3.1代数式（同步练习·含解析）初中数学北师大版2024

3.1代数式（同步练习）
初中数学北师大版2024
一、单选题
1．（22-23七年级上·全国·期中）下列各式中，代数式的个数是（　　）
①；②；③；④a；⑤0；⑥．
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
2．（2024·湖北宜昌·模拟预测）某会议参会人数准确数为人，新闻报道参会人数约为百人，下列说法正确的是（ ）
A．人数统计精确到百位 B．人数统计精确到十位
C．人数统计精确到个位 D．人数统计精确到十分位
3．（24-25七年级上·全国·课后作业）在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁四位同学分别做了一道有理数的混合运算，你认为做对的同学是（ ）
甲：；
乙：；
丙：；
丁：．
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
4．（23-24七年级上·全国·课后作业）下列计算正确的是（）
A． B．
C． D．
5．（23-24七年级上·全国·课后作业）求的值，可令，则，因此，．参照以上推理，计算的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（22-23六年级上·山东东营·期中）如果按照如图所示的按键顺序操作，那么最后的结果为( )
A．32 B． C．48 D．
7．（24-25七年级上·广东广州·期中）已知为有理数，若多项式是三次三项式，则该多项式的常数项为（ ）
A．或 B． C． D．
8．（23-24七年级上·北京海淀·期中）对于多项式，下列说法正确的是（ ）
A．二次项系数是 B．常数项是 C．次数是 D．项数是
9．（21-22七年级上·江苏扬州·期中）已知有理数．我们把称为的差倒数，如的差倒数是，的差倒数是，若，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，，依次类推，那么的和是 （ ）
A． B． C． D．
10．（24-25七年级上·浙江湖州·期末）某次社团活动中的有奖竞猜游戏共有4道单选题，分别有、、、四个选项，每道题10分，满分40分，答对得10分，答错得0分．甲、乙、丙、丁四名同学的解答及得分情况如表所示，已知乙同学答对了一半以上，则的值为（ ）
题号学生 1 2 3 4 得分
甲
乙
丙
丁
A．50 B．40 C．30 D．20
二、填空题
11．（24-25七年级上·全国·期末）当，时，代数式的值为 ．
12．（2025·吉林·二模）某停车场为小时营业，其收费方式如下表所示．已知某辆车某日进入该停车场，停了小时为正整数），若该辆车于当日间离场，则此次停车的费用为 元．（用含有的代数式表示）
停车时长 收费标准
不超过3小时的部分 5元/小时
超过3小时的部分 3元/小时
13．（24-25七年级上·全国·课后作业）已知，，，且，那么 ．
14．（23-24七年级上·上海嘉定·阶段练习）通过探究，小明总结得出：当为正整数时，，那么根据这一结论，请计算 ．
15．（24-25七年级上·江西赣州·月考）若多项式 是关于x的三次多项式，则多项式的值为 ．
三、解答题
16．（20-21七年级上·江西南昌·期末）计算：．
17．（23-24八年级下·云南昭通·阶段练习）为了创建全国卫生城市，昭阳区某学校组织全校师生到广场开展创文创卫主题活动．该学校共有师生456人．学校租用甲、乙两种型号的大客车共12辆，刚好每辆客车都坐满．甲、乙两种大客车的载客量和租金如下表所示：
甲种客车 乙种客车
载客量/（人/辆） 30 42
租金/（元/辆） 300 400
(1)这次活动租用甲、乙两种大客车各多少辆？
(2)若活动结束后，该校师生同样乘坐这些客车返回学校，这次活动的租车费用一共是多少元？
18．（25-26八年级上·全国·随堂练习）观察下面的一行单项式：，
(1)从第二个单项式开始，计算每个单项式与它前一个单项式的商，你有什么发现？
(2)试写出第八个单项式，第个单项式．
19．（24-25七年级上·全国·课后作业）三个植树队，第一小队种树棵（为正偶数），第二小队种的树比第一小队种的树的3倍多8棵，第三小队种的树比第一小队的一半多6棵，三个队一共种了多少棵？当时，共种树多少棵？
20．（23-24七年级上·广东深圳·期中）综合与实践：
【阅读材料】定义“*”运算：
；
；
；
；
；
．
(1)【发现】归纳*运算的法则
两数进行*运算时， ．（文字语言或符号语言均可）特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算， ；
(2)【实践】计算：________．
(3)【提升】是否存在有理数m，n，使得，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由．
参考答案
1．B
【分析】本题考查了代数式的定义．根据代数式的定义判断各项即可．
【详解】解：①；②；③；④a；⑤0；⑥中代数式是：①；④a；⑤0；⑥，共4个．
故选：B．
2．A
【分析】本题考查了近似数，熟练掌握近似数精确到哪一位是解题的关键，近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位．
运用近似数概念的定义解答即可．
【详解】解：∵报道参会人数约为百人，末位数字为，
∴在人中，在百位上，则精确到了百位，
故选：．
3．C
【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据有理数的混合运算法则计算并判断即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
【详解】解：，故甲计算错误；
，故乙计算错误；
，故丙计算正确；
，故丁计算错误，
故选：C．
4．D
【分析】分别根据有理数的运算法则计算后判断即可.
【详解】A.，计算错误；
B.，计算错误；
C.，计算错误；
D.，计算正确；
故选D.
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键.
5．C
【分析】设，然后可以得到，再作差变形，即可求得所求式子的值．
【详解】解：设，
则，
，
，
，
即的值为．
故选：C．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是找出其中的规律，利用错位相减求解．
6．B
【分析】本题考查了科学计算器，熟练掌握科学计算器使用原理方法，是解题的关键，
此按键顺序是使计算器先自动计算立方，再计算乘除，
【详解】解：根据按键顺序可得算式为：．
故选：B．
7．B
【分析】本题考查了多项式的次数和项数定义，根据三次三项式的定义，多项式需满足最高次数为3且共有三个项。通过分析各项的次数及存在性，确定有理数m的值，进而求出常数项．
【详解】解：∵多项式是三次三项式，
∴且，
∴且，
解得：．
∴该多项式的常数项为．
故选：B．
8．C
【分析】根据多项式的项和次数的定义，确定各个项和各个项的系数即可．
【详解】解：、中二次项为，其系数为，此选项判断错误，不符合题意；
、中常数项是，此选项判断错误，不符合题意；
、中次数是，此选项判断正确，符合题意；
、是三次三项式，项数是，选项判断错误，不符合题意；
故选：．
【点睛】此题考查了多项式，解题的关键是正确理解多项式的有关概念．
9．B
【分析】本题考查了有理数的加法运算和除法运算，根据定义计算出的值，即可得到，再根据该规律计算即可求解，由题意找到有理数的变化规律是解题的关键．
【详解】解：，
，
，
，
，
∴，
∵，
∴，
故选：．
10．B
【分析】本题主要考查了逻辑推理，有理数加减运算，根据乙同学答对了一半以上，得出乙同学至少答对了3道题，即，求出，然后根据四个同学的答案，进行推理，得出答案即可．
【详解】解：∵乙同学答对了一半以上，
∴乙同学至少答对了3道题，
∴，
∴，
∴甲、丙至少答对了2道题，
假设乙同学第3题答错，则另外3题都答对，而甲、丙的答案中另外3题答案都与乙不同，因此甲、丙一道题也没有答对，即，不符合题意；
∴第3题的答案一定是B，
假设乙同学4道题都答对，则甲、丙最多答对1道题，即，不符合题意；
∴乙同学答对了3道题，
假设第1题甲答对，乙答错，丙也答错了，则丙只答对了1道题，不符合题意；
假设第4题甲答对，乙答错，丙也答错了，则丙只答对了1道题，不符合题意；
假设第1题丙答对，乙答错，甲也答错了，则甲只答对了1道题，不符合题意；
假设第4题丙答对，乙答错，甲也答错了，则甲只答对了1道题，不符合题意；
假设第2题甲答对，乙答错，丙也答对了，则甲丙都答对了2道题，符合题意；
∴第1，4两个题甲、丙都答错，第2题甲、丙都答对了，乙答错了，即乙答对了另外3个题，
∴第1题答案为D，第2题答案为C，第3题答案为B，第4题答案为A，
∴甲、丙、丁都答对了2题，即，，
∴．
故选：B．
11．
【分析】本题考查了代数式求值，准确计算是解题的关键．把、的值代入代数式进行计算即可得解．
【详解】解∶将，代入得：
．
故答案为：34．
12．
【分析】本题考查了分段收费问题，正确理解分段收费的意义是解题的关键．先计算停车的时间的取值范围，后根据收费标准，列代数式即可．
【详解】解：根据题意，某辆车某日进入该停车场，停了小时为正整数），若该辆车于当日的间离场，
停车时长的范围是（小时），（小时），
停了小时，超过了3小时，
故收费为元，
故答案为：．
13．0或4
【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，代数式求值，先求出绝对值，根据可得出，，，然后分情况代入代数式求值即可．
【详解】解：∵，，，且，
∴，，，
当时，；
当时，．
故答案为：0或4．
14．
【分析】本题考查了数字类规律探索，理解题意，按照结论计算是解题关键．首先根据题意可得，然后由求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴，
∴．
故答案为：．
15．3或5
【分析】本题考查多项式次数及系数，已知字母的值求代数式的值等．由题意得分两种情况讨论，当时和时，使得多项式是三次多项式求出的值，代入中即可得到本题答案．
【详解】解：∵多项式 是关于x的三次多项式，
当时，即，此时时满足式子为三次多项式，即，
∴，
当时，即，此时时满足式子为三次多项式，即，
∴，
故答案为：3或5．
16．
【分析】本题考查有理数的混合运算．熟练掌握有理数的运算法则，正确的进行计算，是解题的关键．
先进行乘方运算，再进行乘除运算，最后进行加法运算．
【详解】解：原式
．
17．(1)租用4辆甲型大客车和8辆乙型大客车
(2)这次活动的租车费用为8800元
【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，有理数混合运算的实际应用．理解题意，找出等量关系，列出等式是解题关键．
（1）设租用甲型大客车x辆，则租用乙型大客车辆，根据题意可列出关于x的一元一次方程，求解即可解答；
（2）根据题意结合（1）列出算式求解即可．
【详解】（1）解：设租用甲型大客车x辆，则租用乙型大客车辆，
根据题意得：，
解得：，
（辆）．
答：租用4辆甲型大客车和8辆乙型大客车；
（2）解：（元）．
答：这次活动的租车费用一共是8800元．
18．(1)从第二个单项式开始，每个单项式与前一个单项式的商都是．
(2)第八个单项式是，第个单项式为．
【分析】本题考查了单项式的运算和单项式的规律知识，掌握以上知识是解答本题的关键；
本题根据单项式的运算和单项式的规律知识，进行作答，即可求解；
【详解】（1）解：，，，
∴从第二个单项式开始，每个单项式与前一个单项式的商都是．
（2）解：第一个单项式是：
第二个单项式是：
第三个单项式是：
第四个单项式是：
第五个单项式是：
第六个单项式是：
第七个单项式是：
第八个单项式是：
第个单项式是：，
∴第八个单项式是，第个单项式为．
19．三个队共种了棵，当时，共种树23棵
【分析】本题考查了列代数式和代数式求值，根据题意分别表示出第二小队与第三小队种树的数量，再相加即可得出结果．
【详解】解：根据题意得，，
三个队一共种了棵，
当时，（棵），
共种树23棵．
20．(1)同号得正，异号得负，并把两数的平方相加；等于这个数的平方；
(2)17
(3)存在，，使得，
【分析】此题主要考查了定义新运算，以及有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算，注意加法运算定律的应用．
（1）首先根据运算的运算法则进行运算的算式，归纳出运算的运算法则即可；然后根据：；，可得：0和任何数进行
运算，或任何数和0进行运算，等于这个数的平方．
（2）根据（1）中总结出的运算的运算法则，以及有理数的混合运算的运算方法，求出的值是多少即可．
（3）加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的运算中还适用，并举例验证加法交换律适用即可．
【详解】（1）解：归纳运算的法则：两数进行运算时，同号得正，异号得负，并把两数的平方相加．特别地，0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算，等于这个数的平方．
故答案为：同号得正，异号得负，并把两数的平方相加；等于这个数的平方；
（2）
．
故答案为：17
（3）存在，
，
，，
解得，，
∴存在，，使得，