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命题与证明 单元综合全优测评卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图所示，点在的延长线上，下列条件中能判断的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列说法正确的是（ ）
①有两组边对应相等，一组角对应相等的两个三角形全等；
②在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行；
③三角形的中线把三角形的面积平分；
④等腰三角形高所在的直线是对称轴；
A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④
3．将一个含有角的三角板按如图所示位置摆放，已知直线，则（ ）
A． B． C． D．
4．下列命题是真命题的是（ ）
A．等腰三角形的顶角一定是锐角
B．三个角对应相等的两个三角形全等
C．每个定理都有逆定理
D．等腰三角形的底角小于 90°
5．下列说法错误的是（ ）
A．平行四边形对边平行且相等 B．菱形的对角线平分一组对角
C．矩形的对角线互相垂直 D．正方形有四条对称轴
6．下列命题是假命题的是（ ）
A．有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形
B．等角的补角相等
C．锐角三角形每个角都小于90°
D．内错角相等
7．如图，下列能判定AB∥CD的条件有（ ）个．
（1）∠B+∠BCD=180°；（2）∠1=∠2；（3）∠3=∠4；（4）∠B=∠5．
A．1 B．2 C．3 D．4
8．下列四个命题：
⑴数据5、2、﹣3、0的极差是8；
⑵方差越大，说明数据就越稳定；
⑶不在同一直线上的三点确定一个圆；
⑷在半径为5的⊙O中，弦AB∥CD，且AB=6，CD=8，则AB与CD之间距离为7
其中真命题的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
9．下列选项中，可证明命题“若a＞b，则a2＞b2”是假命题的反例是（ ）
A．a＝－2，b＝1 B．a＝2，b＝3
C．a＝3，b＝－2 D．a＝2，b＝－3
10．如图，已知AB//CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠BAD=.若∠BCD=，则∠BED=( )
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，如图1，某品牌共享单车放在水平地面上，图2是其示意图，其中都与地面平行，，，当为 时，与平行．
12．如图，∠1=140°，∠2=40°，∠3=108°，则∠4= 时，AB∥EF.
13．如图，直线，所成的角跑到画板外面去了，量出图中，，就能求出直线，所成的角为 度．
14．命题“已知a，b，c是直线，若a⊥b，b∥c，则a⊥c”是 （填写“真命题”或“假命题”）
15． 4个空矿泉水瓶可以换1瓶矿泉水，现拿16个空矿泉水瓶，最多能喝 瓶矿泉水.
16．如图，，平分，，已知，则 度．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB于O，且∠DOB＝2∠COE，求∠AOD的度数.
18．已知：如图，点C在∠AOB的一边OA上，过点C的直线DE∥OB，CF平分∠ACD，CG⊥CF于C．
（1）若∠O＝40°，求∠ECF的度数；
（2）求证：CG平分∠OCD；
（3）当∠O为多少度时，CD平分∠OCF，并说明理由．
19． 如图，，点P是的角平分线上一点，且点P在之间，连结，设．当，时，求的度数．
20．如图1，已知AC∥BD，点P是直线AC，BD间的一点，连结AB，AP，BP，过点P作直线MN∥AC．
（1）MN与BD的位置关系是什么？请说明理由．
（2）试说明∠APB=∠PBD+∠PA C．
（3）如图2，当点P在直线AC上方时，(2)中的三个角的数量关系是否仍然成立？如果成立，试说明理由；如果不成立，试探索它们存在的关系，并说明理由．
21．如图，四边形ABCD中，BE、CF分别是∠B、∠D的平分线.且∠A＝∠C＝90°，试猜想BE与DF有何位置关系 请说明理由。
22．如图，已知AE平分∠BAC交BC于点E，AF平分∠CAD交BC的延长线于点F，∠B＝64°，∠EAF＝58°，试判断AD与BC是否平行．
解：∵AE平分∠BAC，AF平分∠CAD（已知），
∴∠BAC＝2∠1，∠CAD＝ ▲ （ ）．
又∵∠EAF＝∠1+∠2＝58°，
∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD
＝2（∠1+∠2）
＝ ▲ °（等式性质）．
又∵∠B＝64°（已知），
∴∠BAD+∠B＝ ▲ °．
∴ ▲ ▲ （ ）．
23．推理填空：如图，E点为DF上的点，B为AC上的点， ，那么 ，请完成它成立的理由
解：
又
)
（ ） （ ） （ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
24．已知，点E在上，点F在上，点Q为射线上一点．
（1）如图1，若，则______．
（2）如图2，当点Q在线段的延长线上时，关于和的三个结论：，，，你认为哪个正确？请说明理由．
（3）如图3，平分，交于点H．
①若平分，求和的数量关系；
②若，直接写出的度数为______．
25．已知：AB∥CD，E、G是AB上的点，F、H是CD上的点，∠EGH＝∠EFH．
（1）如图1，求证：EF∥GH；
（2）如图2，EN为∠BEF的角平分线，交GH于点P，连接FN，求证：∠N＝∠HPN﹣∠NFH
（3）如图3，在（2）的条件下，过点F作FM⊥GH于点M，作∠AGH的角平分线交CD于点Q，若FN平分∠DFM，且∠GQH比∠N的多3°，求∠AEF的度数．
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命题与证明 单元综合全优测评卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图所示，点在的延长线上，下列条件中能判断的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A、根据，可以得到，故选项错误；
B、根据，可以得到，故选项正确；
C、根据，可以得到，故选项错误；
D、根据，可以得到，故选项错误；
故选：B
【分析】根据直线平行的判定定理逐项进行判断即可求出答案.
2．下列说法正确的是（ ）
①有两组边对应相等，一组角对应相等的两个三角形全等；
②在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行；
③三角形的中线把三角形的面积平分；
④等腰三角形高所在的直线是对称轴；
A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④
【答案】B
3．将一个含有角的三角板按如图所示位置摆放，已知直线，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：如图，∵三角板有一个角是，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：D．
【分析】根据对顶角的性质可得，再利用平行线的性质可得。
4．下列命题是真命题的是（ ）
A．等腰三角形的顶角一定是锐角
B．三个角对应相等的两个三角形全等
C．每个定理都有逆定理
D．等腰三角形的底角小于 90°
【答案】D
【解析】【解答】解：A、 等腰三角形的底角一定是锐角，故原说法错误；
B、三个角对应相等的两个三角形不一定全等，故原说法错误；
C、定理的逆命题可能是假命题，故原说法错误；
D、 等腰三角形的底角小于 90°，故原说法正确.
故答案为：D.
【分析】根据等腰三角形的性质以及内角和定理可判断A、D；根据全等三角形的判定定理可判断B；定理的逆命题可能是假命题，据此判断C.
5．下列说法错误的是（ ）
A．平行四边形对边平行且相等 B．菱形的对角线平分一组对角
C．矩形的对角线互相垂直 D．正方形有四条对称轴
【答案】C
【解析】【解答】解：A、平行四边形对边平行且相等，不符合题意；
B、菱形的对角线平分一组对角，不符合题意；
C、矩形的对角线相等，符合题意；
D、正方形有四条对称轴，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用平行四边形，菱形，矩形和正方形的性质对每个选项一一判断即可。
6．下列命题是假命题的是（ ）
A．有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形
B．等角的补角相等
C．锐角三角形每个角都小于90°
D．内错角相等
【答案】D
【解析】【解答】A. 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，正确，是真命题；
B. 等角的补角相等，正确，是真命题；
C. 锐角三角形的每个角都小于90°，正确，是真命题；
D. 两直线平行，内错角相等，错误，是假命题，
故答案为：D.
【分析】利用等边三角形的判定，可对选项A作出判断；根据等角的性质，可对选项B作出判断；根据锐角三角形的定义，可对选项C作出判断；内错角相等的前提条件是两直线平行，可对选项D作出判断，即可得出答案。
7．如图，下列能判定AB∥CD的条件有（ ）个．
（1）∠B+∠BCD=180°；（2）∠1=∠2；（3）∠3=∠4；（4）∠B=∠5．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】【解答】解：（1）利用同旁内角互补判定两直线平行，故（1）正确；
（2）利用内错角相等判定两直线平行，∵∠1=∠2，∴AD∥BC，而不能判定AB∥CD，故（2）错误；
（3）利用内错角相等判定两直线平行，故（3）正确；
（4）利用同位角相等判定两直线平行，故（4）正确．
∴正确的为（1）、（3）、（4），共3个；
故选：C．
【分析】在复杂的图形中具有相等关系或互补关系的两角首先要判断它们是否是同位角、内错角或同旁内角，被判断平行的两直线是否由“三线八角”而产生的被截直线．
8．下列四个命题：
⑴数据5、2、﹣3、0的极差是8；
⑵方差越大，说明数据就越稳定；
⑶不在同一直线上的三点确定一个圆；
⑷在半径为5的⊙O中，弦AB∥CD，且AB=6，CD=8，则AB与CD之间距离为7
其中真命题的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【解析】【解答】解：数据5、2、﹣3、0的极差是5﹣（﹣3）=8，故（1）正确；
方差越小，说明数据就越稳定，故（2）错误；
不在同一直线上的三点确定一个圆，故（3）正确；
在半径为5的⊙O中，弦AB∥CD，且AB=6，CD=8，则AB与CD之间距离为7或1，故（4）错误；
故选C．
【分析】根据极差、方差、三点确定圆以及垂径定理进行选择即可．
9．下列选项中，可证明命题“若a＞b，则a2＞b2”是假命题的反例是（ ）
A．a＝－2，b＝1 B．a＝2，b＝3
C．a＝3，b＝－2 D．a＝2，b＝－3
【答案】D
【解析】【解答】解：A、若a=-2，b=1，则a＜b，A不符合题意；
B、若a=2，b=3，则a＜b，B不符合题意；
C、若a=3，b=-2，则a＞b，
a2=9，b2=4，
即a2＞b2，C不符合题意；
D、若a=2，b=-3，则a＞b，
a2=4，b2=9，
即a2＜b2，D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据举反例来判断一个命题是假命题的方法，逐项分析即可求解.
10．如图，已知AB//CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠BAD=.若∠BCD=，则∠BED=( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：如图，设BE与AD相交与点F，
∵AB∥CD，∠BAD=76° ，∠BCD=
∴∠BAD=∠ADC=76°，∠ABC=∠BCD=
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE =α2∠ADC = 76° ×12 = 38°
∵BE平分∠ABC
∴∠ABE =∠ ABC =
∴ ∠AFB= 180° - ∠BAD-∠ADE = 180° - 76°- = 104°-
∴∠EFD=∠AFB=104°-
在△DEF中， ∠BED =180° - ∠ADE -∠EFD=180° -38°-（104°-）=38°+，选项B、C、D不符合题意。
故答案为：A.
【分析】 本题通过平行线性质、角平分线定义及三角形内角和定理，将已知角度与未知角度α关联，利用平行线性质建立角度间的等量关系，用含有α的式子表示 ∠BED 。
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，如图1，某品牌共享单车放在水平地面上，图2是其示意图，其中都与地面平行，，，当为 时，与平行．
【答案】63
【解析】【解答】解：由题意，得：，
∴，
当时，与平行，
∴，
∴；
故答案为：63．
【分析】先利用平行线的性质可得，再利用角的运算求出即可.
12．如图，∠1=140°，∠2=40°，∠3=108°，则∠4= 时，AB∥EF.
【答案】108°
【解析】【解答】解：∵ ∠1=140°，∠1+∠5=180°，
∴ ∠5=40°.
∵∠2=40°，
∴∠2=∠5，
∴AB∥CD.
当∠4 = 108°时，
∵ ∠3=108°，
∴ ∠3 =∠4，
∴CD∥EF，
∴AB∥EF，
故答案为：108°
【分析】根据 ∠2=∠5 ，两直线平行得AB∥CD，根据∠3 =∠4得CD∥EF，再根据平行线的传递性知AB∥EF.
13．如图，直线，所成的角跑到画板外面去了，量出图中，，就能求出直线，所成的角为 度．
【答案】50
【解析】【解答】解：如图，设直线，交于点，与边框的交点分别为，，
，，
，，
，
，
故答案为：．
【分析】设直线，交于点，与边框的交点分别为，，由对顶角的性质可求解和的度数，再根据三角形的内角和定理“三角形三内角的和等于180°”计算可求解．
14．命题“已知a，b，c是直线，若a⊥b，b∥c，则a⊥c”是 （填写“真命题”或“假命题”）
【答案】真命题
【解析】【解答】解：如图：
∵a⊥b，
∴∠1=90°，
∵b∥c，
∴∠1=∠2=90°，
∴a⊥c，
即该命题是真命题.
故答案为：真命题.
【分析】根据两直线平行，同位角相等可得∠1=∠2=90°，即可求解.
15． 4个空矿泉水瓶可以换1瓶矿泉水，现拿16个空矿泉水瓶，最多能喝 瓶矿泉水.
【答案】5
【解析】【解答】解：由题意可知：16个空瓶可换 16÷4=4瓶矿泉水；
4瓶矿泉水喝完后又可得到4个空瓶子，再换1瓶矿泉水，喝完后只有一个空瓶子，不能再换矿泉水，所以最多可换5瓶矿泉水.
故答案为：5.
【分析】由题意，先计算第一次可以换多少瓶矿泉水，可以得到几个空瓶子？将第一次得到的空瓶子再换矿泉水，可以得到多少瓶矿泉水？第二次得到的空瓶子还能换到矿泉水吗？若不能，将总共换得的矿泉水瓶家起来即可得答案；若能，可继续换.
16．如图，，平分，，已知，则 度．
【答案】115
【解析】【解答】解：如图所示，连接，过点C作，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
同理可得：∠FBE+∠BEF+∠BFE=180°，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴∠BFC=∠BEC+15°，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即.
故答案为：．
【分析】如图所示，连接，过点C作，先根据角平分线的定义和平行线的性质“两直线平行同位角相等”可证，再由平行线的性质和平角的定义可证，同理可得∠FBE+∠BEF+∠BFE=180°，，于是可得，根据已知条件可得，再结合可得，则∠ABE+∠DCF的度数可求解.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB于O，且∠DOB＝2∠COE，求∠AOD的度数.
【答案】解：∵∠EOB=90°
∴∠DOB+∠COE=90°
又∵∠DOB是∠EOC的两倍，
∴∠EOC=30°
∴∠AOD=∠BOC=∠EOC+∠BOE=30°+90°=120°
【解析】【分析】由垂直得∠EOB=90°，即∠AOC与∠COE互余；再根据已知∠DOB是∠EOC的两倍，得2∠EOCB=60"，由对顶角相等和角的和差即可得出结论.
18．已知：如图，点C在∠AOB的一边OA上，过点C的直线DE∥OB，CF平分∠ACD，CG⊥CF于C．
（1）若∠O＝40°，求∠ECF的度数；
（2）求证：CG平分∠OCD；
（3）当∠O为多少度时，CD平分∠OCF，并说明理由．
【答案】（1）解：∵DE∥OB，
∴∠O＝∠ACE，（两直线平行，同位角相等）
∵∠O＝40°，
∴∠ACE＝40°，
∵∠ACD+∠ACE＝180°，（平角的定义）
∴∠ACD＝140°，
又∵CF平分∠ACD，
∴∠ACF＝70°，（角平分线定义）
∴∠ECF＝70°+40°＝110°；
（2）证明：∵CG⊥CF，
∴∠FCG＝90°，
∴∠DCG+∠DCF＝90°，
又∵∠AOC＝180°，（平角的定义）
∴∠GCO+∠FCA＝90°，
∵∠ACF＝∠DCF，
∴∠GCO＝∠GCD，（等角的余角相等）
即CG平分∠OCD．
（3）解：结论：当∠O＝60°时，CD平分∠OCF．
理由：当∠O＝60°时，
∵DE∥OB，
∴∠DCO＝∠O＝60°．
∴∠ACD＝120°．
又∵CF平分∠ACD，
∴∠DCF＝60°，
∴∠DCO＝∠DCF，
即CD平分∠OCF．
【解析】【分析】(1)根据平行线的性质，得到∠ACE=40°，根据平角的定义以及角平分线的定义，即可得到∠ACF=70°，进而得出∠ECF的度数；
(2)根据∠DCG+∠DCF＝90°，∠GCO+∠FCA＝90°，以及∠ACF＝∠DCF，运用等角的余角相等，即可得到∠GCO＝∠GCD，即CC平分∠OCD；
(3)当∠O＝60°时，根据平行线的性质，得出∠DCO＝∠O＝60°，再根据角平分线的概念，即可得到∠DCF＝60°，进而即可得出结论.
19． 如图，，点P是的角平分线上一点，且点P在之间，连结，设．当，时，求的度数．
【答案】解：∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD=180°，
∵AP平分∠BAC，
∴∠BAP=∠CAP，
∵∠ACP =m∠DCP， m=3，
∴∠ACP=3∠DCP，
∴∠ACD=4∠DCP，
∵∠ACP=∠CAP，
∴∠BAP=∠CAP=3∠DCP，
∴∠BAC=6∠DCP，
∴∠BAC+∠ACD = 10∠DCP=180°，
∴∠PCD=18°
【解析】【分析】根据平行线的性质得到∠BAC+∠ACD=180°，然后根据角平分线得到∠BAP=∠CAP，然后根据m=3得到∠ACD=4∠DCP，∠BAC=6∠DCP，进而根据平角的定义解答即可.
20．如图1，已知AC∥BD，点P是直线AC，BD间的一点，连结AB，AP，BP，过点P作直线MN∥AC．
（1）MN与BD的位置关系是什么？请说明理由．
（2）试说明∠APB=∠PBD+∠PA C．
（3）如图2，当点P在直线AC上方时，(2)中的三个角的数量关系是否仍然成立？如果成立，试说明理由；如果不成立，试探索它们存在的关系，并说明理由．
【答案】（1）解：MN∥BD，
理由：∵AC∥BD，MN∥AC，
∴MN∥BD.
（2）解：∵MN∥BD，MN∥AC，
∴∠PBD=∠BPM，∠PAC=∠APM，
∴∠APB=∠BPM+∠APM=∠PBD+∠PAC.
（3）解：不成立．它们的关系是∠APB=∠PBD-∠PAC．
理由是：如图，过点P作PQ∥AC，
∵AC∥BD，PQ∥AC，
∴PQ∥BD，
∵PQ∥AC，PQ∥BD，
∴∠PAC=∠APQ，∠PBD=∠BPQ，
∴∠APB=∠BPQ-∠APQ=∠PBD-∠PAC.
【解析】【分析】（1）根据平行于同一条直线的两直线平行可得MN∥BD；
（2）根据两直线平行，内错角相等可得∠PBD=∠BPM，∠PAC=∠APM，结合∠APB=∠BPM+∠APM即可得出∠APB=∠PBD+∠PAC；
（3）过点P作PQ∥AC，根据平行于同一条直线的两直线平行可得PQ∥BD，根据两直线平行，内错角相等可得∠PAC=∠APQ，∠PBD=∠BPQ，结合∠APB=∠BPQ-∠APQ即可得出∠APB==∠PBD-∠PAC.
21．如图，四边形ABCD中，BE、CF分别是∠B、∠D的平分线.且∠A＝∠C＝90°，试猜想BE与DF有何位置关系 请说明理由。
【答案】解：∵四边形内角和等于360°，∠A＝∠C＝90°
∴∠ABC+∠ADC＝180°
∵BE、CF分别是∠B、∠D的平分线
∴∠1+∠2＝90°
∵在Rt△DCF中，∠3+∠2＝90°
∴∠1＝∠3
∴BE∥DF.
【解析】【分析】四边形的内角和为360°，所以∠ABC和∠ADC的和为180°；根据BE和CF分别为∠B和∠D的角平分线，即可得到∠1+∠2=90°；在直角三角形DFC中，因为∠2＋∠3=90°，可得∠1=∠3；所以根据同位角相同，即可证明两直线平行。
22．如图，已知AE平分∠BAC交BC于点E，AF平分∠CAD交BC的延长线于点F，∠B＝64°，∠EAF＝58°，试判断AD与BC是否平行．
解：∵AE平分∠BAC，AF平分∠CAD（已知），
∴∠BAC＝2∠1，∠CAD＝ ▲ （ ）．
又∵∠EAF＝∠1+∠2＝58°，
∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD
＝2（∠1+∠2）
＝ ▲ °（等式性质）．
又∵∠B＝64°（已知），
∴∠BAD+∠B＝ ▲ °．
∴ ▲ ▲ （ ）．
【答案】解：∵AE平分∠BAC，AF平分∠CAD（已知），
∴∠BAC＝2∠1，∠CAD＝2∠2（角平分线的定义）．
又∵∠EAF＝∠1+∠2＝58°，
∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD
＝2（∠1+∠2）
＝116°（等式性质）．
又∵∠B＝64°（已知），
∴∠BAD+∠B＝180°．
∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）．
故答案为：2∠2；角平分线的定义；116；180；AD；BC；同旁内角互补，两直线平行．
【解析】【分析】 由角平分线的定义可得∠BAC＝2∠1，∠CAD＝2∠2，从而求出∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝2（∠1+∠2）= 116° ， 即得∠BAD+∠B＝180°，根据同旁内角互补，两直线平行即证结论.
23．推理填空：如图，E点为DF上的点，B为AC上的点， ，那么 ，请完成它成立的理由
解：
又
)
（ ） （ ） （ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
【答案】∵∠2=∠3，∠1=∠4（对顶角相等），
又∵∠1=∠2，
∴∠3=∠4（等量代换），
∴DB∥CE（内错角相等，两直线平行），
∴∠C=∠ABD（两直线平行，同位角相等），
∵∠C=∠D（已知），
∴∠D=∠ABD（等量代换），
∴DF∥AC（同位角相等，两直线平行），
【解析】【分析】根据对顶角相等得出∠3=∠4，推出DB∥CE，推出∠D=∠ABD，根据平行线判定推出即可．
24．已知，点E在上，点F在上，点Q为射线上一点．
（1）如图1，若，则______．
（2）如图2，当点Q在线段的延长线上时，关于和的三个结论：，，，你认为哪个正确？请说明理由．
（3）如图3，平分，交于点H．
①若平分，求和的数量关系；
②若，直接写出的度数为______．
【答案】（1）；
（2）解：理由如下：
过点Q作如图：
，
即
（3）解：过点H作如图：
，
又∵平分平分
由（2）可得.
．
【解析】【解答】（1）解： 过点Q作如图：
，
故答案为：；
（3）理由如下：
故答案为：．
【分析】（1）过点Q作 先利用平行线的性质可得再利用角的运算求出即可；
（2）过点Q作先利用平行线的性质可得，再利用角的运算和等量代换可得；
（3）①过点H作先利用平行线的性质可得 再利用角平分线的定义可得 ，再利用角的运算和等量代换可得；
②先求出 再求出 最后利用角的运算求出 即可.
（1）解： 过点Q作如图：
，
故答案为：；
（2）解：理由如下：
过点Q作如图：
，
即
（3）解：过点H作如图：
，
又∵平分平分
由（2）可得；
理由如下：
故答案为：．
25．已知：AB∥CD，E、G是AB上的点，F、H是CD上的点，∠EGH＝∠EFH．
（1）如图1，求证：EF∥GH；
（2）如图2，EN为∠BEF的角平分线，交GH于点P，连接FN，求证：∠N＝∠HPN﹣∠NFH
（3）如图3，在（2）的条件下，过点F作FM⊥GH于点M，作∠AGH的角平分线交CD于点Q，若FN平分∠DFM，且∠GQH比∠N的多3°，求∠AEF的度数．
【答案】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠AEF＝∠EFH，
∵∠EGH＝∠EFH，
∴∠AEF＝∠EGH，
∴EF∥GH；
（2）证明：如图2，过点N作NR∥CD，
∴∠NFH＝∠FNR，
∵AB∥CD，∴AB∥CD∥RN，
∴∠ENR＝∠NEB，
∵EN平分∠BEF，∴∠NEF＝∠NEB，
∴∠ENR＝∠NEF，
∵EF∥GH，∴∠HPN＝∠NEF，
∴∠ENR＝∠HPN，
即∠ENF+∠FNR＝∠HPN，
∴∠ENF＝∠HPN﹣∠NFH；
（3）如图3，过点N作NR∥CD，
设∠ENF＝3α，则∠GQH＝α+3，
∵AB∥CD，∴∠AGQ＝∠GQH＝α+3，
∵GQ平分∠AGH，
∴∠AGH＝2∠AGQ＝2α+6，
∴∠EFD＝∠AGH＝2α+6，
∴∠AEF＝∠EFD＝2α+6，
∴∠BEF＝180°﹣∠AEF＝174°﹣2α，
∴∠BEN＝∠BEF＝87°﹣α，
∵FM⊥GM，∴∠M＝90°，
∵EF∥GH，∴∠EFM+∠M＝180°，
∴∠EFM＝90°，
∴∠DFM＝90°﹣∠EFD＝90°﹣（2α+6）＝84°﹣2α，
∵FN平分∠DFM，∴∠DFN＝∠DFM＝42°﹣α，
∴∠FNR＝∠DFN＝42°﹣α，
∴∠RNE＝∠FNR+∠ENF＝42°﹣α+3α＝42°+2α，
∵NR∥CD，AB∥CD，
∴AB∥NR，∴∠BEN＝∠RNE，
∴87°﹣α＝42°+2α，∴α＝15°，
∴∠AEF＝2α+6＝36°．
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质可得，等量代换求出，再根据平行线的判定得出结论；
（2）过点N作，根据平行线的性质可得，，由角平分线的定义可得，等量代换求出，再利用平行线的性质求出，等量代换可得，再利用角的和差关系证明即可；
（3）如图3，过点N作，设，则，根据平行线的性质可得，由角平分线的定义可得，等量代换求出，，由平角的定义可得，根据垂线的定义可得，再利用平行线的性质可得，从而求出，最后根据平行线的性质和角平分线的定义可得，求出α，即可得到的度数．
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