2.5有理数的混合运算（同步练习·含解析）初中数学北师大版2024

2.5有理数的混合运算（同步练习）
初中数学北师大版2024
一、单选题
1．（2023·浙江杭州·中考真题）（ ）
A．0 B．2 C．4 D．8
2．（23-24七年级上·浙江·期中）用四舍五入法，把精确到十分位，取得的近似数是（ ）
A．4 B． C． D．
3．（25-26七年级上·浙江杭州·月考）下列计算：
①；
②；
③；
④．
其中错误的是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．④
4．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）下列说法：①前面带有负号的数一定是负数；②一个数越大，在数轴上表示它的点离原点越远；③有理数也可以分为正有理数和负有理数两类；④某数m四舍五入得到近似数，则m的取值范围是，其中正确的结论有（ ）个
A．0 B．2 C．3 D．4
5．（23-24七年级上·河南安阳·期末）在古代，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．当时有位父亲为了准确记录孩子的出生天数，在粗细不同的绳子上打结（如图），由细到粗（右细左粗），满七进一，那么孩子已经出生了（ ）
A．132天 B．72天 C．60天 D．42天
6．（24-25七年级上·四川眉山·期中）下列说法正确的是（ ）
A．的倒数是
B．若，则
C．几个数相乘，当负乘数个数为奇数时，积为负，当负乘数个数为偶数时，积为正
D．数a的近似数为，那么a的真实值的范围是
7．（24-25七年级上·湖北武汉·开学考试）下面各组数中，不能通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24的是（　　）
A．1，1，7，7 B．2，2，8，8
C．1，1，2，8 D．1，1，4，6
8．（24-25七年级上·四川南充·期中）年第十四届国际数学教育大会在上海召开，本次会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的卦“”是用我国古代的计数符号写出的八进制数．八进制是以作为进位基数的数字系统，有共个基本数字． 八进制数换算成十进制数是，表示的举办年份． 某同学设计了一个进制数， 换算成十进制数是， 则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．（22-23七年级上·贵州遵义·阶段练习）近似数 是精确到（ ）
A．千分位 B．千位 C．百位 D．十位
10．（24-25七年级上·广东广州·期中）将六进制数转化为十进制数的结果为（ ）
A．880 B．3788 C．1000 D．13
二、填空题
11．（24-25六年级下·浙江杭州·期末）神舟二十号载人飞船于北京时间2025年4月24日17时17分发射升空，飞船入轨后，于当日23时49分成功对接于空间站天和核心舱径向端口．从发射到对接成功，飞行了 小时 分钟，约 小时（保留一位小数）．
12．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）用四舍五入法把精确到为 ．
13．（24-25七年级上·河南南阳·期末）我们常用的十进制数，如，我国古代易经一书记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，如图，一位母亲在如下排列的绳子上打结，并采用七进制（如），用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是 天．
14．（21-22七年级上·河南郑州·阶段练习）计算：，，，，，….归纳各计算结果中的个位数字规律，猜测的个位数字是 ．
15．（24-25七年级上·湖北黄冈·期中）观察下列等式：，，，，，，…根据其中的规律可得的结果的个位数字是 ．
三、解答题
16．（23-24七年级上·全国·课后作业）下列是由四舍五入法得到的近似数，各精确到哪一位？
(1)132.4．
(2)0.0572．
(3)2.40万．
(4)3000．
17．（24-25七年级上·河南信阳·期中）计算．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
18．（24-25七年级下·河北廊坊·期中）课本再现
国际数学教育大会是全球数学教育界水平最高、规模最大的学术盛会，每四年一届，于2021年在上海举办，这是国际数学教育大会第一次在中国举办．大会标识（图1）中蕴含着很多数学文化元素，以中国传统文化中“洛书”与“河图”为原本，并将其与我国古老的八卦进行了融合，体现了我国传统文化的博大精深．其中八卦符号（图2）可以用于记数，请探究这个符号所表示的数，互相交流各自的计算方法．
提示：八卦中称为阳爻，对应数字1，称为阴爻，对应数字0，这是二进制记数法．每卦均由三个阳爻或阴爻组成，如图2，从左起第一个符号表示的二进制数为．
观察发现
（1）从左起第四个符号表示的二进制数为___________．
拓展延伸
二进制数转换成十进制数的方法是：将二进制数的每一位数乘以2的相应次方（从右往左依次为，依此类推），后相加，例如： ．
（2）图2中的记数符号由四个二进制数组成，将它们依次转换为十进制数，得到一个四位数，求出这个四位数；
类比迁移
（3）仿照二进制的说明与算法，将八进制数：转换成十进制数，请求出结果．
19．（23-24七年级上·吉林·期中）“”是规定的一种运算法则，如下：．
(1)求的值；
(2)若，求的值．
20．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）小江有7张写着不同数字的卡片，请按要求抽取出卡片，完成下列各题：
(1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是____________；
(2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是____________；
(3)从中取山3张卡片，使这3张卡片乘积结果为，请写出所有的情况．
参考答案
1．D
【分析】先计算乘方，再计算加法即可求解．
【详解】解：，
故选：D．
【点睛】本题考查有理数度混合运算，熟练掌握有理数乘方运算法则是解题的关键．
2．C
【分析】本题考查的是利用四舍五入的方法求解近似数，根据精确度的要求把百分位上的数按照四舍五入的方法处理即可得到答案．
【详解】解：把精确到十分位可得：，
故选：C．
3．B
【分析】本题考查了有理数的混合运算．根据有理数的运算法则以及运算顺序逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：①，故①错误；
②，故②错误；
③，故③错误；
④，故④正确．
故选：B．
4．A
【分析】本题考查的是负数的含义，有理数的分类，绝对值的含义，近似数的精确度，掌握“以上基础概念”是解本题的关键．根据负数的含义，绝对值的含义，有理数的分类，近似数的精确度逐一分析即可．
【详解】解：①前面带有负号的数不一定是负数，如，故①不符合题意；
②一个数的绝对值越大，在数轴上表示它的点离原点越远，故②不符合题意；
③有理数可以分为正有理数和负有理数、0，故③不符合题意；
④某数m四舍五入得到近似数，则m的取值范围是，故④不符合题意；
即正确的个数有0个，
故选：A．
5．B
【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据“满七进一”可知最左边的每个结表示，中间的每个结表示7，最右边每个结表示1，由此可解．
【详解】解：孩子已经出生天数为：（天），
故选B．
6．B
【分析】本题考查了倒数的定义，绝对值的化简，有理数的乘法法则，近似数，根据倒数的定义，绝对值的性质，有理数的乘法法则，近似数对各项判断即可．
【详解】解：A、非0有理数的倒数是，故原说法错误，不符合题意；
B、若，则，正确，符合题意；
C、几个不为0的数相乘，当负乘数个数为奇数时，积为负，当负乘数个数为偶数时，积为正，故原说法错误，不符合题意；
D、数a的近似数为，那么a的真实值的范围是，故原说法错误，不符合题意；
故选：B．
7．A
【分析】本题考查有理数的四则运算，通过尝试不同的四则运算组合，判断每组数字是否能得到24．
【详解】解：A、无法通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24；
B、，即可以通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24；
C、，即可以通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24；
D、，即可以通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24．
故选：A
8．D
【分析】本题考查有理数乘方逆运算的应用，根据题意得，即可求得的值．熟练掌握该运算法则是解题的关键．
【详解】解：∵一个进制数， 换算成十进制数是，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或（负值不符合题意，舍去），
∴的值为．
故选：D．
9．C
【分析】先将换算为，再判断的0在百位上，即可得到答案．
【详解】解：
∵的0在百位上，
∴近似数是精确到百位，
故选C．
【点睛】本题考查了近似数，解题的关键是掌握近似数的概念：经过四舍五入得到的数叫近似数．
10．B
【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算，根据题意列出含乘方的有理数混合运算的式子是解题的关键．
先根据题意列出式子，然后运用含乘方的有理数混合运算法则计算即可．
【详解】解：．
故选B．
11． 6 32 6.5
【分析】本题考查有理数加减法的应用，熟练掌握时间的推算方法是解答本题的关键．由经过的时间结束的时刻开始的时刻求解即可．
【详解】解：23时49分17时17分6时32分，32分钟小时小时，
答：从点火发射到成功对接整个过程历时6小时32分钟，约6.5小时．
故答案为：6，32，6.5．
12．
【分析】此题考查近似数和有效数字，把万分位上的数字5进行四舍五入即可．
【详解】解：精确到为；
故答案为：．
13．510
【分析】本题考查了有理数乘方的混合运算，解题关键是理解七进制数的表示方法；
根据图中的数学列式计算类比于十进制，可以表示满七进一的数为：千位上的数百位上的数十位上的数个位上的数即可解答．
【详解】解：因为，七进制是满七进一，
所以，从右到左依次排列的绳子，分别代表绳结数乘以，，，的天数，
所以孩子自出生后的天数是：．
故答案为：510．
14．3
【分析】根据题目中给出的式子的结果，可以发现结果的个位数字的变化特点，从而可以求得的个位数字．
【详解】∵，
∴计算结果中的个位数字依次以1，3，7，5循环出现，
∵，
∴的个位数字是3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查数字的变化类、尾数特征，解答本题的关键是明确题意，发现结果的个位数字的变化特点，写出所求式子的个位数字．
15．8
【分析】本题考查了有理数乘方的规律型问题．熟练掌握个位数字的变化规律，确定循环组及组数，是解题关键．
观察发现个位数字是以1、7、9、3为一个循环组，再根据即可得的个位数是7，计算即得个位数字．
【详解】∵，，，，，，…
∴每4个数为一个循环组，
∵，
∴的个位数是7，
∴，
故的个位数字为：8．
16．(1)132.4精确到十分位
(2)0.0572精确到万分位
(3)2.40万精确到百位
(4)3000精确到个位
【分析】根据近似数分别求解（1）（2）（3）（4）
【详解】（1）132.4精确到十分位
（2）0.0572精确到万分位
（3），则2.40万精确到百位
（4）3000精确到个位
【点睛】本题主要考查近似数，熟练掌握近似数是解题的关键．
17．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查有理数的四则混合运算，熟练掌握相关运算法则和运算顺序是解答的关键．
（1）根据有理数的加减运算法则，结合加法运算律简便运算即可求解；
（2）根据先乘除、再加减的运算顺序求解即可；
（3）根据有理数乘法运算法则和运算律求解即可；
（4）利用乘法分配律去括号，再根据有理数的乘法、加减运算法则求解即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
．
18．（1）；（2）3745；（3）1045
【分析】本题主要考查了二进制数与十进制数的转换，八进制与十进制数的转换：
（1）根据题意即可得到答案；
（2）根据二进制数与十进制数的转换方法分别求出图2中四个二进制数转换成十进制数的结果即可得到答案；
（3）仿照二进制数与十进制数的转换方法将八进制数各位上的数字乘以8的相应次方再求和即可得到答案．
【详解】解：（1）由题意得，从左起第四个符号表示的二进制数为；
故答案为：；
（2）图2对应的二进制数从左往右依次为，，，，
∵，
，
，
，
∴这个四位数是3745；
（3）．
19．(1)14
(2)
【分析】有关新运算的问题，首先要弄清把新运算转化为普通运算的规则，然后根据规则把新运算部分转化为普通运算，再按普通运算的相关计算法则计算即可.
（1）根据新运算的规则，把新运算转化成普通有理数的计算，再按有理数相关计算法则计算即可；
（2）根据新运算的规则，把等式左边的新运算转化成普通有理数运算，从而把等式转化成一元一次方程，再解一元一次方程即可.
【详解】（1）∵，
∴；
（2）∵，
∴可化为：，即，
解此方程得：.
20．(1)
(2)
(3)，，，．
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，
（1）找出与，使其乘积最大即可；
（2）找出与，使其商最小即可；
（3）利用“24点”游戏规则写出两个符合要求的式子即可．
熟练掌握有理数的混合运算法则并能灵活运用是解决此题的关键．
【详解】（1）解：根据乘法法则，同号相乘为正，并且两个负数相乘时，绝对值越大乘积越大，
∴比较和，这两个数的绝对值相对较大，
∴选择和，它们的乘积为，
故答案为：；
（2）解：根据除法法则，异号相除为负，要使商最小，就要让被除数的绝对值尽可能大，除数的绝对值尽可能小，
∴在这些数中，是较大的绝对值，\是较小的绝对值，
∴根据除法运算，，
∴2张卡片上数字相除的商最小，最小值是，
故答案为：；
（3）解：根据同号得正，异号为负可得，三个数相乘，负数的个数为奇数，
∴按此规律满足3张卡片乘积结果为的等式有，
，
，
，
．