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反比例函数 单元综合知识梳理卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列各点中，在反比例函数 图象上的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列说法不正确的是（ ）
A．函数的图象必过原点
B．函数的图象不经过第二象限
C．函数的图象位于第一、三象限
D．函数的图象中，当时，随增大而增大
3．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．将函数y＝ x+1向右平移2个单位后所得函数的解析式为y＝ x
B．若一个数的平方根等于其本身，则这个数是0和1
C．对函数y＝ ，其函数值y随自变量x的增大而增大
D．直线y＝3x+1与直线y＝﹣3x+2一定互相平行
4．一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
5．若 ，则正比例函数 与反比例函数 在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
6．在平面直角坐标系xOy中，若函数的函数值y随着自变量x的增大而增大，则函数的图象所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．已知点 ， 都在反比例函数 的图象上，且 ，则 ， 的关系是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，点A在函数y＝（x＞0）的图象上，点B在函数y＝（x＞0）的图象上，且AB∥x轴，BC⊥x轴于点C，则四边形ABCO的面积为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．反比例函数 图象上有三个点 ， ， ，其中 ，则 ， ， 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，正方形ABCD位于第一象限，边长为3，点A在直线y=x上，点A的横坐标为1，正方形ABCD的边分别平行于x轴、y轴．若双曲线 与正方形ABCD有公共点，则k的取值范围为（ ）
A．1＜k＜9 B．2≤k≤34 C．1≤k≤16 D．4≤k＜16
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．在平面直角坐标系中，对于任意一个不在坐标轴上的点P（x，y），我们把点P′（x+y，x－y）称为点P的“和差点”．若直线y=-2x+1上有两个点A和B，它们的和差点A′和B′均在反比例函数上，则△OAB的面积为 ．
12．如图，B、C分别是反比例函数与的图象上的点，且轴，过点C作BC的垂线交于y轴于点A，则的面积为 .
13．如图，菱形的顶点O是坐标原点，点A在反比例函数的图象上，点B在x轴上．若菱形的面积是8，则k的值为 ．
14．如图，点A，B在反比例函数y= (k>0)的图象上，AC⊥x轴，BD⊥x轴，垂足C，D分别在x轴的正、负半轴上，CD=k，已知AB=2AC，E是AB的中点，且△BCE的面积是△ADE的面积的2倍，则k的值是
15．如图，点A是y轴上一点，点B，C分别在反比例函数y=（a＞0，x＞0）和y=（b＜0，x＞0）的图象上，且BC∥y轴，若△ABC的面积为6，则a-b的值为 .
16． 如图所示，A，B两点在反比例函数 的图象上，线段AB 的延长线交x轴于点C，且AB=2BC，则△AOC 的面积是 .
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．已知反比例函数，点都在该反比例函数图象上．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）当时，直接写出y的取值范围；
（3）若经过的直线与y轴交于点C，求的面积．
18．如图，反比例函数的图象与直线y=ax交于点D(1，4)，A是线段OD上的一个动点，过点A作y轴的垂线交反比例函数图象于点B.
（1）求k和a的值；
（2）根据图象直接写出关于x的不等式ax(x>0)的解；
（3）当AB的长为时，求点A的坐标.
19．已知反比例函数 的图象与一次函数y= kx+b（k≠0，k是常数）的图象交于点
（1）当k=2，b=-1时，求. 的值；
（2）若 求 的值.
20．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点和点B．
（1）求m，a的值，并直接写出点B的坐标；
（2）根据图象可得，不等式的解集为 ．
21．“善思”数学兴趣小组在学习了反比例函数相关知识后，继续探究的图象与性质．列表如下：
… 1 2 3 …
… 1 2 4 4 2 …
（1）表中的值是________，并将函数的图象补充完整（画出大致图象即可）．
（2）已知一次函数的图象经过点，，请直接写出不等式的解集．
22．）如图，点A（m，6），B（n，1）在反比例函数图象上，AD⊥x轴于点D，BC⊥x轴于点C，DC=5．
（1）求m，n的值并写出反比例函数的表达式；
（2）连接AB，E是线段AB上一点，过点E作x轴的垂线，交反比例函数图象于点F，若EF=AD，求出点E的坐标．
23． 某实验兴趣小组用自制密度计测量液体的密度，密度计悬浮在不同的液体中时，液体的密度（单位：）与其浸在液体中的高度（单位：cm）成一定的函数关系，经过实验获得两个变量，的一组对应值如下表：
h(cm) 2 2.5 4 5 8
ρ() 10 8 5 4 2.5
（1） 在给定的坐标系中画出相应函数的图象，并求出密度（单位：）关于高度（单位：cm）的函数表达式.
（2） 当密度计悬浮在另一种液体中时，，求这种液体的密度.
24．在平面直角坐标系中，设函数(是实数)．，已知函数与的图象都经过点和点B．
（1）求函数，的解析式与B点的坐标．
（2）当时，请直接写出自变量x的取值范围．
（3）已知点和点在函数的图象上，且，设，当时，求P的取值范围．
25．如图，四边形是正方形，为中点，以为坐标原点，，所在的直线为坐标轴建立平面直角坐标系，点坐标，过点的反比例函数的图象与边交于点，是线段上的一动点．
（1）求的正切值；
（2）若平分，求出点的坐标；
（3）若的面积为，的面积为．若，证明：是线段的中点．
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反比例函数 单元综合知识梳理卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列各点中，在反比例函数 图象上的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：
反比例函数
，
而
故A，C，D不符合题意，B符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据反比例函数的解析式可得k=xy=3，然后计算出各个选项中点的横、纵坐标的乘积，据此判断.
2．下列说法不正确的是（ ）
A．函数的图象必过原点
B．函数的图象不经过第二象限
C．函数的图象位于第一、三象限
D．函数的图象中，当时，随增大而增大
【答案】D
【解析】【解答】解：A、将代入，得，左右两边相等，不符合题意；
B、函数的图象经过第一，三，四象限，即图象不经过第二象限，不符合题意；
C、函数的图象位于第一、三象限，不符合题意；
D、由函数可知函数图象的开口方向向上，对称轴为，当时，随增大而增小，符合题意．
故答案为：D．
【分析】A、将代入即可；B、函数，，图象经过第一，三，四象限；C、根据值的大于0即可判断图象经过的象限；D、先判断函数的对称轴和开口方向，再判断增减性．
3．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．将函数y＝ x+1向右平移2个单位后所得函数的解析式为y＝ x
B．若一个数的平方根等于其本身，则这个数是0和1
C．对函数y＝ ，其函数值y随自变量x的增大而增大
D．直线y＝3x+1与直线y＝﹣3x+2一定互相平行
【答案】A
【解析】【解答】解：A、将函数y＝ x+1向右平移2个单位后所得函数的解析式为y＝ x，正确，符合题意；
B、若一个数的平方根等于其本身，则这个数是0，故错误，是假命题，不符合题意；
C、对函数y＝ ，其函数值在每个象限内y随自变量x的增大而增大，故错误，是假命题，不符合题意；
D、直线y＝3x+1与直线y＝﹣3x+2因比例系数不相等，故一定不互相平行，故错误，是假命题，
故答案为：A.
【分析】利用一次函数的性质、平方根的定义、反比例函数的性质等知识分别判断后即可确定正确的选项.
4．一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：观察已知函数图象可知：，，，
∴二次函数的图象开口向下，
对称轴，
与y轴的交点在y轴负半轴.
故答案为：D.
【分析】根据一次函数图象经过的象限可得a<0、b>0，根据反比例函数图象所在的象限可得c<0，则二次函数的图象开口向下，对称轴在y轴右侧，与y轴的交点在y轴负半轴，据此判断.
5．若 ，则正比例函数 与反比例函数 在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解： ， 分两种情况：
（1）当 时，正比例函数 的图象经过原点、第一、三象限，反比例函数 的图象在第一、三象限，故A选项正确；
（2）当 时，正比例函数 的图象经过原点、第二、四象限，反比例函数 的图象在第二、四象限，故选项A、B、C、D均错误，
故答案为：A.
【分析】正比例函数y=kx，当k>0时，图象经过原点、第一、三象限；当k<0时，图象经过原点、第二、四象限；y=，当k>0时，图象在第一、三象限；当k<0时，图象在第二、四象限，据此一一判断得出答案.
6．在平面直角坐标系xOy中，若函数的函数值y随着自变量x的增大而增大，则函数的图象所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】【解答】解：反比例函数的函数值y随着自变量x的增大而增大，
所以双曲线的两支分别位于第二、第四象限，而x<0，则分支在第二象限．
故答案为：B．
【分析】根据反比例函数的图象与性质的关系求解即可。
7．已知点 ， 都在反比例函数 的图象上，且 ，则 ， 的关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】∵点 ， 都在反比例函数 的图象上，∴ ，图象位于第二、四象限内，且 随 增大而增大，
∵ ，
∴点 在第四象限，点 在第二象限，
∴ ，
故答案为：A
【分析】根据反比例函数的图象和性质，结合点A以及点B横坐标的大小，判断得到纵坐标的大小即可。
8．如图，点A在函数y＝（x＞0）的图象上，点B在函数y＝（x＞0）的图象上，且AB∥x轴，BC⊥x轴于点C，则四边形ABCO的面积为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】【解答】解：延长交轴于点，
∵轴，
∴轴，
∵点A在函数的图象上，则，
∵点B在函数的图象上，
∴，
∴；
故答案为：B．
【分析】延长交轴于点，根据题意可得，，进而根据四边形的面积等于，即可求解．
9．反比例函数 图象上有三个点 ， ， ，其中 ，则 ， ， 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵反比例函数 的比例系数k2+1＞0，
∴图象在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，
又∵x1＜x2＜0＜x3，
∴y2＜y1＜0，y3＞0，
∴y2＜y1＜y3．
故答案为：C．
【分析】先根据反比例函数 的系数k2+1＞0判断出函数图象在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，再根据x1＜x2＜0＜x3，判断出y1、y2、y3的大小．
10．如图，正方形ABCD位于第一象限，边长为3，点A在直线y=x上，点A的横坐标为1，正方形ABCD的边分别平行于x轴、y轴．若双曲线 与正方形ABCD有公共点，则k的取值范围为（ ）
A．1＜k＜9 B．2≤k≤34 C．1≤k≤16 D．4≤k＜16
【答案】C
【解析】【解答】解：点A在直线y=x上，其中A点的横坐标为1，则把x=1代入y=x解得y=1，则A的坐标是（1，1），∵AB=BC=3，∴C点的坐标是（4，4），∴当双曲线 经过点（1，1）时，k=1；当双曲线 经过点（4，4）时，k=16，因而1≤k≤16．
故答案为：C．
【分析】先求出点A的坐标，再求出点C的坐标，分别求出双曲线经过点A和点C时的k的值，即可求出k的取值范围.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．在平面直角坐标系中，对于任意一个不在坐标轴上的点P（x，y），我们把点P′（x+y，x－y）称为点P的“和差点”．若直线y=-2x+1上有两个点A和B，它们的和差点A′和B′均在反比例函数上，则△OAB的面积为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：如图，
设点A（a，2a-1），则A′（-a+1，3a-1），
∵点A′在反比例函数图象上，
∴（-a+1）（3a-1）=-3，
整理得
3a2-4a-2=0，
∴a1+a2=，a1·a2=，
∴，
∵直线y=-2x+1，
当x=0时y=1，
∴点D（0，1），
∴OD=1，
∴.
故答案为：
【分析】利用函数解析式，设点A（a，2a-1），则A′（-a+1，3a-1），利用点A在吧、反比例函数图象上，可得到关于a的方程，将方程化简，利用一元二次方程根与系数，可求出a1+a2和a1·a2的值，再求出a1-a2的值，利用点D的坐标可求出OD的长，然后利用三角形的面积公式求出△OAB的面积.
12．如图，B、C分别是反比例函数与的图象上的点，且轴，过点C作BC的垂线交于y轴于点A，则的面积为 .
【答案】4
【解析】【解答】解：过点B作BD⊥x轴于D，如图，设BC交x轴于点E，
∵BC∥y轴，BC⊥AC，
∴AC⊥y轴，
即∠BDA=∠DAC=∠BCA=∠DOE=∠AOE=∠OEB=90°，
∴四边形DACB、四边形DOEB、四边形AOEC都是矩形，
由反比例函数比例系数k的几何意义知：，，
∴，
∵，
∴.
故答案为：4.
【分析】过点B作BD⊥x轴于D，如图，设BC交x轴于点E，易得四边形DACB、四边形DOEB、四边形AOEC都是矩形， 用反比例函数的比例系数k的几何意义求出矩形ACBD的面积，然后根据矩形的性质即可求出△ABC的面积．
13．如图，菱形的顶点O是坐标原点，点A在反比例函数的图象上，点B在x轴上．若菱形的面积是8，则k的值为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：如图，连接交于点，
菱形，
，
，
菱形的面积是，
，
点A在反比例函数的图象上
，
点在第二象限，
，
故答案为： ．
【分析】连接交于点，由菱形的性质“菱形的对角线互相垂直平分”可得AC⊥BD，根据三角形的面积公式求得直角三角形ADO的面积，然后根据反比例函数值几何意义并结合反比例函数经过的象限即可求解。
14．如图，点A，B在反比例函数y= (k>0)的图象上，AC⊥x轴，BD⊥x轴，垂足C，D分别在x轴的正、负半轴上，CD=k，已知AB=2AC，E是AB的中点，且△BCE的面积是△ADE的面积的2倍，则k的值是
【答案】
【解析】【解答】解：过点B作直线AC的垂线交直线AC于点F，
∵△BCE的面积是△ADE的面积的2倍，E是AB的中点，
∴S△ABC＝2S△BCE，S△ABD＝2S△ADE，
∴S△ABC＝2S△ABD，且△ABC和△ABD的高均为BF，
∴AC＝2BD，
∴OD＝2OC．
∵CD＝k，
∴点A的坐标为（，3），点B的坐标为（ ， ），
∴AC＝3，BD＝，
∴AB＝2AC＝6，AF＝AC＋BD＝，
∴CD＝k＝＝＝
故答案为：
【分析】过点B作直线AC的垂线交直线AC于点F，由△BCE的面积是△ADE的面积的2倍以及E是AB的中点即可得出S△ABC＝2S△ABD，结合CD＝k即可得出点A、B的坐标，再根据AB＝2AC、AF＝AC＋BD即可求出AB、AF的长度，根据勾股定理即可求出k的值。
15．如图，点A是y轴上一点，点B，C分别在反比例函数y=（a＞0，x＞0）和y=（b＜0，x＞0）的图象上，且BC∥y轴，若△ABC的面积为6，则a-b的值为 .
【答案】12
【解析】【解答】解：设点B的坐标为，
∵BC∥y轴，
∴点C的坐标为，
∴，
∴，
∴a-b=12，
故答案为：12.
【分析】设点B的坐标为，则点C的坐标为，即可求出BC长，然后根据 △ABC的面积为6， 求出a-b即可.
16． 如图所示，A，B两点在反比例函数 的图象上，线段AB 的延长线交x轴于点C，且AB=2BC，则△AOC 的面积是 .
【答案】6
【解析】【解答】解：过点A作，过点B作。
∵A、B两点在反比例函数的图象上
∴设，
∵AB=2BC
∴，
∴，HG=2CG
∴点B的纵坐标为，代入反比例函数中得点B的坐标为
∴OG=-3x，HG=-2x，CG=-x，则OC=-4x
∴
故答案为：6.
【分析】根据已知条件结合反比例函数k的几何意义，求出点A与点B的坐标关系，再确定与的面积。
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．已知反比例函数，点都在该反比例函数图象上．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）当时，直接写出y的取值范围；
（3）若经过的直线与y轴交于点C，求的面积．
【答案】（1）解：∵点A（-2，a），B（a+9，1）都在该反比例函数图象上，
∴k=-2a=a+9，
解得：a=-3，
∴k=-2a=6，
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：∵k=6＞0，
∴当x＞0时，y随x的增大而减小，
∵x=1时，y=6，
∴当x＞1时，y的取值范围是0＜y＜6；
（3）解：由（1）可得，A（-2，-3），B（6，1），
设直线AB的解析式为，
将A（-2，-3），B（6，1），代入得：，
解得：，
∴直线AB的解析式为，
当，，
故，
∴．
【解析】【分析】（1）由反比例函数图象上点的坐标特征得到k=-2a=a+9，解得a=-3，求出k=6，即可求解；（1）根据反比例函数的性质得出当x＞0时，y随x的增大而减小，结合x的取值范围即可求解；
（3）由（1）得出点A和点B的坐标，待定系数法求直线AB的解析式为，求出直线AB与y轴的交点C的坐标，根据三角形面积公式即可求解.
18．如图，反比例函数的图象与直线y=ax交于点D(1，4)，A是线段OD上的一个动点，过点A作y轴的垂线交反比例函数图象于点B.
（1）求k和a的值；
（2）根据图象直接写出关于x的不等式ax(x>0)的解；
（3）当AB的长为时，求点A的坐标.
【答案】（1）解：分别将点D(1，4)代入反比例函数和直线 y=ax，
得，4=a，
解得k=4，a=4
（2）0（3）解：设点C的坐标为(0，c)，则点A的坐标为，点B的坐标为，
∵AB的长为，
∴
解得c=2(负值舍去).经检验，c=2是该分式方程的解
∴点A的坐标为
【解析】【解答】解：(2)由图象可知，当反比例函数(x>0)的图象在直线y=ax上方时，0故答案为：0【分析】(1)分别将点 D(1，4)代入反比例函数和直线y=ax求值即可；
(2)直接根据图象作答即可；
(3)设点C的坐标为(0，c)，根据AB的长为列方程求解即可.
19．已知反比例函数 的图象与一次函数y= kx+b（k≠0，k是常数）的图象交于点
（1）当k=2，b=-1时，求. 的值；
（2）若 求 的值.
【答案】（1）解： 当k=2，b=-1时 ， 反比例函数 ，一次函数y= 2x-1，
∴2x2-x-1=0
∵反比例函数 的图象与一次函数y= kx+b（k≠0，k是常数）的图象交于点
∴2x2-x-1=0的两根，
∴=
（2）解：据题意知： 在 ，
∴，
∴
∵
∴
即 的值为0
【解析】【分析】⑴根据一元二次方程根与系数的关系求解：=.
⑵利用分式的加减进行化简即可.
20．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点和点B．
（1）求m，a的值，并直接写出点B的坐标；
（2）根据图象可得，不等式的解集为 ．
【答案】（1）．
（2）x＜-3或0＜x＜2.
【解析】【解答】解：（1）∵点在一次函数的图象上，
∴将代入中，得，
∴．
∵点在反比例函数的图象上，
∴将代入中，得，
解得．
∴反比例函数解析式为
∵一次函数与反比例函数的图象交于点和点B
∴联立，
解得：或
∴点B的坐标为．
(2)由图象得：当一次函数的图象位于反比例函数图象下方，即时，x＜-3或0＜x＜2，
故答案为：x＜-3或0＜x＜2.
【分析】
本题考查一次函数与反比例函数综合问题，熟知一次函数与反比例函数的基本性质是解题关键．
（1）已知点A(2，m)在一次函数y=x+1的图象上，根据函数图象上的点的坐标满足函数解析式这一性质，将x = 2代入y=x+1中，即m=2+1=3，所以点A的坐标为(2，3)，再根据点A(2，3)也在反比例函数的图象上，根据函数图象上的点的坐标满足函数解析式，故把x=2，y=3代入，可得，通过等式变形（两边同时乘2)，解得a=6，故可知反比例函数解析式为根据一次函数y=x+1与反比例函数的图象交于点A(2，3)和点B，需联立两个函数的解析式，构成关于x与y的方程组，即，解得x与y的值，即可得到点B的坐标，即可得出答案；
（2）结合图象，找出一次函数图象位于反比例函数图象下方，即可得出x的取值范围，即可得出答案．
（1）解：∵点在一次函数的图象上，
∴将代入中，得，
∴．
∵点在反比例函数的图象上，
∴将代入中，得，
解得．
联立，
解得：或
∴点的坐标为．
（2）由图象得：当一次函数的图象位于反比例函数图象下方，即时，或，
故答案为：或．
21．“善思”数学兴趣小组在学习了反比例函数相关知识后，继续探究的图象与性质．列表如下：
… 1 2 3 …
… 1 2 4 4 2 …
（1）表中的值是________，并将函数的图象补充完整（画出大致图象即可）．
（2）已知一次函数的图象经过点，，请直接写出不等式的解集．
【答案】（1）解：当时，，
即
故答案为：1
图象如下：
（2）根据一次函数的图象经过点，，则，
∴，
∴；
联立和得到，，
解得（负值已舍去），
联立和得到，，
解得或，
当时，；
画出一次函数的图象如下：
由图象的交点的横坐标可知，的解集是或．
【解析】【分析】本题考查反比例函数图象和性质、反比例函数和一次函数的交点问题．
（1） 当时， 先求出y的值，据此可求出m的值，进而可画出函数图象；
（2）根据一次函数的图象经过点，，则，解方程可求出k和b的值，据此可求出一次函数的解析式，联立和得到，，解方程可求出x的值；联立和得到，，解方程可求出x的值；当时，求出y的值；据此可画出一次函数的图象，观察函数图象可求出不等式解集.
22．）如图，点A（m，6），B（n，1）在反比例函数图象上，AD⊥x轴于点D，BC⊥x轴于点C，DC=5．
（1）求m，n的值并写出反比例函数的表达式；
（2）连接AB，E是线段AB上一点，过点E作x轴的垂线，交反比例函数图象于点F，若EF=AD，求出点E的坐标．
【答案】解：（1）设反比例函数的解析式为y=，把（n，1）代入得：k=n，即y=，∵点A（m，6），B（n，1）在反比例函数图象上，AD⊥x轴于点D，BC⊥x轴于点C，DC=5，∴，解得：m=1，n=6，即A（1，6），B（6，1）；反比例函数的解析式为：y=；（2）设直线AB的解析式为y=ax+b，把A（1，6）和B（6，1）代入得：解得：a=﹣1，b=7，即直线AB的解析式为：y=﹣x+7，设E点的横坐标为m，则E（m，﹣m+7），F（m，），∴EF=﹣m+7﹣，∵EF=AD，∴﹣m+7﹣=，解得：m=2，m2=3，经检验都是原方程的解，即E的坐标为（2，5）或（3，4）．
【解析】【分析】（1）设反比例函数的解析式为y=，根据题意得出方程组，求出方程组的解即可；
（2）设直线AB的解析式为y=ax+b，求出直线AB的解析式，设E点的横坐标为m，则E（m，﹣m+7），F（m，），求出EF=﹣m+7﹣，得出关于m的方程，求出m即可．
23． 某实验兴趣小组用自制密度计测量液体的密度，密度计悬浮在不同的液体中时，液体的密度（单位：）与其浸在液体中的高度（单位：cm）成一定的函数关系，经过实验获得两个变量，的一组对应值如下表：
h(cm) 2 2.5 4 5 8
ρ() 10 8 5 4 2.5
（1） 在给定的坐标系中画出相应函数的图象，并求出密度（单位：）关于高度（单位：cm）的函数表达式.
（2） 当密度计悬浮在另一种液体中时，，求这种液体的密度.
【答案】（1）解：如图所示，
根据图象形状选择反比例函数模型进行尝试。设它的函数关系式为，选点（2，10）的坐标代入得，解得，
所以.
（2）解：当时，.
答：这种液体密度.
【解析】【分析】(1)描点并连线画出图象，并根据表格中的数据变化规律写出密度ρ关于高度h的函数表达式即可；
(2)当h=25时，求出对应ρ的值即可.
24．在平面直角坐标系中，设函数(是实数)．，已知函数与的图象都经过点和点B．
（1）求函数，的解析式与B点的坐标．
（2）当时，请直接写出自变量x的取值范围．
（3）已知点和点在函数的图象上，且，设，当时，求P的取值范围．
【答案】（1）解： 函数与的图象都经过点，
，解得，
点，，
∵点在反比例函数的图象上，
∴，解得：，
，
，解得，或，
B点的坐标为．
（2）解：画出函数，的图象，如图所示，
直线与反比例函数交于A、B两点，，
，，
∴当函数的图象在函数的图象上时，所对应的自变量的取值范围为 或．
（3）解： 和点在函数的图象上，
，，
，，
，
∴，
当时，
，解得：，
∴，
，
，
P的取值范围是．
【解析】【分析】（1）先根据两函数图象都过点A，得到关于m的方程求解，求出m的值，从而可得点A的坐标与直线的解析式，再根据点A在反比例函数的图象上，求出比例系数，从而可得反比例函数的解析式，再联立直线与反比例函数求出交点B的坐标；
（2）画出函数，的图象，根据两函数图象的交点坐标，根据图象得出当时，自变量x的取值范围；
（3）先根据点和点在函数的图象上，得到，，再利用，结合，求出，，利用不等式的性质即可求出P的取值范围．
25．如图，四边形是正方形，为中点，以为坐标原点，，所在的直线为坐标轴建立平面直角坐标系，点坐标，过点的反比例函数的图象与边交于点，是线段上的一动点．
（1）求的正切值；
（2）若平分，求出点的坐标；
（3）若的面积为，的面积为．若，证明：是线段的中点．
【答案】（1）解：连接，
点的坐标为，
．
四边形是正方形，
．
又为的中点，
，
点的坐标为．
过点的反比例函数．
得，
解得，
．
点在上，
点得坐标为．
又点在反比例函数上，
，
解得，
为，
，
在中，
（2）解：过点作于点，连接，
平分，，
，
．
在与中
，
，
．
在与中
，
．
设点坐标为，
．
在中
．
，
，
，
解得，
为
（3）证明：设点坐标为，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
为的中点
【解析】【分析】（1）利用点A的坐标可求出OA的长，利用正方形的性质及点D是BC的中点，可得到点D的坐标，将点D的坐标代入函数解析式可求出反比例函数解析式；利用点E在反比例函数图象上，可得到点E的坐标，即可求出EC的长，然后求出tan∠EDC的值.
（2）过点作于点，连接，利用角平分线的性质得出，利用HL可证得，利用全等三角形的性质可推出，同理证明得到，设点坐标为，可表示出MF的长，在中利用勾股定理可求出b的值，即可得到点F的坐标.
（3） 设点坐标为，运用直角三角形的面积公式求出，运用割补法求出，再根据列出方程求出c，从而证明是线段的中点．
（1）解：连接，
点的坐标为，
．
四边形是正方形，
．
又为的中点，
，
点的坐标为．
过点的反比例函数．
得，
解得，
．
点在上，
点得坐标为．
又点在反比例函数上，
，
解得，
为，
，
在中，；
（2）过点作于点，连接，
平分，，
，
．
在与中
，
，
．
在与中
，
．
设点坐标为，
．
在中
．
，
，
，
解得，
为；
（3）证明：设点坐标为，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
为的中点．
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