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第二十七章 相似 单元 单元综合能力测评卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．相似三角形的最短边分别是5cm和3cm，它们的面积之差为 ，那么小三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．为测量某河的宽度，小军在河对岸选定一个目标点A，再在他所在的这一侧选点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，然后找出AD与BC的交点E．如图所示，若测得BE=90m，EC=45m，CD=60m，则这条河的宽AB等于（ ）
A．120m B．67.5m C．40m D．30m
3．如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与相似的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，在矩形 中， ， ，点E在 边上， ，垂足为F．若 ，则线段 的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．矩形OBAC在平面直角坐标系中的位置如图所示，反比例函数的图象与AB边交于点D，与AC边交于点F，与OA交于点E，OE＝2AE，若四边形ODAF的面积为2，则k的值是（ ）
A． B． C． D．
6．已知 ，则 （ ）
A．2 B． C．3 D．
7．下列说法正确的有（ ）
①面积之比为1：2的两个相似三角形的周长之比是1：4；②三视图相同的几何体是正方形；③-27没有立方根；④对角线互相垂直的四边形是菱形；⑤某中学人数相等的甲、乙两班学生参加了同一次数学测验，班平均分和方差分别为 =82分， =82分， =245， =190，那么成绩较为整齐的是乙班，
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F，AC与DF相交于点G，且AG=2，GB=1，BC=5，则 的值为（ ）
A． B．2 C． D．
9．下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A． ， ， ， B． ， ， ，
C． ， ， ， D． ， ， ，
10．如图， 的边 在x轴上，边 交y轴于点E， ，反比例函数 过C点，且交线段 于D， ，连接 ，若 ，则k的值为（ ）
A． B． C．4 D．6
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，一块三角形余料，它的边，高．现在要把它加工成如图所示的两个大小相同的正方形零件和，则正方形的边长为 cm．
12．已知△ABC∽△A′B′C′，且它们的周长比为1：2，它们的面积比为 ．
13．若， 则 = ．
14．如图所示，△ABC 的中线AD，CE 相交 于 点 O，EF∥BC，交 AD 于点 F，则OD：FA= .
15．菱形ABCD边长为8，点E在AD上，DE＝3，连接BE与对角线AC交点M，那么 的值是 ．
16．在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，E为AB边上一点，∠BCE=15°，且AE=AD．连接DE交对角线AC于H，连接BH．下列结论正确的是 ．（填序号）
①AC⊥DE；② = ；③CD=2DH；④ = ．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝4，CA＝6，CD//AB，BD是∠ABC的平分线，BD交AC于点E，求AE的长.
18．如图，在正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G．若AE=3ED，DF=CF，求的值．
19．如图所示，在中，点D，E分别在AB，AC上，AF平分，交DE于点.已知，求AF：AG的值.
20．如图，在△ABC中，点P是边BC的中点，点D、E分别在边AB、AC上．若∠B=∠C=∠DPE=45°，BC=4，CE=3，求DE的长．
21．如图所示，某测量工作人员头顶A与标杆顶点F、电视塔顶端E在同一直线上，已知此测量人员的头顶距地面的高为1.4m，标杆的长为2.8m，且测量人员与标杆的距离为3.5m，标杆与电视塔的距离为6.5m，，，，求电视塔的高．
22．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=14，AC=7，D是BC上一点，BD=8，DE⊥AB，垂足为E，求线段DE的长．
23．如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE＝1米，EF＝0.5米，测点D到地面的距离DG＝3米，到旗杆的水平距离DC＝40米，求旗杆的高度.
24．如图，在平面直角坐标系中，点，点分别在轴，轴的正半轴上，且满足．
（1）求点，点的坐标．
（2）若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB由C向B运动，连接AP，设的面积为，点P的运动时间为秒，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
（3）在（2）的条件下，是否存在点，使以点为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
25．⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，过 的中点P作⊙O的直径PG，与弦BC相交于点D，连接AG、CP、PB．
（1）如图1，求证：AG=CP；
（2）如图2，过点P作AB的垂线，垂足为点H，连接DH，求证：DH∥AG；
（3）如图3，连接PA，延长HD分别与PA、PC相交于点K、F，已知FK=2，△ODH的面积为2 ，求AC的长．
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第二十七章 相似 单元 单元综合能力测评卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．相似三角形的最短边分别是5cm和3cm，它们的面积之差为 ，那么小三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：根据题意两个三角形的相似比是5：3，面积比就是25：9，
大小面积相差16份，所以每份的面积是32÷16=2（ ），
所以小三角形的面积为2×9=18（ ）．
故答案为：D
【分析】利用相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，就可求出小三角形的面积。
2．为测量某河的宽度，小军在河对岸选定一个目标点A，再在他所在的这一侧选点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，然后找出AD与BC的交点E．如图所示，若测得BE=90m，EC=45m，CD=60m，则这条河的宽AB等于（ ）
A．120m B．67.5m C．40m D．30m
【答案】A
【解析】【解答】∵∠ABE=∠DCE， ∠AEB=∠CED，
∴△ABE∽△DCE，
∴ .
∵BE=90m，EC=45m，CD=60m，
∴
故答案为：A.
【分析】根据对对顶角相等和直角都相等可得∠ABE=∠DCE， ∠AEB=∠CED，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得△ABE∽△DCE，可得比例式求解。
3．如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：根据题意可得：，；
A．三角形中没有角，图中的三角形（阴影部分）与不相似，A错误；
B．夹的两边之比为：，图中的三角形（阴影部分）与相似，B正确；
C．三角形中没有角，图中的三角形（阴影部分）与不相似，C错误
D．三角形中没有角，图中的三角形（阴影部分）与不相似，D错误.
故答案为：B．
【分析】根据网格中的数据先求出的长且得，可得，利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似判断即可得答案．
4．如图，在矩形 中， ， ，点E在 边上， ，垂足为F．若 ，则线段 的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=CD=3，BC=AD=10，AD∥BC，
∴∠AEB=∠DAF，
∴△AFD∽△EBA，
∴ ，
∵DF=6，
∴AF= ，
∴ ，
∴AE=5，
∴EF=AF-AE=8-5=3.
故答案为：B.
【分析】证明△AFD∽△EBA，得到 ，求出AF，即可求出AE，从而可得EF.
5．矩形OBAC在平面直角坐标系中的位置如图所示，反比例函数的图象与AB边交于点D，与AC边交于点F，与OA交于点E，OE＝2AE，若四边形ODAF的面积为2，则k的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：如图，过点E作EH⊥x轴，则EH∥OB∥AC，
∴△OEH∽△OAC，
∴
∵OE＝2AE，
∴
设E（a，），则OH=a，EH=，
∴OC=a，AC=，
∵点D、F在 反比例函数的图象上，
∴S△OBD=，S△OCF=，
∴矩形ABOC的面积=S△OBD+S△OCF+S四边形ODAF=OC·AC，
即++2=a·，
解得k=.
故答案为：D.
【分析】过点E作EH⊥x轴，则EH∥OB∥AC，可证△OEH∽△OAC，可得，设E（a，），可得OC=a，AC=，由反比例函数图象k的几何意义可得S△OBD=，S△OCF=，根据矩形ABOC的面积=S△OBD+S△OCF+S四边形ODAF=OC·AC，即可求解.
6．已知 ，则 （ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵ ，
∴
∵ ，
∴ ；
故答案为：B
【分析】根据相似三角形的对应边成比例即可得出结论
7．下列说法正确的有（ ）
①面积之比为1：2的两个相似三角形的周长之比是1：4；②三视图相同的几何体是正方形；③-27没有立方根；④对角线互相垂直的四边形是菱形；⑤某中学人数相等的甲、乙两班学生参加了同一次数学测验，班平均分和方差分别为 =82分， =82分， =245， =190，那么成绩较为整齐的是乙班，
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【解析】【解答】解：①两个相似三角形的面积比为1：2，则它们的相似比为1： ，则周长之比为1： ，故错误；
②三视图相同的几何体不一定是正方体，如球的三视图都是圆，故错误；
③-27的立方根是-3，故错误；
④对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误；
⑤平均数相等，而 > ，则乙班较为稳定 ，故正确.
故选A.
【分析】①两个相似三角形的性质是周长之比等于相似比，面积比等于相似比的平方；
②记住比较特殊的几何体的三视图，如长方体，正方体，圆锥、圆柱、球等；
③所有数都有立方根；
④判定特殊平行四边形思路，可先证明该四边形是平行四边形，再证明它是菱形，这里不能证明该四边形是平行四边形；
⑤在平均数相等的基础上，再比较两组数据的方差大小 ，而 > ，说明乙班的成绩波动小，即较为稳定.
8．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F，AC与DF相交于点G，且AG=2，GB=1，BC=5，则 的值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵AG=2，GB=1，
∴AB=AG+BG=3，
∵直线l1∥l2∥l3，
∴ = ，
故选：D．
【分析】根据平行线分线段成比例可得 ，代入计算，可求得答案．
9．下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A． ， ， ， B． ， ， ，
C． ， ， ， D． ， ， ，
【答案】A
【解析】【解答】解：根据两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．
所给选项中，只有A中，1×40＝2×20，四条线段成比例．
故答案为：A．
【分析】根据比例线段的性质的推论：两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，逐项判断即可。
10．如图， 的边 在x轴上，边 交y轴于点E， ，反比例函数 过C点，且交线段 于D， ，连接 ，若 ，则k的值为（ ）
A． B． C．4 D．6
【答案】C
【解析】【解答】解：过C点作CN⊥y轴于N点，过C点作CE⊥x轴于E点，过D点作DF⊥x轴于F点，
设CN=2a，则OE=2a
∵CN AE
∴△AOE∽△CNE，
∴
∴AO=a
∵C点在函数 上
∴C（2a， ）
∴CE=NO=
∵CE DF
∴△BDF∽△BCE，
∵
∴
∴DF= ，
∵D点在函数 上
∴D点坐标为（8a， ）
∴EF=8a-2a=6a
∵
∴BF=2a
∴B（10a，0）
∴AB=11a
∵
∴
解得k=4
故答案为：C.
【分析】过C点作CN⊥y轴于N点，过C点作CE⊥x轴于E点，过D点作DF⊥x轴于F点，设CN=2a，则OE=2a，易证△AOE∽△CNE，△BDF∽△BCE，由相似三角形的性质可得AO=a，DF=，将点C、D的坐标代入中可得AO=a，BF=2a，则B（10a，0），表示出AB，然后根据三角形的面积公式进行计算.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，一块三角形余料，它的边，高．现在要把它加工成如图所示的两个大小相同的正方形零件和，则正方形的边长为 cm．
【答案】24
【解析】【解答】解：设正方形零件的边长为a cm，如下图．
∵四边形EFGH是正方形，
∴，
∴，，
∴，
∴.
∵AD是高，
∴，
∴，
即正方形的边长为24cm．
故答案为：24．
【分析】设正方形零件的边长为a cm，先证明，可得，再将数据代入可得，最后求出即可。
12．已知△ABC∽△A′B′C′，且它们的周长比为1：2，它们的面积比为 ．
【答案】1：4
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，且它们的周长比为1：2，
∴它们的相似比为1：2，
∴它们的面积比为1：4．
故答案为：1：4
【分析】根据相似三角形的面积比等于周长比的平方求解。
13．若， 则 = ．
【答案】
【解析】【解答】解：
故答案为：.
【分析】将 变形，把 代入即可求解.
14．如图所示，△ABC 的中线AD，CE 相交 于 点 O，EF∥BC，交 AD 于点 F，则OD：FA= .
【答案】2：3
【解析】【解答】解：
、分别平分
故答案为：2：3 .
【分析】先由中线的概念和平行线分线段成比例定理可得AF＝DF，则EF是△ABD的中位线，则EF等于BD的一半，即EF等于CD的一半，再由三角形相似的预备定理可得，由相似比可得OF等于OD的一半，即OD：DF＝2：3，选题代换得OD：AF也等于2：3.
15．菱形ABCD边长为8，点E在AD上，DE＝3，连接BE与对角线AC交点M，那么 的值是 ．
【答案】 或
【解析】【解答】解：①如图：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=BC=8，AD∥BC，
∴△AME∽△CMB，
∴ ，
∵DE=3，
∴AE=AD-DE=3，
∴ ，
②如图：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=BC=8，AD∥BC，
∴△AME∽△CMB，
∴ ，
∵DE=3，
∴AE=AD+DE=11，
∴ ，
故答案为： 或 ．
【分析】分两种情况：分别先证出△AME∽△CMB，得出 ，根据DE的值，求得AE的值，即可得出结论。
16．在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，E为AB边上一点，∠BCE=15°，且AE=AD．连接DE交对角线AC于H，连接BH．下列结论正确的是 ．（填序号）
①AC⊥DE；② = ；③CD=2DH；④ = ．
【答案】①③④
【解析】【解答】解：如图，
∵AD∥BC，∠ABC=90°
∴∠BAD=90°，
又∵AB=BC，
∴∠BAC=45°，
∴∠CAD=∠BAD﹣∠BAC=90°﹣45°=45°，
∴∠BAC=∠CAD，
∴AH⊥ED，
即AC⊥ED，故①正确；
∵△CHE为直角三角形，且∠HEC=60°
∴EC=2EH
∵∠ECB=15°，
∴EC≠4EB，
∴EH≠2EB；故②错误．
∵由证①中已知，∠BAC=∠CAD，
在△ACD和△ACE中，
，
∴△ACD≌△ACE（SAS），
∴CD=CE，
∵∠BCE=15°，
∴∠BEC=90°﹣∠BCE=90°﹣15°=75°，
∴∠CED=180°﹣∠BEC﹣∠AED=180°﹣75°﹣45°=60°，
∴△CDE为等边三角形，
∴∠DCH=30°，
∴CD=2DH，故③正确；
过H作HM⊥AB于M，
∴HM∥BC，
∴△AMH∽△ABC，
∴ ，
∵∠DAC=∠ADH=45°，
∴DH=AH，
∴ ，
∵△BEH和△CBE有公共底BE，
∴ ，故④正确，
故答案为：①③④．
【分析】根据二直线平行，同旁内角互补得出∠BAD=90°，根据等腰直角三角形的性质得出∠BAC=45°，根据角的和差得出∠CAD=∠BAD﹣∠BAC=90°﹣45°=45°，故∠BAC=∠CAD，根据等腰三角形的三线合一得出AH⊥ED，即AC⊥ED，故①正确；根据含30°直角三角形的边之间的关系得出EC=2EH，由于EC≠4EB，故EH≠2EB；故②错误；然后利用SAS判断出△ACD≌△ACE根据全等三角形的对应边相等得出CD=CE，根据三角形的内角和得出∠BEC=75°，根据平角的定义得出∠CED=60°，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得出△CDE为等边三角形，根据等腰三角形的三线合一得出∠DCH=30°，根据含30°直角三角形的边之间的关系得出CD=2DH，故③正确；过H作HM⊥AB于M，根据同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得出HM∥BC，根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得出△AMH∽△ABC，根据相似三角形对应边成比例得出 ，又DH=AH，故根据有公共底的三角形的面积之比等于对应高的比即可得出答案。
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝4，CA＝6，CD//AB，BD是∠ABC的平分线，BD交AC于点E，求AE的长.
【答案】解：∵BD为∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵AB∥CD，
∴∠D＝∠ABD，
∴∠D＝∠CBD，
∴BC＝CD，
∵BC＝4，
∴CD＝4，
∵AB∥CD，
∴△ABE∽△CDE，
∴ ，
∴ ，
∴AE＝2CE，
∵AC＝6＝AE＋CE，
∴AE＝4.
【解析】【分析】 由平行线的性质和角平分线的定义得△BCD为等腰直角三角形，则可求出CD的长，然后由AB∥CD， 得△ABE∽△CDE， 列出比例式求出AE＝2CE，根据AC=6构建方程求解即可.
18．如图，在正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G．若AE=3ED，DF=CF，求的值．
【答案】如图，作FN∥AD，交AB于点N，交BE于点M．
∵ AB∥CD，FN∥AD，
∴四边形ANFD是平行四边形，
∵∠D=90°，∴四边形ANFD是矩形．
设DE=a，则AE=3a ，AD=AB=CD= FN=4a ，AN= DF= 2a．
∵AN=BN，MN∥AE，∴BM=ME，∴MN= a，∴FM= a．
∵AE∥FM，∴
【解析】【分析】作FN∥AD，交AB于点N，交BE于点M，由题意易证四边形ANFD是平行四边形，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可得四边形ANFD是矩形，根据AE=3ED可设DE=a，AE=3a，再由平行线分线段成比例可求解.
19．如图所示，在中，点D，E分别在AB，AC上，AF平分，交DE于点.已知，求AF：AG的值.
【答案】解：
，
∴.
又
，
即
【解析】【分析】根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似可得△ABC∽△AED，由相似三角形对应角平分线的比等于相似比可得，据此可得答案.
20．如图，在△ABC中，点P是边BC的中点，点D、E分别在边AB、AC上．若∠B=∠C=∠DPE=45°，BC=4，CE=3，求DE的长．
【答案】解：∵∠DPC=∠BDP+∠B，∠B=∠C=∠DPE=45°，
∴45°+∠EPC=∠BDP+45°，
∴∠EPC=∠BDP，
∵∠B=∠C=45°，
∴△BDP∽△CPE，
∴，
∵点P是边BC的中点，
∴BP=CP=2，
∵CE=3，
∴，
∴BD=，
∵∠B=∠C=45°，
∴∠A=180°-∠B-∠C=90°，
即AC⊥AB且AC=AB=4，
∴AD=AB-BD=，AE=AC-CE=1，
在Rt△ADE中，DE=．
∴DE的长为．
【解析】【分析】由外角的性质可得∠DPC=∠BDP+∠B，由已知条件可知∠B=∠C=∠DPE=45°，推出∠EPC=∠BDP，证明△BDP∽△CPE，根据中点的概念可得BP=CP=2，由相似三角形的性质可得BD，根据内角和定理可得∠A=90°，然后求出AD、AE，再利用勾股定理进行计算.
21．如图所示，某测量工作人员头顶A与标杆顶点F、电视塔顶端E在同一直线上，已知此测量人员的头顶距地面的高为1.4m，标杆的长为2.8m，且测量人员与标杆的距离为3.5m，标杆与电视塔的距离为6.5m，，，，求电视塔的高．
【答案】解：过点作，交于点，交于，由题意，得：四边形，四边形均为矩形，
∴，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
答：电视塔的高的长为
【解析】【分析】过点作，交于点，交于，易得，，，证明，列出比例式求出的长，进而求出的长即可．
22．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=14，AC=7，D是BC上一点，BD=8，DE⊥AB，垂足为E，求线段DE的长．
【答案】解：∵DE⊥AB，∴∠BED=90°，又∠C=90°，∴∠BED=∠C．又∠B=∠B，∴△BED∽△BCA，∴ ，∴DE= = =4
【解析】【分析】
已知△ABC、△DBE均为直角三角形，且有一相同角∠B，则易得△ABC∽△DBE；根据相似三角形的性质可得，代入数值即可求得DE的长.
23．如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE＝1米，EF＝0.5米，测点D到地面的距离DG＝3米，到旗杆的水平距离DC＝40米，求旗杆的高度.
【答案】解：∵∠ADC＝∠FDE，∠ACD＝∠FED＝90°，
∴△ACD∽△FED，
∴ ，
即 ，
解得AC＝20，
∵AB⊥BG，DG⊥BG，DC⊥AB，
∴∠ABG＝∠BGD＝∠DCB＝90°，
∴四边形BGDC是矩形，
∴BC＝DG＝3，
∴AB＝AC+BC＝20+3＝23米.
答：旗杆AB的高度是23米
【解析】【分析】证明△ACD∽△FED，根据相似三角形对应边成比例得出 ，从而求出AC的长度，证明四边形BGDC为矩形，根据矩形的性质得出BC=DG，从而求出AB.
24．如图，在平面直角坐标系中，点，点分别在轴，轴的正半轴上，且满足．
（1）求点，点的坐标．
（2）若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB由C向B运动，连接AP，设的面积为，点P的运动时间为秒，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
（3）在（2）的条件下，是否存在点，使以点为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：
，
，
点，点分别在轴，轴的正半轴上
（2）解：∵OB=，OA=1，∠AOB=90°，
∴， AC＝4，
同理：，
∵，即：，
∴，
过P作PQ⊥CA于Q，
∵，，
∴，
∴S=S△ABC-S△APC=-t
（3）；
【解析】【解答】（3）由（2）得AC＝4，
，，
∴．
∴△ABC为直角三角形，∠ABC＝90°．
以点A，B，P为顶点的三角形与△AOB相似，分两种情况：
①△ABP∽△AOB
∴
∴
∴
点P与点C重合P1（－3，0）；
②△ABP∽△BOA，
∴，
∴，
∴，
∴
过P作PQ⊥CA于Q，
∵PQ⊥CA，BO⊥CA，
∴PQ∥BO，
∴△CPQ∽△CBO，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴存在这样的点P，．
【分析】（1）根据非负数的性质，可求得，OA=1，再结合图象写出A、B的坐标；
（2）动点运动的线段的长度=动点运动的时间乘以运动速度，设CP=t，过P作PQ⊥CA于Q，由，结合CP的长求出PQ的长，再计算三角形的面积。
（3）由于∠ABP=∠AOB=90°，所以分两种情况讨论：①△ABP∽△AOB；②△ABP∽△BOA，．根据相似三角形的性质计算。
25．⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，过 的中点P作⊙O的直径PG，与弦BC相交于点D，连接AG、CP、PB．
（1）如图1，求证：AG=CP；
（2）如图2，过点P作AB的垂线，垂足为点H，连接DH，求证：DH∥AG；
（3）如图3，连接PA，延长HD分别与PA、PC相交于点K、F，已知FK=2，△ODH的面积为2 ，求AC的长．
【答案】（1）证明：∵过 的中点P作⊙O的直径PG，
∴CP=PB，
∵AB，PG是相交的直径，
∴AG=PB，
∴AG=CP。
（2）证明：证明：如图 2，连接BG
∵AB、PG都是⊙O的直径，
∴四边形AGBP是矩形，
∴AG∥PB，AG=PB，
∵P是弧BC的中点，
∴PC=BC=AG，
∴弧AG=弧CP，
∴∠APG=∠CAP，
∴AC∥PG，
∴PG⊥BC，
∵PH⊥AB，
∴∠BOD=90°=∠POH，
在△BOD和△POH中，
，
∴△BOD≌△POH，
∴OD=OH，
∴∠ODH= （180°﹣∠BOP）=∠OPB，
∴DH∥PB∥AG。
（3）解：如图3，作CM⊥AP于M，ON⊥DH于N，
∴∠HON= ∠BOP= ∠COP=∠CAP，
∴△HON∽△CAM，
∴ ，
作PQ⊥AC于Q，
∴四边形CDPQ是矩形，
△APH与△APQ关于AP对称，
∴HQ⊥AP，
由（1）有：HK⊥AP，
∴点K在HQ上，
∴CK=PK，
∴PK是△CMP的中位线，
∴CM=2FK=4，MF=PF，
∵CM⊥AP，HK⊥AP，
∴CM∥HK，
∴∠BCM+∠CDH=180°，
∵∠BCM=∠CAP=∠BAP=∠PHK=∠MHK，
∴∠MHK+∠CDH=180°，
∴四边形CDHM是平行四边形，
∴DH=CM=4，DN=HN=2，
∵S△ODH= DH×ON= ×4×ON=2 ，
∴ON= ，
∴OH= =5，
∴AC= =10。
【解析】【分析】（1）由P是 的中点可知 CP=PB，再由AB、PG是相交的直径又得AG=PB，据此即可证明；
（2） 连接BG 、AP，易得四边形AGBP是矩形，从而得AG∥PB ，又由垂径定理可知PG⊥BC，结合PH⊥AB、OP=OB、∠BOD=∠POH，可得△BOD≌△POH，从而有OD=OH，故DH∥PB∥AG ；
（3）作CM⊥AP于M、ON⊥DH于N、 PQ⊥AC于Q，一方面可得△HON∽△CAM ，故有 =，另一方面可知四边形CDPQ是矩形 ，结合（1）可得PK是△CMP的中位线 ，进一步可得四边形CDHM是平行四边形 ，从而有 DH=CM=4、DN=HN=2，由面积法可知ON，借助勾股定理可得OH，据此即可求出AC。
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