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二次函数 单元综合提升检测卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知函数 ，则顶点坐标为（ ）
A．（2，3） B．（-2，3） C．（2，-3） D．（0，3）
2．某车的刹车距离y(m)与开始刹车时的速度x(m/s)之间满足二次函数 ，若该车某次的刹车距离为5m，则开始刹车时的速度为（ ）
A．40m/s B．20m/s C．10m/s D．5m/s
3．对于二次函数y=ax2－（2a－1）x＋a－1（a≠0），有下列结论：①其图象与x轴一定相交；②其图象与直线y=x－1有且只有一个公共点；③无论a取何值，抛物线的顶点始终在同一条直线上；④无论a取何值，函数图象都经过同一个点．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．对称轴为直线的抛物线、、为常数，且如图所示，某同学得出了以下结论：；；；当时，随的增大而增大，其中结论正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
6．将抛物线y=3x2向上平移3个单位，再向右平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（ ）
A．y=3（x+2）2+3 B．y=3（x﹣2）2+3
C．y=3（x+2）2﹣3 D．y=3（x﹣2）2﹣3
7．如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；那么当水位下降1米后，水面的宽度为（ ）
A． B． C．6 D．
8．如图，抛物线的对称轴为，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．当时，y随x的增大而减小 D．当时，y随x的增大而减小
9．如图二次函数 (a<0)图象与x轴交于A，B两点（点A在x 轴的负半轴），与y轴交于一点C，过C作CD⊥y轴交图象于点D，连结AC，OD，若AC//DO，则点B的横坐标为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．二次函数 的部分图象如图所示，图象过点(－1，0)，对称轴为直线x＝2，则下列结论中正确的个数有（ ）
①4＋b＝0；② ；③若点A(－3， )，点B(－ ， )，点C(5， )在该函数图象上，则 ＜ ＜ ；④若方程 的两根为 和 ，且 ＜ ，则 ＜－1＜5＜ .
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是（﹣4，0），（2，0），则这条抛物线的对称轴是直线 ．
12．若抛物线y=（m-1） 开口向下，则m= ．
13．小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y=﹣x2+3.5的一部分，如图所示，若球命中篮圈中心，则他与篮底的距离L是 m．
14．某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚，尺寸如图，若菜农身高为1.8m，他在不弯腰的情况下，在棚内的横向活动范围是 m.
15．二次函数y=x2﹣x+1的图象与x轴的交点个数是 ．
16．如图，抛物线y=x2+bx-3与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧)，直线l与抛物线交于A、C两点，其中点A、C的横坐标分别为-1和2.点G是抛物线上的动点，在x轴上存在点F，使以A、C、F、G四个点为顶点的四边形是平行四边形，则点F的坐标为 .
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．我市一家电子计算器专卖店每只进价12元，售价20元，多买优惠；凡是一次买10只以上的，每多买1只，所买的全部计算器每只就降低元，例如，某人买20只计算器，于是每只降价（元），因此，所买的全部20只计算器都按照每只19元计算，但是最低价为每只16元．
（1）求一次至少买多少只，才能以最低价购买
（2）求该专卖店当一次销售只时（），所获利润（元）与（只）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）若店主一次卖的只数在10至50只之间，问一次卖多少只获得的利润最大？其最大利润为多少元？
18．已知抛物线y=-x2+bx+c经过点（1，0），（0，）。
（1）求该抛物线的函数表达式．
（2）将抛物线y=-x2+bx+c平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方式．
19．在平面直角坐标系中，函数是常数，且的图象与轴的交点坐标为和，其中．
（1）当时，求，的值．
（2）求证：．
20．把长的钢筋焊成一个如图所示的框架，使其下半部分为矩形，上半部分为半圆形.
（1）请写出钢筋所焊成框架的面积关于半圆的半径的函数表达式.
（2）当半圆的半径时，求钢筋所焊成框架的面积.
21．在给定坐标系内，画出函数y=（x﹣1）2的图象，并指出y随x增大而减小的x的取值范围．
22．请画出适当的函数图象，求方程x2=x+3的解
23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的部分图象经过点，．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）结合函数图象，直接写出时，的取值范围．
24．已知二次函数
（1）以下有关二次函数L的性质结论序号正确的有 .（填序号）
①二次函数的开口向上；
②二次函数的对称轴是直线；
③二次函数的图象经过定点和；
④函数值y随着x的增大而减小.
（2）若二次函数的图象关于点中心对称得到二次函数G的图象，则称这两个二次函数关于点成对称抛物线.
①求抛物线G的表达式（用含m的式子表示）：
②若抛物线G的顶点纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系式H，求出这个函数关系式；若二次函数L与函数H的图象有交点，请结合图象求出m的取值范围.
25．落实五育并举，加强劳动教育，某中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地.2024年计划将其中的土地全部种植甲乙两种蔬菜，经调查发现：甲种蔬菜成本为50元.乙种蔬菜的种植成本与其种植面积之间的关系如下图所示.设乙种蔬菜种植成本为（元），乙种蔬菜的植面积为（其中）.
（1）根据题意，填写下表：
种植面积 200 400 500 600 700
乙种蔬菜种植成本（元） 20 ① ② 40 ③
（2）设2024年甲乙两种蔬菜总种植成本为元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使最小？
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二次函数 单元综合提升检测卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知函数 ，则顶点坐标为（ ）
A．（2，3） B．（-2，3） C．（2，-3） D．（0，3）
【答案】A
【解析】【解答】解：y=-(x-2)2+3，顶点坐标为（2，3），
故答案为：A.
【分析】由配方的结果直接可以读出顶点坐标为（2，3）.
2．某车的刹车距离y(m)与开始刹车时的速度x(m/s)之间满足二次函数 ，若该车某次的刹车距离为5m，则开始刹车时的速度为（ ）
A．40m/s B．20m/s C．10m/s D．5m/s
【答案】C
【解析】【解答】当y=5时，5= ，当x>0时，x=10，故选C．
【分析】根据二次函数的性质，能够求解当y为某固定值时，符合条件的x的值，就把问题变化为解一元二次方程的问题．
3．对于二次函数y=ax2－（2a－1）x＋a－1（a≠0），有下列结论：①其图象与x轴一定相交；②其图象与直线y=x－1有且只有一个公共点；③无论a取何值，抛物线的顶点始终在同一条直线上；④无论a取何值，函数图象都经过同一个点．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】【解答】解：令ax2－（2a－1）x＋a－1=0，
则 ，
∴ax2－（2a－1）x＋a－1=0有两个不相等的实根，
∴y=ax2－（2a－1）x＋a－1（a≠0）图象与x轴一定相交，①符合题意；
令ax2－（2a－1）x＋a－1=x-1，则ax2－2ax＋a=0，
∵a≠0，∴x2－2x＋1=0，即（x-1）2=0 ，∴ ，
∴y=ax2－（2a－1）x＋a－1（a≠0）图象直线y=x－1有且只有一个公共点，②符合题意；
∵y=ax2－（2a－1）x＋a－1（a≠0）的顶点为 ，
即 ，不难看出，无论a取何值，点 总是在直线y=2(x-1)上，所以③符合题意；
∵当x=1时，y=a-(2a-1)+a-1=a-2a+1+a-1=0，所以无论a取何值，函数图象都经过同一个点（1，0），④符合题意，所以符合题意结论的个数是4．
故答案为：D．
【分析】根据根的判别式和函数图象进行求解即可。
4．对称轴为直线的抛物线、、为常数，且如图所示，某同学得出了以下结论：；；；当时，随的增大而增大，其中结论正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】【解答】解： 抛物线开口向上，
，
抛物线对称轴为直线 ，
，
抛物线与y轴交点在x轴下方，
，
，①错误．
抛物线与x轴有2个交点，
，即 ，
∴② 正确．
时， ，抛物线对称轴为直线 ，
时， ，③错误．
抛物线开口向上，对称轴为直线 ，
时， y 随x增大而增大，④正确．
故答案为：B.
【分析】由图象可得：抛物线开口向上，对称轴为直线x==1，与y轴交点在x轴下方，据此可得a、b、c的符号，进而可判断①；根据图象与x轴有2个交点可判断②；根据对称性可得x=2对应的函数值为负，据此判断③；根据图象可得增减性，据此判断④.
5．在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A．由直线可知，由抛物线开口向上，，抛物线与轴的交点得出，故选项不符合题意；
B．由直线可知，由抛物线开口向下，，抛物线与轴的交点得出，故选项不符合题意；
C．由直线可知，由抛物线开口向上，，抛物线与轴的交点得出，故选项符合题意；
D． 由直线可知，由抛物线开口向下，，抛物线与轴的交点得出，故选项不符合题意；
故选：C．
【分析】本题考查一次函数和二次函数的图象性质.若a>0，一次函数过一、三象限，二次函数开口向上，与y轴交于负半轴；若a<0，一次函数过二、四象限，二次函数开口向下，与y轴交于正半轴.据此匹配选项即可.
6．将抛物线y=3x2向上平移3个单位，再向右平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（ ）
A．y=3（x+2）2+3 B．y=3（x﹣2）2+3
C．y=3（x+2）2﹣3 D．y=3（x﹣2）2﹣3
【答案】B
【解析】【解答】解：抛物线y=3x2的顶点坐标为（0，0），
∵向上平移3个单位，再向右平移2个单位，
∴平移后的抛物线顶点坐标为（2，3），
∴得到的抛物线的解析式为y=3（x﹣2）2+3．
故答案为：B．
【分析】根据二次函数图象的平移规律：上加下减，左加右减，即可得出平移后的抛物线解析式。
7．如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；那么当水位下降1米后，水面的宽度为（ ）
A． B． C．6 D．
【答案】A
【解析】【解答】解：以拱顶为坐标原点建立坐标系，如图：
∴设抛物线解析式为：
∵观察图形可知抛物线经过点
∴
∴
∴抛物线解析式为：
∴当水位下降 米后，即当 时，有
∴ ， （不合题意舍去）
∴水面的宽度为： ．
故答案为：A
【分析】结合已知条件先建立适当的坐标系，然后设出解析式，利用点的坐标求得解析式，再将x=-3代入解析式求得相应的x的值即可。
8．如图，抛物线的对称轴为，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．当时，y随x的增大而减小 D．当时，y随x的增大而减小
【答案】C
【解析】【解答】解：抛物线开口向上，因此a＞0，故A选项不符合题意．
抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，因此c＜0，故B选项不符合题意．
抛物线开口向上，因此在对称轴左侧，y随x的增大而减小，故C选项符合题意．
抛物线开口向上，因此在对称轴右侧y随x的增大而增大，故D选项不符合题意．
故答案为：C
【分析】利用二次函数的图象与性质对每个选项一一判断即可。
9．如图二次函数 (a<0)图象与x轴交于A，B两点（点A在x 轴的负半轴），与y轴交于一点C，过C作CD⊥y轴交图象于点D，连结AC，OD，若AC//DO，则点B的横坐标为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】【解答】解：∵y=ax2-2ax+c，
∴对称轴为x=1，
∵C（0，c）， CD⊥y轴
∴D（2，c），
∵AC∥DO，AO∥CD，
∴四边形AODC为平行四边形，
∴AO=CD，
∴A（-2，0），
∴B（4，0）.
故答案为：B.
【分析】根据二次函数的解析式求得对称轴为x=1，进而求得D的横坐标，根据平行四边形的判定与性质可得A的横坐标，根据二次函数图象特征即可求得.
10．二次函数 的部分图象如图所示，图象过点(－1，0)，对称轴为直线x＝2，则下列结论中正确的个数有（ ）
①4＋b＝0；② ；③若点A(－3， )，点B(－ ， )，点C(5， )在该函数图象上，则 ＜ ＜ ；④若方程 的两根为 和 ，且 ＜ ，则 ＜－1＜5＜ .
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】【解答】由抛物线的对称轴为x=2可得- =2，即4a+b=0，故①正确；
由抛物线的对称性知x=0和x=4时，y＞0，
则x=3时，y=9a+3b+c＞0，故②错误；
∵抛物线的开口向下，且对称轴为x=2，
∴抛物线上离对称轴水平距离越小，函数值越大，
∵点A到x=2的水平距离为5，点B到对称轴的水平距离为2.5，点C到对称轴的水平距离为3，
∴y1＜y3＜y2，故③正确；
令y=a（x+1）（x-5），
则抛物线y=a（x+1）（x-5）与y=ax2+bx+c形状相同、开口方向相同，且与x轴的交点为（-1，0）、（3，0），
函数图象如图所示，
由函数图象可知方程a（x+1）（x-5）=-3的两根即为抛物线y=a（x+1）（x-5）与直线y=-3交点的横坐标，
∴x1＜-1＜5＜x2，故④正确．
故答案为：C．
【分析】①由抛物线的对称轴为x=2可得=2可得4a+b=0；②由对称和图像来验证；③根据函数的增减性来判断；④数形结合即为抛物线y=a（x+1）（x-5）与直线y=-3交点的横坐标可知。
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是（﹣4，0），（2，0），则这条抛物线的对称轴是直线 ．
【答案】x=﹣1
【解析】【解答】解：∵抛物线与x轴的交点为（﹣4，0），（2，0），
∴两交点关于抛物线的对称轴对称，
则此抛物线的对称轴是直线x= =﹣1，即x=﹣1．
故答案是：x=﹣1．
【分析】因为点（﹣4，0）和（2，0）的纵坐标都为0，所以可判定是一对对称点，把两点的横坐标代入公式x= 求解即可．
12．若抛物线y=（m-1） 开口向下，则m= ．
【答案】-1
【解析】【解答】解：∵m2-m=2
∴m=2或m=-1
∵m-1≠0
∴m≠1
∴当m=2或-1时，这个函数都是二次函数，
∵m-1＜0，m＜1
∴m=-1．
故答案为：-1.
【分析】根据抛物线的定义及开口方向进行解答即可。
13．小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y=﹣x2+3.5的一部分，如图所示，若球命中篮圈中心，则他与篮底的距离L是 m．
【答案】4.5
【解析】【解答】解：如图，把C点纵坐标y=3.05代入y=x2+3.5中得：
x=±1.5（舍去负值），
即OB=1.5，
所以l=AB=2.5+1.5=4．
令解：把y=3.05代入y=﹣x2+3.5中得：
x1=1.5，x2=﹣1.5（舍去），
∴L=3+1.5=4.5米．
故答案为：4.5．
【分析】如图，实际是求AB的距离，而OA已知，所以只需求出OB即可；而OB的长，又是C点的横坐标，所以把C点的纵坐标3.05代入解析式即可解答．
14．某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚，尺寸如图，若菜农身高为1.8m，他在不弯腰的情况下，在棚内的横向活动范围是 m.
【答案】3
【解析】【解答】解：设抛物线的解析式为：y=ax2+b，
由图得知：点（0，2.4），（3，0）在抛物线上，
∴ ，解得： ，
∴抛物线的解析式为：y=﹣ x2+2.4，
∵菜农的身高为1.8m，即y=1.8，
则1.8=﹣ x2+2.4，
解得：x= （负值舍去）
故他在不弯腰的情况下，横向活动范围是：3米，
故答案为：3.
【分析】由题意用待定系数法可求得抛物线的解析式，把y=8代入求得的解析式计算即可求解.
15．二次函数y=x2﹣x+1的图象与x轴的交点个数是 ．
【答案】0
【解析】【解答】解：∵△=b2﹣4ac=1﹣4=﹣3＜0，
∴抛物线与x轴没有交点，
∴交点个数为0．
故答案为0．
【分析】根据△的值即可判断．
16．如图，抛物线y=x2+bx-3与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧)，直线l与抛物线交于A、C两点，其中点A、C的横坐标分别为-1和2.点G是抛物线上的动点，在x轴上存在点F，使以A、C、F、G四个点为顶点的四边形是平行四边形，则点F的坐标为 .
【答案】（1，0）、（-3，0）、 、
【解析】【解答】解：∵其中点A、C的横坐标分别为-1和2
∴点A（-1，0）
∴1-b-3=0
解之：b=-2
∴y=x2-2x-3
当x=2时y=4-4-3=-3.
∴点C（2，-3）；
当x=0时，y=-3
∴点D（0，-3）
∴CD∥x轴，
当AC为对角线时，即AF∥CG，点G与点D重合
∴AF1=CD=2
∴OF1=2-1=1
∴点F1（1，0）
当AC为一边时，AF2∥CG，CG=AF=2
∴AF2=2
∴OF2=|-1-2|=3
∴点F2（-3，0）；
如图，当GA=CF时，CG和AF的中点坐标相同
设点F（m，0）
则点AF的中点坐标为（，0）
设点G（x，x2-2x-3）
∴CG的中点坐标为
∴
解之：
∴点
∴点F的坐标为 （1，0）、（-3，0）、 、 .
故答案为： （1，0）、（-3，0）、 、 .
【分析】由已知求出b的值，即可得到函数解析式，利用函数解析式求出点C，D的坐标，再分情况讨论：当AC为对角线时，即AF∥CG，点G与点D重合，可得到点F的坐标，当AC为一边时，AF2∥CG，CG=AF=2，可求出OF2的长，由此可得到F2的坐标；如图，当GA=CF时，CG和AF的中点坐标相同，设点F（m，0），设点G（x，x2-2x-3），分别表示出线段AF，CG的中点坐标，利用平行四边形的性质，可知线段AF，CG的中点坐标相同，由此建立关于x，m的二元方程组，解方程组求出x，m的值，就可得到符合题意的点F的坐标。
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．我市一家电子计算器专卖店每只进价12元，售价20元，多买优惠；凡是一次买10只以上的，每多买1只，所买的全部计算器每只就降低元，例如，某人买20只计算器，于是每只降价（元），因此，所买的全部20只计算器都按照每只19元计算，但是最低价为每只16元．
（1）求一次至少买多少只，才能以最低价购买
（2）求该专卖店当一次销售只时（），所获利润（元）与（只）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）若店主一次卖的只数在10至50只之间，问一次卖多少只获得的利润最大？其最大利润为多少元？
【答案】（1）解：设一次购买x只，则，解得，
∴一次至少买50只，才能以最低价购买
（2）当时，
当时，
（3）∵，
当时，y随x的增大而增大，即当卖的只数越多时，利润更大；
当时，y随x的增大而减小，即当卖的只数越多时，利润变小；
∴当时，最大利润为，
∴店主一次卖的只数在10至50只之间，一次卖45只获得的利润最大，其最大利润为元
【解析】【分析】（1）设一次购买x只，才能以最低价购买，根据题意列出有关x的一元一次方程，解得即可；
（2）由（1）可知购买50只及50只以上售价均为16元，故分和两种情况讨论，再根据总利润等于每只利润乘以销售数量即可求出分段函数的表达式；
（3）由（2）的解析式，把函数解析式化为顶点式，再根据二次函数的性质求出函数最大值即可解答．
（1）解：设一次购买x只，则，
解得，
∴一次至少买50只，才能以最低价购买；
（2）当时，
当时，；
（3）∵，
当时，y随x的增大而增大，即当卖的只数越多时，利润更大；
当时，y随x的增大而减小，即当卖的只数越多时，利润变小；
∴当时，最大利润为，
∴店主一次卖的只数在10至50只之间，一次卖45只获得的利润最大，其最大利润为元．
18．已知抛物线y=-x2+bx+c经过点（1，0），（0，）。
（1）求该抛物线的函数表达式．
（2）将抛物线y=-x2+bx+c平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方式．
【答案】（1）解：把代人抛物线表达式，得
解得
则抛物线表达式为；
（2）解：抛物线表达式为，将抛物线先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，表达式变为，其顶点在原点.
【解析】【分析】（1）将（1，0），（0，）代入抛物线y=-x2+bx+c 中得出方程组，求出b，c的值即可求出该抛物线表达式.
（2）根据题中要求写出一种平移方式即可.
19．在平面直角坐标系中，函数是常数，且的图象与轴的交点坐标为和，其中．
（1）当时，求，的值．
（2）求证：．
【答案】（1）解：当时，抛物线与轴的交点坐标为和，
抛物线解析式可设为，
即，
，
解得，
，
即、的值分别为，
（2）证明：设抛物线解析式为，
即，
，
，
，
，
【解析】【分析】(1)当 时，抛物线与轴的交点坐标为(1，0)和 则利用交点写出抛物线解析式得到 所以 然后求出a，从而得到b的值；
(2)利用交点式得到抛物线解析式为化为一般式得到 所以 则从而得到
20．把长的钢筋焊成一个如图所示的框架，使其下半部分为矩形，上半部分为半圆形.
（1）请写出钢筋所焊成框架的面积关于半圆的半径的函数表达式.
（2）当半圆的半径时，求钢筋所焊成框架的面积.
【答案】（1）解：根据题意得钢筋所焊成框架的面积 y（m2）关于半圆的半径x（m）的函数表达式为：；
（2）解：当时，，
即当半圆的半径为x=1时，钢筋所焊成框架的面积为.
【解析】【分析】（1）半圆的长为(m)，矩形的长为2x（m），宽就是(m)，从而根据钢筋所焊成框架的面积=半圆的面积+矩形的面积，列出解析式即可；
（2）把x=1代入（1）所求的函数解析式求值即可.
21．在给定坐标系内，画出函数y=（x﹣1）2的图象，并指出y随x增大而减小的x的取值范围．
【答案】解：如图，当x≤1，y随x的增大而减小．
【解析】【分析】利用描点法可画出函数图象，根据二次函数的性质求解即可．
22．请画出适当的函数图象，求方程x2=x+3的解
【答案】解：在同一坐标系中如答图所示，
画出函数y=x2的图象，画出函数y=x+3的图象，
这两个图象的交点为A，B，
∴交点A，B的横坐标和2就是方程x2=x+3的解，
∴方程x2=x+3的解为x=﹣和2．
【解析】【分析】由题意根据描点法画出函数的图象，令y=0，把函数转化为方程，从而解出方的解．
23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的部分图象经过点，．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）结合函数图象，直接写出时，的取值范围．
【答案】（1）解：将，代入得：，
解得：，
该抛物线的解析式．
（2）解：时，．
【解析】【解答】解：（2）
令y=0，则
解得：
即函数图象与x轴的交点坐标为（-3，0）和（1，0）当
当y<0时，抛物线图象在x轴下方
则
故答案为：时，．
【分析】（1）根据待定系数法将点坐标代入抛物线解析式即可求出答案.
（2）当y<0时，抛物线图象在x轴下方，结合图象即可求出答案.
24．已知二次函数
（1）以下有关二次函数L的性质结论序号正确的有 .（填序号）
①二次函数的开口向上；
②二次函数的对称轴是直线；
③二次函数的图象经过定点和；
④函数值y随着x的增大而减小.
（2）若二次函数的图象关于点中心对称得到二次函数G的图象，则称这两个二次函数关于点成对称抛物线.
①求抛物线G的表达式（用含m的式子表示）：
②若抛物线G的顶点纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系式H，求出这个函数关系式；若二次函数L与函数H的图象有交点，请结合图象求出m的取值范围.
【答案】（1）②③
（2）解：①抛物线L的顶点，对称中心，
∴二次函数G的顶点为，开口方向相反，故；
∴二次函数G的解析式为.
②∵二次函数G的顶点坐标为，
∴设，可得，
∴函数H的解析式为：.
讨论若二次函数L与函数H有交点：
ⅰ）当时，根据二次函数L图象的性质，则一定有交点；9分
ⅱ）当时，联立得
∴，则x有解：
，即；
由
解得，
∵，且，得：
或；1
综上所述，m的取值范围是：
或或1
【解析】【解答】解： 配方得：，顶点；
①m不确定，所以开口方向不确定；②对称轴；
③根据对称性知抛物线经过定点与；④抛物线并非单调递增或递减．
故答案为：②③。
【分析】（1）根据二次函数的性质判定。将二次函数的解析式配方，得出顶点坐标，并根据对称性判定；
（2）①根据题意可知抛物线L的顶点，再根据对称中心，确定抛物线的解析式．
②先求出函数H的解析式，再分两种情况讨论： 时或时，联立方程组求解 .
25．落实五育并举，加强劳动教育，某中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地.2024年计划将其中的土地全部种植甲乙两种蔬菜，经调查发现：甲种蔬菜成本为50元.乙种蔬菜的种植成本与其种植面积之间的关系如下图所示.设乙种蔬菜种植成本为（元），乙种蔬菜的植面积为（其中）.
（1）根据题意，填写下表：
种植面积 200 400 500 600 700
乙种蔬菜种植成本（元） 20 ① ② 40 ③
（2）设2024年甲乙两种蔬菜总种植成本为元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使最小？
【答案】（1）解：①30，②35，③40；
（2）解：当时，
，
，抛物线开口向上，
当时，有最小值，最小值为42000，
此时，，
当时，，
，当时，有最小值为：.
，
当种植甲种蔬菜的种植面积为.乙种蔬菜的种植面积为时，最小.
【解析】【解答】解：（1）当时，设，
将代入得，，
解得，，
∴，
∴，
当时，；
当时，；
当时，；
填表如下：
种植面积x（）
乙种蔬菜种植成本y（元/）
【分析】（1）当时，利用待定系数法求解析式为，即，分别求时，时，时的值，然后填表即可；
（2）分别求当时，当时的的表达式，再根据一次函数，二次函数的性质求最值，最后判定即可．
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