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第24章 解直角三角形 单元综合素养进阶卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如果三角形的两边长分别为5和7，第三边长为偶数，那么这个三角形的周长可以是（ ）
A．15 B．16 C．19 D．26
2．三角形的两条边长分别为和，则能作为第三边的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列长度的三条线段不能组成三角形的是（ ）
A．3cm、4cm、5cm B．4cm、5cm、6cm
C．2cm、4cm、7cm D．5cm、12cm、13cm
4．若下列各组值代表线段的长度，则以它们为边能构成三角形的是（ ）
A．6、7、13 B．6、6、12 C．6、9、14 D．10、5、3
5．如图，在△ABC中，，，线段AC的垂直平分线交BC于点F，交AC于点E，交BA的延长线于点D．若，则BF的长是（ ）
A．4 B．5 C． D．6
6．如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，PQ＝3，PE＝1．AD的长是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
7．中，、、的对边分别为、、已知，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知线段 =6cm， =8cm，则下列线段中，能与 ， 组成三角形的是（ ）
A．2cm B．12cm C．14cm D．16cm
9．如果一个直角三角形的两边分别是6，8，那么斜边上的中线是（ ）
A．4 B．5 C．4或5 D．3或5
10．如图，在边长为4的正方形ABCD中，E、F是AD边上的两个动点，且AE＝FD，连接BE、CF、BD，CF与BD交于点G，连接AG交BE于点H，连接DH，下列结论：
①△ABG∽△FDG； ②HD 平分∠EHG；③AG⊥BE；
④S△HDG：S△HBG＝tan∠DAG；⑤线段DH的最小值是 .
正确的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知，如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=6cm，则BC= cm.
12．如图，某山坡的坡面AB=200米，坡角∠BAC=30°，则该山坡的高BC的长为 米．
13．如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点C，与反比例函数在第一象限内的图象交于点B，连接，若，，则的值是 ．
14．计算： ．
15．在平行四边形ABCD中，AB＝8，BC＝10，∠B＝30°，则 ABCD的面积为 .
16．如图，已知 △ABC 为等边三角形，边长为 6 ，点 D，E 分别是边 AB，BC 上的动点，点 D 从点 A 开始沿射线 AB 方向运动，同时点 E 从点 B 开始沿射线 BC 方向运动，点 D 运动速度始终是点 E 运动速度的 2 倍，以 DE 为边向右侧作等边三角形 DEF ．点 G 是 BC 边的中点，连接 GF ，则 GF 的最小值为 ．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．某市为了创建绿色生态城市，在城东建了“东州湖”景区，小明和小亮想测量“东州湖”东西两端A、B间的距离．于是，他们去了湖边，如图，在湖的南岸的水平地面上，选取了可直接到达点B的一点C，并测得BC=350米，点A位于点C的北偏西73°方向，点B位于点C的北偏东45°方向．
请你根据以上提供的信息，计算“东州湖”东西两端之间AB的长．（结果精确到1米）
（参考数据：sin73°≈0.9563，cos73≈0.2924，tan73°≈3.2709， ≈1.414．）
18．一天中某一时刻太阳光线与水平线的夹角随着季节的变化而变化，夏至时夹角最大，冬至时夹角最小．若今年12月21日（冬至）的某一时刻太阳光线与水平线的最小夹角约为，现某小区有两幢居民住宅楼高都为，两楼相距，如图所示．
（1）在今年冬至的这一时刻，该小区甲楼的影子落在乙楼的底部（即）有多高？
（2）若在本小区内继续兴建同样高的住宅楼，两楼相距至少应该多少m，才不影响楼房的采光（即前一幢楼房的影子不能落在后一幢楼房上）？（注：，计算结果精确到）
19．读书架也称临帖架、书托架，可帮助我们解放双手和保护眼睛，非常适合练习书法的人群和学生使用.图①是实木读书架实物图，图②是其侧面示意图，其工作原理是通过调节点 D在CE 上的位置，来改变 AB的倾斜角度.已知AB=30cm，AD=20cm，当点 D 调节到图②位置时，测得∠ABE=65°，∠CAD=50°，∠DEB=30°.
（1）求点 A到BE 的距离；
（2）求 DE 的长（参考数据：
20．计算：
（1）在中，，，，解这个直角三角形．
（2）如图所示，在中，，，，求和．
21． 如图，某天然气公司的主输气管道途经A小区，继续沿A小区的北偏东60°方向往前铺设．测绘员在A处测得另一个需要安装天然气的P小区位于北偏东30°方向，测绘员从A处出发，沿主输气管道方向前行2000米
到达B处，此时测得P小区位于北偏西75°方向．
（1） 度， 度；
（2）现要在主输气管道AB上选择一个支管道连接点Q，使从Q处到P小区铺设的管道最短，求A小区与支管道连接点Q的距离．（结果保留根号）
22．在Rt中，分别是，的对边.
（1）已知，求.
（2）已知，求的值.
23． 2018年3月2日，500架无人飞机在西安创业咖啡街区的夜空绽放，西安高新区用“硬科技”打造了最具独特的风景线，2018“西安年，最中国”以一场华丽的视觉盛宴完美收官，当晚，某兴趣爱好者想用手中的无人机测量大雁塔的高度，如图是从大雁塔正南面看到的正视图，兴趣爱好者将无人机上升至离地面185米高大雁塔正东面的F点，此时，他测得F点都塔顶A点的俯视角为30°，同时也测得F点到塔底C点的俯视角为45°，已知塔底边心距OC＝23米，请你帮助该无人机爱好者计算出大雁塔的大体高度（结果精确到0.1米）？（ ≈1.73， ≈1.41）.
24．如图1是小区常见的漫步机，当人踩在踏板上，握住扶手，像走路一样抬腿，就会带动踏板连杆绕轴旋转，如图2，从侧面看，立柱DE高1.8米，踏板静止时踏板连杆与 上的线段 重合， 长为0.2米，当踏板连杆绕着点 旋转到 处时，测得 ，此时点 距离地面的高度 为0.45米，求 和 的长（参考数据： ）
25．2016年12月底我国首艘航空母舰辽宁舰与数艘去驱航舰组成编队，携多架歼﹣15舰载战斗机和多型舰载直升机开展跨海区训练和试验任务，在某次演习中，预警直升机A发现在其北偏东60°，距离160千米处有一可疑目标B，预警直升机立即向位于南偏西30°距离40千米处的航母C报告，航母舰载战斗机立即升空沿北偏东53°方向向可疑目标飞去，请求出舰载战斗机到达目标的航程BC．
（结果保留整数，参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3， ≈1.73）
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第24章 解直角三角形 单元综合素养进阶卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如果三角形的两边长分别为5和7，第三边长为偶数，那么这个三角形的周长可以是（ ）
A．15 B．16 C．19 D．26
【答案】B
【解析】【解答】解：设第三边为a，根据三角形的三边关系知，2＜a＜12.
由于第三边的长为偶数，
则a可以为4或6或8或10.
∴三角形的周长是 5+7+4=16或5+7+6=18或5+7+8=20或5+7+10=22.
故答案为：B.
【分析】利用三角形三边关系定理，先确定第三边的范围，进而根据第三边的长是偶数就可以求出第三边的长，从而求得三角形的周长.
2．三角形的两条边长分别为和，则能作为第三边的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：设三角形第三边的长为c cm，
∵三角形的两条边长分别为和
∴
∴
∴四个选项中只有5cm在此范围内。
故答案为：B.
【分析】 设三角形第三边的长为c，再根据三角形的三边关系求出c的取值范围，找出不符合条件的c的值即可.
3．下列长度的三条线段不能组成三角形的是（ ）
A．3cm、4cm、5cm B．4cm、5cm、6cm
C．2cm、4cm、7cm D．5cm、12cm、13cm
【答案】C
【解析】【解答】解：A．∵∴能够成三角形，故本选项不符合题意；
B．∵∴能够成三角形，故本选项不符合题意；
C．∵∴不能够成三角形，故本选项符合题意；
D．∵∴能够成三角形，故本选项不符合题意．
故答案为：C
【分析】根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，进行判定即可得解．
4．若下列各组值代表线段的长度，则以它们为边能构成三角形的是（ ）
A．6、7、13 B．6、6、12 C．6、9、14 D．10、5、3
【答案】C
【解析】【解答】：根据三角形的三边关系，得
A、7+6=13，不能组成三角形，故此选项错误；
B、6+6=12，不能组成三角形，故此选项错误；
C、9+6＞14，能够组成三角形，故此选项正确；
D、5+3＜10，不能组成三角形，故此选项错误．
故选：C．
【分析】根据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”对各选项进行进行逐一分析即可．
5．如图，在△ABC中，，，线段AC的垂直平分线交BC于点F，交AC于点E，交BA的延长线于点D．若，则BF的长是（ ）
A．4 B．5 C． D．6
【答案】A
【解析】【解答】连接AF，如图，
∵AB=AC，∠BAC=120°．
∴∠B=∠C=30°，
∵ED垂直平分AC，
∴FA=FC，
∴∠FAC=∠C=30°，
∴∠AFD=60°，∠D=30°，
∴∠BAF=90°．
∴在Rt△AED中，，
∴在Rt△AEF中，，
∴在Rt△ABF中，BF=2AF=4．
故答案为：A．
【分析】连接AF，先求出∠AFD=60°，∠D=30°，再利用锐角三角函数求出AE和AF的长，最后利用BF=2AF可得答案。
6．如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，PQ＝3，PE＝1．AD的长是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【解析】【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝CA，∠BAE＝∠ACD＝60°；
又∵AE＝CD，
在△ABE和△CAD中，
，
∴△ABE≌△CAD（SAS）；
∴BE＝AD，∠CAD＝∠ABE；
∴∠BPQ＝∠ABE+∠BAD＝∠BAD+∠CAD＝∠BAE＝60°；
∵BQ⊥AD，
∴∠AQB＝90°，则∠PBQ＝90°﹣60°＝30°；
∵PQ＝3，
∴在Rt△BPQ中，BP＝2PQ＝6；
又∵PE＝1，
∴AD＝BE＝BP+PE＝7．
故选：C．
【分析】根据等边三角形性质可得AB＝CA，∠BAE＝∠ACD＝60°，再根据全等三角形判定定理可得△ABE≌△CAD（SAS），则BE＝AD，∠CAD＝∠ABE，再根据含30°角的直角三角形性质可得PE，再根据边之间的关系即可求出答案.
7．中，、、的对边分别为、、已知，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：在中，
，，，，，
根据勾股定理的逆定理可得，
是直角三角形，
．
故答案为：．
【分析】根据勾股定理的逆定理判断是直角三角形，进而根据锐角三角函数的定义结合题意即可求解。
8．已知线段 =6cm， =8cm，则下列线段中，能与 ， 组成三角形的是（ ）
A．2cm B．12cm C．14cm D．16cm
【答案】B
【解析】【解答】A.2+6=8，故不能组成三角形，
B.6+8=14>12，故能组成三角形，
C. 6+8=14，故不能组成三角形，
D.6+8=14<16，故不能组成三角形，
故答案为：B.
【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差都小于第三边作出判断即可.
9．如果一个直角三角形的两边分别是6，8，那么斜边上的中线是（ ）
A．4 B．5 C．4或5 D．3或5
【答案】C
【解析】【解答】当一个直角三角形的两直角边分别是6，8时，
由勾股定理得，斜边= =10，则斜边上的中线= ×10=5，
当8是斜边时，斜边上的中线是4，
故答案为：C．
【分析】首先根据勾股定理算出直角三角形的斜边的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出答案。
10．如图，在边长为4的正方形ABCD中，E、F是AD边上的两个动点，且AE＝FD，连接BE、CF、BD，CF与BD交于点G，连接AG交BE于点H，连接DH，下列结论：
①△ABG∽△FDG； ②HD 平分∠EHG；③AG⊥BE；
④S△HDG：S△HBG＝tan∠DAG；⑤线段DH的最小值是 .
正确的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形
∴AB=CD，∠BAD=∠ADC=90°，∠ADB=∠CDB=45°，
又∵AE=FD
∴△ABE≌△DCF（SAS）
∴∠ABE=∠DCF
又∵AD=CD，∠ADB=∠CDB=45°，DG=DG
∴△ADG≌△CDG（SAS）
∴∠DAG=∠FCD
∴∠ABE=∠DAG
∵∠DAG+∠BAH=90°
∴∠ABE+∠BAH=90°
∴∠AHB=90°
∴AG⊥BE，故③正确；
同理可证：△AGB≌△CGB
∵AD∥BC
∴△FGD∽△CGB
∴△AGB∽△FGD，故①正确；
∵∴△FGD∽△CGB（已证）
∴DG：BG=DF：BC=DF：CD
∵S△HDG：S△HBG=DG：BG=DF：BC=DF：CD=tan∠FCD
又∵∠DAG=∠FCD
∴tan∠DAG=tan∠FCD=S△HDG：S△HBG，故④正确；
取AB的中点M，连接MH、MD.
则AM=AB=2
在Rt△ADM中，MD=
由三角形的三边关系得，D、H、M三点共线时，DH最小。
∴DH最小值=-2.故⑤正确；
无法证明DH平分∠EHG，故②错误；
故①③④⑤正确，正确的个数有4个。
故答案为：C.
【分析】首先利用正方形的性质证得△ABE≌△DCF，利用全等三角形的性质得∠ABE=∠DCF，进而证得△ADG≌△CDG，可得∠DAG=∠FCD，等量代换得∠ABE=∠DAG，然后利用余角关系得∠AHB=90°，即AG⊥BE，故③正确；证出△AGB≌△CGB，△FGD∽△CGB，故△AGB∽△FGD，故①正确；然后利用等高模型得出S△HDG：S△HBG=DG：BG=DF：BC=DF：CD=tan∠FCD=tan∠DAG，故④正确；取AB的中点M，连接MH、MD.利用勾股定理求出MD，利用三角形的三边关系得D、H、M三点共线时，DH最小，计算出此时DH的长即为所求，故⑤正确；由于无法证明DH平分∠EHG，故②错误。
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知，如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=6cm，则BC= cm.
【答案】3
【解析】【解答】解：因为在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝6cm，
可得：BC＝3cm，
故答案为：3.
【分析】在直角三角形中，如果有一个角等于30°，那么这个角所对的直角边等于斜边的一半。
12．如图，某山坡的坡面AB=200米，坡角∠BAC=30°，则该山坡的高BC的长为 米．
【答案】100
【解析】【解答】解：由题意得，∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=200米，
故可得BC= AB=100米．
故答案为：100．
【分析】在Rt△ABC中，由∠BAC=30°，AB=200米，即可得出BC的长度．
13．如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点C，与反比例函数在第一象限内的图象交于点B，连接，若，，则的值是 ．
【答案】5
【解析】【解答】解：∵直线y=k1x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，
∴点C的坐标为（0，4），
∴OC=4，
过B作BD⊥y轴于D，
∵S△OBC=2，
∴，
∴BD=1，
∵tan∠BOC=，
∴，
∴OD=5，
∴点B的坐标为（1，5），
∵反比例函数在第一象限内的图象交于点B，
∴k2=1×5=5．
故答案为：5．
【分析】过B作BD⊥y轴于D，利用等面积法可得，求出BD的长，再利用正切的定义可得，求出OD的长，即可得到点B的坐标，再将点B的坐标代入求出k2=1×5=5即可。
14．计算： ．
【答案】1
【解析】【解答】解：
=
=3+1-3
=1．
故答案为：1．
【分析】本题涉及负整数指数幂、零次幂、特殊角三角函数值等知识，在计算时，需要针对每个知识点分别计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果即可．
15．在平行四边形ABCD中，AB＝8，BC＝10，∠B＝30°，则 ABCD的面积为 .
【答案】40
【解析】【解答】解：如图所示：过点A作AM⊥BC于点M，
∵AB=8，∠B=30°，
∴AM= AB=4，
∴ ABCD的面积为：AM BC=4×10=40.
故答案为：40.
【分析】过点A作AM⊥BC于点M，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出AM的长，再利用平行四边形的面积公式，可求出结果.
16．如图，已知 △ABC 为等边三角形，边长为 6 ，点 D，E 分别是边 AB，BC 上的动点，点 D 从点 A 开始沿射线 AB 方向运动，同时点 E 从点 B 开始沿射线 BC 方向运动，点 D 运动速度始终是点 E 运动速度的 2 倍，以 DE 为边向右侧作等边三角形 DEF ．点 G 是 BC 边的中点，连接 GF ，则 GF 的最小值为 ．
【答案】
【解析】【解答】设BE=x，则BD=6-2x，
截取BH=BD，连接DH、FH，
∴BH=6-2x，CH=6-(6-2x)=2x，
∵ △ABC 为等边三角形，
∴∠B=60°，
∵BH=BD，
∴ △BDH 为等边三角形，
∴∠BDH=60°，BD=DH，
∵∠FDH+∠EDH=∠BDE+∠EDH=60°，
∴∠FDH=∠BDE，
在△BDE和△HDF中，
，
∴△BDE≌△HDF（SAS），
∴HF=BE=x，∠DHF=∠B=60°，
∴∠FHC=180°-∠DHE-∠DHF=180°-60°-60°=60°，
作射线CF，取CH的中点M，连接FM，如图所示，
在△HFC中，CH=2x，则FH=x，∠FHC=60°，
∵M是CH的中点，
∴HM=CM=CH=x，
∴△HFM为等边三角形，
∴FM=CM=HM=x，∠FMH=60°，
∴∠MFC=∠MCF，
∵∠FMH=∠MFC+∠MCF=60°，
∴∠MFC=∠MCF=30°，
∴∠ACF=30°，
∴∠MCF=∠ACF=30°，
∴CF是∠ACB的角平分线，
∴F点在∠ACB的角平分线上运动，
过点G作CF’⊥CF于点F’，此时GF最小，
∵ G是BC边的中点，
∴GC=BC=3，
∵∠ACF=30°，
∴GF’==.
故答案为：.
【分析】截取BH=BD，连接DH、FH，证明△BDE≌△HDF，再证明△HFM为等边三角形，再证明F点在∠ACB的角平分线上运动，进而得出答案.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．某市为了创建绿色生态城市，在城东建了“东州湖”景区，小明和小亮想测量“东州湖”东西两端A、B间的距离．于是，他们去了湖边，如图，在湖的南岸的水平地面上，选取了可直接到达点B的一点C，并测得BC=350米，点A位于点C的北偏西73°方向，点B位于点C的北偏东45°方向．
请你根据以上提供的信息，计算“东州湖”东西两端之间AB的长．（结果精确到1米）
（参考数据：sin73°≈0.9563，cos73≈0.2924，tan73°≈3.2709， ≈1.414．）
【答案】解：∵∠BCD=45°，CD⊥AB，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴CD=BD．
∵BC=350米，
∴CD=BD=350× =175 ≈175×1.414=247.45米，
∴AD=CD tan73°≈247.45×3.2709≈809.38米，
∴AB=AD+BD=809.38+247.45≈1058（米）．
答：“东州湖”东西两端之间AB的长为1058米．
【解析】【分析】先根据题意得出△BCD是等腰直角三角形，故可得出CD=BD，再由锐角三角函数的定义得出AD的长，进而可得出结论．
18．一天中某一时刻太阳光线与水平线的夹角随着季节的变化而变化，夏至时夹角最大，冬至时夹角最小．若今年12月21日（冬至）的某一时刻太阳光线与水平线的最小夹角约为，现某小区有两幢居民住宅楼高都为，两楼相距，如图所示．
（1）在今年冬至的这一时刻，该小区甲楼的影子落在乙楼的底部（即）有多高？
（2）若在本小区内继续兴建同样高的住宅楼，两楼相距至少应该多少m，才不影响楼房的采光（即前一幢楼房的影子不能落在后一幢楼房上）？（注：，计算结果精确到）
【答案】（1）解：如图（1）所示，过作，垂足为，则四边形是矩形．
，，
由题意可知在中，，
∵
，
则
即冬至时甲楼的影子在乙楼上约高．
（2）解：若要不影响房间的采光，
如图所示，在中，，，
．
答：楼距至少，才不影响楼房的采光．
【解析】【分析】（1）过作，垂足为，则四边形是矩形，根据矩形性质可得，，再根据正切定义及特殊角的三角函数值即可求出答案.
（2）根据正切定义及特殊角的三角函数值即可求出答案.
19．读书架也称临帖架、书托架，可帮助我们解放双手和保护眼睛，非常适合练习书法的人群和学生使用.图①是实木读书架实物图，图②是其侧面示意图，其工作原理是通过调节点 D在CE 上的位置，来改变 AB的倾斜角度.已知AB=30cm，AD=20cm，当点 D 调节到图②位置时，测得∠ABE=65°，∠CAD=50°，∠DEB=30°.
（1）求点 A到BE 的距离；
（2）求 DE 的长（参考数据：
【答案】（1）解：如图，过点作于点．
在中，，
∴
（2）解：延长交于点，过点作于点，如图所示：
，，
．
．
．
．
在中，．
．
【解析】【分析】（1）过点作于点，根据正弦函数结合题意求出边长即可求解；
（2）延长交于点，过点作于点，先根据三角形内角和定理得到∠AGB的度数，进而根据等腰三角形的判定得到，从而即可得到DG，再根据正弦函数得到DH的长，从而根据含30°角的直角三角形的性质即可求解。
20．计算：
（1）在中，，，，解这个直角三角形．
（2）如图所示，在中，，，，求和．
【答案】（1）解：，
，
，
；
（2）解：过作于，
，，
，
，
，
．
【解析】【分析】（1）首先根据正弦定义可求得，进而根据直角三角形的性质，得出，再根据含30度锐角的直角三角形的性质，即可得出；
（2）过作于，首先根据，， 解直角三角形BCH可得出，再根据CH，AC的值，利用勾股定理得出AH，进而即可得出AB=AH+BH的值即可。
（1）解：，
，
，
；
（2）过作于，
，，
，
，
，
．
21． 如图，某天然气公司的主输气管道途经A小区，继续沿A小区的北偏东60°方向往前铺设．测绘员在A处测得另一个需要安装天然气的P小区位于北偏东30°方向，测绘员从A处出发，沿主输气管道方向前行2000米
到达B处，此时测得P小区位于北偏西75°方向．
（1） 度， 度；
（2）现要在主输气管道AB上选择一个支管道连接点Q，使从Q处到P小区铺设的管道最短，求A小区与支管道连接点Q的距离．（结果保留根号）
【答案】（1）30；45
（2）解：如下图所示，过点P作于Q，
则此时从Q处到P小区铺设的管道最短，设米．
∵，
∴米，米．
∴米．
∵米，
∴．
∴．
∴米．
答：A小区与支管道连接点Q的距离是米．
【解析】【解答】解：（1）∠PAB=60°-30°=30°；∠PBA=90°-75°+30°=45°；
故第1空答案为：30°；第2空答案为：45°；
【分析】（1）根据角与角之间的关系，即可求得答案；
（2） 如图所示，过点P作于Q，，设米，则BQ=x米，AQ=米，然后根据AQ+BQ=AB=2000，即可得出方程+x=2000，解方程，即可求得，进一步得出 米．
22．在Rt中，分别是，的对边.
（1）已知，求.
（2）已知，求的值.
【答案】（1）解：∵sinB= ，
∴∠B=45°．
（2）解：∵c=24，sin A= ，
∴a=8，
∴b= ．
【解析】【分析】（1）先根据正弦函数求出sinB，进而根据特殊角的三角函数值即可求解；
（2）先根据正弦函数求出a，进而根据勾股定理即可求解。
23． 2018年3月2日，500架无人飞机在西安创业咖啡街区的夜空绽放，西安高新区用“硬科技”打造了最具独特的风景线，2018“西安年，最中国”以一场华丽的视觉盛宴完美收官，当晚，某兴趣爱好者想用手中的无人机测量大雁塔的高度，如图是从大雁塔正南面看到的正视图，兴趣爱好者将无人机上升至离地面185米高大雁塔正东面的F点，此时，他测得F点都塔顶A点的俯视角为30°，同时也测得F点到塔底C点的俯视角为45°，已知塔底边心距OC＝23米，请你帮助该无人机爱好者计算出大雁塔的大体高度（结果精确到0.1米）？（ ≈1.73， ≈1.41）.
【答案】解：如图，作FD⊥BC，交BC的延长线于D，作AE⊥DF于E，则四边形AODE是矩形.
由题意，可知∠FAE＝30°，∠FCD＝45°，DF＝185米.
在直角△CDF中，∵∠D＝90°，∠FCD＝45°，
∴CD＝DF＝185米，
∴OD＝OC+CD＝208米，
∴AE＝OD＝208米.
在直角△AEF中，∵∠AEF＝90°，∠FAE＝30°，
∴EF＝AE ＝208× ＝ （米），
∴DE＝DF﹣EF＝185﹣ ≈185﹣119.95≈65.1（米），
∴OA＝DE≈65.1米.
故大雁塔的大体高度是65.1米.
【解析】【分析】作FD⊥BC，交BC的延长线于D，作AE⊥DF于E，则四边形AODE是矩形.解直角△CDF，得出CD＝DF＝185米，那么OD＝OC+CD＝208米，AE＝OD＝208米.再解直角△AEF，求出EF＝AE ＝ 米，然后根据OA＝DE＝DF﹣EF即可求解.
24．如图1是小区常见的漫步机，当人踩在踏板上，握住扶手，像走路一样抬腿，就会带动踏板连杆绕轴旋转，如图2，从侧面看，立柱DE高1.8米，踏板静止时踏板连杆与 上的线段 重合， 长为0.2米，当踏板连杆绕着点 旋转到 处时，测得 ，此时点 距离地面的高度 为0.45米，求 和 的长（参考数据： ）
【答案】解：过点 作 于 ，
则四边形 是矩形，
∴ ，
设 ，
∴ ，
∴ ， ，
在 中， ， ，
，
解得： ，
∴ 米， 米，
答： 和 的长分别为1.25米，0.35米．
【解析】【分析】过点C作CG⊥AB于G，得到四边形CFEG是矩形，根据矩形的性质得到EG＝CF＝0.45，设AD＝x，求得AE＝1.8 x，AC＝AB＝AE BE＝1.6 x，AG＝AE CF＝1.35 x，根据三角函数的定义列方程即可得到结论．
25．2016年12月底我国首艘航空母舰辽宁舰与数艘去驱航舰组成编队，携多架歼﹣15舰载战斗机和多型舰载直升机开展跨海区训练和试验任务，在某次演习中，预警直升机A发现在其北偏东60°，距离160千米处有一可疑目标B，预警直升机立即向位于南偏西30°距离40千米处的航母C报告，航母舰载战斗机立即升空沿北偏东53°方向向可疑目标飞去，请求出舰载战斗机到达目标的航程BC．
（结果保留整数，参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3， ≈1.73）
【答案】解：如图，过点B向经过点C表示正北方向的直线作垂线，垂足为点D，BD与过点A表示正北方向的直线交于点E，过点A作AF⊥CD于点F，
∵在Rt△ACF中，∠ACF=30°，
AF=AC sin∠ACF=10×sin30°=40× =20（千米），
∴DE=AF=20（千米），
∵在Rt△ABE中，∠BAE=60°，
BE=AB sin∠BAE=160×sin60°=160× =80 （千米），
∴BD=DE+BE=20+80 ≈158.4（千米），
∴在Rt△BDC中，BC= = ≈ =198（千米）．
故舰载战斗机到达目标的航程BC大约是198千米．
【解析】【分析】如图，过点B向经过点C表示正北方向的直线作垂线，垂足为点D，BD与过点A表示正北方向的直线交于点E，过点A作AF⊥CD于点F，在Rt△ACF中，根据三角函数得出AF，进一步得出DE，再在Rt△ABE中，根据三角函数得出BE，进一步得出BD，再在Rt△BDC中，根据三角函数得出BC即可．
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