磁能 机械能
【例4】（多选）无人驾驶汽车是通过车载传感系统感知道路环境，自动规划行车路线并控制车辆到达预定目标的智能汽车，国内外各大企业正在紧密布局发展之中.其核心设备是各种车载传感器，如图像传感器（可见光和红外摄像头）、超声波雷达、激光雷达以及毫米波雷达.以下关于各种光和波的说法正确的是( )
A.超声波和毫米波一样都能在真空中传播
B.红外线的光子能量比可见光的小
C.真空中激光的传播速度比毫米波的大
D.可见光能发生偏振现象，而超声波不一定能
【解析】 BD 毫米波是电磁波，能在真空中传播，而超声波不能在真空中传播，A错误；由于红外线的频率比可见光的频率低，根据光子能量公式可知，红外线的光子能量比可见光的小，B正确；由于激光和毫米波都是电磁波，所以真空中激光的传播速度与毫米波相同，C错误；可见光是电磁波，是横波，所以可见光能发生偏振现象，而当超声波是纵波时，不能发生偏振现象，D正确.
【变式训练4】 （多选）电磁波广泛应用在现代医疗中.下列属于电磁波应用的医用器械有( )
A.杀菌用的紫外灯
B.拍胸片的X光机
C.治疗咽喉炎的超声波雾化器
D.检查血流情况的彩超机
【解析】 AB 紫外灯的频率高，能量强，所以用于杀菌，属于电磁波的应用，A正确；X光的穿透能力较强，所以用于拍胸片，属于电磁波的应用，B正确；超声波雾化器是超声波的应用，与电磁波无关，C错误；彩超属于超声波的应用，与电磁波无关，D错误.
1.下列说法正确的是( )
A.用三棱镜观察太阳光谱是利用光的干涉现象
B.在光导纤维束内传送图像是利用光的全反射现象
C.用标准平面检查光学平面的平整程度是利用光的偏振现象
D.电视机遥控器是利用发出紫外线脉冲信号来变换频道的
【解析】 B 用三棱镜观察太阳光谱是利用同一种玻璃对不同的单色光的折射率不同，是白光通过三棱镜时发生了色散现象，故该操作是利用了光的折射原理，A错误；在光导纤维束内传送图像是利用了光的全反射现象，B正确；用标准平面检查光学平面的平整程度是利用薄膜干涉现象，C错误；电视机遥控器是利用发出红外线脉冲信号来变换频道的，D错误.
2.关于如图所示的甲、乙、丙、丁四幅图，下列说法正确的是( )
A.图甲为双缝干涉示意图，若换成频率更高的单色光照射双缝，则实验得到的条纹间距应该更大
B.图乙为在平静无风的海面上出现的“蜃景”，上方是蜃景，下方是景物
C.图丙为劈尖干涉的示意图，两玻璃片间垫有一些纸片，若从两玻璃片之间抽出部分纸片，则从上往下看可以观察到条纹间距变小
D.图丁所示为相机拍摄车前挡玻璃的照片，下图中能明显减弱汽车玻璃表面反射光是利用了薄膜干涉原理
【解析】 B 根据Δx＝，若改用频率较高的单色光照射，则波长变小，其他条件保持不变，则得到的干涉条纹间距将变小，A错误；海面附近的空气折射率从下到上逐渐减小，从远处的景物发出的光线射向海面时，由于不断被折射，越来越偏离法线方向，进入上层的入射角不断增大，以致发生全反射，光线反射回空气，人们逆着光线看去，就会看到远方的景物悬在空中，而产生了“蜃景”现象，那么上方是蜃景，下方是景物，B正确；抽去纸片后空气层的倾角变小，相当于减小了d，故相邻亮条纹（或暗条纹）之间的距离变大，干涉条纹间距变大，C错误；相机拍摄时减弱了玻璃表面的反射光，是在照相机镜头前增加偏振片过滤掉了反射的光，应用了偏振原理，D错误.
3.如图所示，关于薄膜干涉现象及其应用，下列说法正确的是( )
A.如图甲所示，竖直放置的肥皂液膜，来自前后两个面的反射光发生干涉，形成明暗相间的竖直条纹
B.如图乙所示，照相机的镜头表面常常镀一层透光膜，膜的外表面和玻璃表面反射的光发生干涉使镜头看起来有颜色，膜的厚度为光在膜中波长的
C.如图丙所示，利用光的干涉检查平整度，用单色光从上面照射，空气膜的上下两个表面反射的两列光波发生干涉，图中条纹弯曲说明此处是凹下的
D.如图丁所示，把一个凸透镜压在一块平面玻璃上，让单色光从上方射入，从上往下看凸透镜，可以看到等间距的明暗相间的圆环状条纹
【解析】 C 竖直放置的肥皂液膜，来自前后两个面的反射光发生干涉，由于同一水平线上的薄膜厚度近似相同，所以干涉后能产生水平的明暗条纹，A错误；照相机的镜头表面常常镀一层透光膜，从薄膜前后两表面反射的光发生干涉使镜头看起来有颜色，膜的厚度为光在膜中波长的，B错误；利用光的干涉检查平整度，用单色光从上面照射，空气膜的上下两个表面反射的两列光波发生干涉，根据条纹弯曲的方向，说明此处是凹下的，C正确；把一个凸透镜压在一块平面玻璃上，让单色光从上方射入，从上往下看凸透镜，由于凸透镜下表面是曲面，所以空气膜厚度越往外越厚，所以看到的明暗相间的圆环状条纹越往外越密，D错误.
4.双缝干涉实验装置的截面图如图所示.光源S到S1、S2的距离相等，O点为S1、S2连线中垂线与光屏的交点.光源S发出的波长为λ的光，经S1出射后垂直穿过玻璃片传播到O点，经S2出射后直接传播到O点，由S1到O点与由S2到O点，光传播的时间差为Δt.玻璃片厚度为10λ，玻璃对该波长光的折射率为1.5，空气中光速为c，不计光在玻璃片内的反射.以下判断正确的是( )
A.Δt＝ B.Δt＝
C.Δt＝ D.Δt＝
【解析】 A 光在玻璃中的传播速度为v＝，可知时间差Δt＝
课程标准 1.通过实验，认识简谐运动的特征.能用公式和图像描述简谐运动. 2.通过实验，探究单摆的周期与摆长的定量关系.知道单摆周期与摆长、重力加速度的关系.会用单摆测量重力加速度的大小. 3.通过实验，认识受迫振动的特点.了解产生共振的条件及其应用. 4.通过观察，认识波的特征.能区别横波和纵波.能用图像描述横波.理解波速、波长和频率的关系. 5.知道波的反射和折射现象.通过实验，了解波的干涉与衍射现象. 6.通过实验，认识多普勒效应.能解释多普勒效应产生的原因. 7.理解光的折射定律.会测量材料的折射率. 8.知道光的全反射现象及其产生的条件.初步了解光纤的工作原理、光纤技术在生产生活中的应用. 9.观察光的干涉、衍射和偏振现象，了解这些现象产生的条件，知道其在生产生活中的应用.知道光是横波，会用双缝干涉实验测量光的波长. 10.通过实验，了解激光的特性.能举例说明激光技术在生产生活中的应用. 11.通过实验，了解电磁波，知道磁场的物质性.通过实验，了解电磁波的应用及其带来的影响.知道光是一种电磁波.知道光的能量是不连续的.初步了解微观世界的量子化特征.
核心素养 物理观念 理解机械振动、简谐运动、单摆；理解振动图像和波动图像、机械波、波的干涉和衍射、多普勒效应；理解折射率、折射定律及全反射、光的干涉、衍射和偏振等.
科学思维 科学推理：振动和波动的相互判断；模型建构：单摆模型、振动模型和波动模型；玻璃砖、棱镜、薄膜干涉模型应用.
科学探究 “探究单摆的运动、用单摆测定重力加速度”实验；“测定玻璃的折射率”实验；“探究用双缝干涉测光的波长”实验.
科学态度 与责任 用恰当的物理量描述简谐运动，并能解释生产生活中的有关现象；了解几何光学和波动光学知识在生产生活中的应用.
命题探究 命题分析 从题型上看，高考对本章命题为选择题（或填空题）或计算题，选择题（或填空题）主要考查简谐运动的特点及图像、波的图像、单摆以及波长、波速、频率的关系.计算题主要考查光的折射定律、折射率的计算、全反射的应用等.
趋势分析 从整体命题趋势上看，本章命题的热点有：简谐运动的特点及图像、波的图像以及波长、波速、频率的关系；光的折射定律、折射率的计算、全反射的应用.
预设情境 摆钟、地震波、共振筛、多普勒彩超、全反射棱镜、光导纤维、增透膜、偏振滤光片、激光等.
第1讲 机械振动、振动图像
一、简谐运动
1.定义：如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成 正比 ，并且总是指向 平衡位置 ，质点的运动就是简谐运动.
2.平衡位置：物体在振动过程中回复力为 零 的位置.
3.回复力
(1)定义：使物体在平衡位置附近做 往复 运动的力.
(2)方向：总是指向 平衡位置 .
(3)效果：使物体返回到平衡位置.
(4)来源：属于 效果 力，可以是某一个力，也可以是几个力的 合力 或某个力的 分力 .
二、简谐运动的公式
1.动力学表达式：F＝ －kx ，其中“－”表示回复力与位移的方向相反.
2.运动学表达式：x＝ A sin (ωt＋φ0) ，其中A代表振幅，ω＝2πf代表简谐运动的快慢，ωt＋φ0代表简谐运动的相位，φ0叫作 初相 .
三、简谐运动的图像
1.物理意义：表示振子的 位移 随时间变化的规律，为 正弦 （或余弦）曲线.
2.简谐运动的图像
(1)从平衡位置开始计时，把开始运动的方向规定为正方向，函数表达式为x＝ A sin ωt ，图像如图甲所示.
(2)从正的最大位移处开始计时，函数表达式为x＝ A cos ωt ，图像如图乙所示.
四、单摆
1.定义：如果细线的长度不可改变，细线的质量与小球相比可以 忽略 ，球的直径与线的长度相比也可以 忽略 ，这样的装置叫作单摆.（如图）
2.视为简谐运动的条件：θ 很小 .
3.回复力：F＝G2＝G sin θ.
4.周期公式：T＝2π.
(1)l为等效摆长，表示从悬点到摆球 重心 的距离.
(2)g为当地重力加速度.
5.单摆的等时性：单摆的振动周期取决于 摆长l 和 重力加速度g ，与振幅和振子（小球）质量 无关 .
五、受迫振动和共振
1.受迫振动
(1)概念：系统在 驱动力 作用下的振动.
(2)振动特征：物体做受迫振动达到稳定后，物体振动的频率等于 驱动力 的频率，与物体的固有频率 无关 .
2.共振
(1)概念：当驱动力的频率等于 固有频率 时，物体做受迫振动的振幅 最大 的现象.
(2)共振的条件：驱动力的频率等于 固有频率 .
(3)共振的特征：共振时振幅 最大 .
(4)共振曲线（如图所示）.
f＝f0时，A＝ Am ，f与f0差别越大，物体做受迫振动的振幅 越小 .
考点一 简谐运动的特征
受力特征 回复力F＝－kx，F（或a）的大小与x的大小成正比，方向相反
运动特征 衡位置时，a、F、x都减小，v增大；远离平衡位置时，a、F、x都增大，v减小
能量特征 振幅越大，能量越大.在运动过程中，系统的动能和势能相互转化，机械能守恒
周期性 特征 质点的位移、回复力、加速度和速度随时间做周期性变化，变化周期就是简谐运动的周期T；动能和势能也随时间做周期性变化，其变化周期为
对称性 特征 关于平衡位置O对称的两点，速度的大小、动能、势能相等，相对平衡位置的位移大小相等；由对称点到平衡位置O用时相等
简谐运动基本物理量的分析
【例1】 （2024·北京卷）图甲为用手机和轻弹簧制作的一个振动装置.手机加速度传感器记录了手机在竖直方向的振动情况，以向上为正方向，得到手机振动过程中加速度a随时间t变化的曲线为正弦曲线，如图乙所示.下列说法正确的是( )
A.t＝0时，弹簧弹力为0
B.t＝0.2 s时，手机位于平衡位置上方
C.从t＝0至t＝0.2 s，手机的动能增大
D.a随t变化的关系式为a＝4sin (2.5πt) m/s2
【解析】 D 由题图乙知，t＝0时，手机加速度为0，由牛顿第二定律得弹簧弹力大小为F＝mg，A错误；由题图乙知，t＝0.2 s时，手机的加速度为正，则手机位于平衡位置下方，B错误；由题图乙知，从t＝0至t＝0.2 s，手机的加速度增大，手机从平衡位置向最大位移处运动，速度减小，动能减小，C错误；由题图乙知T＝0.8 s，则角频率ω＝＝2.5π rad/s，则a随t变化的关系式为a＝4sin (2.5πt) m/s2，D正确.
【易错点】 结合a－t图像，弄清楚各个时刻手机在竖直方向上的位置，切忌想当然.
【变式训练1】 如图甲所示，竖直悬挂弹簧振子在C、D两点之间做简谐运动，O点为平衡位置，振子到达D点开始计时，规定竖直向下为正方向.图乙是弹簧振子做简谐运动的x－t图像，则( )
A.弹簧振子从D点经过O点再运动到C点为一次全振动
B.图乙中的P点时刻振子的速度方向与加速度方向都沿正方向
C.弹簧振子的振动方程为x＝0.1sin（2πt＋） m
D.弹簧振子在前2.5 s内的路程为1 m
【解析】 D 弹簧振子从D点经过O点再运动到C点为次全振动，A错误；图乙中的P点时刻振子的速度方向为负方向，加速度方向沿正方向，B错误；由图乙知周期为T＝1 s，弹簧振子的振幅为A＝0.1 m，则ω＝＝2π rad/s，规定竖直向下为正方向，振子到达D点开始计时，t＝0时刻位移为0.1 m，可知初相为，则弹簧振子的振动方程为x＝0.1sin （2πt＋） m，C错误；弹簧振子在前2.5 s内的路程为s＝×4A＝10A＝1 m，D正确.
简谐运动的周期性和对称性
【例2】（2023·山东卷）（多选）如图所示，沿水平方向做简谐振动的质点，依次通过相距L的A、B两点.已知质点在A点的位移大小为振幅的一半，B点位移大小是A点的倍，质点经过A点时开始计时，t时刻第二次经过B点，该振动的振幅和周期可能是( )
A.，3t B.，4t C.，t D.，t
【解析】 BC 当A、B两点在平衡位置的同侧时有A＝A sin φa，A＝A sin φb，可得φa＝，φb＝或者φb＝，因此可知第二次经过B点时φb＝，T＝t，解得T＝4t，此时位移关系为A－A＝L，解得A＝，A错误、B正确；当A、B两点在平衡位置两侧时有－A＝A sin φa，A＝A sin φb，解得φa＝－或者φa＝－（由图中运动方向知此解可舍去），φb＝或者φb＝，当第二次经过B点时φb＝，则T＝t，解得T＝t，此时位移关系为A＋A＝L，解得A＝，C正确、D错误.
【变式训练2】（多选）弹簧振子做简谐运动，O为平衡位置，当它经过点O时开始计时，经过0.3 s，第一次到达点M，再经过0.2 s第二次到达点M，则弹簧振子的周期不可能为( )
A.0.53 s B.1.4 s C.1.6 s D.2 s
【解析】 BD 如图甲所示，设O为平衡位置，OB(OC)代表振幅，振子从O →C所需时间为.因为简谐运动具有对称性，所以振子从M→C所用时间和从C→M所用时间相等，故＝0.3 s＋ s＝0.4 s，解得T＝1.6 s；如图乙所示，若振子一开始从平衡位置向点B运动，设点M′与点M关于点O对称，则振子从点M′经过点B到点M′所用的时间与振子从点M经过点C到点M所用时间相等，即0.2 s.振子从点O到点M′、从点M′到点O及从点O到点M所用时间相等，为＝ s，故周期为T＝0.5 s＋ s≈0.53 s，所以周期不可能为B、D.
考点二 简谐运动图像的理解和应用
1.根据简谐运动图像可获取的信息
(1)振幅A、周期T（或频率f）和初相位φ（如图所示）.
(2)某时刻振动质点离开平衡位置的位移.
(3)某时刻质点速度的大小和方向：曲线上各点切线的斜率的大小和正负分别表示各时刻质点的速度的大小和方向，速度的方向也可根据下一时刻质点的位移相对上一时刻位移的变化来确定.
(4)某时刻质点的回复力、加速度的方向：回复力总是指向平衡位置，回复力和加速度的方向相同，在图像上总是指向t轴.
(5)某段时间内质点的位移、回复力、加速度、速度、动能和势能的变化情况.
2.利用简谐运动图像理解简谐运动的对称性（如图所示）
(1)相隔Δt＝（n＋）T(n＝0，1，2，…)的两个时刻，弹簧振子的位置关于平衡位置对称，位移等大反向，速度也等大反向.
(2)相隔Δt＝nT(n＝0，1，2，…)的两个时刻，弹簧振子在同一位置，位移和速度都相同.
【例3】 如图1所示，质量相等的小球和点光源，分别用相同的弹簧竖直悬挂于同一水平杆上，间距为l，竖直悬挂的观测屏与小球水平间距为2l，小球和光源做小振幅运动时，在观测屏上可观测小球影子的运动.以竖直向上为正方向，小球和光源的振动图像如图2所示，则( )
A.t1时刻小球向上运动
B.t2时刻光源的加速度向上
C.t2时刻小球与影子相位差为π
D.t3时刻影子的位移为5A
【解析】 D 以竖直向上为正方向，根据图2可知，t1时刻，小球位于平衡位置，随后位移为负值，且位移增大，可知，t1时刻小球向下运动，A错误；以竖直向上为正方向，t2时刻光源的位移为正值，光源振动图像为正弦式，表明其做简谐运动，根据F回＝－kx＝ma可知，其加速度方向与位移方向相反，位移方向向上，则加速度方向向下，B错误；根据图2可知，小球与光源的振动步调总是相反，由于影子是光源发出的光被小球遮挡后，在屏上留下的阴影，可知，影子与小球的振动步调总是相同，即t2时刻小球与影子相位差为0，C错误；根据图2可知，t3时刻，光源位于最低点，小球位于最高点，根据直线传播能够在屏上影子的位置也处于最高点，影子位于正方向上的最大位移处，根据几何关系有＝，解得x影子＝5A，即t3时刻影子的位移为5A，D正确.
【变式训练3】 （多选）如图所示为一简谐运动的振动图像，由图可得( )
A.该简谐振动的振幅为10 cm
B.该简谐运动的表达式为x＝5sin （t） cm
C.该质点在第10 s时的位移为5 cm
D.该质点在前12 s内的路程为60 cm
【解析】 BD 由图可知，振幅A＝5 cm，周期T＝4 s，则有ω＝＝ rad/s，则质点简谐运动的表达式为x＝5sin （t） cm，A错误、B正确；当t＝10 s时，位移为x＝5sin （×10）cm＝0，C错误；1个周期内，路程为5×4 cm＝20 cm，前12 s是3个周期，则路程为s＝20×3 cm＝60 cm，D正确.
考点三 单摆及其周期公式
理想化模型 细线 质量和伸缩都可以忽略
摆球 直径比细线长度小得多
摆角 θ很小，可以认为sin θ≈θ≈
受力 特征 回复力 摆球重力沿切线方向的分力F回＝－mg sin θ＝－x＝－kx，负号表示回复力F回与位移x的方向相反
向心力 细线的拉力和重力沿细线方向的分力的合力充当向心力，F向＝FT－mg cos θ
摆绳拉力 当摆球在最高点时，F向＝＝0，FT＝mg cos θ；当摆球在最低点时，F向＝，FT＝mg＋m
周期 公式 T＝2π l为等效摆长，表示从悬点到摆球重心的距离
g为当地重力加速度
【例4】 （2024·浙江卷）如图所示，不可伸长的光滑细线穿过质量为0.1 kg的小铁球，两端A、B悬挂在倾角为30°的固定斜杆上，间距为1.5 m.小球平衡时，A端细线与杆垂直；当小球受到垂直纸面方向的扰动做微小摆动时，等效于悬挂点位于小球重垂线与AB交点的单摆，重力加速度g取10 m/s2，则( )
A.摆角变小，周期变大
B.小球摆动周期约为2 s
C.小球平衡时，A端拉力为 N
D.小球平衡时，A端拉力小于B端拉力
【解析】 B 根据单摆的周期公式T＝2π可知周期与摆角无关，A错误；同一根绳中，A端拉力等于B端拉力，平衡时对小球受力分析如图，可得2FA cos 30°＝mg，解得FA＝FB＝＝ N，C、D错误；根据几何知识可知摆长为L＝＝1 m，故周期为T＝2π≈2 s，B正确.
【变式训练4】 如图所示，一电动机带动轻杆在竖直框架平面内匀速转动，轻杆一端固定在电动机的转轴上，另一端悬挂一紫外光笔，转动时紫外光始终竖直投射至水平铺开的感光纸上，沿垂直于框架的方向匀速拖动感光纸，感光纸上就画出了描述光点振动的x－t图像.已知轻杆在竖直面内长0.1 m，电动机转速为12 r/min.该振动的圆频率和光点在12.5 s内通过的路程分别为( )
A.0.2 rad/s，1.0 m
B.0.2 rad/s，1.25 m
C.1.26 rad/s，1.0 m
D.1.26 rad/s，1.25 m
【解析】 C 紫外光在纸上的投影做的是简谐振动，电动机的转速为n＝12 r/min＝0.2 r/s，因此角频率ω＝2πn＝0.4π≈1.26 rad/s，周期为T＝＝5 s，简谐振动的振幅即为轻杆的长度A＝0.1 m，12.5 s通过的路程为s＝×4A＝1 m，C正确.
考点四 受迫振动和共振
1.自由振动、受迫振动和共振的比较
振动类型 自由振动 受迫振动 共振
受力情况 仅受回复力 受驱动力 受驱动力
振动周期 或频率 由系统本身性质决定，即固有周期T0或固有频率f0 由驱动力的周期或频率决定，即T＝T驱或f＝f驱 T驱＝T0或 f驱＝f0
振动能量 振动物体的机械能不变 由产生驱动力的物体提供 振动物体获得的能量最大
常见例子 弹簧振子或单摆 机械工作时底座发生的振动 共振筛、声音的共鸣等
2.对共振的理解
(1)共振曲线
如图所示，横坐标为驱动力的频率f，纵坐标为振幅A.它直观地反映了驱动力的频率对某固有频率为f0的振动系统做受迫振动时振幅的影响，由图可知，f与f0越接近，振幅A越大；当f＝f0时，振幅A最大.
(2)受迫振动中系统能量的转化：做受迫振动的系统的机械能不守恒，系统与外界时刻进行能量交换.
【例5】 如图甲所示，一个有固定转动轴的竖直圆盘转动时，固定在圆盘上的小圆柱带动一个T形支架在竖直方向振动，T形支架的下面系着一个由弹簧和小球组成的振动系统.圆盘静止时，让小球做简谐运动，其振动图像如图乙所示.圆盘匀速转动时，小球做受迫振动，小球振动稳定时，下列说法正确的是( )
A.小球振动的固有频率是4 Hz
B.小球做受迫振动时周期一定是4 s
C.圆盘转动周期在4 s附近时，小球振幅显著增大
D.圆盘转动周期在4 s附近时，小球振幅显著减小
【解析】 C 小球振动的固有周期T＝4 s，则其固有频率为f＝＝0.25 Hz，A错误；小球做受迫振动时周期等于驱动力的周期，即等于圆盘转动周期，不一定等于固有周期4 s，B错误；圆盘转动周期在4 s附近时，驱动力周期等于振动系统的固有周期，小球产生共振现象，振幅显著增大，C正确、D错误.
【变式训练5】 如图所示为两单摆分别在受迫振动中的共振曲线，则下列说法错误的是( )
A.若两摆的受迫振动分别在月球上和地球上进行，且摆长相同，则图线Ⅰ表示月球上单摆的共振曲线
B.若两摆的受迫振动是在地球上同一地点进行，则两摆摆长之比LⅠ∶LⅡ＝25∶4
C.若图线Ⅱ表示在地球上完成的，则该单摆摆长约为1 m
D.若摆长均为1 m，则图线Ⅰ表示在地球上完成的
【解析】 D 图线中振幅最大处对应的频率与做受迫振动的单摆的固有频率相等，从图线上可以看出，两摆的固有频率fⅠ＝0.2 Hz，fⅡ＝0.5 Hz.当两摆在月球和地球上分别做受迫振动且摆长相等时，根据关系式f＝ 可知，g越大，f越大，所以gⅡ＞gⅠ，因为g地＞g月，因此可推知图线Ⅰ表示月球上单摆的共振曲线，A正确；若在地球上同一地点进行两次受迫振动，g相同，摆长长的f小，且有＝，所以＝，B正确；fⅡ＝0.5 Hz，若图线Ⅱ表示在地球上完成的，根据g＝9.8 m/s2，可计算出LⅡ约为1 m，C正确、D错误.
1.关于简谐运动，以下说法正确的是( )
A.位移减小时，加速度增大，速度增大
B.位移的方向总跟加速度的方向相反，跟速度的方向相同
C.动能或势能第一次恢复为原来的大小所经历的过程为一个周期
D.物体运动方向指向平衡位置时，速度的方向与位移的方向相反；背离平衡位置时，速度方向与位移方向相同
【解析】 D 位移减小时，回复力减小，则加速度减小，速度增大，A错误；位移的方向总跟回复力的方向相反，则与加速度的方向也相反，跟速度的方向可能相同，也可能相反，B错误；动能或势能第一次恢复为原来的大小所经历的过程不一定是一次全振动，C错误；物体运动方向指向平衡位置时，速度的方向与位移的方向相反；背离平衡位置时，速度方向与位移方向相同，D正确.
2.如图甲所示，一导体杆用两条等长细导线悬挂于水平轴OO′，接入电阻R构成回路.导体杆处于竖直向上的匀强磁场中，将导体杆从竖直位置拉开小角度θ由静止释放，导体杆开始下摆.当R＝R0时，导体杆振动图像如图乙所示.若横纵坐标皆采用图乙标度，则当R＝2R0时，导体杆振动图像是( )
【解析】 B 导体杆切割磁感线时，回路中产生感应电流，由楞次定律可得，导体杆受到的安培力总是阻碍导体棒的运动.当R从R0变为2R0时，回路中的电阻增大为原来的2倍，则电流减小，导体杆所受安培力减小，即导体杆在摆动时所受的阻力减弱，所以杆从开始摆动到停止，运动的路程和经历的时间变长，所以导体杆振动图像是图B.
3.一弹簧振子做简谐运动，周期为T( )
A.若t和(t＋Δt)时刻振子运动速度的大小相等、方向相同，则Δt一定是的整数倍
B.若t和(t＋Δt)时刻振子运动位移的大小相等、方向相反，则Δt一定是的整数倍
C.若Δt＝T，则t和(t＋Δt)时刻振子运动的加速度一定相等
D.若Δt＝，则t和(t＋Δt)时刻弹簧的长度一定相等
【解析】 C 根据振子运动的对称性可知，若t和(t＋Δt)时刻振子运动速度的大小相等、方向相同，振子可以处于关于平衡位置对称的两点，则Δt可以为等，A错误；若t时刻和(t＋Δt)时刻振子运动位移的大小相等，方向相反，如果速度相反，则时间Δt一定是的奇数倍，若速度同方向，不是半周期的整数倍，B错误；若Δt＝T，则在t时刻和(t＋Δt)时刻振子处于同一位置，振子的位移相同，由a＝可知，加速度一定相等，C正确；若Δt＝，则在t和(t＋Δt)两时刻振子必在关于平衡位置对称的两位置（包括平衡位置），这两时刻，振子的位移、加速度、速度等均大小相等、方向相反，但在这两时刻弹簧的长度并不一定相等，D错误.
4.游客在海边欲乘坐游船，当日风浪很大，游船上下浮动，游船浮动可简化为竖直方向的简谐运动，振幅为30 cm，周期为3.0 s.当船上升到最高点时，甲板刚好与码头地面平齐.地面与甲板的高度差不超过15 cm时，游客能舒服地登船.假设风浪较小时，游船振幅为15 cm，游船上升到最高点时依然刚好与码头地面平齐，舒服登船的高度不变，振动周期不变，则在一个周期内，风浪较小时舒服地登船时间比风浪大时增加( )
A.1.0 s B.0.75 s
C.0.50 s D.0.25 s
【解析】 C 风浪很大时，游船的振动方程为y＝A sin （t） cm＝30sin （t） cm，当y＝15 cm时，可解得t1＝0.25 s，t2＝1.25 s，游客可舒服登船的时间为Δt＝t2－t1＝1 s，风浪较小时，游客在一个周期内，有半个周期能舒服登船，故Δt′＝T＝1.5 s，故风浪较小时舒服地登船时间增加了t″＝Δt′－Δt＝0.5 s，C正确.
5.如图所示，一根不计质量的弹簧竖直悬吊质量为M的铁块，在其下方吸引了一质量为m的磁铁，且M＝3m.已知弹簧的劲度系数为k，磁铁对铁块的最大吸引力等于3mg，铁块和磁铁共同沿竖直方向做简谐运动，已知弹簧的弹性势能Ep＝kx2，不计磁铁对其他物体的作用并忽略空气阻力.下列说法正确的是( )
A.铁块处于平衡位置时弹簧的伸长量等于
B.铁块振幅的最大值是
C.弹簧弹性势能最大时，弹力的大小等于16mg
D.铁块运动的最大速度为4g
【解析】 D 由胡克定律得铁块处于平衡位置时(M＋m)g＝kx1，可得x1＝，A错误；当铁块的振幅最大时，若在最低点，对磁铁，有F吸max－mg＝ma，对铁块与磁铁组成的整体，有F弹－(M＋m)g＝(M＋m)a，又F弹＝k(x1＋Amax)，联立解得Amax＝，B错误；弹簧弹性势能最大时，铁块和磁铁位于最低点，弹力的大小为F弹＝k(x1＋Amax)＝12mg，C错误；由机械能守恒定律得k(x1＋Amax)2＝kx＋(M＋m)v2＋(m＋M)gAmax，解得v＝4g，D正确.
6.（多选）如图所示是甲、乙两个单摆做简谐运动的图像，则下列说法正确的是( )
A.甲、乙两摆的振幅之比为2∶1
B.t＝2 s时，甲摆的重力势能最小，乙摆的动能为零
C.甲、乙两球的摆长之比为4∶1
D.甲、乙两摆摆球在最低点时向心加速度大小一定相等
【解析】 AB 由图知甲、乙两摆的振幅分别为2 cm、1 cm，振幅之比为2∶1，A正确；t＝2 s时，甲摆在平衡位置处，则甲单摆的重力势能为零，乙摆在振动的最大位移处，动能为零，B正确；由单摆的周期公式T＝2π，得到甲、乙两摆的摆长之比为1∶4，C错误；因摆球摆动的最大偏角未知，无法判断两单摆摆球在最低点时向心加速度大小关系，D错误.
7.如图所示是两个弹簧振子A、B做简谐运动的图像，根据图像所给的信息，回答以下问题：
(1)弹簧振子A的振幅和周期；
(2)8～10 s内，振子B加速度的大小如何变化，方向如何；
(3)在t＝10 s时，A、B振子都通过平衡位置，并且它们的速度大小相等、方向相反，从此时起，至少再经过多长的时间，它们再同时通过平衡位置且速度相同；
(4)写出两个弹簧振子的位移与时间的关系式.
【解析】 (1)由图可知，振子A的振幅为1 cm；它在四分之三周期的时间是10 s，故T＝10 s，所以它的周期为T＝ s.
(2)因为B的周期是10 s，故在8～10 s内，振子位于平衡位置以下正在向平衡位置移动的过程中，故此时B加速度的大小是减小的，方向为正方向.
(3)在t＝10 s时，A、B振子都通过平衡位置，并且它们的速度大小相等、方向相反，从此时起，设再经过时间t时，它们再同时通过平衡位置且速度相同，在此过程中，其中一个摆将多振动半次，由于B振动得快，设B振子振动的次数为n，则有nTB＝nTA－TA，将TA＝ s和TB＝10 s代入得n＝2，即时间t＝2×10 s＝20 s.
(4)因为A的振幅为1 cm，角速度ωA＝＝0.15π；初相位是，故表达式为xA＝sin （0.15πt＋）cm；B的振幅为0.8 cm，角速度ωB＝＝0.2π；初相位为0，故表达式为xB＝0.8sin (0.2πt)cm.
8.一根轻绳一端连接固定的拉力传感器，另一端连接质量为m的小钢球，如图甲所示.拉起小钢球至某一位置由静止释放，使小钢球在竖直平面内摆动，轻绳与竖直方向的夹角最大值约为5°，图乙为轻绳对小钢球的拉力大小F随时间t变化的图像，图像中F1、F2、T0均为已知量.求：
(1)重力加速度g的大小；
(2)轻绳的长度l.
【解析】 (1)小钢球由静止释放时，轻绳与竖直方向夹角为θ，释放瞬间轻绳拉力最小，故
F1＝mg cos θ，①
小钢球由静止运动到最低点的过程，根据动能定理有
mgl(1－cos θ)＝mv2，②
小钢球运动到最低点时轻绳拉力最大，则
F2－mg＝m，③
联立①②③可得g＝.④
(2)由题图乙可得单摆的周期为
T＝2T0，⑤
而T＝2π，⑥
联立④⑤⑥解得l＝.
第2讲 机械波及其图像
一、机械波 横波和纵波
1.机械波的形成条件
(1)有发生机械振动的 波源 .
(2)有传播 介质 ，如空气、水等.
2.传播特点
(1)机械波传播的只是振动的 形式 和 能量 ，质点只在各自的平衡位置附近做 简谐运动 ，并不随波 迁移 .
(2)介质中各质点的振幅相同，介质中每个质点都做 受迫振动 ，因此，任一质点的振动频率和周期都和波源的振动频率和周期 相同 .
(3)波传到任意一点，该点的起振方向都和波源的起振 方向 相同.
(4)一个周期内，质点完成一次全振动，通过的路程为 4A ，位移为 零 .
3.机械波的分类
分类 质点振动方向和波的传播方向的关系 形状 举例
横波 垂直 凹凸相间，有波峰、波谷 绳波等
纵波 在同一条直线上 疏密相间，有密部、疏部 弹簧波、 声波等
二、横波的图像 波速、波长和频率的关系
1.横波的图像
(1)坐标轴：横轴表示各质点的 平衡位置 ，纵轴表示该时刻各质点的 位移 .
(2)意义：表示在波的传播方向上，某时刻各质点离开 平衡位置 的位移.
(3)图像如图所示.
2.波长、波速、频率及其关系
(1)波长λ：在波动中，振动相位总是 相同 的两个相邻质点间的距离.
(2)波速v：波在介质中的传播速度，由 介质 本身的性质决定.
(3)频率f：由 波源 决定，等于波源的振动 频率 .
(4)波长、波速和频率的关系：①v＝ λf ；②v＝ .
三、波的干涉和衍射现象 多普勒效应
1.波的叠加
几列波相遇时，每列波都能够保持各自的状态继续传播而不互相干扰，只是在重叠的区域里，质点同时参与这几列波引起的振动，质点的位移等于这几列波单独传播时引起的位移的 矢量和 .
2.波的干涉和衍射
项目 波的干涉 波的衍射
条件 两列波的频率必须相同 明显条件：障碍物或孔的尺寸比波长小或相差不多
现象 形成加强区和减弱区相互隔开的稳定的干涉图样 波能够绕过障碍物或孔继续向前传播
3.多普勒效应
(1)条件：波源和观察者之间有 相对运动 .
(2)现象：观察者感到 频率 发生变化.
(3)实质：波源与波的频率 不变 ，观察者接收到的频率 变化 .
(4)规律：①波源与观察者如果相互靠近，观察者接收到的频率 变大 .②波源与观察者如果相互远离，观察者接收到的频率 变小 .③波源和观察者如果相对静止，观察者接收到的频率 等于 波源的频率.
考点一 机械波的传播与图像
1.机械波的传播特点
介质依存性 机械波是机械振动在介质中的传播，因此，机械波离不开介质，真空中不能传播机械波
能量信息性 机械波传播的是振动的形式，因此机械波可以传递能量、信息
传播不移性 在波的传播方向上，各质点只在各自的平衡位置附近振动，并不随波定向迁移
时空重复性 机械波传播时，具有时间上的重复性——周期；而介质中的不同位置处的一些特定质点具有完全相同“步调”的振动形式，形成波的空间上的重复性——波长
周期、频率同源性 介质（包括不同的介质）中各质点的振动周期和频率等于振源的振动周期和频率，而且在传播过程中保持不变
起振同向性 各质点开始振动的方向与振源开始振动的方向相同
2.波的图像的特点
(1)质点振动nT（波传播nλ）(n＝0，1，2，3，…)时，波形不变.
(2)在波的传播方向上，当两质点平衡位置间的距离为nλ(n＝1，2，3，…)时，它们的振动步调总相同；当两质点平衡位置间的距离为(2n＋1)(n＝0，1，2，3，…)时，它们的振动步调总相反.
机械波的形成与传播
【例1】 （2024·湖南卷）如图，健身者在公园以每分钟60次的频率上下抖动长绳的一端，长绳自右向左呈现波浪状起伏，可近似为单向传播的简谐横波。长绳上A、B两点平衡位置相距6 m，t0时刻A点位于波谷，B点位于波峰，两者之间还有一个波谷。下列说法正确的是( )
A.波长为3 m
B.波速为12 m/s
C.t0＋0.25 s时刻，B点速度为0
D.t0＋0.50 s时刻，A点速度为0
【解析】 D 如图所示，根据题意可知xAB＝λ＝6 m，解得λ＝4 m，A错误；波源的振动频率为f＝ Hz＝1 Hz，故波速为v＝λf＝4 m/s，B错误；质点的振动周期为T＝1 s，因为0.25 s＝，故B点在t0＋0.25 s运动到平衡位置，位移为0，速度最大，C错误；0.5 s＝，故A点在t0＋0.5 s运动到波峰，位移最大，速度为0，D正确.
【变式训练1】 平衡位置位于原点O的波源发出简谐横波在均匀介质中沿水平x轴传播，P、Q为x轴上的两个点（均位于x轴正向），P与O的距离为35 cm，此距离介于一倍波长与二倍波长之间，已知波源自t＝0时由平衡位置开始向上振动，周期T＝1 s，振幅A＝5 cm.当波传到P点时，波源恰好处于波峰位置；此后再经过5 s，平衡位置在Q处的质点第一次处于波峰位置，求：
(1)P、Q之间的距离；
(2)从t＝0开始到平衡位置在Q处的质点第一次处于波峰位置时，波源在振动过程中通过路程.
【解析】 (1)由题意，O、P两点的距离与波长满足：OP＝λ ，
波速与波长的关系为v＝，
在t＝5 s时间间隔内波传播的路程为vt，由题意有vt＝PQ＋λ，
综上解得PQ＝133 cm.
(2)Q处的质点第一次处于波峰位置时，波源运动时间为
t1＝t＋T，
波源由平衡位置开始运动，每经过，波源运动的路程为A，由题意可知t1＝25×T，
故t1时间内，波源运动的路程为
s＝25A＝125 cm.
波的图像
【例2】 （多选）在均匀介质中，位于坐标原点的波源从t＝0时刻开始沿y轴做简谐运动，形成沿x轴传播的简谐横波，t＝0.5 s时的波形如图所示，此刻平衡位置在x＝2.5 m处的质点刚开始振动，则下列说法正确的有( )
A.在这种介质中波速v＝4 m/s
B.x＝1 m处质点在t＝0.3 s时位于波谷
C.波源的位移表达式为y＝0.02sin (5πt＋π) m
D.经过半个周期x＝－1 m处的质点向左迁移半个波长
【解析】 BC 由图中可知t＝0.5 s时，波传播的距离为x＝2.5 m，故波的速度为v＝＝ m/s＝5 m/s，A错误；由图可知该波的波长为λ＝2 m，所以波的周期为T＝＝ s＝0.4 s，波传播到x＝1 m需要的时间t1＝＝ s＝0.2 s，由图可知该波的起振方向向下，t＝0.3 s该波振动了0.1 s，即T，所以位于波谷，B正确；根据图像可知该波的振动方程为y＝A sin （t＋φ）＝－0.02sin (5πt) m＝0.02sin (5πt＋π) m，C正确；质点只是上下振动，不随波左右移动，D错误.
【变式训练2】 一列简谐横波沿x轴正向传播，波长为100 cm，振幅为8 cm.介质中有a和b两个质点，其平衡位置分别位于x＝－ cm和x＝120 cm处.某时刻b质点的位移为y＝4 cm，且向y轴正方向运动.从该时刻开始计时，a质点的振动图像为( )
【解析】 A （方法1：解析式法）从该时刻开始计时，b质点的振动方程为yb＝8sin （ωt＋） cm，ab之间的距离为Δx＝（＋120） cm＝λ，两者之间的相位差是φa－φ＝·2π＝π，所以a质点的振动方程为ya＝8sin （ωt＋＋）＝8sin （ωt＋） cm，A正确.
（方法2：参考圆法）由参考圆可知，φb＝，ab之间的距离为Δx＝（＋120） cm＝λ，把距离差换算成相位差，有＝，解得φa＝，所以t＝0时刻质点a的位移是ya＝A sin ＝＝4 cm，且向下振动，A正确.
由波的图像、波的传播方向判定 质点振动方向的方法
项目方法解读图像演示“上、下 坡”法沿波的传播方向，“上坡”时质点向下振动，“下坡”时质点向上振动“同侧” 法波形图上某点表示传播方向和振动方向的箭头在图线同侧“微平移” 法将波形沿传播方向进行微小的平移，再由对应同一x坐标的两波形曲线上的点来判断振动方向
考点二 振动图像与波的图像的综合应用
项目 振动图像 波的图像
图像
物理 意义 表示某质点各个时刻的位移 表示某时刻各质点的位移
图像 信息 质点振动周期，质点振幅，各时刻质点位移，各时刻速度、加速度方向 波长、振幅，任意一质点在该时刻的位移，任意一质点在该时刻加速度方向，传播方向、振动方向的互判
图像 变化 随时间推移，图像延续，但已有形状不变 随时间推移，图像沿传播方向平移
类比 理解 记录一个人在一段时间内活动的录像带 记录在某时刻许多人的动作的集体照
【例3】 （2024·重庆卷）（多选）一列沿x轴传播的简谐波，在某时刻的波形图如图甲所示，一平衡位置与坐标原点距离为3 m的质点从该时刻开始的振动图像如图乙所示，若该波的波长大于3 m.则( )
A.最小波长 m
B.频率 Hz
C.最大波速 m/s
D.从该时刻开始2 s内该质点运动的路程为（4－） cm
【解析】 BD 根据题图乙写出平衡位置与坐标原点距离为3 m的质点的振动方程y＝sin (ωt＋φ)，代入点（0，）和(2，0)解得φ＝，ω＝，可得T＝2.4 s，f＝ Hz，B正确；在题图甲中标出位移为 cm的质点，若波沿x轴正方向传播则为Q点，沿x轴负方向传播则为P点，则波长可能为λ＝3 m，即λ＝18 m或λ′＝3 m，即λ′＝9 m，A错误；根据v＝，可得v＝7.5 m/s或v′＝3.75 m/s，C错误；根据题图乙计算该质点在2 s内运动的路程为s＝（1＋1＋1＋1－） cm＝（4－） cm，D正确.
【易错点】 此题考查波动图像与振动图像的综合应用，注意一周期内位移为 cm的点有两个，相位不同，振动方向不同，必须分类讨论，而且本题涉及非特殊相位，可用参考圆法确定非特殊点的相位.
【变式训练3】 （多选）均匀介质中，波源位于O点的简谐横波在xOy水平面内传播，波面为圆.t＝0时刻，波面分布如图a所示，其中实线表示波峰，虚线表示相邻的波谷.A处质点的振动图像如图b所示，z轴正方向竖直向上.下列说法正确的是( )
A.该波从A点传播到B点，所需时间为4 s
B.t＝6 s时，B处质点位于波峰
C.t＝8 s时，C处质点振动速度方向竖直向上
D.t＝10 s时，D处质点所受回复力方向竖直向上
【解析】 AC 由图a、b可看出，该波的波长、周期分别为λ＝10 m，T＝4 s，则根据波速公式v＝＝2.5 m/s，该波从A点传播到B点所需时间为t＝＝ s＝4 s，A正确；在t＝6 s时，B点运动了2 s，即，则B处质点位于波谷，B错误；波从AE波面传播到C的距离为x＝（10－10） m，则波从AE波面传播到C的时间为t＝≈4.9 s，则t＝8 s时，C处质点再经过3.1 s速度方向向上，C正确；波从AE波面传播到D的距离为x＝（10－10） m，则波从AE波面传播到D的时间为t＝≈1.7 s，则t＝10 s时，C处质点再经过8.3 s位于z轴上方，回复力方向向下，D错误.
求解波的图像与振动图像综合问题的关键
考点三 波的多解问题
1.造成波动问题多解的主要类型
(1)双向性形成多解
①传播方向双向性：波的传播方向不确定.
②振动方向双向性：质点振动方向不确定.
(2)周期性形成多解
①时间周期性：时间间隔Δt与周期T的关系不明确.
②空间周期性：波传播距离Δx与波长λ的关系不明确.
(3)波形的隐含性形成多解
在波动问题中，往往只给出完整波形的一部分，或给出几个特殊点，而其余信息均处于隐含状态.这样，波形就有多种情况，形成波动问题的多解性.
2.解决波的多解问题的一般思路
(1)首先找出造成多解的原因，比如考虑传播方向的双向性，可先假设波向右传播，再假设波向左传播，分别进行分析.
(2)根据周期性列式，若题目给出的是时间条件，则列出t＝nT＋Δt(n＝0，1，2，…)，若给出的是距离条件，则列出x＝nλ＋Δx(n＝0，1，2，…)进行求解.
(3)根据需要进一步求与波速（v＝或v＝＝λf）等有关的问题.
【例4】 （2023·全国甲卷）分别沿x轴正向和负向传播的两列简谐横波P、Q的振动方向相同，振幅均为5 cm，波长均为8 m，波速均为4 m/s.t＝0时刻，P波刚好传播到坐标原点，该处的质点将自平衡位置向下振动；Q波刚好传到x＝10 m处，该处的质点将自平衡位置向上振动.经过一段时间后，两列波相遇.
(1)在坐标图上分别画出P、Q两列波在t＝2.5 s时刻的波形图（P波用虚线，Q波用实线）；
(2)求出图示范围内的介质中，因两列波干涉而振动振幅最大和振幅最小的质点的平衡位置.
【解析】 (1)根据Δx＝vt得Δx＝4×2.5 m＝10 m，可知t＝2.5 s时P波刚好传播到x＝10 m处，Q波刚好传播到x＝0处，根据上、下坡法可得波形图如图所示.
(2)根据题意可知，P、Q两波振动频率相同，振动方向相反，两波叠加时，振动加强点的条件为到两波源的距离差Δx＝(n＝0，1，2…)，解得振幅最大的平衡位置有x＝3 m、x＝7 m，振动减弱的条件为Δx＝nλ(n＝0，1，2…)，解得振幅最小的平衡位置有x＝1 m、x＝5 m、x＝9 m.
【变式训练4】 如图所示，实线是一列简谐横波在t1时刻的波形图，虚线是t2＝(t1＋1) s时刻的波形图，已知质点M的平衡位置距O点距离为5 m.下列说法正确的是( )
A.若波沿x轴负向传播时，其周期可能为 s
B.无论波向哪个方向传播，质点M在t1时刻一定沿y轴正方向运动
C.若该波沿x轴正向传播，其波速可能为7 m/s
D.若波沿x轴负向传播时，当周期T＝ s时，质点M在t1到t2时间内运动的路程为3.2 m
【解析】 A 若波沿x轴负方向传播，则T＋nT＝1 s(n＝0，1，2，…)，从而得到周期T＝ s(n＝0，1，2，…)，当n＝2时T＝ s，A正确；若波沿x轴负方向传播，根据上下坡法可知质点M在t1时刻沿y轴负方向运动，若波沿x轴正方向传播，根据上下坡法可知质点M在t1时刻沿y轴正方向运动，B错误；若该波沿x轴正向传播，可得周期T＝ s(n＝0，1，2，…)，则v＝＝(4n＋1) m/s(n＝0，1，2，…)，其波速不可能为7 m/s，C错误；若波沿x轴负方向传播时，由T＝ s(n＝0，1，2，…)，当n＝3时T＝ s，则质点M在t1到t2时间内，质点M运动的路程为15A＝15×0.2 m＝3 m，D错误.
求解波的多解问题的技巧
考点四 波的干涉、衍射及多普勒效应
1.波的干涉中振动加强点和减弱点的判断
某质点的振动是加强还是减弱，取决于该点到两相干波源的距离之差Δr.
(1)当两波源振动步调一致时
若Δr＝nλ(n＝0，1，2…)，则振动加强；
若Δr＝(2n＋1)(n＝0，1，2…)，则振动减弱.
(2)当两波源振动步调相反时
若Δr＝(2n＋1)(n＝0，1，2…)，则振动加强；
若Δr＝nλ(n＝0，1，2…)，则振动减弱.
2.多普勒效应的成因分析
(1)接收频率：观察者接收到的频率等于观察者在单位时间内接收到的完全波的个数.
(2)当波源与观察者相互靠近时，观察者接收到的频率变大，当波源与观察者相互远离时，观察者接收到的频率变小.
波的干涉
【例5】（2023·辽宁卷）（多选）“球鼻艏”是位于远洋轮船船头水面下方的装置，当轮船以设计的标准速度航行时，球鼻艏推起的波与船首推起的波如图所示，两列波的叠加可以大幅度减小水对轮船的阻力.下列现象的物理原理与之相同的是( )
A.插入水中的筷子，看起来折断了
B.阳光下的肥皂膜，呈现彩色条纹
C.驶近站台的火车，汽笛音调变高
D.振动音叉的周围，声音忽高忽低
【解析】 BD 该现象属于波的叠加原理.插入水中的筷子看起来折断了是光的折射造成的，与该问题的物理原理不相符；阳光下的肥皂膜呈现彩色条纹，是由于光从薄膜上下表面的反射光叠加造成的干涉现象，与该问题的物理原理相符；驶近站台的火车汽笛音调变高是多普勒现象造成的，与该问题的物理原理不相符；振动音叉的周围声音忽高忽低，是声音的叠加造成的干涉现象，与该问题的物理原理相符，B、D正确.
【变式训练5】（2024·浙江卷）（多选）在如图所示的直角坐标系中，xOz平面为介质Ⅰ和Ⅱ的分界面（z轴垂直纸面向外）.在介质Ⅰ中的P(0，4λ)处有一点波源，产生波长为λ、速度为v的波.波传到介质Ⅱ中，其速度为v，图示时刻介质Ⅱ中仅有一个波峰，与x轴和y轴分别交于R和S点，此时波源也恰好位于波峰.M为O、R连线的中点，入射波与反射波在O点相干加强，则( )
A.介质Ⅱ中波的频率为
B.S点的坐标为（0，－λ）
C.入射波与反射波在M点相干减弱
D.折射角α的正弦值sin α＝
【解析】 BD 波从一种介质到另一种介质，频率不变，故介质Ⅱ中波的频率为f＝，A错误；在介质Ⅱ中波长为λ′＝＝λ，由于图示时刻介质Ⅱ中仅有一个波峰，与x轴和y轴分别交于R和S点，故S点的坐标为（0，－λ），B正确；由于S为波峰，且波传到介质Ⅱ中，其速度为v，图示时刻介质Ⅱ中仅有一个波峰，与x轴和y轴分别交于R和S点，则R也为波峰，故P到R比P到O多一个波峰，则PR＝5λ，则OR＝3λ，由于|MO－PM|≠2n·或(2n＋1)，故M不是减弱点，C错误；根据n＝＝，则n＝，解得sin α＝，D正确.
波的衍射
【例6】 如图所示，挡板M固定，挡板N可以上下移动，现在把M、N两块挡板中的空隙当作一个“小孔”做水波的衍射实验，出现了图示中的图样，P点的水没有振动起来.为使挡板左边的振动传到P点，可以采用的办法是( )
A.挡板N向下平移一段距离
B.增大波源振动频率
C.挡板M和N向右移动一段距离
D.波源向左匀速移动
【解析】 D P点的水没有振动起来，说明P点波没有明显衍射过去，原因是MN间的缝太宽或波长太小，因此若要使P点的水振动起来，可将N板上移减小小孔的间距，也可以增大水波的波长，即减小振源的频率，A、B、C错误；根据多普勒效应可知波源向左匀速移动后M、N两块挡板中的空隙接收到的波的频率变小，水波波长增大，可能使P点的水振动起来，D正确.
【变式训练6】 青岛濒临黄海，是国内著名的滨海旅游城市，拥有众多优良海水浴场.在石老人海水浴场，某同学漂浮在海面上，水波以3 m/s的速率向着海滩传播，该同学记录了第1个波峰到第10个波峰通过身下的时间为18 s.下列说法正确的是( )
A.该同学很快就会漂流到沙滩上
B.该水波的周期为1.8 s
C.该水波的波长为6 m
D.该水波可以绕过石老人继续传播属于波的干涉现象
【解析】 C 该同学只会在平衡位置附近振动，不会随波迁移，A错误；该水波的周期为T＝＝2 s，B错误；由波长公式得λ＝vT＝6 m，C正确；该水波可以绕过石老人继续传播属于波的衍射现象，D错误.
多普勒效应
【例7】 （多选）在下列现象中，可以用多普勒效应解释的有( )
A.雷雨天看到闪电后，稍过一会儿才能听到雷声
B.超声波被血管中的血流反射后，探测器接收到的超声波频率发生变化
C.观察者听到远去的列车发出的汽笛声，音调会变低
D.同一声源发出的声波，在空气和水中传播的速度不同
【解析】 BC 雷雨天看到闪电后，稍过一会儿才能听到雷声，这是由于光在空气中的传播速度比声波在空气中的传播速度大，A错误；超声波被血管中血流反射后，探测器接收到的超声波频率发生变化，是多普勒效应，B正确；观察者听到远去的列车发出的汽笛声，音调会变低，是多普勒效应，C正确；同一声源发出的声波，在空气和水中的传播速度不同，可知声速与介质有关，不是多普勒效应，D错误.
【变式训练7】 下列哪项应用没有利用多普勒效应( )
A.利用地球上接收到遥远天体发出的光波的频率来判断遥远天体相对于地球的运动速度
B.交通警察向行进中的汽车发射一个已知频率的电磁波，波被运动的汽车反射回来，根据接收到的频率发生的变化，就知道汽车的速度，以便于进行交通管理
C.铁路工人用耳贴在铁轨上可判断火车的运动情况
D.有经验的战士从炮弹飞行的尖叫声判断飞行炮弹是接近还是远去
【解析】 C 凡是波都具有多普勒效应，因此利用光波的多普勒效应便可以测定遥远星体相对地球远离的速度；被反射的电磁波，相当于一个运动的物体发出的电磁波，其频率发生变化，由多普勒效应的计算公式可以求出运动物体的速度；铁路工人是根据振动的强弱而对列车的运动做出判断的，没有利用多普勒效应；炮弹飞行，与空气摩擦产生声波，人耳接收到的频率与炮弹的相对运动方向有关.
1.如图所示，置于管口T前的声源发出一列单一频率声波，分成两列强度不同的声波分别沿A、B两管传播到出口O.先调节A、B两管等长，O处探测到声波强度为400个单位，然后将A管拉长d＝15 cm，在O处第一次探测到声波强度最小，其强度为100个单位.已知声波强度与声波振幅平方成正比，不计声波在管道中传播的能量损失，则( )
A.声波的波长λ＝15 cm
B.声波的波长λ＝30 cm
C.两声波的振幅之比为3∶1
D.两声波的振幅之比为2∶1
【解析】 C 分析可知A、B两管等长时，声波的振动加强，将A管拉长d＝15 cm后，两声波在O点减弱，设声波加强时振幅为20，声波减弱时振幅为10，则A1＋A2＝20，A1－A2＝10，可得两声波的振幅之比＝，C正确、D错误；根据振动减弱的条件可得＝2d，解得λ＝60 cm，A、B错误.
2.（2024·浙江卷）频率相同的简谐波源S1、S2，和接收点M位于同一平面内，S1、S2到M的距离之差为6 m.t＝0时S1、S2同时垂直平面开始振动，M点的振动图像如图所示，则( )
A.两列波的波长为2 m
B.两列波的起振方向均沿x正方向
C.S1和S2在平面内不能产生干涉现象
D.两列波的振幅分别为3 cm和1 cm
【解析】 B 根据图像可知t＝4 s时M点开始向上振动，故此时一列波传播到M点，起振方向向上，t＝7 s时波形开始改变，说明另一列波传播到M点，此时两列波平衡位置都传到M点，第一列波使M点向下振动，之后振幅减小，则此时M点振动减弱，可知第二列波使M点向上振动.S1、S2到M的距离之差为6 m，由图可知两列波传到M点的时间差为3 s，根据v＝可得波速为v＝ m/s＝2 m/s，故波长为λ＝vT＝4 m，A错误；根据前面分析可知两列波刚传到M点时均使M点向上振动，故两列波的起振方向均沿x正方向，B正确；两列波频率相等，在平面内能产生干涉现象，C错误；由t＝4.5 s和t＝7.5 s时的位移知第一列的振幅为3 cm，第二列波的振幅为A2＝3 cm－1 cm＝2 cm，D错误.
3.一列简谐横波在均匀介质中沿x轴方向传播，在t＝1 s时刻的波形如图甲所示，图乙为质点M的振动图像.下列说法正确的是( )
A.该波沿x轴负方向传播
B.该波传播的速度大小为0.5 m/s
C.在t＝2 s时刻，质点P正在沿y轴负方向运动
D.在1～3.5 s时间内，质点N的路程为30 cm
【解析】 D 由图乙知t＝1 s时，质点M的振动方向沿y轴正方向，结合图甲知该简谐横波沿x轴正方向传播，A错误；根据题图可知波长λ＝4 m，周期T＝2 s，所以波速为2 m/s，B错误；在t＝1 s时，质点P沿y轴负方向运动，再过半个周期即t＝2 s时，质点P沿y轴正方向运动，C错误；在1～3.5 s时间内Δt＝2.5 s＝T，质点N的路程为s＝×4A＝30 cm，D正确.
4.（多选）一列简谐横波沿x轴传播，如图所示，实线为t1＝2 s时的波形图，虚线为t2＝5 s时的波形图.以下关于平衡位置在原点O处质点的振动图像，可能正确的是( )
【解析】 AC 若机械波沿x轴正方向传播，在t1＝2 s时O点振动方向竖直向上，则传播时间Δt＝t2－t1＝3 s满足Δt＝T＋nT(n＝0，1，2，3，…)，解得T＝ s(n＝0，1，2，3，…)，当n＝0时，解得周期T＝4 s，A正确、B错误；若机械波沿x轴负方向传播，在t2＝5 s时O点处于波谷，则Δt＝T＋nT(n＝0，1，2，3，…)，解得T＝ s(n＝0，1，2，3，…)，当n＝0时，解得周期T＝12 s，C正确、D错误.
5.（多选）如图所示，当波源和障碍物都静止不动时，波源发出的波在障碍物处不能发生明显衍射.下列措施可能使波发生较为明显衍射的是( )
A.增大波源的振动频率
B.减小波源的振动频率
C.增大障碍物的长度
D.减小障碍物的长度
【解析】 BD 不能发生明显衍射的原因是障碍物的长度远大于波长，增大波长或减小障碍物的长度均可满足题目要求，由λ＝知，v不变，减小f，λ增大，A、C错误，B、D正确.
6.（多选）一列简谐横波在t＝0时刻的波形如图甲所示，A、B是介质中的两个质点，此时质点B正经过平衡位置，质点B的振动图像如图乙.下列说法正确的是( )
A.波沿x轴正方向传播
B.这列波的波速为0.2 m/s
C.t＝1.5 s时刻，质点B的运动的加速度为零
D.t＝1 s时刻，质点A的位移为负值
【解析】 AB 因t＝0时刻，质点B沿y轴负向振动，结合波形图可知，波沿x轴正方向传播，A正确；这列波的波速为v＝＝ m/s＝0.2 m/s，B正确；t＝1.5 s时刻，质点B处于波峰位置，则此时加速度最大，C错误；t＝1 s时刻，即经过半个周期，质点A的位移为正值，D错误.
7.一列沿x轴正方向传播的简谐横波，其波源的平衡位置在坐标原点，波源在0～4 s内的振动图像如图甲所示，已知波的传播速度为0.5 m/s.
(1)求这列横波的波长；
(2)求波源在4 s内通过的路程；
(3)在图乙中画出t＝4 s时刻的波形图.
【解析】 (1)由题图甲可知，振幅A＝4 cm，周期T＝4 s，由于波的传播速度为0.5 m/s，根据波长与速度关系有λ＝vT＝2 m.
(2)由(1)可知波源的振动周期为4 s，则4 s内波源通过的路程为s＝4A＝16 cm.
(3)由题图甲可知在t＝0时波源的起振方向向上，由于波速为0.5 m/s，则在4 s时，x＝vt＝2 m，可知该波刚好传到位置为2 m的质点，且波源刚好回到平衡位置，且该波沿x轴正方向传播，则根据“上、下坡”法可绘制出t＝4 s时刻的波形图如图所示.
8.在一列沿水平直线传播的简谐横波上有相距4 m的A、B两点，图甲、乙分别是A、B两质点的振动图像.已知该波波长大于2 m，求这列波可能的波速.
【解析】 由振动图像得质点振动周期
T＝0.4 s，
若波由A向B传播，B点比A点晚振动的时间Δt＝nT＋T(n＝0，1，2，3，…)，
所以A、B间的距离为
Δs＝vΔt＝Δt＝nλ＋λ(n＝0，1，2，3，…)，
则波长为λ＝＝ m，
因为λ＞2 m，所以n＝0，1，
当n＝0时，λ1＝ m，v1＝＝ m/s，
当n＝1时，λ2＝ m，v2＝＝ m/s.
若波由B向A传播，A点比B点晚振动的时间Δt＝nT＋T(n＝0，1，2，3，…)，
所以A、B间的距离为
Δs＝nλ＋λ(n＝0，1，2，3，…)，
则波长为λ＝＝ m
因为λ＞2 m，所以n＝0，1，
当n＝0时，λ1＝16 m，v1＝40 m/s，
当n＝1时，λ2＝ m，v2＝8 m/s.
第3讲 光的折射和全反射
一、光的折射定律 折射率
1.折射现象
光从一种介质斜射入另一种介质时传播方向发生 改变 的现象.
2.折射定律
(1)内容：如图所示，折射光线与入射光线、法线处在 同一平面 内，折射光线与入射光线分别位于法线的 两侧 ；入射角的正弦与折射角的正弦成 正比 .
(2)在光的折射现象中，光路是 可逆 的.
3.折射率
(1)定义：光从真空射入某种介质发生折射时， 入射角的正弦 与 折射角的正弦 之比，叫作这种介质的绝对折射率，简称折射率.
(2)表达式：＝n.
(3)物理意义：折射率n是反映介质的 光学性质 的物理量，不能说n与sin θ1成正比，与sin θ2成反比，n由介质本身的光学性质和光的 频率 决定.
(4)计算公式：n＝，因为v
(1)折射率由 介质本身 性质决定，与入射角的大小 无关 .
(2)折射率与介质的 密度 没有关系，光密介质不是指密度大的介质.
(3)同一种介质中，频率越大的色光折射率 越大 ，传播速度 越小 .
二、全反射 光导纤维
1.定义
光从光密介质射入光疏介质，当入射角增大到某一角度时， 折射 光线将全部消失，只剩下 反射 光线的现象.
2.条件
(1)光从光密介质射入光疏介质；
(2)入射角 大于或等于 临界角.
3.临界角
折射角等于 90° 时的入射角.若光从 光密介质 （折射率为n）射向真空或空气时，发生全反射的临界角为C，则sin C＝ .介质的折射率 越大 ，发生全反射的临界角 越小 .
4.光导纤维：光导纤维的原理是利用光的 全反射 .
三、光的色散
1.光的色散现象：一白光通过玻璃三棱镜会形成 由红到紫 七种色光组成的彩色光谱.
2.成因：由于n红
1.对折射率的理解
(1)折射率大小不仅反映了介质对光的折射本领，也反映了光在介质中传播速度的大小，v＝.
(2)折射率的大小不仅与介质本身有关，还与光的频率有关.同一种介质中，频率越大的色光折射率越大，传播速度越小.
(3)同一种色光，在不同介质中虽然波速、波长不同，但频率相同.
2.应用光的折射定律解题的一般思路
(1)根据入射角、折射角及反射角之间的关系，作出比较完整的光路图.
(2)充分利用光路图中的几何关系，确定各角之间的联系，根据折射定律求解相关的物理量.
(3)注意在折射现象中，光路是可逆的.
【例1】 （2024·重庆卷）某同学设计了一种测量液体折射率的方案.容器过中心轴线的剖面图如图所示，其宽度为16 cm，让单色光在此剖面内从空气入射到液体表面的中心.调整入射角，当反射光与折射光垂直时，测出竖直器壁上的反射光点与液体表面的距离h，就能得到液体的折射率n.忽略气壁厚度，由该方案可知( )
A.若h＝4 cm，则n＝
B.若h＝6 cm，则n＝
C.若n＝，则h＝10 cm
D.若n＝，则h＝5 cm
【解析】 B 根据几何关系画出光路图，如图所示，标注入射角θ1，折射角θ2，根据折射定律可得n＝＝＝.若h＝4 cm，则n＝2，A错误；若h＝6 cm，则n＝，B正确；若n＝，则h＝ cm，C错误；若n＝，则h＝ cm，D错误.
【变式训练1】 （2024·贵州卷）一种测量液体折射率的V形容器，由两块材质相同的直角棱镜粘合，并封闭其前后两端制作而成.容器中盛有某种液体，一激光束从左边棱镜水平射入，通过液体后从右边棱镜射出，其光路如图所示.设棱镜和液体的折射率分别为n0、n，光在棱镜和液体中的传播速度分别为v0、v，则( )
A.n
考点二 光的折射定律和全反射规律的综合应用
1.解答全反射问题的技巧
(1)解答全反射问题时，要抓住发生全反射的两个条件：
①光必须从光密介质射入光疏介质；
②入射角大于或等于临界角.
(2)利用好光路图中的临界光线，准确地判断出恰好发生全反射的光路图是解题的关键，且在作光路图时尽量与实际相符.
2.求解光的折射、全反射问题的三点注意
(1)明确哪种是光密介质、哪种是光疏介质.同一种介质，相对于其他不同的介质，可能是光密介质，也可能是光疏介质.
(2)如果光线从光疏介质进入光密介质，则无论入射角多大，都不会发生全反射现象.
(3)当光射到两种介质的界面上时，往往同时发生光的折射和反射现象，但在全反射现象中，只发生反射，不发生折射.
【例2】 （多选）如图所示，将一平面镜置于某透明液体中，光线以入射角i＝45°进入液体，经平面镜反射后恰好不能从液面射出.此时，平面镜与水平面（液面）夹角为α，光线在平面镜上的入射角为β.已知该液体的折射率为，下列说法正确的是( )
A.β＝30°
B.β＝37.5°
C.若略微增大α，则光线可以从液面射出
D.若略微减小i，则光线可以从液面射出
【解析】 BD 根据＝n，解得光线在射入液面时的折射角为r＝30°，光线经平面镜反射后，恰好不能从液面射出，光路图如图.有sin C＝，解得∠C＝45°，由几何关系可得2β＋(90°－r)＋(90°－C)＝180°，解得β＝37.5°，A错误、B正确；若略微增大α，则光线在平面镜上的入射角β将变大，根据上面分析的各角度关系可知光线射出液面的入射角变大，将大于临界角，所以不可以从液面射出，C错误；同理，若略微减小i，则r减小，导致光线在平面镜上的入射角β减小，可知光线射出液面的入射角变小，将小于临界角，可以从液面射出，D正确.
【变式训练2】 如图所示，某种防窥屏由透明介质和对光完全吸收的屏障构成，其中屏障垂直于屏幕平行排列，可实现对像素单元可视角度θ的控制（可视角度θ定义为某像素单元发出的光在图示平面内折射到空气后最大折射角的2倍）.透明介质的折射率n＝2，屏障间隙L＝0.8 mm.发光像素单元紧贴屏下，位于相邻两屏障的正中间.不考虑光的衍射.
(1)若把发光像素单元视为点光源，要求可视角度θ控制为60°，求屏障的高度d；
(2)若屏障高度d＝1.0 mm，且发光像素单元的宽度不能忽略，求像素单元宽度x最小为多少时，其可视角度θ刚好被扩为180°（只要看到像素单元的任意一点，即视为能看到该像素单元）.
【解析】 (1)发光像素单元射到屏障上的光被完全吸收，考虑射到屏障顶端的光射到透明介质和空气界面，折射后从界面射向空气，由题意可知θ＝60°，则r＝＝30°，
在介质中的入射角为i，则＝n，
解得sin i＝，
由几何关系sin i＝，
解得d＝ mm≈1.55 mm.
(2)若视角度θ刚好被扩为180°，则＝90°，此时光线在界面发生全反射，此时光线在界面处的入射角sin C＝＝，
解得C＝30°，
此时发光像素单元发光点距离屏障的距离为x1＝d tan C＝ mm，
像素单元宽度x最小为
x＝2（x1－）＝（－0.8） mm
≈0.35 mm.
【易错点】 认真审题，理解题意，能建立物理模型，作出正确的光路图是解题的关键，计算结果带根号，对计算能力有一定的要求，几何关系和计算上都容易出错.
考点三 光路控制 光的色散现象
1.平行玻璃砖、三棱镜和圆柱体（球）对光路的控制特点
项目 平行玻璃砖 三棱镜 圆柱体（球）
结构 玻璃砖上下表面是平行的 横截面为三角形的三棱镜 横截面是圆
对光 线的 作用 通过平行玻璃砖的光线不改变传播方向，但要发生侧移 通过三棱镜的光线经两次折射后，出射光线向棱镜底面偏折 圆界面的法线是过圆心的直线，光线经过两次折射后向圆心偏折
应用 测定玻璃的折射率 全反射棱镜，改变光的传播方向 改变光的传播方向
2.各种色光的比较分析
颜色 红橙黄绿青蓝紫
频率ν 低→高
同一介质中的折射率 小→大
同一介质中的速度 大→小
同一介质中的波长 大→小
通过同一棱镜的偏折角 小→大
同一介质中的临界角 大→小
同一装置的双缝干涉条纹间距 大→小
【例3】 （2023·全国乙卷）如图，一折射率为的棱镜的横截面为等腰直角三角形△ABC，AB＝AC＝l，BC边所在底面上镀有一层反射膜.一细光束沿垂直于BC方向经AB边上的M点射入棱镜，若这束光被BC边反射后恰好射向顶点A，求M点到A点的距离.
【解析】 由题意可作出光路图如图所示，
光线垂直于BC方向射入，根据几何关系可知入射角为45°；由于棱镜折射率为，根据n＝，
有sin r＝，
则折射角为30°，∠BMO＝60°，因为∠B＝45°，所以光在BC面的入射角为
θ＝90°－(180°－60°－45°)＝15°，
根据反射定律可知∠MOA＝2θ＝30°，
根据几何关系可知∠BAO＝30°，
即△MAO为等腰三角形，则＝，
又因为△BOM与△CAO相似，故有
＝，
由题知AB＝AC＝l，
联立可得BM＝AC＝l，
所以M到A点的距离为
x＝MA＝l－BM＝l.
【变式训练3】 如图所示，透明玻璃体的上半部分是半球体，下半部分是圆柱体，半球体的半径为R，O为半球体的球心.圆柱体的底面半径和高也为R，现有一半径为R的圆环形平行光垂直于圆柱体底面射向半球体，OO1为圆光环的中心轴线，所有光线经折射后恰好经过圆柱体下表面圆心O1点，光线从O1点射出后在玻璃体下方的水平光屏上形成圆形亮环，光屏到圆柱体底面的距离为R，光在真空中的传播速度为c.求：
(1)透明玻璃体的折射率；
(2)光从入射点传播到光屏所用的时间.
【解析】 (1)作出光路图如图所示，设光线的入射角为α，出射角为β，则由几何关系可得
R sin α＝R，
解得α＝60°，
由几何关系可知β＝30°，
由折射定律可知
n＝＝. (2)光在透明玻璃体中的传播速度v＝，
光在透明玻璃体中的传播时间
t1＝＝，
由图及折射定律知光线从O1点出射后与竖直方向的夹角α＝60°，所以光从透明玻璃体出射后到光屏所用的时间t2＝＝，
则光从入射点传播到光屏所用的时间
t＝t1＋t2＝.
1.（2024·海南卷）一正三角形OPQ玻璃砖，某束光线垂直于OP射入，恰好在PQ界面发生全反射，则玻璃砖的折射率( )
A. B. C. D.2
【解析】 C 如图所示，根据几何关系可知光线在PQ界面的入射角为C＝60°，根据全反射的临界条件可得sin C＝，解得n＝，C正确.
2.（2024·广东卷）如图所示，红绿两束单色光，同时从空气中沿同一路径以θ角从MN面射入某长方体透明均匀介质.折射光束在NP面发生全反射.反射光射向PQ面.若θ逐渐增大，两束光在NP面上的全反射现象会先后消失.已知在该介质中红光的折射率小于绿光的折射率.下列说法正确的是( )
A.在PQ面上，红光比绿光更靠近P点
B.θ逐渐增大时，红光的全反射现象先消失
C.θ逐渐增大时，入射光可能在MN面发生全反射
D.θ逐渐减小时，两束光在MN面折射的折射角逐渐增大
【解析】 B 红光的频率比绿光的频率小，则红光的折射率小于绿光的折射率，在MN面，入射角相同，根据折射定律n＝，可知绿光在MN面的折射角较小，根据几何关系可知绿光比红光更靠近P点，A错误；根据全反射发生的条件sin C＝可知红光发生全反射的临界角较大，θ逐渐增大时，折射光线与NP面的交点左移过程中，在NP面的入射角先小于红光发生全反射的临界角，所以红光的全反射现象先消失，B正确；在MN面，光是从光疏介质到光密介质，无论θ多大，在MN面都不可能发生全反射，C错误；根据折射定律n＝可知θ逐渐减小时，两束光在MN面折射的折射角逐渐减小，D错误.
3.现有一束光以相同的入射角θ，打在不同浓度NaCl的溶液甲、乙中，折射光线如图所示(β1<β2)，已知NaCl溶液的折射率随NaCl浓度增大而增大.则( )
A.甲溶液折射率较大
B.甲溶液NaCl浓度较小
C.光在甲溶液中的传播速度较大
D.光在甲中发生全反射的临界角较大
【解析】 A 入射角相同，由于β1<β2，根据折射定律可知n甲>n乙，故甲浓度大；根据v＝，可知光线在甲中的传播速度较小，由sin C＝可知折射率越大临界角越小，故甲临界角小，A正确.
4.如图所示，楔形玻璃的横截面POQ的顶角为30°，OP边上的点光源S到顶点O的距离为d，垂直于OP边的光线SN在OQ边的折射角为45°.不考虑多次反射，OQ边上有光射出部分的长度为( )
A.d B.d
C.d D.d
【解析】 C 设光线在OQ界面的入射角为α，折射角为β，几何关系可知α＝30°，则有折射定律n＝＝，光线射出OQ界面的临界为发生全反射，光路图如下，其中OB⊥CS，光线在A、B两点发生全反射，有全反射定律sin C＝＝，即A、B两处全反射的临界角为45°，AB之间有光线射出，由几何关系可知AB＝2AC＝2CS＝OS＝d，C正确.
5.（多选）如图所示，一教师用侧面开孔的透明塑料瓶和绿光激光器演示“液流导光”实验.瓶内装有适量清水.水从小孔中流出后形成了弯曲的液流.让激光水平射向小孔，使光束与液流保持在同一竖直平面内，观察到光束沿着弯曲的液流传播.下列操作中，有助于光束更好地沿液流传播的是( )
A.减弱激光强度
B.提升瓶内液面高度
C.改用折射率更大的液体
D.增大激光器与小孔之间的水平距离
【解析】 BC 若想使激光束完全被限制在液流内，则应使激光在液体内发生全反射现象，根据全反射临界角n＝，可知应该增大液体的折射率或增大激光束的入射角，减弱激光的强度，激光的临界角、折射率均不会改变，A错误；提升瓶内液面的高度，会造成开口处压强增大，水流的速度增大，水流得更远，进而增大了激光束的入射角，则会有大部分光在界面处发生全反射，有助于光束更好地沿液流传播，B正确；若改用折射率更大的液体，临界角变小，更容易发生全反射，C正确；增大激光器与小孔之间的水平距离不能改变液体的折射率或激光束的入射角，现象不会改变，D错误.
6.（多选）某同学做测玻璃折射率实验时，在白纸上放好上、下表面平行的玻璃砖，玻璃砖厚度为L，如图所示的入射光线与折射光线（CD边出射光线未画出），若入射角i＝60°，测出折射角r＝30°，光在真空中的光速为c，则( )
A.玻璃砖的折射率n＝
B.光在玻璃中传播的时间为
C.光在玻璃中传播的时间为
D.若实验时不小心将玻璃砖向上平移一小段，其他操作无误，则测得的折射率将偏大
【解析】 AB 由折射率的定义公式，可得玻璃砖的折射率为n＝＝＝，A正确；光在玻璃中传播的距离为s＝＝＝L，光在玻璃中传播的速度为v＝＝＝，光在玻璃中传播的时间为t＝＝＝，B正确、C错误；若画图时误将玻璃砖向上平移一小段，导致描出的上界面AB比实际位置高，光路图如图所示，由解析图可知，入射角和折射角均不变，则测得的折射率将不变，D错误.
7.（2024·全国卷）一玻璃柱的折射率n＝，其横截面为四分之一圆，圆的半径为R，如图所示.截面所在平面内，一束与AB边平行的光线从圆弧入射.入射光线与AB边的距离由小变大，距离为h时，光线进入柱体后射到BC边恰好发生全反射.求此时h与R的比值.
【解析】 画出光路图如图所示
可知＝n＝
设临界角为C，得
sin C＝＝，cos C＝
根据α＝β＋C可得＝
解得tan β＝
故可得sin β＝
故可知＝sin α＝sin β＝.
8.（2024·山东卷）某光学组件横截面如图所示，半圆形玻璃砖圆心为O点，半径为R；直角三棱镜FG边的延长线过O点，EG边平行于AB边且长度等于R，∠FEG＝30°.横截面所在平面内，单色光线以θ角入射到EF边发生折射，折射光线垂直EG边射出.已知玻璃砖和三棱镜对该单色光的折射率均为1.5.
(1)求sin θ；
(2)以θ角入射的单色光线，若第一次到达半圆弧AMB可以发生全反射，求光线在EF上入射点D（图中未标出）到E点距离的范围.
【解析】 (1)设单色光在三棱镜中的折射角为α，则根据折射定律有n＝，
由于折射光线垂直EG边射出，根据几何关系可知α＝∠FEG＝30°，
代入数据解得
sin θ＝0.75.
(2)根据题意作出单色光第一次到达半圆弧AMB恰好发生全反射的光路图如图所示，
则根据几何关系可知FE上从P点到E点以θ角入射的单色光线第一次到达半圆弧AMB都可以发生全反射，根据全反射临界角公式有
sin C＝，
设P点到FG的距离为l，则根据几何关系有
l＝R sin C，
又因为xPE＝，
联立解得xPE＝R，
所以光线在EF上的入射点D到E点的距离范围为
0
一、光的干涉、衍射和偏振
1.光的干涉
(1)定义：在两列光波叠加的区域，某些区域相互 加强 ，出现亮条纹，某些区域相互 减弱 ，出现暗条纹，且 加强 区域和 减弱 区域相互 间隔 的现象.
(2)条件：两束光的频率 相同 、相位差 恒定 .
2.双缝干涉图样特点
(1)单色光照射时形成明暗相间的等间距的干涉条纹；白光照射时，中央为 白色亮 条纹，其余为 彩色 条纹.
(2)相邻的亮条纹（或暗条纹）之间距离Δx与波长λ、双缝间距d及屏到双缝间距离l的关系为 Δx＝λ .
3.薄膜干涉：利用薄膜（如肥皂液薄膜） 前后表面 反射的光相遇而形成的.图样中同一条亮（或暗）条纹上所对应薄膜厚度 相同 .
4.光的衍射
(1)发生明显衍射的条件：只有当障碍物的尺寸与光的波长 相差不多 ，甚至比光的波长还小的时候，衍射现象才会明显.
(2)单缝衍射和圆孔衍射图样的比较
项目 单缝衍射 圆孔衍射
单 色 光 中央为亮且宽的条纹，两侧为 明暗 相间的条纹，且越靠近两侧，亮条纹的亮度 减弱 ，宽度 越小 ①中央是大且亮的圆形亮斑，周围分布着明暗相间的同心圆环，且越靠外，圆形亮条纹的亮度 越弱 ，宽度 减小 ②亮环或暗环间的距离随圆孔半径的增加而 减小
项目 单缝衍射 圆孔衍射
白 光 中央为亮且宽的白色条纹，两侧为亮度 逐渐变暗 、宽度逐渐 变窄 的彩色条纹，其中最靠近中央的色光是紫光、离中央最远的是红光 中央是大且亮的白色亮斑，周围是不等间距的彩色的同心 圆环
(3)泊松亮斑（圆盘衍射）
当光照射到不透明的 半径很小的小圆盘 上时，在圆盘的阴影中心出现 亮斑 ，在阴影外还有不等间距的 明暗相间 的圆环.
5.光的偏振
(1)自然光：包含着在 垂直 于传播方向上沿一切方向振动的光，而且沿着各个方向振动的光波的强度都 相同 .
(2)偏振光：在垂直于光的传播方向的平面上，只沿着某个 特定 的方向振动的光.
(3)偏振光的两种形成方式
①让自然光通过偏振片形成 偏振光 .
②让自然光在两种介质的界面发生反射和 折射 ，反射光和折射光可以成为部分偏振光或 完全偏振光 .
(4)光的偏振现象说明光是一种 横波 .
6.激光
(1)高度的 相干性 .可用于传递信息，如光通信，全息照相等.
(2)平行度非常好，激光束在相同距离的扩散较小.可用于如精确测距、激光雷达、读盘等.
(3)亮度很高，它可以在很小的空间和很短的时间内集中很大的 能量 .可用于如医用激光刀，激光束切割、焊接等.
二、电磁波
1.麦克斯韦电磁场理论
变化的磁场能够在周围空间产生 电场 ，变化的电场能够在周围空间产生 磁场 .
2.电磁波及其传播
(1) 电磁场 在空间由近及远地传播，形成电磁波.电磁波是 横 波.
(2)电磁波的传播不需要 介质 ，在真空中不同频率的电磁波传播速度都等于 光速 .但在同一介质中，不同频率的电磁波传播速度是 不同 的，频率越高，波速 越小 .
(3)波速公式：v＝ λf ，f是电磁波的频率.
3.电磁波的发射
(1)发射条件： 开放 电路和 高频振荡 信号，所以要对传输信号进行调制（调幅或调频）.
(2)调制方式
①调幅：使高频电磁波的 振幅 随信号的强弱而变.
②调频：使高频电磁波的 频率 随信号的强弱而变.
4.无线电波的接收
(1)当接收电路的固有频率跟接收到无线电波的频率 相等 时，激起的振荡电流 最强 ，这就是电谐振现象.
(2)使接收电路产生电谐振的过程叫作 调谐 ，能够调谐的接收电路叫作 调谐 电路.
(3)从经过调制的高频振荡中“检”出调制信号的过程，叫作 检波 Ｗ.检波是 调制 的逆过程，也叫作 解调 .
5.电磁波谱
按照电磁波的 频率 或 波长 的大小顺序把它们排列成的谱.按波长由长到短排列的电磁波谱为：无线电波、 红外线 、可见光、紫外线、X射线、 γ射线 .
考点一 光的干涉现象
1.亮、暗条纹的判断方法
对于两个振动步调一致的光源，如图所示，光源S1、S2发出的光到屏上某点的路程差：
(1)r2－r1＝kλ(k＝0，1，2…)时，光屏上出现亮条纹.
(2)r2－r1＝(2k＋1)(k＝0，1，2…)时，光屏上出现暗条纹.
注意：对于两个振动步调反相的光源，产生亮、暗条纹的条件与上面的正好相反.
2.薄膜干涉的理解和应用
(1)形成：如图所示，竖直的肥皂薄膜，由于重力的作用，形成上薄下厚的楔形.光照射到薄膜上时，在膜的前表面AA′和后表面BB′分别反射回来，形成两列频率相同的光波，并且叠加.
(2)亮、暗条纹的判断
①在P1、P2处，两个表面反射回来的两列光波的路程差Δr等于波长的整数倍，即Δr＝nλ(n＝1，2，3…)，薄膜上出现亮条纹.
②在Q处，两列反射回来的光波的路程差Δr等于半波长的奇数倍，即Δr＝(2n＋1)(n＝0，1，2，3…)，薄膜上出现暗条纹.
(3)应用：干涉法检查平面如图所示，两板之间形成一楔形空气膜，用单色光从上向下照射，如果被检查平面是平整光滑的，我们会观察到平行且等间距的明暗相间的条纹；若被检查平面不平整，则干涉条纹发生弯曲.
双缝干涉
【例1】 （2024·湖南卷）（多选）1834年，洛埃利用平面镜得到杨氏双缝干涉的结果（称洛埃镜实验），平面镜沿OA放置，靠近并垂直于光屏.某同学重复此实验时，平面镜意外倾斜了某微小角度θ，如图所示.S为单色点光源.下列说法正确的是( )
A.沿AO向左略微平移平面镜，干涉条纹不移动
B.沿OA向右略微平移平面镜，干涉条纹间距减小
C.若θ＝0°，沿OA向右略微平移平面镜，干涉条纹间距不变
D.若θ＝0°，沿AO向左略微平移平面镜，干涉条纹向A处移动
【解析】 BC 根据题意画出光路图如图所示，
S发出的光与通过平面镜反射光（可以等效成虚像S′发出的光）是同一列光分成的，满足相干光条件.所以实验中的相干光源之一是通过平面镜反射的光，且该干涉可看成双缝干涉，设S与S′的距离为d，则d＝2a，S到光屏的距离为l，代入双缝干涉公式Δx＝，可得Δx＝.则若θ＝0°，沿OA向右（沿AO向左）略微平移平面镜，对l和d均没有影响，则干涉条纹间距不变，也不会移动，C正确，D错误；
同理再次画出光路图如图所示，
沿OA向右略微平移平面镜，即图中从①位置→②位置，由图可看出双缝的间距增大，则干涉条纹间距减小，沿AO向左略微平移平面镜，即图中从②位置→①位置，由图可看出干涉条纹向上移动，A错误，B正确.
【变式训练1】 （2024·广西卷）（多选）如图所示，S为单色光源，S发出的光一部分直接照在光屏上，一部分通过平面镜反射到光屏上.从平面镜反射的光相当于S在平面镜中的虚像发出的，由此形成了两个相干光源.设光源S到平面镜和到光屏的距离分别为a和l，a?l，镜面与光屏垂直，单色光波长为λ.下列说法正确的是( )
A.光屏上相邻两条亮条纹的中心间距为λ
B.光屏上相邻两条暗条纹的中心间距为λ
C.若将整套装置完全浸入折射率为n的蔗糖溶液中，此时单色光的波长变为nλ
D.若将整套装置完全浸入某种透明溶液中，光屏上相邻两条亮条纹的中心间距为Δx，则该液体的折射率为λ
【解析】 AD 根据光的反射对称性可知光源S与平面镜中的虚像距离为2a，根据条纹间距公式可知Δx＝λ＝λ，A正确、B错误；若将整套装置完全浸入折射率为n的蔗糖溶液中，光的频率不变，根据λf＝c，v＝λ1f＝，其中c为在真空中的光速，则λ1＝，C错误；若将整套装置完全没入某种透明溶液中，光屏上相邻两条亮条纹的中心间距为Δx，根据条纹间距公式有Δx＝λ2，可得λ2＝，结合C的分析可知λ2＝＝，所以n＝λ，D正确.
薄膜干涉
【例2】 （多选）肥皂膜的干涉条纹如图所示，条纹间距上面宽、下面窄.下列说法正确的是( )
A.过肥皂膜最高和最低点的截面一定不是梯形
B.肥皂膜上的条纹是前后表面反射光形成的干涉条纹
C.肥皂膜从形成到破裂，条纹的宽度和间距不会发生变化
D.将肥皂膜外金属环左侧的把柄向上转动90°，条纹也会跟着转动90°
【解析】 AB 肥皂膜因为自重会上面薄而下面厚，因表面张力的原因其截面应是一个圆滑的曲面而不是梯形，A正确；薄膜干涉是等厚干涉，其原因为肥皂膜上的条纹是前后表面反射光形成的干涉条纹，B正确；形成条纹的原因是前后表面的反射光叠加出现了振动加强点和振动减弱点，形成到破裂的过程上面越来越薄，下面越来越厚，因此出现加强点和减弱点的位置发生了变化，条纹宽度和间距发生变化，C错误；将肥皂膜外金属环左侧的把柄向上转动90°，由于重力，表面张力和粘滞力等的作用，肥皂膜的形状和厚度会重新分布，因此并不会跟着旋转90°，D错误.
【变式训练2】 如图甲所示，将一块平板玻璃a放置在另一玻璃板b上，在一端夹入两张纸片，当单色光从上方入射后，从上往下可以观察到如图乙所示的干涉条纹.则( )
A.任意相邻的亮条纹中心位置下方的空气膜厚度差相等
B.弯曲条纹对应位置的空气膜厚度不相等
C.若抽去一张纸片，条纹变密
D.干涉条纹是由a、b上表面反射的光叠加产生的
【解析】 A 光在空气膜中的光程差为Δx＝2d，即光程差为空气膜厚度的2倍，当光程差Δx＝nλ(n＝1，2…)时此处为亮条纹，当光程差为Δx＝（n＋）λ(n＝0，1，2…)时此处为暗条纹，所以任意相邻的亮条纹中心位置下方的空气膜厚度差相等，A正确；根据A的分析可知，弯曲条纹中心位置下方的空气膜厚度相等，B错误；当光程差Δx＝nλ(n＝1，2…)时此处为亮条纹，则相邻亮条纹之间的空气膜的厚度差为λ，显然抽去一张纸后空气膜的倾角变小，故相邻亮条纹之间的距离变大，干涉条纹变稀疏了，C错误；干涉条纹是由a的下表面和b的上表面反射的光叠加产生的，D错误.
考点二 光的衍射和偏振现象
1.单缝衍射与双缝干涉的比较
项目 单缝衍射 双缝干涉
不 同 点 条纹 宽度 条纹宽度不等，中央最宽 条纹宽度相等
条纹 间距 各相邻条纹间距不等 各相邻条纹等间距
亮度 情况 中央条纹最亮，两边变暗 条纹清晰，亮度基本相等
相同点 干涉、衍射都是波特有的现象，属于波的叠加；干涉、衍射都有明暗相间的条纹
2.光的干涉和衍射的本质
光的干涉和衍射都属于光的叠加，从本质上看，干涉条纹和衍射条纹的形成有相似的原理，都可认为是从单缝通过两列或多列频率相同的光波，在屏上叠加形成的.
3.光的偏振的理解
(1)自然光与偏振光的比较
类别 自然光（非偏振光） 偏振光
光的 来源 从普通光源发出的光 自然光通过起偏器后的光
光的振 动方向 在垂直于光的传播方向的平面内，光振动沿任意方向，且沿各个方向振动的光的强度相同 在垂直于光的传播方向的平面内，光振动沿特定方向
(2)偏振光的应用：加偏振滤光片的照相机镜头、液晶显示器、立体电影、消除车灯眩光等.
【例3】（多选）如下四幅图涉及不同的物理知识，则下列说法正确的是( )
A.甲图中的立体电影是利用了光的衍射现象
B.用乙图中的彩超仪器进行医学检测时利用了多普勒效应
C.丙图中肥皂泡上不同的颜色是光的干涉造成的
D.用丁图中镜头拍某些照片时为了增强反射光会在镜头前加偏振片
【解析】 BC 立体电影利用的是光的偏振，A错误；医院进行医学检测时用的彩超仪器，利用了超声波的多普勒效应，B正确；肥皂泡呈现彩色条纹是光的干涉现象，光在肥皂泡的内外表面反射形成的频率相同的光相互叠加，从而出现彩色条纹，C正确；在照相机镜头前加一个偏振片，能减弱反射光使像清晰，D错误.
【变式训练3】 下列有关光学现象说法正确的是( )
A.甲中荷叶上的露珠显得特别“明亮” 是由于水珠将光线会聚而形成的
B.乙中将双缝干涉实验中的双缝间距调小则干涉条纹间距变小
C.丙中用加有偏振滤光片的相机拍照，可以拍摄清楚汽车内部的情景
D.丁中肥皂膜在阳光下呈现彩色条纹是光的衍射现象
【解析】 C 甲中荷叶上的露珠显得特别“明亮”是由于水珠将光线全反射而形成的，A错误；在双缝干涉实验中，得到的条纹间距 Δx＝λ，若双缝间距调小，则条纹间距Δx变宽，B错误；在照相机镜头前加装偏振滤光片拍摄汽车内部的情景时，滤去了玻璃的反射光，使景像清晰，C正确；肥皂膜表面可看到彩色条纹，是因为肥皂膜的前后两面反射回来的两列光发生干涉时形成的彩色条纹，D错误.
考点三 电磁波
1.对麦克斯韦电磁场理论的理解
2.电磁波与机械波的比较
项目 电磁波 机械波
产生 由周期性变化的电场、磁场产生 由质点（波源）的振动产生
波的特点 横波 纵波或横波
波速 在真空中等于光速c＝3×108 m/s 在空气中不大（如声波波速在空气中一般为340 m/s）
是否需要 介质 不需要介质（在真空中仍可传播） 必须有介质（真空中不能传播）
能量传播 电磁能 机械能
【例4】（多选）无人驾驶汽车是通过车载传感系统感知道路环境，自动规划行车路线并控制车辆到达预定目标的智能汽车，国内外各大企业正在紧密布局发展之中.其核心设备是各种车载传感器，如图像传感器（可见光和红外摄像头）、超声波雷达、激光雷达以及毫米波雷达.以下关于各种光和波的说法正确的是( )
A.超声波和毫米波一样都能在真空中传播
B.红外线的光子能量比可见光的小
C.真空中激光的传播速度比毫米波的大
D.可见光能发生偏振现象，而超声波不一定能
【解析】 BD 毫米波是电磁波，能在真空中传播，而超声波不能在真空中传播，A错误；由于红外线的频率比可见光的频率低，根据光子能量公式可知，红外线的光子能量比可见光的小，B正确；由于激光和毫米波都是电磁波，所以真空中激光的传播速度与毫米波相同，C错误；可见光是电磁波，是横波，所以可见光能发生偏振现象，而当超声波是纵波时，不能发生偏振现象，D正确.
【变式训练4】 （多选）电磁波广泛应用在现代医疗中.下列属于电磁波应用的医用器械有( )
A.杀菌用的紫外灯
B.拍胸片的X光机
C.治疗咽喉炎的超声波雾化器
D.检查血流情况的彩超机
【解析】 AB 紫外灯的频率高，能量强，所以用于杀菌，属于电磁波的应用，A正确；X光的穿透能力较强，所以用于拍胸片，属于电磁波的应用，B正确；超声波雾化器是超声波的应用，与电磁波无关，C错误；彩超属于超声波的应用，与电磁波无关，D错误.
1.下列说法正确的是( )
A.用三棱镜观察太阳光谱是利用光的干涉现象
B.在光导纤维束内传送图像是利用光的全反射现象
C.用标准平面检查光学平面的平整程度是利用光的偏振现象
D.电视机遥控器是利用发出紫外线脉冲信号来变换频道的
【解析】 B 用三棱镜观察太阳光谱是利用同一种玻璃对不同的单色光的折射率不同，是白光通过三棱镜时发生了色散现象，故该操作是利用了光的折射原理，A错误；在光导纤维束内传送图像是利用了光的全反射现象，B正确；用标准平面检查光学平面的平整程度是利用薄膜干涉现象，C错误；电视机遥控器是利用发出红外线脉冲信号来变换频道的，D错误.
2.关于如图所示的甲、乙、丙、丁四幅图，下列说法正确的是( )
A.图甲为双缝干涉示意图，若换成频率更高的单色光照射双缝，则实验得到的条纹间距应该更大
B.图乙为在平静无风的海面上出现的“蜃景”，上方是蜃景，下方是景物
C.图丙为劈尖干涉的示意图，两玻璃片间垫有一些纸片，若从两玻璃片之间抽出部分纸片，则从上往下看可以观察到条纹间距变小
D.图丁所示为相机拍摄车前挡玻璃的照片，下图中能明显减弱汽车玻璃表面反射光是利用了薄膜干涉原理
【解析】 B 根据Δx＝，若改用频率较高的单色光照射，则波长变小，其他条件保持不变，则得到的干涉条纹间距将变小，A错误；海面附近的空气折射率从下到上逐渐减小，从远处的景物发出的光线射向海面时，由于不断被折射，越来越偏离法线方向，进入上层的入射角不断增大，以致发生全反射，光线反射回空气，人们逆着光线看去，就会看到远方的景物悬在空中，而产生了“蜃景”现象，那么上方是蜃景，下方是景物，B正确；抽去纸片后空气层的倾角变小，相当于减小了d，故相邻亮条纹（或暗条纹）之间的距离变大，干涉条纹间距变大，C错误；相机拍摄时减弱了玻璃表面的反射光，是在照相机镜头前增加偏振片过滤掉了反射的光，应用了偏振原理，D错误.
3.如图所示，关于薄膜干涉现象及其应用，下列说法正确的是( )
A.如图甲所示，竖直放置的肥皂液膜，来自前后两个面的反射光发生干涉，形成明暗相间的竖直条纹
B.如图乙所示，照相机的镜头表面常常镀一层透光膜，膜的外表面和玻璃表面反射的光发生干涉使镜头看起来有颜色，膜的厚度为光在膜中波长的
C.如图丙所示，利用光的干涉检查平整度，用单色光从上面照射，空气膜的上下两个表面反射的两列光波发生干涉，图中条纹弯曲说明此处是凹下的
D.如图丁所示，把一个凸透镜压在一块平面玻璃上，让单色光从上方射入，从上往下看凸透镜，可以看到等间距的明暗相间的圆环状条纹
【解析】 C 竖直放置的肥皂液膜，来自前后两个面的反射光发生干涉，由于同一水平线上的薄膜厚度近似相同，所以干涉后能产生水平的明暗条纹，A错误；照相机的镜头表面常常镀一层透光膜，从薄膜前后两表面反射的光发生干涉使镜头看起来有颜色，膜的厚度为光在膜中波长的，B错误；利用光的干涉检查平整度，用单色光从上面照射，空气膜的上下两个表面反射的两列光波发生干涉，根据条纹弯曲的方向，说明此处是凹下的，C正确；把一个凸透镜压在一块平面玻璃上，让单色光从上方射入，从上往下看凸透镜，由于凸透镜下表面是曲面，所以空气膜厚度越往外越厚，所以看到的明暗相间的圆环状条纹越往外越密，D错误.
4.双缝干涉实验装置的截面图如图所示.光源S到S1、S2的距离相等，O点为S1、S2连线中垂线与光屏的交点.光源S发出的波长为λ的光，经S1出射后垂直穿过玻璃片传播到O点，经S2出射后直接传播到O点，由S1到O点与由S2到O点，光传播的时间差为Δt.玻璃片厚度为10λ，玻璃对该波长光的折射率为1.5，空气中光速为c，不计光在玻璃片内的反射.以下判断正确的是( )
A.Δt＝ B.Δt＝
C.Δt＝ D.Δt＝
【解析】 A 光在玻璃中的传播速度为v＝，可知时间差Δt＝
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