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第二十二章 二次函数 单元综合能力测评卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．把抛物线y= 向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线是（ ）
A． B．
C． D．
2．二次函数的图象如图，将其绕顶点旋转后得到的抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
3．下列对二次函数 的图象的描述，正确的是（ ）
A．开口向下
B．对称轴是 轴
C．经过原点
D．在对称轴右侧 随 的增大而减小
4．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（ ）
A．函数有最小值 B．对称轴是直线x=
C．当x＜ ，y随x的增大而减小 D．当﹣1＜x＜2时，y＞0
5．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，其中a＜0，若函数图象与x轴的两个交点均在负半轴，则下列判断错误的是（ ）
A．abc＜0 B．b＞0 C．c＜0 D．b＋c＜0
6．若二次函数的图像如图所示，则一次函数在坐标系内的大致图像为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知二次函数y=x2-2ax+a2-2a-4（a为常数）的图象与轴有交点，且当时，随的增大而增大，则a的取值范围是（ ）
A．a≥-2 B．-2≤a≤3 C．-2≤a＜3 D．a＜3
8．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴一个交点在﹣1，﹣2之间，对称轴为直线x=1，图象如图，给出以下结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＞0；③2a﹣b=0；④9a+3b+c＜0．其中结论正确的个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．二次函数的图象过点，则使函数值成立的x的取值范围是（ ）
A．或 B．
C．或 D．
10． 已知二次函数为常数图象上两个不同的点，，且有以下四个结论：该二次函数图象与轴一定有两个不同的交点；若一次函数经过点，，则当时，总有；当时，；当时，；以上结论中正确的是( )
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知一次函数y1＝-x，二次函数y2＝x2-2kx+k2-k（k＞0）.
（1）当x＜1时，y2的函数值随x的增大而减小，则k的最小整数值为 ；
（2）若y＝y2-y1，若点M（k+2，s），N（a，b）都在函数y的图像上，且s＜b，则a的取值范围 .（用含k的式子表示）
12．若时，函数的最大值为17，则 ．
13．点A（﹣3，y1），B（2，y2）在抛物线y=x2﹣5x上，则y1 y2．（填“＞”，“＜”或“=”）
14．如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为．
（1）抛物线的顶点坐标是 ．
（2）已知P是抛物线对称轴l上的一个动点，当的值最小时，点P的坐标是 ．
15．如图，四边形是边长为的正方形，与轴正半轴的夹角为，点在抛物线的图象上，则的值为 ．
16．已知关于x的二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（1，0），且y1＜0＜y2，对于以下结论：
①abc＞0；②a+3b+2c≤0；③对于自变量x的任意一个取值，都有 x2+x≥﹣ ；④在﹣2＜x＜﹣1中存在一个实数x0，使得x0=﹣ ，
其中结论错误的是 （只填写序号）．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．已知抛物线的顶点为，且经过点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）该抛物线是否经过点？若不经过，怎样沿轴方向平移该抛物线，使它经过点？并写出平移后的新抛物线的解析式．
18．已知抛物线的解析式为
求抛物线的顶点坐标；
求出抛物线与轴的交点坐标；
当取何值时？
19．已知二次函数y=x2+mx+n的图象经过点P（﹣3，1），对称轴是直线x=﹣1．
（1）求m，n的值；
（2）x取什么值时，y随x的增大而减小？
20．已知抛物线过A（1，0）和B（4，0）两点，交y轴于C点，且BC=5，求该二次函数的解析式．
21．已知二次函数图象的顶点坐标是 ， 且经过点 .
（1） 求该二次函数的解析式.
（2） 当 时， 求此函数的最大值与最小值.
22．某广场中心有高低不同的各种呈拋物线状的喷泉，其中一支高度为1m的喷水管喷水的最大高度为3m，此时喷水的水平距离为m．在下图所示的坐标系中，求：
（1）这支喷泉的函数表达式(不必求x的取值范围)．
（2）喷泉落地点与原点O的距离．
23．某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求给出了两个设计方案．现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示：
方案一，抛物线型拱门的跨度，拱高．其中，点N在x轴上，，．
方案二，抛物线型拱门的跨度，拱高．其中，点在x轴上，，．
要在拱门中设置高为的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计）．方案一中，矩形框架的面积记为，点A、D在抛物线上，边在上；方案二中，矩形框架的面积记为，点，在抛物线上，边在上．现知，小华已正确求出方案二中，当时，，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题：
（1）求方案一中抛物线的函数表达式；
（2）在方案一中，当时，求矩形框架的面积并比较，的大小．
24．已知二次函数．
（1）若二次函数的图象经过点，求的值；
（2）当时，求的最小值（用含的代数式表示）；
（3）若可取全体实数，当时，的最小值为-2．设二次函数的图象与轴的两个交点坐标分别为，求线段AB的长度．
25．已知二次函数y＝x2-4x的图象经过A（x1，t），B（x2，t），C（m，n）三点，且x1＜x2．
（1）当t＝5时，求点A和点B的坐标；
（2）将点C先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得点D，求n的值；
（3）当a≤m≤5时，n的最大值为5，n的最小值是-4
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第二十二章 二次函数 单元综合能力测评卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．把抛物线y= 向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵抛物线y=-5x2向左平移2个单位．再向下平移3个单位，
∴得到的抛物线对应的函数关系式为y=-5（x+2）2-3，
故答案为：B．
【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行平移.
2．二次函数的图象如图，将其绕顶点旋转后得到的抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
3．下列对二次函数 的图象的描述，正确的是（ ）
A．开口向下
B．对称轴是 轴
C．经过原点
D．在对称轴右侧 随 的增大而减小
【答案】C
【解析】【解答】∵二次函数y＝x2 x＝（x ）2 ，a＝1，
∴该函数图象开口向上，故答案为：A错误；
对称轴是直线x＝ ，故答案为：B错误；
当x＝0时，y＝0，即该函数图象过原点，故答案为：C正确；
在对称轴右侧y随x的增大而增大，故答案为：D错误；
故答案为：C.
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题.
4．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（ ）
A．函数有最小值 B．对称轴是直线x=
C．当x＜ ，y随x的增大而减小 D．当﹣1＜x＜2时，y＞0
【答案】D
【解析】【解答】解：A、由抛物线的开口向上，可知a＞0，函数有最小值，正确，故A选项不符合题意；
B、由图象可知，对称轴为x= ，正确，故B选项不符合题意；
C、因为a＞0，所以，当x＜ 时，y随x的增大而减小，正确，故C选项不符合题意；
D、由图象可知，当﹣1＜x＜2时，y＜0，错误，故D选项符合题意．
故选：D．
【分析】根据抛物线的开口方向，利用二次函数的性质判断A；
根据图形直接判断B；
根据对称轴结合开口方向得出函数的增减性，进而判断C；
根据图象，当﹣1＜x＜2时，抛物线落在x轴的下方，则y＜0，从而判断D．
5．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，其中a＜0，若函数图象与x轴的两个交点均在负半轴，则下列判断错误的是（ ）
A．abc＜0 B．b＞0 C．c＜0 D．b＋c＜0
【答案】B
【解析】【解答】解：因为函数图象与x轴的两个交点均在负半轴，
所以抛物线的对称轴与x轴负半轴相交，
所以﹣ ＜0，c＜0，
因为a＜0，
所以b＜0，
因为c＜0，
所以abc＜0，b＋c＜0，
故答案为：B.
【分析】由图象的开口向下及对称轴在y轴的左边可得：- ＜0，c＜0，结合a<0可判断出b的正负，进而判断出abc，b＋c的正负，从而即可得出答案.
6．若二次函数的图像如图所示，则一次函数在坐标系内的大致图像为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：由二次函数的图象可得，开口向上，对称轴在轴的右侧，
∴
∴一次函数的图象经过第二、三、四象限，
故答案为：A．
【分析】利用二次函数的图象与性质求出，再判断求解即可。
7．已知二次函数y=x2-2ax+a2-2a-4（a为常数）的图象与轴有交点，且当时，随的增大而增大，则a的取值范围是（ ）
A．a≥-2 B．-2≤a≤3 C．-2≤a＜3 D．a＜3
【答案】B
【解析】【解答】解：∵二次函数y=x2-2ax+a2-2a-4的图象与x轴有交点，
∴ =（-2a）2-4（a2-2a-4）=8a+16≥0，
∴a≥-2，
∵当x＞3时，y随x的增大而增大，且抛物线的开口向上，
∴对称轴x==a≤3，
∴-2≤a≤3.
故答案为：B.
【分析】根据抛物线与x轴有交点，可得 =8a+16≥0，得出a≥-2，根据抛物线的开口向上，对称轴为直线x=a，且当x＞3时，y随x的增大而增大，得出a≤3，即可得出-2≤a≤3.
8．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴一个交点在﹣1，﹣2之间，对称轴为直线x=1，图象如图，给出以下结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＞0；③2a﹣b=0；④9a+3b+c＜0．其中结论正确的个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】【解答】解：∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，①正确；
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴在y轴的右侧，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，②正确；
∵﹣ =1，∴2a+b=0，③错误；
∵b=﹣2a，
∴a+3b+c=a﹣6a+c=﹣5a+c
∵a＞0，
∴﹣5a＜0，
∵c＜0，
∴﹣5a+c＜0，
即a+3b+c＜0，
∴④正确．
综上所述，正确的结论是：①②④．
故选：C．
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断即可．
9．二次函数的图象过点，则使函数值成立的x的取值范围是（ ）
A．或 B．
C．或 D．
【答案】A
【解析】【解答】由二次函数 可得a该抛物线开口向上，对称轴为直线
图象过点，
抛物线与x轴的另一个交点为
在x轴的正半轴，y>0，
或
故答案为：A.
【分析】先根据抛物线的表达式求得开口方向和对称轴，进一步求得与x轴的另一个交点坐标，结合y>0，在y轴的正半轴，从而求解.
10． 已知二次函数为常数图象上两个不同的点，，且有以下四个结论：该二次函数图象与轴一定有两个不同的交点；若一次函数经过点，，则当时，总有；当时，；当时，；以上结论中正确的是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解： 二次函数，
当y1=0时，则=0，
解得x1=-m，x2=m+3，
当-m=m+3时，
∴m=，则当m=时， 该二次函数图象与轴只有一个的交点 ，故①错误；
∵ 一次函数经过点，， 且，，，
又因为抛物线开口向上
∴当时 ，直线在抛物线的上方，即 当时，总有； 故②正确；
当时 ，对称轴为x=，
∴，故③正确；
∵抛物线开口向上，对称轴为x=，
∴当x＜时，y随x的增大而减小，
∵时，p＜q，
∴≤或x1＜＜x2，
当≤时，x1+x2＞+=3，
当x1＜＜x2时，由抛物线开口向上，抛物线上离对称轴越近函数值越小，
∵p＜q，
∴-x1＜x2-，
∴x1+x2＞3，
综上可知：x1+x2＞3，故④错误；
故答案为：B.
【分析】由，当y1=0时，则=0，解得x1=-m，x2=m+3，
当-m=m+3时，求出m=，则当m=时， 该二次函数图象与轴只有一个的交点 ，故①错误；一次函数经过点，， 且，，，又因为抛物线开口向上，当时 ，直线在抛物线的上方，据此判断②；当时 ，对称轴为x=，可得，故③正确；由抛物线开口向上，对称轴为x=，可知当x＜时，y随x的增大而减小，结合时，p＜q，可得≤或x1＜＜x2，据此分别求解，即可判断④.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知一次函数y1＝-x，二次函数y2＝x2-2kx+k2-k（k＞0）.
（1）当x＜1时，y2的函数值随x的增大而减小，则k的最小整数值为 ；
（2）若y＝y2-y1，若点M（k+2，s），N（a，b）都在函数y的图像上，且s＜b，则a的取值范围 .（用含k的式子表示）
【答案】（1）1
（2）a＜k-3或a＞k+2
【解析】【解答】解：（1）∵二次函数y2＝x2-2kx+k2-k＝（x-k）2-k，
∴对称轴为x＝k，开口向上，
∴当x≤k时，y2随x的增大而减小，
∵当x＜1时，y2的函数值随x的增大而减小，
∴k≥1，
∴k的最小整数值为：1.
故答案为：1；
（2）y＝y2-y1＝x2-2kx+k2-k+x＝x2-（2k-1）x+k2-k，
∵点M（k+2，s），N（a，b）都在函数的y图象上，
∴s＝（k+2）2-（2k-1）（k+2）+k2-k＝6，
b＝a2-（2k-1）a+k2-k，
∵s＜b，
∴a2-（2k-1）a+k2-k＞6，
∵当a2-（2k-1）a+k2-k＝6时，
a＝k-3或a=k+2，
∴a＜k-3或a＞k+2.
故答案为：a＜k-3或a＞k+2.
【分析】（1）根据二次函数的解析式可得对称轴为直线x＝k，开口向上，则当x≤k时，y2随x的增大而减小，结合题意可得k的范围，进而可得k的最小整数值；
（2）由已知条件可得y＝y2-y1＝x2-(2k-1)x+k2-k，则s＝(k+2)2-(2k-1)(k+2)+k2-k＝6，b＝a2-(2k-1)a+k2-k，然后根据s＜b可得a的范围.
12．若时，函数的最大值为17，则 ．
【答案】6
【解析】【解答】解：∵函数，
∴函数的图象开口向上，对称轴为直线，
∴当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，
当时，，当时，，
∵时，函数的最大值为，
∴，
故答案为：6．
【分析】先根据函数的解析式得到函数的图象开口方向以及对称轴，求出当时，当时，，结合函数图象的性质即可求解.
13．点A（﹣3，y1），B（2，y2）在抛物线y=x2﹣5x上，则y1 y2．（填“＞”，“＜”或“=”）
【答案】＞
【解析】【解答】解：当x=﹣3时，y1=x2﹣5x=24；
当x=2时，y2=x2﹣5x=﹣6；
∵24＞﹣6，
∴y1＞y2．
故答案为：＞．
【分析】分别计算自变量为﹣3、2时的函数值，然后比较函数值的大小即可．
14．如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为．
（1）抛物线的顶点坐标是 ．
（2）已知P是抛物线对称轴l上的一个动点，当的值最小时，点P的坐标是 ．
【答案】（1）（1，4）
（2）（1，2）
【解析】【解答】
1）把点代入抛物线，解得，
∴该抛物线的表达式为，
∴抛物线的顶点坐标为（1，4）；
（2）连接BC，交抛物线的对称轴l于一点，由抛物线的对称性可知，该点即为所求的点P，
∵抛物线与y轴交于点C，
∴点C的坐标为，
设直线BC的函数表达式为，
把和代入，得：
解得：，
∴直线BC的函数表达式为．
∵抛物线的对称轴为直线，
∴当时，，即当的值最小时，点P的坐标为（1，2）．
故答案为：（1，4），（1，2）．
【分析】（1）将点B的坐标代入并利用配方法求出函数解析式的顶点式，再求出顶点坐标即可；
（2）连接BC，交抛物线的对称轴l于一点，由抛物线的对称性可知，该点即为所求的点P，先求出直线BC的解析式，再将x=1代入解析式求出y的值，可得点P的坐标。
15．如图，四边形是边长为的正方形，与轴正半轴的夹角为，点在抛物线的图象上，则的值为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：如图，连接OB，
∵四边形OABC是边长为的正方形，
∴∠BOC=45°，，
过点B作BD⊥x轴于D，
∵OC与x轴正半轴的夹角为15°，
∴∠BOD=45°-15°=30°，
∴，，
∴点B的坐标为，
∵点B在抛物线y=ax2（a＜0）的图象上，
将代入y=ax2，得：，
解得：．
故答案为：.
【分析】连接OB，根据正方形的对角线平分一组对角线可得∠BOC=45°，过点B作BD⊥x轴于D，然后求出∠BOD=30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得BD=1，再利用勾股定理列式求出OD，从而得到点B的坐标，再把点B的坐标代入抛物线解析式求解即可．
16．已知关于x的二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（1，0），且y1＜0＜y2，对于以下结论：
①abc＞0；②a+3b+2c≤0；③对于自变量x的任意一个取值，都有 x2+x≥﹣ ；④在﹣2＜x＜﹣1中存在一个实数x0，使得x0=﹣ ，
其中结论错误的是 （只填写序号）．
【答案】②
【解析】【解答】解：由题意二次函数图象如图所示，
∴a＜0．b＜0，c＞0，
∴abc＞0，故①正确．
∵a+b+c=0，
∴c=﹣a﹣b，
∴a+3b+2c=a+3b﹣2a﹣2b=b﹣a，
又∵x=﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，
∴b﹣a＜c，
∵c＞O，
∴b﹣a可以是正数，
∴a+3b+2c≤0，故②错误．
故答案为②．
∵函数y′= x2+x= （x2+ x）= （x+ ）2﹣ ，∵ ＞0，∴函数y′有最小值﹣ ，∴ x2+x≥﹣ ，故③正确．
∵y=ax2+bx+c的图象经过点（1，0），
∴a+b+c=0，
∴c=﹣a﹣b，
令y=0则ax2+bx﹣a﹣b=0，设它的两个根为x1，1，
∵x1 1= =﹣ ，∴x1=﹣ ，
∵﹣2＜x1＜x2，
∴在﹣2＜x＜﹣1中存在一个实数x0，使得x0=﹣ ，故④正确，
【分析】①正确．画出函数图象即可判断．
②错误．因为a+b+c=0，所以a+3b+2c=a+3b﹣2a﹣2b=b﹣a，又a﹣b+c＞0，所以b﹣a＜c，故b﹣a可以是正数，由此可以周长判断．
③正确．利用函数y′= x2+x= （x2+ x）= （x+ ）2﹣ ，根据函数的最值问题即可解决．④令y=0则ax2+bx﹣a﹣b=0，设它的两个根为x1，1，则x1 1= =﹣ ，求出x1即可解决问题．本题考查二次函数的图象与系数的关系、二次函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是灵活应用二次函数的性质解决问题，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考填空题中的压轴题．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．已知抛物线的顶点为，且经过点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）该抛物线是否经过点？若不经过，怎样沿轴方向平移该抛物线，使它经过点？并写出平移后的新抛物线的解析式．
【答案】（1）解：抛物线的顶点为，
，
抛物线经过点，
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：当时，，
该抛物线不经过点；
设平移后的新抛物线的解析式为，
经过点，
，
解得：或，
将抛物线向右平移1个或5个单位长度即可过点，
平移后的新抛物线的解析式为或．
【解析】【分析】（1）根据抛物线的顶点坐标求出m的值，再将，代入抛物线的解析式求出a的值，即可求解；
（2）将代入解析式，即可判断抛物线不经过点B；设平移后的新抛物线的解析式为，将点B的坐标代入求出的值，即可求解.
（1）解：抛物线的顶点为，
，
抛物线经过点，
，
解得，
．
（2）解：当时，
，
该抛物线不经过点；
设平移后的新抛物线的解析式为，
经过点，
，
解得：或，
将抛物线向右平移1个或5个单位长度即可过点，
平移后的新抛物线的解析式为或．
18．已知抛物线的解析式为
求抛物线的顶点坐标；
求出抛物线与轴的交点坐标；
当取何值时？
【答案】(1)抛物线顶点坐标为； 抛物线与轴的交点坐标为；当时，．
【解析】【解答】（1）∵，
∴抛物线顶点坐标为；
（2）当时，即，
∴或，
∴抛物线与轴的交点坐标为；
（3）∵抛物线的开口方向向下，且抛物线与轴的交点坐标为，
∴当时，．
【分析】（1）利用配方法将二次函数的一般式化为顶点式，即可得到顶点坐标；
（2）将y=0代入解析式求出x的值即可；
（3）结合二次函数的图象和求出x的取值范围即可.
19．已知二次函数y=x2+mx+n的图象经过点P（﹣3，1），对称轴是直线x=﹣1．
（1）求m，n的值；
（2）x取什么值时，y随x的增大而减小？
【答案】解：（1）∵二次函数y=x2+mx+n的图象经过点P（﹣3，1），对称轴是直线x=﹣1，
∴有，解得．
∴二次函数的解析式为y=x2+2x﹣2．
（2）∵a=1＞0，
∴抛物线的开口向上，当x≤﹣1时，函数递减；当x＞﹣1时，函数递增．
故当x≤﹣1时，y随x的增大而减小．
【解析】【分析】（1）根据二次函数过点P和二次函数的对称轴为x=﹣1，可得出关于m、n的二元一次方程组，解方程组即可得出m、n的值；
（2）由二次函数的a的值大于0，结合函数的单调性，即可得出结论．
20．已知抛物线过A（1，0）和B（4，0）两点，交y轴于C点，且BC=5，求该二次函数的解析式．
【答案】解：设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）（x﹣4），
∵B（4，0）两点，交y轴于C，BC=5，
∴C点坐标为（0，3）或（0，﹣3），
当C点坐标为（0，3），把（0，3）代入得a （﹣1） （﹣4）=3，解得a= ，
所以此时抛物线的解析式为y= （x﹣1）（x﹣4）=﹣ x2﹣ x+5；
当C点坐标为（0，﹣5），把（0，﹣5）代入得a （﹣1） （﹣4）=﹣5，解得a=﹣ ，
所以此时抛物线的解析式为y=﹣ （x﹣1）（x﹣4）=﹣ x2+ x﹣5，
所以该二次函数的解析式为y=﹣ x2﹣ x+5或y=﹣ x2+ x﹣5
【解析】【分析】由于已知抛物线与x轴的交点坐标，则可设交点式y=a（x﹣1）（x﹣4），再利用B点坐标和BC=5得到C点坐标，然后把C点坐标代入可求出a的值，从而得到两个解析式．
21．已知二次函数图象的顶点坐标是 ， 且经过点 .
（1） 求该二次函数的解析式.
（2） 当 时， 求此函数的最大值与最小值.
【答案】（1）解： 顶点坐标是 ，
设二次函数解析式为 ，
将点 代入解析式， 解得 ，
（2）解： 抛物线开口向上，
顶点坐标是 ， 且 在 范围内，
当 时， 函数有最小值 -4 ，
当 时， ； 当 时， ，
当 时， 函数有最大值 0
【解析】【分析】（1）设二次函数解析式为 ，然后把（1，0）代入求出a的值即可；
（2）先分别计算当 时， ； 当 时， ，再根据二次函数的性质得到x＝﹣1时，y有最小值﹣4，从而得到此函数的最大值和最小值．
22．某广场中心有高低不同的各种呈拋物线状的喷泉，其中一支高度为1m的喷水管喷水的最大高度为3m，此时喷水的水平距离为m．在下图所示的坐标系中，求：
（1）这支喷泉的函数表达式(不必求x的取值范围)．
（2）喷泉落地点与原点O的距离．
【答案】（1）解：根据题意知，抛物线的顶点坐标为(，3)，
设抛物线的表达式为y=a(x-)2+3(a≠0)．
把点(0，1)代入，得1=a(0-)2+3，
解得：a=-8，
∴这支喷泉的函数表达式为y=-8(x-)2+3
（2）解：∵y=-8(x-)2+3=-8x2+8x+1，
∴当y=0时，解得x1=，x2=(舍去)．
∴喷泉落地点与原点O的距离为：m
【解析】【分析】（1）先求出顶点坐标，再利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）将y=0代入解析式可得0=-8x2+8x+1，再求出x的值即可.
23．某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求给出了两个设计方案．现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示：
方案一，抛物线型拱门的跨度，拱高．其中，点N在x轴上，，．
方案二，抛物线型拱门的跨度，拱高．其中，点在x轴上，，．
要在拱门中设置高为的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计）．方案一中，矩形框架的面积记为，点A、D在抛物线上，边在上；方案二中，矩形框架的面积记为，点，在抛物线上，边在上．现知，小华已正确求出方案二中，当时，，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题：
（1）求方案一中抛物线的函数表达式；
（2）在方案一中，当时，求矩形框架的面积并比较，的大小．
【答案】（1）解：由题意知，方案一中抛物线的顶点，
设抛物线的函数表达式为，
把代入得：，
解得：，
∴；
∴方案一中抛物线的函数表达式为；
（2）解：在中，令得：，
解得或，
∴，
∴；
∵，
∴．
【解析】【分析】（1）由题意知，方案一中抛物线的顶点，设抛物线的函数表达式为，根据待定系数法将点O坐标代入表达式即可求出答案.
（2）将y=3代入解析式可得或，则，再求出S1，比较大小即可求出答案.
24．已知二次函数．
（1）若二次函数的图象经过点，求的值；
（2）当时，求的最小值（用含的代数式表示）；
（3）若可取全体实数，当时，的最小值为-2．设二次函数的图象与轴的两个交点坐标分别为，求线段AB的长度．
【答案】（1）解：将点代入，
得，解得．
（2）解：易知抛物线的对称轴为直线，
①若，
当时，随的增大而增大，
当时，取得最小值，为3；
②若，
当时，取得最小值，为；
③若，
当时，随的增大而减小，
当时，取得最小值，即．
综上可知，若的最小值为3；若的最小值为若的最小值为．
（3）解：由（1）知，当时，取最小值，解得．
，
．
由题意，可知为一元二次方程的两个根．
由韦达定理，得，
．
【解析】【分析】（1）把代入，即可求得t的值；
（2） 抛物线的对称轴为直线， 分类讨论：①t＜0， 当时，取得最小值为3；② 若 当时，取得最小值，为；③ 若 当时，取得最小值，即， 综上可知，若的最小值为3；若的最小值为若的最小值为；
（3） 由（1）知，当时，取最小值，解得，负值舍去，可得：t=，可得：，令y=0，可得， 进一步可得：．
25．已知二次函数y＝x2-4x的图象经过A（x1，t），B（x2，t），C（m，n）三点，且x1＜x2．
（1）当t＝5时，求点A和点B的坐标；
（2）将点C先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得点D，求n的值；
（3）当a≤m≤5时，n的最大值为5，n的最小值是-4
【答案】（1）解：二次函数y＝x2-4x的图象经过A（x1，t），B（x2，t），
∴A（x1，t），B（x2，t）关于抛物线的对称轴对称，
当t＝5时，则x2-4x＝5，即x2-4x-5＝0，
解得x1＝-1，x2＝5，
∴A（-1，5），B（5，5）；
（2）解：将点C先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，
∵C（m，n），
∴D（m+1，n-2），
∵点C、D在该二次函数的图象上，
∴，
解得，
∴n的值为-；
（3）解：当a≤m≤5时，n的最大值为5，
∵y＝x2-4x＝（x-2）2-4，
∴抛物线开口向上，顶点为（2，-4），
把y＝5代入y＝x2-4x得5＝x2-4x，解得x1＝5，x2＝-1，
∴当m＝-1或5时，n有最小值为-4，当m=2时n有最大值为5，
∴a的取值范围是-1≤a≤2．
【解析】【分析】（1）利用点A，B的坐标可得到这两个点关于对称轴对称，将y=5代入函数解析式，可求出对应的x的值，可得到点A和点B的坐标.
（2）利用点的坐标平移规律：上加下减，左减右加，可得到点D的坐标，再将点C，D的坐标分别代入二次函数解析式，可得到关于m，n的方程组，解方程组求出m，n的值.
（3）将函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质可知当m=2时n有最大值-4；将y=5代入函数解析式，可求出对应的x的值，可得到当m＝-1或5时，n有最大值为5，据此可得到符合题意的m的取值范围.
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