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第二十一章 一元二次方程 单元专项提升测试卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．方程的根是（ ）
A． B．
C． D．无实数根
2．在下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A．x2+x3﹣4＝0 B．3（x+1）﹣x＝0
C．x2﹣2＝3x D．x2+3x＝
3．如果x2﹣x﹣1=（x﹣1）0，那么x的值为（ ）
A．2或﹣1 B．0或﹣1 C．2 D．﹣1
4．已知x=2是方程x2﹣mx﹣2=0的一个根，则另一个根为（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
5．关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0总有实数根，则m应满足的条件是（ ）
A．m≥1 B．m≤1 C．m＝1 D．m＜1
6．温州市2022年GDP（国内生产总值）约为8030亿元，2024年GDP约为9719亿元.设这两年温州市的GDP平均增长率为x，则可列出方程（ ）
A．8030（1+x）2=9719 B．8030x2=9719
C．8030（1+x2）=9719 D．8030（1+2x）=9719
7．方程2x2﹣3=0的一次项系数是（ ）
A．-3 B．2 C．0 D．3
8．若关于x 的方程（a+1）x2﹣2x﹣1＝0 是一元二次方程，则 a 的取值范围是（ ）
A．a≠﹣1 B．a＞1 C．a＜1 D．a≠0
9．已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程 的根，则该三角形的周长是（ ）
A．5 B．7 C．5或7 D．10
10．已知菱形ABCD的边长为5，两条对角线交于O点，且OA、OB的长分别是关于的方程的根，则m等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．“杂交水稻之父”袁隆平和他的团队探索培育的“海水稻”在某试验田的产量逐年增加，2018年平均亩产量约700公斤，2020年平均亩产量约1008公斤．则平均亩产量的年平均增长率为 ．
12．关于x的方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 ．
13．若关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则k的值为 .
14．设m，n分别为一元二次方程x2＋2x－2020＝0的两个实数根，则m2＋3m＋n＝ ．
15．关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为 ．
16．已知关于x的方程 ，其中p、q都是实数.若方程有三个不同的实数根 、 、 ，且 ，则q的值为 .
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．解下列方程
（1）（x+2）2-16=0
（2）2x2-5x+2=0
18．解方程：x2+2x﹣5=0
19．在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯105次，则参加酒会的人数有多少人．
20．近年来，电商平台直播带货成了一个火热的新兴职业，某主播带货图书《苏东坡传》，他用双语直播，风趣幽默，点燃了不同年龄者的读书热情．已知这本书的成本价为10元，规定销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍，通过前几天的销售发现，该书每天的销售量y（本）与销售单价x（元/本）之间近似满足一次函数关系，部分对应数据如表：
x（元/本） … 15 25 …
y（本） … 600 400 …
（1）直接写出y关于x的函数关系式；
（2）若销售该书每天的利润为5000元，求该书的销售单价；
（3）销售该书每天的利润能否达到8000元？请说明理由．
21． 已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．
①如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
②如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
22．疫情全面开放以来，旅游业迅速升温，某旅行社为吸引广大市民组团去市旅游，推出了如下收费标准：如果人数不超过10人，人均旅游费用为350元，如果人数超过10人，每增加1人，人均旅游费用降低5元，但人均旅游费用不得低于280元．
（1）如果某公司组织12人参加去市旅游，那么需人均支付旅行社旅游费用__________元；
（2）现某公司组织员工去市旅游，共支付给该旅行社旅游费用6000元，那么该单位有多少名员工参加旅游？
23．已知关于的一元二次方程有两个实数根和.
（1）求实数的取值范围；
（2）是否存在的值使得成立 若存在，求出的值；若不存在，说明理由
24．关于x的方程（m2-8m+19）x2-2mx-13=0是否一定是一元二次方程？请证明你的结论．
25．若关于x的一元二次方程的根均为整数，则称这个方程为“快乐方程”．通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数．现规定为该“快乐方程”的“快乐数”．例如：“快乐方程”的两个根均为整数，其“快乐数”．若有另一个“快乐方程”的“快乐数”，且满足，则称与互为“开心数”．
（1）“快乐方程”的“快乐数”为________；
（2）若关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“快乐方程”，求m的值，并求该方程的“快乐数”；
（3）若关于x的一元二次方程与（m，n均为正整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，直接写出n的值．
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第二十一章 一元二次方程 单元专项提升测试卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．方程的根是（ ）
A． B．
C． D．无实数根
【答案】D
【解析】【解答】解：，
移项得：，
∵，
∴方程无实数根，
故答案为：D.
【分析】先移项，然后直接开平方法即可，根据负数没有平方根得出结论．
2．在下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A．x2+x3﹣4＝0 B．3（x+1）﹣x＝0
C．x2﹣2＝3x D．x2+3x＝
【答案】C
【解析】【解答】解：x2+x3﹣4＝0，此方程是一元三次方程，故A不符合题意；
B、3（x+1）﹣x＝0。此方程是一元一次方程，故B不符合题意；
C、x2﹣2＝3x，此方程是一元二次方程，故C符合题意；
D、x2+3x＝，此方程是分式方程，故D不符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用一元二次方程的定义：含有一个未知数，含未知数项的最高次数是2的整式方程是一元二次方程，再对各选项逐一判断.
3．如果x2﹣x﹣1=（x﹣1）0，那么x的值为（ ）
A．2或﹣1 B．0或﹣1 C．2 D．﹣1
【答案】A
【解析】【解答】解：∵x2﹣x﹣1=1，
∴x2﹣x﹣2=0，
∴（x﹣2）（x﹣1）=0，
∴x﹣2=0或x﹣1=0，
∴x1=2，x2=1．
故选A．
【分析】先利用零指数幂的意义得到x2﹣x﹣1=1，然后把方程化为一般式后利用因式分解法解方程．
4．已知x=2是方程x2﹣mx﹣2=0的一个根，则另一个根为（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【答案】B
【解析】【解答】解：设方程的另一个根为a，
∵x=2是方程x2﹣mx﹣2=0的一个根，
∴2a=﹣2，
解得：a=﹣1，
故选B．
【分析】根据根与系数的关系得出2a=﹣2，求出即可．
5．关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0总有实数根，则m应满足的条件是（ ）
A．m≥1 B．m≤1 C．m＝1 D．m＜1
【答案】B
【解析】【解答】解：由题意可得，△＝（﹣2）2﹣4m≥0，
∴m≤1，
故答案为：B．
【分析】利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
6．温州市2022年GDP（国内生产总值）约为8030亿元，2024年GDP约为9719亿元.设这两年温州市的GDP平均增长率为x，则可列出方程（ ）
A．8030（1+x）2=9719 B．8030x2=9719
C．8030（1+x2）=9719 D．8030（1+2x）=9719
【答案】A
【解析】【解答】解：根据题意得：8030(1+x)2=9719.
故答案为：A.
【分析】利用2024年的GDP=2022年的GDP×(1+这两年GDP的年平均增长率)2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解.
7．方程2x2﹣3=0的一次项系数是（ ）
A．-3 B．2 C．0 D．3
【答案】C
【解析】【解答】解：方程2x2﹣3=0没有一次项，所以一次项系数是0．故选C．
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
8．若关于x 的方程（a+1）x2﹣2x﹣1＝0 是一元二次方程，则 a 的取值范围是（ ）
A．a≠﹣1 B．a＞1 C．a＜1 D．a≠0
【答案】A
【解析】【解答】解：由题意可知：a+1≠0，
∴a≠﹣1
故答案为：A．
【分析】根据一元二次方程的定义求出a+1≠0，再计算求解即可。
9．已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程 的根，则该三角形的周长是（ ）
A．5 B．7 C．5或7 D．10
【答案】B
【解析】【解答】
x -4x+3=0
(x 3)(x 1)=0，
x 3=0或x 1=0，
所以x =3，x =1，
当三角形的腰为3，底为1时，三角形的周长为3+3+1=7，
当三角形的腰为1，底为3时不符合三角形三边的关系，舍去，
所以三角形的周长为7.
故答案为：B.
【分析】用配方法求一元二次方程的根，同时考察三角形的三边关系，即三角形的任意两边之和大于第三边与三角形的任意两边之差小于第三边，排除5的情况，等腰三角形的周长是7。
10．已知菱形ABCD的边长为5，两条对角线交于O点，且OA、OB的长分别是关于的方程的根，则m等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：
由直角三角形的三边关系可得：
又有根与系数的关系可得：
∴
整理得：
解得：m= 3或5.
又∵，
∴ 解得
∴.
故答案为：A.
【分析】易得∠AOB=90°，由勾股定理及完全平方公式得AO2+BO2=（AO+BO）2-2AO·BO=25，利用一元二次方程根与系数的关系可表示出AO+BO和AO·BO，然后整体代入，可得到关于m的方程，解方程求出m的值，再根据b2-4ac＞0，可得到关于m的不等式，然后求出不等式的解集，根据其解集，可得到m的值.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．“杂交水稻之父”袁隆平和他的团队探索培育的“海水稻”在某试验田的产量逐年增加，2018年平均亩产量约700公斤，2020年平均亩产量约1008公斤．则平均亩产量的年平均增长率为 ．
【答案】20%
【解析】【解答】解：设水稻亩产量的年平均增长率为x，
根据题意得：700×（1+x）2=1008，
解得：x=20%或x=-220%（舍去）．
答：水稻亩产量的年平均增长率为20%．
故答案为：20%．
【分析】设水稻亩产量的年平均增长率为x，根据2018年平均亩产量×（1+增长率）2=2020年平均亩产量 ，列出方程，解之即可.
12．关于x的方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 ．
【答案】且
【解析】【解答】解：根据题意得a 3≠0且Δ＝（ 4）2 4（a 3）×（ 1）＞0，
解得：a＞ 1且a≠3．
故答案为：a＞ 1且a≠3．
【分析】利用一元二次方程根的判别式（①当△>0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△<0时，方程没有实数根）分析求解即可.
13．若关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则k的值为 .
【答案】±2
【解析】【解答】解：
一元二次方程 有两个相等的实数根
即
故答案为：±2.
【分析】 根据一元二次方程有两个相等的实数根则b2-4ac=0，由此建立关于k的方程，解方程求出k的值。
14．设m，n分别为一元二次方程x2＋2x－2020＝0的两个实数根，则m2＋3m＋n＝ ．
【答案】2018
【解析】【解答】∵m，n分别为一元二次方程x2＋2x 2018＝0的两个实数根，
∴m2＋2m＝2020，m＋n＝ 2，
∴m2＋3m＋n＝m2＋2m＋（m＋n）＝2020＋（ 2）＝2018．
故答案为：2018．
【分析】根据一元二次方程的根及根与系数的关系，可得m2＋2m＝2020，m＋n＝ 2，然后将原式变形为m2＋2m＋（m＋n），再代入计算即可.
15．关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为 ．
【答案】
【解析】【解答】根据题意得，即，
解得．
故答案为．
【分析】先求出，再求出，最后求解即可。
16．已知关于x的方程 ，其中p、q都是实数.若方程有三个不同的实数根 、 、 ，且 ，则q的值为 .
【答案】3
【解析】【解答】解：依题意，
设
方程有三个不同的实数根 、 、 ，
则 与 的图象有三个不同的交点，
，对称轴为
则 与 的图象有三个不同的交点，
则 经过 的顶点
设 ，则
即
设 是 的两根，
则
即
，
解得
.
故答案为：3.
【分析】设y1=x2+2px-3p2+5，y2=±q，根据方程有三个不同的实数根可得y=-q经过y1的顶点，设x3=-p，据此可得q与p的关系，根据根与系数的关系可得x1+x2=-2p，x1x2=10-7p2，x3=-p，然后结合可得p2=2，根据判别式求出p的范围，进而可得q的值.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．解下列方程
（1）（x+2）2-16=0
（2）2x2-5x+2=0
【答案】（1）解：移项得（x＋2）2＝16
x＋2＝±4，
x1＝2，x2＝ 6；
（2）解：2x2-5x+2=0，
x＝ = ，
解得：x1＝2，x2＝ .
【解析】【分析】（1）移项后左边是完全平方式，右边是常数，直接开平方即可；
（2）直接利用求根公式x=求解即可.
18．解方程：x2+2x﹣5=0
【答案】解：x2+2x﹣5=0
x2+2x=5，
x2+2x+1=6，
（x+1）2=6，
x+1=±，
x1=﹣1+，x2=﹣1﹣．
【解析】【分析】根据配方法的步骤先把常数项移到等号的右边，再在左右两边同时加上一次项系数2的一半的平方，配成完全平方的形式，然后开方即可．
19．在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯105次，则参加酒会的人数有多少人．
【答案】解：设参加酒会的人数为x人，
依题意，得： x（x﹣1）＝105，
整理，得：x2﹣x﹣210＝0，
解得：x1＝15，x2＝﹣14（不合题意，舍去）．
答：参加酒会的人数有15人
【解析】【分析】设参加酒会的人数为x人，根据每两人都只碰一次杯且一共碰杯105次，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
20．近年来，电商平台直播带货成了一个火热的新兴职业，某主播带货图书《苏东坡传》，他用双语直播，风趣幽默，点燃了不同年龄者的读书热情．已知这本书的成本价为10元，规定销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍，通过前几天的销售发现，该书每天的销售量y（本）与销售单价x（元/本）之间近似满足一次函数关系，部分对应数据如表：
x（元/本） … 15 25 …
y（本） … 600 400 …
（1）直接写出y关于x的函数关系式；
（2）若销售该书每天的利润为5000元，求该书的销售单价；
（3）销售该书每天的利润能否达到8000元？请说明理由．
【答案】（1）
（2）解：根据题意得：，即，，
整理得：，
解得：，（舍），
答：该书的销售单价为20元；
（3）解：根据题意得：，即，，
整理得：，
∵，
∴原方程无解，
∴销售该书每天的利润不能达到8000元．
【解析】【解答】（1）解：设y关于x的函数关系式为，
根据题意得：，
解得：．
∵规定销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍，
∴，
∴y关于x的函数关系式为.
【分析】（1）根据表格中的数据利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）根据“销售该书每天的利润为5000元”列出方程，再求解即可；
（3）根据“销售该书每天的利润达到8000元”列出方程，再求解即可.
（1）解：设y关于x的函数关系式为，
根据题意得：，
解得：．
∵规定销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍，
∴，
∴y关于x的函数关系式为；
（2）解：根据题意得：，即，，
整理得：，
解得：，（舍），
答：该书的销售单价为20元；
（3）解：根据题意得：，即，，
整理得：，
∵，
∴原方程无解，
∴销售该书每天的利润不能达到8000元．
21． 已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．
①如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
②如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
【答案】解：①△ABC为等腰三角形；理由如下：
把x＝﹣1代入方程得a+c﹣2b+a﹣c＝0，则a＝b，
∴△ABC为等腰三角形；
②△ABC为直角三角形；理由如下：
∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，即b2+c2＝a2，
∴△ABC为直角三角形.
【解析】【分析】（1）把x=-1代入方程可得a=b，于是可判断△ABC的性质；
（2）根据方程有两个相等实根，得Δ＝0，可得b2+c2＝a2，于是可判断△ABC的性质.
22．疫情全面开放以来，旅游业迅速升温，某旅行社为吸引广大市民组团去市旅游，推出了如下收费标准：如果人数不超过10人，人均旅游费用为350元，如果人数超过10人，每增加1人，人均旅游费用降低5元，但人均旅游费用不得低于280元．
（1）如果某公司组织12人参加去市旅游，那么需人均支付旅行社旅游费用__________元；
（2）现某公司组织员工去市旅游，共支付给该旅行社旅游费用6000元，那么该单位有多少名员工参加旅游？
【答案】（1）340
（2）解：设该单位有名员工参加旅游，由题意得：
，解得
，
该单位超过10人参加旅游；
当时，
由题意得，，
，
解得或（舍去）；
当时，
由题意得，，
解得（不符合题意）
综上所述，；
答：该单位有20名员工参加旅游．
【解析】【解答】（1）解：，
人均支付旅行社旅游费用340元；
故答案为：340；
【分析】（1）根据“ 人均旅游费用为350元，如果人数超过10人，每增加1人，人均旅游费用降低5元 ”列出算式求解即可；
（2）分类讨论：①当时，②当时，再分别列出方程求解即可.
（1）解：，
人均支付旅行社旅游费用340元；
故答案为：340；
（2）解：设该单位有名员工参加旅游，由题意得：
，解得
，
该单位超过10人参加旅游；
当时，
由题意得，，
，
解得或（舍去）；
当时，
由题意得，，
解得（不符合题意）
综上所述，；
答：该单位有20名员工参加旅游．
23．已知关于的一元二次方程有两个实数根和.
（1）求实数的取值范围；
（2）是否存在的值使得成立 若存在，求出的值；若不存在，说明理由
【答案】（1）解：，
（2）解：不存在m的值，使x1x2+x1+x2=0成立，理由如下：
∵关于的一元二次方程的两实数根为，
∴m=1，
又∵m≤，
∴不存在m的值使x1x2+x1+x2=0成立.
【解析】【分析】（1）对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此并结合题意，列出关于字母m的不等式，求解可得m的取值范围；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，可得x1+x2=-（2m-1），x1×x2=m2，然后根据x1x2+x1+x2=0建立出关于字母m的方程，求解得出m的值，进而根据m的取值范围进行判断即可得出答案.
24．关于x的方程（m2-8m+19）x2-2mx-13=0是否一定是一元二次方程？请证明你的结论．
【答案】解：方程m2-8m+19=0中，b2-4ac=64-19×4=-8＜0，方程无解．
故关于x的方程（m2-8m+19）x2-2mx-13=0一定是一元二次方程．
【解析】【分析】要判断方程是否为一元二次方程，则要看二次项系数是否为0，则根据判别式判断二次项系数=0时的方程是否有实数解，从而得出结论.
25．若关于x的一元二次方程的根均为整数，则称这个方程为“快乐方程”．通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数．现规定为该“快乐方程”的“快乐数”．例如：“快乐方程”的两个根均为整数，其“快乐数”．若有另一个“快乐方程”的“快乐数”，且满足，则称与互为“开心数”．
（1）“快乐方程”的“快乐数”为________；
（2）若关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“快乐方程”，求m的值，并求该方程的“快乐数”；
（3）若关于x的一元二次方程与（m，n均为正整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，直接写出n的值．
【答案】（1）
（2）m的值是0，该方程的“快乐数”是
（3）n的值为3
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