(共34张PPT)
第七章 证明
7.3平行线的证明第2课时
01
教学目标
02
新知导入
03
新知探究
04
巩固训练
05
课堂小结
06
作业设计
01
教学目标
能以 “两直线平行，同位角相等” 为依据，证明平行线的内错角、同旁内角性质定理；理解 “平行于同一直线的两直线平行” 的证明思路，区分平行线的性质与判定；
01
通过推导性质定理，经历 “正向推导 + 初步感知反证法” 的过程，提升逆向思维与逻辑推理能力；
02
发展逻辑推理能力，形成 “性质证角相等、判定证线平行” 的应用意识；
03
体会逆向思维（反证法）的独特价值，感受平行线定理体系的严谨性，培养 “辨明条件结论，规范推理” 的科学态度。
04
02
新知导入
复习回顾：
1.平行线的判定方法有哪些？
2. 上节课我们用 “同位角相等，两直线平行” 证明了内错角、同旁内角的判定定理(已知角相等，证线平行)。反过来，若已知两直线平行，它们被第三条直线截得的同位角有什么关系？
相等，这是我们之前用的性质.
判定方法一(基本事实)：同位角相等，两直线平行；
判定方法二：内错角相等，两直线平行；
判定方法三：同旁内角互补，两直线平行.
02
新知导入
3.两直线平行，它们被第三条直线截得的同位角相等，但这个性质能直接作为证明依据吗？为什么？
不能，因为这个性质不是基本事实，需证明其正确性。
03
新知探究
思考：如果∠1≠∠2，AB与CD的位置关系会怎样呢？
思考：根据“两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等”。你能作出相关的图形吗
已知：如图7-9，直线AB∥CD,∠1和∠2是直线AB,CD被直线EF截出的同位角。
求证：∠1=∠2。
不平行
03
新知探究
证明：假设∠1≠∠2，那么我们可以过点M作直线GH，使∠EMH＝∠2，如图7-10所示．
根据“同位角相等，两直线平行”，可知GH∥CD．
又因为AB∥CD，这样经过点M存在两条直线AB和GH都与直线CD平行.
这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾．
这说明∠1≠∠2的假设不成立，
所以∠1＝∠2.
03
新知探究
平行线的性质定理1:两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等。
简述为:两直线平行,同位角相等。
应用格式：
∵AB||CD,
∴∠1=∠2.
概括
有时,直接证明很困难,我们就证明命题的另一面不成立。也就是假设结论的反面不成立,推导出与已知条件、定理、基本事实矛盾,那么所作的假设不成立,原命题成立。
方法总结
03
新知探究
03
新知探究
思考：在上一节中,我们利用“同位角相等,两直线平行”推出了“内错角相等,两直线平行”,类似地,已知两直线平行,同位角相等,能否得到内错角之间的数量关系呢
已知:如图7-11所示,直线11||12,∠1和∠2是直线l1,l2被直线l截出的内错角。
求证:∠1=∠2。
分析：由条件11||12可以得到哪些角的等量关系，这些等量关系中的角与∠1，∠2有什么联系？
03
新知探究
证明：11||12(已知)，
∴∠1=∠3(两直线平行，同位角相等)。
又：∠2=∠3(对顶角相等)，
∴∠1=∠2(等量代换)。
03
新知探究
平行线的性质定理2:两条平行直线被第三条直线所截,内错角相等。
简述为:两直线平行,内错角相等。
应用格式：
∵11||12
∴∠1=∠2
概括
03
新知探究
解:∵a∥b(已知),
∴∠1=∠2(两直线平行,同位角相等)。
∵∠1+∠4=180 °(补角的性质),
∴∠2+∠4=180 °(等量代换)。
思考:类似地,已知两直线平行,能否得到同旁内角之间的数量关系呢
如图所示,已知a∥b,那么∠2与∠4有什么关系呢 为什么呢
03
新知探究
平行线的性质定理3:两条平行直线被第三条直线所截,同旁内角互补。
简述为:两直线平行,同旁内角互补。
概括
平行线的性质定理:
平行线的性质定理1：两直线平行，同位角相等；
平行线的性质定理2：两直线平行，内错角相等；
平行线的性质定理3：两直线平行，同旁内角互补.
方法总结
03
新知探究
03
新知探究
它们的条件和结论的互换。
平行线的性质定理是已知两直线平行,得到角的关系;
而判定定理是已知角的关系,得到两直线平行。
思考:平行线的性质定理与判定定理在条件和结论方面有什么关系？
分析
由条件b∥a,c∥a可以得到哪些等量关系？为了证明b∥c需要怎样的等量关系？
已知：如图7-12，b∥a，c∥a，∠1，∠2，∠3是直线a，b，c被直线d截出的同位角．
求证：b∥c.
例
03
新知探究
解析
证明：∵b∥a(已知)，
∴∠2＝∠1(两直线平行，同位角相等)．
∵c∥a(已知)，
∴∠3＝∠1(两直线平行，同位角相等)．
∴∠2＝∠3(等量代换)．
∴b∥c(同位角相等，两直线平行).
03
新知探究
03
新知探究
一般地，我们有如下定理：
定理：平行于同一条直线的两条直线平行。
应用格式：
∵b∥a,c∥a,
∴b∥c.
概括
03
新知探究
(1) 证明一个命题的一般步骤
①根据命题,找出命题的条件和结论;
②根据命题画出图形,写出已知、求证;
③从已知条件出发,根据基本事实、定义、等式的性质等,演绎推理出结论。
回顾反思：
(1)回顾前面的证明过程，你认为完成一个命题的证明，需要哪些主要环节？
(2)对于证明思路的分析，你积累了哪些经验？
03
新知探究
(2)依据匹配原则：若已知 “两直线平行”，优先用性质定理推导角的关系(如同位角 / 内错角相等)；若需证明 “两直线平行”，优先用判定定理，从角的关系(相等 / 互补)切入。
转化思维应用：遇内错角、同旁内角问题，可通过对顶角相等、补角定义等，转化为已证的同位角关系，依托 “两直线平行，同位角相等” 推导。
避免混淆技巧：明确 “性质是‘线→角’(证角用)，判定是‘角→线’(证线用)”，每步标注依据时，先判断是 “用性质” 还是 “用判定”，再对应选择定理。
2.如图,已知a∥b,l与a,b相交。若∠1=70°,则∠2的度数等于 ( )
A.120° B.110° C.100° D.70°
04
巩固训练
D
B
1.如图,一条公路两次转弯后又回到与原来相同的方向,∠A=130°,那么∠B的度数是 ( )
A.160° B.150° C.140° D.130°
3.如图,AB∥CD,CE平分∠BCD,∠B=36°,则∠DCE等于 ( )
A.18° B.36° C.45° D.54°
A
5.如图,AB∥CD,BC∥ED,∠B=80°,则∠D= °。
4.一杆古秤在称物时的状态如图所示,已知∠1=102°,则∠2的度数为 。
78°
100
04
巩固训练
证明:∵∠1=∠2,∠2=∠3,
∴∠1=∠3。
∴BD∥CE。
∴∠C=∠DBA。
∵∠C=∠D,
∴∠D=∠DBA。
∴DF∥AC。
∴∠A=∠F。
6.如图,已知B,E分别是AC,DF上一点,∠1=∠2,∠C=∠D。
求证:∠A=∠F。
04
巩固训练
05
课堂小结
通过本节课的学习你收获了什么？
平行线性质定理
定理 1：两直线平行，同位角相等(反证法证明)；
定理 2：两直线平行，内错角相等(转化为同位角，用定理 1 推导)；
定理 3：两直线平行，同旁内角互补(转化为同位角，用定理 1 + 补角定义推导)；
推论：平行于同一直线的两条直线平行(性质 + 判定综合证明)。
反证法初步
逻辑：假设结论不成立→推导与基本事实 / 定理矛盾→否定假设，确认原结论成立。
性质与判定辨析
性质：条件是 “两直线平行”，结论是 “角相等 / 互补”，用于 “由线推角”；
判定：条件是 “角相等 / 互补”，结论是 “两直线平行”，用于 “由角推线”。
2.光线在不同介质中的传播速度是不同的,因此光线从水中斜射向空气时,要发生折射。由于折射率相同,所以在水中平行的光线,在空气中也是平行的。如图,∠1=45°,∠2=120°,则∠3+∠4的度数为 ( )
A.165° B.155° C.105° D.90°
1.如图,AB∥CD,EF∥GH,∠1=60°,则∠2补角的度数为 ( )
A.60° B.100° C.110° D.120°
06
作业设计
基础达标：
D
C
3.如图,直线m∥n,△ABC是直角三角形,∠B=90°,点C在直线n上。若∠1=50°,则∠2的度数是 ( )
A.60° B.50° C.45° D.40°
06
作业设计
D
基础达标：
4.如图,有一条直的等宽纸带,按图折叠时形成一个30°的角,则重叠部分的∠α等于 ( )
A.75° B.70° C.65° D.60°
A
06
作业设计
能力提升：
5.图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图,图2是其示意图,其中AB,CD都与地面l平行,∠BCD=60°,∠BAC=54°。当AM∥CB时,∠MAC的度数为 ( )
A.16° B.60° C.66° D.114°
C
6.某些灯具的设计原理与抛物线有关。如图,从点O照射到抛物线上的光线OA,OB等反射后都沿着与PQ平行的方向射出。若∠AOB=150°,∠OBD=90°,则∠OAC= °。
60
7.如图所示是地球截面图,其中AB,EF分别表示南回归线和北回归线,CD表示赤道,点P表示太原市的位置。现已知地球南回归线的纬度是南纬23°26'(∠BOD=23°26'),太原市的纬度是北纬37°32'(∠POD=37°32'),而冬至正午时,太阳光直射南回归线(光线MB的延长线经过地心O),则太原市冬至正午时,太阳光线与地面水平线PQ的夹角∠α的度数是 。
06
作业设计
能力提升：
06
作业设计
能力提升：
证明:∵AB∥CD,
∴∠BAD=∠D。
∵AD∥CE,
∴∠D=∠C,∠DAE=∠E。
∴∠BAD=∠C。
∴∠BAE=∠BAD+∠DAE=∠C+∠E。
8.如图,已知AB∥CD,AD∥CE。
求证:∠BAE=∠C+∠E。
06
作业设计
迁移拓展：
9.如图,已知∠A=90°+x°,∠B=90°-x°,∠CED=90°,4∠C-∠D=30°,射线EF∥AC。
(1)判断射线EF与BD的位置关系,并说明理由;
(2)求∠C,∠D的度数。
解:(1)EF∥BD。理由如下:
∵∠A+∠B=90°+x°+90°-x°=180°,
∴AC∥BD。
∵EF∥AC,
∴EF∥BD。
06
作业设计
迁移拓展：
(2)∵AC∥EF∥BD,
∴∠CEF=∠C,∠DEF=∠D。
∵∠CED=∠CEF+∠DEF=90°,
∴∠C+∠D=90°。
联立解得
∴∠C的度数是24°,∠D的度数是66°。
Thanks!
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/fine中小学教育资源及组卷应用平台
分课时学案
课题 7.3平行线的证明第2课时 单元 第七单元 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1.能以 “两直线平行，同位角相等” 为依据，证明平行线的内错角、同旁内角性质定理；理解 “平行于同一直线的两直线平行” 的证明思路，区分平行线的性质与判定； 2.通过推导性质定理，经历 “正向推导 + 初步感知反证法” 的过程，提升逆向思维与逻辑推理能力； 3.发展逻辑推理能力，形成 “性质证角相等、判定证线平行” 的应用意识； 4.体会逆向思维（反证法）的独特价值，感受平行线定理体系的严谨性，培养 “辨明条件结论，规范推理” 的科学态度。
重点 1.以 “两直线平行，同位角相等” 为依据，证明 “两直线平行，内错角相等”“两直线平行，同旁内角互补”； 2.区分平行线的性质与判定，并规范书写证明过程。
难点 1.初步理解反证法的 “假设结论不成立—推出矛盾—否定假设” 逻辑； 2.综合运用平行线的性质与判定，证明 “平行于同一直线的两条直线平行”，避免性质与判定的混淆使用。
教学过程
导入新课 复习回顾 （1）平行线的判定方法有哪些？ （2）上节课我们用 “同位角相等，两直线平行” 证明了内错角、同旁内角的判定定理（已知角相等，证线平行）。反过来，若已知两直线平行（如黑板上下边缘平行），它们被第三条直线截得的同位角有什么关系？ （3）但这个性质能直接作为证明依据吗？为什么？
新知讲解 探究活动一： 思考：根据“两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等”。你能作出相关的图形吗？ 已知：如图7-9，直线AB∥CD，∠1和∠2是直线AB，CD被直线EF截出的同位角。 求证：∠1=∠2。 思考：如果∠1≠∠2，AB与CD的位置关系会怎样呢？ 探究活动二： 思考：在上一节中，我们利用“同位角相等，两直线平行”推出了“内错角相等，两直线平行”，类似地，已知两直线平行，同位角相等，能否得到内错角之间的数量关系呢？ 已知：如图7-11所示，直线l1∥l2，∠1和∠2是直线l1，l2被直线l截出的内错角。 求证：∠1=∠2。 思考：类似地，已知两直线平行，能否得到同旁内角之间的数量关系呢？ 如图所示，已知a∥b，那么∠2与∠4有什么关系呢？为什么呢？ 探究活动三： 例题精讲： 例 已知：如图7-12，b∥a，c∥a，∠1，∠2，∠3是直线a，b，c被直线d截出的同位角． 求证：b∥c. 探究活动四： 回顾反思： (1)回顾前面的证明过程，你认为完成一个命题的证明，需要哪些主要环节？ (2)对于证明思路的分析，你积累了哪些经验？
课堂练习 巩固训练 1.如图，一条公路两次转弯后又回到与原来相同的方向，∠A=130°，那么∠B的度数是 ( ) A.160°B.150°C.140°D.130° 2.如图，已知a∥b，l与a，b相交。若∠1=70°，则∠2的度数等于 ( ) A.120°B.110°C.100°D.70° 3.如图，AB∥CD，CE平分∠BCD，∠B=36°，则∠DCE等于 ( ) A.18°B.36°C.45°D.54° 4.一杆古秤在称物时的状态如图所示，已知∠1=102°，则∠2的度数为 。 5.如图，AB∥CD，BC∥ED，∠B=80°，则∠D= °。 6.如图，已知B，E分别是AC，DF上一点，∠1=∠2，∠C=∠D。 求证：∠A=∠F。
作业布置 基础达标： 1.如图，AB∥CD，EF∥GH，∠1=60°，则∠2补角的度数为 ( ) A.60° B.100° C.110° D.120° 2.光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中斜射向空气时，要发生折射。由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的。如图，∠1=45°，∠2=120°，则∠3+∠4的度数为 ( ) A.165° B.155° C.105° D.90° 3.如图，直线m∥n，△ABC是直角三角形，∠B=90°，点C在直线n上。若∠1=50°，则∠2的度数是 ( ) A.60° B.50° C.45° D.40° 4.如图，有一条直的等宽纸带，按图折叠时形成一个30°的角，则重叠部分的∠α等于 ( ) A.75° B.70° C.65° D.60° 能力提升： 5.图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中AB，CD都与地面l平行，∠BCD=60°，∠BAC=54°。当AM∥CB时，∠MAC的度数为 ( ) 图1 图2 A.16° B.60° C.66° D.114° 6.某些灯具的设计原理与抛物线有关。如图，从点O照射到抛物线上的光线OA，OB等反射后都沿着与PQ平行的方向射出。若∠AOB=150°，∠OBD=90°，则∠OAC= °。 7如图所示是地球截面图，其中AB，EF分别表示南回归线和北回归线，CD表示赤道，点P表示太原市的位置。现已知地球南回归线的纬度是南纬23°26'(∠BOD=23°26')，太原市的纬度是北纬37°32'(∠POD=37°32')，而冬至正午时，太阳光直射南回归线(光线MB的延长线经过地心O)，则太原市冬至正午时，太阳光线与地面水平线PQ的夹角∠α的度数是 。 8.如图，已知AB∥CD，AD∥CE。 求证：∠BAE=∠C+∠E。 拓展迁移： 9.如图，已知∠A=90°+x°，∠B=90°-x°，∠CED=90°，4∠C-∠D=30°，射线EF∥AC。 (1)判断射线EF与BD的位置关系，并说明理由; (2)求∠C，∠D的度数。
参考答案：
例题精讲：
例：
证明：∵b∥a(已知)，
∴∠2＝∠1(两直线平行，同位角相等)．
∵c∥a(已知)，
∴∠3＝∠1(两直线平行，同位角相等)．
∴∠2＝∠3(等量代换)．
∴b∥c(同位角相等，两直线平行).
巩固训练：
1.D 2.B 3.A 4.78° 5.100
6.证明：∵∠1=∠2，∠2=∠3，∴∠1=∠3。
∴BD∥CE。∴∠C=∠DBA。
∵∠C=∠D，∴∠D=∠DBA。
∴DF∥AC。∴∠A=∠F。
作业设计：
1.D
2.C 解析：∵在水中平行的光线，在空气中也是平行的，∠1=45°，∴∠3=∠1=45°。∵水面与杯底面平行，∠2=120°，∴∠4=180°-∠2=60°。∴∠3+∠4=105°。故选C。
3.D 解析：如图，延长AB交直线n于点D。∵m∥n，∠1=50°，∴∠BDC=∠1=50°。∵∠ABC=90°，∴∠CBD=90°。∴∠2=90°-∠BDC=90°-50°=40°。故选D。
4.A 解析：如图。∵纸带的两边互相平行，∴∠2=30°。由翻折的性质可知，∠1=∠α，∴∠α==75°。故选A。
5.C 解析：∵AB，CD都与地面l平行，∴AB∥CD。∴∠BAC+∠ACD=180°。∴∠BAC+∠ACB+∠BCD=180°。∵∠BCD=60°，∠BAC=54°，∴∠ACB=180°-∠BAC-∠BCD=66°。∵AM∥CB，∴∠MAC=∠ACB=66°。故选C。
6.60 解析：∵PQ∥BD，∴∠POB=∠OBD=90°。∵∠AOB=150°，∴∠AOP=∠AOB-∠POB=150°-90°=60°。∵AC∥PQ，∴∠OAC=∠AOP=60°。
7.29°2' 解析：∵∠BOD=23°26'，∠POD=37°32'，∴∠MOP=23°26'+37°32'=60°58'。∵MO∥NP，∴∠MOP+∠NPO=180°。∴∠NPO=180°-60°58'=119°2'。∴∠α=119°2'-90°=29°2'。
8.证明：∵AB∥CD，∴∠BAD=∠D。
∵AD∥CE，
∴∠D=∠C，∠DAE=∠E。
∴∠BAD=∠C。
∴∠BAE=∠BAD+∠DAE=∠C+∠E。
9.解：(1)EF∥BD。理由如下：
∵∠A+∠B=90°+x°+90°-x°=180°，
∴AC∥BD。
∵EF∥AC，∴EF∥BD。
(2)∵AC∥EF∥BD，
∴∠CEF=∠C，∠DEF=∠D。
∵∠CED=∠CEF+∠DEF=90°，
∴∠C+∠D=90°。
联立解得
∴∠C的度数是24°，∠D的度数是66°。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
7.3平行线的证明第2课时教学设计
学科 数学 年级 八年级 课型 新授课 单元 七单元
课题 7.3平行线的证明第2课时 课时 1
课标要求 本节课需落实 “图形与几何” 领域核心素养：理解平行线性质定理(两直线平行，同位角 / 内错角相等、同旁内角互补)的证明逻辑，初步感知反证法的 “假设 — 矛盾 — 否定假设” 思路；能区分平行线的性质与判定(条件、结论的逆向关系)，并以性质定理为依据证明 “平行于同一直线的两条直线平行”；掌握几何证明的规范书写，确保推理链条完整(依据为基本事实、定义、已证定理)；经历 “逆向思考 — 严谨证明 — 辨析应用” 的过程，发展逻辑推理能力与逆向思维，为后续三角形内角和、四边形性质的证明奠定基础，契合新课标 “构建几何定理体系，培养严谨思维” 的要求。
教材分析 本节课是上一课时 “平行线判定定理证明” 的逆向延伸，聚焦 “平行线性质定理的推导与应用”，是几何证明中 “逆向思维” 的首次集中体现。教材以 “探索过的平行线性质” 为起点，突破传统正向证明思路，用反证法证明核心定理 “两直线平行，同位角相等”(选学但需渗透思路)；再以该定理为依据，正向推导 “内错角相等”“同旁内角互补” 两个性质定理，强化 “转化思想”(内错角→同位角、同旁内角→同位角)；最后通过 “平行于同一直线的两直线平行” 的证明，实现 “性质与判定的综合应用”。既完善平行线的定理体系，又渗透反证法这一特殊证明方法，体现新课标 “多元证明思路，深化逻辑理解” 的编写理念。
学情分析 学生已具备两大基础：一是能熟练应用平行线性质解决计算问题，但未思考 “性质为何成立”；二是掌握正向证明思路，但对反证法的 “假设矛盾” 逻辑完全陌生，易陷入 “为何要假设结论不成立” 的困惑。此外，学生易混淆性质与判定的 “条件” 和 “结论”，且证明 “平行于同一直线的两直线平行” 时，难以同时关联 “性质定理(得角相等)” 与 “判定定理(用角相等证平行)” 的综合应用，个体差异集中在 “反证法思路理解” 与 “性质 / 判定的辨析应用” 上。
教学目标 1.能以 “两直线平行，同位角相等” 为依据，证明平行线的内错角、同旁内角性质定理；理解 “平行于同一直线的两直线平行” 的证明思路，区分平行线的性质与判定； 2.通过推导性质定理，经历 “正向推导 + 初步感知反证法” 的过程，提升逆向思维与逻辑推理能力； 3.发展逻辑推理能力，形成 “性质证角相等、判定证线平行” 的应用意识； 4.体会逆向思维(反证法)的独特价值，感受平行线定理体系的严谨性，培养 “辨明条件结论，规范推理” 的科学态度。
教学重点 1.以 “两直线平行，同位角相等” 为依据，证明 “两直线平行，内错角相等”“两直线平行，同旁内角互补”； 2.区分平行线的性质与判定，并规范书写证明过程。
教学难点 1.初步理解反证法的 “假设结论不成立—推出矛盾—否定假设” 逻辑； 2.综合运用平行线的性质与判定，证明 “平行于同一直线的两条直线平行”，避免性质与判定的混淆使用。
教法与学法分析 教法采用 “逆向设问 + 分层引导”：以 “若两直线平行，同位角不等会怎样？” 引发反证法思考，分层拆解性质定理证明的 “找角关系 — 用依据 — 写步骤”；学法以 “小组讨论 + 对比辨析” 为主，小组探究反证法的矛盾点，对比性质与判定的条件结论(列表梳理)，在互动中突破混淆，契合新课标 “学生主体、深度探究” 理念。
教学过程
教学步骤 教学主要内容 教师活动 学生活动 设计意图
环节一：依标靠本，独立研学 复习回顾 平行线的判定方法有哪些？ 判定方法一(基本事实)：同位角相等，两直线平行； 判定方法二：内错角相等，两直线平行； 判定方法三：同旁内角互补，两直线平行. 上节课我们用 “同位角相等，两直线平行” 证明了内错角、同旁内角的判定定理(已知角相等，证线平行)。反过来，若已知两直线平行，它们被第三条直线截得的同位角有什么关系？ 答案：相等，这是我们之前用的性质， (3)但这个性质能直接作为证明依据吗？为什么？ 答案：不能，需证明其正确性。 提问平行线判定方法，引导对比 “判定(角→线)” 与 “性质(线→角)” 的逆向关系，明确性质需证明。 回忆 3 种判定方法，发现 “已知平行证角关系” 需验证，不能直接使用，明确本节课证明目标。 衔接判定定理，引发逆向思考，为性质定理推导铺垫。
探究活动一： 思考：根据“两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等”。你能作出相关的图形吗？ 已知：如图7-9，直线AB∥CD，∠1和∠2是直线AB，CD被直线EF截出的同位角。 求证：∠1=∠2。 思考：如果∠1≠∠2，AB与CD的位置关系会怎样呢？ 证明：假设∠1≠∠2，那么我们可以过点M作直线GH，使∠EMH＝∠2，如图7-10所示． 根据“同位角相等，两直线平行”，可知GH∥CD． 又因为AB∥CD，这样经过点M存在两条直线AB和GH都与直线CD平行. 这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾． 这说明∠1≠∠2的假设不成立， 所以∠1＝∠2. 平行线的性质定理1：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等。 简述为：两直线平行，同位角相等。 应用格式： ∵AB||CD， ∴∠1=∠2. 总结：有时，直接证明很困难，我们就证明命题的另一面不成立。也就是假设结论的反面不成立，推导出与已知条件、定理、基本事实矛盾，那么所作的假设不成立，原命题成立。 呈现 “两直线平行，同位角相等” 的证明任务，用 “若同位角不等会怎样” 引导假设，拆解反证法逻辑。 跟随推导，理解 “假设→推矛盾(过一点两线平行)→否定假设”，初步感知反证法，完成证明书写。 突破反证法难点，落实首个性质定理证明，培养逆向思维。
环节二：同伴分享，互助研学 探究活动二： 思考：在上一节中，我们利用“同位角相等，两直线平行”推出了“内错角相等，两直线平行”，类似地，已知两直线平行，同位角相等，能否得到内错角之间的数量关系呢？ 已知：如图7-11所示，直线l1∥l2，∠1和∠2是直线l1，l2被直线l截出的内错角。 求证：∠1=∠2。 分析：由条件11||12可以得到哪些角的等量关系，这些等量关系中的角与∠1，∠2有什么联系？ 证明：11||12(已知)， ∴∠1=∠3(两直线平行，同位角相等)。 又：∠2=∠3(对顶角相等)， ∴∠1=∠2(等量代换)。 因此可以得到： 平行线的性质定理2：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等。 简述为：两直线平行，内错角相等。 应用格式： ∵11||12 ∴∠1=∠2 思考：类似地，已知两直线平行，能否得到同旁内角之间的数量关系呢？ 如图所示，已知a∥b，那么∠2与∠4有什么关系呢？为什么呢？ 解：∵a∥b(已知)， ∴∠1=∠2(两直线平行，同位角相等)。 ∵∠1+∠4=180 °(补角的性质)， ∴∠2+∠4=180 °(等量代换)。 平行线的性质定理3：两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补。 简述为：两直线平行，同旁内角互补。 归纳总结：平行线的性质定理有哪些？ 平行线的性质定理1：两直线平行，同位角相等； 平行线的性质定理2：两直线平行，内错角相等； 平行线的性质定理3：两直线平行，同旁内角互补. 思考：平行线的性质定理与判定定理在条件和结论方面有什么关系？ 条件和结论的互换。平行线的性质定理是已知两直线平行，得到角的关系；而判定定理是已知角的关系，得到两直线平行。 引导用 “同位角相等” 推导内错角、同旁内角性质，提示利用对顶角、补角定义转化角关系。 自主将内错角转化为同位角(对顶角相等)、同旁内角转化为同位角(补角定义)，完成证明，归纳 3 条性质定理。 迁移转化思想，掌握后两条性质定理，强化 “依据已有定理推导” 的逻辑。
环节三：全班展学，互动深入 探究活动三： 例题精讲： 例 已知：如图7-12，b∥a，c∥a，∠1，∠2，∠3是直线a，b，c被直线d截出的同位角． 求证：b∥c. 分析：由条件b∥a，c∥a可以得到哪些等量关系？为了证明b∥c需要怎样的等量关系？ 证明：∵b∥a(已知)， ∴∠2＝∠1(两直线平行，同位角相等)． ∵c∥a(已知)， ∴∠3＝∠1(两直线平行，同位角相等)． ∴∠2＝∠3(等量代换)． ∴b∥c(同位角相等，两直线平行). 总结归纳： 一般地，我们有如下定理： 定理：平行于同一条直线的两条直线平行。 应用格式： ∵b∥a，c∥a， ∴b∥c. 布置 “b∥a，c∥a，求证 b∥c” 任务，引导用性质定理得角相等，再用判定定理证平行。 通过 “b∥a 得∠2=∠1，c∥a 得∠3=∠1” 推∠2=∠3，用 “同位角相等证 b∥c”，掌握性质与判定的综合应用 综合应用性质与判定，落实 “平行传递性” 定理，突破混淆难点。
环节四：拓展应用 探究活动四： 回顾反思： (1)回顾前面的证明过程，你认为完成一个命题的证明，需要哪些主要环节？ (2)对于证明思路的分析，你积累了哪些经验？ (1) 证明一个命题的一般步骤 ①根据命题，找出命题的条件和结论； ②根据命题画出图形，写出已知、求证； ③从已知条件出发，根据基本事实、定义、等式的性质等，演绎推理出结论。 (2)依据匹配原则：若已知 “两直线平行”，优先用性质定理推导角的关系(如同位角 / 内错角相等)；若需证明 “两直线平行”，优先用判定定理，从角的关系(相等 / 互补)切入。 转化思维应用：遇内错角、同旁内角问题，可通过对顶角相等、补角定义等，转化为已证的同位角关系，依托 “两直线平行，同位角相等” 推导。 避免混淆技巧：明确 “性质是‘线→角’(证角用)，判定是‘角→线’(证线用)”，每步标注依据时，先判断是 “用性质” 还是 “用判定”，再对应选择定理。 提问证明命题的核心环节与思路分析经验，引导总结通用步骤与易错点 梳理 “找条件结论→画图解已知求证→依依据推结论” 步骤，分享 “遇平行先想性质，证平行用判定” 的经验。 提炼证明通用方法，形成系统思维，为后续复杂证明奠基。
环节五：巩固内化，拓展延伸 巩固训练 1.如图，一条公路两次转弯后又回到与原来相同的方向，∠A=130°，那么∠B的度数是 ( ) A.160°B.150°C.140°D.130° 2.如图，已知a∥b，l与a，b相交。若∠1=70°，则∠2的度数等于 ( ) A.120°B.110°C.100°D.70° 3.如图，AB∥CD，CE平分∠BCD，∠B=36°，则∠DCE等于 ( ) A.18°B.36°C.45°D.54° 4.一杆古秤在称物时的状态如图所示，已知∠1=102°，则∠2的度数为 。 5.如图，AB∥CD，BC∥ED，∠B=80°，则∠D= °。 6.如图，已知B，E分别是AC，DF上一点，∠1=∠2，∠C=∠D。 求证：∠A=∠F。 巡视课堂迅速掌握学情 当堂小测，用所学知识解决问题，学生代表回答。 学以致用，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的
课堂小结 通过本节课的学习你收获了什么？ 平行线性质定理 定理 1：两直线平行，同位角相等(反证法证明)； 定理 2：两直线平行，内错角相等(转化为同位角，用定理 1 推导)； 定理 3：两直线平行，同旁内角互补(转化为同位角，用定理 1 + 补角定义推导)； 推论：平行于同一直线的两条直线平行(性质 + 判定综合证明)。 反证法初步 逻辑：假设结论不成立→推导与基本事实 / 定理矛盾→否定假设，确认原结论成立。 性质与判定辨析 性质：条件是 “两直线平行”，结论是 “角相等 / 互补”，用于 “由线推角”； 判定：条件是 “角相等 / 互补”，结论是 “两直线平行”，用于 “由角推线”。 教师以提问的形式小结 学生思考自由回答，自我小结 课堂小结可以帮助学生理清所学知识的层次结构，掌握其外在的形式和内在联系，形成知识系列及一定的结构框架。
板书设计 7.3平行线的证明第2课时 平行线的性质定理1： 平行线的性质定理2： 平行线的性质定理3： 平行线性质定理推论： 性质与判定 例题： 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计 基础达标： 1.如图，AB∥CD，EF∥GH，∠1=60°，则∠2补角的度数为 ( ) A.60° B.100° C.110° D.120° 2.光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中斜射向空气时，要发生折射。由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的。如图，∠1=45°，∠2=120°，则∠3+∠4的度数为 ( ) A.165° B.155° C.105° D.90° 3.如图，直线m∥n，△ABC是直角三角形，∠B=90°，点C在直线n上。若∠1=50°，则∠2的度数是 ( ) A.60° B.50° C.45° D.40° 4.如图，有一条直的等宽纸带，按图折叠时形成一个30°的角，则重叠部分的∠α等于 ( ) A.75° B.70° C.65° D.60° 能力提升： 5.图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中AB，CD都与地面l平行，∠BCD=60°，∠BAC=54°。当AM∥CB时，∠MAC的度数为 ( ) A.16° B.60° C.66° D.114° 6.某些灯具的设计原理与抛物线有关。如图，从点O照射到抛物线上的光线OA，OB等反射后都沿着与PQ平行的方向射出。若∠AOB=150°，∠OBD=90°，则∠OAC= °。 7如图所示是地球截面图，其中AB，EF分别表示南回归线和北回归线，CD表示赤道，点P表示太原市的位置。现已知地球南回归线的纬度是南纬23°26'(∠BOD=23°26')，太原市的纬度是北纬37°32'(∠POD=37°32')，而冬至正午时，太阳光直射南回归线(光线MB的延长线经过地心O)，则太原市冬至正午时，太阳光线与地面水平线PQ的夹角∠α的度数是 。 8.如图，已知AB∥CD，AD∥CE。 求证：∠BAE=∠C+∠E。 拓展迁移： 9.如图，已知∠A=90°+x°，∠B=90°-x°，∠CED=90°，4∠C-∠D=30°，射线EF∥AC。 (1)判断射线EF与BD的位置关系，并说明理由； (2)求∠C，∠D的度数。
教学反思 本节课通过逆向设问有效渗透反证法思路，多数学生能掌握性质定理的正向证明，且对性质与判定的区分有进步，但存在两点不足：一是部分学生对反证法的 “矛盾点” 理解仍模糊，仅记住 “假设 — 矛盾” 流程，未真正明白 “为何矛盾就能否定假设”，需后续用 “证明‘垂直于同一直线的两直线平行’” 等简单案例再渗透；二是综合应用时仍有混淆，如证明 “b∥c”(b∥a，c∥a)时，误将“∠2=∠1”的依据写成 “同位角相等，两直线平行”(应为性质定理)。后续需设计 “性质与判定辨析专项练习”，并制作 “平行线定理对比表”(条件、结论、用途)，帮助学生夯实认知，为后续复杂几何证明做好铺垫。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
