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分课时学案
课题 7.3平行线的证明第1课时 单元 第七单元 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1.能以 “同位角相等，两直线平行” 为依据，证明 “内错角相等，两直线平行”“同旁内角互补，两直线平行”；掌握几何证明的规范书写，准确标注推理依据； 2.通过推导平行线判定定理，经历 “文字定理→图形语言→符号语言→证明推理” 的转化过程，提升几何语言转化与逻辑推理能力； 3.发展逻辑推理能力，初步形成 “将未知条件转化为已知基本事实” 的证明思维； 4.体会几何证明的严谨性与转化思想的价值，感受 “从直观结论到理性证明” 的数学思维进阶，培养科学探究精神。
重点 1.以 “同位角相等，两直线平行” 为基本事实，证明 “内错角相等，两直线平行”“同旁内角互补，两直线平行”； 2.规范书写几何证明过程，确保每步推理均对应明确依据（基本事实、定义、已证定理）。
难点 构建 “未知判定条件（内错角、同旁内角）转化为已知基本事实（同位角）” 的证明思路，理解 “对顶角相等”“互补定义”“等式性质” 在转化中的桥梁作用，避免推理步骤跳跃。
教学过程
导入新课 复习回顾 (1)上节课我们明确 “证明需基于基本事实、定义、已证定理”，其中平行线判定的基本事实是什么？ (2)我们还知道 “内错角相等时两直线也平行”，这个结论能直接用吗？为什么？
新知讲解 探究活动一： 前面我们探索过直线平行的哪些条件？利用“同位角相等，两直线平行”这个基本事实，你能证明它们吗？试一试。 已知：如图7-6所示，∠1和∠2是直线a，b被直线c截出的内错角，且∠1=∠2。 求证:a∥b。 探究活动二： “两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行”这个命题也正确吗？说明理由。 已知：如图7-7，∠1和∠2是直线a，b被直线c截出的同旁内角，且∠1与∠2互补。 求证:a∥b。 探究活动三： 思考·交流 (1)我们可以用图7-8的方法画出平行线，你能说说其中的道理吗？ (2)在一张不规则的四边形纸片上折出平行线，并予以证明；与同伴交流各自的折纸方法与证明过程。 探究活动四： 例题精讲： 【例3】如图，一个由4条线段构成的“鱼”形图案，其中∠1＝50°，∠2＝50°，∠3＝130° ，找出图中的平行线，并说明理由．
课堂练习 巩固训练 1.如图，已知∠1=∠2，则有 ( ) A.AB∥CD B.AE∥DF C.AB∥CD且AE∥DF D.以上都不对 2.下列图形中，由∠1=∠2能得到AB∥CD的是 ( ) 3.如图，可以得到DE∥BC的条件是 ( ) A.∠ACB=∠BAC B.∠ABC+∠BAE=180° C.∠ACB+∠BAD=180° D.∠ACB=∠BAD 4.如图，若∠CBE=∠A，则AD∥BC，理由是 。 5.如图，过直线外一点画已知直线的平行线的方法叫“推平行线”法，其依据是 。 6.如图，直线EF分别与直线AB，CD交于M，N两点，∠1=55°，∠2=125°。 求证:AB∥CD。(要求写出每一步的理论依据)
作业布置 基础达标： 1.如图，点E在AC的延长线上，下列条件中能判定AB∥CD的是 ( ) A.∠3=∠4 B.∠D+∠ACD=180° C.∠D=∠DCE D.∠1=∠2 2.已知直线BC，小明和小亮想画出BC的平行线，他们的方法如下: 小明 小亮 下列说法正确的是 ( ) A.小明的方法正确，小亮的方法不正确 B.小明的方法不正确，小亮的方法正确 C.小明、小亮的方法都正确 D.小明、小亮的方法都不正确 3.(跨学科)如图，光在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中斜射向空气时，要发生折射。由于折射率相同，所以在水中平行的光线在空气中也是平行的。如图，∠1=48°，∠2=158°，则∠3的度数为 ( ) A.68° B.70° C.88° D.80° 4.如图，木棒AB，CD与EF分别在G，H处用可旋转的螺丝铆住，∠EGB=100°，∠EHD=80°。将木棒AB绕点G逆时针旋转到与木棒CD平行的位置，则至少要旋转 °。 能力提升： 5.如图，已知直线EF⊥MN，垂足为F，且∠1=140°，若增加一个条件使得AB∥CD，试写出一个符合要求的条件: 。 6.如图，把三角尺的直角顶点放在直线b上，若∠1=38°，则当∠2= °时，a∥b。 7.下列说法:①三边分别相等的两个三角形全等;②垂直于同一直线的两条直线平行;③过一点有且只有一条直线与已知直线平行;④内错角相等，两直线平行。以上说法正确的有 个。 8.如图，B，E分别是AC，DF上的点，∠A+∠ABF=180°，∠A=∠F。求证:AC∥DF。 拓展迁移： 9.如图，已知∠ABC=80°，∠BCD=30°，∠CDE=130°，试确定AB与DE的位置关系，并说明理由。
参考答案：
例题精讲：
例：
解：OA∥BC，OB∥AC.理由如下：
∵∠1＝50°，∠2＝50°，
∴∠1＝∠2.
∴OB∥AC.
∵∠2＝50°，∠3＝130°，
∴∠2＋∠3＝180°，
∴OA∥BC.
巩固训练：
1.B 2.B 3.B
4.同位角相等，两直线平行
5.同位角相等，两直线平行
6.证明:∵∠1=55°(已知)，
∴∠CNM=∠1=55°(对顶角相等)。
∵∠2=125°(已知)，
∴∠CNM+∠2=180°(等式的性质)。
∴AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)。
作业设计：
1.D 解析:A.由∠3=∠4可判定DB∥AC，故此选项错误;B.由∠D+∠ACD=180°可判定DB∥AC，故此选项错误;C.由∠D=∠DCE可判定DB∥AC，故此选项错误;D.由∠1=∠2可判定AB∥CD，故此选项正确。故选D。
2.C 解析:小明的方法:∵∠COD=∠D=90°，∴∠COD+∠D=180°。∴BC∥DE。∴小明的方法正确。小亮的方法:由作图，知∠B=∠ADE，∴BC∥DE。∴小亮的方法正确。故选C。
3.B 解析:如图，标注各点。
根据题意可知，AC∥DE∥FG，BD∥CE，DF∥EG。∵BC∥DE，∴∠BDE=∠1=48°。∴∠EDF=∠2-∠BDE=158°-48°=110°。∵DE∥FG，∴∠DFG=180°-∠EDF=180°-110°=70°。∵DF∥EG，∴∠3=∠DFG=70°。故选B。
4.20 解析:当∠EGB=∠EHD时，AB∥CD。
∵∠EGB=100°，∠EHD=80°，∴∠EGB需要变小20°，即木棒AB绕点G逆时针旋转20°。
5.∠2=50°(答案不唯一) 解析:增加的条件为∠2=50°。∵EF⊥MN，∴∠EFM=90°。∵∠2=50°，∴∠BFM=∠EFM+∠2=140°。∴∠AFN=∠BFM=140°。∵∠1=140°，∴∠AFN=∠1。∴AB∥CD。
6.52 解析:如图，标注∠3。∵∠1=38°，∴∠3=180°-90°-38°=52°。当∠2=52°时，∠2=∠3，∴a∥b。
7.2 解析:三边分别相等的两个三角形全等，故①正确;在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行，故②错误;过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故③错误;内错角相等，两直线平行，是平行线的判定定理，故④正确。综上所述，说法正确的为①④，共2个。
8.证明:方法一:∵∠A+∠ABF=180°，∠A=∠F(已知)，
∴∠ABF+∠F=180°(等量代换)。
∴AC∥DF(同旁内角互补，两直线平行)。
方法二:∵∠A+∠ABF=180°(已知)，
∴AE∥BF(同旁内角互补，两直线平行)。
∴∠A=∠CBF(两直线平行，同位角相等)。
∵∠A=∠F(已知)，
∴∠CBF=∠F(等量代换)。
∴AC∥DF(内错角相等，两直线平行)。
9.解:AB∥DE。
理由如下:如图，过点C作FG∥AB，
∴∠GCB=∠ABC=80°。
∵∠BCD=30°，
∴∠DCG=∠GCB-∠BCD=80°-30°=50°。
又∵∠CDE=130°，∴∠DCG+∠CDE=180°。
∴DE∥FG。∴AB∥DE。
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7.3平行线的证明第1课时教学设计
学科 数学 年级 八年级 课型 新授课 单元 七单元
课题 7.3平行线的证明第1课时 课时 1
课标要求 本节课需落实 “图形与几何” 领域核心素养：以 “同位角相等，两直线平行” 为基本事实，推导 “内错角相等，两直线平行”“同旁内角互补，两直线平行” 两个判定定理，理解定理证明的逻辑链条；掌握几何证明的规范书写(“已知 — 求证 — 证明”)，能清晰标注每步推理的依据(基本事实、定义、已证定理)；经历 “提出猜想 — 转化条件 — 严谨证明” 的过程，发展逻辑推理能力与几何直观；为后续平行线性质证明、三角形相关定理推导奠定 “转化式证明” 的思维基础，契合新课标 “基于基本事实构建定理体系” 的要求，培养 “每步推理必有据” 的严谨习惯。
教材分析 本节课是第七章 “证明” 体系的首次几何定理证明实践课，承接前两课时 “证明的必要性”“证明的依据与格式”，聚焦 “平行线判定定理的逻辑推导”。教材以 “回顾平行线判定条件” 为起点，将 “内错角相等，两直线平行” 作为首个证明范例，示范 “如何将内错角转化为同位角(利用对顶角相等)” 的核心思路；再以 “同旁内角互补，两直线平行” 为拓展，引导学生自主探索转化方法；最后通过 “折纸画平行线”“蜂房四边形判定” 等练习，强化定理应用。既是对证明规范的巩固，也是 “转化思想” 在几何证明中的首次渗透，体现新课标 “从理论到实践、从模仿到自主” 的编写逻辑。
学情分析 学生已具备两大基础：一是知道平行线的三个判定方法(同位角、内错角、同旁内角)，但仅停留在 “直观感知与应用” 层面，未思考 “为何内错角相等能推导出平行”；二是掌握 “已知 — 求证 — 证明” 的基本格式，但将 “文字定理转化为几何图形与符号语言”“寻找转化条件(如对顶角、补角)” 的能力薄弱。常见问题：证明 “同旁内角互补” 时，易漏写 “平角定义” 或 “等式性质” 的依据；将 “内错角转化为同位角” 的逻辑不清晰，直接跳过 “对顶角相等” 的关键步骤；个体差异集中在 “条件转化思路” 与 “证明步骤完整性” 上。
教学目标 1.能以 “同位角相等，两直线平行” 为依据，证明 “内错角相等，两直线平行”“同旁内角互补，两直线平行”；掌握几何证明的规范书写，准确标注推理依据； 2.通过推导平行线判定定理，经历 “文字定理→图形语言→符号语言→证明推理” 的转化过程，提升几何语言转化与逻辑推理能力； 3.发展逻辑推理能力，初步形成 “将未知条件转化为已知基本事实” 的证明思维； 4.体会几何证明的严谨性与转化思想的价值，感受 “从直观结论到理性证明” 的数学思维进阶，培养科学探究精神。
教学重点 1.以 “同位角相等，两直线平行” 为基本事实，证明 “内错角相等，两直线平行”“同旁内角互补，两直线平行”； 2.规范书写几何证明过程，确保每步推理均对应明确依据(基本事实、定义、已证定理)。
教学难点 构建 “未知判定条件(内错角、同旁内角)转化为已知基本事实(同位角)” 的证明思路，理解 “对顶角相等”“互补定义”“等式性质” 在转化中的桥梁作用，避免推理步骤跳跃。
教法与学法分析 教法采用 “范例拆解 + 问题链引导”：以 “内错角定理证明” 为范例，拆解 “转化 — 找依据 — 写步骤” 三步，用 “为什么要找对顶角？”“这步依据是什么？” 等问题引导思考；学法以 “小组合作 + 模仿迁移” 为主，小组讨论 “同旁内角定理的转化方法”，模仿范例独立完成证明，在互评中完善步骤，契合新课标 “学生主体、实践探究” 理念。
教学过程
教学步骤 教学主要内容 教师活动 学生活动 设计意图
环节一：依标靠本，独立研学 复习回顾 (1)上节课我们明确 “证明需基于基本事实、定义、已证定理”，其中平行线判定的基本事实是什么？ 答案：两条直线被第三条直线所截，若同位角相等，则两直线平行； (2)我们还知道 “内错角相等时两直线也平行”，这个结论能直接用吗？为什么？ 答案：不能，需通过基本事实证明。 提问平行线判定的基本事实及 “内错角相等，两直线平行” 能否直接使用，引导明确证明必要性。 回忆 “同位角相等，两直线平行” 的基本事实，明确未证结论需推导，不能直接用。 衔接旧知，点明本节课证明目标，为定理推导铺垫。
探究活动一： 前面我们探索过直线平行的哪些条件？利用“同位角相等，两直线平行”这个基本事实，你能证明它们吗？试一试。 已知：如图7-6所示，∠1和∠2是直线a，b被直线c截出的内错角，且∠1=∠2。 求证：a∥b。 分析：现在有哪些结论可以用来证明两条直线平行？能利用“同位角相等，两直线平行”这一基本事实吗？ 证明：∵∠1=∠2(已知)，∠1=∠3(对顶角相等)， ∴∠3=∠2(等量代换)。 ∴a∥b(同位角相等，两直线平行)。 小结：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。 简述为：内错角相等，两直线平行。 应用格式： ∵∠1=∠2(已知)， ∴a∥b(内错角相等，两直线平行)。 呈现 “内错角相等” 的证明任务，拆解 “转化为同位角” 思路，引导标注推理依据。 利用对顶角相等将内错角转化为同位角，按 “已知 — 求证 — 证明” 格式书写，标注每步依据。 突破 “条件转化” 难点，掌握首个判定定理证明，强化规范书写。
环节二：同伴分享，互助研学 探究活动二： “两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行”这个命题也正确吗？说明理由。 已知：如图7-7，∠1和∠2是直线a，b被直线c截出的同旁内角，且∠1与∠2互补。 求证：a∥b。 证明：∵∠1与∠2互补(已知)， ∴∠1+∠2=180°(互补的定义)。 ∴∠1=180°-∠2(等式的性质)。 ∵∠3+∠2=180°(平角的定义)， ∴∠3=180°-∠2(等式的性质)。 ∴∠1=∠3(等量代换)。 ∴a∥b(同位角相等，两直线平行)。 思考：还有其它证法吗？ 还可以在”内错角相等，两直线平行”的基础上进行判定。 小结：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。 简述为：同旁内角互补，两直线平行。 应用格式： ∵∠1+∠2=180°(已知)， ∴a∥b(同旁内角互补，两直线平行)。 总结归纳： 平行线的判定方法： 方法一(基本事实)：同位角相等，两直线平行； 方法二：内错角相等，两直线平行； 方法三：同旁内角互补，两直线平行. 布置 “同旁内角互补” 证明任务，引导思考多种转化方法(如转化为同位角 / 内错角)。 小组讨论转化思路，自主完成证明(如用平角定义推导同位角相等)，互评完善步骤。 自主迁移转化思想，掌握第二个判定定理，培养一题多证意识。
环节三：全班展学，互动深入 探究活动三： 思考·交流 (1)我们可以用图7-8的方法画出平行线，你能说说其中的道理吗？ 分析：如图，∠1与∠2在等腰直角三角尺中都是45°，位置关系形成内错角，利用内错角相等，得出AB∥CD. 证明：∵∠1＝∠2＝45°， ∴AB∥CD(内错角相等，两直线平行)； (2)在一张不规则的四边形纸片上折出平行线，并予以证明；与同伴交流各自的折纸方法与证明过程。 取不规则四边形纸片，将一边(如 AB 边)向对边(CD 边)对折，使 AB 与 CD 重合，压出折痕 EF； 展开纸片，再将纸片沿折痕 EF 对折，确保两侧图形完全重合，压出第二条折痕 GH，此时 EF 与 GH 即为一组平行线。 已知：四边形纸片中，折痕 EF、GH 为两次对折所得，且对折时两侧图形完全重合。 求证：EF∥GH。 证明：∵两次对折均使折痕两侧图形重合(已知)，∴折痕两侧对应角相等(折叠性质)，即∠1=∠2(内错角，由折叠重合可得)； ∴EF∥GH(内错角相等，两直线平行)。 总结归纳： 实践与理论关联：无论是 “三角尺画平行线” 还是 “纸片折纸”，本质都是通过操作构造 “同位角相等” 或 “内错角相等”，需用平行线判定定理验证操作合理性，体现 “实践→理论→验证” 的逻辑； 关键思路：识别操作中形成的特殊角(如三角尺的 45° 角、折纸的重合角)，匹配对应的判定定理(内错角相等 / 同位角相等)，即可证明平行。 分析 “三角尺画平行线”“折纸得平行线” 的原理，引导用判定定理解释。 识别画法中的内错角 / 同位角，折纸后用 “内错角相等” 证明平行，关联定理与实践。 联结理论与实践，加深对判定定理的应用理解，强化几何直观。
环节四：拓展应用 探究活动四： 例题精讲： 例 如图，一个由4条线段构成的“鱼”形图案，其中∠1＝50°，∠2＝50°，∠3＝130° ，找出图中的平行线，并说明理由． 分析：综合利用平行线的判定定理来证明两条直线平行． 解：OA∥BC，OB∥AC.理由如下： ∵∠1＝50°，∠2＝50°， ∴∠1＝∠2. ∴OB∥AC. ∵∠2＝50°，∠3＝130°， ∴∠2＋∠3＝180°， ∴OA∥BC. 总结归纳： 图形分析核心：复杂图案中，需先明确待证平行线被哪条直线所截，再识别截得的角是同位角、内错角还是同旁内角； 定理选择逻辑：若角为 “相等关系”，优先用 “同位角相等” 或 “内错角相等”；若角为 “互补关系”，用 “同旁内角互补”，确保定理与角的关系匹配； 证明规范：每一步需标注角的关系依据，再写出对应的判定定理，保证推理连贯。 给出 “鱼” 形图案，引导观察角的关系，选择合适判定定理推导平行。 识别∠1 与∠2 为内错角、∠2 与∠3 为同旁内角，分别用对应定理证明 OB∥AC、OA∥BC。 综合应用三个判定定理，提升复杂图形中角的关系分析能力，巩固定理应用。
环节四：巩固内化，拓展延伸 巩固训练 1.如图，已知∠1=∠2，则有 ( ) A.AB∥CD B.AE∥DF C.AB∥CD且AE∥DF D.以上都不对 2.下列图形中，由∠1=∠2能得到AB∥CD的是 ( ) 3.如图，可以得到DE∥BC的条件是 ( ) A.∠ACB=∠BAC B.∠ABC+∠BAE=180° C.∠ACB+∠BAD=180° D.∠ACB=∠BAD 4.如图，若∠CBE=∠A，则AD∥BC，理由是 。 5.如图，过直线外一点画已知直线的平行线的方法叫“推平行线”法，其依据是 。 6.如图，直线EF分别与直线AB，CD交于M，N两点，∠1=55°，∠2=125°。 求证：AB∥CD。(要求写出每一步的理论依据) 巡视课堂迅速掌握学情 当堂小测，用所学知识解决问题，学生代表回答。 学以致用，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的
课堂小结 通过本节课的学习你收获了什么？ 平行线判定定理推导 以 “同位角相等，两直线平行” 为基本事实，推导 “内错角相等，两直线平行”(利用对顶角相等转化)、“同旁内角互补，两直线平行”(利用平角定义 / 等式性质转化)。 判定定理应用格式 内错角相等：∵∠1=∠2(已知)，∴a∥b(内错角相等，两直线平行)； 同旁内角互补：∵∠1+∠2=180°(已知)，∴a∥b(同旁内角互补，两直线平行)。 证明规范 按 “已知 — 求证 — 证明” 书写，每步推理需标注依据(基本事实、定义、已证定理)。 教师以提问的形式小结 学生思考自由回答，自我小结 课堂小结可以帮助学生理清所学知识的层次结构，掌握其外在的形式和内在联系，形成知识系列及一定的结构框架。
板书设计 7.3平行线的证明第1课时 平行线的判定方法一(基本事实)：同位角相等，两直线平行； 平行线的判定方法二：内错角相等，两直线平行； 平行线的判定方法三：同旁内角互补，两直线平行. 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计 基础达标： 1.如图，点E在AC的延长线上，下列条件中能判定AB∥CD的是 ( ) A.∠3=∠4 B.∠D+∠ACD=180° C.∠D=∠DCE D.∠1=∠2 2.已知直线BC，小明和小亮想画出BC的平行线，他们的方法如下： 下列说法正确的是 ( ) A.小明的方法正确，小亮的方法不正确 B.小明的方法不正确，小亮的方法正确 C.小明、小亮的方法都正确 D.小明、小亮的方法都不正确 3.如图，光在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中斜射向空气时，要发生折射。由于折射率相同，所以在水中平行的光线在空气中也是平行的。如图，∠1=48°，∠2=158°，则∠3的度数为 ( ) A.68° B.70° C.88° D.80° 4.如图，木棒AB，CD与EF分别在G，H处用可旋转的螺丝铆住，∠EGB=100°，∠EHD=80°。将木棒AB绕点G逆时针旋转到与木棒CD平行的位置，则至少要旋转 °。 能力提升： 5.如图，已知直线EF⊥MN，垂足为F，且∠1=140°，若增加一个条件使得AB∥CD，试写出一个符合要求的条件： 。 6.如图，把三角尺的直角顶点放在直线b上，若∠1=38°，则当∠2= °时，a∥b。 7.下列说法：①三边分别相等的两个三角形全等；②垂直于同一直线的两条直线平行；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④内错角相等，两直线平行。以上说法正确的有 个。 8.如图，B，E分别是AC，DF上的点，∠A+∠ABF=180°，∠A=∠F。求证：AC∥DF。 拓展迁移： 9.如图，已知∠ABC=80°，∠BCD=30°，∠CDE=130°，试确定AB与DE的位置关系，并说明理由。
教学反思 本节课通过范例拆解与转化引导，多数学生能掌握两个判定定理的证明的思路，规范书写有明显进步，但存在两点不足：一是部分学生对 “转化思想” 理解较浅，证明 “同旁内角互补” 时，仅模仿 “转化为同位角” 的方法，不会尝试 “转化为内错角”；二是推理依据标注仍不精准，如将 “等式的性质” 简写成 “等式性质”，或混淆 “互补的定义” 与 “平角的定义”。后续需设计 “一题多证” 练习，并提供 “常用依据清单”(分类整理基本事实、定义、定理)，帮助学生深化转化思维，夯实规范意识，为平行线性质证明做好铺垫。
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第七章 证明
7.3平行线的证明第1课时
01
教学目标
02
新知导入
03
新知探究
04
巩固训练
05
课堂小结
06
作业设计
01
教学目标
能以 “同位角相等，两直线平行” 为依据，证明 “内错角相等，两直线平行”“同旁内角互补，两直线平行”；掌握几何证明的规范书写，准确标注推理依据；
01
通过推导平行线判定定理，经历 “文字定理→图形语言→符号语言→证明推理” 的转化过程，提升几何语言转化与逻辑推理能力；
02
发展逻辑推理能力，初步形成 “将未知条件转化为已知基本事实” 的证明思维；
03
体会几何证明的严谨性与转化思想的价值，感受 “从直观结论到理性证明” 的数学思维进阶，培养科学探究精神。
04
02
新知导入
复习回顾：
(1)上节课我们明确 “证明需基于基本事实、定义、已证定理”，其中平行线判定的基本事实是什么？
(2)我们还知道 “内错角相等时两直线也平行”，这个结论能直接用吗？为什么？
两条直线被第三条直线所截，若同位角相等，则两直线平行；
不能，需通过基本事实证明。
03
新知探究
分析：现在有哪些结论可以用来证明两条直线平行？能利用“同位角相等，两直线平行”这一基本事实吗？
前面我们探索过直线平行的哪些条件？利用“同位角相等，两直线平行”这个基本事实，你能证明它们吗？试一试。
已知：如图7-6所示,∠1和∠2是直线a,b被直线c截出的内错角,且∠1=∠2。
求证:a∥b。
平行线的定义和基本事实，可以
03
新知探究
证明:
∵∠1=∠2(已知),∠1=∠3(对顶角相等),
∴∠3=∠2(等量代换)。
∴a∥b(同位角相等,两直线平行)。
03
新知探究
两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行。
简述为：内错角相等，两直线平行。
概括
应用格式:
∵∠1=∠2(已知),
∴a∥b(内错角相等,两直线平行)。
03
新知探究
“两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行”这个命题也正确吗 说明理由。
已知：如图7-7,∠1和∠2是直线a,b被直线c截出的同旁内角,且∠1与∠2互补。
求证:a∥b。
证明:∵∠1与∠2互补(已知),
∴∠1+∠2=180°(互补的定义)。
∴∠1=180°-∠2(等式的性质)。
∵∠3+∠2=180°(平角的定义),
∴∠3=180°-∠2(等式的性质)。
∴∠1=∠3(等量代换)。
∴a∥b(同位角相等,两直线平行)。
思考：还有其它证法吗？
还可以在”内错角相等，两直线平行”的基础上进行判定。
03
新知探究
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新知探究
两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行。
简述为:同旁内角互补,两直线平行。
概括
应用格式:
∵∠1+∠2=180°(已知),
∴a∥b(同旁内角互补,两直线平行)。
平行线的判定方法：
方法一(基本事实)：同位角相等，两直线平行；
方法二：内错角相等，两直线平行；
方法三：同旁内角互补，两直线平行.
总结归纳
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新知探究
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新知探究
分析：如图，∠1与∠2在等腰直角三角尺中都是45°，位置关系形成内错角，利用内错角相等，得出AB∥CD.
(1)我们可以用图7-8的方法画出平行线,你能说说其中的道理吗？
证明：∵∠1＝∠2＝45°，
∴AB∥CD(内错角相等，两直线平行)；
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新知探究
取不规则四边形纸片，将一边(如 AB 边)向对边(CD 边)对折，使 AB 与 CD 重合，压出折痕 EF；
展开纸片，再将纸片沿折痕 EF 对折，确保两侧图形完全重合，压出第二条折痕 GH，此时 EF 与 GH 即为一组平行线。
(2)在一张不规则的四边形纸片上折出平行线,并予以证明;与同伴交流各自的折纸方法与证明过程。
证明：∵两次对折均使折痕两侧图形重合(已知)，
∴折痕两侧对应角相等(折叠性质)，即∠1=∠2(内错角，由折叠重合可得)；
∴EF∥GH(内错角相等，两直线平行)。
实践与理论关联：无论是 “三角尺画平行线” 还是 “纸片折纸”，本质都是通过操作构造 “同位角相等” 或 “内错角相等”，需用平行线判定定理验证操作合理性，体现 “实践→理论→验证” 的逻辑；
关键思路：识别操作中形成的特殊角(如三角尺的 45° 角、折纸的重合角)，匹配对应的判定定理(内错角相等 / 同位角相等)，即可证明平行。
总结归纳
03
新知探究
分析
结合图形，根据条件，综合利用平行线的判定定理来证明两条直线平行．
如图，一个由4条线段构成的“鱼”形图案，其中∠1＝50°，∠2＝50°，∠3＝130° ，找出图中的平行线，并说明理由．
例
03
新知探究
解析
解：OA∥BC，OB∥AC.理由如下：
∵∠1＝50°，∠2＝50°，
∴∠1＝∠2.
∴OB∥AC.
∵∠2＝50°，∠3＝130°，
∴∠2＋∠3＝180°，
∴OA∥BC.
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新知探究
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新知探究
总结归纳：
图形分析核心：复杂图案中，需先明确待证平行线被哪条直线所截，再识别截得的角是同位角、内错角还是同旁内角；
定理选择逻辑：若角为 “相等关系”，优先用 “同位角相等” 或 “内错角相等”；若角为 “互补关系”，用 “同旁内角互补”，确保定理与角的关系匹配；
证明规范：每一步需标注角的关系依据，再写出对应的判定定理，保证推理连贯。
2.下列图形中,由∠1=∠2能得到AB∥CD的是 ( )
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巩固训练
1.如图,已知∠1=∠2,则有 ( )
A.AB∥CD B.AE∥DF
C.AB∥CD且AE∥DF D.以上都不对
B
B
3.如图,可以得到DE∥BC的条件是 ( )
A.∠ACB=∠BAC B.∠ABC+∠BAE=180°
C.∠ACB+∠BAD=180° D.∠ACB=∠BAD
B
4.如图,若∠CBE=∠A,则AD∥BC,理由是 .
同位角相等,两直线平行
04
巩固训练
5.如图,过直线外一点画已知直线的平行线的方法叫“推平行线”法,其依据是 。
同位角相等,两直线平行
6.如图,直线EF分别与直线AB,CD交于M,N两点,∠1=55°,∠2=125°。
求证:AB∥CD。(要求写出每一步的理论依据)
证明:∵∠1=55°(已知),
∴∠CNM=∠1=55°(对顶角相等)。
∵∠2=125°(已知),
∴∠CNM+∠2=180°(等式的性质)。
∴AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行)。
04
巩固训练
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课堂小结
通过本节课的学习你收获了什么？
平行线判定定理推导
以 “同位角相等，两直线平行” 为基本事实，推导 “内错角相等，两直线平行”(利用对顶角相等转化)、“同旁内角互补，两直线平行”(利用平角定义 / 等式性质转化)。
判定定理应用格式
内错角相等：∵∠1=∠2(已知)，∴a∥b(内错角相等，两直线平行)；
同旁内角互补：∵∠1+∠2=180°(已知)，∴a∥b(同旁内角互补，两直线平行)。
证明规范
按 “已知 — 求证 — 证明” 书写，每步推理需标注依据(基本事实、定义、已证定理)。
1.如图,点E在AC的延长线上,下列条件中能判定AB∥CD的是 ( )
A.∠3=∠4 B.∠D+∠ACD=180°
C.∠D=∠DCE D.∠1=∠2
06
作业设计
基础达标：
D
2.已知直线BC,小明和小亮想画出BC的平行线,他们的方法如下:
下列说法正确的是 ( )
A.小明的方法正确,小亮的方法不正确
B.小明的方法不正确,小亮的方法正确
C.小明、小亮的方法都正确
D.小明、小亮的方法都不正确
C
3.如图,光在不同介质中的传播速度是不同的,因此当光线从水中斜射向空气时,要发生折射。由于折射率相同,所以在水中平行的光线在空气中也是平行的。如图,∠1=48°,∠2=158°,则∠3的度数为 ( )
A.68° B.70° C.88° D.80°
06
作业设计
B
基础达标：
4.如图,木棒AB,CD与EF分别在G,H处用可旋转的螺丝铆住,∠EGB=100°,∠EHD=80°。将木棒AB绕点G逆时针旋转到与木棒CD平行的位置,则至少要旋转 °。
20
06
作业设计
能力提升：
5.如图,已知直线EF⊥MN,垂足为F,且∠1=140°,若增加一个条件使得AB∥CD,试写出一个符合要求的条件: 。
∠2=50°
6.如图,把三角尺的直角顶点放在直线b上,若∠1=38°,则当∠2= °时,a∥b。
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06
作业设计
能力提升：
7.下列说法:①三边分别相等的两个三角形全等;②垂直于同一直线的两条直线平行;③过一点有且只有一条直线与已知直线平行;④内错角相等,两直线平行。以上说法正确的有 个。
2
8.如图,B,E分别是AC,DF上的点,∠A+∠ABF=180°,∠A=∠F。求证:AC∥DF。
证明:∵∠A+∠ABF=180°,∠A=∠F(已知),
∴∠ABF+∠F=180°(等量代换)。
∴AC∥DF(同旁内角互补,两直线平行)。
06
作业设计
迁移拓展：
9.如图,已知∠ABC=80°,∠BCD=30°,∠CDE=130°,试确定AB与DE的位置关系,并说明理由。
解:AB∥DE,理由如下:如图,过点C作FG∥AB,
∴∠GCB=∠ABC=80°。
∵∠BCD=30°,
∴∠DCG=∠GCB-∠BCD=80°-30°=50°。
又∵∠CDE=130°,∴∠DCG+∠CDE=180°。
∴DE∥FG。∴AB∥DE。
Thanks!
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