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第二十六章 反比例函数 单元全优达标测评卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在反比例函数 图象的每一支曲线上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是（ ）
A．k＜0 B．k＞0 C．k＜﹣2 D．k＞﹣2
2．下列函数中，表示是的反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，点A在双曲线y= 上，点B在双曲线y= （k≠0）上，AB∥x轴，过点A作AD⊥x轴于D．连接OB，与AD相交于点C，若AC=2CD，则k的值为（ ）
A．6 B．9 C．10 D．12
4．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为2，点B的横坐标为，则不等式的解集是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．
5．已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)是反比例函数y= 的图象上的两点，若x1<0A．y1<06．如图，函数. y=kx+b(k≠0)与的图象相交于 A(-2，3)，B两点，则不等式 的解为（ ）
A．x>-2 B．-21
C．x>1 D．x<-2或07．已知近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间成如图所示的反比例函数关系，则眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数解析式为（ ）
A．y＝200x B．y＝ C．y＝100x D．y＝
8．已知点，两点在反比例函数的图象上．则下列判断正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则可能小于0也可能大于0
C．若，点，在同一象限，则
D．若，点，在不同象限，则
9．若是反比例函数，则m=（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．将反比例函数y＝的图象绕坐标原点O逆时针旋转30°，得到如图的新曲线A（-3，3），B（，）的直线相交于点C、D，则△OCD的面积为（ ）
A．3 B．8 C．2 D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知点，点都在反比例函数的图象上，过点分别作两坐标轴的垂线，两垂线与两坐标轴围成的矩形面积为 .
12．已知反比例函数（k≠0）与正比例函数y＝2x的图象交于点P（1，－m）．则反比例函数的表达式为 ．
13．如图，直线y=x+m与双曲线y= 相交于A，B两点，BC∥x轴，AC∥y轴，则△ABC面积的最小值为 ．
14．如图，是等腰直角三角形，直角顶点与坐标原点重合，若点B在反比例函数的图象上，则经过点A的反比例函数表达式为 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，过点M(－3，2)分别作x轴、y轴的垂线与反比例函数y＝ 的图象交于A，B两点，则四边形MAOB的面积为 ．
16．如图， 在矩形 和正方形 中， 点 在 轴正半轴上， 点 均在 轴正半轴上， 点 在边 上， ， ． 若点 在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式是 .
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．方方驾驶小汽车匀速地从A地行驶到B地，行驶里程为480km，设小汽车的行驶时间为t(h)，行驶速度为v(km/h)，且全程速度限定为不超过120km/h.
（1）求v关于t的函数表达式.
（2）方方上午8点驾驶小汽车从A地出发，
①方方需在当天12点48分至14点(含12点48分和14点)间到达B地，求小汽车行驶速度v的取值范围.
②方方能否在当天11点30分前到达B地 请说明理由.
18．已知y与z成正比例，z与x成反比例.当x=-4时，z=3，y=-4.
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）在平面直角坐标中，y关于x的函数图象上有A，B两点，且点A的横坐标为2，点B的横坐标为4，求OAB的面积.
19．已知y=y1﹣y2，y1与x2成正比例，y2与x+3成反比例，当x=0时，y=2；当x=2时，y=0，求y与x的函数关系式，并指出自变量的取值范围．
20．如图，已知矩形OABC的两边OA、OC分别落在x轴、y轴的正半轴上，顶点B的坐标是（6，4），反比例函数y=（x＞0）的图象经过矩形对角线的交点E，且与BC边交于点D．
（1）①求反比例函数的解析式与点D的坐标；
②直接写出△ODE的面积；
（2）若P是OA上的动点，求使得“PD+PE之和最小”时的直线PE的解析式．
21．已知反比例函数（为常数，）．
（1）若点在这个函数的图象上，求的值；
（2）若，试判断点是否在这个函数的图象上，并说明理由．
22．如图的图像交x轴于点，交反比例函数的图像于点B（1，m）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）点D为反比例函数图象第一象限上B点下方一个动点，过点D作轴交线段AB于点C，连接AD，求的面积的最大值．
23．已知反比例函数的图像经过（-3，2），（m，n）两点.
（1）当时，求n的取值范围.
（2）设一次函数，当时，比较与的大小.
24．我们定义：点P在一次函数上，点Q在反比例函数上，若存在P、Q两点关于y轴对称，我们称二次函数为一次函数和反比例函数的“向光函数”，点P称为“幸福点”．例如：点在上，点在上，P、Q两点关于y轴对称，此时二次函数为一次函数和反比例函数的“向光函数”，点是“幸福点”．
（1）判断一次函数和反比例函数是否存在“向光函数”，若存在，请求出“幸福点”坐标；若不存在，请说明理；
（2）若一次函数与反比例函数只有一个“幸福点”，求其“向光函数”的解析式；
（3）已知一次函数与反比例函数有两个“幸福点”A、B（A在B左侧），其“向光函数”与轴x交于C、D两点（C在D左侧），若有以下条件：
①②“向光函数”经过点，③，记四边形ACBD的面积为S，求的取值范围．
25．如图，直线与反比例函数的图象交于，两点，过点作轴于点，过点作轴于点．
（1）求的值和反比例函数的表达式；
（2）若在线段上存在点，使得，请求出点的坐标；
（3）若点在反比例函数图象上，是第一象限反比例函数图象上一动点，连接分别与轴，轴交于点，，连接分别与轴，轴交于点，，判断的值是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由．
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第二十六章 反比例函数 单元全优达标测评卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在反比例函数 图象的每一支曲线上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是（ ）
A．k＜0 B．k＞0 C．k＜﹣2 D．k＞﹣2
【答案】D
【解析】【解答】解：根据题意得k+2＞0，
解得k＞﹣2.
故答案为：D.
【分析】利用反比例函数的性质得到k+2＞0，然后解不等式即可.
2．下列函数中，表示是的反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：
A：，不是反比例函数；
B：，不是反比例函数；
C：，不是反比例函数；
D：，是反比例函数；
故选：D．
【分析】
根据反比例函数定义“形如的函数是反比例函数”逐项判断即可．
3．如图，点A在双曲线y= 上，点B在双曲线y= （k≠0）上，AB∥x轴，过点A作AD⊥x轴于D．连接OB，与AD相交于点C，若AC=2CD，则k的值为（ ）
A．6 B．9 C．10 D．12
【答案】B
【解析】【解答】解：过点B作BE⊥x轴于E，延长线段BA，交y轴于F，
∵AB∥x轴，
∴AF⊥y轴，
∴四边形AFOD是矩形，四边形OEBF是矩形，
∴AF=OD，BF=OE，
∴AB=DE，
∵点A在双曲线y= 上，
∴S矩形AFOD=3，
同理S矩形OEBF=k，
∵AB∥OD，
∴ = = ，
∴AB=2OD，
∴DE=2OD，
∴S矩形OEBF=3S矩形AFOD=9，
∴k=9，
故答案为：B．
【分析】过点B作BE⊥x轴于E，延长线段BA，交y轴于F，得出四边形AFOD是矩形，四边形OEBF是矩形，得出S矩形AFOD=3，S矩形OEBF=k，根据平行线分线段成比例定理证得AB=2OD，即OE=3OD，即可求得矩形OEBF的面积，根据反比例函数系数k的几何意义即可求得k的值．
4．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为2，点B的横坐标为，则不等式的解集是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．
【答案】A
【解析】【解答】解：由题意得不等式的解集即为一次函数图象在反比例函数图象下方时自变量的取值范围，
∴不等式的解集为或，
故答案为：A．
【分析】借助图象得到一次函数图象在反比例函数图象下方时自变量x的取值范围即可解题．
5．已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)是反比例函数y= 的图象上的两点，若x1<0A．y1<0【答案】A
【解析】【解答】解：∵A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数y= 的图象上，x1＜0＜x2，
∴y1＜0，y2＞0，
∴y1＜0＜y2，
故答案为：A．
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征进行解答即可.
6．如图，函数. y=kx+b(k≠0)与的图象相交于 A(-2，3)，B两点，则不等式 的解为（ ）
A．x>-2 B．-21
C．x>1 D．x<-2或0【答案】D
【解析】【解答】 由题意可得，函数的图象过点 A(-2，3) ，将点A代入可得 ，∴ m=-6，即.
由图像可知点B的横坐标为1，点B在函数上，
∴，点B坐标为（1，-6）.
又∵不等式的解相当于一次函数在反比例函数的上侧的自变量x取值范围，
∴不等式的解为 x<-2或0故答案为：D.
【分析】根据图像经过点A，先求出未知数m，再根据图象经过点B，求出点B的坐标；结合函数图象，求出一次函数在反比例函数的上侧的自变量x取值范围即可.
7．已知近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间成如图所示的反比例函数关系，则眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数解析式为（ ）
A．y＝200x B．y＝ C．y＝100x D．y＝
【答案】D
【解析】【解答】解：∵近视镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）成反比例，
∴设y＝ （k≠0），
∵200度近视镜的焦距为0.5m，
∴当x＝0.5时，y＝200，
∴k＝xy＝0.5×200＝100.
∴眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数关系式为y＝ .
故答案为：D.
【分析】首先由题中给出y与x成反比例写出反比例函数函数解析式的一般形式y＝ ；把当x＝0.5，y＝200，代入函数解析式中，得到关于待定系数的方程；解方程求出待定系数的值，从而得到函数解析式.
8．已知点，两点在反比例函数的图象上．则下列判断正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则可能小于0也可能大于0
C．若，点，在同一象限，则
D．若，点，在不同象限，则
【答案】B
【解析】【解答】A、若，则随的增大而减小，的值不确定，
∴无法判断，
∴此选项不符合题意；
B．若，点，两点可以在同一象限，也可以不在同一象限，
∴可能小于0也可能大于0，
∴此选项符合题意；
C．若，点，在同一象限，则随的增大而减小，
∴，
∴此选项不符合题意；
D．若，点，在不同象限，
∴，
∴此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据反比例函数的性质"当时，反比例函数的图象在每一个象限，y随x的增大而减小；当时，反比例函数的图象在每一个象限，y随x的增大而减小"；判断反比例函数的增减性，确定的取值范围，即可求解；
9．若是反比例函数，则m=（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】【解答】依题意有2-m=-1，所以m=3．故选：B
【分析】根据反比例函数的定义．即 （k≠0），只需令2-m=-1即可．
10．将反比例函数y＝的图象绕坐标原点O逆时针旋转30°，得到如图的新曲线A（-3，3），B（，）的直线相交于点C、D，则△OCD的面积为（ ）
A．3 B．8 C．2 D．
【答案】A
【解析】【解答】解：连接OA、OB，过点A、B，分别作AM⊥x轴，BN⊥x轴，垂足为M、N，
∵点A（－3，3），B（，），
∵OM＝3，AM＝3，BN＝，ON＝，
∴OA＝＝6，OB＝＝3，
∵tan∠AOM＝＝，
∴∠AOM＝60°，
同理，∠BON＝30°，
因此，旋转前点A所对应的点A′（0，6），点B所对应的点B′（3，0），
设直线A′B′的关系式为y＝kx＋b，故有，，解得，k＝－2，b＝6，
∴直线A′B′的关系式为y＝－2x＋6，
由题意得，，解得，，
因此，点C、D在旋转前对应点的坐标为C′（1，4），D′（2，2），如图2所示，
过点C′、D′，分别作C′P⊥x轴，D′Q⊥x轴，垂足为P、Q，
则，C′P＝4，OP＝1，D′Q＝2，OQ＝2，
∴S△COD＝S△C′OD′＝S梯形C′PQD′＝（2＋4）×（2－1）＝3，
故答案为：A．
【分析】连接OA、OB，过点A、B，分别作AM⊥x轴，BN⊥x轴，垂足为M、N，由A、B的坐标可求出OA，OB的长，利用特殊角三角形函数值求出∠AOM＝60°，∠BON＝30°，进而求出旋转前点A所对应的点A′（0，6），点B所对应的点B′（3，0），再求出直线A′B′的关系式为y＝－2x＋6，联立反比例函数解析式为方程组并解之，即得点C、D在旋转前对应点的坐标为C′（1，4），D′（2，2），过点C′、D′，分别作C′P⊥x轴，D′Q⊥x轴，垂足为P、Q，根据S△COD＝S△C′OD′＝S梯形C′PQD′，利用梯形的面积公式计算即可.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知点，点都在反比例函数的图象上，过点分别作两坐标轴的垂线，两垂线与两坐标轴围成的矩形面积为 .
【答案】6
【解析】【解答】解：∵点P（-3，2）、点Q（2，a）都在反比例函数的图象上，
∴k=-3×2=2×a，
∴k=-6，a=-3，
∵过点Q分别作两坐标轴的垂线，垂线与两坐标轴围成的矩形面积为S，
∴S=|-6|=6．
故答案为：6．
【分析】先求出k=-6，a=-3，再求出S=|-6|=6即可作答。
12．已知反比例函数（k≠0）与正比例函数y＝2x的图象交于点P（1，－m）．则反比例函数的表达式为 ．
【答案】
【解析】【解答】在正比例函数的图象上
解得：
点的坐标为：
将P点的坐标代入反比例函数图象上，得：
解得：
反比例函数表达式为：
故答案为：
【分析】先利用正比例函数的解析式求出m的值，再将点P的坐标代入可得k的值，从而得解。
13．如图，直线y=x+m与双曲线y= 相交于A，B两点，BC∥x轴，AC∥y轴，则△ABC面积的最小值为 ．
【答案】6
【解析】【解答】解：设A（a， ），B（b， ），则C（a， ）．
将y=x+m代入y= ，得x+m= ，
整理，得x2+mx﹣3=0，
则a+b=﹣m，ab=﹣3，
∴（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab=m2+12．
∵S△ABC= AC BC
= （ ﹣ ）（a﹣b）
= （a﹣b）
= （a﹣b）2
= （m2+12）
= m2+6，
∴当m=0时，△ABC的面积有最小值6．
故答案为6．
【分析】设A（a， ），B（b， ），则C（a， ）．将两函数联立方程组，得出x2+mx﹣3=0，求出a+b和ab的值，再用含m的代数式表示出（a﹣b）2，然后利用三角形的面积公式求出s与m的函数解析式，根据二次函数的性质，可求得结果。
14．如图，是等腰直角三角形，直角顶点与坐标原点重合，若点B在反比例函数的图象上，则经过点A的反比例函数表达式为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：如图所示，过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D，
则∠ACO=∠ODB=90°，
由题意得OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠CAO+∠COA=∠AOC+∠BOD=90°，
∴∠CAO=∠DOB，
∴△ACO≌△ODB（AAS），
∴AC=OD，OC=BD，
设点B的坐标为（a，b），则AC=OD=a，OC=BD=b，
∴点A的坐标为（-b，a），
∵点B在反比例函数，
∴，
∴，
∴，
∴经过点A的反比例函数表达式为，
故答案为：．
【分析】过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D，先利用“AAS”证明△ACO≌△ODB可得AC=OD，OC=BD，设点B的坐标为（a，b），则AC=OD=a，OC=BD=b，点A的坐标为（-b，a），将点A的坐标代入解析式可得，即可得到解析式。
15．如图，在平面直角坐标系中，过点M(－3，2)分别作x轴、y轴的垂线与反比例函数y＝ 的图象交于A，B两点，则四边形MAOB的面积为 ．
【答案】10
【解析】【解答】解：如图，
设点A的坐标为（a，b），点B的坐标为（c，d），
∵反比例函数y= 的图象过A，B两点，
∴ab=4，cd=4，
∴S△AOC= |ab|=2，S△BOD= |cd|=2，
∵点M（﹣3，2），
∴S矩形MCDO=3×2=6，
∴四边形MAOB的面积=S△AOC+S△BOD+S矩形MCDO=2+2+6=10，
故答案为：10．
【分析】设点A的坐标为（a，b），点B的坐标为（c，d），根据反比例函数的比例系数K的几何意义知：ab=4，cd=4，从而得出S△AOC= |ab|=2，S△BOD= |cd|=2，根据M点的坐标得出S矩形MCDO=3×2=6，然后利用四边形MAOB的面积=S△AOC+S△BOD+S矩形MCDO算出答案。
16．如图， 在矩形 和正方形 中， 点 在 轴正半轴上， 点 均在 轴正半轴上， 点 在边 上， ， ． 若点 在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式是 .
【答案】
【解析】【解答】解：设反比例函数的解析式为，
∵点B在反比例函数的图像上，AB=3，
∴BC=，
∵BC=2CD，
∴CD=BC=×=，
∵四边形CDEF是正方形，
∴CD=EF=DE=CF=，
∴点E的坐标为（3+，），
又∵点E在反比例函数图像上，
∴k=×（3+），解得k=18或k=0（舍去），
∴这个反比例函数的表达式为.
故答案为：.
【分析】本题考查正方形的性质，矩形的性质，以及求反比例函数的解析式，将反比例函数的解析式设出来，再根据正方形的性质，矩形的性质求出k的值，再求出反比例函数的解析式.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．方方驾驶小汽车匀速地从A地行驶到B地，行驶里程为480km，设小汽车的行驶时间为t(h)，行驶速度为v(km/h)，且全程速度限定为不超过120km/h.
（1）求v关于t的函数表达式.
（2）方方上午8点驾驶小汽车从A地出发，
①方方需在当天12点48分至14点(含12点48分和14点)间到达B地，求小汽车行驶速度v的取值范围.
②方方能否在当天11点30分前到达B地 请说明理由.
【答案】（1）解：∵vt=480，
∴.
（2）解：① 8点至12点48分时间长为小时， 8点至14点时间长为6小时，
把t=6代入得v=80，
把t=代入得v=100，
∴ 小汽车行驶速度v的取值范围80≤v≤100.
②不能.
理由：8点至11点30分时间长为小时，
把t=代入得v=＞120，
∴方方能否在当天11点30分前到达B地 .
【解析】【分析】（1）根据路程=速度×时间进行列式，再变形即可；
（2）①8点至12点48分时间长为小时， 8点至14点时间长为6小时，把t值分别代入中求出v值，继而得解；
②8点至11点30分时间长为小时，将t值代入求出v值再与120km/h比较即可判断.
18．已知y与z成正比例，z与x成反比例.当x=-4时，z=3，y=-4.
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）在平面直角坐标中，y关于x的函数图象上有A，B两点，且点A的横坐标为2，点B的横坐标为4，求OAB的面积.
【答案】（1）解：设，，所以
把，代入得，所以解析式为
（2）解：A(2，8)，B(4，4)
【解析】【分析】(1)先根据z与x的反比例关系求z的表达式，再根据y与z的正比例关系求y的表达式；
(2)结合坐标几何，通过已知横坐标求出点坐标，再利用面积公式计算.
19．已知y=y1﹣y2，y1与x2成正比例，y2与x+3成反比例，当x=0时，y=2；当x=2时，y=0，求y与x的函数关系式，并指出自变量的取值范围．
【答案】解：设y1=k1x2成正比例，y2= ，则y=k1x2﹣ ，根据题意得 ，
解得 ，
所以y=﹣ x2+ ，
指出自变量x的取值范围为x≠﹣3
【解析】【分析】先y1=k1x2成正比例，y2= ，则有y=k1x2﹣ ，再把x=0，y=2；x=3，y=0分别代入得到k1与k2的方程组，然后解方程组即可．
20．如图，已知矩形OABC的两边OA、OC分别落在x轴、y轴的正半轴上，顶点B的坐标是（6，4），反比例函数y=（x＞0）的图象经过矩形对角线的交点E，且与BC边交于点D．
（1）①求反比例函数的解析式与点D的坐标；
②直接写出△ODE的面积；
（2）若P是OA上的动点，求使得“PD+PE之和最小”时的直线PE的解析式．
【答案】解：（1）①连接OB，则O、E、B三点共线．∵B的坐标是（6，4），E是矩形对角线的交点，∴E的坐标是（3，2），∴k=3×2=6，则函数的解析式是y=．当y=4时，x=1.5，即D的坐标是（1.5，4）；②S△OBC=BC OC=×6×4=12，S△OCD=OC CD=×4×1.5=3，S△BDE=×（6﹣1.5）×2=4.5，则S△ODE=S△OBC﹣S△OCD﹣S△BDE=12﹣3﹣3﹣4.5=4.5；（2）作E关于OA轴的对称点E'，则E'的坐标是（3，﹣2）．连接E'D，与x轴交点是P，此时PO+PE最小．设y=mx+n，把E'和D的坐标代入得：，解得：，则直线PE的解析式是y=﹣4x+10．
【解析】【分析】（1）①连接OE，则O、E、三点共线，则E是OB的中点，即可求得E的坐标，利用待定系数法求得函数的解析式，进而求得D的坐标；
②根据S△ODE=S△OBC﹣S△OCD﹣S△BDE即可求解；
（2）作E关于OA轴的对称点E'，则直线DE'就是所求的直线PE，利用待定系数法即可求解．
21．已知反比例函数（为常数，）．
（1）若点在这个函数的图象上，求的值；
（2）若，试判断点是否在这个函数的图象上，并说明理由．
【答案】（1）解：∵点在这个反比例函数的图象上，∴，
解得．
（2）解：∵，∴反比例函数解析式为，
当时，，
∴点在这个函数的图象上．
【解析】【分析】（1）把A（1，-2）代入 反比例函数 中，即可求得k的值；
（2）当k=5时，得出反比例函数解析式为，只需计算出当x=时，y的值是不是等于-8即可得出答案。
（1）解：∵点在这个反比例函数的图象上，
∴，
解得．
（2）解：∵，
∴反比例函数解析式为，
当时，，
∴点在这个函数的图象上．
22．如图的图像交x轴于点，交反比例函数的图像于点B（1，m）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）点D为反比例函数图象第一象限上B点下方一个动点，过点D作轴交线段AB于点C，连接AD，求的面积的最大值．
【答案】（1）解：把点代入，得，
∴一次函数的解析式为，
把点B（1，m）代入，得，
∴点B的坐标为（1，8），
把点B（1，8）代入，得，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：设点C的坐标为，
由于轴，所以点D的纵坐标为，
∴点，
，
∴当时，，
答：的最大值为．
【解析】【分析】（1）先求出点B的坐标，再将点B的坐标代入求出k的值即可；
（2）设点C的坐标为，则，再求出，最后利用二次函数的性质分析求解即可.
23．已知反比例函数的图像经过（-3，2），（m，n）两点.
（1）当时，求n的取值范围.
（2）设一次函数，当时，比较与的大小.
【答案】（1）解：∵反比例函数的图象经过点(-3，2).
∴.
∴的函数表达式为.
∵.
∴图象位于第二、四象限，
在图象所在的每个象限内，y随x的增大而增大，
∴当时，
（2）解：由 可知，
直线经过点 (-3，2).
∵ 与 函数图象的一个交点为 (-3，2).
又 ∵， ∴ 随 x 的增大而减小.
∴ 当 时，；
当 时，；
当 时，
【解析】【分析】（1）由反比例函数的图像经过（-3，2），可求出k的值，，因此可以判断该反比例函数图象在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，当时，利用函数图象可得，。
（2）对一次函数进行化简，可以发现，不管a取何值，该函数图象总经过（-3，2）。由已知条件可得，反比例函数与一次函数的一个交点即为（-3，2），当x＜0时，当 时，当 ； 时，；当 时，。
24．我们定义：点P在一次函数上，点Q在反比例函数上，若存在P、Q两点关于y轴对称，我们称二次函数为一次函数和反比例函数的“向光函数”，点P称为“幸福点”．例如：点在上，点在上，P、Q两点关于y轴对称，此时二次函数为一次函数和反比例函数的“向光函数”，点是“幸福点”．
（1）判断一次函数和反比例函数是否存在“向光函数”，若存在，请求出“幸福点”坐标；若不存在，请说明理；
（2）若一次函数与反比例函数只有一个“幸福点”，求其“向光函数”的解析式；
（3）已知一次函数与反比例函数有两个“幸福点”A、B（A在B左侧），其“向光函数”与轴x交于C、D两点（C在D左侧），若有以下条件：
①②“向光函数”经过点，③，记四边形ACBD的面积为S，求的取值范围．
【答案】（1）解：假设一次函数和反比例函数是存在“向光函数”，
设“幸福点”坐标为，则，
∴，
解并检验得：，，
∴一次函数和反比例函数是存在“向光函数”，“幸福点”坐标为，；
（2）解：∵一次函数关于y轴对称的直线函数解析式为，而且一次函数与反比例函数只有一个“幸福点”，所以与反比例函数只有一个交点，
∴，，
整理得：，
，
解得：，，
当时，则一次函数与反比例函数只有一个“幸福点”， 向光函数”的解析式为：，
当时，则一次函数与反比例函数只有一个“幸福点”， 向光函数”的解析式为：，
∴“向光函数”的解析式为：或．
（3）解：∵一次函数与反比例函数有两个“幸福点”、（在左侧），则、关于轴对称的点、一定在上，∴、关于轴对称的点、是与的交点坐标，
∴，
整理得：，
又∵“向光函数”为，
∴与“向光函数”为关于轴对称，
∴，
∵“向光函数”与轴交于、两点（在左侧），若有以下条件：①②“向光函数”经过点，③，
∴，
∴，
∴，
即“向光函数”为
又∵，
∴，
∴，
又∵“向光函数”与轴交于、两点（在左侧），与“向光函数”为关于轴对称，
∴，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，，
令“向光函数”中，得即，
解得，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的取值范围是：．
【解析】【分析】（1）设“幸福点”坐标为，则，分别代入解析式，得到m、n的方程组求出m、n的值，解题即可；
（2）根据题意可得一次函数与反比例函数只有一个交点，联立方程组得到关于的一元二次方程，令，求出的值解题即可；
（3）根据提议的的哦啊则、关于轴对称的点、一定在上，根据“向光函数”的定义得到，，求出四边形的面积，然后得到，根据a的取值范围解答即可．
25．如图，直线与反比例函数的图象交于，两点，过点作轴于点，过点作轴于点．
（1）求的值和反比例函数的表达式；
（2）若在线段上存在点，使得，请求出点的坐标；
（3）若点在反比例函数图象上，是第一象限反比例函数图象上一动点，连接分别与轴，轴交于点，，连接分别与轴，轴交于点，，判断的值是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）解：把点代入直线中，
可得：，
解得：，
点的坐标是，
把点的坐标代入比例函数中，
可得：，
反比例函数的解析式是
（2）解：如下图所示，连接、，
解方程组，
可得：，，
点的坐标是，点的坐标是，
，，
设点的坐标是，
则中边上的高是，中边上的高是，
，，
，
，
解得：，，
点的坐标是
（3）解：的值为定值，
点在反比例函数图象上，
可得：，
解得：，
点的坐标是，
是第一象限反比例函数图象上一动点，
设点的坐标是，
设直线的解析式为，
可得：，
解得：，
直线的解析式为，
当时，可得：，
点的坐标是，
当时，可得：，
解得：，
点的坐标是，
设直线的解析式是，
可得：，
解得：，
直线的解析式是，
当时，可得：，
点的坐标是，
当时，可得：，
解得：，
点的坐标是，
，，
【解析】【分析】两个函数均过B点，只需要将点代入直线中，求出点坐标中的m值，再把求出的点的坐标代入求出k值，从而可知反比例函数的解析式；
通过将两个函数联立方程组，可求出两个函数相交点的坐标，可算出BD=2，AC=3，E点的坐标不确定，但E点在一次函数图象上，故设点的坐标是，则中边上的高是，中边上的高是，根据三角形的面积公式可得：，解方程求出的值，即可得到点的坐标；
设点的坐标是，用待定系数法求出直线、的解析式，根据直线的解析式分别求出点、、、的坐标，根据坐标求出和的长度，从而可得：的值．
（1）解：把点代入直线中，
可得：，
解得：，
点的坐标是，
把点的坐标代入比例函数中，
可得：，
反比例函数的解析式是；
（2）解：如下图所示，连接、，
解方程组，
可得：，，
点的坐标是，点的坐标是，
，，
设点的坐标是，
则中边上的高是，中边上的高是，
，，
，
，
解得：，，
点的坐标是；
（3）解：的值为定值，
点在反比例函数图象上，
可得：，
解得：，
点的坐标是，
是第一象限反比例函数图象上一动点，
设点的坐标是，
设直线的解析式为，
可得：，
解得：，
直线的解析式为，
当时，可得：，
点的坐标是，
当时，可得：，
解得：，
点的坐标是，
设直线的解析式是，
可得：，
解得：，
直线的解析式是，
当时，可得：，
点的坐标是，
当时，可得：，
解得：，
点的坐标是，
，，
．
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