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勾股定理 单元综合知识梳理卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，平行四边形ABCD中，CE垂直于AB，∠D=53°，则∠BCE的大小是（ ）
A．53° B．43° C．47° D．37°
2．如图，直角三角形三边向形外作了三个正方形，其中数字表示该正方形的面积，那么正方形的面积是（ ）
A．360 B．164 C．400 D．60
3．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．若，，则
B．三边长为3、4、5的三角形为直角三角形
C．在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
D．若，则
4．下列各组数中以a，b，c为边的三角形不是直角三角形的是（ ）
A．a= ，b= ， c=1 B．a=7，b=24，c=25
C．a=6，b=8，c=10 D．a=2，b=4，c=3
5．飞机行李架是一个（长宽高）的长方体空间，有位旅客想购买一件画卷随身携带，现有4种长度的画卷：
①，②，③，④，请问这位旅客可以购买的尺寸是（ ）
A．①② B．①②③ C．①②③④ D．①
6．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是( )
A．5 B．25 C．25或7 D．7
7． △ABC的三边长分别是a，b，c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C=3：4：5 B．∠A=∠B-∠C
C．a：b：c=5：12：13 D．
8．在 中，若 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 是锐角三角形
B． 是直角三角形且
C． 是钝角三角形
D． 是直角三角形且
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC与BC相交于点D，若BD=4，CD=2，则AC的长是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．
10．如图，已知在中，，，将绕点逆时针旋转．得到．点是边的中点，点为边上的动点，在绕点逆时针旋转的过程中，点的对应点是点，则线段长度的最大值与最小值的差是（ ）．
A． B． C． D．18
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，在中，，D为垂足，，，，则 ．
12．如图，在四边形中，，，对角线，则线段的长为 ．
13．如图，在一个边长为的正方形纸片上，放着一根长方体木块，已知该木块的较长边与平行，横截面是边长为的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达蜂蜜C处需爬行的最短路程是 ．
14．在Rt△ABC，∠C=90°，c=10，a：b=3：4，则a= ，b= ．
15．在中，，，点D在边上，连接，若，则线段的长为 ．
16．矩形ABCD中，AB＝5，点E在边AD上，将△ABE沿BE折叠，点A落在点A1处，直线A1B交边AD所在直线于点F，若△ABE中有一个角等于60°，则A1F＝ ．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，一个梯子AB长10米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为6米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为2米，求梯子顶端A下落了多少米？
18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90∠，点D是AC上一点，∠BDC=45°，AB=13，BC=5。
求AD的长。
19．一架云梯长25m，如图那样斜靠在一面墙上.当这架云梯的顶端位于A处时，它的底端位于B处，底端离墙7m.
（1）这架云梯的顶端到地面的距离是多少
（2）当这架云梯的顶端从A处下滑4m到达处时，它的底端从B处滑动到 处，云梯底端在水平方向滑动的距离也是4m吗
20．如图，每个正方形网格的边长都是1，试判断 的形状，并说明理由.
21．如图，将边长为a与b、对角线长为c的长方形纸片ABCD，绕点C顺时针旋转90°得到长方形FGCE，连接AF，通过用不同方法计算梯形ABEF的面积可验证一条我们学过的定理，该定理的名称是 ，请你写出证明的过程。
22．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，点D在BC上，∠ADC=2∠B，AD= ，求BC的长．
23．在△ABC中，∠B=15°，∠C=90°，AB的垂直平分线交AB于点M，交BC于点N．已知BM=12cm，求AC的长．
24． 如图，中，，D为中点，点E在直线上（点E不与点B，C重合），连接，过点D作交直线于点F，连接．
（1）如图1，当点F与点A重合时，请直接写出线段与的数量关系： ．
（2）如图2，当点F不与点A重合时，请写出线段，，之间的数量关系，并说明理由；
（3）若，，，请直接写出线段AF的长．
25．【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
（1）如图①，中，若，，求边上的中线的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接．请根据小明的方法思考：
由已知和作图能得到，依据是________．由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是________．
解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．
（2）【初步运用】如图②，是的中线，交于E，交于F，且．若，，求线段的长．
（3）【灵活运用】如图③，在中，，D为中点，，交于点E，交于点F，连接．试猜想线段、、三者之间的等量关系，并证明你的结论．
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勾股定理 单元综合知识梳理卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，平行四边形ABCD中，CE垂直于AB，∠D=53°，则∠BCE的大小是（ ）
A．53° B．43° C．47° D．37°
【答案】D
【解析】【解答】解：由题意可得：
故答案为D
【分析】利用平行四边形内角关系得出角B值，再根据三角形内角和即可求出答案。
2．如图，直角三角形三边向形外作了三个正方形，其中数字表示该正方形的面积，那么正方形的面积是（ ）
A．360 B．164 C．400 D．60
【答案】A
【解析】【解答】解：由图可知，正方形的面积等于直角三角形边长的平方，由勾股定理可得出A的面积是1000-640=360.
故答案为：A.
【分析】本题考查了勾股定理的运用.由图可知正方形A的边长是直角三角形的一条直角边，则A的面积是直角边的平方.同理可知1000是直角三角形的斜边的平方，640是直角三角形另一条直角边的平方.再由勾股定理可得出答案.
3．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．若，，则
B．三边长为3、4、5的三角形为直角三角形
C．在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
D．若，则
【答案】C
【解析】【解答】
解：A、若，，则的逆命题是“若，则，”，则，或，，
逆命题是假命题，不符合题意；
B、三边长为3、4、5的三角形为直角三角形的逆命题是“直角三角形的三边长为3、4、5”，
直角三角形的三边长还可以为6、8、10或5、12、13或……，
逆命题是假命题，不符合题意；
C、在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上的逆命题是“角的平分线上的点到角的两边距离相等”，是真命题，符合题意；
D、若，则的逆命题是“若，则”，
，则，
逆命题是假命题，不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据逆命题的定义，首先得出原命题的逆命题，然后再进一步判定个个选项逆命题的正确性，即可得出答案。
4．下列各组数中以a，b，c为边的三角形不是直角三角形的是（ ）
A．a= ，b= ， c=1 B．a=7，b=24，c=25
C．a=6，b=8，c=10 D．a=2，b=4，c=3
【答案】D
【解析】【解答】解：A、由（ ）2+12=3=（ ）2，故此选项的三条线段能构成三角形，不符合题意；
B、由72+242=625=252，能构成直角三角形，不符合题意；
C、由62+82=100=102，能构成直角三角形，不符合题意；
D、由22+32=13≠42，不能构成直角三角形，符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用勾股定理逆定理逐项判定即可。
5．飞机行李架是一个（长宽高）的长方体空间，有位旅客想购买一件画卷随身携带，现有4种长度的画卷：
①，②，③，④，请问这位旅客可以购买的尺寸是（ ）
A．①② B．①②③ C．①②③④ D．①
【答案】B
【解析】【解答】解：如图，连接AC，CE，
由题意知：AD=BC=40cm，AB=50cm，AE=BF=20cm，
在直角△ABC中，由勾股定理知： AC2=AB2+BC2=502+402 .
在直角△ACE中， CE2=AE2+AC2，
∴CE2=402+202+502=4500，
∵382=1444<4500，
402=1600<4500，
602=3600<4500，
682=4624>4500，
所以这位旅客可以购买的尺寸是①②③.
故答案为：B.
【分析】首先根据勾股定理求得长方体的对角线的长度，然后与画卷的长度进行比较即可求解.
6．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是( )
A．5 B．25 C．25或7 D．7
【答案】C
【解析】【解答】解：
当已知边3和4都是直角边，则第三边是斜边，长是 ，
当已知边3和4一条是直角边一条是斜边时，则第三边是直角边长是： ，
故答案为：D.
【分析】由于不明确直角三角形的斜边长，则有两种情况，一种是这两边都是直角边；另一种是一条是直角边，另一条是斜边，然后利用勾股定理分别计算.
7． △ABC的三边长分别是a，b，c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C=3：4：5 B．∠A=∠B-∠C
C．a：b：c=5：12：13 D．
【答案】A
【解析】【解答】解：A、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠C＝75°，∴△ABC是锐角三角形，所以此选项符合题意；
B、∵∠A＝∠B ∠C，∴∠B＝∠A＋∠C，∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴2∠B＝180°，解得∠B＝90°，∴△ABC是直角三角形，所以此选项不符合题意；
C、∵a：b：c＝5：12：13，∴设a＝5x，b＝12x，c＝13x，∴a2＋b2＝169x2＝c2，∴△ABC是直角三角形，所以此选项不符合题意；
D、∵a2＝（b＋c）（b c），∴a2＝b2 c2，∴a2＋c2＝b2，∴△ABC是直角三角形，所以此选项不符合题意；
故答案为：A.
【分析】利用勾股定理的逆定理（两边平方和等于第三边平方）及三角形的内角和逐项分析判断即可.
8．在 中，若 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 是锐角三角形
B． 是直角三角形且
C． 是钝角三角形
D． 是直角三角形且
【答案】D
【解析】【解答】∵ ， ，
∴ ，
∴△ABC是直角三角形，且∠B=90 .
故答案为：D.
【分析】根据勾股定理逆定理若则三角形是直角三角形且∠C=90°可得结果.
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC与BC相交于点D，若BD=4，CD=2，则AC的长是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．
【答案】C
【解析】【解答】解：作DE⊥AB于E，
∵AD是∠BAC的平分线，∠ACB=90°，DE⊥AB，
∴DE=DC=3，
∴AC=AE，
由勾股定理得BE= =2 ，
设AC=AE=x，
由勾股定理得，x2+62=（x+2 ）2，
解得x=2 ．
故选：C．
【分析】作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到DE=DC，根据勾股定理求出BE，再根据勾股定理计算即可．
10．如图，已知在中，，，将绕点逆时针旋转．得到．点是边的中点，点为边上的动点，在绕点逆时针旋转的过程中，点的对应点是点，则线段长度的最大值与最小值的差是（ ）．
A． B． C． D．18
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，连接，作于，于
，
∵绕点逆时针旋转得到，
∴，，
∴点的对应点是点，，
∴，，
又∵点是边的中点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
在旋转过程中，当点与重合时，的值最小，最小值为：，
当点与重合时，的值最大，最大值为：，
∴线段长度的最大值与最小值的差是：．
故答案为：C．
【分析】
如图，连接，作于，于．根据等腰三角形的性质推论：三线合一可知：，根据勾股定理可知：，再根据面积自等法：，代入数据可求出：，由点E的对应点为点E'，在旋转过程中，点E'的轨迹是以点A为圆心，AE长为半径的圆，根据三角形三边关系：DE'的最大值时：当点与重合时，的值最大，DE'=DC''=AC''+AD=AC+AD，DE'的最小值时：当点与重合时，的值最小，最小值为：DE'=AE''-AD=AH-AD，代入数据求解即可得出的答案．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，在中，，D为垂足，，，，则 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据勾股定理求出的长度，再根据勾股定理求出，即可求出答案.
12．如图，在四边形中，，，对角线，则线段的长为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：过点B作AC的垂线交AC于E，如下图：
由题意可知AE=CE，∠BEA=∠ACD=90°
∵∠ABE+∠BAE=∠BAE+∠CAD=90°
∴∠ABE=∠CAD
又∵AB=AD
∴（AAS）
∴AE=CD
∴AC=2CD
设CD=x，则AC=2x；
在直角三角形ACD中，=，解得x=.
故答案为：.
【分析】根据直角三角形的性质和等量代换的原则，可得∠ABE=∠CAD；根据三角形全等的判定（AAS）和性质，得出，AE=CD；根据勾股定理，解得CD的值.
13．如图，在一个边长为的正方形纸片上，放着一根长方体木块，已知该木块的较长边与平行，横截面是边长为的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达蜂蜜C处需爬行的最短路程是 ．
【答案】10
【解析】【解答】解：如图，将长方体侧面展开得，
蚂蚁的爬行的最短路径为的长，
（），
，
蚂蚁的爬行的最短路径为，
故答案为：．
【分析】将长方体侧面展开，根据两点之间线段最短可得蚂蚁的爬行的最短路径为的长，用勾股定理即可求解．
14．在Rt△ABC，∠C=90°，c=10，a：b=3：4，则a= ，b= ．
【答案】6；8
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∴a2+b2=c2．
∵a：b=3：4，c=10，∴a2+（ a）2=100，∴a=6，b=8．
故答案为6，8．
【分析】先求出a2+b2=c2，再求出a2+（ a）2=100，最后计算求解即可。
15．在中，，，点D在边上，连接，若，则线段的长为 ．
【答案】7或9
【解析】【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC于点E
∵AB=AC=10
∴BE=CE=
在Rt△ABE中，由勾股定理得
当点D在点E左边时
在Rt△ADE中，由勾股定理得
∴BD=BE－DE=8－1=7
当点D在点E右边时，则BD=BE+DE=9
故答案为：7或9．
【分析】过点A作AE⊥BC于点E，根据等腰三角形三线合一的性质可得BE=CE=，由勾股定理求出AE，分两种情况：当点D在点E左边时和当点D在点E右边时，分别求解即可.
16．矩形ABCD中，AB＝5，点E在边AD上，将△ABE沿BE折叠，点A落在点A1处，直线A1B交边AD所在直线于点F，若△ABE中有一个角等于60°，则A1F＝ ．
【答案】5或15
【解析】【解答】解：由题意可分：
①当∠AEB=60°时，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
∴ ，
由折叠性质可得 ， ，
∴ ，
∵AB＝5，
∴ ，
∴ ；
②当∠ABE=60°时，如图所示：
同理可得∠F=30°， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
综上所述：若△ABE中有一个角等于60°，则A1F＝5或15；
故答案为5或15．
【分析】根据60°角的可能进行分类讨论，结合折叠的性质以及直角三角形的性质，求出答案即可。
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，一个梯子AB长10米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为6米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为2米，求梯子顶端A下落了多少米？
【答案】解：在Rt△ABC中，AB=10米，BC=6米，故AC= ＝ ＝=8（米），在Rt△ECD中，AB=DE=10米，CD=（6+2）=8米，故EC= =6(米)；故AE=AC-CE=8-6=2（米）．答：梯子顶端A下落了2米．
【解析】【分析】根据题意得到AB、BC的值，再根据勾股定理求出AC的值，再由勾股定理求出EC的值，求出梯子顶端A下落的距离.
18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90∠，点D是AC上一点，∠BDC=45°，AB=13，BC=5。
求AD的长。
【答案】 解：∵ ∠C=90°，AB=13，BC=5，
∴AC=，
∵ ∠C=90°，∠BDC=45°，
∴∠DBC=∠BDC=45°，
∴CD=BC=5，
∴AD=AC-CD=12-5=7.
【解析】【分析】先根据勾股定理求出AC的长，再根据等腰三角形的判定得出CD=BC，利用AD=AC-CD，即可得出答案.
19．一架云梯长25m，如图那样斜靠在一面墙上.当这架云梯的顶端位于A处时，它的底端位于B处，底端离墙7m.
（1）这架云梯的顶端到地面的距离是多少
（2）当这架云梯的顶端从A处下滑4m到达处时，它的底端从B处滑动到 处，云梯底端在水平方向滑动的距离也是4m吗
【答案】（1）解：已知云梯长AB=25m，底端离墙OB=7m，
根据勾股定理
因此，这架云梯的顶端到地面的距离是24m。
（2）解：顶端下滑4m后，A'O=24-4=20m，
根据勾股定理
底端滑动的距离为BB'=OB'-OB=15-7=8m≠4m。
因此，云梯底端在水平方向滑动的距离不是4m。
【解析】【分析】（1）根据勾股定理求出AO长解答即可；
（2）根据下滑得到A'O的长，然后根据勾股定理求出OB'的长解答即可.
20．如图，每个正方形网格的边长都是1，试判断 的形状，并说明理由.
【答案】解：∵AB2= ，BC2= =52，AC2= =65
∴AB2 +BC2 =AC2
∴△ABC是直角三角形.
【解析】【分析】根据勾股定理可得AB2=13，BC2=52，AC2=65，结合勾股定理逆定理就可判断出△ABC的形状.
21．如图，将边长为a与b、对角线长为c的长方形纸片ABCD，绕点C顺时针旋转90°得到长方形FGCE，连接AF，通过用不同方法计算梯形ABEF的面积可验证一条我们学过的定理，该定理的名称是 ，请你写出证明的过程。
【答案】勾股定理
【解析】【解答】证明：∵长方形纸片ABCD，绕点C顺时针旋转90°得到长方形FGCE，
∴AC=CF=c，∠ACF=90°，AB=CE=b，BC=EF=a，
∴S梯形ABEF=S△ABC+S△ACF+S△CEF
=
=
=
S梯形ABEF=
=
∴
整理得：a2+b2=c2.
故答案为：勾股定理.
【分析】利用旋转的性质，可证得AC=CF=c，∠ACF=90°，AB=CE=b，BC=EF=a，再由S梯形ABEF=S△ABC+S△ACF+S△CEF，可得到此梯形的面积等于；然后利用梯形的面积公式，可证得此梯形的面积为，继而可证得a，b，c之间的关系，即可证得结论。
22．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，点D在BC上，∠ADC=2∠B，AD= ，求BC的长．
【答案】解：∵∠B+∠DAB=∠ADC，∠ADC=2∠B，
∴∠B=∠BAD，
∴BD=AD= ，
∵∠C=90°，
∴CD= = =1，
∴BC= +1
【解析】【分析】首先根据三角形外角的性质可得∠B=∠BAD，根据等角对等边可得BD=AD= ，然后利用勾股定理计算出CD长，进而可得BC长．
23．在△ABC中，∠B=15°，∠C=90°，AB的垂直平分线交AB于点M，交BC于点N．已知BM=12cm，求AC的长．
【答案】解：连接NA，
∵MN是线段AB的垂直平分线，
∴MA=MB=12cm，NA=NB，
∴∠MAN=∠B=15°，
∵∠ANC是△ABN的外角，
∴∠ANC=15°+15°=30°，
∴Rt△ACN中，AC= AN，
设AC=x，则AN=2x=BN，CN= x，
∵在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2
∴x2+（2x+ x）2=242，
解得x=12 ，
故AC的长为12 ．
【解析】【分析】连接NA，由MN是线段AB的垂直平分线可知，NA=NB，∠1=∠B，再根据∠2是△ABN的外角可得出∠2的度数，在Rt△ACN中根据∠2=30°可知AC= AN，根据勾股定理可得出结论．
24． 如图，中，，D为中点，点E在直线上（点E不与点B，C重合），连接，过点D作交直线于点F，连接．
（1）如图1，当点F与点A重合时，请直接写出线段与的数量关系： ．
（2）如图2，当点F不与点A重合时，请写出线段，，之间的数量关系，并说明理由；
（3）若，，，请直接写出线段AF的长．
【答案】（1）
（2）解：结论：．
理由：如图2中，过点A作AJ⊥AC交ED的延长线于J，连接FJ，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
．
（3）解：的长为或1．
【解析】【解答】解：（1），，
垂直平分，
．
故答案为：；
（3）解：如图中，当点在线段上时，设，则．
，，
，
，
，
，
．
如图中，当点在线段的延长线上时，设，则．
，，
，
，
，
，
，
综上所述，满足条件的的长为或1．
【分析】（1）利用线段的垂直平分线的性质证明即可；
（2）过点A作AJ⊥AC交ED的延长线于J，连接FJ，借助辅助线构造全等三角形，将线段AF，EF，BE，围成一个直角三角形，即可写出线段AF，EF，BE之间的数量关系；
（3）分两种情形：一是点E在线段BC上，二是点E在线段BC的延长线上，设，则，根据勾股定理构建方程求解即可．
25．【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
（1）如图①，中，若，，求边上的中线的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接．请根据小明的方法思考：
由已知和作图能得到，依据是________．由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是________．
解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．
（2）【初步运用】如图②，是的中线，交于E，交于F，且．若，，求线段的长．
（3）【灵活运用】如图③，在中，，D为中点，，交于点E，交于点F，连接．试猜想线段、、三者之间的等量关系，并证明你的结论．
【答案】解：（1）SAS；；
（2）延长到M，使，连接，如图所示：
∵，，，
∴，
∵是中线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴．
（3）等量关系为：．
理由如下：延长到点G，使，连接，，如图所示：
∵，
∴，
∵D是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
即，
∴中，由勾股定理得：，
∴．
【解析】【解答】解：（1）由已知和作图得到，，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：；．
【分析】（1）先利用“SAS”证出，再利用全等三角形的性质可得，最后利用三角形三边的关系分析求解即可；
（2）延长到M，使，连接，先利用“SAS”证出，再利用全等三角形的性质可得，，最后利用等角对等边的性质可得；
（3）延长到点G，使，连接，，先利用“SAS”证出，利用全等三角形的性质可得，， 再利用角的运算可得，最后利用勾股定理及等量代换可得.
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