3.3探索与表达规律（同步练习·含解析）初中数学北师大版2024

3.3探索与表达规律（同步练习）
初中数学北师大版2024
一、单选题
1．下列说法正确的是（ ）
A．近似数60000精确到十分位 B．近似数19.04精确到百分位
C．近似数10.0精确到个位 D．近似数100.170精确到0.01
2．用计算器计算 ，按键的顺序为（ ）
A．12 ab c1 ab c B．124 ab c1 ab c
C．12 x ab c1 ab c D．124 x ab c1 ab c
3．下列用四舍五入法得到的近似数，描述错误的是（ ）
A．100.17（精确到百分位） B．0.185（精确到千分位）
C．960万（精确到个位） D．42.3万（精确到千位）
4．“五月天山雪，无花只有寒”，反映出地形对气温的影响．海拔每升高100米，气温约下降．有一座海拔为2850米的山，在这座山上海拔为350米的地方测得气温是，则此时山顶的气温约为（ ）
A． B． C． D．
5．观察图形，s表示每个点阵中的点的个数，按照图形中的点的个数变化规律，猜想第7个点阵中的点的个数为（ ）
A． B． C． D．
6．下列说法正确的是（ ）
A．的倒数是
B．若，则
C．几个数相乘，当负乘数个数为奇数时，积为负，当负乘数个数为偶数时，积为正
D．数a的近似数为，那么a的真实值的范围是
7．设表示一个两位数，研究的规律，已知：，，则可表示为（ ）
A． B． C． D．
8．下列图案是用埃舍尔风格画的鸽子，图有只鸽子，图有只鸽子，图有只鸽子，按照这样画下去，则图鸽子的只数为（ ）
A． B． C． D．
9．如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x的值为2，结果输出的是1，返回进行第二次运算则输出的是，…，则第2024次输出的结果是（ ）
A． B． C． D．
10．观察下列等式：
；
；
；
……
根据以上规律计算的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．地球绕太阳运行的轨道是略扁的椭圆形，太阳位于椭圆形的一个焦点上，这样地球离太阳有时会近些，有时会远些．离太阳最远的一点叫做“远日点”，距太阳约一亿五千二百零九万七千七百零一千米，横线上的数写作 千米，省略“万”后面的尾数约是 万千米．
12．计算 ．
13．下列叙述中的各数， 是近似数； 是准确数．（只填序号）
①小琳称得体重为；②现在的气温是；③七年级二班领到数学教材48本；④某汽车厂2016年生产汽车54500辆．
14．用等边三角形、正方形和正六边形按如图所示的规律拼图案，即从第二个图案开始，每个图案中正三角形的个数都比上一个图案中正三角形的个数多4个．则第n个图案中正三角形的个数为 （用含n的代数式表示）．
15．规定：一个四位正整数的各个数位上的数字均不为0且互不相同，并满足百位数字比千位数字大3，十位数字是个位数字的2倍，则称这个四位数为“三心二意数”．若将的千位数字与百位数字组成的两位数记为，将的十位数字与个位数字组成的两位数记为，例如：当时，为69，为21．记，若一个“三心二意数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为．当为整数时，则 ；且为完全平方数，则满足条件的正整数为 ．
三、解答题
16．老师设计了接力游戏．用合作的方式完成有理数运算，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示：
(1)接力中，计算错误的学生有 ；
(2)请给出正确的计算过程．
17．用火柴棒按图中的方式搭图形．
图形标号 ① ② ③ ④ ⑤
火柴棒根数 6 11 16
按上述信息填空：
(1)________，________；
(2)按照这种方式搭下去，则搭第个图形需要火柴棒的根数为________；（用含的代数式来表示）；
(3)按照这种方式搭下去，用（2）中的代数式求第2024个图形需要的火柴棒根数．
18．阅读、理解和探索：
(1)观察下列各式：①；②；③；…
用你发现的规律写出：第 个式子是______；
(2)利用（1）中的规律，计算：______；
(3)应用以上规律：化简：．
(4)观察按规律排列的一组数：，，，…，猜想第n个数（用含n的式子表达），将猜想的结果填入下式的横线上， ______，并把这个式子化简．
19．仔细阅读下面的材料，计算：
分析：利用通分计算的结果很麻烦，可以采用以下方法进行计算；
解：原式的倒数是：
故原式．
请你根据对所提供材料的理解，选择合适的方法计算：．
20．观察下列式子：
，，，，，
(1)请你依照上述规律，写出第个式子：___________；
(2)请写出第个式子：___________；
(3)计算：．
参考答案
1．B
【知识点】求近似数的精确度
【分析】本题考查指出近似数的精确数位．根据近似数的精确方法，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、近似数60000精确到个位，选项错误；
B、近似数19.04精确到百分位，选项正确；
C、近似数10.0精确到十分位，选项错误；
D、近似数100.170精确到0.001，选项错误；
故选B．
2．A
【知识点】计算器——有理数
【分析】根据计算器的按键规则即可求解．
【详解】解：对应的按键顺序为：12，，4
对应的按键顺序为：1，
故正确的按键顺序为A
故选：A
【点睛】本题考查计算器使用．掌握相关规则即可．
3．C
【知识点】求近似数的精确度
【分析】本题考查了近似数的精确度：经过四舍五入得到的数称为近似数，末位数字在哪个数位上，就是精确到什么位．根据近似数的精确度的定义，逐一判断选项，即可．
【详解】解：A、100.17（精确到百分位），故原说法正确，该选项不符合题意；
B、0.185（精确到千分位），故原说法正确，该选项不符合题意；
C、960万（精确到万位），故原说法错误，该选项符合题意；
D、42.3万（精确到千位），故原说法正确，该选项不符合题意;
故选：C．
4．A
【知识点】有理数四则混合运算的实际应用
【分析】本题考查了有理数运算的应用，正确理解题意、列出算式是解题的关键．
根据：每升高100米，气温约下降列出算式解答即可．
【详解】解：由题意得：
，
故选：A．
5．C
【知识点】用代数式表示数、图形的规律、图形类规律探索
【分析】本题考查数字规律探索，找到规律是解决问题的关键．根据所给的数据，不难发现：第一个数是1，后边是依次加4，则第个点阵中的点的个数是，将代入即可求解．
【详解】解：第1个点阵中的点的个数，
第2个点阵中的点的个数，
第3个点阵中的点的个数，
第4个点阵中的点的个数，
第个点阵中的点的个数是，
第7个点阵中的点的个数为．
故选：C．
6．B
【知识点】近似数推断取值范围、多个有理数的乘法运算、倒数、绝对值的几何意义
【分析】本题考查了倒数的定义，绝对值的化简，有理数的乘法法则，近似数，根据倒数的定义，绝对值的性质，有理数的乘法法则，近似数对各项判断即可．
【详解】解：A、非0有理数的倒数是，故原说法错误，不符合题意；
B、若，则，正确，符合题意；
C、几个不为0的数相乘，当负乘数个数为奇数时，积为负，当负乘数个数为偶数时，积为正，故原说法错误，不符合题意；
D、数a的近似数为，那么a的真实值的范围是，故原说法错误，不符合题意；
故选：B．
7．D
【知识点】列代数式、数字类规律探索
【分析】本题考查了列代数式，根据题意列出代数式是解题的关键．
根据题意，用包含的式子表示即可．
【详解】解：∵，，
∴，
故选：D．
8．D
【知识点】图形类规律探索
【分析】本题考查了图形的变化规律，根据题意可得图鸽子的只数为（只），图鸽子的只数为（只），图鸽子的只数为（只），根据规律即可求出图鸽子的只数，仔细的观察图形并正确的找到规律是解题的关键．
【详解】解：图鸽子的只数为（只），
图鸽子的只数为（只），
图鸽子的只数为（只），
；
按照这样画下去，则图鸽子的只数为（只），
故选：．
9．B
【知识点】有理数四则混合运算、程序流程图与有理数计算、数字类规律探索
【分析】本题考查了程序图与有理数计算的规律性问题，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
先根据数据运算程序计算出前8次的输出结果，再归纳类推出一般规律，由此即可得．
【详解】解：第1次：；
第2次：；
第3次：；
第4次：；
第5次：；
第6次：；
第7次：；
第8次：；
……
∴从第2次开始，每6次一个循环周期，
∴，
∴第2024次输出的结果是，
故选：B．
10．C
【知识点】数字类规律探索
【分析】本题考查数字的变化规律，题目中的等式表明，，即多项式求和可转化为除以．将题目中的求和式 与上述规律关联，通过添加并减去常数项1，构造符合规律的形式．直接应用公式验证结果，确保答案正确性．
解题的关键是根据题意找出规律．
【详解】解：当时，有，
左边可化简为：．
因此，．
题目要求的和为，即缺少常数项1．
因此：．
将1通分后合并：．
故选：C．
11．
【知识点】求一个数的近似数
【分析】本题考查整数的写法，求近似数，解题的关键是熟练掌握整数的写法，会四舍五入求近似数．
根据整数的写法，即可写出这个数，对千位进行四舍五入，后面加“万”即可．
【详解】解：“一亿五千二百零九万七千七百零一”写作，
省略“万”后面的尾数约是万，
故答案为：，．
12．
【知识点】含乘方的有理数混合运算
【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键．
先计算乘方，再计算除法，最后计算加减即可得出答案．
【详解】解：
，
故答案为：．
13． ①② ③④
【知识点】求一个数的近似数
【分析】根据准确数就是真实准确的数，而近似数就是与准确数相接近，通过估计得到的数，然后根据准确数和近似数的定义即可解答本题．
本题考查近似数和有效数字，解答本题的关键是明确题意近似数的定义．
【详解】解：①小琳称得体重为，38是近似数；
②现在的气温是，是近似数；
③七年级二班领到数学教材48本，48是准确数；
④某汽车厂年生产汽车辆，是准确数．
故答案为：①②；③④．
14．
【知识点】图形类规律探索
【分析】本题考查了图形变化规律，解题的关键是找出图案序号与正三角形个数之间的数量关系；
分析前面几个图形的规律可知：每个图案中正三角形的个数都比上一个图案中正三角形的个数多4个，由此即可求解．
【详解】解：第一个图案正三角形个数为6个；
第二个图案正三角形个数为个；
第三个图案正三角形个数为个；
…；
第n个图案正三角形个数为：个．
故答案为：．
15． 7 5842
【知识点】有理数四则混合运算、列代数式、数字类规律探索、整式加减的应用
【分析】根据百位数字比千位数字大3，十位数字是个位数字的2倍，可得，，所以有，，且、均为整数，所以可得：，根据能被整除的数的个位是或，可知的个位数为或，又因为四位正整数的各个数位上的数字均不为且互不相同，所以可知的个位数为；
把整理可得：，根据能被整除的数的个位数是或，可知的个位数是，又因为的值为、、、，的值为、、、、、，又因为为完全平方数，所以只有当、时满足条件，求出此时的即可．
【详解】解：的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，
，，
则有，，且、均为整数，
，，
，
为整数，
的个位数为或，
的个位数为或，
或，
四位正整数的各个数位上的数字均不为且互不相同，
的个位数为，
；
解： 为完全平方数，
整理得：，
的个位数是或，
的个位数是，
的值为、、、，的值为、、、、、，且a与d不相同
当，时，，
是完全平方数，
符合题意；
此时，，
；
符合条件的有，
故答案为： ；．
【点睛】本题考查了新定义计算、有理数的运算、列代数式、整式的加减运算、完全平方数，解决本题的关键是百位数字比千位数字大3，十位数字是个位数字的2倍，可得，，列出关于、的代数式．
16．(1)佳佳，昊昊
(2)见解析
【知识点】含乘方的有理数混合运算、有理数四则混合运算
【分析】（1）根据，的运算，即可求解；
（2）根据含有乘方的有理数的运算即可求解．
【详解】（1）解：根据，可知佳佳算错了，根据，可知昊昊算错了，
故答案为：佳佳，昊昊．
（2）解：
．
【点睛】本题主要考查含有乘方的有理数的运算，掌握乘方的奇负偶正的运算方法，有理数的混合运算法则是解题的关键．
17．(1)21，26
(2)
(3)10121
【知识点】图形类规律探索、已知字母的值 ，求代数式的值、用代数式表示数、图形的规律、列代数式
【分析】本题主要考查了图形变化的规律及列代数式，能根据所给图形发现所需火柴棒的根数依次增加5是解题的关键．
（1）根据所给图形，依次求出所需火柴棒的根数，发现规律即可解决问题．
（2）根据（1）中发现的规律即可解决问题．
（3）结合（2）中发现的结论即可解决问题．
【详解】（1）解：由所给图形可知，
搭第1个图形，需要的火柴棒的根数为：；
搭第2个图形，需要的火柴棒的根数为：；
搭第3个图形，需要的火柴棒的根数为：；
…，
搭第个图形，需要的火柴棒的根数为（）根．
当时，；
当时，；
故答案为：21，26；
（2）解：由（1）知，
搭第个图形，需要的火柴棒的根数为（）根，
故答案为：；
（3）解：当时，（根），
第2024个图形需要的火柴棒根数为10121根．
18．(1)
(2)
(3)
(4)，
【知识点】数字类规律探索、有理数四则混合运算
【分析】本题考查规律探索问题，
（1）根据观察得到的规律求解即可；
（2）利用（1）中的规律求解即可；
（3）利用（1）中的规律求解即可；
（4）首先得到第1个数为，第2个数为，第3个数为，然后总结出规律得到第n个数为，进而变形求解即可．
结合已知条件总结出规律：，是解题的关键．
【详解】（1）观察下列各式：①；②；③；…
用你发现的规律写出：第 个式子是；
（2）
；
（3）
；
（4）第1个数为；
第2个数为；
第3个数为；
…
∴第n个数为；
∴
．
19．
【知识点】有理数四则混合运算、有理数乘法运算律、倒数
【分析】本题考查了有理数的混合运算，倒数的定义，仿照阅读材料，先求式子的倒数，再利用分配律进行计算即可．
【详解】解：原式的倒数是：
，
故原式．
20．(1)
(2)
(3)
【知识点】含乘方的有理数混合运算、数字类规律探索
【分析】（）根据题目中的等式，可以写出第个式子即可；
（）根据题目中的等式的特点，可以写出第个式子；
（）将所求式子变形，再利用规律运算，然后拆项，即可计算出所求式子的值．
本题考查了数字的变化规律，有理数的混合运算，正确得出规律是解题的关键．
【详解】（1）解：依照上述规律，第个式子为，
故答案为：；
（2）解：∵第式子为，
第式子为，
第式子为，
第式子为，
，
∴第个式子为，
故答案为：；
（3）解：原式
．