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第二十三章 旋转 单元真题汇编培优卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1． 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2． 如图各交通标志中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知点A（1，a）、点B（b，2）关于原点对称，则a+b的值为（ ）
A．﹣3 B．3 C．﹣1 D．1
4．如图，沿图中虚线旋转一周，能围成的几何体是下面几何体中的（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在等边中，D是边上的一点，连接，将绕点B遂时针旋转，得到，连接，下列结论：①是等边三角形；②；③的周长等于，其中正确的有几个（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
6．下列命题是真命题的是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．两条对角线相等的四边形是平行四边形
C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
D．平行四边形既是中心对称图形，又是轴对称图形
7．如图，将 （其中 ， ），绕 点按顺时针方向旋转到 的位置，使得点 ， ， 在同一直线上，则旋转角的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．下列各图中，能由“基本图案”通过旋转变换得到的图形是（ ）
A． B．
C． D．
9．下列几何图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A．等边三角形 B．平行四边形 C．菱形 D．正五边形
10．如图，一副三角板中两个直角顶点C叠放在一起，其中∠A=30°，∠B=60°，∠D=∠E=45°，保持三角板ABC不动，三角板DCE可绕点C旋转，则下列结论：①∠ACE=∠BCD；②∠BCE+∠ACD随着∠ACD的交化而变化；③当AB∥CE时，则∠ACD=60°或150°；④当∠BCE=3∠ACD时，DE一定垂直于AC．其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，点D是等边△ABC内一点，将△BDC以点C为中心顺时针旋转60°，得到△ACE，连接BE，若∠AEB＝45°，则∠DBE的度数为 .
12．如图，△ABC为等边三角形，△AO′B绕点A逆时针旋转后能与△AOC重合，则∠OAO′＝ 度．
13．如图，P是正三角形 ABC 内的一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10.∠APB＝ °.
14．如图所示的图案，至少要绕图案中心点旋转 度后，才能与原来的图形重合．
15．如图，在平面直角坐标系中，矩形活动框架ABCD的长AB为2，宽AD为，其中边AB在x轴上，且原点O为AB的中点，固定点A、B，把这个矩形活动框架沿箭头方向推，使D落在y轴的正半轴上点D'处，点C的对应点C'的坐标为 ．
16．如图，正方形ABCD的边长为，点A与原点重合，点B在y轴的正半轴上，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°至正方形位置，与CD相交于P，则直线的解析式为 ．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，已知△ABC和过点O的两条互相垂直的直线x、y，画出△ABC关于直线x对称的△A′B′C′，再画出△A′B′C′关于直线y对称的△A″B″C″，观察△ABC与△A″B″C″，这两个三角形具有怎样的对称性？
18．某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC与AFE按如图（1）所示位置放置，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转角α（0°＜α＜90°），如图（2），AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P．
（1）求证：AM=AN；
（2）当旋转角α=30°时，四边形ABPF是什么样的特殊四边形？并说明理由．
19．两块大小相同，斜边长为4，含有30°角的三角板如图水平放置．将△CDE绕点C按逆时针方向旋转，当点E恰好落在AB上时，求△CDE旋转的角度．
20．将一副直角三角板如图1，摆放在直线MN上（直角三角板和直角三角板，，，，），保持三角板不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，旋转时间为秒，当与射线重合时停止旋转．
（1）如图2，当为的角平分线时，求此时t的值；
（2）当旋转至的内部时，求与的数量关系；
（3）在旋转过程中，当三角板的其中一边平行于三角板的某一边时，求此时t等于 （直接写出答案即可）．
21． 如图，将两个直角三角尺作如下摆放，，直线过点，在直线上，平分．
（1）求的度数．
（2）试判断与的位置关系，并说明理由．
（3）将绕点逆时针旋转，速度为每秒，同时绕点逆时针旋转，速度为每秒，记旋转时间为，当旋转一周时，整个运动停止．当与的任意一边平行时，求出所有满足条件的的值．
22．如图，△ABC中，∠BAC=120o，以BC为边向外作等边△BCD，把△ABD绕着D点按顺时针方向旋转60o后到△ECD的位置。若AB=6，AC=4，求∠BAD的度数和AD的长.
23．小明在一次数学活动中，进行了如下的探究活动：如图，在矩形中，，，以点为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点、、的对应点分别为、、．
（1）如图①，当点落在边上时，求的长；
（2）如图②，当点落在线段上时，与交于点．求的长．
（3）记点为矩形对角线的交点，连接、，记面积为，求的取值范围．
24．将一副三角板中的两块直角三角尺按如图方式叠放在一起（其中∠ACB＝∠E＝90°，∠A＝60°，∠B＝30°，∠ECD＝∠EDC＝45°）．
（1）若∠ACE＝125°，则∠BCD的度数为 ；
（2）如图，在此位置将三角形ABC绕点C顺时针转动，设∠BCD＝α，
①若AB∥CE，求α的度数；
②当旋转角度不超过180°时，这两块三角尺除了AB∥CE外，是否还存在互相平行的边？若存在，请直接写出α的所有可能的值（不必说明理由）；若不存在，请说明理由．
25．如图，直线，一副直角三角板，中，，，，．
（1）若按如图1摆放，当平分时，则______；
（2）若，按如图2摆放，则______；
（3）若图2中固定．将沿着方向平行移动，边与直线相交于点G，作和的角平分线相交于点H（如图3），求的度数．
（4）若图2中固定，（如图4）将绕点A以每秒的速度顺时针旋转，旋转时间为t秒，线段与直线首次重合时停止旋转，当线段与的一条边平行时，请求出旋转时间t的值．
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第二十三章 旋转 单元真题汇编培优卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1． 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：
A、是轴对称图形，不是中心对称图形，A不符合题意；
B、是轴对称图形，是中心对称图形，B符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，C不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，D不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义结合题意对选项逐一分析即可求解。
2． 如图各交通标志中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，故选项A符合题意；
B、C、D是中心对称图形，故选项B、C、D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据中心对称图形的定义： 在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形.
3．已知点A（1，a）、点B（b，2）关于原点对称，则a+b的值为（ ）
A．﹣3 B．3 C．﹣1 D．1
【答案】A
【解析】【解答】解：∵点A（1，a）、点B（b，2）关于原点对称，∴b=﹣1，a=﹣2，a+b=﹣3，故答案为：A．
【分析】根据关于原点对称点的坐标特点是横纵坐标都互为相反数，求出a、b的值，再求出a+b的值即可。
4．如图，沿图中虚线旋转一周，能围成的几何体是下面几何体中的（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：由“面动成体”可得，选项B中的图形旋转一周可形成如图所示的几何体，
故答案为：B．
【分析】利用“点动成线，线动成面，面动成体”分析求解即可.
5．如图，在等边中，D是边上的一点，连接，将绕点B遂时针旋转，得到，连接，下列结论：①是等边三角形；②；③的周长等于，其中正确的有几个（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【解析】【解答】解：∵在等边△ABC中，△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△BAE，
∴BE=BD，AE=CD，∠DBE=60°，∠C=∠BAE=∠ABC=60°
∴△BDE为等边三角形，∠ABC=∠BAE=60°
∴DE=BD，AE∥BC；
∴△AED的周长=DE+AE+AD=BD+CD+AD=BD+AC= BD+BC，
故①②③符合题意；
故答案为：D
【分析】由旋转的性质可得对应边和对应角相等及平行四边形的判定方法逐项进行判断即可得到结论。
6．下列命题是真命题的是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．两条对角线相等的四边形是平行四边形
C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
D．平行四边形既是中心对称图形，又是轴对称图形
【答案】C
【解析】【解答】解：A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形不是平行四边形；故本选项错误；
B、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形.故本选项错误；
C、两组对边分别相等的四边形是平行四边形.故本选项正确；
D、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形.故本选项错误；
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的判定定理可判断A、B、C；根据中心对称图形以及轴对称图形的概念可判断D.
7．如图，将 （其中 ， ），绕 点按顺时针方向旋转到 的位置，使得点 ， ， 在同一直线上，则旋转角的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵∠B=34°，∠C=90°
∴∠BAC=56°
∴∠BAB1=180°-56°=124°
故答案为：C.
【分析】根据图中的对应点和对应角，根据旋转的性质求出答案即可。
8．下列各图中，能由“基本图案”通过旋转变换得到的图形是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：A、将一等腰直角三角形经过顺时针旋转90°变换得到，故此选项正确；
B、要经过轴对称与旋转变换得出，故此选项错误；
C、要经过轴对称变换得出，故此选项错误；
D、要经过轴对称与旋转变换得出，故此选项错误；
故选：A．
【分析】根据题意，通过观察图形，可知图形A将一等腰直角三角形经过顺时针旋转90°变换得到；其他图形要经过轴对称和经过平移变换得到进而得出答案．
9．下列几何图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A．等边三角形 B．平行四边形 C．菱形 D．正五边形
【答案】B
【解析】【解答】解：A：等边三角形为轴对称图形，但不为中心对称图形，故A错误；
B：平行四边形为中心对称图形，但不为轴对称图形，故B正确；
C：菱形及为中心对称图形也为轴对称图形，故C错误；
D：正五边形为轴对称图形，但不为中心对称图形，故D错误；
故答案为：B．
【分析】轴对称是把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线称对，也称这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴。
中心对称是一个图形绕着某一点旋转180，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这个点对称，也称这两个图形中心对称，这个点叫做对称中心。根据中心对称图形与轴对称图形的特点逐一判断即可．
10．如图，一副三角板中两个直角顶点C叠放在一起，其中∠A=30°，∠B=60°，∠D=∠E=45°，保持三角板ABC不动，三角板DCE可绕点C旋转，则下列结论：①∠ACE=∠BCD；②∠BCE+∠ACD随着∠ACD的交化而变化；③当AB∥CE时，则∠ACD=60°或150°；④当∠BCE=3∠ACD时，DE一定垂直于AC．其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【解析】【解答】解：①，，
；①正确．
②，
，
，是定值；②错误．
③如图1所示，
当时，，
，
如图2所示，
当时，，
，
当时，则或；③错误．
④设，则．
如图
由（1）可知，，
，
解得：，
即，
，
；
如图
由（1）得：，
，
，
，
，
．
此时或；④错误．
∴ 正确的个数有个．
故答案为：A．
【分析】①根据同角的余角相等可得；
②根据角的关系可得；
③分CD在CB上方和CD在CB下方两种平行情况讨论即可；
④分CD在CB上方和CD在CB下方两种情况讨论即可；
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，点D是等边△ABC内一点，将△BDC以点C为中心顺时针旋转60°，得到△ACE，连接BE，若∠AEB＝45°，则∠DBE的度数为 .
【答案】15°
【解析】【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∵△BDC以点C为中心顺时针旋转60°，得到△ACE，
∴∠CBD＝∠CAE，
∵∠CAE+∠AEB＝∠CBE+∠BCA，
即∠CBD+45°＝∠CBE+60°，
∴∠CBD﹣∠CBE＝60°﹣45°＝15°，
即∠DBE＝15°.
故答案为：15°.
【分析】由旋转的性质可得∠CBD＝∠CAE，结合角的构成易得∠CAE+∠AEB＝∠CBE+∠BCA，整理可求得∠DBE＝∠CBD﹣∠CBE的度数.
12．如图，△ABC为等边三角形，△AO′B绕点A逆时针旋转后能与△AOC重合，则∠OAO′＝ 度．
【答案】60
【解析】【解答】解：根据旋转的性质得：∠OAO′=∠BAC．
∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°，∴∠OAO′=60°．
故答案为60．
【分析】根据旋转的性质，找出∠OAO′=∠BAC，根据等边三角形的性质，即可解答．
13．如图，P是正三角形 ABC 内的一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10.∠APB＝ °.
【答案】150
【解析】【解答】解：将△PBC绕点B逆时针旋转60°得△DAB，
∵BD=BP，∠DBP=∠ABC=60°，
∴△BDP为等边三角形，∠DPB=60°，
由旋转可知AD=PC=10，DP=BP=8，
∵AP2+DP2=62+82=102=AD2，
∴△ADP是直角三角形，∠APD=90°，
∴∠APB=∠APD+∠DPB=150°.
【分析】将△PBC绕点B逆时针旋转60°得到△DAB，根据旋转的性质证出△DBP为等边三角形，然后由勾股定理的逆定理证明△ADP为直角三角形，则可求出∠APB的度数.
14．如图所示的图案，至少要绕图案中心点旋转 度后，才能与原来的图形重合．
【答案】60
【解析】【解答】根据图象可知：至少旋转360°÷6=60°后，才能与原来的图形重合。
故答案为：60°。
【分析】根据旋转对称图形的定义及计算方法求解即可。
15．如图，在平面直角坐标系中，矩形活动框架ABCD的长AB为2，宽AD为，其中边AB在x轴上，且原点O为AB的中点，固定点A、B，把这个矩形活动框架沿箭头方向推，使D落在y轴的正半轴上点D'处，点C的对应点C'的坐标为 ．
【答案】（2，1）
【解析】【解答】解：∵ AD'=AD=，AO=AB=1，
∴OD'==1，
∵C'D'=2，C'D'∥AB，
∴C'（2，1），
故答案为（2，1）
【分析】
由旋转的性质知AD`=AD=，AO=AB=1，则由勾股定理可得到OD'=1，再利用平行四边形的对边平行且相等即可．
16．如图，正方形ABCD的边长为，点A与原点重合，点B在y轴的正半轴上，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°至正方形位置，与CD相交于P，则直线的解析式为 ．
【答案】
【解析】【解答】过点作轴，轴，过点作，轴，
根据旋转的性质得，
∵正方形ABCD的边长为，
∴，
，
∴，
在中，，
∴，
，
∴，
∴，
设直线的直线解析式为，
∴，解得：，
∴；
故答案是：．
【分析】过点作轴，轴，过点作，轴，根据旋转的性质得，根据正方形的性质、直角三角形的性质及勾股定理分别求出B'、C'的坐标，再利用待定系数法求出直线解析式即可.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，已知△ABC和过点O的两条互相垂直的直线x、y，画出△ABC关于直线x对称的△A′B′C′，再画出△A′B′C′关于直线y对称的△A″B″C″，观察△ABC与△A″B″C″，这两个三角形具有怎样的对称性？
【答案】解：由△ABC关于直线x对称的△A′B′C′，
得对应点的横坐标相同，纵坐标互为相反数．
由△A′B′C′关于直线y对称的△A″B″C″，
得对应点的纵坐标相同，横坐标互为相反数．
△ABC与△A″B″C″对应点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，
△ABC与△A″B″C″关于原点对称．
【解析】【分析】根据关于x轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点的纵坐标相等，横坐标互为相反数；关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数；旋转是绕某个点旋转一定角度得到新图形，可得答案．
18．某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC与AFE按如图（1）所示位置放置，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转角α（0°＜α＜90°），如图（2），AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P．
（1）求证：AM=AN；
（2）当旋转角α=30°时，四边形ABPF是什么样的特殊四边形？并说明理由．
【答案】（1）证明：∵用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC与AFE按如图（1）所示放置，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转角α（0°＜α＜90°），
∴AB=AF，∠BAM=∠FAN.
∵在△ABM和△AFN中，，
∴△ABM≌△AFN（ASA）.
∴AM=AN.
（2）解：当旋转角α=30°时，四边形ABPF是菱形.理由如下：
连接AP，
∵∠α=30°，∴∠FAN=30°.∴∠FAB=120°.
∵∠B=60°，∴AF∥BP.∴∠F=∠FPC=60°.
∴∠FPC=∠B=60°.∴AB∥FP.
∴四边形ABPF是平行四边形.
∵AB=AF，
∴平行四边形ABPF是菱形.
【解析】【分析】本题主要考查全等三角形的证明及性质、菱形的判定.（1）根据题意及旋转的性质可得：AB=AF，∠BAM=∠FAN，然后根据角边角即可证得△ABM≌△AFN，进而证明结论；
（2）当旋转角α=30°时，四边形ABPF是菱形，根据旋转的性质可得：∠FAB=120，然后利用同旁内角互补，内错角相等证得AF∥BP，AB∥FP.从而得到四边形ABPF是平行四边形.再根据邻边相等可证明结论.
19．两块大小相同，斜边长为4，含有30°角的三角板如图水平放置．将△CDE绕点C按逆时针方向旋转，当点E恰好落在AB上时，求△CDE旋转的角度．
【答案】解：根据题意可得，BC=EC=E′C；
∵在Rt△ABC中，∠A=30°，
∴∠B=90°-30°=60°，，
又∵BC=E′C，
则△BCE′为等边三角形，
∴BE′=2，
则AE′=AB-BE′=4-2=2，
即AE′=CE′=2，
∴∠E′AC=∠E′CA=30°，
即△CDE旋转的角度为30°.
【解析】【分析】根据旋转的性质可得BC=EC=E′C；根据直角三角形两锐角互余可求得∠B的度数；根据直角三角形，30度所对的边是斜边的一半可得BC的值；根据有一个角是60°角的等腰三角形是等边三角形可得△BCE′为等边三角形；根据等边三角形三条边都相等可得BE′的值；求得AE′=CE′；根据等腰三角形两底角相等可得∠E′AC=∠E′CA=30°，即可求得△CDE旋转的角度．
20．将一副直角三角板如图1，摆放在直线MN上（直角三角板和直角三角板，，，，），保持三角板不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，旋转时间为秒，当与射线重合时停止旋转．
（1）如图2，当为的角平分线时，求此时t的值；
（2）当旋转至的内部时，求与的数量关系；
（3）在旋转过程中，当三角板的其中一边平行于三角板的某一边时，求此时t等于 （直接写出答案即可）．
【答案】（1）解：根据题意可知：∠EDC=90°，∠DEC=60°，
∴∠DCE=180°-∠EDC-∠DEC=180°-90°-60°=30°，
∵AC是∠DCE的平分线，
∴∠ACE=∠ACD==15°，
∴t=15°÷5°=3 s.
（2）解： 当旋转至的内部时， ∠ECB-∠DCA=15°，
由旋转的性质可得：∠ACE=5t，
∴∠DCA=∠DCE-∠ACE=30°-5t，∠ECB=∠ACB-∠ACE=45°-5t，
∴∠ECB-∠DCA=（45°-5t）-（30°-5t）=15°.
（3）或或或
【解析】【解答】解：（3）当三角板的其中一边平行于三角板的某一边时，可能会出现四种情况：
①，如图4所示：
根据题意可知：∠DCE=30°，∠ACB=45°，
∴∠ACE=∠DCE+∠ACB=30°+45°=75°，
此时旋转时间；
②，如图5所示：，
根据题意可知：，∠ACB=45°，
∴∠ACE=∠BCE+∠ACB=90°+45°=135°，
此时旋转时间；
③，如图6所示：
根据题意可知：，∠DCE=30°，∠ACB=45°，
∴∠ACE=∠DCE+∠DCB+∠ACB=30°+90°+45°=165°，
此时旋转时间；
④，如图7所示：
根据题意可知：∠DCE=30°，∠ACD=∠D=90°，∠ACB=45°，
∴∠ACE=∠DCE+∠ACD=30°+90°=120°，
此时旋转时间；
综上所述，此时旋转时间tt的值为或或或．
故答案为：或或或．
【分析】（1）根据角平分线的定义求出∠ACE=∠ACD==15°，然后求出t的值即可；
（2）根据旋转得：∠ACE=5t，表示出∠DCA=30°-5t，∠ECB=45°-5t，即可得出∠ECB-∠DCA=15°；
（3）当三角板的其中一边平行于三角板的某一边时，可能会出现四种情况：、、、，分情况进行讨论，画出图形，求出t的值即可.
（1）解：如图2，，，
，
平分，
，
，
答：此时的值是；
（2）当旋转至的内部时，如图3，与的数量关系是：；
理由是：由旋转得：，
，，
；
（3）分四种情况：
①当时，如图4，，
；
②当时，如图5，则，
，
；
③当时，如图6，则，
，
；
④当时，如图7，
，
，
；
综上，的值是或或或．
故答案为：或或或．
21． 如图，将两个直角三角尺作如下摆放，，直线过点，在直线上，平分．
（1）求的度数．
（2）试判断与的位置关系，并说明理由．
（3）将绕点逆时针旋转，速度为每秒，同时绕点逆时针旋转，速度为每秒，记旋转时间为，当旋转一周时，整个运动停止．当与的任意一边平行时，求出所有满足条件的的值．
【答案】（1）解：根据题意得： ∠GEF = 60°，
∵EG平分∠AEF，
∴∠AEF = 2∠GEF = 120°，
∴∠BEF = 180°-∠AEF = 60°；
（2）解：过点G作GL∥AB， 如图所示：
根据题意得： ∠AEG=60°，∠PNM =30°，∠EGF= 90°，
∴∠EGL=∠AEG=60°，
∴∠LGP=30°，
∴∠LGP = ∠PNM =30°，
∴GL∥CD，
∴GL∥CD∥AB，
∴CD∥AB；
（3）解：如图所示，当时，延长EF交CD于点H，延长PN交EF于点O，交AB于点G，
由 (1) 得
∵将 绕点E逆时针旋转，速度为每秒 同时 绕点N逆时针旋转，速度为每秒 记旋转时间为t，
∴∠HEG=60°﹣4t，∠CNP=10t﹣30°，
∵CD∥AB，
∴∠EHN=60°-4t， ∠CNP=∠HNO=10t-30°，
∴∠EHN+∠CNP=90°， 即60°-4t+10t-30°=90°，
解得： t=10；
如图所示，当EF∥NM时，延长NM交AB于点G，
∵将△EGF绕点E逆时针旋转，速度为每秒4°，同时△MPN绕点N逆时针旋转，速度为每秒10°，记旋转时间为t，
∴∠FEG=4t-60°，∠MND=10t-180°，
∵CD∥AB，
∴∠DNM =∠BGM =10t-180°，
∵EF∥NM，
∴∠FEB=∠BGM， 即10t-180°= 4t-60°，
解得： t= 20；
如图所示，当EF∥NP时，延长NP交AB于点G，
∵将△EGF绕点E逆时针旋转，速度为每秒4°，同时△MPN绕点N逆时针旋转，速度为每秒10°，记旋转时间为t，
∴∠FEG=4t-60°，∠GND=10t-180°-30°，
∵CD∥AB，
∴∠DNG=∠AGN =10t-180°-30°，
∵EF∥NM，
∴∠FEG=∠EGN， 即10t-180°-30°= 4t-60°，
解得： t= 25；
综上可得：t的值为10或20或25.
【解析】【分析】(1)根据角平分线及邻补角计算即可；
(2)过点G作GL∥AB，根据平行线的判定和性质即可得出结果；
(3)根据题意，分三种情况分析：当EF∥PM时， 当EF∥NM时， 当EF∥NP时， 然后作出辅助线，利用平行线的性质求解即可.
22．如图，△ABC中，∠BAC=120o，以BC为边向外作等边△BCD，把△ABD绕着D点按顺时针方向旋转60o后到△ECD的位置。若AB=6，AC=4，求∠BAD的度数和AD的长.
【答案】解：由旋转可知：△ABD≌△ECD
∴AB=EC=6，∠BAD=∠E，AD=ED
∵∠ADE=60°
∴△ADE是等边三角形
∴AE=AD
∠E=∠DAE=60°
∴∠BAD=60°
∵∠BAC=120°
∴∠DAC=60°=∠DAE
∴C在AE上
∴AD=AC+CE=4+6=10
【解析】【分析】由旋转的性质可
AD=ED，∠ADE=60°，△ADE是等边三角形，继而可得到AE=AD，
∠E=∠DAE=60°，可求出∠BAD=60°，AD长即为AC+CE=AC+AB。
23．小明在一次数学活动中，进行了如下的探究活动：如图，在矩形中，，，以点为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点、、的对应点分别为、、．
（1）如图①，当点落在边上时，求的长；
（2）如图②，当点落在线段上时，与交于点．求的长．
（3）记点为矩形对角线的交点，连接、，记面积为，求的取值范围．
【答案】（1）解：由旋转的性质知，
四边形是矩形，
，，
；
；
（2）解：由旋转知：，，
，
，
又，
，
设，
又在矩形中，有，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
即；
（3）解：四边形是矩形，
，，，
，
，
，
如图，始终在以为圆心，为半径的圆上，的底是定值为，当高最小或最大时，的面积就存在最小值或最大值，
当点在线段上时，此时最短，则面积有最小值；
当点在延长线上时，此时最长，则面积有最大值；
分情况讨论：
当点在线段上时，面积有最小值，
；
当点在线段延长线上时，面积有最大值．
．
．
【解析】【分析】（1）根据旋转性质可得，再根据矩形性质可得，，根据勾股定理可得CG，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）根据旋转性质可得，，再根据全等三角形判定定理可得，则，设，根据直线平行性质可得，则，根据等角对等边可得，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
（3）根据矩形性质可得，，，根据勾股定理可得BD，则，始终在以为圆心，为半径的圆上，的底是定值为，当高最小或最大时，的面积就存在最小值或最大值，当点在线段上时，此时最短，则面积有最小值；当点在延长线上时，此时最长，则面积有最大值，结合三角形面积即可求出答案.
（1）解：由旋转的性质知，
四边形是矩形，
，，
；
；
（2）解：由旋转知：，，
，
，
又，
，
设，
又在矩形中，有，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
即；
（3）解：四边形是矩形，
，，，
，
，
，
如图，始终在以为圆心，为半径的圆上，的底是定值为，当高最小或最大时，的面积就存在最小值或最大值，
当点在线段上时，此时最短，则面积有最小值；
当点在延长线上时，此时最长，则面积有最大值；
分情况讨论：
当点在线段上时，面积有最小值，
；
当点在线段延长线上时，面积有最大值．
．
．
24．将一副三角板中的两块直角三角尺按如图方式叠放在一起（其中∠ACB＝∠E＝90°，∠A＝60°，∠B＝30°，∠ECD＝∠EDC＝45°）．
（1）若∠ACE＝125°，则∠BCD的度数为 ；
（2）如图，在此位置将三角形ABC绕点C顺时针转动，设∠BCD＝α，
①若AB∥CE，求α的度数；
②当旋转角度不超过180°时，这两块三角尺除了AB∥CE外，是否还存在互相平行的边？若存在，请直接写出α的所有可能的值（不必说明理由）；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）10°
（2）解：①当AB在CE的上方时，
∵AB∥CE，
∴∠BCE＝∠B＝30°，
∵∠DCE＝45°，
∴∠BCD＝45°﹣30°＝15°，
即α＝15°；
当AB在CE的下方时，
∵AB∥CE，
∴∠ACE＝∠A＝60°，
∵∠DCE＝45°，
∴∠BCD＝360°﹣90°﹣45°﹣60°＝165°；
综上所述，若AB∥CE，α的度数为15°或165°；
②还存在互相平行的边，α为30°或45°或75°或135°
1.如图，当AB||CD时，∠BCD=∠ABC=30°
2.当BC||DE时，∠BCD=180°-90°-45°=45°
3.当AB||DE时，∠BCD=180°-60°-45°=75°
4.当AC||DE时，此时∠BCD=180°-45°=135°
综上所述，α为30°或45°或75°或135°
【解析】【解答】解：（1）：已知∠ACB=90°，∠ECD=45°，∠ACE=125°。设∠BCD=x，则∠ACD=90°-x。由∠ACE=∠ACD+∠DCE得：125°=(90°-x)+45°，解得x=10°，即 ∠BCD的度数为10°.
故答案为：10°.
【分析】 (1)、 根据题意已知三角形的每个内角及 ∠ACE＝125° ，由图可得∠ACE=∠ACD+∠DCB+∠BCE，即可求解 ∠BCD ；
(2)、 ① 当AB在CE上方时，分析三角形ABC和三角形CDE的平行关系当AB//CE时，根据平行线的性质，可以得出∠BCE =∠B=30°，因为∠DCE=45°，所以∠BCD=45°- 30°=15°；
当AB在CE下方时，根据平行线的性质，可以得出∠ACE= ∠A=60°，因为∠DCE=45°，所以∠BCD =360°- 90°-45°-60°=165°；
②其他平行关系，除了AB//CE外，还存在AC//DE和AB//DE的情况，根据三角形内角和、平行线性质及旋转特性可求出 α 的值.
25．如图，直线，一副直角三角板，中，，，，．
（1）若按如图1摆放，当平分时，则______；
（2）若，按如图2摆放，则______；
（3）若图2中固定．将沿着方向平行移动，边与直线相交于点G，作和的角平分线相交于点H（如图3），求的度数．
（4）若图2中固定，（如图4）将绕点A以每秒的速度顺时针旋转，旋转时间为t秒，线段与直线首次重合时停止旋转，当线段与的一条边平行时，请求出旋转时间t的值．
【答案】（1）
（2）
（3）解：如图3，分别过点、作，，
，，
∵，，，
∴，
，，
和的角平分线、相交于点，
，，
，
，
，
，
，
，
；
（4）解：设旋转时间为秒，由题意旋转速度为每秒转，
分三种情况：
①当时，如图5，此时，
，
，
解得：；
②当时，如图6，
，
，
，
解得：；
③当时，如图7，延长交于，延长交于，
，
，
，
，
，
，
解得：，
综上所述，绕点顺时针旋转的时间为或或时，线段与的一条边平行．
【解析】【解答】（1）解：在中，，，，
平分，
，
∵，
，
；
故答案为：；
（2）解：如图2，过点作，
，
，
∵，，
∴，
，
又．
；
∴
故答案为：；
【分析】（1）运用角平分线定义求出∠PEF的度数，然后根据平行线性质得到即可解题；
（2）过点作，则可得到，然后根据平行线性质即可解题；
（3）如图， 分别过点F、H作 和 的角平分线GH、FH相交于点H，可得 ，最后根据 即可求解.
（4）设旋转时间为秒，分①当时，②当时，③当时，三种情况根据旋转角度列方程求解即可．
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