第二十五章 概率初步 章末能力综合试题 2025-2026学年初中数学人教版九年级上册

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第二十五章 概率初步 章末能力综合试题 2025-2026学年
初中数学人教版九年级上册
一、单选题
1．下列说法：“铁在潮湿的空气中会生锈”是必然事件；“物体不受外力时保持静止或匀速直线运动状态”是确定事件；“没有水分，种子发芽”是随机事件；“买一张电影票，座位号是奇数号”是不可能事件．其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．不透明的袋中装有除颜色外没有其他区别的红球4个和白球若干个．从袋中随机地取出一个球，如果取到白球的可能性较大，那么袋中白球的个数可能是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．用12个球设计一个摸球游戏，下面设计的四种方案中，不恰当的设计是（ ）
A．摸到红球、白球、黄球的概率均为
B．摸到红球的概率，摸到白球的概率是，摸到黄球的概率是
C．摸到红球的概率是，摸到白球、黄球的概率都是
D．摸到红球的概率是，摸到黄球的概率也是
4．一个密码箱的密码，每个位数上的数都是从0到9的自然数，若要使不知道密码的一次就拨对密码的概率小于，则密码的位数至少需要（ ）位．
A．3位 B．2位 C．9位 D．10位
5．某马场有三匹马，按身体强壮程度分为上马，中马，下马，这三匹马随机住在三个不同的马厩，甲到该马场去租马，先到第一个马厩观察后不租，再到第二个马厩，若比第一个马厩的马强壮，就直接租第二个马厩的马，若比第一个马厩的马瘦弱，就租第三个马厩的马，按这种方式，甲租到上马的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．综合与实践课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动．10位同学每人随机收集核桃树、枇杷树的树叶各1片，通过测量得到这些树叶长，宽（单位：）的数据后，计算每片叶子的长宽比，绘制出折线统计图如下：
根据以上信息，下列说法错误的是（ ）
A．枇杷树叶长宽比为2的频率最大
B．核桃树叶的长宽比大约为
C．小明测量一片核桃叶的长为，小明断定它的宽一定为
D．小亮同学收集到一片长、宽的树叶，判断它是一片枇杷树叶
7．如图，电路图上有编号为①②③④⑤共5个开关和一个小灯泡，闭合开关①或同时闭合开关②③或同时闭合开关④⑤都可使小灯泡发光，任意闭合电路上其中的两个开关，小灯泡发光的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．在数-1，1，2中任取两个数作为点坐标，那么该点刚好在一次函数y=x-2图象上的概率是（）
A． B． C． D．
9．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，现分别连接大、小正方形的四组顶点得到图2的“风车”图案（阴影部分）．若图1中的四个直角三角形的较长直角边为9，较短直角边为5，现随机向图2大正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为（ ）．
A． B． C． D．
10．在智力竞答节目中，某参赛选手答对最后两题单选题就能利通关，两题均有四个选项，此选手只能排除第1题的一个错误选项，第2题完全不会，他还有两次“求助”机会（使用可去掉一个错误选项），为提高通关概率，他的求助使用策略为（ ）
A．两次求助都用在第1题 B．两次求助都用在第2题
C．在第1第2题各用一次求助 D．两次求助都用在第1题或都用在第2题
二、填空题
11．在一个袋子里，装有50个红色、黄色、绿色三种颜色形状、大小、质地完全相同球，经过充分搅拌后，通过足够多次的随机抽取实验，得到“任取一球是红球”的概率为，已知黄球比绿球多5个，则这个袋子中绿球有 个．
12．有三张不透明的卡片，正面分别绘制有如图所示的图案．已知这三张卡片反面完全相同，把这三张卡片反面向上放置在桌面上，从中任意抽取两张，抽到的两张卡片上的图案均是中心对称图形的概率是
13．网购高铁票时，如果不选择座位，系统会默认随机分配座位，小林和小新同时买同一趟高铁车票，都选择系统随机分配座位，假设系统已将两人的位置分配到同一排，如图为同一排中的座位编号A，B，C，D，F，且在同一排分配到各个座位的机会是均等的，则系统分配给小林和小新相邻座位（过道两侧座位C，D不算相邻）的概率为 ．
14．如图，用圆中两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏，若其中一个转盘转出红色，另一个转盘转出蓝色就可以配成紫色，则可以配成紫色的概率是 ．
15．已知关于x的一元二次方程，现从，1，2三个数中任取一个数作为方程中a的值，再从剩下的两个数中任取一个数作为方程中b的值，则取得的a，b的值能使该一元二次方程有两个不相等的实数根的概率是 ．
三、解答题
16．小颖同学发现操场中有一个不规则的封闭图形如图所示，为了知道它的面积，她在封闭图形内画出了一个半径为的圆，在不远处向圆内掷石子，结果记录如下：
落在圆内（含圆上）次数 14 43 93 150
落在阴影内次数 23 91 186 300
请根据以上信息，回答问题：
(1)石子落在圆内的概率约为________；
(2)估计封闭图形的面积．
17．为弘扬中华民族传统文化，某中学举办了“国学经典大赛”，比赛项目为：唐诗、宋词、论语、道德经．比赛形式分“单人组”和“双人组”．
(1)李明参加“单人组”，他从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“唐诗”的概率P为______；
(2)刘伟平和唐红组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次．则他们都没有抽到“道德经”的概率是多少？利用列表法或树状图加以说明
18．如图，有一旅游景区在原有布局结构不变的情况下，为了方便游客进出，在内道门处设有A，B两个出入口，外道门处设有C，D，E三个出入口，小宇同学游览结束后，要先随机经过内道门（A或B），再随机经过外道门（C或D或E）才能出去．
(1)小宇经过内道门时，从B口出去的概率是 ；
(2)请用画树状图或列表的方法表示小宇经过内、外两道门走出景区的所有可能情况，并求小宇同学经过内、外两道门后从E门出去的概率．
19．在一个不透明的口袋里装有分别标有数字，，0，3的四个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，每次试验先搅拌均匀．
(1)从中任取一球，将球上的数字记为a，求关于x的一元二次方程有实数根的概率．
(2)从中任取一球，将球上的数字作为点的横坐标记为x（不放回），再任取一球，将球上的数字作为点的纵坐标，记为y，用树状图或列表法表示出点所有可能出现的结果，并求点落在第二象限内的概率．
20．已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球的概率是，得到红球或黄球的概率是．
(1)求盒中红球、黄球、蓝球的个数；
(2)设置游戏规则如下：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色，若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜．从概率的角度判断这个游戏是否公平，请说明理由．
21．如图，有两个可以自由转动的转盘A、B，转盘A被均匀分成4等份，每份标上1、2、3、4四个数字；转盘B被均匀分成6等份，每份标上1、2、3、4、5、6六个数字．有人为甲、乙两人设计了一个游戏，其规则如下：
（1）同时转动转盘A与B．
（2）转盘停止后，指针各指向一个数字（如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个数字为止），用所指的两个数字作乘积，如果所得的积是偶数，那么甲胜；如果所得的积是奇数，那么乙胜．你认为这样的规则是否公平？请你说明理由；如果不公平，请你设计一个公平的规则，并说明理由．
22．2024年4月23日是第29个“世界读书日”，成都市某校组织读书征文比赛活动，评出一、二、三等奖若干名，并绘成如图所示的条形统计图和扇形统计图．
请你根据图中信息解答下列问题：
(1)本次比赛获奖的总人数共有 人；补全条形统计图
(2)扇形统计图中“三等奖”所对应扇形的圆心角度数是 ；
(3)学校从甲、乙、丙、丁4位一等奖获得者中随机抽取2人参加“世界读书日”宣传活动，请用列表法或画树状图的方法，求出恰好抽到甲和乙的概率．
23．高尔顿钉板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型．如图1是一个竖直放置的高尔顿钉板，其中，灰色圆面表示钉板上的钉子，分别表示相邻两颗钉子之间的空隙，这些空隙大小均相等，从入口A，处投放一个直径略小于两颗钉子之间空隙的小球，小球下落过程中，总是碰到空隙正下方的钉子，且沿该钉子左右两个相邻空隙继续下落的机会相等，直至小球落入下面的甲槽或乙槽内．
(1)求从入口A，处投放一个小球落入甲槽内的概率；
(2)某商家在研究了高尔顿钉板实验后，利用其进行抽奖促销活动销售一种商品．现有如下抽奖方案：
方案一：商品定价54元，顾客入店购买一件该商品，可以在图1所示的钉板上玩一次游戏，小球落入甲槽内则该商品立减2元，落入乙槽内则该商品立减6元；
方案二：商品定价a元，商家改进高尔顿钉板后如图2所示，将钉子减少为3层．顾客入店购买一件该商品，可以在图2所示的钉板上玩一次游戏，小球落入甲槽内则该商品立减2元，落入乙槽内则该商品立减6元．
已知一件该商品的成本为40元，假如某天有100人各购买了一件该商品，并参与了此抽奖，请估算若要使商家采用方案一获利不少于方案二，那么方案二中的定价a最高为多少元？并说明理由．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D C A A C A D D D
1．A
【分析】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念，根据事件发生的可能性大小判断即可，解题的关键是理解必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
【详解】解：“铁在潮湿的空气中会生锈”是必然事件，说法正确，符合题意；
“物体不受外力时保持静止或匀速直线运动状态”是确定事件，说法正确，符合题意；
“没有水分，种子发芽”是不可能事件，说法错误，不符合题意；
“买一张电影票，座位号是奇数号”是随机事件，说法错误，不符合题意；
综上可知：正确，
故选：．
2．D
【分析】本题考查了简单事件发生的可能性，熟练掌握简单事件发生的可能性大小的计算，是解题的关键，
根据简单事件发生可能性大小，当白球的数量超过红球数量时，取到白球的可能性更大．
【详解】解:设白球有个．
取到白球的可能性为，取到红球的可能性为．
要使取到白球的可能性较大，
需满足．
只需满足 ．
只有D选项（5个）满足此条件．
故选：D．
3．C
【分析】本题考查的是随机事件的概率的含义，根据概率之和必须为1及各颜色球的数量必须为整数且总和为12，逐一验证各选项的合理性即可．
【详解】解：选项A：红、白、黄球的概率均为．总概率为，符合要求．对应球数为个（每种颜色），总和为，设计合理．
选项B：红球概率，白球，黄球．总概率为，符合要求．对应球数为红球个，白球个，黄球个，总和为，设计合理．
选项C：红球概率，白球和黄球概率均为．总概率为，超过1，不符合概率的基本性质，设计不恰当．
选项D：红球和黄球概率均为．总概率为，符合要求．对应球数为红球个，黄球6个，总和为12，设计合理．
综上，选项C的设计不恰当．
故选：C
4．A
【分析】分别求出取一位数、两位数、三位数、四位数时一次就拨对密码的概率，再根据小于所在的范围解答即可．
【详解】解：因为取一位数时一次就拨对密码的概率为，取两位数时一次就拨对密码的概率为，取三位数时一次就拨对密码的概率为，故密码的位数至少需要3位．
故答案为：3．
【点睛】本题考查概率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
5．A
【分析】本题考查了列举法求概率．列举出所有三种马排列情况，再利用概率公式求解即可．
【详解】解：设上马为，中马为，下马为，
三种马排列情况共有，，，，，，
符合要求的有，，，
所以租到是A类即租到上马的概率为．
故选：A．
6．C
【分析】此题考查用样本估计总体、频率等知识，根据题目给出的数据判断即可．
【详解】解：A、10片枇杷树叶的长宽比中出现次数最多的是2，故枇杷树叶长宽比为2的频率最大，故选项正确，不符合题意；
B、∵，
∴核桃树叶的长宽比大约为，故选项正确，不符合题意；
C、核桃树叶的长宽比大约为，是个估计值， 不是准确值， 小明测量一片核桃叶的长为，它的宽不一定为，故选项错误，符合题意；
D、∵枇杷树叶长宽比约为：，小亮同学收集到一片长、宽的树叶，判断它是一片枇杷树叶，
又∵，
∴该树叶更有可能是枇杷树树叶．故选项正确，不符合题意；
故选：C．
7．A
【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
列表可得出所有等可能的结果数以及小灯泡发光的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：列表如下：
① ② ③ ④ ⑤
①
②
③
④
⑤
共有20种等可能的结果，其中小灯泡发光的结果有：，，，，，，，，，，，，共12种，
∴小灯泡发光的概率为．
故选：A．
8．D
【详解】画树状图如下：
共有6种等可能的结果，
其中只有（1，-1）在一次函数y=x-2图象上，
所以点在一次函数y=x-2图象上的概率=．
故选：D．
【点睛】本题考查了利用列表法或树状图法求概率：先列表或画树状图展示所有等可能的结果，再找出某事件所占有的可能数，然后根据概率的概念求这个事件的概率．也考查了点在一次函数图形上，则点的横纵坐标满足一次函数的解析式．
9．D
【分析】此题考查了几何概率，勾股定理的应用；根据题意求得，则图中阴影部分是由中间的小正方形和四个全等三角形组成的，利用三角形和正方形的面积公式计算即可求解，求出阴影区域的面积是解题的关键．
【详解】解：如图，
由题意可知，，，
∴，
∴，
则中间小正方形的面积为，
小正方形的外阴影部分的，
∴阴影部分的面积为，
∴针尖落在阴影区域的概率为，
故选：D．
10．D
【分析】根据题意，分类讨论，列举或画出树状图列出等可能的情况，根据概率公式求出每一种情况下的概率，即可判断．
【详解】解：①若两次求助都用在第1题，
假设D选项是第1题的正确选项，选手可以排除的是A选项，使用两次求助时存在三种等可能的情况：
第一种：求助排除AB选项，还剩CD两个选项，答对的概率是，
第二种：求助排除AC选项，还剩BD两个选项，答对的概率是，
第三种：求助排除BC选项，只剩D一个选项，答对的概率是1，
因此第一题答对的概率为：，第2题答对的概率为，
故此时该选手通关的概率为：；
②若在第1第2题各用一次求助，
假设D选项是第1题的正确选项，选手可以排除的是A选项，使用一次求助时存在三种等可能的情况：
第一种：求助排除A选项，还剩BCD三个选项，答对的概率是，
第二种：求助排除B选项，还剩CD两个选项，答对的概率是，
第三种：求助排除C选项，还剩BD两个选项，答对的概率是，
因此第一题答对的概率为：，
第2题使用一次求助后，还剩3个选项，其中只有一个正确选项，因此答对的概率为，
故此时该选手通关的概率为：；
③两次求助都用在第2题，
画树状图如下：上层A、B、C表示第一题剩下的三个选项，下层A、B表示第二题剩下的二个选项，

共有6种等可能的结果，其中该选手通关的可能只有1种，故此时该选手通关的概率为：.
∵，
∴两次求助都用在第1题或都用在第2题时，该选手通关的概率大，
故选：D．
【点睛】此题考查的是求概率问题，掌握画树状图的方法、概率公式和分类讨论的数学思想是解决此题的关键．
11．
【分析】本题主要考查了概率的应用以及一元一次方程的求解，熟练掌握概率公式和一元一次方程的解法是解题的关键．
先根据概率求出红球个数，再设绿球个数为未知数，结合黄球与绿球数量关系以及球的总数列方程求解．
【详解】解：红球个数：（个）
设绿球有个，则黄球有个．
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查中心对称图形的概念以及概率的计算，准确判断出哪些图案是中心对称图形即“在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形”是解题关键．
用列举法（或树状图、列表法）求出所有抽取两张卡片的可能情况数，以及抽到的两张卡片上的图案均是中心对称图形的情况数，再根据概率公式（其中是所有可能的结果数，是事件发生的结果数）计算概率．
【详解】解：这三张卡片分别记为A，B，C，其中B，C的正面分别绘制的是中心对称图形．画树状图如下：
由树状图可知，一共有6种等可能的情况，其中两张卡片正面均绘制的是中心对称图形的情况有2种，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查列表法求概率：列出表格，利用概率公式进行求解即可．
【详解】解：由题意，列表如下：
， ， ， ，
， ， ， ，
， ， ， ，
， ， ， ，
， ， ， ，
共20种等可能的情况，其中小林和小新相邻座位的结果有6种，
∴．
故答案为：．
14．
【分析】本题主要考查了用列表法与树状图法求概率，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
先画树状图得出所有等可能的结果数以及可配成紫色的结果数，再利用概率公式求解即可．
【详解】解：由图可知，第二个转盘中蓝色部分面积是红色部分面积的2倍．
画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中可配成紫色的结果有3种．
∴可配成紫色的概率是．
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了概率的应用，涉及到了一元二次方程的根的判别式，解题关键是牢记概率公式和一元二次方程根的判别式．
用画树状图依次确定满足方程有两个不相等的实数根的情况数和总的情况数，再利用概率公式求解即可．
【详解】解：根据题意画树状图如下：
共有6种等可能的情况，
，
时方程有两个不相等的实数根，
当和时，这两种情况均有，即方程有两个不相等的实数根，
∴取得的a，b的值能使该一元二次方程有两个不相等的实数根的概率是，
故答案为：．
16．(1)
(2)
【分析】本题考查的是利用频率估计概率；
（1）用每次落在圆内（含圆上）次数除以总实验次数即可；
（2）设封闭图形的面积为a，根据题意得：，再进一步求解即可．
【详解】（1）解：观察表格得：随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在，
∴石子落在圆内的概率约为；
（2）解：设封闭图形的面积为．
根据题意得，解得．
则估计封闭图形的面积为．
17．(1)
(2)，树状图见详解
【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
（1）直接利用概率公式求解即可；
（2）画树状图得出所有等可能的结果数和刘伟平和唐红都没有抽到“道德经”的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】（1）解：∵共有4个比赛项目，
∴恰好抽中“唐诗”的概率是．
故答案为：．
（2）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中刘伟平和唐红都没有抽到“道德经”的结果有6种，
∴刘伟平和唐红都没有抽到“道德经”的概率为．
18．(1)
(2)见解析，
【分析】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有6种等可能的结果，其中小宇同学经过内、外两道门后从E门出去的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）解：∵在内道门处设有A，B两个出入口，
∴小字经过内道门时，从B口出去的概率是，
故答案为：；
（2）解：画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中小宇同学经过内、外两道门后从E门出去的结果有2种，
∴小宇同学经过内、外两道门后从E门出去的概率为．
19．(1)
(2)
【分析】本题考查了树状图法求概率、根的判别式等知识，熟练掌握列表法与树状图法、根的判别式以及概率公式是解答本题的关键．
（1）先求出一元二次方程有实数根时，a的取值范围，再根据概率公式求解即可．
（2）画树状图可得出所有可能出现的结果，再通过树状图得出点落在第二象限内的结果，利用概率公式可得出答案．
【详解】（1）解：若一元二次方程有实数根，
则，
∴，
∵数字，，，中，小于等于的有，，
∴关于x的一元二次方程有实数根的概率为；
（2）画树状图如下：

共有12种等可能的结果：，，，，，，，，，，，，
其中落在第二象限内的有：，，共2种结果，
∴点落在第二象限内的概率为．
20．(1)盒中红球、黄球、蓝球的个数为个，个和个
(2)游戏不公平，理由见解析
【分析】本题考查的是根据概率求数量和游戏公平性的判断．
（1）根据概率计算出各小球的数量即可；
（2）列表求出甲、乙获胜的概率，然后比较解答即可．
【详解】（1）解：红球的个数为个，黄球的个数为个，
蓝球个数为个，
答：盒中红球、黄球、蓝球的个数为个，个和个；
（2）解：游戏不公平，理由为：
列表为：
红1 红2 黄 蓝
红1 红1，红1 红2，红1 黄，红1 蓝，红1
红2 红1，红2 红2，红2 黄，红2 蓝，红2
黄 红1，黄 红2，黄 黄，黄 蓝，黄
蓝 红1，蓝 红2，蓝 黄，蓝 蓝，蓝
由表格可知共有16种等可能结果，甲胜出的结果数有6种，乙胜出的结果数有10种，
故甲胜的概率为，乙胜的概率为，
∵，
∴游戏不公平．
21．不公平，设计一个公平的规则见解析，理由见解析
【分析】本题考查了利用列举法求概率，熟练掌握列举法是解题关键．先画出树状图，则可得用所指的两个数字作乘积的所有等可能的结果，再找出所得的积是偶数的结果、所得的积是奇数的结果，然后利用概率公式求出甲胜、乙胜的概率，由此即可得这样的规则不公平．设计一个公平的规则：（1）同时转动转盘与；（2）转盘停止后，指针各指向一个数字（如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个数字为止），用所指的两个数字求和，如果所得的和是偶数，那么甲胜；如果所得的和是奇数，那么乙胜．同样的方法求出甲胜、乙胜的概率，由此即可得．
【详解】解：由题意，画出树状图如下：
由图可知，用所指的两个数字作乘积，共有24种等可能的结果，其中，所得的积是偶数的结果有18种，所得的积是奇数的结果有6种，
则甲胜的概率是，乙胜的概率是，
因为，
所以这样的规则不公平．
设计一个公平的规则：（1）同时转动转盘与；（2）转盘停止后，指针各指向一个数字（如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个数字为止），用所指的两个数字求和，如果所得的和是偶数，那么甲胜；如果所得的和是奇数，那么乙胜．
这样的规则是公平的，理由如下：
由题意，画出树状图如下：
由图可知，用所指的两个数字求和，共有24种等可能的结果，其中，所得的和是偶数的结果有12种，所得的和是奇数的结果有12种，
则甲胜的概率是，乙胜的概率是，
因为，
所以这样的规则公平．
22．(1)； 图见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图信息关联，列表法或画树状图求概率，理解题意准确获取统计图信息是解题的关键．
（1）根据统计图可知一等奖的人数为4人，占比，据此可得总人数；利用总人数减去一等奖和二等奖的人数得到三等奖的人数，据此补全条形统计图即可；
（2）利用“三等奖”的人数占比乘以360度即可得到答案；
（3）画出树状图得到从四人中随机抽取两人的等可能结果数和恰好是甲和乙的结果数，再利用概率公式求解即可．
【详解】（1）解：本次比赛获奖的总人数共有（人），
三等奖人数：（人），
补全条形统计图如下图：
（2）解：扇形统计图中“三等奖”所对应扇形的圆心角度数是，
（3）解：树状图如图所示，
∵从四人中随机抽取两人有12种等可能结果，恰好是甲和乙的有2种可能，
∴抽取两人恰好是甲和乙的概率是．
23．(1)
(2)商品的定价最高为55元，理由见解析
【分析】本题考查了概率的计算与应用，解题的关键是通过树形图分析所有可能情况，结合概率公式进行计算，并根据获利情况建立不等式求解．
（1）通过画树形图列出小球下落的所有可能情况，根据概率公式计算小球落入甲槽的概率．
（2）分别计算方案一和方案二商家的获利，根据方案一获利不少于方案二列出不等式，求解得出方案二商品定价的最大值．
【详解】（1）解：根据题意，画出如下树形图，
共有8种等可能情况，其中落入甲槽内的有6种，
∴从入口处投放一个小球落人甲槽内的概率；
（2）解：方案二中的定价最高为55元．
理由如下：由（1）知方案一中，从入口处投放一个小球落人甲槽内，
∴（从入口处投放一个小球落人乙槽内，
则商家的获利大约为（元）；
由题可知，方案二中，（从入口处投放一个小球落入甲槽内），
从入口处投放一个小球落人乙槽内，
则商家的获利大约为（元）；
∵要使商家采用方案一的获利不少于方案二，则，解得，
故方案二中商品的定价最高为55元．
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