第十二单元　随机事件与概率【一周一测基础知识专项训练（含解析）】-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第十二单元　随机事件与概率
【一周一测基础知识专项训练】
单项选择题
1.[2025仙桃中学期末]已知P(A)=0.5,P(B)=0.4,且B?A,则P(AB)=(　　)
A.0.4 B.0.5 C.0.9 D.0.2
2.[2025河北衡水中学、衡水二中等校高一联考]抛掷一枚质地均匀的骰子,设事件M=“点数不大于2”,事件N=“点数大于1”,则下列结论中正确的是(　　)
A.M是不可能事件 B.N是必然事件
C.M∩N是不可能事件 D.M∪N是必然事件
3.[2025邯郸一中高一期末]某学校实验室培育红豆与绿豆种子各三颗,若每颗种子是否发芽是随机的,则下列各组事件中,是互斥事件的是(　　)
A.“恰有一颗红豆种子不发芽”与“至多有两颗红豆种子不发芽”
B.“恰有四颗种子发芽”与“至少有两颗红豆种子、两颗绿豆种子发芽”
C.“至少有五颗种子发芽”与“至多有一颗绿豆种子发芽”
D.“恰有两颗红豆种子发芽”与“恰有一颗绿豆种子发芽”
4.[2025山西名校联考]在山西的某个旅游景点内有刀削面、油炸糕、糖火烧、炕馍、莜面这5种传统小吃.某游客从中随机选择3种品尝,则该游客选择了油炸糕和莜面的概率为(　　)
A.35 B.13 C.25 D.310
5.[2025安徽省黄山市模拟]已知A,B,C是三种电子信息传递元件,第一次由A元件将信息传出,每次传递时,传递元件都等可能地将信息传递给另外两个元件中的任何一个,则第三次传递后,信息在A元件中的概率是(　　)
A.14 B.12 C.38 D.516
6.[2025西南大学附中高一期末]用3,4,5这3个数字组成无重复数字的自然数m,记事件A=“m能被5整除”,事件B=“m为奇数”,则事件A与事件B至少有一个发生的概率为(　　)
A.23 B.13 C.12 D.1
7.[2024全国甲卷文]甲、乙、丙、丁四人排成一列,则丙不在排头,且甲或乙在排尾的概率是(　　)
A.14 B.13 C.12 D.23
4063365171458.【情境创新】[2025山西省实验中学高一期末]冒险棋是一种多人参与的休闲益智类棋类游戏,其核心玩法如下:玩家从起点出发,通过掷骰子决定棋子移动步数,并结合陷阱等特殊路径机制行进,先到达终点者获胜(掷到几点,棋子就前进几步,若棋子停止的格子上有冒险文字,则玩家需按照冒险文字指示完成相应操作).如图,已知甲执红棋、乙执蓝棋来到了同一个位置,甲先掷一次骰子,乙再掷一次骰子,则红棋比蓝棋更靠近终点的概率为(　　)
A.1336 B.49 C.512 D.718
多项选择题
9.【教材变式】[2025驻马店高级中学高一月考]某同学参加3次不同测试,用事件Ji(i=1,2,3)表示随机事件“第i(i=1,2,3)次测试成绩及格”,则下列说法正确的是(　　)
A.J1∪J2表示前两次测试成绩中有且仅有一次及格?
B.J2?J3表示后两次测试成绩均不及格
C.J1∩J2∩J3表示三次测试成绩均及格
D.J1∩J2∩J3表示三次测试成绩均不及格
10.[2025石家庄一中高一期末]已知事件A,B,C两两互斥,若P(B)=14,P(A∪B)=712,P(A∪C)=1115,则(　　)
A.P(A)=13 B.P(C)=25
C.P(B∪C)=1320 D.P(A∪B∪C)=5360
11.[2024荆州中学高一月考]有两个信封,第一个信封内的四张卡片上分别写有1,2,3,4,第二个信封内的四张卡片上分别写有5,6,7,8,甲、乙两人商定了一个游戏,规则是:从这两个信封中各随机抽取一张卡片,得到两个数.为了游戏对双方都公平,下列获胜规则正确的是(　　)
A.第一个信封内取出的数作为横坐标,第二个信封内取出的数作为纵坐标,所确定的点在直线y=x+4上时甲获胜,所确定的点在直线y=-x+8上时乙获胜
B.取出的两个数乘积不大于15时甲获胜,否则乙获胜
C.取出的两个数乘积不小于20时甲得5分,否则乙得3分,游戏结束后,累计得分高的人获胜
D.取出的两个数相加,如果得到的和为奇数,则甲获胜,否则乙获胜
填空题
12.[2025大庆实验中学开学考试]已知随机事件A和B互斥,A和C对立,且P(C)=0.8,P(B)=0.3,则P(A∪B)=　　　　.?
13.[2025宣城中学高一期末]二进制是以2为基数代表系统的二进位制,通常用0和1表示.二进制011(2)化为十进制的计算公式如下:011(2)=0×22+1×21+1×20=3.若从二进制数000(2),001(2),010(2),110(2),101(2),111(2)中任选一个,则二进制数所对应的十进制数大于3的概率为　　　　.?
447611510414014.[2025青岛二中模拟]七巧板是一种古老的中国传统智力玩具,它是由如图所示的七块板组成的,即五块等腰直角三角形板(两块小型三角形板、一块中型三角形板和两块大型三角形板)、一块正方形板和一块平行四边形板.现从这七块板中任取两块,则这两块板面积相等的概率为　　　　.?
解答题
15.(13分)【开放创新】[2025湖北省仙桃市期中]从①命中8环的概率为0.22;②命中6环以下(含6环)的概率为0.12这两个条件中任选一个补充到下面题目中的横线处,并解答.
已知射手甲射击一次,命中9环以上(含9环)的概率为0.56,命中7环的概率为0.12,　　　　.?
(1)求甲射击一次,命中不足8环的概率;
(2)求甲射击一次,至少命中7环的概率.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
16.(15分)[2025黄冈中学月考]某次联欢会上设有一个抽奖游戏,抽奖箱中共有16个四种不同颜色且形状大小完全相同的小球,分别代表一等奖、二等奖、三等奖、无奖.其中红球代表一等奖且只有1个,黄球代表三等奖.从中任取一个小球,中二等奖或三等奖的概率为716.小华同学获得一次抽奖机会.
(1)求他不能中奖的概率;
(2)若该同学中一等奖或二等奖的概率是14,试计算黄球的个数.
17.(15分)[2025广东实验中学高一期末]一个盒子中装有标号为1,2,3,5的4张标签,依次随机选取两张标签,用数组(m,n)表示可能的结果,其中m表示第一次取出的标签上的数字,n表示第二次取出的标签上的数字.
(1)若标签的选取是不放回的,写出样本空间Ω1,并求m+n>5的概率;
(2)若标签的选取是有放回的,写出样本空间Ω2,并求m3676015131762518.(17分)【模块综合】[2025濮阳油田一中高一期末]为了测试不同抗干扰手段对无人机抗干扰性能的影响,某科研机构对100架某型号的无人机设置不同的参数,在相同的干扰环境下试飞,发现这些无人机的正常飞行时长(单位:分)均分布在区间[5,65]内,现将这100个飞行时长数据按[5,15),[15,25),[25,35),[35,45),[45,55),[55,65]分成6组并整理,得到如下频率分布直方图.
(1)求图中a的值;
(2)该科研机构计划按正常飞行时长从长到短的顺序,检测分析前30%的无人机的相关参数,若某架无人机的正常飞行时长为42分钟,判断该无人机能否被检测到;
(3)若该科研机构从正常飞行时长在[45,65]内的无人机中,按比例用分层随机抽样的方法抽取6架,再从这6架中随机抽取2架进一步研究,求在[45,55)和[55,65]内各抽取一架的概率.
19.(17分)[2025复旦附中期末]A,B两人在玩一个商业模拟游戏,现在游戏进行到了最后一轮,A暂时领先3分.接下来B可以掷两颗骰子,如果两颗骰子的点数都是偶数,则B“投资”失败,“投资”的分值记为0分,游戏结束;否则,B可以进行“投资”,他可以选择其中一个点数为奇数的骰子,将其点数作为“投资”的分值.B“投资”结束后,该游戏结束.A,B两人中分值较高者获胜,若分值相同,则两人打平.
(1)求A获胜的概率.
(2)若A在B掷骰子之前可以对B的“投资”行为进行干扰,他可以选择以下两种方式之一:
①让B的分值直接减1;
②当B掷出骰子后,将点数较大的骰子变为1点,另一个不变(如果B掷出的两颗骰子点数相同,则将其中一个变为1点).
则A为了使自己获胜的概率更大,会选择哪种方式进行干扰?说明理由.













参考答案
1.A　因为B?A,所以P(AB)=P(B)=0.4.
2.D　事件M是点数为1或2,事件N是点数为2,3,4,5或6,它们都是可能发生的,但不一定发生,故不是必然事件;M∩N是点数为2,是可能发生的;M∪N是点数为1,2,3,4,5或6,一定会发生,是必然事件.
3.C　A(?)可以同时发生“有一颗红豆种子不发芽”,故不是互斥事件.
B(?)可以同时发生“两颗红豆种子、两颗绿豆种子发芽”,故不是互斥事件.
C(√)“至少有五颗种子发芽”,则至少有两颗绿豆种子发芽,与“至多有一颗绿豆种子发芽”不会同时发生,则是互斥事件.
D(?)可以同时发生“两颗红豆种子发芽,一颗绿豆种子发芽”,故不是互斥事件.
4.D　将刀削面、油炸糕、糖火烧、炕馍、莜面这5种传统小吃分别设为A,B,C,D,E,根据题意,该游客从中随机选择3种品尝的所有情况有(A,B,C),(A,B,D),(A,B,E),(A,C,D),(A,C,E),(A,D,E),(B,C,D),(B,C,E),(B,D,E),(C,D,E),共10种,其中该游客选择了油炸糕和莜面的有(A,B,E),(B,C,E),(B,D,E),共3种,故所求概率为310.
5.A　利用列举法求出所有的传递方法种数,找出第三次传递后信息恰好在A元件中的情况,再由古典概型的概率公式计算.依题意三次传递所有的传递方法有:A→B→A→B;A→B→A→C;A→B→C→A;A→B→C→B;A→C→A→B;A→C→A→C;A→C→B→A;A→C→B→C.则共有8种传递方法.第三次传递后,信息在A元件中的情况有两种,所以第三次传递后,信息在A元件中的概率P=28=14.
6.A　根据题意先求P(A),P(B),P(AB),由P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)即可求解.由题意:用3,4,5这3个数字组成无重复数字的自然数,则样本空间Ω={345,354,435,453,543,534},共有6个样本点,A={345,435},共有2个样本点,B={345,435,453,543},共有4个样本点,所以P(A)=26=13,P(B)=46=23,P(AB)=P(A)=13,所以事件A与B至少有一个发生的概率为P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(B)=23.
7.B　画出树状图:
甲、乙、丙、丁四人排成一列共有24种排法,其中丙不在排头,且甲或乙在排尾的排法共有8种,所以所求概率为824=13.
8.D　根据题意,红棋、蓝棋与终点的距离相等的情况有点数相同以及甲掷到4、乙掷到6或甲掷到6、乙掷到4,利用古典概型、对立事件的概率关系求解.当甲、乙各自掷骰子得到的点数相同以及甲掷到4、乙掷到6或甲掷到6、乙掷到4时,最后都会停留在同一个位置,则红棋、蓝棋与终点的距离相等有6+2=8种情况,又甲、乙各自掷一次骰子共有36种情况,故所求概率为1?8362=718.
9.BCD　 A(?)J1∪J2表示前两次测试成绩中至少有一次及格.
B(√)因为J2∪J3表示第二次和第三次测试成绩中至少有一次及格,所以J2?J3表示后两次测试成绩均不及格.
C(√)J1∩J2∩J3表示J1,J2,J3同时发生,即表示三次测试成绩均及格.
D(√)Ji表示第i次测试成绩不及格,所以J1∩J2∩J3表示三次测试成绩均不及格.
10.BC　A(?)因为事件A,B,C两两互斥,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=14+P(A)=712,则P(A)=13,所以P(A)=23.
B(√)P(A∪C)=P(A)+P(C)=13+P(C)=1115,则P(C)=25.
C(√)P(B∪C)=P(B)+P(C)=14+25=1320.
D(?)P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=13+14+25=5960.
11.BCD　画树状图如下:
?
?
?
A(?)由树状图可知,共有16种等可能的结果,其中所确定的点在直线y=x+4上的有(1,5),(2,6),(3,7),(4,8),共4个样本点,所确定的点在直线y=-x+8上的点有(1,7),(2,6),(3,5),共3个样本点,故两种情况下的样本点个数不一样,即两种情况下概率不一样.
B(√)由树状图可知,共有16种等可能的结果,其中两个数乘积大于15的有(2,8),(3,6),(3,7),(3,8),(4,5),(4,6),(4,7),(4,8),共8种,则两个数乘积不大于15的也有8种,故两种情况下的样本点个数一样,即两种情况下概率一样.
C(√)由树状图可知,共有16种等可能的结果,其中取出的两个数乘积不小于20的有(3,7),(3,8),(4,5),(4,6),(4,7),(4,8),共6种,则取出的两个数乘积小于20的有10种,5×6=3×10=30.
D(√)由树状图可知,共有16种等可能的结果,其中取出的两个数相加和为奇数的有(1,6),(1,8),(2,5),(2,7),(3,6),(3,8),(4,5),(4,7),共8种,则取出的两个数相加和为偶数的有8种,故两种情况下的样本点个数一样,即两种情况下概率一样.
12.0.5　由A和C对立,P(C)=0.8,可得P(A)=1-P(C)=1-0.8=0.2,又由随机事件A和B互斥可知P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.2+0.3=0.5.
13.12　将二进制转化为十进制,再利用古典概型概率公式计算概率即可.00(2)=0×22+0×21+0×20=0,001(2)=0×22+0×21+1×20=1,01(2)=0×22+1×21+0×20=2,11(2)=1×22+1×21+0×20=6,101(2)=1×22+0×21+1×20=5,111(2)=1×22+1×21+1×20=7,可得二进制数所对应的十进制数大于3的有3个,所以二进制数所对应的十进制数大于3的概率为36=12.
1639570145034014.521　如图1,将七块板编号,?所以从七块板中任意取出两块的样本点为(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(1,7),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(2,7),(3,4),(3,5),(3,6),(3,7),(4,5),(4,6),(4,7),(5,6),(5,7),(6,7),共21个.将七巧板划分如下,△ABC被分成8个全等的三角形,如图2,设正方形ABCD的面积为2S,则编号1,2的面积为S2,则编号4,6的面积为S8,编号3,5,7的面积为S4,任取两块板面积相等的样本点为(1,2),(4,6),(3,5),(3,7),(5,7),共5个.从这七块板中任取两块,则这两块板面积相等的概率为P=521.
15.【解析】 选择①.
记“甲射击一次,命中不足7环”为事件A,“甲射击一次,命中7环 ”为事件B,则P(B)=0.12,P(A)=1-0.56-0.22-0.12=0.1,
由于在一次射击中,A与B不可能同时发生,
故A与B是互斥事件.
(1)易知“甲射击一次,命中不足8环”为事件A∪B,(3分)
由互斥事件的概率加法公式,得
P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.1+0.12=0.22.
所以甲射击一次,命中不足8环的概率是0.22.(6分)
(2)方法一　记“甲射击一次,命中8环”为事件C,
“甲射击一次,命中9环以上(含9环)”为事件D,
则“甲射击一次,至少命中7环”为事件B∪C∪D,(8分)
又事件B,C,D两两互斥,
所以P(B∪C∪D)=P(B)+P(C)+P(D)=0.12+0.22+0.56=0.9.
所以甲射击一次,至少命中7环的概率为0.9.(13分)
方法二　因为“甲射击一次,至少命中7环”为事件A,
所以P(A)=1-P(A)=1-0.1=0.9.
所以甲射击一次,至少命中7环的概率为0.9.(13分)
选择②.
记“甲射击一次,命中7环”为事件A,“甲射击一次,命中6环以下(含6环)”为事件B,“甲射击一次,至少命中7环”为事件C.
(1)“甲射击一次,命中不足8环”为事件A∪B,(3分)
由于事件A与事件B为互斥事件,
则P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.12+0.12=0.24,
所以甲射击一次,命中不足8环的概率为0.24. (6分)?
(2)事件B与事件C为对立事件,(8分)
所以P(C)=1-P(B)=1-0.12=0.88.
所以甲射击一次,至少命中7环的概率为0.88. (13分)
16.【解析】 (1)设小华同学任取一个小球,抽得一等奖、二等奖、三等奖、无奖的事件分别为A,B,C,D,它们是彼此互斥的事件.(2分)
由题意得P(A)=116,P(B∪C)=P(B)+P(C)=716.(4分)
由对立事件的概率公式得P(D)=1-P(A∪B∪C)=1-P(A)-P(B)-P(C)=1-116-716=12.
∴小华不能中奖的概率为12. (7分)
(2)∵P(A∪B)=P(A)+P(B)=14,P(A)=116,
∴P(B)=14-116=316.(10分)
又P(B∪C)=P(B)+P(C)=716,
∴P(C)=716-316=14.(13分)
∴该同学中三等奖的概率为14,因此黄球的个数为16×14=4.(15分)
17.【解析】 (1)若标签的选取是不放回的,则样本空间Ω1={(1,2),(1,3),(1,5),(2,1),(2,3),(2,5),(3,1),(3,2),(3,5),(5,1),(5,2),(5,3)},(3分)
共12个样本点,
满足m+n>5的有{(1,5),(2,5),(3,5),(5,1),(5,2),(5,3)},共6个样本点,
所以满足m+n>5的概率为P1=612=12.(7分)
(2)若标签的选取是有放回的,则样本空间Ω2={(1,1),(1,2),(1,3),(1,5),(2,1),(2,2),(2,3),(2,5),(3,1),(3,2),(3,3),(3,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,5)},(10分)
共16个样本点,
满足m所以满足m18.【解析】 (1)由题意知(a+0.025+0.020+0.035+0.010+a)×10=1,解得a=0.005.(4分)
(2)按正常飞行时长从长到短的顺序,检测分析前30%的无人机,即求70%分位数.
在频率分布直方图中,前3组的频率之和为(0.005+0.025+0.020)×10=0.5,前4组的频率之和为0.5+0.035×10=0.85>0.7,所以70%分位数位于[35,45)内.(6分)
设70%分位数为x,
则0.5+x?3510×0.35=0.7,解得x=35+0.20.35×10≈40.7.
因为42>40.7,所以该无人机的正常飞行时长属于前30%,故能被检测到.(10分)
(3)先根据分层随机抽样确定抽取6架时,[45,55),[55,65]内的应分别抽取的架数,列举出所有的情况,根据古典概型的概率公式求解即可.
正常飞行时长在[45,55),[55,65]内的频率分别为0.1,0.05,
则抽取6架时,[45,55),[55,65]内的应分别抽取4架、2架.(12分)
设在[45,55)内的4架分别为a1,a2,a3,a4,在[55,65]内的2架分别为b1,b2,在[45,55)和[55,65]内各抽取一架为事件A,
则从这6架中随机抽取2架的样本空间为Ω={(a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a3),(a2,a4),(a2,b1),(a2,b2),(a3,a4),(a3,b1),(a3,b2),(a4,b1),(a4,b2),(b1,b2)},n(Ω)=15,
A={(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(a4,b1),(a4,b2)},n(A)=8,(15分)
所以P(A)=n(A)n(Ω)=815.(17分)
19.【解析】 (1)B掷两颗骰子,掷第一颗骰子有6种点数,掷第二颗骰子有6种点数,对应的样本空间为
Ω=(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)
则Ω包含36个样本点.(3分)
记事件“A获胜”,即事件“B输”为事件D,
事件“B输”包含事件:“B掷的两颗骰子的点数都是偶数”“两颗骰子的点数都是奇数且两个奇数均为1”“两颗骰子的点数是一个奇数和一个偶数,且奇数为1”,且它们两两互斥.
又“B掷的两颗骰子的点数都是偶数”包含样本点:(2,2),(2,4),(2,6),(4,2),(4,4),(4,6),(6,2),(6,4),(6,6),共9个样本点,事件发生的概率为936=14;
“两颗骰子的点数都是奇数且两个奇数均为1”,包含样本点(1,1),共1个样本点,事件发生的概率为136;
“两颗骰子的点数是一个奇数和一个偶数,且奇数为1”包含样本点:(1,2),(1,4),(1,6),(2,1),(4,1),(6,1),共6个样本点,事件发生的概率为636=16.
所以P(D)=14+136+16=1636=49(运用互斥事件的概率加法公式解题时,首先要确认事件之间是否互斥,同时要学会把一个事件拆分为几个彼此互斥的事件),
即A获胜的概率为49.(8分)
(2)应选择②,理由如下:(9分)
选择①:事件“A获胜”即事件“B输”,事件“B输”包含:事件“B掷两颗骰子,两颗骰子的点数都是偶数”“B掷两颗骰子,两颗骰子的点数都是奇数且均小于5”“B掷两颗骰子,两颗骰子的点数是一个奇数和一个偶数,且奇数小于5”,且它们两两互斥.
由(1)知事件“B掷两颗骰子,两颗骰子的点数都是偶数”的概率为936=14;
事件“B掷两颗骰子,两颗骰子的点数都是奇数且均小于5”包含样本点:(1,1),(1,3),(3,1),(3,3),共有4个样本点,所以事件发生的概率为436=19;
事件“B掷两颗骰子,两颗骰子的点数是一个奇数和一个偶数,且奇数小于5”包含样本点:(1,2),(1,4),(1,6),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(3,6),(4,1),(4,3),(6,1),(6,3),共有12个样本点,所以事件发生的概率为1236=13.
所以B输的概率为14+19+13=2536,即A获胜的概率为2536.(12分)
选择②:
由(1)知事件“B掷两颗骰子,两颗骰子的点数都是偶数”的概率为936=14;
B掷两颗骰子,两颗骰子的点数都是奇数,且改后B输包含样本点:(1,3),(1,5),(1,1),(3,1),(5,1),共5个样本点,
所以事件“两颗骰子的点数都是奇数且改后B输”的概率为536;
B掷两颗骰子,两颗骰子的点数是一个奇数和一个偶数,且改后B输包含样本点:(1,2),(1,4),(1,6),(3,2),(5,2),(5,4),(2,1),(4,1),(6,1),(2,3),(2,5),(4,5),共12个样本点,
所以事件“两颗骰子的点数是一个奇数和一个偶数,且改后B输”的概率为1236=13;
而事件“B掷两颗骰子,两颗骰子的点数都是偶数”“两颗骰子的点数都是奇数,且改后B输”“两颗骰子的点数是一个奇数和一个偶数,且改后B输”两两互斥,
所以B输的概率为14+536+13=1318,即A获胜的概率为1318.(16分)
而1318>2536,故A为了使自己获胜的概率更大,会选择②方式进行干扰.(17分)
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