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二次函数 单元强化提升检测卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．将抛物线y＝﹣x2向右平移3个单位，再向下平移2个单位后所得新抛物线的顶点是（ ）
A．（3，﹣2） B．（﹣3，﹣2）
C．（3，2） D．（﹣3，2）
2．二次函数的图象如图，将其绕顶点旋转后得到的抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
3．当﹣2≤x≤1时，二次函数y=﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（ ）
A．﹣ B． 或
C．2或 D．2或 或
4．已知二次函数的图像开口向下，顶点坐标为，那么该二次函数有（ ）
A．最小值-7 B．最大值-7 C．最小值3 D．最大值3
5．已知二次函数y=ax +bx+c，当x=2时，该函数取最大值8，设该函数图象与x轴的一个交点横坐标为x1，若x1>4，则a的取值范围是（ ）
A．-3
6．设A(－1， )，B ，C 是抛物线 上的三点，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，二次函数的图象的对称轴是直线，则以下四个结论：①，②，③，④中，正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．已知抛物线，a是常数，且，下列选项中可能是它大致图象的是（ ）
A． B．
C． D．
9．要使二次函数 的图象平移或翻折后经过点(2，0)，有下列4种方法：①向右平移2个单位；②向右平移1个单位，再向下平移1个单位；③向下平移4个单位；④沿x 轴翻折，再向上平移4个单位.其中，正确的有( )
A．1种 B．2 种 C．3 种 D．4 种
10．关于二次函数y=x2﹣4m x+3 (m是常数），有以下说法：
①不管m是什么实数，该函数图象的顶点一定在函数y=﹣x2 +3的图象上；②若该函数图象与x轴相交于点（a，0)， (b， 0) (aA．①② B．②③ C．①③ D．①②③
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．二次函数的最小值为2，则的值为
12．如图，抛物线 的对称轴是直线x=-1，且过点 ( ，有下列结论： ①abc>0； ② a-2b+4c=0； ③25a-10b+4c=0； ④3b+2c>0；⑤a-b≥m(am+b).其中正确的有 (填序号).
13．已知点 、、都在函数的图象上，则、、的大小关系为 （用“”连接）．
14．在二次函数y=﹣x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
x ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 4 5 6
y ﹣14 ﹣7 ﹣2 2 m n ﹣7 ﹣14 ﹣23
则m+n= ．
15．已知实数a，b满足a(a-3)-b=0，当0≤a≤5时，满足条件的整数b有 个．
16．，点是边AB上的动点，以PC为边，在AC上方构造等边三角形，连接BQ.则面积的最大值是 .
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图所示，抛物线与直线相交于点，．
（1）直接写出实数，的值，并求出点A，的坐标；
（2）若，请直接写出的取值范围．
18．小星路过某广场时看到一处喷泉景观，喷出的水柱呈抛物线形状（如图1）．如图2是他对此展开研究的示意图，喷出的水柱是抛物线的一部分，测得喷头距离地面的高度米．
（1）求该抛物线的表达式．
（2）若小星身高1.6米，他站在水柱下方而没有被淋湿，设小星与喷头的水平距离为米，求的取值范围．
（3）为了让喷泉景观更加壮观，需要让喷泉水柱的落地点与喷头的水平距离OB不小于6米，但不能超过8米．若仅改变喷头的高度，设喷头的高度为，试确定的取值范围．
19．某幢建筑物，从5米高的窗口 用水管向外喷水，喷出的水呈抛物线状（抛物线所在的平面与墙面垂直，如图所示），如果抛物线的最高点 离墙1米，此时高度为10米．如图，在所示的平面直角坐标系中，求水流落地点 离墙距离 ．（结果保留根号）
20．如图，抛物线过点A（2，0）和点B（0，4）．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）将该抛物线上的点M（m，p）向右平移至点N，当点N落在该抛物线上且位于第一象限时，求点M的横坐标m的取值范围；
21．已知抛物线. 上 (a是常数) 经过点A (1， 0) .
（1）求二次函数解析式；
（2）判断点 (2，4)是否在这个二次函数图象上，并说明理由.
22．某书店销售儿童书刊，一天可售出20套，每套盈利30元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，书店决定采取降价措施．若一套书每降价1元，平均每天可多售出2套．设每套书降价x元时，书店一天可获利润y元．
（1）求y关于x的函数表达式．
（2）若要书店每天盈利638元，则需降价多少元？
（3）当每套书降价多少元时，书店一天可获最大利润？最大利润为多少？
23．如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点.
（1）求该抛物线的表达式；
（2）已知，是抛物线上的两点，根据图象分析，若，则的取值范围是 .
24．已知抛物线y＝x2+（2m+3）x+n（m，n为常数）过点（1，5）．
（1）若该抛物线与y轴交于点（0，﹣1）．
①求该抛物线的解析式；
②已知A（x1，y1），B（2，y2）在该抛物线上，若对于3t﹣1＜x1＜3t+2，都有y1＞y2，求t的取值范围；
（2）若对于任意实数x，都有x2+（2m+3）x+n≥3x+2，此时抛物线y＝x2+（2m+3）x+n与直线y＝4交于M，N两点，求MN的长．
25．已知抛物线与轴交于点，顶点为，与直线交于，两点，其中点坐标为．
（1）求抛物线和直线解析式；
（2）直接写出抛物线关于对称的抛物线的解析式；
（3）求的面积．
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二次函数 单元强化提升检测卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．将抛物线y＝﹣x2向右平移3个单位，再向下平移2个单位后所得新抛物线的顶点是（ ）
A．（3，﹣2） B．（﹣3，﹣2）
C．（3，2） D．（﹣3，2）
【答案】A
【解析】【解答】解：将抛物线 向右平移3个单位，再向下平移2个单位后，
得 ，
∴顶点坐标为（3，﹣2），
故答案为：A．
【分析】利用函数图象平移的性质：左加右减，上加下减求解即可。
2．二次函数的图象如图，将其绕顶点旋转后得到的抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
3．当﹣2≤x≤1时，二次函数y=﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（ ）
A．﹣ B． 或
C．2或 D．2或 或
【答案】C
【解析】【解答】解：二次函数的对称轴为直线x=m，①m＜﹣2时，x=﹣2时二次函数有最大值，
此时﹣（﹣2﹣m）2+m2+1=4，
解得m=﹣ ，与m＜﹣2矛盾，故m值不存在；②当﹣2≤m≤1时，x=m时，二次函数有最大值，
此时，m2+1=4，
解得m=﹣ ，m= （舍去）；③当m＞1时，x=1时二次函数有最大值，
此时，﹣（1﹣m）2+m2+1=4，
解得m=2，
综上所述，m的值为2或﹣ ．
故选：C．
【分析】根据对称轴的位置，分三种情况讨论求解即可．
4．已知二次函数的图像开口向下，顶点坐标为，那么该二次函数有（ ）
A．最小值-7 B．最大值-7 C．最小值3 D．最大值3
【答案】B
【解析】【解答】∵抛物线开口向下，顶点坐标为，
∴二次函数的最大值为y=-7．
故答案为：B．
【分析】根据二次函数的顶点式直接求解即可。
5．已知二次函数y=ax +bx+c，当x=2时，该函数取最大值8，设该函数图象与x轴的一个交点横坐标为x1，若x1>4，则a的取值范围是（ ）
A．-3【答案】B
【解析】【解答】解：∵当x=2时，该函数取最大值8，
∴抛物线的开口向下，顶点坐标为（2，8）
∴a＜0，y=a（x-2）2+8
∵设该函数图象与x轴的一个交点横坐标为x1，若x1>4，
∴当x=4时，y＞0
∴a（4-2）2+8＞0
解之：a＞-2
∴a的取值范围是：-2故答案为：B.
【分析】利用二次函数的性质，当a＜0时，抛物线的开口向下，函数有最大值，可得到a＜0，y=a（x-2）2+8，再根据设该函数图象与x轴的一个交点横坐标为x1，若x1>4，可知当x=4时，y＞0，建立关于a的不等式，解不等式求出a的取值范围，综上所述可得答案。
6．设A(－1， )，B ，C 是抛物线 上的三点，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】∵对称轴是x= 1，且开口向下，
∴y1最大，
又∵点B、C都在对称轴的右边，而对称轴右边y随x的增大而减小，
且1<2
∴y2>y3.
∴
故答案为：A.
【分析】利用函数解析式可得抛物线的开口方向及对称轴，可知点A就是顶点坐标，可得出y1最大，而点B、C都在对称轴的右边，而对称轴右边y随x的增大而减小，即可得出答案。
7．如图，二次函数的图象的对称轴是直线，则以下四个结论：①，②，③，④中，正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】【解答】解：对称轴为x=1，即，即2a+b=0，因此①正确；
当x=-1时，y=a-b+c<0，即a+c由抛物线的顶点的位置可知，，而a<0，所以4ac-b2<4a，即4ac-4a因为a-b+c<0，2a+b=0，所以3a+c<0，因此④正确；
综上所述，正确的有①③④，共3个，
故选：C.
【分析】根据二次函数的图象和性质，即抛物线的开口方向，对称轴，与x轴、y轴的交点坐标以及最大值(最小值)逐项进行判断即可.
8．已知抛物线，a是常数，且，下列选项中可能是它大致图象的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵抛物线，a是常数且a＜0，
∴图象开口向下，a 2＜0，
∴图象与y轴交于负半轴，
∵a＜0，b＝2，
∴抛物线对称轴在y轴右侧.
故答案为：D.
【分析】根据a<0知图象开口向下，根据a<0可得a-2<0，则图象与y轴交于负半轴，由对称轴方程可得对称轴在y轴右侧，据此判断.
9．要使二次函数 的图象平移或翻折后经过点(2，0)，有下列4种方法：①向右平移2个单位；②向右平移1个单位，再向下平移1个单位；③向下平移4个单位；④沿x 轴翻折，再向上平移4个单位.其中，正确的有( )
A．1种 B．2 种 C．3 种 D．4 种
【答案】D
【解析】【解答】解：将二次函数y =x2的图象向右平移2个单位，则平移后的图象对应的函数表达式为y=(x-2)2，当x=2时，y=0，∴平移后的图象过点(2，0).故①符合题意；将二次函数 的图象向右平移1个单位，再向下平移1个单位，则平移后的图象对应的函数表达式为 y= ，当x=2时，y=0，∴平移后的图象过点(2，0).故②符合题意；将二次函数 的图象向下平移4个单位，则平移后的图象对应的函数表达式为 当x=2时，y=0，∴平移后的图象过点(2，0).故③符合题意；将二次函数 的图象沿x 轴翻折，再向上平移4 个单位，则平移后的图象对应的函数表达式为 ，当x=2时，y=0，∴平移后的图象过点(2，0).故④符合题意.∴正确的有4种.
故答案为：D .
【分析】根据二次函数图象平移规律与翻折规律逐一判断即可求解.
10．关于二次函数y=x2﹣4m x+3 (m是常数），有以下说法：
①不管m是什么实数，该函数图象的顶点一定在函数y=﹣x2 +3的图象上；②若该函数图象与x轴相交于点（a，0)， (b， 0) (aA．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】C
【解析】【解答】解： ① y=x2﹣4mx+3=（x-2m）2-4m2+3， ∴图象的顶点是（2m，-4m2+3），
∵当x=2m时， y=﹣x2 +3=-（2m）2+3=-4m2+3， 故①正确；
②∵ x2﹣4m x+3﹣t=0，∴x2﹣4m x+3=t，当t>0时，有c故②错误；③当-1≤x≤0时， y=（x-2m）2-4m2+3， 当-1≤2m<0时，若有最小值2，-4m2+3=2，解得m=± ，∴m=- ；当2m<-1时，即m<-，当x=-1时有最小值4+4m=2，m=-，不符合题意；当2m>0时，当x=0时有最小值3不符合题意③正确.
综上，①③正确；
故答案为：C.
【分析】①配方求出二次函数的顶点坐标，将其代入y=﹣x2 +3中验证即知；②分两种情况讨论，当t>0时，有c二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．二次函数的最小值为2，则的值为
【答案】3
【解析】【解答】解：y=x2-2x+m=(x-1)2+m-1，
∴ m-1=2，
∴ m=3.
故答案为：3.
【分析】根据二次函数的最值，即可求得.
12．如图，抛物线 的对称轴是直线x=-1，且过点 ( ，有下列结论： ①abc>0； ② a-2b+4c=0； ③25a-10b+4c=0； ④3b+2c>0；⑤a-b≥m(am+b).其中正确的有 (填序号).
【答案】①③⑤
13．已知点 、、都在函数的图象上，则、、的大小关系为 （用“”连接）．
【答案】
【解析】【解答】解：∵，
∴二次函数图象的对称轴是y轴，图象的开口向下，
∴当时，y随x的增大而增大，
∵、、都在函数的图象上，
∴点关于对称轴的对称点的坐标是在函数的图象上，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】利用二次函数的性质求解即可。
14．在二次函数y=﹣x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
x ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 4 5 6
y ﹣14 ﹣7 ﹣2 2 m n ﹣7 ﹣14 ﹣23
则m+n= ．
【答案】-1
【解析】【解答】解：∵x=﹣1时，y=﹣2；x=1时，y=2，
∴，解得 ，
∴二次函数的解析式为y=﹣x2+2x+1，
∴当x=2时，m=﹣4+4+1=1；x=3时，n=﹣9+6+1=﹣2，
∴m+n=1﹣2=﹣1．
故答案为﹣1．
【分析】先利用待定系数法求二次函数的解析式为y=﹣x2+2x+1，然后分别把x=2和x=3分别代入y=﹣x2+2x+1即可计算出m、n的值，从而求得m+n的值．
15．已知实数a，b满足a(a-3)-b=0，当0≤a≤5时，满足条件的整数b有 个．
【答案】13
【解析】【解答】解：∵a(a-3)-b=0 ，
∴b=a2-3a=(a-)2-，
∵0≤a≤5，
∴当a=时，b有最小值是-，
当a=5时，b有最大值是10，
∴b的取值范围是：-≤b≤10，
∴满足条件的整数b有-2，-1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10共13个，
故答案为：13.
【分析】由 a，b满足的关系式可以得出用含a的式子表示b，可看作b关于a的二次函数，根据a的取值范围求出b的取值范围，从而确定满足条件的b的整数值.
16．，点是边AB上的动点，以PC为边，在AC上方构造等边三角形，连接BQ.则面积的最大值是 .
【答案】
【解析】【解答】解：如图，延长BA到E，使AE=AC，连QE，过Q作QF⊥AE交AE于点F，
∵∠BAC=120°，
∴∠CAE=60°，
∴△ACE为等边三角形，
∴CE=AC，∠CAE=∠CEA=∠ECA=60°，
∵△PCQ为等边三角形，
∴∠PCQ=∠ACE=60°，CP=CQ，
∴∠PCA=∠QCE，
∴△ACP≌△ECQ(SAS)，
∴∠PAC=∠QEC=120°，PA=QE，
∴∠QEF=∠QEC-∠AEC=120°-60°=60°，
∴∠FQE=90°-60°=30°，
∴，
∴，
∵AB=AC=18，
∴BP=AB-PA=18-QE，
∴
∵，
∴当QE=9时，S△BPQ有最大值，最大值为.
故答案为：.
【分析】如图，延长BA到E，使AE=AC，连QE，过Q作OF⊥AE交AE于点F，证出
△ACP≌△ECO(SAS)得出∠FOE=30°，然后利用勾股定理得出，用含QE的式子表示出△BPO面积，最后利用二次函数的性质即可得解.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图所示，抛物线与直线相交于点，．
（1）直接写出实数，的值，并求出点A，的坐标；
（2）若，请直接写出的取值范围．
【答案】（1）解：，；
∵抛物线与直线相交于点，．
∴
∴
整理得
∴
则
结合图象，得；
（2）．
【解析】【解答】解：（1）结合图象，得出抛物线的顶点坐标为，直线与轴交于点，
∴，，
即，；
故答案为：，；
（2）解：∵，且，
∴由图得．
故答案为：．
【分析】（1）先求出m、n的值，再联立方程组求出点A、B的坐标即可；
（2）结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可.
（1）解：结合图象，得出抛物线的顶点坐标为，直线与轴交于点，
∴，，
即，；
∵抛物线与直线相交于点，．
∴
∴
整理得
∴
则
结合图象，得；
（2）解：∵，且，
∴由图得．
18．小星路过某广场时看到一处喷泉景观，喷出的水柱呈抛物线形状（如图1）．如图2是他对此展开研究的示意图，喷出的水柱是抛物线的一部分，测得喷头距离地面的高度米．
（1）求该抛物线的表达式．
（2）若小星身高1.6米，他站在水柱下方而没有被淋湿，设小星与喷头的水平距离为米，求的取值范围．
（3）为了让喷泉景观更加壮观，需要让喷泉水柱的落地点与喷头的水平距离OB不小于6米，但不能超过8米．若仅改变喷头的高度，设喷头的高度为，试确定的取值范围．
【答案】（1）解：喷头距离地面1米．
．
把代入，
得
解得．
抛物线的表达式为：．
（2）解：在中，令，得．
∴
解得：，．
∵他站在水柱下方而没有被淋湿，
．
（3）解：在中，令，得，
∴，
解得：，．
．
喷头沿轴向上平移．
设喷头沿轴向上平移米，
则抛物线水柱的表达式为：
当，时，
得，
∴，
∴
．
当，时，得，
则，
∴
．
，
即．
【解析】【分析】
（1）先由OA=1可得，再利用待定系数法求出即可．
（2）由小星的身高可先计算，解得，，再结合身高为1.6米的小星没有被淋湿可得．
（3）由于地面在x轴上，即，可解得：，．因为，可设喷头沿轴向上平移米，则抛物线水柱的表达式为：，然后把，和，代入进行计算，得的值，则，即可作答．
（1）解：喷头距离地面1米．
．
把代入，
得
解得．
抛物线的表达式为：．
（2）解：在中，
令，得．
∴
解得：，．
∵他站在水柱下方而没有被淋湿，
．
（3）解：在中，令，
得，
∴，
解得：，．
．
喷头沿轴向上平移．
设喷头沿轴向上平移米，
则抛物线水柱的表达式为：
当，时，
得，
∴，
∴
．
当，时，得，
则，
∴
．
，
即．
19．某幢建筑物，从5米高的窗口 用水管向外喷水，喷出的水呈抛物线状（抛物线所在的平面与墙面垂直，如图所示），如果抛物线的最高点 离墙1米，此时高度为10米．如图，在所示的平面直角坐标系中，求水流落地点 离墙距离 ．（结果保留根号）
【答案】解：由题意可得：点 ，抛物线的顶点 ，点 的纵坐标为 ，
∴可设该抛物线的解析式为： ，
把点 代入，得：
解得： ，
∴该抛物线的解析式为： ，
∴当 时，有
解得： ， （不合题意，舍去）
∴水流落地点 离墙距离 （米）．
【解析】【分析】先根据题意求出抛物线的解析式，再将y=0代入计算即可。
20．如图，抛物线过点A（2，0）和点B（0，4）．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）将该抛物线上的点M（m，p）向右平移至点N，当点N落在该抛物线上且位于第一象限时，求点M的横坐标m的取值范围；
【答案】（1）解：∵抛物线过点A（2，0）和点B（0，4），
∴，
解得，
∴该抛物线的函数表达式为；
（2）解：抛物线的对称轴为直线 ，
∵点M（m，p）向右平移至点N落在该抛物线上且位于第一象限，
结合第一象限函数图象，利用临界点A，B分类讨论：
①当点N落在点B时，由对称性可知，m＝﹣2，
①当点N落在点A时，由对称性可知，m＝﹣4，
∴点M的横坐标m的取值范围为﹣4＜m＜﹣2．
【解析】【分析】（1）将A、B两点代入该抛物线中，成立方程组求出b、c的值，再将b、c的值代入该抛物线中即可.
（2）先根据公式求出该抛物线的对称轴，然后再根据点M（m，p）向右平移至点N落在该抛物线上且位于第一象限，结合第一象限函数图象，利用临界点A，B分类讨论即可求出m的取值范围.
21．已知抛物线. 上 (a是常数) 经过点A (1， 0) .
（1）求二次函数解析式；
（2）判断点 (2，4)是否在这个二次函数图象上，并说明理由.
【答案】（1）解：将点坐标代入得，
，
解得，
所以二次函数解析式为；
（2）解：不在，理由如下：
将代入得，
，
所以点不在这个二次函数图象上．
【解析】【分析】（1）将点坐标代入抛物线解析式求出a的值即可．
（2）将x=2代入（1）中所求函数解析式，求出y的值判断即可．
22．某书店销售儿童书刊，一天可售出20套，每套盈利30元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，书店决定采取降价措施．若一套书每降价1元，平均每天可多售出2套．设每套书降价x元时，书店一天可获利润y元．
（1）求y关于x的函数表达式．
（2）若要书店每天盈利638元，则需降价多少元？
（3）当每套书降价多少元时，书店一天可获最大利润？最大利润为多少？
【答案】（1）解：设每套书降价x元时，书店一天可获利润y元．
则，
即y关于x的函数表达式为；
（2）解：由题意得：，
解得，，
为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，
答：若要书店每天盈利638元，则需降价19元；
（3）解：，
，
当时，有最大值为，
即当每套书降价元时，书店一天可获最大利润，最大利润为元．
【解析】【分析】（1）根据总利润每套利润销售量即可求解；
（2）由题意，令（1）中的解析式中的y=638可得关于x的一元二次方程，解方程并结合题意“为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存”即可求解；
（3）将（1）中的二次函数配方并结合二次函数的性质即可求解．
（1）解：设每套书降价x元时，书店一天可获利润y元．
则，
即y关于x的函数表达式为．
（2）解：由题意得：，
解得，，
为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，
答：若要书店每天盈利638元，则需降价19元；
（3）解：，
，
当时，有最大值为，
即当每套书降价元时，书店一天可获最大利润，最大利润为元．
23．如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点.
（1）求该抛物线的表达式；
（2）已知，是抛物线上的两点，根据图象分析，若，则的取值范围是 .
【答案】（1）解：设抛物线表达式为.
∵与轴交于点，∴.
将点，代入可得
解得，
∴抛物线表达式为.
（2）或
【解析】【解答】解：（2）由图象可知：
当点N在点M右边时，若，则
当点N在点M左边时，根据对称性，若，则
故答案为：或
【分析】（1）根据抛物线与y轴交点坐标特征可得c=2，再根据待定系数法将点A，B坐标代入表达式即可求出答案.
（2）根据抛物线上点的位置关系即可求出答案.
24．已知抛物线y＝x2+（2m+3）x+n（m，n为常数）过点（1，5）．
（1）若该抛物线与y轴交于点（0，﹣1）．
①求该抛物线的解析式；
②已知A（x1，y1），B（2，y2）在该抛物线上，若对于3t﹣1＜x1＜3t+2，都有y1＞y2，求t的取值范围；
（2）若对于任意实数x，都有x2+（2m+3）x+n≥3x+2，此时抛物线y＝x2+（2m+3）x+n与直线y＝4交于M，N两点，求MN的长．
【答案】（1）解：①∵抛物线y＝x2+（2m+3）x+n过点（1，5）和（0，﹣1），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2+5x﹣1；
②抛物线y＝x2+5x﹣1的对称轴为x，
B（2，y2）关于对称轴的对称点B'（﹣7，y2），
∵对于3t﹣1＜x1＜3t+2，都有y1＞y2，
∴由图象性质得3t+2≤﹣7或3t﹣1≥2，
解得t≤﹣3或t≥1；
（2）解：∵抛物线y＝x2+（2m+3）x+n过点（1，5），
∴1+2m+3+n＝5，
则n＝1﹣2m，
∵对于任意实数x，都有x2+（2m+3）x+n≥3x+2，
∴x2+2mx﹣1﹣2m≥0对任意实数x都成立，
∴Δ＝4m2﹣4（﹣1﹣2m）≤0，
（m+1）2≤0，
∴m＝﹣1，
∴抛物线解析式为y＝x2+x+3，
联立抛物线y＝x2+x+3与直线y＝4，
得x2+x+3＝4，
解得，
∴交点M，N的横坐标分别为和，
∴MN．
【解析】【分析】（1）①根据待定系数法将点（1，5）和（0，﹣1）代入抛物线解析式即可求出答案.
②根据抛物线对称性质可得B（2，y2）关于对称轴的对称点B'（﹣7，y2），再根据二次函数性质即可求出答案.
（2）将点（1，5）代入抛物线可得n＝1﹣2m，由题意可得x2+2mx﹣1﹣2m≥0对任意实数x都成立，可得对应方程有一个解或者无解，则判别式，解不等式可得m＝﹣1，则抛物线解析式为y＝x2+x+3，再联立联立抛物线y＝x2+x+3与直线y＝4，可得得x2+x+3＝4，解方程可得交点M，N的横坐标，再根据两点间距离即可求出答案.
25．已知抛物线与轴交于点，顶点为，与直线交于，两点，其中点坐标为．
（1）求抛物线和直线解析式；
（2）直接写出抛物线关于对称的抛物线的解析式；
（3）求的面积．
【答案】（1）解：抛物线过、两点
代入抛物线解析式可得：，
解得：，
抛物线解析式为；
直线过点，
，
，
直线为，
（2）解：，
抛物线的顶点，
顶点关于直线的对应点的坐标为，
抛物线关于对称的抛物线的解析式为，
（3）解：由，解得或，
，
抛物线的顶点，
把代入，得，
的面积．
【解析】【分析】⑴、待定系数法求二次函数和一次函数解析式，把已知的点A和点C的坐标代入抛物线解析式，得b和c的二元一次方程组，解方程组求得b和c的值，求得二次函数解析式；把点A的坐标代入一次函数解析式，得k的一元一次方程，解方程求得k的值，进而求得一次函数解析式。
⑵、由对称可知两抛物线形状大小完全相同，改变的只是位置，故只要确定已知抛物线顶点关于对称轴直线x=-1的对称点即可，然后再写出对称的抛物线解析式（顶点式）即可。
⑶、求三角形ABT面积，先观察三角形形状特点；已知点A和T的坐标，缺点B坐标，所以先求点B的坐标，可知三角形ABT三边都和坐标轴不平行，故利用割补法求面积，过点T作x轴垂线交AB于点D，可求DT长，这时三角形ABT的面积就是DT和A、B两点水平距离积的一半。
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